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CICLO CURSO GEOMETRÍA PLANA ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

01. Del siguiente gráfico, calcule el área de la región sombreada, si BC = 2√3 m.

RESOLUCIÓN

02. Según el gráfico, AB = 2 cm. Calcule el área de la región sombreada.

RESOLUCIÓN

03. En un cuadrado ABCD con centro en A y D, se trazan los cuadrantes BAD y ADC que se intersecan en Q.

Calcule el área de la región mixtilínea BQC, siendo el lado del cuadrado 2√3.

SEMESTRAL INTEGRAL GEOMETRÍA

PRÁCTICA DOMICILIARIA

Piden el área de la región triangular mixtilínea limitada por el arco PTQ, �� � ��. • Dicha región es equivalente al sector circular

sombreado POQ, puesto que las regiones triangulares POE y EDQ son equivalentes dado que PQDO es un trapecio (�� // �).

• Los triángulos POT y TOQ son equiláteros.

• ASC = ��

� = 3 �� RPTA.

El área de la región que nos piden excluye la región triangular curvilínea limitada por los arcos DE, EF y FD. • Dicha región triangular curvilínea es cubierta por

traslación, así tenemos: 1. El segmento circular m es cubierto por k 2. El segmento circular n es cubierto por q 3. El segmento circular f es cubierto por e 4. El sector circular DFE es cubierto por el sector

circular CDE, ambos de radio 1. • Finalmente es hallar el área del semicírculo

sombreado: Ax = ��

� =

��

��� RPTA.

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RESOLUCIÓN

04. Si ABCD es un cuadrado de lado 2, calcule el área de la región sombreada.

RESOLUCIÓN

05. En el gráfico se aprecian 3 cuadrados congruentes de lado 2 cm. Calcule el área de la región sombreada.

RESOLUCIÓN

Piden ARS

• El ARS es el área del semicírculo menos el ARNS

ARS = ��3�2

�− ARNS

• En el segundo gráfico el ARNS es el área del rectángulo ABCD menos el semicírculo de radio 1; menos un semicírculo de radio 2.

Piden el área de la región triangular mixtilínea Ax limitada por los arcos BQ, QC y ��. • Para calcular Ax, al área del cuadrado le restamos el área

del triángulo equilátero AQD y los sectores circulares M y N de 30° cada uno.

• AAQC =�2√3�

2 �√3� 4 = 3√�

• M + N = ��2√3�

2

� = 2�

• Ax = �2√3�� − 2� − 3√� = 12 − 2 � − �√� RPTA.

Piden el área de la región sombreada. El área de dicha región lo calculamos por partes:

• ABEC =�2�2 �√3�

4 = √�

• M = N = ��2√3�

2

� – 3√3 = 2� – 3√�

• T = 2� – √� – ��2�2

� = 4 – √� –

���

• ATOTAL = ABEC + M + N + T + �

• ATOTAL = 4 −�√� + !�" RPTA.

T

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NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO

08. Se tiene un triángulo ABC, recto en B. Luego, se traza #$ perpendicular al plano del triángulo ABC. Se ubica N en ��, tal que NC = 2 (BN); m∡ACB = 37°/2 y m∡LNB = 60°. Calcule la medida de ángulo entre .$ y el plano del triángulo ABC.

RESOLUCIÓN

09. Del gráfico, / es perpendicular al plano de la circunferencia, OL = 4; LD = 2 y m∡MDO = 30°. Calcule el área de la región MDT. (T: punto de tangencia).

RESOLUCIÓN

10. Del gráfico, . es perpendicular al plano P; R = 4; BM = 2(AB); mAB = 60° y ON = AB. Halle el área de la región ANM.

Piden m∡LNA = x

∆ ABC de 37° 2⁄ : AB = a ∆ ABN es isósceles: AN = a√2 Teorema de las tres perpendiculares con $#, #� � �$, luego

∆ LBN de 30° y 60°: LN = 2a

∆ NAL: LA = a√2, entonces x = 45° RPTA

ARNS = (6) (2)− 6�1�22 − 6�2�2

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• Entonces: ARS = !� − 8� RPTA.

Piden AMDT = Ax

∆ MOD de 30° y 60°: MO = 2√3 ∆ OTD (T. de Pitágoras): TD = 2√5

∆ MOT (T. de Pitágoras): MT = 2√7

Teorema de las tres perpendiculares con /, : � /:

Ax = �2√5� �2√7�

�= �√�; RPTA.

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RESOLUCIÓN

11. Se tiene un cuadrado de centro O. luego, en la región exterior relativa a ��, se ubica L, tal que CL = DL; además, se traza / perpendicular al plano del cuadrado. Si AB = 10; OM = 4√3 y m∡CLD = 74°, calcule la medida del ángulo determinado por �$ y /�.

RESOLUCIÓN

ÁNGULO DIEDRO

14. Si ABC y ABMN son respectivamente, triángulo equilátero y cuadrado ubicados en planos perpendiculares y CN = 2√2, calcule el área de la región CMN.

Piden m∡MCF = x

Para indicar la pregunta en el gráfico se ha trazado CI // LD (Entonces piden x). Además m∡MCF = 8° entonces EF = 1 y CF = 7 ∆ CEM (T. de Pitágoras): CM = 7√2 Teorema de las tres perpendiculares con />, >? � /?; luego ∆ CFM: x = 45° RPTA.

Piden AANM = Ax

∆ AOB es equilátero: AB = 4; luego BM = 8 y dato NO = AB. ∆ NOL (T. de Pitágoras): NL = 2√7

Teorema de las tres perpendiculares con ., $ � .$

Ax = �12� �2√7�

�= 8�√! RPTA.

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RESOLUCIÓN

15. Se tiene un cubo ABCD – MNPQ. Tomando a /� como diámetro, se traza una semicircunferencia perpendicular al plano de la región MNPQ; luego, desde C, se traza una recta tangente a la semicircunferencia que interseca a #/ en

E. Halle @AAB

. RESOLUCIÓN

16. En la región interior de un cubo ABCD – MNPQ y tomando como diámetro a /�, se traza una semicircunferencia contenida en la región AMPC y en esta se ubican E y L, tal que EL = 2√2 y AB = √6 . Calcule la medida del diedro determinado por las regiones ELN y ELQ.

RESOLUCIÓN

Piden CD

Si el radio es “a” tenemos PC = PQ = a√2.

> y � son bisectrices de los ángulos MEH y ECP, respectivamente, luego m∡EOC = 90°.

∆EOC (altura)2: a2 = y (a√2), entonces y = a√2

�

x + y = a√2; luego y = a√2

�

Finalmente HI = 1 RPTA.

Piden m∡QHN = x

Para indicar la pregunta en el gráfico, se han trazado las perpendiculares �L y .L a la arista >$.

El radio es √3 ; ∆OHL (T. de Pitágoras): OH = 1

∆QHN: m∡QHN = x = 120120120120° RPTA.

Piden ACMN = Ax

Teorema de las tres perpendiculares con �>, ># � #�; también con �>, >? � �?. ∆ CAN: AC = AN = 2 ∆ CEF: CF = √!

Ax = �2� �√7�

�= √! RPTA.

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18. Se tienen dos semicircunferencias de diámetro común #� ubicados en planos perpendiculares. Si en una de ellas se ubica P y en la otra M y N, tal que mAP = mPB, mMN = 90°, calcule m∡MNP.

RESOLUCIÓN

PRISMA Y CILINDRO

19. Sea ABC – DEF un prisma oblicuo de altura �?. Calcule el volumen del sólido.

RESOLUCIÓN

21. Del gráfico, ABCD – EFGH y CPQR – GSTO son prismas regulares cuya suma de volúmenes es 5 O�. Si DM = 2 (MR), calcule el volumen del prisma ARQD – EOTH.

RESOLUCIÓN

Piden mmmm∡∡∡∡MPNMPNMPNMPN = x

� es perpendicular a la arista #�, entonces es perpendicular al plano de la circunferencia C2.

En circunferencias de igual radio, los arcos de igual medida subtienden cuerdas con la misma longitud.

Entonces PM = MN = NP = P√2

El ∆QHN es equilátero:

m∡MPN = x = 120120120120° RPTA.

Piden Piden VARQD-EOTH = Vx

Aplicamos la formula: Vx = B h

∆ADM ~ ∆MRQ: AD = 2(RQ) = 2a

Entonces: DR = RC = a

Trapecio ARQD: B = ��RSR�R

�

Luego Vx = ��a2�T

� Por dato: (4a2) h + a2 h = 5

Entonces a2 h = 1 y Vx = �� = 1,5 RPTA.

Piden VABC-DEF = Vx

Aplicamos la formula

Vx = B h = ( 4 �3�

�) 4

Vx = 24 RPTA.

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23. Sea �� una generatriz de un cilindro circular recto y O el centro de una de sus bases. Si m∡BAC = 15° y OC = 8 cm, entonces, ¿cuál es el área lateral (en cm�) del cilindro?

RESOLUCIÓN

C D

24. Del gráfico, se muestra un cilindro lleno de agua, y dentro de él un cubo. Calcule el volumen de agua que hay en el cilindro.

RESOLUCIÓN

2√�

Piden VH2O = Vx

El volumen de agua pedido es igual al volumen del cilindro menos el volumen del cubo:

Vx = VCIL - VCUBO

La diagonal de la base del cubo mide 4, entonces su arista

mide 2√2 , y la altura del cilindro es 2√2.

VCIL = 2 �(2)2√2 = 8√� � y VCUBO = (2 √2)3 = 16 √�

Vx = 8√� � - 16 √�

Entonces: Vx = 8√�� � - 2) RPTA.

Piden A SL

Aplicamos la formula: A SL = 2�rg

∆ODC es de 15° y 75°, la altura relativa a la hipotenusa es la cuarta parte de dicha hipotenusa.

Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo ODC: r g = 8 (2) = 16

Entonces: A SL = 2�(16) = 32� RPTA.

8 g

r 2

O

15° 75°

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