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Sea
N
iix
N 1
1 y
N
iix
N 1
22 1
Nótese que para calcular estos valores es necesario medir a todos los individuos de la población
donde N es el tamaño de la población.
NxxxX ,...,, 21 una variable aleatoria discreta.
Introducción
Se definen la media y la varianza poblacional de X denotadas por y 2 respectivamente, como
Media y varianza poblacional
Introducción
Definición: Un parámetro es un valor calculado a partir de todos los valores de cierta variable en una población. Un parámetro es un valor constante y caracteriza a la población. (ej. y ).Los valores de los parámetros de una población son generalmente desconocidos y determinarlos (estimarlos) es el propósito de la inferencia estadística. Definición: Una estadística es un valor calculado a partir de los datos de una muestra. Una estadística es entonces una variable aleatoria ya que toma diferente valores para cada muestra. (ej. Media, mediana, moda, varianza, DAM, S de una muestra).
Definición: La distribución de todos los valores posibles que puede tomar alguna estadística, calculados a partir de muestras del mismo tamaño extraídas al azar de la misma población, se conoce como distribución muestral de esa estadística.
La distribución muestral de una estadística puede construirse empíricamente cuando se obtiene de una población finita, discreta.
Para construir una distribución muestral se siguen los siguientes pasos:
1. De una población finita de tamaño N, se extraen al azar todas las muestras posibles de tamaño n, con reemplazo.
2. Se calcula la estadística de interés para cada muestra
3. Se construye la tabla de frecuencias, la cual es la función de distribución del estadístico correspondiente.
Introducción
Distribución de la media muestral
Para ilustrar este procedimiento construiremos la función de distribución de la media muestral de una pequeña población conformada por el número de huevos de 5 tortugas Laud que desovaron en cierta playa.
El número de huevos por tortuga fue de 68 70 72 74 y 76
El número de muestras posibles de tamaño 2 con sustitución es de 25
(68,68), (68,70), (68,72), (68,74), (68,76), (70,68), (70,70), (70,72), (70,74), (70,76), (72,68), (72,70), (72,72), (72,74), (72,76), (74,68), (74,70), (74,72), (74,74), (74,76), (76,68), (76,70), (76,72), (76,74), (76,76)
Distribución de la media muestral
x 68 70 72 74 76
68
70
72
74
76
68 69 70 71 72
69 70
70
71
71
72
72 73
73
73
7371 72
72
74
74
74
75
75 76
Tabla de frecuencias
x f~
f
68
69
70
71
72
73
74
75
76
1
2
3
4
5
4
3
2
1
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.16
0.12
0.04
0.08
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
68 69 70 71 72 73 74 75 76
Distribución de la media muestral
La media de la población es:
5
7674727068 5
360 72
La varianza de la población es:
5
72767274727272707268 222222
5
16404168
5
40
Distribución de la media muestral
Calcúlese ahora la media de todas las medias:
25
)1(76)2(75)3(74)4(73)5(72)4(71)3(70)2(69)1(68x
25
7615022229236028421013868
25
180072
Por lo tanto
x
Distribución de la media muestral
Calcúlese ahora la varianza de la media muestral
25
)5(7272)4(72713727027269)1(7268 222222x
25
1727627275)3(7274)4(7273 2222
25
1618124041218164
25
100
nx
22 Por lo tanto
Teorema del Límite Central
Sea X una variable aleatoria con cualquier distribución, con media y varianza 2. La función de distribución de la media muestral es aproximadamente normal con media y desviación estándar
n
Cuando el tamaño de la muestra (n) es grande.
Distribución de la media muestral
Este resultado puede generalizarse en el siguiente teorema:
Distribución de la media muestral
0.95
n
2n
21x 2x3x 4x
Distribución de la media muestral
Cuando la distribución de X es normal la distribución de la media muestral es normal con media y desviación estándar
n
Sin importar el tamaño de la muestra.
¿Que tan grande debe ser el tamaño de la muestra para que la distribución de la media muestral sea aproximadamente normal, cuando proviene de una población con distribución diferente a la normal?
El tamaño de la muestra depende del grado de no normalidad de la población. Sin embargo, una regla empírica señala que una muestra de tamaño 30 es suficiente, en la mayoría de las situaciones, para aplicar el teorema del límite central.
Distribución de la media muestral
Ejemplo:
Se sabe que el peso de los pargos se distribuye aproximadamente normal con media 2.4 kg. y desviación estándar de 0.6 kg. Si se toma una muestra al azar de 10 pargos, calcule la probabilidad de que tengan un peso medio entre 2.56 y 2.74.
4.2 y 6.0
Entonces:
)74.256.2( xP
10
6.04.274.2
10
6.04.256.2
zP
19.0
34.0
19.0
16.0zP
78.184.0 zP )84.0()78.1( zPzP 2995.04625.0 0.1629
La población es muy grande comparada con el tamaño de la muestra y se sabe que:
