Secuencia1 Matrices

OFICINA DE APOYO DOCENTEFACULTAD DE INGENIERIAUNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCIONCONCEPCION-CHILEAlgebra Lineal - IN1004C

Secuencia Didactica.

... con estrategia de Aprendizaje Activo

Identificacion del curso.Institucion: Universidad Catolica de la Santısima Concepcion.

Identificacion del curso: Algebra Lineal - IN1004C.Semestre: Primero.Creditos: 7.Numero de modulos: 3 horas de Catedra, 1 hora de Ayudantıa y

2 horas de Taller.Perfil del Grupo Curso: Alumnos de primer ano de Ingenierıa.

Resultados de Aprendizaje y ContenidosResultado de Aprendizaje: Reconocer Matrices y Resolver Sistemas de

Ecuaciones Lineales aplicando su operatoria.Contenidos: Definicion de matrices, Matrices especiales,

igualdad de matrices. Operatoria de matrices.Nociones basicas de potencias de matrices.Transpuesta de una matriz. Matrices escalonadasy operaciones elementales por filas.Matriz inversa, definicion y propiedades.Ecuaciones matriciales.

Modalidad y Estrategia MetodologicaModalidad: 3 horas de clases presenciales con soporte virtual.Estrategia Metodologica: Tecnicas y herramientas del aprendizaje activo.Recursos Didacticos: Guıa de Ejercicios, Software libre y videos.

Inicio (10 minutos)Motivacion

Mario es el dueno de una tienda donde se venden, entre otrascosas, poleras e Ignacio es un estudiante de Ingenierıa que trabajaen ella. Mario le pide a Ignacio que realice un inventario de laspoleras que hay en la tienda.A la hora despues Ignacio le entrega a Mario la siguiente informacion: Tenemos nuevesamarillas de talla S y cinco amarillas de talla M; ocho S de color verde y seis M verdes;las de tamano L casi se han agotado pues solo quedan tres rojas, una rosada y dos negras;tambien tenemos tres M rosadas, cinco M rojas, una M negra y siete S negras; antes quese me olvide tambien tenemos poleras naranjas, en todas las tallas y son tres mas que lasamarillas.

Despues de escuchar a Ignacio, Mario le hace las siguientes preguntas

¿Cuantas poleras de color rojo hay actualmente en stock?

¿Puede Ud. ordenar los datos?

1

Desarrollo

1. ¿Que es una matriz?

. Definicion (Matriz)Consideremos los conjuntos de ındices I = {1, 2, . . . ,m} y J = {1, 2, . . . , n} con m ∈ N y n ∈ N.Una matriz de orden m por n con coeficientes en un cuerpo K es una funcion

A : I × J −→ K

(i, j) 7→ A(i, j) = aij

Se designa por aij el valor que A toma en el par (i, j), el primer subındice corresponde a la fila i y el segundosubındice corresponde a la columna j. Se escribe:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

O bien, A = (aij), i ∈ I,j ∈ J y se dice que A es una matriz de m× n. Tambien se escribe A = (aij), cuando estaclaro el numero de filas y columnas de A.

. Actividad 1 (10 minutos) �Determine la matriz A = (aij)2×3 tal que aij = i− j + 3.

Observacion. En una matriz A = (aij), llamaremos i-esima fila, Fi, a la lista de componentes de la forma

Fi = ( ai1 ai2 ai3 ai4 . . . ain )

y j-esima columna a los componentes de la forma

Cj =

a1ja2ja3ja4j...

amj

.

2

Ası,

A =

a11 . . . a1j . . . a1n...

. . ....

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

. . ....

am1 . . . amj . . . amn

1. Si una matriz posee el mismo numero de filas y de columnas, los elementos de la forma aii forman la

diagonal principal de la matriz.

2. Denotaremos por Mm×n(K) al conjunto de matrices m× n, cuyo cuerpo de escalares es K.

3. Si K = R (K = C) entonces la matriz se dice real (compleja) o a valores reales (complejos).

4. Se llama Matriz Nula a la matriz (aij), con aij = 0,∀i ∈ {1, . . . ,m} y ∀j ∈ {1, . . . , n}, se denota por Θo Θm×n cuando no sea claro el numero de filas o de columnas.

. Definicion (Orden)El orden de una matriz es el numero de filas y columnas que posee, el orden se representa por m× n dondem es el numero de filas y n el de columnas. Ası, por ejemplo una matriz de orden 7 × 2 tendra 7 filas y 2columnas.

. Actividad 2 (5 minutos) �De un ejemplo de matrices A ∈M1×5(R), B ∈M3×4(R) y C ∈M2(C).

. Actividad 3 (5 minutos) �Escriba Θ2×3, Θ2 y Θ2×1.

3

. Definicion (Igualdad de matrices)Diremos que dos matrices A y B son iguales si ambas tienen el mismo orden, es decir A, B ∈ Mm×n(K), yademas si aij = bij para todo 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

. Actividad 4 (10 minutos) �

Hallar los valores de a, b, c, d y e en la matriz A, sabiendo que es igual a la matriz B, con

A =

3a+ 2 5e+ 1 32b c −1

a− 4d a+ d 0

y B =

1 3 30 −3 −12 −2 0

.

2. Operaciones con matrices

2.1. Suma de Matrices

. DefinicionSean A = (aij), B = (bij) ∈Mm×n(K), la suma de A y B se define como

A+B := (aij + bij), ∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , n}.


Para A =

(1 32 −1

), B =

(2 01 5

)y C =

(4 1 3−2 0 2

), calcule A + B y B + C; en caso de no ser posible

justifique adecuadamente.

4

2.1.1. Propiedades

Sean A,B,C ∈Mm×n(K). Se tiene:

1. A+B = B +A

2. (A+B) + C = A+ (B + C)

3. ∃ Θ ∈Mm×n(K) : A+ Θ = A

4. ∃ (−A) ∈Mm×n(K) : A+ (−A) = Θ

2.2. Multiplicacion de Matrices por escalar

. DefinicionSea A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K el producto de una matriz por un escalar λ ·A se define como

λ ·A := (λ · aij), ∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , n}.


Para A =

(5 7 1−1 0 1

)y λ = 3, β = −2, γ = 1

2 . Calcular λA, βA y γA.

. DefinicionSean A, B ∈Mm×n(K) se define

A−B = A+ (−B)

2.2.1. Propiedades

Sean A,B ∈Mm×n(K) y α, β ∈ K. Se tiene:

1. α(A+B) = αA+ αB

2. (α+ β)A = αA+ βA

3. (αβ)A = α(βA) = β(αA)

5

2.3. Multiplicacion de Matrices

. DefinicionSean A = (aij) ∈Mm×p(K) y B = (bij) ∈Mp×n, la multiplicacion de A y B se define comoC = A ·B ∈Mm×n con

C := (cij) =

(p∑

k=1

aikbkj

).

. Actividad 7 (15 minutos) �Para las matrices A, B y C de la actividad 5 calcule A · B, B · A, A · C y C · B; en caso de no ser posiblejustifique adecuadamente.

¿Es la multiplicacion de matrices conmutativa?Si A ∈Mm×p(K) y B ∈Mp×n(K), entonces AB esta definida, ¿pero que sucede con BA?.

i) BA puede no estar definido si n 6= m

ii) Si BA esta definida, entonces BA sera de orden p× p y AB sera de orden n× n. Luego AB y BA sonde tamanos diferentes siempre que (m 6= p).

iii) Si AB y BA son del mismo tamano, ellas pueden ser diferentes.

2.3.1. Propiedades

Sean A,B,C de modo que los productos siguientes esten bien definidos. Se tiene

1. (A ·B) · C = A · (B · C)

2. A · (B + C) = A ·B +A · C

3. (A+B) · C = A · C +B · C

4. ∃ A 6= Θ, B 6= Θ : A ·B = Θ

5. α(A ·B) = (αA) ·B = A · (αB)

6

Como la multiplicacion de matrices no es conmutativa se debe tener cuidado con:

1. AB = Θ, pues no implica que A = Θ o B = Θ. En cambio, si A = Θ o B = Θ implica que AB = Θ.

. Actividad 8 (5 minutos)

Notar que para A =

(1 00 0

), B =

(0 02 0

), se tiene que AB =

y A 6= B 6= Θ.

2. AB +BC 6= B(A+ C).


Busque un contraejemplo para mostrar la aseveracion anterior.

3. AB = AC no implica necesariamente que B = C


Para A =

(1 11 1

), B =

(1 23 4

)y C =

(4 00 6

). Calcule

A ·B =

A · C =

Notar que B 6= C.

7

2.4. Transpuesta de una MatricesSea A = (aij) ∈Mm×n(K) se define la matriz transpuesta de A como la matriz At ∈Mn×m(K) donde

At := aji, ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . ,m}.

. Ejemplo

A =

1 3−2 4

5 9

, At =

(1 −2 53 4 9

).

2.4.1. Propiedades

Sean A,B ∈Mm×n(K) y α ∈ K. Se tiene:

1. (At)t = A

2. (A+B)t = At +Bt

3. (αA)t = α(A)t

4. (A · C)t = Ct ·At, ∀C ∈Mn×p(K).

. Actividad 11 (10 minutos) �Considere las matrices

At =(1 5 −1 7

), B =

(4 −2 5 2

)Calcule, en caso que sea posible, BtAt y (Bt +A)t.

8

3. Clasificacion de las matricesSegun su orden, las matrices pueden clasificarse.

1. Rectangulares. Son aquellas matrices que tienen diferente numero de filas que de columnas, es decir, m 6= n.Algunos tipos de matrices rectangulares especiales son

a) Matrices fila. Son matrices del orden 1× n, es decir, solo tienen una fila.

( a11 a12 a13 a14 . . . a1n )

b) Matrices columna. Son matrices del orden m× 1, es decir, tienen solamente una columna

a11a21a31a41...

am1

2. Cuadradas. Son matrices con igual numero de filas que de columnas, m = n. El conjunto de todas ellas se

denotara por Mn(K). Dentro de este tipo de matrices, nos encontramos con algunos tipos de matrices

a) Simetrica. Son todas aquellas matrices A = (aij) ∈ Mn(K) tales que A = At, es decir, para todoi, j = 1, . . . , n,

aij = aji


Dada la matriz

a b cd e fg h i

. Encuentre que relacion debe existir entre los valores a, b, c, d, e, f, g, h, i

para que esta sea simetrica.

9


Determine si A =

1 2 3−2 4 −5

3 −5 7

es una matriz simetrica, justifique.

b) Antisimetrica. Son todas aquellas matrices A = (aij) ∈ Mn(K) tales A = −At, es decir, para todoi, j = 1, . . . , n,

aij = −aji


Dada la matriz

a b cd e fg h i

. Encuentre que relacion debe existir entre los valores a, b, c, d, e, f, g, h, i

para que esta sea antisimetrica.

¿Como es la diagonal principal de una matriz antisimetrica?.

10


Determine si A =

0 2 −3−2 0 −5

3 5 0

es una matriz antisimetrica, justifique.

3.1. Matrices Cuadradas EspecialesLas matrices cuadradas pueden, ademas, tener formas especiales

1. Diagonal. Son todas aquellas matrices D = (dij) con todas sus entradas no diagonales nulas, es decir, dij = 0,para i 6= j.

Notacion: D = diag(d11, d22, · · · , dnn)

. Ejemplo 3 0 00 −7 00 0 5

,

(4 00 −3

),

6 0 0 00 0 0 00 0 −9 00 0 0 1

.


Escriba la matriz e indique su ordenD = diag(5, 4, 8,−1)

11

Observaciones

a) La suma, producto por un escalar y el producto de matrices diagonales son matrices diagonales.

b) El producto de dos matrices diagonales n× n cualesquiera conmutan.

Escalar. Son todas aquellas matrices diagonales tales que aii = c, ∀ 1 ≤ i ≤ n, con c constante.


De un ejemplo de una matriz escalar de orden 4.

2. Identidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principalque son iguales a 1.Notacion:

In ∈Mn(R), In = (δij)

donde

δij =

{1 , i = j0 , i 6= j

Propiedades

a) Itn = In

b) AIn = InA = A

. Ejemplo

I5 =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

.

3. Triangular Superior. Si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero, es decir,aij = 0,para i > j.

. Ejemplo (3 40 −2

),

−5 7 100 3 140 0 −1

.

12

TeoremaSi A = (aij), B = (bij) son matrices triangulares superiores, entonces

a) A+B es triangular superior y diag(a11 + b11, a22 + b22, · · · , ann + bnn).

b) kA es triangular superior y diag(ka11, ka22, · · · , kann).

c) AB es triangular superior y diag(a11b11, a22b22, · · · , annbnn).

4. Triangular Inferior. Si todas las entradas sobre la diagonal principal son iguales a cero, es decir,aij = 0,para i < j.

. Ejemplo (0 01 1

),

1 0 02 2 05 7 3

.

TeoremaSi A = (aij), B = (bij) son matrices triangulares inferiores, entonces

a) A+B es triangular inferior y diag(a11 + b11, a22 + b22, · · · , ann + bnn).

b) kA es triangular inferior y diag(ka11, ka22, · · · , kann).

c) AB es triangular inferior y diag(a11b11, a22b22, · · · , annbnn).

5. Ortogonal. A es una matriz ortogonal si AAt = AtA = In.

Toda matriz ortogonal 2× 2 tiene la forma(cos(θ) sen(θ)

− sen(θ) cos(θ)

)o

(sen(θ) cos(θ)− cos(θ) sen(θ)

)Ejemplo de matrices ortogonales

(0 1−1 0

),

12

√32

√32 − 1

2

. Actividad 18 ( Fuera del aula )Averigue cuando una matriz es Idempotente, nilpotente y normal. De un ejemplo en cada caso.

13

4. Potencias de Matrices

. DefinicionSea A ∈Mn(K) se define

1. A0 = In

2. A1 = A

3. Am+1 = AmA, m ∈ N

4.1. Propiedades1. AmAk = Am+k, m, k ∈ N

2. (At)m = (Am)t, m ∈ N

Observacion Para cualquier polinomio

p(x) = amxm + am−1x

m−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0

donde ai son escalares, se puede definir el polinomio de la matriz A, p(A)

p(A) = amAm + am−1A

m−1 + · · ·+ a2A2 + a1A+ a0In


Para A =

(1 23 −4

), determinar

1. A2 y A3

2. p(A), si p(x) = 2x2 − 3x+ 5.

3. q(A), si q(x) = x2 + 3x− 10.

14

5. Matrices Invertibles (No singulares)

. DefinicionSe dice que una matriz cuadrada A de orden n×n es invertible (o no singular) si existe una matriz B tal que

AB = BA = In.

Observaciones

1. La matriz B es unica.

2. Llamaremos a la matriz B, si es que existe, la inversa de A y la denotaremos por A−1

. Ejemplo

Con A =

(2 51 3

)y B =

(3 −5−1 2

), se tiene

AB =

(2 51 3

)(3 −5−1 2

)=

(6− 5 −10 + 103− 3 −5 + 6

)=

(1 00 1

)

BA =

(3 −5−1 2

)(2 51 3

)=

(6− 5 −15 + 152− 2 −5 + 6

)=

(1 00 1

)Luego, A es invertible y B = A−1. Las matrices A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.


Muestre que B es la inversa de A, con

A =

1 0 22 −1 34 1 8

y B =

−11 2 2−4 0 1

6 −1 −1

.

15

5.1. PropiedadesSean A y B matrices invertibles:

1. (A−1)−1 = A

2. (kA)−1) =1

kA−1, k ∈ R− {0}

3. AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1.

4. A es invertible sı, y solo si, At es invertible.

5. Las operaciones de inversion y transposicion conmutan , es decir, (At)−1 = (A−1)t

6. (Am)−1 = (A−1)m, m ∈ N

7. Si A tiene una fila o columna nula, entonces A no es invertible.

. Ejemplo

Consideremos ahora una matriz 2× 2 general

A =

(a bc d

)Encontremos un forma para calcular la inversa(

a bc d

)(x yz t

)=

(1 00 1

)(ax+ bz ay + btcx+ dz cy + dt

)=

(1 00 1

){ax+ bz = 1cx+ dz = 0

{ay + bt = 0cy + dt = 1

Para que los dos sistemas tengan solucion se tiene que ad− bc 6= 0{ax+ bz = 1cx+ dz = 0

⇒{adx+ bdz = dcbx+ bdz = 0

⇒ (ad− bc)x = d⇒ x =d

ad− bc

Ademas, z =−c

ad− bc.{

ay + bt = 0cy + dt = 1

⇒{ady + bdt = 0cby + bdt = b

⇒ (ad− bc)y = −b⇒ y =−b

ad− bc

Ademas, t =a

ad− bc.

De esta manera,

A−1 =

(x yz t

)=

1

ad− bc

(d −b−c a

).

16

. Teorema

A =

(a bc d

)∈M2(K) es invertible si, y solo si, ad− bc 6= 0.


Para A =

(4 −13 2

). Muestre que la matriz A es invertible y determine su inversa.

5.2. Operaciones ElementalesSea A ∈Mm×n(K). Se llaman operaciones elementales sobre filas de A a las siguientes operaciones

1. Intercambio de dos filas de A, la fila i con la fila j. Se escribe fi ↔ fj , ∀i, j ∈ {1, ...,m}.

2. Multiplicar una fila de A por un escalar α 6= 0. Para la fila i se escribe fi ← αfi.

3. Sumar un multiplo escalar de una fila a otra fila. Si a la fila j se suma α veces la fila i, entonces se escribefj ← fj + αfi, con α ∈ K.


1. Realizar la operacion elemental f2 ← f2 + (−2)f1 a la matriz A donde A =

2 1 0 −11 −2 1 −23 −1 0 1

17

2. Realizar la operacion elemental f1 ← (−4)f1 a la matriz B donde B =

(3 1 0 −37 −5 4 −2

)

3. Realizar la operacion elemental f3 ← f4 a la matriz C donde C =

3 11 −129 −54 9

Observacion

Cada operacion elemental puede interpretarse como una funcion F

F : Mm×n(K) → Mm×n(K)A 7→ F (A)

que a cada matriz A ∈ Mm×n(K) hace corresponder la matriz F (A) obtenida de A aplicandole la operacionelemental F .

. DefinicionDos matrices A y B enMm×n(K) se dicen equivalentes por filas si una se puede obtener de la otra medianteun numero finito de operaciones elementales.

18


Dada

A =

0 1 −1 24 −2 1 −12 1 1 0

Encuentre una matriz equivalente por filas despues de realizar a la matriz A tres operaciones elementales porfilas.

. TeoremaSi A ∈Mn(K) es equivalente por filas con la matriz identidad In, entonces A es invertible.

. ObservacionSi A es invertible, entonces la inversa de A se puede obtener aplicandole a In las mismas operaciones elemen-tales (y en el mismo orden) que permitieron pasar de A a In.


Mediante operaciones elementales determine si B es invertible con B =

(3 −9−1 3

).

19


Mediante operaciones elementales determine si A es invertible con A =

3 2 12 1 11 −3 2

.

. DefinicionSe llama matriz ampliada de A y B, con A y B de igual numero de filas, a la matriz

(A |B

)que tiene

columnas las de A y las de B (en ese mismo orden)

20


Usando la matriz ampliada, determine la inversa de la matriz dada en la actividad 24.


Usando la matriz ampliada, determine la inversa de la matriz dada en la actividad 26.

21


Verifique la inversa A−1 obtenida en la actividad anterior.

. DefinicionSea A ∈Mm×n(K) diremos que A esta escalonada por filas si satisface las dos siguientes condiciones:

i) Si aij es el primer elemento no nulo, de izquierda a derecha, de la fila i, entonces ars = 0, ∀ r > i, s ≤ j.

ii) Si aij = 0, ∀ 1 ≤ j ≤ n, entonces ars = 0, ∀ r > i, 1 ≤ s ≤ n.

ObservacionLa definicion nos dice que para determinar si una matriz esta escalonada por fila, debemos inspeccionar cadauna de las filas de modo que al ubicar el primer elemento no nulo (de izquierda a derecha), observamos quetodos los elementos bajo el y a su izquierda deben ser cero. Ademas, si posee una fila nula, esta debe estar alfinal.

. EjemploMatrices escalonadas por filas 2 3 5 7

0 0 4 30 0 0 1

,

0 20 00 0

Matrices no escalonadas por filas 2 3 5 7

0 0 4 30 0 1 1

,

7 2 30 0 00 0 1

22

. DefinicionEl rango de una matriz A ∈ Mm×n(K) , que denotaremos por r(A), es igual al numero de filas no nulas deuna forma escalonada por fila de la matriz A.

Observacion

r(A) ≤ mın{m,n}, ∀A ∈Mm×n(K).


Determine una forma escalonada por fila de la matriz M =

2 1 0 1−1 1 1 0

0 −1 −2 1

y calcule el rango de M .

Determine una forma escalonada por fila de la matriz L =

0 2 −30 4 −60 1 10 10 −15

y calcule el rango de L.

23

6. Cierre (Actividad fuera del aula)

a) Encuentre la matriz X tal que (2I2 +Xt)−1 = A2, donde A =

(2 40 1

).

b) Para la matriz B =

2 3 −5 01 5 −1 7−1 2 4 7

, encuentre una forma escalonada por filas y calcule el rango de

B.

24

c) Considere M =

0 4 31 0 30 2 0

. ¿Es M invertible?, justifique. Si lo es, calcule M−1 utilizando operaciones

elementales por filas.

25

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