Semejanza de Trioangulos

7/27/2019 Semejanza de Trioangulos

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SEMEJANZA DETRINGULOSMATEMATICA RO

Que divertido esaprender SEMEJANZADE TRINGULOSMG VICTOR ALEGRE F

MG VICTOR ALEGRE F.
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MG VICTOR ALEGREF.


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SEMEJANZA

MG VICTOR ALEGRE F.


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Qu observas ? 10 cm5 cm

4 cm8 cm

MG VICTOR ALEGRE F.


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Descripcin: Dos figuras son semejantescuando tienen la misma forma, pero no

necesariamente el mismo tamao

La idea de la misma forma apareceen las ampliaciones o reducciones.

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Cmo expresamos matemticamente estaidea de la misma forma?

La respuesta es comparando el largo y elancho de ambas fotografas :Las razones entre el ancho y el largo de

cada foto son iguales; es decir:

las dos fotografas son:

IDENTICAS O SEMEJANTES

cm

cm

cm

cm

10

5

8

4

As es, ya que losproductos cruzados

son iguales10 x 4 = 8 x 5

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Dos figuras son semejantesporque:

1 Tienen la misma forma, porampliacin o por reduccin.

2Tienen diferente tamao,porque loslados de la figura mayor son una

ampliacin en forma proporcionalde los lados de la figura menor,mantenindose constante losngulos.

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Dos figuras son semejantes si sus

ngulos correspondientes son iguales

y sus lados correspondientesproporcionales.

Los elementos que se corresponden(puntos, segmentos, ngulos ) sellamanhomlogos.

Qu elementos determinan lasemejanza de las figuras?

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Tringulos semejantes

Dos tringulos son semejantes si susngulosson, respectivamente, igualesysus ladoshomlogos son

proporcionales.

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Dado un tringulo de lados 4m, 5m y 6m.

Multiplica cada uno de los lados por 3.

Los lados del tringulo se han triplicado.

4m

5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

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Identificamos algunos elementos :

RAZN DE SEMEJANZA : 3

LADOS HOMLOGOSABBCAC

PQQRPR

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Criterios de semejanza de tringulos

Existen algunos principios que nos

permiten determinar si dos tringulos son

semejantes sin necesidad de medir y

comparar todos sus lados y todos sus

ngulos.

Estos principios se conocen con el nombre

de criterios de semejanza de tringulos

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Existen tres criterios de

semejanza de tringulos

1. AA ( ngulo-ngulo)

2. LLL (lado-lado-lado)

3. LAL (lado-ngulo-lado)

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Primer criterio : AA

Dos tringulos que tienen los dosnguloscongruentes son semejantesentre s.

A

BC

A

B

C

aa

bb

gg

Es decir: Si a a , b b de lo anterior se deduce que g gEntonces, D ABC semejante con D ABCMG VICTOR ALEGRE F.


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Ejemplo

Son los siguientes tringulos semejantes?

SI!Por que al tener dos de

sus ngulos congruentes,

cumplen con el criterio AA

65 25

A

BC

Q

65

PR

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Segundo criterio: LLL

Dos tringulos que tienen los tres ladosproporcionalesson semejantesentre s.

A

BC

A

BC

aa

El cociente obtenido de

comparar los lados

homlogos entre s

recibe el nombre de

razn de semejanza.

Es decir:aa =

bb =

cc =K

b b

c

c

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Ejemplo :

Determine si los tringulos ABC y PQR son semejantes

Verifiquemos si las medidas de los

lados son proporcionales

1,53 = =

3,57

510

A

BC

1,5

3,5

5

P

Q

R

3

7

10Efectivamente , as es, ya que

los productos la razn entrelos lados correspondientes esconstante

Por lo tanto Tringulos ABC y PQR sonsemejantes por criterio LLL

= 0,5

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Tercer criterio:LAL

Dos tringulos que tienen dos ladosproporcionales y el ngulo comprendido entreellos es igual, son semejantesentre s.

A

BC

A

BC

Es decir:

aa

aa

=cc

cc

y a= a

a

a

Entonces D ABC semejante a DABCMG VICTOR ALEGRE F.


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Ejemplo :

Son los tringulos ABC y DEF semejantes?

Veamos si dos de sus lados

son proporcionales

39 =

4

12

Efectivamente as es,

ya que los productos

cruzados son iguales

3 12 = 4 9

Los ngulos formados por

estos dos lados son

congruentes?

Por criterio LAL Tringulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente, porque,

tal como se seala en el

dibujo, ambos son rectos

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

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En la figura, queremos medir la distancia que hay del paraderoaa (punto C) al colegio (punto B) , pero el ro Rmac nos

impide medir directamente ypara colmo no tenemos aparatopara medir ngulos. Cuntos metros hay desde el paradero alcolegio?

50 mA

45 m10 m

C

M N

B

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