PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS;

METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

2ND ORDER LINEAR ODE (NON-HOMOGEN)

𝑦′′ + 𝑝 𝑡 𝑦′ + 𝑞 𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑔(𝑡) ≠ 0

Bentuk standar dari linear ODE orde dua non-homogen adalah seperti berikut ini:

Setiap persamaan non-homogen berkorelasi dengan persamaan homogen

𝑦′′ + 𝑝 𝑡 𝑦′ + 𝑞 𝑡 𝑦 = 0

Note : Dua persamaan diatas adalah persaman yang sama dimana mempunyai struktur yang sama di sebelah kiri.

Persamaan kedua (bawah) adalah versi homogen dari persamaan pertama (atas)

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SOLUSI

𝑦′′ + 𝑝 𝑡 𝑦′ + 𝑞 𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑡

Solusi umum untuk persamaan linear orde dua nonhomogen adalah seperti berikut ini:

𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑌Dimana :

𝑦𝑐 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 adalah solusi pelengkap untuk persamaan homogen

𝑌 adalah fungsi spesifik yang memenuhi persamaan non-homogen

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SOLUSI – SOLUSI UNTUK PERSAMAAAN 2ND LINEAR

ODE NON-HOMOGEN

Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi pelengkap dapat dengan mudah dicari

dengan mencari akar dari persamaan karakteristik polinom. Akan selesau terdapat 3 bentuk solusi yaitu :

Sehingga pekerjaan yang tersissa untuk persamaan non-homogen adalah mencari nilai 𝑌

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

METODE PENDEKATAN UNTUK MENCARI SOLUSI Y

• Metode penentuan koefisien (Judicious Guessing)

• Variasi dari parameter

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

METODE PENENTUAN KOEFISIEN (JUDICIOUS

GUESSING)

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS 1

𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑡 + 𝐶2𝑒

3𝑡

Tentukan soslusi dari persamaan non-homogen berikut ini:

Ambil persamaan homogen dari persamaan non-homogen

Faktorkan karakteristik polinom dari persamaan homogen

Solusi dari persamaan homogen nya adalah

Tahap 1 : Selesaikan persamaan homogennya terlebih dahulu !

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS1 (LANJUTAN..)

Tentukan solusi dari persamaan non-homogen berikut ini:

Pada persamaan non-homogen nilai 𝑔 𝑡 = 𝑒2𝑡, dimana pada persamaan eksponensial 𝑒2𝑡 , dimana bentuk

persamaannya tidak akan berubah setelah proses penurunan (𝑌 = 𝐴𝑒𝑥𝑡 ⇒ 𝑌′ = 𝑥𝐴𝑒𝑥𝑡). Sehingga

persmaaan non –homogen dapat diselesaikan dengan 𝐴𝑒2𝑡 dengan koefisien yang belum diketahui.

𝑌 = 𝐴𝑒2𝑡

𝑌′ = 2𝐴𝑒2𝑡

𝑌′′ = 4𝐴𝑒2𝑡Subtitusikan ke persamaan

𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 𝑒2𝑡

4𝐴𝑒2𝑡 − 2 2𝐴𝑒2𝑡 − 3 𝐴𝑒2𝑡 = 𝑒2𝑡

−3 𝐴𝑒2𝑡 = 𝑒2𝑡

𝐴 = −1

3

𝑌 𝑡 = −1

3𝑒2𝑡

Solusi Akhir : Note : jika g(t) adalah persamaan ekponensial maka Y juga

merupakan eksponensial dengan pangkat yang sama

dengan g(t)

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS 2

Tentukan solusi dari persamaan non-homogen berikut ini:

Solusi dari persamaan homogen 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑡 + 𝐶2𝑒

3𝑡

𝑔 𝑡 = 3𝑡2 + 4𝑡 + 5Persamaan nonhomogen 𝑌 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶

𝑌 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶

𝑌′ = 2𝐴𝑡 + 𝐵

𝑌′′ = 2𝐴

Subtitusikan ke pers.

𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 3𝑡2 + 4𝑡 − 5

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS 2 (LANJUTAN)

Subtitusikan koefisien A,B, C ke persamaan

𝑌 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶

Solusi lengkap

Maka

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS 3

Tentukan solusi dari persamaan non-homogen berikut ini:

Solusi dari persamaan homogen 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑡 + 𝐶2𝑒

3𝑡

Persamaan non-homogen 𝑔 𝑡 = 5cos(2𝑡)

𝑌 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛(2𝑡)Jika diturunkan bentuk akan berubah maka

𝑌′′ = −4𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝑡 − 4𝐵𝑠𝑖𝑛(2𝑡)

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

KASUS3 (LANJUTAN..)

Subtitusikan hasil turunannya ke persamaan

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

KASUS3 (LANJUTAN..)

Bandingkan kooefiesiennya

Maka didapatkan solusi Y adalah

Solusi lengkap