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IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
LGEBRA OPCIN A
Hallar una matriz: de orden 2 tal que A-1XA = B siendo
=
dcba
X
=
=1211
1213
ByA
( )
( ) ( )
=
=
==
=
=
=
===+=
=
======
76119
3211
1425
3211
1211
1213
3211
3211
11
3211
112310123
1213
1
1
11
11111
ABAX
AAadj
AAadjA
AAA
ABAXABAXIABAXAAABXAABIXAABXAAA
t
tt
1
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN B
a) Probar que ( ) ( ) ( )bcacabcbacba =222
111
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) obadobcacabcbacba
abacacababacacabacab
acab
acacababacab
acabacab
acabacab
Pr111
11
100
111
222
22222222
=
+=++=++
=
=++
=
=
b) Hallar la solucin del sistema: que, adems, satisface que la suma de
valores correspondientes a cada una de las incgnitas es 4
=++=++
294032
zyxzyx
( )
( )
( )5,5.31,5.32543132
,31,3231622
03232032323223294
0642
+==+++
+==
=+++=++++==+
=++=
generalSolucinzyzy
zyzzyzzxzxzyx
zyx
Solucin pedida
2
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
GEOMETRA
OPCIN A Se considera la recta r y los planos 21 y siguientes:
022230232
42132
2
1
=++=+
=+==
zyx
zyx
zyx
r
a) Determinar la posicin relativa de los planos. b) Calcular la distancia de r a 2 . a) Los planos pueden ser paralelos, en este caso los vectores directores son proporcionales y si tienen un punto comn seria el mismo plano, o secantes
antesSon sec22
23
b) En este caso la recta tiene que ser paralela al plano siendo los vectores directores, de ambos, perpendiculares y su producto vectorial es nulo, de no serlo la distancia ser nula porque la recta cortar al plano o sindolo si la distancia es nula es que la recta est contenida en el plano.
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2
2
0123
111.2131,1,11,2,31,1,12,2,2
1,2,3
vvvv
vvv
v
rr
rr
=++=
++==
==
Al ser perpendiculares, los vectores directores de recta y plano, estos son paralelos La distancia ser la de un punto, cualquiera, de la recta al plano. Se toma el punto R indicado en la ecuacin de la recta
63
321
121
4448243
222
4.21.22.2322222
===++
++=
++
++== Rr dd
3
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN B a) Obtener los valores y para los cuales el vector de componentes ( )0,, tiene
mdulo 2 y es perpendicular a la recta
===
1
12
zyx
r
b) Estudiar si los vectores ( ) ( ) ( )1,1,0,1,1,0,2,1,3 === cba son linealmente independientes. c) Calcular el ngulo que forman dos rectas cuyos vectores direccionales son
cyb respectivamente. a)Al ser perpendiculares el producto escalar del vector pedido y el director de la recta r es nulo ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
vectormismoelesQuevvSoluciones
==
====
===
=+
=+=++
====
0,1,10,1,1
1111
1122
2220
00001,1,10,,
2
1
22
2222222
b) Si son linealmente dependientes sern coplanarios, el determinarte que forman es nulo, en caso contrario son independientes
( ) ( ) ( )( )
( ) laresperpendicuSonarccbcb
cbcb
c
ntesindependieelinealmentSon
===
==
+=
++++
=
=
==
2900cos,
020
22110
110110
1,1,01,1,0.,cos
)
0633110
110213
222222
4
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
ANLISIS
OPCIN A
1.-Sea ( ) ( )14
122
2
+
=xxxf
a) Calcular el mximo y mnimo absoluto de ( )xf b) Estudiar si es una funcin simtrica respeto al eje OY ( )xf
c) Calcular ( ) dxxfx
0
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
>+
>>>+
>>>
>
>+
+
>+
+=
+
++=
+
+=
+
+=
xx
xxx
xxxx
xxx
xfoCrecimiemtxxx
xxxxxxf
xxxxx
xxxxxxf
a
0142112012
2112012
04
01412124
0'1412124
142414124'
1412214124
1412814.2.12.2'
)
22
22
2222
22
22
2
22
22
21
21
4 (+) (+) (+)
21
>x () () (+)
21
>x () (+) (+)
( ) 014 22 >+x (+) (+) (+)Resultadooperacin (+)
f(x)>0()
f(x)0
Crecimiento
>
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN A(Continuacin) Continuacin del Problema 1 de Anlisis Opcin A
Mnimo relativo en ( ) 02
0
1214
1212
21
21 2
2
2
==
+
=
= fx (la grfica, de la funcin,
pasa de decrecimiento a crecimiento)
====+41
4114014 222 xxxx No existen asntotas
verticales No habiendo asntotas verticales, hay que estudiar la funcin en los extremos de los intervalos de su dominio, en este caso infinito positivo y negativo. Si no hay asntotas horizontales entonces la grafica terminara en el infinito positivo, si las hay estudiaremos si su valor como funcin es mayor o menor(en es caso seria este el valor pedido) que el de la funcin en los mximos y mnimos hallados, en caso contrario estos son los valores absolutos buscados
( ) 104
00414
144lim
14
144
lim14
144lim14
12lim
2
2
22
2
222
2
2
2
2
2
=++
=+
+=
+
+=
=++
=+
=
x
xx
xxx
xxx
xx
xxx
xxy
xxxx
Cuando f(x) tiende a infinito la funcin tiende a 1 (asntota horizontal)
104
00414
144lim
14
144
lim14
144lim14
144lim
2
2
22
2
222
2
2
2
2
2
=+++
=+
++=
+
++=
=+++
=++
=
x
xx
xxx
xxx
xx
xxx
xxxy
xxxx
Cuando f(x) tiende a menos infinito la funcin tiende a 1 (asntota horizontal)
Como 22110
21
=
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN A(Continuacin)
2.-a) Razonar si para ( ) 402
2
x
dttxF
x
= se satisface ( ) ( )xFxF
xx'limlim
00 =
b) Calcular 23414lim 22 ++
xxxx
[ ] ( )[ ] ( ) ( )( )
( )
( )
====
===
=
==
====
030
30.2
32lim'lim
03
031limlim
32'
31
313
1
310
31
31
)
00
22
00
2
24
6
63320
3
0
22
2
xxF
xxF
xxF
xxFx
x
xxFxxtdtt
a
xx
xx
xx
( )( )( )
43
423
0040403
23414
13lim
23414
13
lim
2341413lim
2341423414lim
2341423414lim
234142341423414lim23414lim
)
22222
2
22
2
2222
22
22
22
22
222222
==+++
=
+++
=
+++
=
=
=+++
=
+++
++=
+++
++=
=+++
+++++==++
xxx
x
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxxxxx
b
xx
xxx
xx
7
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN B
( )1.- Sea 1
2+
=x
xxf
a) Estudiar su dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asntotas b) Calcular ( ) ( )[ ]{ }xfxfx
x+
1lim 2
( ) ( )( ) ( )
( ) { }
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
oblcuasasntotasexistenNo
xxxxx
xx
xxx
xx
x
xxfm
xxxxx
xx
xxx
xx
x
xxfm
oblicuasAsntotas
xyhorizontalAsntotaxx
xx
xx
xx
xx
xxy
xyhorizontalAsntotaxxx
xxx
xxy
eshorizontalAsntotas
xf
xfxEn
verticalesAsntotas
xoCrecimientxx
xx
xfoCrecimientxx
xxxf
xfDom
tardemsestudiadaverticalAsntotafxx
a
xxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxx
x
x
021
2lim1.12lim
1
2
lim12lim1
2
limlim
021
2lim1.1
2lim1
2
lim1
2lim12
limlim
2
212
102
112lim
1
2
lim1
.2lim1
.2lim1
2lim
2
201
211
2lim1
2
lim1
2lim
02lim02lim
1
0102
01
20'1
21
12'
102
111.21101
)
1
1
2222
=
=
=
=
=
=
=
+
==
=
=+
=+
=+
=
=+
=+==
=
=
=
=
=
=
=
=+
=
+=
=
=+
=+
=+
=
=+
=
==
===
>+>
>+
>+
=++
=
=
=+
===+
+
+
8
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN B(Continuacin) Continuacin del Problema 1 de Anlisis
( ) ( )[ ]{ } ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2001
2231
2lim23
2
lim23
2lim
2312lim
232122lim
212212lim
12
212lim
12
1112lim1lim
)
2222
2
2
2
2
2
22
2
222
22
222
=++
=++
=++
=
=++
=
=
++=
++
++=
++++
=
=
+
++
=
+
++
+=+
xxxxx
xx
xx
xxx
xxx
xxxxxxx
xxxxxx
xx
xxx
xx
xxxxfxfx
b
xxx
xxx
xxx
2.- Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista, en el tema, seala que, dada la estructura de la empresa, solo puede optar por alarmas de dos tipos, A o B; adems afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la dcima parte del producto entre el nmero de alarma de tipo A y el cuadrado del nmero de alarmas de tipo B. Estudiar cuantas alarmas de cada tipo debe de instalar en la empresa para maximizar la seguridad.
.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
======
===
==
===
===
==+
MximoS
MnimoSBBB
dBSdS
BBB
BBS
BBBBdBdSSBBBBBAS
BABA
05963
536''
05903
530''
3533
106618
101''
6060
060'
6103318
101'9
1019
101
101
99
2
2
23222
A = 9 6 = 3 Para que la seguridad sea mxima habr que instalar 3 alarmas de tipo A y 6 de tipo B
9
ANDALUCA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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OPCIN A
Ejercicio 1
a) Dibuja el recinto limitado por las curvas 2+= xey , xey = y x = 0. (1 punto)b) Halla el rea del recinto considerado en el apartado anterior. (1,5 puntos)
Ejercicio 2
Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La alturaen metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por:
tetth 2555)( =a) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura mxima y el valor de esta.
(1,5 puntos)b) Teniendo en cuenta que la velocidad es )()( thtv = , halla la velocidad al cabo de 2
segundos. (1 punto)
Ejercicio 3
Determina la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A = (1, 6) y B =(5, 2), y tiene su centro sobre la recta y = 2x. (2,5 puntos)
Ejercicio 4
Dada la matriz
=
43
21A , calcula (AtA1)2A. (2,5 puntos)
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SOLUCIONES:
OPCIN A
Ejercicio 1.
a) El recinto pedido es el sombreado en la siguiente figura.
b) Corte de las curvas:
xx ee + =2 x = 1
El rea viene dada por:
A =
+ +0
1
12 dxedxe xx
La primera integral es impropia:
( ) eeeedxedxe ccc
x
cc
x
c
x ==== +
+
+
+ )(lmlmlm 212
12
12
La segunda integral vale:
( ) eedxe xx +==
10
1
0
1
Por tanto:
A = 2e 1
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Ejercicio 2.
a) tetth 2555)( = teth 2105)( += teth 220)( =
teth 2105)( += = 0 22ln
21
ln21
==t 0,3466
Como h (0,3466) < 0, para ese valor se da el mximo.
La altura mxima es h(0,3466) = 0,767 m.
(NOTA: resultan valores muy pequeos)
b) tethtv 2105)()( +== 4105)2( += ev = 4,81 m/s (?)
NOTA: Este resultado no es posible. Algn dato del problema es incorrecto. (Quiz nuestratranscripcin?)
Ejercicio 3.
Si P = (x, 2x) es el centro de la circunferencia se cumple que:
d(P, A) = d(P; B) 2222 )22()5()26()1( xxxx +=+
8 = 8x x = 1
La ordenada del centro es y = 2x = 2. El radio = d(P, A) = 4.
La ecuacin de la circunferencia es:
222 4)2()1( =+ yx
Ejercicio 4.
2=A .
La matriz de los adjuntos es: ( )
=
12
34ijA
Luego:
ANDALUCA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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=
=
2/12/3
12
13
24
211A
=
=
02
2/12/5
2/12/3
12
42
311AAt
( )
=
=
15
4/54/21
02
2/12/5
02
2/12/521AA t
( )
=
=
62
2/114/6
43
21
15
4/54/2121 AAAt
ANDALUCA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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OPCIN A
Ejercicio 1
Sea f: R R la funcin dada por 28)( xxf = .
a) [1 punto] Esboza la grfica y halla los extremos relativos de f (dnde se alcanzany cules son sus respectivos valores).
b) [1,5 puntos] Calcula los puntos de corte de la grfica de f con la recta tangente a lamisma en el punto de abscisa x = 2.
Ejercicio 2
Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la funcin f: (0, + ) R,definida por )()( xxLnxf = . Calcula:
a) [1,5 puntos] dxxf )( .b) [1 punto] Una primitiva de f cuya grfica pase por el punto (1, 0).
Ejercicio 3
Sea
+
1coscos
0cos
0cos
xsenxxsenxsenxx
xsenx
Para qu valores de x existe la matriz inversa de A? Calcula dicha matriz inversa.
Ejercicio 4
Halla la ecuacin del plano que pasa por el punto A(1, 0, 1), es perpendicular al
plano x y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta
=
=
0
02
zyx
ANDALUCA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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Solucin
Ejercicio 1
a) 28)( xxf = =
>
ANDALUCA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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Se tendrn los puntos: )6820 ,622( y )6820 ,622( ++ .
Adems, otro punto de corte es el de tangencia: (2, 4). (Vase la figura anterior.)Ejercicio 2
a) dxxf )( = xdxx ln .
La haremos por partes:
u = x lnx du = (lnx +1)dxdv = dx v = x
Luego,
xdxx ln = + dxxxxxx )ln(ln2 2 xdxx ln = cxxx +2
ln2
2
De donde, xdxx ln = kxxx +4
ln21 22
b) Para que esa primitiva pase por (1, 0):
041
=+ k 41
=k
Ejercicio 3
Si A es la matriz dada, 1cos 22 =+= xxsenA . Tiene inversa para cualquier valor de x.
La matriz de los adjuntos es: ( )
=
100
1cos
1cos
senxxxsenx
Aij .
Luego,
ANDALUCA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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==
111
0cos
0cos)(1 senxx
xsenx
AA
At
ij
Ejercicio 4
Las ecuaciones paramtricas de la recta dada son:
=
=
=
0
2
:
ztytx
r
El plano pedido est determinado por el punto A = (1, 0, 1) y por los vectores
vr
= (1, 1, 2) y rvr
= (2, 1, 0).
Su ecuacin ser:
0
021
11
211
=
+
zy
x 2x + 4y + 3z + 5 = 0.
ANDALUCA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o
bien realizar nicamente los cuatro ejercicios d la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta e forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero
todos los procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.
OPCIN A Ejercicio 1
Considera la funcin f: R R definida por 122)( += x
x
exf a) [1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de f . b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los
extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor mximo que alcanzan). Ejercicio 2 [2,5 puntos] Determina un polinomio P(x) de segundo grado sabiendo que:
P(0) = P(2) = 1 y 31
)(2
0= dxxP .
Ejercicio 3 [2,5 puntos] Determina una matriz A simtrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:
det (A) = 7 y
=
31
124
31
62A
Ejercicio 4 [2,5 puntos] Calcula la ecuacin de una recta que pasa por el punto de interseccin
del plano x + y z + 6 = 0 con la recta 123
+== zyxs y es paralelo a la
recta
=+
=+
0134
043
zyxyx
r
ANDALUCA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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OPCIN B Ejercicio 1
Sea f la funcin definida por xx
xxf239
)(2
= para x 0 y x 2.
a) [1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de f . b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Ejercicio 2 [2,5 puntos] Sea f: R R la funcin definida por xxexf =)( . Esboza el recinto limitado por la curva )(xfy = , los ejes coordenados y la recta x = 1. Calcula su rea. Ejercicio 3 [2,5 puntos] Determina la matriz X que verifica la ecuacin AX = X B siendo
=
001
000
100
A y
=
110
110
101
B
Ejercicio 4 [2,5 puntos] Calcula el rea del tringulo de vrtices: A(1, 1, 2), B(1, 0, 1) y C(1, 3, 2) Soluciones a la Opcin A Ejercicio 1 a) La funcin est definida en todo R. En consecuencia, f no tiene asntotas verticales. Asntotas horizontales:
10122
==++
eelm xx
x; 101
22
==+
eelm xx
x
ANDALUCA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO
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La recta y = 1 es una asntota horizontal. b) Hacemos la derivada:
1
2
22
22
)1(22
)( ++
= x
x
ex
xxf f (x) = 0 si x = 1 o x = 1
si x < 1, f (x) < 0 f es decreciente si 1 < x < 1, f (x) > 0 f es creciente en x = 1 hay un mnimo. si x > 1, f (x) < 0 f es decreciente en x = 1 hay un mximo.
Para x = 1. 1)1( = ef Mnimo: (1, e1). Para x = 1. 1)1( ef = Mximo: (1, e) Ejercicio 2 Sea cbxaxxP ++= 2)( Por P(0) = 1 1 = c Por P(2) = 1 1 = 4a + 2b + c c = 1; b = 2a Luego: 12)( 2 += axaxxP Como
31
)(2
0= dxxP 3
13
)12(2
0
232
0
2 =
+=+ xaxx
adxaxax
31
243
8=+ aa
45
=a 25
=b
Por tanto, 125
45
)( 2 += xxxP
Ejercicio 3
Sea A la matriz simtrica:
=
cbba
A . Con esto:
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72 == baccbba
=
31
124
31
62
cbba
=
31
124
362
362
cbcbbaba
Se tiene:
=
=
=
7
12
42
2baccb
ba
=
=
+=
7
12
2/2
2bacbc
ba 7)12)(2/2( 2 =+ bbb
De donde: b = 2; a = 1, c = 3. La matriz pedida es:
=
32
21A
Ejercicio 4
Las ecuaciones paramtricas de la recta s son:
+=
+=
=
tzty
txs
1
2
3
Sustituyendo en la ecuacin del plano: 3t + (2 + t) (1 + t) + 6 = 0 3t + 9 = 0 t = 3 La recta y el plano se cortan en P = (9, 1, 4). Hallamos las ecuaciones paramtricas de r:
=+
=+
0134
043
zyxyx
r
=
=
=
tzty
txr
1313
34
La recta pedida es la que pasa por P con vector de direccin rv
r = (1, 3, 13). Sus
ecuaciones son:
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=
=
+=
tztytx
134
31
9
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ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o bien
realizar nicamente los cuatro ejercicios d la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos los
procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.
OPCIN A
Ejercicio 1 [2,5 puntos] Sea )1ln( 2x el logaritmo neperiano de 21 x y sea f: (1, 1) R la funcin definida por )1ln()( 2xxf = . Calcula la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 2 [2,5 puntos] Se sabe que la funcin f: R R definida por cbxaxxxf +++= 23)( tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su grfica tiene un punto
de inflexin en el punto de abscisa x = 1. Conociendo adems que 6)(1
0= dxxf ,
halla a, b y c. Ejercicio 3 Considera los vectores: ur = (1, 1, 1), vr = (2, 2, a) y wr = (2, 0, 0). a) [1,25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores ur , vr y wr son
linealmente independientes. b) [1,25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores ur +vr y ur wr
son ortogonales. Ejercicio 4
[2,5 puntos] Sabiendo que las rectas zyxr == y
=
+=
+=
zyx
s 31
se cruzan, halla
los puntos A y B, de r y s, respectivamente, que estn a mnima distancia.
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OPCIN B
Ejercicio 1 Dadas la parbola de ecuacin 21 xy += y la recta de ecuacin xy += 1 , se pide: a) [1,5 puntos] rea de la regin limitada por la recta y la parbola. b) [1 punto] Ecuacin de la recta paralela a la dada que es tangente a la parbola. Ejercicio 2 Considera la funcin f: R R definida por xexxf += )3()( . a) [0,5 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f. b) [1,5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexin de su
grfica. c) [0,5 puntos] Esboza la grfica de f. Ejercicio 3 Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) [0,5 puntos] El determinante de A3. b) [0,5 puntos] El determinante de A1. c) [0,5 puntos] El determinante de 2A. d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera,
segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 C3, 2C3 y C2. Ejercicio 4
[2,5 puntos] Determina el punto P de la recta 31
12
1 zyxr =+= que equidista de
los planos 031 =+++ zyx y
=
+=
+=
6
3
2
zyx
Soluciones de la Opcin A Ejercicio 1
Hay que hallar = dxxxF )1ln()( 2 . Esta integral puede hacerse por partes. Tomamos:
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)1ln( 2xu = dxxxdu21
2+
=
dvdx = xv =
Luego, = dxxxF )1ln()( 2 = + dxxxxx
2
22
12
)1ln(
La segunda integral se hace por descomposicin en fracciones simples, pues
xB
xA
xxx
xx
++
+=
+=
+
= 11
21
22
1222
12
22
2
2
2
En consecuencia:
xB
xA
x ++
=
1112
2=
21)1()1(
xxBxA
++
)1()1(2 xBxA ++=
si x = 1: 2 = 2A A = 1
si x = 1: 2 = 2B B = 1
Por tanto:
dxxx
2
2
12
= +++=
+ dx
xdx
xdxdx
x 11
11
)2(1
22 2 =
= cxxx +++ )1ln()1ln(2 Luego
= dxxxF )1ln()( 2 = cxxxxx +++ )1ln()1ln(2)1ln( 2 Para que pase por el punto (0, 1) debe cumplirse que F(0) = 1, y por tanto: 11ln1ln01ln0)0( =++= cF c = 1. La primitiva pedida es: 1)1ln()1ln(2)1ln()( 2 +++= xxxxxxF Ejercicio 2
cbxaxxxf +++= 23)( baxxxf ++= 23)( 2 axxf 26)( += Por tener un extremo relativo en x = 0 f (0) = 0 b = 0
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Por tener un punto de inflexin en x = 1 f(1) = 0 6 + 2a = 0 a = 3 Luego, de momento, cxxxf ++= 23 3)(
Por 6)(1
0= dxxf 614
14
)3(1
0
341
0
23 =++=
++=++ ccxx
xdxcxx 4
19=c
En consecuencia,
4
193)( 23 ++= xxxf
Ejercicio 3 a) Los vectores sern linealmente independientes si el rango{ur , vr , wr } = 3. Para ello, el determinante asociado debe ser distinto de cero.
042
002
22
111
= aa a 2
b) ur +vr = (3, 3, 1 + a); ur wr = (1, 1, 1). Estos vectores son ortogonales cuando su producto escalar vale 0.
(ur +vr ) (ur wr ) = 0 (3, 3, 1 + a) (1, 1, 1) = 1 + a = 0 a = 1 Ejercicio 4 La mnima distancia viene dada por el mdulo del vector AB, siendo AB ortogonal comn a los vectores de direccin de r y s.
Las ecuaciones paramtricas de la recta r son:
=
=
=
tztytx
r
Sean A y B dos puntos genricos de r y s, respectivamente. Sus coordenadas sern: A = (t, t, t); B = (1 + , 3 + , ) El vector AB = (1 + t, 3 + t, t).
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Este vector debe ser perpendicular a rvr
= (1, 1, 1) y a svr
= (1, 1, 1). En consecuencia:
AB rv
r = 0 (1 + t, 3 + t, t) (1, 1, 1) = 0 4 + 3t = 0
AB sv
r = 0 (1 + t, 3 + t, t) (1, 1, 1) = 0 4 + 3 t = 0
Resolviendo el sistema:
=+
=+
034
034
tt
t = 1 y = 1
Luego, A = (1, 1, 1) y B = (0, 2, 1)
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EXAMEN COMPLETO ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o
bien realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos
los procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.
OPCIN A
Ejercicio 1
De la funcin f: (1, ) R se sabe que 2)1(3)(+
=x
xf y que f(2) = 0.
a) [1,25 puntos] Determina f. b) [1,25 puntos] Halla la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 2 Considera la funcin f: R R definida por )2)(1)(1()( += xxxxf . a) [1 punto] Halla la ecuacin de las rectas tangente y normal a la grfica de f en el
punto de abscisa x = 1. b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.
Tiene puntos de inflexin la grfica de f? Ejercicio 3 Considera este sistema de ecuaciones:
==
121
mmyxymx
a) [1,5 puntos] Clasifica el sistema segn los valores de m. b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solucin en
la que x = 3. Ejercicio 4 Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(1, 4, 3). a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos estn en el mismo plano. Halla la
ecuacin de dicho plano. b) [0.75 puntos] Demuestra que el polgono de vrtices consecutivos ABCD es
rectngulo. c) [0,75 puntos] Calcula el rea de dicho rectngulo.
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OPCIN B
Ejercicio 1 Se sabe que la funcin f: (1, +) R definida por:
+
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b) Una primitiva de f es:
kxxdxx
xF +++=
+
+
= )1ln(3113)(
Si pasa por (0, 1), F(0) = 1: 10)10ln(3)0( =+++= kF k = 1 Por tanto, 1)1ln(3)( +++= xxxF
Ejercicio 2 a) Operando, obtenemos:
22)( 23 += xxxxf La ecuacin de la recta tangente a f(x) en el punto (a, f(a)) es: ))(()( axafafy =
La ecuacin de la normal es: )()(
1)( axaf
afy =
Como 143)( 2 = xxxf , se tiene que f (1) = 2; mientras que f(1) = 0. Por tanto: Tangente: )1(2 = xy y = 2x + 2
Normal: )1(21
= xy
b) La derivada segunda es: 46)( = xxf . Esta derivada se anula en x = 2/3. Como f(x) = 6 0, en x = 2/3 hay un punto de inflexin. Adems, como: si x < 2/3, f(x) < 0 f(x) es cncava () si x > 2/3, f(x) > 0 f(x) es convexa () Ejercicio 3 a) Estudiamos los rangos de la matriz de coeficientes (A) y de la matriz ampliada (M).
Mmm
mA =
=
121
11
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El determinante de A, 11
1 2 +=
= mm
mA
Este determinante vale 0 si m = 1 o m = 1 Con esto: Si m 1, 1 r(A) = 2 = r(M). El sistema ser compatible determinado. Si m = 1 se tiene:
MA =
=
31
1111
El rango de A, r(A) = 1; mientras que r(M) = 2. En consecuencia, el sistema ser incompatible. Si m = 1 se tiene:
MA =
=11
1111
Como las dos filas de la matriz son iguales r(A) = r(M) = 1. El sistema ser compatible indeterminado. b) Si x = 3, se tendr:
==
5313
myym
==
5313
mymy
12)13(3 = mmm
043 2 =+ mm m = 4/3; m = 1
Para m = 4/3, el sistema tiene por solucin:
==
53
yx
. En este caso, al ser el sistema
compatible determinado, la solucin es nica.
Para m = 1, el sistema tiene por solucin:
==
23
yx
. En este caso, al ser el sistema
compatible indeterminado, la solucin es una de las infinitas posibles. Ejercicio 4 a) Los cuatro puntos pertenecern al mismo plano si los vectores AB, AC y AD son
linealmente dependientes. Estos vectores son: AB = (2, 3, 1) (1, 2, 1) = (1, 1, 0)
AC = (2, 3, 1) (1, 2, 1) = (1, 3, 2)
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AD = (1, 4, 3) (1, 2, 1) = (2, 2, 2) Como
0222231011=
los vectores, efectivamente, son linealmente dependientes. b) El cuadriltero ser rectngulo si los vectores AB y BC, y AB y AD son ortogonales. Como: AB = (1, 1, 0), BC = (2, 2, 2) y AD = (2, 2, 2) se tiene: AB BC = AB AD = (1, 1, 0) (2, 2, 2) = 0 Por tanto, se trata de un rectngulo. c) Al tratarse de un rectngulo, su superficie se halla multiplicando su base por su
altura. La base puede ser el mdulo de AB; la altura, el mdulo de AD.
211 =+=AB ; 12444 =++=AD Por tanto,
S = 24122 ==ADAB NOTA: La superficie tambin podra hallarse mediante el producto vectorial:
ADABS =
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EXAMEN COMPLETO
ACLARACIONES PREVIAS
a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la Opcin A o bien
realizar nicamente los cuatro ejercicios de la Opcin B.
c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos los
procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.
OPCIN A
Ejercicio 1. [2,5 puntos] Determina un punto de la curva 2xxey en el que la pendiente
de la recta tangente sea mxima.
Ejercicio 2. Sea 2
0 2
3
1dx
x
xI
a) [1,25 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable 21 xt
b) [1,25 puntos] Calcula el valor de I.
Ejercicio 3. Considera a
aA
0
1, siendo a un nmero real.
a) [1 punto] Calcula el valor de 200
1122 AA .
b) [1 punto] Calcula en funcin de a, los determinantes de A2 y tA , siendo tA la traspuesta de A.
c) [0,5 puntos] Existe algn valor de a para el que la matriz A sea simtrica? Razona la respuesta.
Ejercicio 4. Considera el plano de ecuacin 2x + y z + 2 = 0 y la recta r de ecuacin
a) [1 punto] Halla la posicin relativa de r y segn los valores del parmetro m
b) [0,75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano
c) [0,75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano
m
zy
x 6
2
5
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OPCIN B
Ejercicio 1. Sea f la funcin definida por x
xxf
3)(
4
, para x 0.
a) [0,75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte de los ejes y las asntotas de la grfica de f
b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f
c) [0,5 puntos] Esboza la grfica de f
Ejercicio 2. [2,5 puntos] El rea del recinto limitado por las curvas de ecuaciones a
xy
2
e axy , con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a.
Ejercicio 3. [2,5 puntos] Resuelve
2
0
5
3
2
2
111
211
502
z
y
x
Ejercicio 4. Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones 012
03
zx
zyx
a) [1 punto] Halla la ecuacin del plano que contiene al punto P y a la recta r
b) [1,5 puntos] Determina las coordenadas de l punto Q simtrico de P respecto de
la recta r
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SOLUCIN
OPCIN A
EJERCICIO 1
La pendiente de la tangente es mxima en las soluciones de 0y (que son los puntos de
inflexin) y que, adems, verifican que 0y .
Haciendo las derivadas se tiene:
2xxey
222
)21()2( 2 xxx exexxey
222
)46()2)(21()4( 32 xxx exxexxexy
222
)8246()2)(46()126( 4232 xxx exxexxxexy
0)46(23 xexxy )23(246
23 xxxx x = 0; 2
3x
6)0(y ; 0)18366()2/3(2/3ey
El punto buscado es (0, 0).
EJERCICIO 2
a) Si 21 xt xdxdt 2
Adems, de 21 xt 12 tx . Por tanto:
para x = 2 se tendr: 122 t t = 5
para x = 0 se tendr: 10 t t = 1
Sustituyendo:
2
0 2
3
1dx
x
xI =
2
0 2
2
1dx
x
xx =
5
1
2
1)1(
t
dtt
= 5
1
1
2
1dt
t
t
b) Operando:
2/1
1
2/3
1
2/1
5
2/3
5
2
1
2/12/32
1)(
2
1 2/12/32/12/35
1
2/12/35
1
2/12/1 ttdttt =
= 3
2522
3
252
3
510
2
1
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EJERCICIO 3
a) 200
1122 AA
200
112)( IAA
200
112
10
11
0
1
a
a
a
a
200
112
0
12
2
aa
aa
20
122
2
aa
aa
5;4
3;4
aa
aa
La nica solucin comn es a = 4.
b) 24
20
222 a
a
aA 2
1
0a
a
aAt
c) Es evidente que no, pues a
a
a
aA
1
0
0
1 para cualquier valor de a
EJERCICIO 4
a) Estudiamos el ngulo de los vectores v
= (2, 1, 1), normal al plano y el de
direccin de la recta, rv
= ( 2, 1, m)
Su producto escalar es: v
rv
= (2, 1, 1) ( 2, 1, m) = 3 m
Cuando este producto escalar es distinto de 0, el plano y la recta se cortan en un punto.
Si el producto escalar es 0, el plano y la recta son paralelos; o el plano contiene a la
recta.
Por tanto:
Si m 3, v
rv
0 la recta corta al plano en un punto.
Si m = 3, v
rv
= 0 la recta es paralela al plano o est contenida en l.
Como el punto P (5, 0, 6) de la recta no pertenece al plano, se concluye que la recta es
paralela al plano.
b) Para m = 3 el plano pedido viene determinado por los vectores v
= (2, 1, 1) y rv
=
( 2, 1, 3). Su ecuacin es:
htz
hty
htx
36
225
0
136
11
225
z
y
x
x 4y 2z + 7 = 0
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c) El vector caracterstico de este plano es el mismo que el de ; como adems debe contener al punto P(5, 0, 6) su ecuacin ser:
0)6()5(2 zyx 2x + y z 4 = 0
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Opcin A
A.1. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 2 A que cumple las siguientescondiciones:1) Coincide con su traspuesta.2) Verifica la ecuacin matricial
=
33
33
10
11
11
11A
3) Su determinante vale 9.[2,5 puntos]
A.2. Dada la recta de ecuaciones paramtricas
=
+=
+=
1
1
21
:
zyx
r
y los puntos P = (1, 1, 2) y Q = (1, 1, 2), se pide:1) Encontrar la posicin relativa de r y la recta determinada por P y Q [1,5 puntos].2) Hallar el punto o los puntos R de r para los que el tringulo PQR es issceles de
lados iguales PR y QR. [1 punto]
A.3. Hallar los valores de las constantes, a, b y c para que las grficas de lasfunciones
baxxxf ++= 2)( y cxxg += 3)(
pasen por el punto (1, 2) y en este punto tengan la misma tangente. [2,5 puntos]
A.4. Un tringulo issceles tiene 10 cm de base (que es el lado desigual) y 20 cm dealtura. Se inscribe en este tringulo un rectngulo uno de cuyos lados se apoya en labase del tringulo. Hallar las dimensiones del rectngulo as construido y que tengala mayor rea posible [2,5 puntos]
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Solucin
A.1
Por 1) la matriz A debe ser simtrica:
=
dbba
A
Por 2):
=
33
33
10
11
11
11
dbba
=
++
33
33
dabadaba
=+
=+
3
3
daba
Por 3): 92 == badA
Sustituyendo d y b en esta ltima ecuacin se tiene: a = 2; b = 1; d = 5.
La matriz buscada es
=
51
12A
A.2
Ecuaciones de la recta PQ:
=
=
=
2
21
1
:
zty
xs , con PQ = vs = (0, 2, 0).
1) Estudiando la dependencia lineal de los vectores vr, vs y AP, siendo A r y P s, sedetermina la posicin relativa de ambas recta: si esos vectores son l.i, las rectas se cruzan; sison l.d., estn en el mismo plano.
Como vr = (2, 1, 0), vs = (0, 2, 0); tomando A = (1, 1, 1) y P = (1, 1, 2) se tiene queAP = (2, 2, 1).
Con esto:
4
122
020
012
=
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Luego, los vectores vr , vs y AP son linealmente independientes. En consecuencia, lasrectas r y s se cruzan.
2) Sea R un punto genrico de r : R = (1 + 2, 2 + , 1). Entonces:
PR = (2 + 2, 2 + , 1) y QR = (2 + 2, , 1)
Como deben tener el mismo mdulo:
222222 )1()22()1()2()22( +++=++++ = 1
El punto pedido es R = (1, 0, 1).
A.3
Debe cumplirse:
baf ++== 12)1( cg +== 12)1( c = 1
axxf += 2)( 23)( xxg = 3)1( =g
Como )1()1( gf = , entonces:
2 1 + a = 3 a = 1 b = 0.
Las funciones son:
xxxf += 2)( y 1)( 3 += xxg
A.4
El rea del rectngulo es base por altura: A = b a (Ver figura)
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Por Tales se tiene que:205
=ax
a = 4x
Luego
A = b a = (10 2x) 4x = 40x 8x2
Para que A sea mxima: A= 0, A < 0.
A= 40 16 x = 0 x = 2,5
A= 16 < 0.
Las dimensiones del rectngulo deben ser: base = 5 cm; altura = 10 cm.
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Opcin A
A.1. Dada la matriz
=
201
00
100
aA , se pide:
i) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la identidad A2 + 2A + I = O,siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula de orden 3 [1,5 puntos]
ii) Calcular en esos casos la matriz inversa de A [1 punto]
A.2. Hallar la ecuacin de la circunferencia C que pasa por los puntos (0, 2) y (0, 2)y es tangente a la recta r: y = 3x + 2 [1,5 puntos]. En el haz de rectas paralelas a rhay otra tangente a C, hallar su ecuacin [1 punto]
A.3. De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el permetro de unacara lateral es de 30 cm, hallar las dimensiones (lado de la base y altura) del quetiene volumen mximo [2,5 puntos]
A.4. Tenemos la funcin f definida para todo nmero real no negativo y dada por
>
= 1 si
110 si1
)(2
xx
xxf
Se pide su representacin grfica [0,5 puntos], hallar 3
0)( dxxf [1,5 puntos] e
interpretar geomtricamente el resultado [0,5 puntos]
Solucin.
A.1
i)
=
=
302
00
201
201
00
100
201
00
10022 aaaA
A2 + 2A + I = O
=
++
000
000
000
000
0120
0002 aa 0122 =++ aa a = 1
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ii) Si a = 1,
=
201
010
100
A ; Adj(A) =
001
010
102
; 1=A
Luego,
=
001
010
1021A
A.2
Observamos que la tangente pasa por el punto (0, 2). Luego ese es el punto de tangencia.
El centro de la circunferencia pedida est en el punto de corte de la mediatriz de la cuerdadeterminada por P = (0, 2) y Q = (0, 2), que es la el eje OX, y la recta perpendicular a latangente en el punto de tangencia.
Cuerda: y = 0
Perpendicular a la tangente en (=, 2): xy31
2
=
Corte: O = (6, 0). Aqu est el centro.
Radio = d(P, O) = 40
Ecuacin de la circunferencia: 40)6( 22 =+ yx
El punto de tangencia de la otra tangente debe ser diametralmente opuesto a P, en P= (x, y).
Como el centro O es el punto medio del segmento PP, se tendr:
(6, 0) =
++
22
,2
0 yx P = (12, 2)
Y la recta pedida ser:
y + 2 = 3 (x 12)
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A.3
Si x es el lado de la base e y la altura, se trata de hacer mximo el volumen
V = x2y
con la condicin de que el permetro de una cara lateral valga 30 cm:
2x + 2y = 30 y = 15 x.
Luego, V = x2(15 x) V = 15x2 x3
Para mximo: V = 0; V < 0
V = 30x 3x2 = 0 x = 0 o x = 10
V = 30 6x V(0) = 30; V(10) = 30.
El mximo de V se da para x = 10 e y = 5.
A.4
La grfica de f se da en la figura adjunta.
3
0)( dxxf = +
3
12
1
0
1 dxx
dx = 3
1
10
1
+
xx =
35
El nmero 35
designa el rea de la regin rayada en la figura.
Ejercicios resueltos de selectividad
Matemticas II
Universidad de Extremadura
2000-2006
Vicente Gonzlez Valle
I.E.S. Zurbarn (Badajoz)Abril 2007
ii
Prlogo
Este libro se ha hecho para uso y disfrute de los alumnos de segundo de bachillerato de la
opcin cientco-tecnolgica. Se trata de la segunda versin, por lo que espero tengis la bondad
de perdonar los errores que he cometido al hacerlo. Tambin agradezco de corazn la colaboracin
de algunos compaeros y compaeras que tuvieron conocimiento de la primera versin gracias a la
Sociedad Extremea de Educacin Matemtica Ventura Reyes Prsper, la cual no slo comunic
la primera edicin, sino que adems me permiti obtener los enunciados de todos los aos y as
ayudarme a clasicarlos.
Si quieres hacer algn comentario, comunicar algn error o decir algo que se te ocurra, puedes
ponerte en contacto conmigo en [email protected].
Este libro se ir actualizando con los exmenes que cada ao vaya poniendo la universidad,
pudiendo obtenerse la versin actualizada en la pgina:
http://www.telefonica.net/web2/vicentegonza/examenes.html.
Este trabajo se ha hecho utilizando LATEXy su frontend para linux Kile. Para los grcos se ha
usado el software de Geogebra. Gracias a todos los que han hecho posible estos programas y los
han compartido gratuitamente con los dems.
He hecho una clasicacin de los ejercicios por temas, esperando que la clasicacin realizada
sea del agrado de todos.
Se trata de un trabajo que ofrezco a la comunidad educativa, pero es conveniente saber que se
emite bajo una licencia Creative Commons en la que tienes que tener presente que:
Tu eres libre de:
copiar, distribuir, comunicar y ejecutar pblicamente la obra.
hacer obras derivadas.
Bajo la siguientes condiciones:
Atribucin Debes reconocer y citar la obra de la forma especicada por el autor o el licenciante.
No Comercial No puedes utilizar esta obra para nes comerciales.
Licenciar Igual Si alteras o transformas esta obra, o generas una obra derivada, slo puedes
distribuir la obra generada bajo una licencia idntica a sta.
Al reutilizar o distribuir la obra, tienes que dejar bien claro los trminos de la licencia de esta
obra.
Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los
derechos de autor.
iii
mailto:[email protected]://www.telefonica.net/web2/vicentegonza/examenes.htmliv
v
A mi mujer Ma Teresa,
y a mis hijos Ana Ma, Isabel y Vicente.
A los tios Manolo, Chencho, Pepi, Gonzalo y Modesto,
y, como no, al abuelo Paco,
los ltimos que nos dejaron siendo testigos del amor.
Gracias a todos.
vi
ndice general
1. Anlisis 1
1.1. Funciones y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Septiembre 01 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4. Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5. Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Derivada y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Junio 00 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Junio 00 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Septiembre 00 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4. Junio 01 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5. Septiembre 01 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6. Junio 02 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.7. Junio 02 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.8. Septiembre 02 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.9. Septiembre 02 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.10. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.11. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.12. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.13. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.14. Junio 04 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.15. Junio 04 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.16. Septiembre 04 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.17. Septiembre 04 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.18. Junio 05 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.19. Junio 05 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.20. Septiembre 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.21. Septiembre 05 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.22. Junio 06 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.23. Junio 06 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.24. Septiembre 06 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.25. Septiembre 06 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Integral. Clculo de reas y volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Junio 00 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Junio 00 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3. Septiembre 00 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.4. Septiembre 00 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
vii
viii NDICE GENERAL
1.3.5. Junio 01 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.6. Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.7. Septiembre 01 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.8. Septiembre 01 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.9. Junio 02 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.10. Junio 02 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.11. Septiembre 02 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.12. Septiembre 02 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.13. Junio 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.14. Junio 03 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.15. Septiembre 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.16. Septiembre 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.17. Junio 04 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.18. Junio 04 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.19. Septiembre 04 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.20. Septiembre 04 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.21. Junio 05 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.22. Junio 05 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.23. Septiembre 05 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.24. Septiembre 05 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.25. Junio 06 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.26. Junio 06 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.27. Septiembre 06 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.28. Septiembre 06 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2. lgebra 39
2.1. Matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1. Septiembre 00 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2. Septiembre 01 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3. Septiembre 01 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4. Junio 02 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.5. Junio 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.6. Septiembre 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.7. Junio 04 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.8. Junio 04 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.9. Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.10. Septiembre 04 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.11. Junio 06 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.12. Septiembre 06 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1. Junio 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2. Junio 00 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3. Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.4. Junio 01 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.5. Junio 02 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.6. Septiembre 02 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.7. Septiembre 02 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.8. Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.9. Septiembre 03 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
NDICE GENERAL ix
2.2.10. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.11. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.12. Septiembre 05 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.13. Septiembre 05 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.14. Junio 06 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.15. Septiembre 06 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3. Geometra 57
3.1. Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1. Septiembre 00 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2. Septiembre 00 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.3. Junio 01 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.4. Junio 01 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.5. Septiembre 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.6. Septiembre 01 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.7. Junio 02 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.8. Junio 02 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.9. Septiembre 02 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.10. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.11. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.12. Junio 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.13. Septiembre 04 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.14. Septiembre 05 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.15. Junio 06 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.16. Junio 06 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.17. Septiembre 06 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2. Problemas mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1. Junio 00 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2. Junio 00 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3. Junio 01 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4. Septiembre 02 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.5. Junio 03 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.6. Junio 04 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.7. Junio 05 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.8. Junio 05 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.9. Septiembre 05 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.10. Septiembre 06 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
x NDICE GENERAL
Captulo 1
Anlisis
1.1. Funciones y continuidad
1.1.1. Representar grcamente la funcin
f(x) = 2x3 x2
2 x + 5
27
Cuntas races reales positivas tiene este polinomio?
(Septiembre 00)
- Solucin:
Para poder representarla vamos a estudiar su derivada. Tenemos que
f (x) = 6x2 x 1
Igualando a cero resulta:
6x2 x 1 = 0 = x = 1
1 + 2412
=1 512
=
612
=12
412
= 13
Construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada y conocer as donde crece y donde
decrece y sus mximos y mnimos. (,1
3
) (1
3,12
) (12,+
)6x2 x 1 + +
En consecuencia:
- Crece (,1
3
)(
12,+
)- Decrece
(1
3,12
)- Mximo
(1
3,
718
)- Mnimo
(12, 41
216
)1
2 1. Anlisis
Tambin es obvio que lmx
f(x) = y que lmx+
f(x) = +Podemos hacer una tabla de valores para anar la representacin, pero aqu no la pondremos.
La grca resultante podemos verla en la gura 1.1
Figura 1.1: Representacin grca de la funcin f(x) = 2x3 x2
2 x + 5
27
Para ver la ltima parte del ejercicio usaremos el Teorema de Bolzano. Sabemos que como mucho
tendr tres raices reales (pues es un polinomio de grado 3) y por los datos recabados con anterioridad
y mirando la grca las raices estarn en los intervalos
(,1
3
),
(1
3,12
)y
(12,+
). Es
evidente que hay una positiva garantizada (la contenida en el ltimo intervalo) y otra negativa
(en el primero). Veamos que ocurre con la otra. Nos basaremos en el teorema de Bolzano para ir
tanteando y comprobando donde est.
Tenemos que f(0) =527
> 0 y f(
12
)= 41
216< 0. Por tanto la tercera raiz se encuentra en el
intervalo
(0,
12
)y es positiva.
1.1.2. Representa la grca del polinomio
f(x) = 2x3 + 3x2 02
Cuntas races reales negativas tiene este polinomio? y cuntas positivas?
(Junio 01)
- Solucin:
Vamos a hacer un breve estudio del polinomio para su representacin:
- Domf = R Como en todos los polinomios.
- Simetra No tiene.
- Continuidad Continua en todo R.
- Asntotas No tiene, como le ocurre a todos los polinomios.
- Corte con los ejes:
Eje X: Al ser un polinomio de grado 3 puede cortar al Eje X en un mximo de trespuntos. Vamos a orientarnos donde estarn usando el teorema de Bolzano.
f(2) = 16 + 12 02 < 0
f(1) = 2 + 3 02 > 0
1.1. Funciones y continuidad 3
f(0) = 02 < 0 f(1) = 2 + 3 02 > 0
Por tanto corta en un punto entre (2,1), en otro entre (1, 0) y en otro entre (0, 1).
Eje Y: (0,02)
- Vamos a estudiar la derivada:
f (x) = 6x2 + 6x
Esta derivada se anula en x = 0 y en x = 1. Por tanto:
(,1) (1, 0) (0,+)6x2 + 6x + +
De aqu deducimos que:
Crece (,1) (0,+)
Decrece (1, 0)
Mximo (1, 08)
Mnimo (0,02)
Su representacin grca podemos verla en la gura 1.2
Figura 1.2: Representacin grca de la funcin f(x) = 2x3 + 3x2 02
La respuesta a las preguntas nales ya la hemos hecho cuando realizamos el estudio del corte
con el Eje X, es decir, hay dos raices negativas y una positiva.
1.1.3. Enunciar el teorema de Bolzano. Calcular, con un error menor que una dci-ma, una raz positiva del polinomio x3 + x 1
(Septiembre 01)
- Solucin:
La parte de teora podemos encontrarla en cualquier libro.
Para buscar la raiz positiva que nos piden vamos a tantear utilizando el teorema de Bolzano.
Nuestra funcin es f(x) = x3 +x 1 y es fcil observar que la funcin es continua en todo R, y portanto, lo es en cualquier intervalo que cojamos. Tambin se cumple que:
f(0) = 1 y f(1) = 1
Vamos a comenzar a tantear para acorralar la raiz.
4 1. Anlisis
f(05) = 0375 < 0 = La raiz est en el intervalo (05, 1).
f(07) = 0043 > 0 = La raiz est en el intervalo (05, 07).
f(06) = 0184 < 0 = La raiz est en el intervalo (06, 07).
La raiz, con un error menor que 01 est contenida en el intervalo (06, 07). Valdra cualquiera,pero parece que por el valor que toma la funcin en l podamos tomar 07.
1.1.4. Enunciar el teorema de Bolzano y determinar si el polinomio x4 4x2 1 tienealguna raiz real negativa.
(Junio 03)
- Solucin:
El teorema podemos encontrarlo en cualquier libro.
Vamos a aplicar el mismo para comprobar que la funcin tiene, al menos, una raiz negativa.
Este hecho es evidente, pues basta con comprobar que la funcin toma valores de distinto signo
en 5 y 0.
- f(5) = 625 100 1 > 0.
- f(0) = 1 < 0.
Luego, segn el teorema de Bolzano, como f es continua en [5, 0] y toma valores de signocontrario en 5 y 0, entonces existe un c (5, 0) en el que f(c) = 0.
1.1.5. Enunciar el teorema de Bolzano y usarlo para probar que la ecuacin x = cosxtiene solucin positiva.
(Septiembre 04)
- Solucin:
El teorema de Bolzano puede encontrarse en cualquier libro.
Pasamos a la segunda parte.
Consideramos la funcin f(x) = cosx x. Evidentemente su dominio es todo R y es tambincontinua en todo su dominio. Adems:
f(0) = 1 0 = 1 > 0
f(1) = cos1 1 = 0999847 1 < 0
Por tanto, esta funcin cumple las hiptesis del teorema de Bolzano, y segn el mismo, tiene
que tener una raiz en el intervalo (0, 1), y por tanto positiva.Si no queremos apurar tanto podemos tomar x = 2, 3, en lugar de x = 1, pues como el coseno
est comprendido entre 1 y 1, al restarle la x elegida dar negativo.
1.2. Derivada y sus aplicaciones 5
1.2. Derivada y sus aplicaciones
1.2.1. Determinar el dominio de denicin de la funcin f(x) = x ln(x2 1
)y re-
presentar su grca, calculando los intervalos de crecimiento y los extremos
(mximos y mnimos relativos).
(Junio 00)
- Solucin:
La funcin no existir en los puntos en los que x2 1 0. Vamos a ver donde ocurre. Para ellovamos a hacer una tabla con los puntos de corte.
x2 1 = 0 = x = 1
La tabla queda:(,1) (1, 1) (1,+)
x2 1 + +
Luego el dominio de la funcin es Domf = (,1)
(1,+).Vamos a estudiar su derivada:
f (x) = 1 2xx2 1
=x2 1 2x
x2 1=
x2 2x 1x2 1
Vamos a estudiar su signo. Para ello vamos a igualar la derivada a cero y tendremos en cuenta
el dominio antes calculado y construiremos una tabla.
x2 2x 1x2 1
= 0 = x = 2
4 + 42
=2
8
2= 1
2
La tabla quedara:
(,1) (1, 1)(1, 1 +
2) (
1 +
2,+)
x2 2x 1x2 1
+ No existe +
Figura 1.3: Representacin grca de la funcin f(x) = x ln(x2 1
)Luego la funcin:
- Crece (,1)(
1 +
2,+)
- Decrece (1, 1 +
2)
6 1. Anlisis
Hay un mnimo en(1 +
2, 0.84
). Para aproximar ms es bueno hacer una tabla de valores, que
aqu no haremos. Tambin es evidente que en x = 1 y en x = 1 hay asntotas verticales, pues lastiene el logaritmo.
- x = 1 lmx1+
f(x) = + (Por la izquierda no existe).
- x = 1 lmx1
f(x) = + (Por la derecha no existe).
La representacin grca podemos verla en la gura 1.3.
1.2.2. Denir el concepto de derivada de una funcin f(x) en un punto x = a, yexplicar su relacin con los mximos relativos de la funcin.
(Junio 00)
- Solucin:
La solucin de este ejercicio puede verse en cualquier libro.
1.2.3. Calcular la derivada en el punto x = 1 de la funcin f(x) = x1/2lnx.
(Septiembre 00)
- Solucin:
Vamos a calcular la derivada y despus sustituiremos x = 1 en la funcin obtenida.
f (x) = 12x3/2lnx + x1/2
1x
Sustituyendo obtenemos:
f (1) = 12 13/2ln1 + 11/2 1 = 1
1.2.4. Dadas las funciones f(x) = x2 + y g(x) = senx + cosx, calcula la derivada enx = 0 de las funciones f(g(x)) y g(f(x)).
(Junio 01)
- Solucin:
Tenemos dos formas de resolver este ejercicio. La primera consiste en calcular las composiciones
requeridas y posteriormente derivar, y la segunda en derivar aplicando la regla de la cadena. Veamos
la primera en ambas funciones:
f(g(x)) = (senx + cosx)2 + = sen2x + cos2x 1
+2senxcosx + = sen2x + + 1
Si derivamos esta expresin tendremos:
[(fog)] (x) = [f(g(x))] = 2cos2x
Sustituyendo en x = 0 resulta:[(fog)] (0) = 2
Por otro lado, la otra composicin nos dara:
g(f(x)) = sen(x2 + ) + cos(x2 + )
1.2. Derivada y sus aplicaciones 7
Derivando obtenemos:
[(gof)] (x) = 2xcos(x2 + ) 2xsen(x2 + )
Subtituyendo en x = 0 el resultado obtenido es:
[(gof)] (0) = 0
Veamos ahora el otro mtodo para la resolucin del ejercicio. Lo haremos a modo de ejemplo
slo en el primer caso. Segn la regla de la cadena
[(fog)] (x) = f (g(x)) g(x) = 2(senx + cosx)(cosx senx)
Si sustituimos en x = 0 nos quedara:
(fog)] (0) = 2(sen0 + cos0)(cos0 sen0) = 2
Obtenemos, obviamente, el mismo resultado.
1.2.5. Entre todos los rectngulos de rea dada cul es el de permetro mnimo?
(Septiembre 01)
- Solucin:
Vamos a buscar una funcin a minimizar (que depender en un principio de dos variables) y
una igualdad que ligue las variables. En nuestro caso son:
P (x, y) = 2x + 2yA = x y
]= P (x) = 2x + 2A
x=
2x2 + 2Ax
= y = Ax
(1)
Vamos a derivar la funcin obtenida:
P (x) =4x x (2x2 + 2A)
x2=
4x2 2x2 2Ax2
=2x2 2A
x2
Igualando la derivada a cero obtenemos:
2x2 2Ax2
= 0 = 2x2 2A = 0 = x2 = A = x =
A
De las dos obtenidas slo vale la positiva. Vamos a calcular la segunda derivada para ver que
hay un mnimo.
P (x) =4x x2 2x(2x2 2A)
x4=
4x3 4x3 + 4Axx4
=4Axx4
Sustituyendo el valor de x obtenido tenemos:
P (
A)
=4A
A
A2> 0
luego hay un mnimo. Sustituyendo x =
A en (1) podemos calcular y.
x =
A = y = AA
=
A
8 1. Anlisis
Se trata por tanto de un cuadrado de lado
A.
1.2.6. Denir el concepto de derivada de una funcin f(x) en un punto x = a yexplicar su relacin con el crecimiento de la funcin.
(Junio 02)
- Solucin:
La respuesta puede encontrarse en cualquier libro.
1.2.7. Representar la grca de la funcin f(x) = 2x + (2x)1, determinando los in-tervalos donde es creciente.
(Junio 02)
- Solucin:
Nuestra funcin podemos ponerla f(x) = 2x + (2x)1 = 2x +12x
=4x2 + 1
2x.
Vamos a buscar algunos datos para poder representarla.
Es evidente que el dominio de la funcin es Domf = R {0}. Tambin es obvio que tiene unaasntota vertical en x = 0, que no corta al eje X, ni al eje Y .
Vamos a estudiar la derivada.
f (x) =8x 2x 2 (4x2 + 1)
4x2=
16x2 8x2 24x2
=8x2 2
4x2
Igualando a cero tenemos:
8x2 24x2
= 0 = 8x2 2 = 0 = x2 = 14
= x = 12
Vamos a estudiar el signo de la derivada para especicar donde crece y donde decrece, as como
los mximos y mnimos, si los tiene.
(,1/2) (1/2, 0) (0, 1/2) (1/2,+)8x2 2
4x2+ +
Para anar la representacin puede hacerse una pequea tabla de valores, viendo la representa-
cin en la gura 1.4.
Figura 1.4: Representacin grca de la funcin f(x) = 2x + (2x)1
1.2. Derivada y sus aplicaciones 9
En cuanto al crecimiento y decrecimiento, as como del estudio de la derivada, concluimos:
- Crece (,1/2) (1/2,+).
- Decrece (1/2, 0) (0, 1/2).
- Mximo (1/2,2).
- Mnimo (1/2, 2).
1.2.8. Representar la grca de la funcin f(x) = x3+x3, determinando sus extremos(mximos y mnimos relativos).
(Septiembre 02)
- Solucin:
Nuestra funcin escrita en forma de fraccin es:
f(x) = x3 + x3 = x3 +1x3
=x6 + 1
x3
Es evidente que su dominio es Domf = R {0}. Adems la funcin es impar, pues:
f(x) = (x)6 + 1
(x)3=
x6 + 1x3
= x6 + 1x3
= f(x)
Vamos a ver los puntos de corte con los ejes:
- Eje X Hacemos y = 0.
x6 + 1x3
= 0 = x6 + 1 = 0 = No corta.
- Eje Y Hacemos x = 0. En este caso no corta, pues x = 0 no pertenece al dominio.
Vamos a calcular la primera derivada para hallar los mximos y los mnimos.
y =6x5.x3 3x2
(x6 + 1
)x6
=6x8 3x8 3x2
x6=
3x8 3x2
x6
Si igualamos a cero resulta
3x8 3x2
x6= 0 = 3x8 3x2 = 0 = 3x2
(x6 1
)= 0 =
=
{x = 0 = No pertenece al dominio.x6 1 = 0 = x6 = 1 = x = 1
Vamos a estudiar el signo de la derivada y as podemos decidir los mximos y mnimos.
(,1) (1, 0) (0, 1) (1,)3x8 3x2
x6+ +
De aqu deducimos que la funcin tiene:
- Un mximo en el punto (1,2).
- Un mnimo en el punto (1, 2).
10 1. Anlisis
Es fcil observar que la funcin tiene una asntota vertical en la recta x = 0 y que no tieneasntotas ni horizontales, ni oblicuas.
Puede hacerse una tabla de valores para anar ms la representacin grca, pero no la haremos
aqu. La representacin grca pedida podemos verla en la gura 1.5.
Figura 1.5: Representacin grca de la funcin f(x) = x3 + x3
1.2.9. Enuncia la regla de L'Hpital y calcula el lmite
lmx1
1 cos(2x)(x 1)2
(Septiembre 02)
- Solucin:
La parte terica de la pregunta puede verse en cualquier libro. Vamos a resolver el lmite.
lmx1
1 cos(2x)(x 1)2
=[00
]= lm
x12sen(2x)
2(x 1)=[00
]= lm
x1
22cos(2x)1
= 22
1.2.10. Representar grcamente la funcin f(x) = ex ex, determinando sus extre-mos relativos (mximos y mnimos relativos). Existe algn valor de x en
que f(x) sea negativo?
(Junio 03)
- Solucin:
Vamos a empezar, como siempre, por ver su dominio.
- Es evidente que el Domf = R.
- Veamos ahora los cortes con los ejes:
Eje X. Hacemos y = 0.ex ex = 0 = ex = ex = x = 1
Eje Y. Hacemos x = 0.f(0) = 1
- Vamos a realizar la derivada, la igualaremos a cero y la estudiaremos la misma.
f (x) = ex e = 0 = ex = e = x = 1
1.2. Derivada y sus aplicaciones 11
(, 1) (1,)ex e +
Tambin se puede observar de forma sencilla que no va a tener asntotas.
Para anar la representacin vamos a hacer una tabla de valores:
x 1 0 1 2 3y 3.09 1 0 1.95 11.93
La representacin grca podemos verla en la gura 1.6.
Figura 1.6: Representacin grca de la funcin f(x) = ex ex
En cuanto al interrogante que nos hacen la respuesta es evidente viendo la grca, pero tambin
puede razonarse si tenemos en cuenta que tiene un mnimo en el punto (1, 0). La respuesta obviaes no.
1.2.11. Determinar una recta tangente a la parbola y = 2 x2 que sea paralela a larecta de ecuacin 2x + y = 4.
(Junio 03)
- Solucin:
Como es paralela a la recta 2x + y = 4 la ecuacin de la recta que buscamos tiene que ser de laforma 2x + y = k y de aqu deducimos que su pendiente tiene que ser m = 2.
Vamos a ver donde tiene la funcin y = 2 x2 una recta tangente con pendiente m = 2.
mtg = f (x) = 2x = 2 = x = 1
Luego el punto en el que se produce la tangente es f(1) = 2 1 = 1 = (1, 1).
Por tanto, para calcular k basta con sustituir el punto en la ecuacin de la recta 2x + y = k.
2x + y = k en (1, 1) = 2 + 1 = k = k = 3.
Luego la recta buscada es
2x + y = 3
12 1. Anlisis
1.2.12. Con un alambre de dos metros se desea formar un cuadrado y un crculo.Determinar el lado del cuadrado y el radio del crculo para que la suma de
sus reas sea mnima.
(Septiembre 03)
- Solucin:
Para plantear el problema buscamos una funcin a minimizar (que estar en funcin de dos
variables) y una ecuacun que ligue las variables. Estas ecuaciones son:
A(l, r) = l2 + r2 = Ecuacin a minimizar.4l + 2r = 2 = 2l + r = 1 = Ecuacin que liga las variables.
Vamos a despejar l en la ltima ecuacin, resultando:
l =1 r
2(1.1)
Sustituyendo en la primera tenemos:
A(r) =(
1 r2
)2+ r2 =
1 + 2r2 2r4
+ r2 =1 + 2r2 2r + 4r2
4=
=(2 + 4)r2 2r + 1
4
Derivando la expresin obtenemos:
A(r) =1
42
[2(2 + 4)r 2
]=
(2 + 4)r 2
Igualando a cero resulta:
(2 + 4)r 2
= 0 = (2 + 4)r = 0 = (2 + 4)r = =
= ( + 4)r = 1 = r = 1 + 4
u.
Si hacemos la segunda derivada resulta:
A(r) =2 + 4
2> 0 para cualquier valor de r.
En consecuencia para el valor de r que nosotros hemos calculado la funcin tiene un mnimo.
Vamos a calcular l sustituyendo en la igualdad (1.1).
l =1 1+4
2=
1 +42
= + 42 + 8
=4
2 + 8=
2 + 4
u.
1.2.13. Determinar en qu puntos es negativa la derivada de la funcin f(x) = exx2.
(Septiembre 03)
- Solucin:
Nuestra funcin es f(x) =ex
x2. Su derivada por tanto ser:
f (x) =exx2 2xex
x4=
xex(x 2)x4
1.2. Derivada y sus aplicaciones 13
Vamos a estudiar su signo. Calculamos para ello las raices del numerador y del denominador.
- Raices del numerador:
xex(x 2) = 0 =
x = 0.ex = 0 = No tiene solucin.x 2 = 0 = x = 2.
- Raices del denominador:
x4 = 0 = x = 0.
Con los valores obtenidos construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada.
(, 0) (0, 2) (2,+)xex(x 2)
x4+ +
Por tanto es negativa en el intervalo (0, 2).
1.2.14. Determinar el mayor rea que puede encerrar un tringulo rectngulo cuyolado mayor mida 1 metro.
(Junio 04)
- Solucin:
La gura 1.7 nos muestra la idea.
Figura 1.7: Visin grca del problema
Nosotros iremos moviendo la hipotenusa (lado mayor) haciendo variar x e y.
Necesitamos pues una funcin a maximizar (el rea) y otra que ligue las dos variables. Dichas
ecuaciones son:
A(x, y) =x.y
2(Funcin a maximizar)
x2 + y2 = 1 y =
1 x2 (Ecuacin que liga las variables)
Por tanto, si sustituimos la y en la primera funcin obtenemos:
A(x) =x
1 x22
=12 x
1 x2
Vamos a derivar para ver los puntos que anulan dicha derivada. Entre estos valores se encuentran
14 1. Anlisis
los mximos y los mnimos.
A(x) =12
[1 x2 + x (2x)
2
1 x2
]=
12
[1 x2 x2
1 x2
]=
1 2x2
2
1 x2
Igualando esta expresin a cero tenemos:
1 2x2
2
1 x2= 0 = 2x2 + 1 = 0 = 2x2 = 1 = x2 = 1
2= x =
2
2
Para ver que tenemos en ese punto un mximo vamos a estudiar el signo de la derivada a ambos
lados del nmero.
Tenemos que A(0) =12
> 0 y A(08) =02812
< 0 y por tanto hay un mximo.
En conclusin tenemos que:
x =
22
y =
1(12
)2=
1 1
2=
12
=
22
.
1.2.15. Si la grca de una funcin f(x) es:
representar aproximadamente la grca de la derivada f (x).
(Junio 04)
- Solucin:
Observando la grca tenemos que la funcin tiene las siguientes caractersticas:
- Crece en (,1) (1,+) Luego ah f (x) > 0.
- Decrece en (1, 1) Luego ah f (x) < 0.
- Tiene un mximo en (1, 1) = f (1) = 0.
- Tiene un mnimo en (1,1) = f (1) = 0.
- Es convexa en (, 0) = f (x) < 0 = f es decreciente en (, 0).
- Es cncava en (0,+) = f (x) > 0 = f es creciente en (0,+).
- Hay un punto de inexin en x = 0 como conclusin de los puntos anteriores, por tanto tieneun mnimo en x = 0.
Con todos estos datos tenemos que la grca podra ser la que vemos en la gura 1.8.
1.2. Derivada y sus aplicaciones 15
Figura 1.8: Representacin aproximada de la funcin buscada
1.2.16. Se desea construir un paraleleppedo rectangular de 9 litros de volumen ytal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes
de sus lados para que el rea total de sus 6 caras sea mnima.
(Septiembre 04)
- Solucin:
Queremos minimizar el rea total. Dicho rea es la suma de las reas de las seis caras. En el
gura 1.9 podemos ver que este rea es:
Figura 1.9: Visin grca del ejercicio
A(x, h) = 2.(2x.h) + 2.(h.x) + 2.(2x.x) = 4xh + 2xh + 4x2 = 4x2 + 6xh
Para ligar las variables tenemos el volumen que cumple
V = Ab h = 2x.x.h = 2x2.h = 9 = h =9
2x2
Por tanto la funcin rea queda:
A(x) = 4x2 +3
6x9
2x2= 4x2 +
27x
=4x3 + 27
x
16 1. Anlisis
Si derivamos tendremos:
A(x) =12x2.x (4x3 + 27)
x2=
12x3 4x3 27x2
=8x3 27
x2= 0
Por tanto, la derivada se anula cuando 8x3 27 = 0. De aqu deducimos que:
8x3 27 = 0 = 8x3 = 27 = x3 = 278
= x = 3
278
=32
dm.
Si estudiamos el comportamiento de la derivada en puntos prximos al obtenido vemos que se
trata de un mnimo.
A(1) =191
< 0 y A(2) =374
> 0
En conclusin tenemos que x =32
= h = 9
2.94
=3618
= 2 dm.
Y estos eran los valores buscados.
1.2.17. Determinar los puntos de la curva plana y3 = 2x en que la recta tangente esperpendicular a la recta y + 6x = 0.
(Septiembre 04)
- Solucin:
La curva de la que hablamos tiene ecuacin y3 = 2x = y = 3
2x = (2x)13 . Por otro lado
tenemos que la recta es y + 6x = 0 = y = 6x = m = 6.De aqu deducimos que la perpendicular tiene por pendiente mtg =
1m
=16.
Vamos a ver en que puntos tiene la curva pendiente16. Para ello derivamos la funcin y la
igualamos a16.
y =13(2x)2/3.2 =
23 3
4x2= mtg
23 3
4x2=
16
= 3 3
4x2 = 12 = 3
4x2 = 4 = 4x2 = 64 = x2 = 16 = x = 4
Por tanto, los puntos buscados son P1(4, 2);P2(4,2).
1.2.18. Hallar la derivada en x = 0 de la funcin f(f(x)), donde f(x) = (1 + x)1.
(Junio 05)
- Solucin:
Tenemos que f(x) = (1 + x)1 =1
1 + x= f (x) = 1
(1 + x)2.
Es obvio que f(0) = 1, que f (0) = 1 y que f (1) = 14.
Aplicamos la regla de la cadena:
[f(f(0))] = f (f(0)) .f (0) = f (1).(1) = 14
.(1) = 14
1.2.19. Representar grcamente la funcin f(x) = x2senx en el intervalo < x < ,determinando sus extremos (mximos y mnimos relativos).
(Junio 05)
- Solucin:
Tenemos la funcin f(x) = x 2senx en el intervalo < x <
1.2. Derivada y sus aplicaciones 17
Es obvio que el dominio de esta funcin es todo R. Tambin es evidente que no hay asntotas.Vamos a estudiar la derivada:
f (x) = 1 2cosx = 0 = 2cosx = 1 = cosx = 12
= x = 3y x =
3(,
3
) (
3,
3
) (3
, )
1 2cosx + +
De este estudio deducimos que hay un mximo en x = 3y un mnimo en x =
3Para representarla tendramos que hacer una tabla de valores:
x 0 2 2 3 3 /3 /3y 0 018 018 271 271 068 068
Su representacin grca sera:
1.2.20. Enunciar el Teorema del Valor Medio del Clculo Diferencial. Usarlo pa-ra demostrar que para cualesquiera nmeros reales x < y se verica que
cosy cosx y x.
(Septiembre 05)
- Solucin:
El enunciado del teorema puede encontrarse en cualquier libro.
Vamos a considerar la funcin f(x) = cosx que es obviamente continua y derivable en todo R,y por lo tanto lo ser en cualquier intervalo [x, y]. En consecuencia:
c (x, y) f (c) = cosy cosxy x
Ahora bien, f (x) = senx = f (c) = senc = f (c) 1.De aqu deducimos lo que queramos:
cosy cosxy x
1 = cosy cosx y x
1.2.21. Hallar la derivada en el punto x = 0 de la funcin f(f(x)), donde f(x) = senx.
(Septiembre 05)
18 1. Anlisis
- Solucin:
Vamos a realizar la derivada por la regla de la cadena:
[(fof)] (0) = f (f(0)) f (0) = cos(sen(0)) cos0 = cos0 cos0 = 1 1 = 1
1.2.22. Calculalmx0
1 + x ex
sen2x
(Junio 06)
- Solucin:
Vamos a resolver el lmite por la regla de L'Hpital.
lmx0
1 + x ex
sen2x=[00
]= lm
x0
1 ex
2 senx cosx= lm
x0
1 ex
sen2x=[00
]= lm
x0
ex
2cos2x=12
1.2.23. Dene el concepto de mximo relativo de una funcin f(x) y enuncia surelacin con las deriv