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SEMANA 5
Resolvemos situaciones sobre sistemas de ecuaciones
DÍA 4
5. ° grado: Matemática
Los recursos que utilizaremos serán:
Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvemos problemas 5_día 4, páginas 33, 35, 36 y 38.
Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.
Estimadas(os) estudiantes iniciaremos el desarrollo de las actividades de las páginas 33, 35, 36 y 38 de tu
cuaderno de trabajo Resolvamos problemas 5 (disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma)
Situación 1 – Página 33
El director de una institución educativa organizó un proyecto de presentación teatral con sus estudiantes de quintogrado, con la finalidad de reunir fondos y terminar de construir el comedor estudiantil, por lo cual recibió el apoyode los padres de familia y el de la Municipalidad, que le brindó gratuitamente su anfiteatro.El costo de las entradas fue de 30 soles para los adultos y 20 soles para los niños. Si el sábado pasado asistieron 248personas y se reunieron 5930 soles, ¿cuántos adultos y cuántos niños, respectivamente, asistieron a esa función?
a) 151 adultos y 97 niños b) 124 adultos y 124 niños c) 97 adultos y 151 niños d) 69 adultos y 179 niños
Resolución
Cantidad de adultos: x Cantidad de niños: yCosto de la entrada por adulto: 30 soles Costo de la entrada por niño: 20 soles
El total de personas que asistieron el sábado fue:
x + y = 248
• Representamos los datos y las preguntas de la situación:
El total de dinero reunido fue:
30x + 20y = 5930
Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 248
30x + 20y = 5930
Multiplicamos por 30 la ecuación α:
30(x + y) = (248)30
30x + 30y = 7440
Restamos las ecuaciones µ y β:
α
β
µ
30x + 30y = 7440
30x + 20y = 5930
0 + 10y = 1510y = 151
Reemplazamos el valor de y en la ecuación α:
x + y = 248
x + 151 = 248
x = 97
Asistieron a la función 97 adultos y 151 niños.
Respuesta:
Clave c).
Por lo tanto, los adultos que asistieron son 97 y losniños asistentes son 151.
• Calculamos la cantidad de adultos y niños:
Situación 2 – Página 33Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda, en cada una de las siguientes proposiciones.I. Cuando dos rectas se cortan en un punto, es totalmente seguro que encontramos una solución al sistema de ecuaciones, al cual se
denomina sistema compatible determinado. ( )II. Cuando dos rectas son paralelas en un plano, se encuentran infinitas soluciones al sistema lineal, al cual se denomina sistema
indeterminado. ( )III. En un sistema de ecuaciones lineales, cuando hay más incógnitas que ecuaciones, existe más de una solución. ( )
a) V V V b) V F V c) F F F d) F V F
Resolución
• Recordamos sobre el sistema de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones
cbyax =+feydx =+
▪ Compatible
▪ Incompatible
▪ Determinado
▪ Indeterminado
(Sí hay solución)
(No hay solución)
(Única solución)
(Infinitas soluciones)
f
c
e
b
d
a==
• De los enunciados y el esquema podemos afirmar que:
I. (V)
II. (F)
III. (V)
VFVRespuesta:
Clave b).
L1
L2
Las rectas no se cortan, son paralelas.
L1L2
Las rectas se cortan en un punto.
L1
L2
Las rectas coinciden
e
b
d
a
f
c
e
b
d
a=
Situación 3 – Página 35
Un comerciante de algodones de azúcar gana 40 céntimos por cada algodón vendido, pero sino logra venderlo pierde 50 céntimos. Un día en que fabricó 120 algodones, obtuvo unaganancia de 39 soles. ¿Cuántos algodones no logró vender ese día?
a) 10 algodones b) 7 algodones c) 9 algodones d) 12 algodones
Resolución
x y
120 algodones fabricados
Cantidad de algodones vendidos
Cantidad de algodones no
vendidos
(0,40) x
(0,50) y
39 solesGanancia final
• Representamos los datos y las preguntas de la situación:
Ganancia por los algodones vendidos
Pérdida por los algodones no vendidos
La cantidad de algodones fabricados es:
x + y = 120
La ganancia final es:
(0,40)x – (0,50)y = 39
Sabemos que: 40 céntimos = S/ 0,40 y 50 céntimos = S/ 0,50.
Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 120
(0,40)x – (0,50)y = 39
Multiplicamos por (0,50) a la ecuación α:
(0,50)(x + y) = (120)(0,50)
(0,50)x + (0,50)y = 60
Sumamos las ecuaciones µ y β:
α
β
µ
(0,90)x + 0 = 99x = 110
Reemplazamos el valor de x en la ecuación α:
x + y = 120
110 + y = 120
y = 10
El comerciante no logró vender 10algodones.
Respuesta:(0,50)x + (0,50)y = 60
(0,40)x – (0,50)y = 39
Clave a).
Por lo tanto, la cantidad de algodones vendidos es de 110y la cantidad de algodones no vendidos es 10.
• Calculamos la cantidad de algodones no vendidos:
Situación 4 – Página 35
En el río Amazonas, un bote recorre 76 kilómetros en 1 hora con la corriente a su favor. De regreso, con lacorriente en contra, tarda 4 horas para recorrer la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad promedio de la corrientesabiendo que la distancia se calcula con d = v ∙ t? (d: distancia, v: velocidad y t: tiempo).
a) 47,5 km/h b) 28,5 km/h c) 57 km/h d) 19 km/h
Resolución
BoteV
horast 42=
kmd 76=
BoteV
horat 11=
kmd 76=
• Calculamos la distancia con la corriente a favor: • Calculamos la distancia con la corriente en contra:
Usamos :
Reemplazamos:
Usamos:
Reemplazamos:
VRío VRío
d = v ∙ tkm km
hora horas
d = v ∙ t76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 … (1) 76 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4 … (2)
La velocidad promedio de lacorriente es 28,5 km/h.
Respuesta:
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Igualamos la ecuación (1) y (2):
Reemplazamos la ecuación (3) en (1):
• Calculamos la velocidad promedio de la corriente:
Clave b).
76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 … (1)76 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4 … (2)
𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 = 4𝑉𝐵 − 4𝑉𝑅5 𝑉𝑅= 3 𝑉𝐵53𝑉𝑅 = 𝑉𝐵…(3)
76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 176 = 53𝑉𝑅 + 𝑉𝑅 ∙ 13(76) = 5𝑉𝑅 + 3𝑉𝑅
228 = 8𝑉𝑅2288 = 𝑉𝑅28,5 km/h = 𝑉𝑅
Situación 5 – Página 36
Sergio contrató dos camiones cuyas capacidades de carga son, respectivamente, 3 y 4 toneladas, los cualeshicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de varillas de hierro de construcción. Él necesita sabercuántos viajes realizó cada camión para adicionar los gastos por combustible.
Resolución
Realiza x viajes
3 toneladas
Logra transportar 3x toneladas.
4 toneladas
Realiza y viajes Logra transportar 4y toneladas.
El total de viajes realizados entrelos dos camiones es:
x + y = 23
El total de varillas de hierro transportado por los dos camiones es:
3x + 4y = 80
• Representamos los datos y las preguntas de la situación:
Capacidad del camión:
Capacidad del camión:
Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 23
3x + 4y = 80
Multiplicamos por 4 a la ecuación α:
4 (x + y) = (23) 4
4x + 4y = 92
Restamos las ecuaciones µ y β:
αβ
µ
4x + 4y = 92
3x + 4y = 80
x + 0 = 12x = 12
Reemplazamos el valor de x en la ecuación α:
x + y = 23
12 + y = 23
y = 11
El camión de 3 toneladas realizó 12viajes y el camión de 4 toneladas realizó11 viajes.
Respuesta:
Por lo tanto, el camión de tres toneladas realizó 12viajes y el de cuatro toneladas realizó 11 viajes.
• Calculamos la cantidad de viajes realizados por cada camión:
• Es decir, analiza si es que hubiera 1 empleado, luego analiza para 2 empleados, luego para 3, así sucesivamente hasta que
cumpla con los datos de la situación.
• Si no utilizas ecuaciones, una estrategia de solución sería particularizar, familiarizarte con el problema, de este modo observa el caso más sencillo y trata de llegar a la respuesta.
Situación 6 – Página 38
Un empresario textil de Gamarra desea distribuir un bono de productividad entre sus empleados por su buendesempeño en la semana. Haciendo cálculos, se percata de que si entregara a cada uno 800 soles, lesobrarían 200, y si les diera 900 soles, le faltarían 400. ¿Cuántos empleados hay en su fábrica? ¿Cuántodinero tiene para repartir? ¿Cómo resolverías el problema sin usar ecuaciones?
Resolución• Nos piden calcular el número de empleados y el dinero que
tiene el empresario para repartir.• Nos solicitan realizarlo sin ecuaciones.
Si el n.° de
empleados
fuera…
Dinero que
necesita el
empresario para
pagar un bono de
S/ 800
El dato que
le sobra es
S/ 200
Dinero que el
empresario tiene
para pagar a sus
empleados
Si el empresario
les diera a cada
empleado S/ 900
necesitaría …
Realizamos una
comparación entre
lo que tiene y lo que
necesitaría
Lo que le sobra o
falta al empresario si
quiere dar a cada
empleado 900 soles.
1 800(1) = 800 800 + 200 1000 900(1) = 900 1000 – 900 = 100 1000 – 900 = 100
Sobra 100 soles2 800(2) = 1600 1600 + 200 1800 900(2) = 1800 1800 – 1800 = 0 1800 – 1800 = 0
No sobra ni falta3 800(3) = 2400 2400 + 200 2600 900(3) = 2700 2600 – 2700 = –100 2600 – 2700 = –100
Faltaría 100 soles4 800(4) = 3200 3200 + 200 3400 900(4) = 3600 3400 – 3600 = –200 3400 – 3600 = –200
Faltaría 200 soles5 800(5) = 4000 4000 + 200 4200 900(5) = 4500 4200 – 4500 = –300 4200 – 4500 = –300
Faltaría 300 soles6 800(6) = 4800 4800 + 200 5000 900(6) = 5400 5000 – 5400 = –400 5000 – 5400 = –400
Faltaría 400 soles
El empresario tiene 6 empleados y5000 soles para repartir.
Respuesta:
Cumple con el dato de lainformación.
Gracias