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Razão de semelhança
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Mecânica dos Fluidos
Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica
Análise Dimensional Os problemas em Fenômenos de Transporte envolvem muitas variáveis com diferentes sentidos físicos;
As equações derivadas analiticamente são corretas para qualquer sistema de unidades (cada termo da equação deve ter a mesma representação dimensional: homogeneidade)
Cada uma dessas variáveis é expressa por uma magnitude e uma unidade associada;
Análise Dimensional As unidades são expressas utilizando apenas quatro grandezas básicas ou categorias fundamentais:
- massa[M];
- comprimento[L];- tempo[T] e- temperatura[θ]
As quatro grandezas básicas representam as dimensões primárias que podem ser usadas para representar qualquer outra grandeza ou grupo de grandezas físicas;
Análise Dimensional
Dimensões Primárias:
Análise Dimensional
É um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise;
Análise Dimensional
A análise dimensional é particularmente útil para:
Apresentar e interpretar dados experimentais; Resolver problemas difíceis de estudar com solução analítica; Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno; Modelagem física.
Dimensões de grandezas derivadas:
Grandeza Símbolo Dimensão
Geometria Área A L2
Volume V L3
Cinemática Velocidade U LT-1
Velocidade Angular ω T-1
Vazão Q L3T-1
Fluxo de massa m MT-1
Dinâmica Força F MLT-2
Torque T ML2T-2
Energia E ML2T-2
Potência P ML2T-3
Pressão p ML-1T-2
Propriedades dos Fluidos
Densidade ρ ML-3
Viscosidade µ ML-1T-1
Viscosidade Cinemática v L2T-1
Tensão superficial σ MT-2
Condutividade Térmica k MLT-3θ
Calor Específico Cp,CvL2T-2 θ-1
Dimensões de Grandezas Derivadas:
Análise Dimensional
Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma dimensão que é representada por uma relação das grandezas primárias; Se esta relação é unitária, o grupo é denominado adimensional, isto é, sem dimensão; Um exemplo de grupo adimensional é o número de Reynolds:
1
..Re
11
13
TML
LLTMLVDy
Análise Dimensional Como o número de grupos adimensionais é relativamente menor que o número de variáveis físicas, há uma grande redução de esforço experimental para estabelecer a relação entre algumas variáveis;
A relação entre dois números adimensionais é dada por uma função entre eles com uma única curva relacionando-os;
Pode-se afirmar que os grupos adimensionais produzem melhor aproximação do fenômeno do que as próprias variáveis;
Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica
Restringindo as condições dos experimentos é possível obter dados de diferentes condições geométricas mas que levam ao mesmo ponto na curva;
Isto é, experimentos de diferentes escalas apresentam os mesmos valores para os grupos adimensionais a eles pertinentes;
Nessas condições os experimentos apresentam semelhança dinâmica;
Semelhança
Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica;
Utilizam-se com freqüência estudos experimentais;
Muito do trabalho experimental é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas;
Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia são realizadas utilizando-se modelos em escala.
Semelhança
Semelhança é, em sentido bem geral, uma indicação de que dois fenômenos têm um mesmo comportamento;
Por exemplo: é possível afirmar que há semelhança entre um edifício e sua maquete (semelhança geométrica)
Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança indica a relação entre dois escoamentos de diferentes dimensões, mas com semelhança geométrica entre seus contornos;
Semelhança Geralmente o escoamento de maiores dimensões é denominado escala natural ou protótipo;
O escoamento de menor escala é denominado de modelo;
Estudo em modelo reduzidoda Barragem de Pedrógão - Portugal
Modelo reduzido em escala geométrica da
tomada d’água e da comporta vagão da Usina
Hidrelétrica de Paulo Afonso IV (CHESF), no rio São Francisco, projetadas
pela Ishikawajima do Brasil Estaleiros S/A,
1978.
Modelo reduzido do Brennand Plaza, no Recife, ensaiado notúnel de vento. Medidas de pressões devidas ao vento nasuperfície externa do edifício. Escala do modelo: 1/285
Estudo em modelo reduzido do
vale do rio Arade
Semelhança
Utilização de Modelos em escala:Vantagens econômicas (tempo e
dinheiro);Podem ser utilizados fluidos diferentes
dos fluidos de trabalho;Os resultados podem ser extrapolados;Podem ser utilizados modelos reduzidos
ou expandidos (dependendo da conveniência);
Semelhança
Para ser possível esta comparação entre o modelo e a realidade, é indispensável que os conjuntos de condições sejam FISICAMENTE SEMELHANTES;
O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhança:
Semelhança GeométricaSemelhança CinemáticaSemelhança Dinâmica
Semelhança
Semelhança GeométricaSemelhança de forma;A propriedade característica dos sistemas
geometricamente semelhantes é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente é constante;
Esta razão é conhecida como FATOR DE ESCALA.
Semelhança
Semelhança Geométrica Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem que ser semelhante como também a rugosidade das superfícies deve ser geometricamente semelhante;
Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser obtida de acordo com o fator de escala – problema de construção/de material/de acabamento das superfícies do modelo.
Semelhança
Semelhança Cinemática: Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato de linhas de corrente;
É a semelhança do movimento;
Exemplo de semelhança cinemática: PlanetárioPlanetário. O firmamento é reproduzido de acordo com um certo fator de escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e acelerações.
Semelhança
Semelhança Dinâmica
É a semelhança das forças;
Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa;
Semelhança Dinâmica
Origens das Forças que determinam o comportamento dos Fluidos: Forças devido à diferenças de Pressão; Forças resultantes da ação da viscosidade; Forças devido à tensão superficial; Forças elásticas; Forças de inércia; Forças devido à atração gravitacional.
Semelhança Dinâmica
Exemplos de estudos em modelos
Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos;
Escoamento em condutos;
Estruturas hidráulicas livres;
Resistência ao avanço de embarcações;
Máquinas hidráulicas;
Semelhança Dinâmica
Grupo Adimensional
Nome Razão das Forças representadas
Símbolo habitual
UL
Número de Reynolds
Força de InérciaForça Viscosa
Re
_U_
(Lg)1/2
Número de Froude
Força de InérciaForça da gravidade
Fr
U L 1/2
Número de Weber
Força de InérciaForça de Tensão Superficial
We
UC
Número de Mach
Força de InérciaForça Elástica
M
Grupos Adimensionais
São extremamente importantes na correlação de dados experimentais;
Em razão das múltiplas aplicações dos grupos adimensionais nos estudos de modelos e aplicações de semelhança dinâmica, vários grupos foram criados nas diversas áreas que compõem os Fenômenos de Transporte
Alguns dos mais importantes:Número de Reynolds;Número de Froude;Número de Euler;Número de Mach;Número de Weber;Número de Nusselt;Número de Prandtl;
Grupos Adimensionais
Grupos Adimensionais
Número de Reynolds: Relação entre Forças de Inércia e Forças
Viscosas;
Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;
VL
y Re
Grupos Adimensionais
Número de Froude: Relação entre Forças de Inércia e Peso
(forças de gravidade);
Aplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do fluido;
É útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e no projeto de navios;
gL
VFr
Grupos Adimensionais
Número de Euler: Relação entre Forças de Pressão e as
Forças de Inércia;
Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas hidráulicas e nos estudos aerodinâmicos
2V
pEu
Número de Mach: Relação entre Forças de Inércia e Forças
Elásticas;
É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia interna do fluido;
É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou superiores à do som;
Grupos Adimensionais
C
VMa
Número de Weber: Relação entre Forças de Inércia e Forças
de Tensão Superficial;
É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;
L
VWe
Grupos Adimensionais
Número de Nusselt: Relação entre fluxo de calor por convecção
e o fluxo de calor por condução no próprio fluido;
É um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmissão de calor por convecção
Grupos Adimensionais
K
hLNu
Número de Prandtl: Relação entre a difusão de quantidade de
movimento e difusão de quantidade de calor;
É outro grupo adimensional importante nos estudos de transmissão de calor por convecção;
Grupos Adimensionais
a
VPr