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carlos-palacios
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Investigación de operaciones
Unidad VI
Redes
Introducción a redes
• Consideremos una ruta “R” que es un grafo(una red) dirigido (con dirección) que contieneuna secuencia de nodos (puntos en elespacio), que denominaremos con
y una secuencia de k-1 arcos(segmentos que unen los nodos).
knnn ,...,, 21
2k
Definiciones básicas
– Nodos: { i , j }
– Arcos: { ( i , j ) }
En este ejemplo, vemos que está el nodo “i” y el nodo “j”. Por
otra parte, tenemos que existe sólo un arco, que correspondeal arco ( i, j).
Para una ruta “R” diremos que: : es el conjunto de arcos en dirección de la ruta.
: es el conjunto de arcos que van en sentido contrario.
RR
Definiciones básicas
• Ciclo o circuito: es una ruta donde elnodo inicial y final es el mismo.
Un grafo queda definido de la siguiente forma:
ANG ,
Donde “N” es el numero de nodos y “A” el numero de arcos.
Flujos y Convergencia
• Dado un se define un set de flujo ovector de flujos como:
ANG ,
AjixX ij ,/
1. Se define divergencia del nodo “i” de lasiguiente forma:
(1) (2)
(1): suma de lo que sale del nodo “i”. Oferta del nodo “i”.(2): suma de lo que entra al nodo “i”. Demanda del nodo “i”.
NixxyiDj
ij
iOj
iji
Flujos y Convergencia
• En el caso anterior se pueden dar 3 opciones:
>0 --> nodo fuente o generador.
<0 --> nodo de demanda o de consumo.
=0 --> nodo de transferencia.
iy
iy
iy
Flujos y Convergencia
2. Restricciones de capacidad:
Donde:
: capacidad mínima del arco (i, j). Generalmente este valor es igual a cero.
: flujo del arco (i, j).
: capacidad máxima del arco (i, j).
Ajicxb ijijij ,
ijb
ijx
ijc
m
i
2
1
n
j
2
1
ijx
Tipos de problemas
1. Problemas de transporte
¿ ?
Este problema consiste endeterminar como distribuyo desdelas nuevas fuentes de origen a lasde destino.
Tipos de problemas
1. Problemas de transporte: costo de ir desde el origen “i” al destino “j”.ija
0,
,...,1
,...,1
.
,
1
1
,
ijji
j
m
i
ij
i
n
j
ij
ji
ijij
xnmi
njx
mix
as
Aji
xanmi
n
j
j
m
i
i
11
Consistencia:
Tipos de problemas
2. Problemas de flujo a mínimo costo
Determinar el mínimo costo al que se puede enviar un flujo“s” (conocido) por una red.
Determinar un vector de flujo, pero con el dato de que lotrasportado se conoce. En este caso, no se identifican nodosde oferta y de demanda como el de transporte.
Tipos de problemas
2. Problemas de flujo a mínimo costo
FIiyxx
as
xanmi
i
iDj
ij
iOj
ij
ijij
,...,
.
ijijij cxb
En este caso conocemos:
: costo de pasar flujo delnodo “i” al nodo “j”.
: cota mín.
: cota máx.
ijb
ijc
ija
Tipos de problemas
3. Problemas de rutas mínimas
1,0
1
),(0
1
.
ij
iDj
ij
iOj
ij
ijij
x
Fisi
Fsi
sisi
xx
as
xanmi
Algoritmos de solución
1. Problemas de transportePrimal Dual
De (*) podemos escribir una condición de holgura complementaria:
1. Si
2. Si
0
,...,1
,...,1
.
1
1
,
ij
jj
m
i
ij
ii
n
j
ij
ji
ijij
x
njx
mix
as
xanmi
signosenosirrestrict
a
as
xma
ji
ijji
i j
jjii
,
(*)
.
0 ijjiij xa
ija
0 ijij aox
0 ijij xoa
Algoritmos de solución
1. Problemas de transporte Ejemplo con Algoritmo Hitchcock
1) Encuentre una solución
factible.
2) Encuentre la solución
óptima.
Algoritmos de solución
1. Problemas de transporte Ejemplo con Algoritmo Hitchcock
Costo de la primera solución propuesta,mediante el método esquina noroeste, esde 1090.
Algoritmos de solución
1. Problemas de transporte Ejemplo con Algoritmo Hitchcock
¿Estamos en el óptimo?
Tenemos que:
Por lo tanto, sacamos los valores de u y v, en el análisis de las variables básicas:
Algoritmos de solución
1. Problemas de transporte Ejemplo con Algoritmo Hitchcock
Ahora debemos calcular los costos reducidos de las variables que se encuentranfuera de la base, es decir, de las variables no básicas. Si todos estos resultados me dan> o = a 0, significa que nos encontramos en el punto óptimo, ya que ninguna de lasvariables que se encuentran fuera de la base, disminuirían el costo de transporte si laingresáramos a la base.
Por lo tanto, no estamos en el óptimo, ya que existen candidatos a entrar a la base.
Algoritmos de solución
1. Problemas de transporte Ejemplo con Algoritmo Hitchcock
Los candidatos a entrar a la base, son aquellas variables que nos entregan costosreducidos menores a cero. Entrará la variable que tenga el valor más negativo.
Esto significa, que X31 entra a la base.
Para ver que variable sale de la base, debemos formar un circuito entre la que acabade entrar y las variables que ya eran básicas. Además, debemos calcular el valor de P.Con esto veremos que variable de las que estaban en la base y forman parte delcircuito se hace cero, por lo tanto, sale de la base.
66,40
nmianmi ijaij
Algoritmos de solución
1. Problemas de transporte Ejemplo con Algoritmo Hitchcock
Por lo tanto, X32 sale de labase, ya que se hace 0 alreemplazar los flujos con losvalores de .
1010,20 nmi
Algoritmos de solución
1. Problemas de transporte Ejemplo con Algoritmo Hitchcock
¿Estamos ahora en el óptimo?
Calculemos los costos reducidos de las variables no básicas
Algoritmos de solución
2. Problema de rutas mínimas
Ejemplo Algoritmos Djikstra:
Queremos resolver la pregunta: ¿Cuál es la menor distancia(costo o tiempo) que hay entre el nodo de origen y un nododistinto?
ij
ij
ij
t
d
a
Algoritmos de solución
2. Problema de rutas mínimas Consideremos la siguiente red:
El camino más corto para ir del nodo 1 al nodo “i” está dado por las etiquetas, esdecir, por los , ya que estos entregan el valor mínimo de ir del inicio hasta esenodo. Por ejemplo, para ir del nodo 1 al nodo 4, la mínima distancia es 7. ( )
i74
Algoritmos de solución
2. Problema de rutas mínimas ¿Cuál es la distancia mínima para ir del nodo 1 al nodo 6?i. En el algoritmo Djikstra tendremos 2 conjuntos de nodos:
1) T: conjunto de nodos marcados.
2) V: conjunto de nodos no marcados.
ii. Cada nodo tiene asociado una etiqueta, como vimos anteriormente. Donde
(j: iteraciones del algoritmo)
iii. Inicio del algoritmo.1) Conjunto “T” está constituido por el nodo de origen.
2) Todos menos el origen.
Adicionalmente decimos que: 1) distancia del origen al origen =0.
2) .
jii nmi *
1T
1 NV
01
0 ii
Algoritmos de solución
2. Problema de rutas mínimas ¿Cuál es la distancia mínima para ir del nodo 1 al nodo 6?
iv. Pasos del algoritmo: 1) En cada iteración un nodo ingresa a la lista “T”.
2) Sea “s” el nodo que entra en la lista “T” en la iteración “k-1”.
3) Para la iteración “k” debemos revisar las etiquetas de todos los nodos “j”.
Tenemos ahora calculados los , diremos que entra a la lista “T” si:
v. Terminamos cuando:
jdnmi sjsjj ,
Vjj p
Tpnmi jVj
p
V
NT
Algoritmos de solución
3. Problemas de flujo máximo El problema acá es determinar el máximo flujo que puede
circular por una red.
Algoritmos de solución
3. Problemas de flujo máximo Ejemplo
1) Encontrar caminos de aumento de flujo (del origen al destino).
2) Iniciar el proceso de búsqueda desde origen:i. Ver si existen arcos tal que cuando (i,j) va en dirección al camino.
ii. Ver si existen arcos tal que cuando (i,j) va en dirección contraria al camino.
ijijx
ijijx
Algoritmos de solución
3. Problemas de flujo máximo Ejemplo
3) El proceso de búsqueda del camino, termina cuando el nodo destino pertenece al camino. Podemos incrementar el flujo por ese camino en “ ”.
F = F+
Van a pasar 2 cosas: si ( i , j ) va en sentido del camino.
si ( i , j ) va en sentido contrario al camino.
4) Terminamos cuando no se puede unir por un camino de aumento de flujo, el origen con le destino.
ijijji
ijijji
xnmixnminmi ),(),(
,
ijij xx
ijij xx
Algoritmos de solución
4. Problemas mínimo costo Tengo un flujo que entra en una red y quiero moverlo, pero
al mínimo costo. Este flujo tiene cotas mínimas y máximas yse deben respetar.
• (C.I , C.U , C.S): (cota mínima, costo unitario, cota máxima).
• Existen 8 arcos en esta red, por lo tanto, hay 8 flujos que cuando tengan valores, será la solución factible inicial. (f12, f13, f14, f32, f34, f35, f25, f45)
• A parte de respetar las cotas, debe existir una conservación del flujo que circula por la red.
Algoritmos de solución
4. Problemas mínimo costo
Primero se debe elegir una solución inicial cualquiera, queconecte todos los nodos, sin necesariamente formar uncircuito. La cantidad de variables básicas debe ser = nodos – 1.
Luego se deben calcular los costos reducidos.
Si la variable es básica su costo reducido es = 0.
BBB cc
Algoritmos de solución
4. Problemas mínimo costo
Criterio de optimalidad Para toda variable, básica y no básica, excepto:
Variable no básica pegada en su cota mínima ( )
Criterio de entrada Entra a la base, la variable no básica que tiene el costo reducido más
negativo.
Criterio de salida Sale la variable que se pega a una de sus cotas.
0ijc
0ijc