Upload
rofa-yulia-azhar
View
89
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Sejarah Bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional, Irasional dan Kompleks
Citation preview
Sejarah Bilangan dalam Matematika
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-
sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai
Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang
sungai Huang Ho dan Yang Tze.
Gambar Ilustrasi Taman Gantung Babilonia
Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-
rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk
itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim
sepanjang aliran sungai tersebut.
Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan
musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki.
Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan
pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam
perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan
kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat
penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan
selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam
teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek
kehidupan lainnya.
Bilangan Asli
Ribuan tahun yang lalu manusia hanya mengenal 9 angka dalam kehidupannya, yaitu angka 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kesembilan angka ini dinamakan dengan bilangan asli. Hal ini karena
secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda lalu kemudian untuk keperluan tertentu
mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-
lain.
1 2 3
4 5 6
7 8 9 Gambar Susunan Awal Bilangan Asli
Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-
benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak
menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan
Asli. Penamaan tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu
pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah bilangan
yang digunakan untuk menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N. Anggota bilangan
asli adalah N={1,2,3,}.
Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk
mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian.
Angka Nol
Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya,
penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan
pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan
asli hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota
bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0
sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan cacah.
Angka Nol
Bilangan Cacah
Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol,
menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki
notasi yang sama. Dengan adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun
menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian
dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.
Bilangan Bulat
Perkembangan selanjutnya, bilangan cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya
merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang,
ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan
pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan
bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah
keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi
menjadi bilangan bulat.
.. -2 -1 0 1 2 .. Bilangan Bulat
Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan
operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka
hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan
cacah, tetapi 4 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan
bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 6. Dengan demikian, karena 4 6 merupakan
kebalikan dari , maka 4 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang
kemudian membentuk bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah Z, dan anggota
bilangan bulat adalah Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3,}.
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 7, 10
12, 20 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili
suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2
0, 3 1, 4 2, }. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 3, 2 5, 7 10, }. Hal ini
berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.
Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur
tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah, terhadap operasi
penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini
berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas,
memiliki invers (lawan) dan komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat,
tertutup, komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem bilangan
bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.
Bilangan Rasional
Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam
kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa bagian. Setelah
dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel
kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel
(masing-masing apel masih utuh). Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak,
maka setiap anak mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk
menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.
Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional. Bilangan rasional
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai dengan m dan n bilangan bulat dan
n0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat
diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian terhadap operasi
penjumlahan, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).
Bilangan Rasional
Bilangan Irasional
Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku
dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi miringnya (hypotenusa)
adalah . Namun, tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat
dan n0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar
bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan
rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem bilangan real
membentuk lapangan terurut dan lengkap.
Gambar Contoh Bilangan Irasional
Bilangan Kompleks
Perluasan himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan kompleks. Kemunculan bilangan
kompleks dapat diilustrasikan oleh usaha mencari solusi persamaan kuadrat .
Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang kuadratnya adalah -1.
Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena itu, muncul himpunan
bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan dan
$latex i= \sqrt{-1}} $.
Peta Konsep Bilangan