SEMANTICA INTUICIONISTA

Joel Torres Del valle*

jtorresd1@unicartagena.edu.co

Universidad de Cartagena

Facultad de ciencias exactas y naturales

Programa de matmaticas

Enero del 2015

Nitimur in vetitumF. Nietzsche

Resumen

Este es un documento expositor sobre semantica intuicionista, presentamosen terminos generales la semantica de Kripke y la algebraica, ademas mostra-mos algunas de sus propiedades mas conocidas. Mostramos algunos ejemplosde proposiciones de la logica clasica que no se cumplen en el sistema de de-duccion natural. Mostramos al final del documento, una definicion alternativaa el concepto de modelo intuicionista de Kripke, que puede ser consultado porcompleto en [?]. Cabe decir que respecto a las demostraciones, se han obviadoalgunas para mantener el documento dentro de los lımites ideales, pero puedenconsultarse en [?] y [?]. Este documento fue preparado por el autor para charlanumero 1 del ano 2016 del cırculo de estudiantes de matematicas El Aleph.

Abstract

This is an exhibitor paper on intuitionistic semantics, we present in generalterms Kripke semantic and algebraic semantic, we also show some of his best-known properties. Some examples of statements of classical logic which are notvalid in the system of natural deduction. We show at the end of the document,an alternative to the concept of intuitionistic Kripke model definition thatcan be accessed completely in [?]. We didn’t include some proofs to keep thedocument within the ideal range, but they can be found in [?] and [?]. Thisdocument was prepared by the author for the first presentation of 2016 of themath students Circle The Aleph.

*Estudiante de pregrado en matematicas.

1

Motivacion

Informalmente hablando, un modelo de Kripke es un conjunto K, con un ordenparcial ≤ y una relacion |= entre sus elementos y formulas, de tal forma que se cumplelo siguiente: Si k ∈ K, y k |= α, entonces para todo k′ de K tal que k′ ≤ k, k′ |= α. Ensimbolos: k |= α y k ≤ k′, entonces k′ |= α. A los elementos de K se les conoce comoestados de conocimiento. Podemos ver varias cosas en esta instancia, por ejemplo,la formula ¬¬α→ α no es valida en la logica intuicionista, mientras que si lo es enla logica clasica. Para ver que no es valida, consideremos el modelo < {0, 1},≤, |=>con 0 ≤ 1 y donde |= solo relaciona al par (1, α). Es decir si consideramos a loselementos del universo como nodos, nuestro modelo es:

1• α

0•Debemos ver que en 0 se establece que ¬¬α pero no α. Ver que en 0 se establece

¬¬α es ver que para todo k ≥ 0, se establece ¬α. Pero, α se valida en 1, y paracada k ≥ 0 se establece ¬α Pero, ¬α no se establece en 1, de donde ¬¬α→ α no seestablece. Por tanto no es valida.

Preliminares

Usaremos una coleccion numerable de variables proposicionales p, q, r, s, ..., tresconectivos di-adicos→, ∨, ∧. En union a estas los parentesis izquierdo y derecho (,),que nos ayudan a el entendimiento de las formulas.

Formulas

El concepto de formula se define inductivamente como sigue: F1. Toda variableproposicional es una formula. F2. Si α es una formula, entonces tambien lo es ¬α.F3. Si α, β son formulas, entonces ası lo son α ∧ β, α ∨ β y α → β. F4. Solo lasexpresiones obtenidas por las reglas anteriores son formulas.

Llamaremos W al conjunto de todas las formulas, a menos que se indique locontrario. Bajo esta observacion F1 podrıa replantearse ası. Si p es una variableproposicional, entonces p ∈ W , F2 toma la forma α ∈ W implica ¬α ∈ W . F3.toma la forma si α, β ∈ W , entonces α ∨ β, α ∧ β, α → β ∈ W . Mientras que F4permanece igual. Notese ademas que esto ultimo es simple convencion y no poseemayor relevancia.

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Deduccion natural

En el sistema deductivo a tratar en este documento, una demostracion sera algosimilar a un arbol, cuyas hojas son hipotesis (vale resaltar que un numero finito dehipotesis es empleado) y en cuya raız se ubica una conclusion. Una deduccion de αse representa por:

...α

Esto indica que α es la conclusion de una deduccion. En una deduccion puedenincurrir formulas activas o canceladas, a saber, la formulas activas son las hipotesis,si β es una hipotesis en la deduccion de α, representamos este hecho por:

[β]...α

Por otra parte, si usando reglas de inferencia podemos pasar de a cancelar ocu-rrencias de β en la deduccion de α, introduciendo: ((→)). Representamos una deduc-cion de este tipo por:

[α]...β

α→ β

Segun esto, podemos a partir de una deduccion de α escoger una cantidad arbi-traria de ocurrencias de β y generar una nueva deduccion que tenga por conclusionα→ β. En esta las ocurrencias de β son canceladas.

Los axiomas y reglas de inferencia que se emplean son, (1) la introduccion de laconjuncion, (2) introduccion de la implicacion y (3), (4) para la introduccion de ladisjuncion.

...α

...β

α ∧ β

(1)

[α]...β

α→ β

3

(2)

...β

α ∨ β

(3)

...α

α ∨ β

(4)La eliminacion de la conjuncion (5), (6), la eliminacion de la implicacion (7), la

eliminacion de la disjuncion (8), y la eliminacion de ⊥ (9).

...α ∧ βα

(5)

...α ∧ ββ

(6)

...α→ β

...α

β

(7)

...α ∨ β

[α]...γ

[β]...γ

γ

(8)

4

...⊥β

(9)Las leyes de De morgan nos son duales en este sistema. En efecto, ¬(α ∧ β) ↔

¬α ∨ ¬β es un teorema. Pero no lo es el dual ¬α ∨ ¬β ↔ ¬(α ∧ β), en su lugar solose puede probar: ¬α∨¬β → ¬(α∧ β). El lector interesado puede consultar [?] paraobtener una prueba a este hecho.

Modelos Intuicionistas

Un modelo intuicionista proposicional (MIP) es una terna ordenada < M,≤, |=>, donde M es un conjunto no vacıo, ≤ es un orden parcial1 sobre M, y |=es una relacion entre los elementos de M y formulas, de forma que para cualquierx ∈M se satisfacen las siguientes propiedades:

MIP1. x |= α y x ≤ y, entonces y |= α. Con α atomica.MIP2. x |= (α ∧ β) syss x |= α y |= β.MIP3. x |= ¬α syss para todo y ∈M tal que x ≤ y se cumple que y 2 α.MIP4. x |= (a → β) syss para todo y ∈ M tal que x ≤ y, si y |= α, entonces

y |= β.

Sea α una formula, se dice que α es valida en el modelo < M,≤, |=> si paratodo x ∈ M, x |= α. Si α es valida en todo modelo, se dice que esta es valida. Estetipo de validez se conoce como validez de Kripke.

Propiedades de los modelos intuicionistas

Definimos el grado de una formula por la cantidad de conectivos que esta conten-ga. Ahora podemos observar algunas de las propiedades de los modelos intuicionistas.

Teorema 0.1 Sea M un conjunto no vacio, ≤ orden parcial sobre M. Supongamosque |= es una relacion entre los elementos de M y formulas atomicas2, entonces, |=puede ser extendido de una y solo una manera a una relacion tambien denotada por|= entre elementos de M y formulas, tal que <M,≤, |=> es un modelo.

Para la demostracion necesitamos un par de lemas que probamos a continuacion:

Lema 0.2 Sean <M,≤, |=> y <M,≤, |=′> modelos tales que para cada formulaatomica α y cualquier x ∈ M, x |= α si y solo si x |=′ α. Entonces, |= y |=′ sonidenticos.

1Una relacion reflexiva, transitiva y antisimetrica.2Variables proposicionales

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Demostracion 0.3 Debemos probar que para cualquier x ∈ M, x |= α ⇔ x |=′ α.Razonaremos por induccion sobre el grado de α. Ademas el resultados es cierto paraformulas atomicas3. Supongamos que α es ¬β y que el resultado es conocido paratoda formula de grado menor que α (en particular para β). Sea x ∈M tal que x |= αentonces:

x |= α ⇔ x |= ¬β⇔ (∀y x ≤ y)(y 2 β)

⇔ (∀y x ≤ y)(y 2′ β)

⇔ x |=′ ¬β⇔ x |=′ α

Ahora supongamos que α es β ∧ γ y, el resultado es conocido para toda formulade grado menor de α (en particular para β y γ. Sea x ∈M tal que x |= α entonces:

x |= α ⇔ x |= (β ∧ γ)

⇔ x |= β ∧ x |= γ

⇔ x |= β′ ∧ x |=′ γ

⇔ x |=′ (β ∧ γ)

⇔ x |=′ α

Ahora supongamos que α es β ∨ γ y que el resultado es conocido para todas lasformulas de grado menor que α (en particular para β y γ). Sea x ∈M tal que x |= α,entonces:

x |= α ⇔ x |= (β ∨ γ)

⇔ x |= β ∨ x |= γ

⇔ x |=′ β ∨ x |=′ γ

⇔ x |=′ (β ∨ γ)

⇔ x |=′ α

Por ultimo supongamos que α es β → γ y que el resultado es conocido para todaslas formulas de grado menor que α (en particular para β y γ). Sea x ∈ M tal quex |= α, entonces:

3Ver hipotesis

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x |= α ⇔ x |= (β → γ)

⇔ (∀y x ≤ y)(y |= β =⇒ y |= γ)

⇔ (∀y x ≤ y)(y |=′ β =⇒ y |=′ γ)

⇔ (∀y x ≤ y)(y |=′ (β → γ))

⇔ x |=′ (β → γ)

⇔ x |=′ α

Para el caso de que α sea β ↔ γ basta considerar lo que hemos hecho con loscasos de los conectivos ∧ y →. �

Lema 0.4 Sea M un conjunto no vacio, ≤ un orden parcial sobre M. Supongamosque |= es una relacion entre formulas atomicas y los elementos de M. Entonces|= puede ser extendido a un relacion |=′ entre elementos de M y formulas tal que<M,≤, |=′> es un modelo.

Demostracion 0.5 Basta definir |=′ adecuadamene apartir de |= y observaremosque <M,≤, |=> es un modelo. En efecto:

(1) Si x |= α entonces si x ≤ y se sigue que: y |=′ α.(2) Si x |=′ α y x |=′ β, entonces x |=′ (α ∧ β)(3) Si para todo y tal que x ≤ y, y 2 α, entonces: x |=′ α.(4) Si para todo y tal que x ≤ y, x |=′ α entonces y |= β. se sigue que: x |=′ (α→

β).Es claro que <M,≤, |=> es un modelo. �

Demostracion del teorema 3.1. Del lema 3.4 se sigue que |= puede ser extendiaa una relacion |=′ entre los elementos de M y formulas tal que <M,≤, |=′> es unmodelo. Del lema 3.2 se sigue la forma de extender a |= es unica. �

Modelos algebraicos

Un algebra p-seudo booleana (APB)es un par ordenado < B,≤>, donde B es unconjunto no vacio y ≤ un orden parcial en sobre B, de forma que para todos a, bBlas siguientes propiedades son satisfechas:

(1) El mayorante minimo (a ∪ b) esxite.(2) El minorante maximo (a ∩ b) existe.(3) El p-seudo complemento de relativo de a relativo a b, a( b define al x mas

grande en B tal que (a ∩ b) ≤ b.(4) Un elemento menor ∧ existe.Escribiremos −a en lugar de a( ∧ y ∨ en lugar de −∧. Estos signos no deben

ser confundidos con los conectivos diadicos que hemos tratado antes.

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Un homomorfismo de un conjunto W de formulas en un algebra p-seudo booleanaes una terna ordenada < h,W,B > donde h es una a plicacion de W en B, de talforma que las siguientes propiedades son satisfechas:

H1. h(α ∧ β) = h(α) ∩ h(β).H2. h(α ∨ β) = h(α) ∪ h(β).H3. h(¬α) = −h(α).H4. h(α→ β) = h(α)( h(β).Sea < B,≤> un algebra p-seudo boolena y h : W → B un homomorfismo.

Un modelo algebraico es una terna ordenada < B,≤, h > conocido como modeloalgebraico para el conjunto de formulas W . Sea <M,≤, h > un modelo algebraico,α una formula, α es llamada algebraicamente valida en < B,≤, h > si h(α) = ∨.Una formula se llama algebraicamente valida si lo es en todo modelo algebraico.

Equivalencia entre los modelos de Kripke y los modelos alge-braicos

Teorema 0.6 Una formula es valida (con validez de Kripke) si y solo si es algebrai-camente valida.

Una demostracion puede ser consultada en [1] aqui no la presentamos por ser muyextensa y requerir conocimientos que por principio no hemos supuesto en el lector(la audiencia en el caso de la presentacion). Sobre esta nos limitamos a comentarlo siguiente: Se desprende de suponer un modelo de Kripke < M,≤, |=> y definirun modelo algebraico < B,≤, h > tal que para cualquier formula α, h(α) = ∨ si ysolo si, para todo x ∈M, x |= α. Y reciprocamente suponer un modelo algebraico yllegar a un modelo de Kripke.

Comentarios finales

Una definicion de modelo proposicional intuicionista puede ser encontrada enmuchas formas. Por ejemplo, por aparte de la que presentamos a el comienzo deldocumento, en [?] un modelo es definido de la siguiente forma: Primero de defineuna estructura modelo, y en base a esta se define una asignacion que pasa a ser enmodelo.

Una estructura modelo (intuicionista) (EMI) es una terna ordenada < G,K,≤>donde K es un conjunto, G es un elemento de K y ≤ es un orden paricial sobre K.En base a esto definimos un modelos como se sigue.

Un Modelo intuicionista sobre una EMI < G,K,≤> es una funcion binariaφ(p,H), donde p varia sobre las letras proposicionales arbitrarias y H varia sobrelos elementos de K; cuyo rango es el conjunto {0, 1}, y a cual satisface las siguientescondiciones: Si φ(p,H) = 1 y H ≤ H ′ (con H, H ′ ∈ K), entonces φ(p,H ′) = 1.

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Sea φ(p,H) un modelo, definimos una valuacion φ(α,H) para una formula ar-bitraria q de el calculo proposicional por induccion sobre el numero de conectivosin α. En efecto: La valuacion φ se define como una terna ordenada < φ,W × K,{0, 1} >, donde φ es una aplicacion de W ×K en {0, 1}, W en el conjunto de todaslas formulas del calculo proposicional y K el conjunto de todos los mundos posibles(o estados de conocimiento). De forma que φ(α,H) esta estipulada para los valores1 o 0 para toda formula atomica α. Ahora, estipulamos que se debe cumplir:

(1) φ(α∧β,H) = 1 syss φ(α,H) = 1 y φ(β,H) = 1; en otro caso, φ(α∧β,H) = 0.(2) φ(α∨β,H) = 1 syss φ(α,H) = 1 o φ(β,H) = 1; en otro caso, φ(α∨β,H) = 0.(3) φ(α → β,H) = 1 syss para todo H ′ ∈ K tal que H ≤ H ′, φ(α,H ′) = 0 o

φ(β,H ′) = 1; en otro caso, φ(α→ β,H ′) = 0.(4) φ(¬α,H) = 1 syss para todo H ′ ∈ K tal que H ≤ H ′, φ(α,H ′) = 0; en otro

caso, φ(¬α,H) = 0Ahora podemos demostrar (por induccion) que: “Para todos H,H ′ ∈ K tal que

H ≤ H ′, si φ(α,H) = 1, entonces φ(α,H ′) = 1”.Demostracion Supongamos que α es ¬β y que el resultado es conocido para

toda formula de rango menor de α (en particular para β)y sea H ′ tal que H ≤ H ′,entonces:

φ(α,H) = 1 ⇔ φ(¬β,H) = 1

⇔ φ(β,H) = 0

⇔ φ(β,H ′) = 0

⇔ φ(¬β,H ′) = 1

⇔ φ(α,H ′) = 1

Ahora, si suponemos que α es β ∧ γ y que el resultado es conocido para todaslas formulas de grado menor que α (en particular β y γ) y sea H ′ tal que H ≤ H ′,entonces:

φ(α,H) = 1 ⇔ φ(β ∧ γ) = 1

⇔ φ(β,H) = 1 ∧ φ(γ,H) = 1

⇔ φ(β,H ′) = 1 ∧ φ(γ,H ′) = 1

⇔ φ(β ∧ γ,H ′) = 1

⇔ φ(α,H ′) = 1

Los casos en que α sea β ∨ γ, β → γ y, β ↔ γ son analogos. �

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Referencias

[1] Fitting, M. Intuitionistic logic, model theory and forcing. Studidies in logicand the foundations of mathematics. North Holland, Amsterdam, 1969.

[2] Kripke, S. Semantical Analysis of intuitionistic logic I in: Formal systemsand recursive funtions, Studies in logic and the foundations of mathematics.North Holland, Amsterdam, 1965, p 92-130.

[3] Gramaglia, H. Notas de Logica matematica. Universidad Nacional de Cor-doba, FAMAF.

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