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CAPITULO 6
NOCIONES SOBRE GEOMETRIA DIFERENCIAL I
6 1 Ecuaciones de la tangente a una curva En elmiddot capitulo 5 hemos visto como las lin~as alabeadas 0 del espacio se represenshytan mediante ecuaciones parametricas
(1) x = x(a) y = y(a) z-- z(a)
las cuales se reducen en sintesis a una ecuacion vectorial
(2) r = r(a)
donde r designa el vector que une el origen de la terna con el punto p (x y z) Al vector r se Ie menciona como coordenada vectorial vector de posicion etc
Se dijo ademas que los parametros empleados con mayor freshycuencia para describir una curva eran en Geuroometria Diferencial la longitud s de linea longitud medida a partir de un origen conshyvencional en Cinematica el tiempo transcurrido desde el paso del movil por una determinada posicion en la trayectoria
En este capitulo se considerara exclusivamente el parametro s
Pasamos a deducir las ecuadones de Ia tangente geometrica a una curva del espacio (Figura 6-1)
Consideiemos el punto P(x y z) que supondremos fijo en la cui-va y un punta Ph variable en el entorno de P
Pl tendra por coordenadas
(3) x + ~x y + ~y z + ~z que son como es obvio las comshy
ponentes del vector OP1
Se escribe ahora
O)l------r-shy
(4) OP1 = rl= i(x + AX) + j (y +AY) + k(z + AZ)
(5) OP = r = ix + jy + kz
de las cuales se obtiene por substraccion
(6) OP - OP = PP1 = Ar = iAx + JAY + kAZ
Formemos ahora Ia ecuaci6n deJa secante que une los puntos PP1 bull Utilizaremos Ietras maylisculas para designar puntos de Ia seshycante ~n general minlisculas para designar lasgt coordenadas del punto fijo P Emplearemos ademiis como pariimetro Ia abscisa curvilinea s
La ecuaci6n de Ia secante expresa que las compollEmtes de los vectores PL PPl son proporcionales ~ saber
x - x _ y- y Z ~ Z (7) - =
AX AY
Al dividir los incrementos por AS las ecuaciones (7) se mOdishyfican asi
X-x Y-y Z-z(8) ----- shy
AXAS AYAS AZAS
La tangente se define como Ia secante en Ia posicion limite 0
sea aqtiella posici6n a que se acerca Ia secante cuando el punto PI tiende a confundirse con P
Aparecen entonces las derivadas
limlx _ dx(9) = x etc AS ds
AS~ 0
con 10 cuallas ecuaciones de Ia tangente se escriben
X - X _ Y - Y Z -z (10) -- - 1- =~- Si voIvemos ahora a Ia relaci6n (6) resuitafiicil ver Ia coneshy
xion que existe entre Ia derivada del veCtor r y las derivadas de las coordenadas Al efecto dividiendo Ia (6) por ~s se tiene
Ar _ AX + AY + k AZ(11) ---1-- ]-- - shyAS AS AS AS
de Ia cual se obtiene al hacer tender AS a cero
82 ~~
dzdy + kdr - shy(i2) shy ds dsds
0 seglin Ia notaci6n de Lagrange
(13) = ix + jy + kz
Si se tiene en cuentaque r es el vector unitario t (versor tanshygente) podemos escribir
(14) x = cos a y = cos f3 z = cos y
donde cos a et~ son los cos enos directores de Ia tangente para el
punta P
La ecuaci6n vectorial de Ia tangente sintetiza las ecuaciones (10) Si se introduce Ia variable auxiliar empleada en Geometria
anaIitica
CPS)(15) --- =p
(PT)
(S punta (X Y Z) T extremo del versor t) las (10) dan Iugar a Ia siguiente relaci6n
(16) R = r + ~P
En esta expOSlClOn mantendremos cierto paralelismo entre los procedimientos y expresiones cartesianas y los vectoriales EI metoshydo en general consistirii en pasar de Ia expresi6n cartesiana (Aniishylisis) a la veCtorial (Sintesis) y viceversa
Volviendoa las ecuaciones de Ia tangente vemos como ellas pueden ser escritas con empleo de diferenciales asi
X-x Y-y Z -Z (17)
dx dy dz
Ocurre muchas veces que una curva alabeada aparece definida como interseccion de dos superficies cuyas ecuaciones escribimos de manera general asi
(18) f(xyZ) = 0 11 (xyz) = 0
Para obtener en este caso las ecuaciones de Ia tangente a Ia curshyva intersecci6n de las (18) se PMe como sigue
g ~~ UNlVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
s~o~ flltI~1N
83
dr dx + dy dz(i2) -- = 1 -- J +k ds ds ds
0 segun la notaci6n de Lagrange
(13) = ix + jy + kz
Si se tiene en cuentaque r es el vector unitario t (versor tanshygente) podemos escribir
(14) x = cos a y = cos 3 z = cos y
donde cos a etc son los cosenos directores de la tangente para el punta P
La ecuaci6n vectorial de la tangente sintetiza las ecuaciones (10) Si se introduce la variable auxiliar empleada en Geometria analitica
(PS)(15) --- =p
(PT)
(8 punto (X Y Z) T extremo del versor t) las (10) dan lugar a la siguiente relaci6n
(16) R = r + Jp
En esta expOSlClOn mantendremos eierto paralelismo entre los procedimientos y expresiones cartesianas y los vectoriales EI metoshydo en general consistira en pasar de Ia expresi6n cartesiana (Anashyisis) a Ia vectorial (Sintesis) y viceversa
Volviendo a las ecuaciones de la tangente vemos como elIas pueden ser escritas con empleo de diferenciales asf
X-x Y Z~z
dx dy dz
Ocurre muchas veces que una curva alabeada aparece definida como intersecci6n de dos superficies cuyas ecuaciones escribimos de manera general asi
(18) f(xyz) = 0 11 (xyz) = 0
Para obtener en este caso las ecuaciones de Ia tangente a Ia curshyva lntersecci6n de las (18) se bull como sigue
~ 83
UNlVERSIDAD NAtIONAL OE COLOMBIA IiDl I)fl~1N
DEPTO ns Bl8LIOTECAS
(25)
84
de Las ecuaciones de la tangente a Ia curva intersecci6n definida
85
Se efectua Ia diferenciaci6n de las ecuaciones (18) con 10 que se tiene
(19) ~dx+ dy dz = 0 ax ay az
(20) atl dx afl dy + dz = 0 ax ay az
De estas ecuaciones se deduce
af ay afaz (21) dx dy dzshy
aflay afl az
afax af ayafax af az
afdaxafd ax
valores que llevados a (17) resuelven Ia euesti6n
Mas resulta preferible proceder de Ia manera siguiente
Se despejan de (17) dXdy dzy se reemplazanen (19) y (20) con 10 eual se obtiene
(22) (X - x) (aflax) + (Y y) (allay) (Z - z) (allaz) = 0
(23) (X - x) (allax) + (Y y) (afday) (Z z) (aId az) = 0
Las (22) y (23) vienen a ser las ecuaciones de la tangente aIa curva considerada Son ecuaciones de dos pIanos puesto que son Ji- 1
neales en X Y Z Tendremos ocasion mas adelante de analizar su significado
Obtendremos ahora de manera directa por medio del Ca1culo vectorial las ecuaciones de Ia tangente ala eurva Sea (Figura 61) FS un vector en Ia tangente con origen en P sus componentes valeri
(24) X-x Y Vi Z-z
Por otra parte considerando et versor tangente t cuyas comshyponentes son (x V z) formaremos el producto vectorial de los dos vectores mencionados que por ser estos colineales igualaremos a cero teniendose
Las componentes de es[e producto vectorial se obtienen como cofacshytores de Ia primera linea en el determinante simb6lico
i k
(26) X-x Y-y Z-z =0
y x z
EI desarrollo de este determinante es
(27) [ (Y y)z - (Z - z)x]i + [(Z z)x - (X x) zJi
+ [(X - x)y - (Y -y)x]k = 0
igualdad a cero que implica Ia de las tres componentes
(Y-y)z- (Z-z)y - 0 (28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente Ia (10)
6 2 Plano tangente a una superficie Sea una superficie de ecuacion
(1)
Nos proponemos hallar el Iushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que serta posishy M
ble trazar sobre Ia superficie con- siderada a traves de un punto P ordinario de Ia misma (Figura 6-2) Por punto ordinario se enshy ---4amp0J-_____ tiende todo pun to de Ia superficie en el cual no se anulen a Ia vez las tres derivadas parciales de primer orden de I(xyz) con resshy F-itJ -Z pecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre Ia superficie (S) Ia curva tendra ecuaciones de Ia forma
(2) I(xvz) = 0 fl (xyz) = 0
donde fl (xyz) = 0 viene a ser Ia eeuacionr de una segunda supershy
Las componentes de este producto vectorial se obtienen como cofacshytores de la primera linea en el determinante simb6Iico
i k
(26) X-x Y-y Z Z =0
x y Z
El desarrollo de este determinante es
(27) [(Y-y)z-(Z-z)xJi+[(Z z)x (X-x)zJi
+ [(X - x)y - (Y -p)x]k = 0
igualdad a cero que implica la de las tres componentes
(Y -y)z - (Z-z)y - 0(28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente la (10)
6 2 Plano tangente a una superlide Sea una superficie de ecuaci6n
(1) I(xyz) o
Nos proponemos hallar el lushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que seria posishyble trazar sobre la superficie conshysiderada a traves de un punto P ordinario de la misma (Figura 6-2) Por punto ordinaria se enshytiende todo punto de la superficie en el cual no se anulen a la vez las tres derivadas parciales de primer orden de I (xyz) con resshypecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre la superficie (S) la curva tendra ecuaciones de la forma
(2) I(xyz) = 0 11 (xyz) = 0
donde 11 (xyZ) = 0 viene a ser la ecuaci6ni de una segunda supershycie Las ecuaciones de la tamrente a la curva intersecci6n definida
85
por las (2) estfm escritas en (22) y (23) del numero 61siendo innecesario repetirlas aqui
Si ahora imaginamos una variedad infinita de superficies Ii (xyz) = 0 (i = 12 3 ) las cuales contengan el punta P obshytendremos ellugar geometrico de las tangentes al eli minar
(3) ay az
en el sistema (22) (23) ampliado a las nuevas funciones eliminashycion que resulta innecesaria puesto que la ecuacion (22) es indepenshydiente de las li(XyZ) = 0 Ellugar geometrico viene a ser en conshysecuencia
al al ai shy(4) (X - x) - + (Y - y) - + (Z - z) - = u
ax ay az
que como habiamos dicho ya es ecuacion de un plano el plano tanshygentea la superficie en el punta considerado
Resulta ahora facil interpretar las ecuaciones (22) (23) Esshytas representan la tangente a la linea interileccion de las superfi shycies I = 0 11 = 0 Pero la tangente no es otra cosa que la arista seshygun la cual se cortan los dos pIanos tangentes a las superficies en el punta considerado
6 3 El gradiente Se da el nombre de gradiente de Ia supershyficie I (x y z) - 0 al vector cuyas componlltlnteil son
al _ aj al(1) -- azax ay
En todo punto ordinario de la superfici~ dicho vector tendra modulo diferente de cero
El gradiente es un vector de grande importancia en Fisica mashytematica Como vamos a demostrar es perpendicular ala superfi shycie en el punta ltonsiderado
Sea el vector PM que en el plano tangente une el punta P con el punta (X Y Z) Las componentes de este ultimo vector son
(1) (X - x) (Y - y) (Z - z)
Ahora bien sielgradiente se designa por G la ecuacion 0) del plano tangentepuede escribirse
86
(2) PMG = deg 10 que demuestra que G es perpendicular a PM y por consiguiente al plano tangente puesto que el punta M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente est la normal a la sushyperficie
El modulo del gradiente vale
(3) G = [(allax)2 + (allay)2 + (allaz)2]V
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica por e]emplo en el estudio del calor se consideran fun- ciones escalaresde los puntos a saber
(1) I(x y z) = C
Tales funciones definen superficies y para losdiv~rsos valores de C definen una familia de superficies cuyos elementos compOllenshytes no se cortan
l Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto shy
(2) 11 (x y z) Cl
I~ (x y z) = C2
Xo+4JC bullbullbull J 11 Sean por otra parte P (x y z) un
-------------- punta en la primera Q (x + AX
y + AY z + AZ) un punto en la segtinda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshyrq C-J memos la razon de incrementos
12 (x + ~x y + AY z + AZ) - 11 (x y z) (3) AS
El limite de esta razon cuando AS tiende acero (f2 -+ It) reshycibe elnombre de derivada direccional de fl en la direccion PQ
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
df _ ald~ + afdy afdz(4) +ds Bxds ayds azds
87
(2) PMG = 0
10 que demuestra que G es perpendicular aPM y por consiguiente aI plano tangente puesto que el punto M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente eSi la normal a la sushype1ficie
EI modulo ltdel gradiente vale
(3) G = [(alax)2 + (alay)2 + (alaz)2]h
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica p~r e]emplo en el estudio del calor se consideran fun-middot cione~ escalaresde lo~ puntos a saber lt
(1) I(x y z) = c Tales funciones definen superficies y para los div~rsos valores
de C definen una familia de superficies cuyos elementos componenshytes no se cortan
l
(3)
X+4JC bullbullbull J
Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto
(2) 11 (x y z)middot = C1
12 (x y z) = C2
1J Sean por otra parte P(x y z) un r----------shy punto en la primera Q(x + AX
PLj -3
Y + AY Z +AZ) unmiddot punto en Ia segunda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshymemos la razon de incrementos
11 (x y z)
~s
EI limite de esta razOn cuando AS tiende a cero (If ~ 11) reshycibe el nombre de derivada direccional de 110 en la direccion PQ
(4)
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
ds aldxmiddot afdy+ +axdsmiddot middotaydsmiddot
iJldz iJzds
87
---
Tratemos de interpretar esta relaci6n En primer lugar se obshyserva que los cosenos directores de PQ tienen POl valor
dx qV dz(5)
ds dsas middot que pueden ser considerados como las componentes de un vector unishytario e dirigido segun PQ (vector de direcci6n 0 versor) En conshysecuencia la (4) puede escribirse como producto escalat aSi
(6) df = Ge = G cos v ds
middot donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la supershyficie en P (dirigida hacia fJ La relaci6n (6) hace vel como la deshyrivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradienshyte por cos v 0 sea que es igual a la proyeccion del vector gradiente sobre la direcci6n PQ
Por In anterior seconcluye que elmiddot modulo del gradiente corresshyponde al valor mas alto de laderivada direccional en otras palashybras el gradiente mide en direccion intensidad y sentido la variashy
middot cion mas rapida de Ia funci6n
f(x v z) = C
6 5 El plano normal
El plano normal en punta ordinashyrio de una curva es por definishyci6n el plano perpendicular a Ia tangente construido en e1 punto considerado
Tiene como ecuaci6n vectorial la siguiente
(1) PMt = 0
~j C-4 cuya expresi6n cartesiana es
(2) (X - x) (dxds) + (Y - y) (dvjds) + (Z z) (dzds) = 0
6 6 El plano osculador Un elemento geometrico de grande importancia en el estudio de curvas alabeadas es el plano osculador Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional un papel anaJogo al de la tangentepara las curvas planas Segun vereshy
88
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalela con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curv~ alabeada (Figura 6-4) pun punta ordinario en la misma y el versort correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + ~x V + ~V z + ~z Al hacer tender Hhacia P el plano gira alrededor dela tanshy
gente acercandose a una posici6n limite para la cualmiddot hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punt6 P
2) A(Xmiddot x) + B(Y V) + C(Z - z) = 0
La extremidad del versor tangentemiddot tiene por coordenadas
~3) x + x V + V z + z En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n
(4) Ax + By + Cz = 0
Si el plano contiene ademas el punto H se verifica
(5) A~x + B~V +CAZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x ~y ~Z para tener
(6) AX = xAs + (x21) (~s)2(x3) (AS)3 + etc Substituyendola(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + BV + Cz)~s + (Ax + BV + Cz) (AS)22 + = 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la s~shyrie restante por (As)22 y haciendo tender acero AS se obtiene
89
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
(4) OP1 = rl= i(x + AX) + j (y +AY) + k(z + AZ)
(5) OP = r = ix + jy + kz
de las cuales se obtiene por substraccion
(6) OP - OP = PP1 = Ar = iAx + JAY + kAZ
Formemos ahora Ia ecuaci6n deJa secante que une los puntos PP1 bull Utilizaremos Ietras maylisculas para designar puntos de Ia seshycante ~n general minlisculas para designar lasgt coordenadas del punto fijo P Emplearemos ademiis como pariimetro Ia abscisa curvilinea s
La ecuaci6n de Ia secante expresa que las compollEmtes de los vectores PL PPl son proporcionales ~ saber
x - x _ y- y Z ~ Z (7) - =
AX AY
Al dividir los incrementos por AS las ecuaciones (7) se mOdishyfican asi
X-x Y-y Z-z(8) ----- shy
AXAS AYAS AZAS
La tangente se define como Ia secante en Ia posicion limite 0
sea aqtiella posici6n a que se acerca Ia secante cuando el punto PI tiende a confundirse con P
Aparecen entonces las derivadas
limlx _ dx(9) = x etc AS ds
AS~ 0
con 10 cuallas ecuaciones de Ia tangente se escriben
X - X _ Y - Y Z -z (10) -- - 1- =~- Si voIvemos ahora a Ia relaci6n (6) resuitafiicil ver Ia coneshy
xion que existe entre Ia derivada del veCtor r y las derivadas de las coordenadas Al efecto dividiendo Ia (6) por ~s se tiene
Ar _ AX + AY + k AZ(11) ---1-- ]-- - shyAS AS AS AS
de Ia cual se obtiene al hacer tender AS a cero
82 ~~
dzdy + kdr - shy(i2) shy ds dsds
0 seglin Ia notaci6n de Lagrange
(13) = ix + jy + kz
Si se tiene en cuentaque r es el vector unitario t (versor tanshygente) podemos escribir
(14) x = cos a y = cos f3 z = cos y
donde cos a et~ son los cos enos directores de Ia tangente para el
punta P
La ecuaci6n vectorial de Ia tangente sintetiza las ecuaciones (10) Si se introduce Ia variable auxiliar empleada en Geometria
anaIitica
CPS)(15) --- =p
(PT)
(S punta (X Y Z) T extremo del versor t) las (10) dan Iugar a Ia siguiente relaci6n
(16) R = r + ~P
En esta expOSlClOn mantendremos cierto paralelismo entre los procedimientos y expresiones cartesianas y los vectoriales EI metoshydo en general consistirii en pasar de Ia expresi6n cartesiana (Aniishylisis) a la veCtorial (Sintesis) y viceversa
Volviendoa las ecuaciones de Ia tangente vemos como ellas pueden ser escritas con empleo de diferenciales asi
X-x Y-y Z -Z (17)
dx dy dz
Ocurre muchas veces que una curva alabeada aparece definida como interseccion de dos superficies cuyas ecuaciones escribimos de manera general asi
(18) f(xyZ) = 0 11 (xyz) = 0
Para obtener en este caso las ecuaciones de Ia tangente a Ia curshyva intersecci6n de las (18) se PMe como sigue
g ~~ UNlVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
s~o~ flltI~1N
83
dr dx + dy dz(i2) -- = 1 -- J +k ds ds ds
0 segun la notaci6n de Lagrange
(13) = ix + jy + kz
Si se tiene en cuentaque r es el vector unitario t (versor tanshygente) podemos escribir
(14) x = cos a y = cos 3 z = cos y
donde cos a etc son los cosenos directores de la tangente para el punta P
La ecuaci6n vectorial de la tangente sintetiza las ecuaciones (10) Si se introduce la variable auxiliar empleada en Geometria analitica
(PS)(15) --- =p
(PT)
(8 punto (X Y Z) T extremo del versor t) las (10) dan lugar a la siguiente relaci6n
(16) R = r + Jp
En esta expOSlClOn mantendremos eierto paralelismo entre los procedimientos y expresiones cartesianas y los vectoriales EI metoshydo en general consistira en pasar de Ia expresi6n cartesiana (Anashyisis) a Ia vectorial (Sintesis) y viceversa
Volviendo a las ecuaciones de la tangente vemos como elIas pueden ser escritas con empleo de diferenciales asf
X-x Y Z~z
dx dy dz
Ocurre muchas veces que una curva alabeada aparece definida como intersecci6n de dos superficies cuyas ecuaciones escribimos de manera general asi
(18) f(xyz) = 0 11 (xyz) = 0
Para obtener en este caso las ecuaciones de Ia tangente a Ia curshyva lntersecci6n de las (18) se bull como sigue
~ 83
UNlVERSIDAD NAtIONAL OE COLOMBIA IiDl I)fl~1N
DEPTO ns Bl8LIOTECAS
(25)
84
de Las ecuaciones de la tangente a Ia curva intersecci6n definida
85
Se efectua Ia diferenciaci6n de las ecuaciones (18) con 10 que se tiene
(19) ~dx+ dy dz = 0 ax ay az
(20) atl dx afl dy + dz = 0 ax ay az
De estas ecuaciones se deduce
af ay afaz (21) dx dy dzshy
aflay afl az
afax af ayafax af az
afdaxafd ax
valores que llevados a (17) resuelven Ia euesti6n
Mas resulta preferible proceder de Ia manera siguiente
Se despejan de (17) dXdy dzy se reemplazanen (19) y (20) con 10 eual se obtiene
(22) (X - x) (aflax) + (Y y) (allay) (Z - z) (allaz) = 0
(23) (X - x) (allax) + (Y y) (afday) (Z z) (aId az) = 0
Las (22) y (23) vienen a ser las ecuaciones de la tangente aIa curva considerada Son ecuaciones de dos pIanos puesto que son Ji- 1
neales en X Y Z Tendremos ocasion mas adelante de analizar su significado
Obtendremos ahora de manera directa por medio del Ca1culo vectorial las ecuaciones de Ia tangente ala eurva Sea (Figura 61) FS un vector en Ia tangente con origen en P sus componentes valeri
(24) X-x Y Vi Z-z
Por otra parte considerando et versor tangente t cuyas comshyponentes son (x V z) formaremos el producto vectorial de los dos vectores mencionados que por ser estos colineales igualaremos a cero teniendose
Las componentes de es[e producto vectorial se obtienen como cofacshytores de Ia primera linea en el determinante simb6lico
i k
(26) X-x Y-y Z-z =0
y x z
EI desarrollo de este determinante es
(27) [ (Y y)z - (Z - z)x]i + [(Z z)x - (X x) zJi
+ [(X - x)y - (Y -y)x]k = 0
igualdad a cero que implica Ia de las tres componentes
(Y-y)z- (Z-z)y - 0 (28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente Ia (10)
6 2 Plano tangente a una superficie Sea una superficie de ecuacion
(1)
Nos proponemos hallar el Iushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que serta posishy M
ble trazar sobre Ia superficie con- siderada a traves de un punto P ordinario de Ia misma (Figura 6-2) Por punto ordinario se enshy ---4amp0J-_____ tiende todo pun to de Ia superficie en el cual no se anulen a Ia vez las tres derivadas parciales de primer orden de I(xyz) con resshy F-itJ -Z pecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre Ia superficie (S) Ia curva tendra ecuaciones de Ia forma
(2) I(xvz) = 0 fl (xyz) = 0
donde fl (xyz) = 0 viene a ser Ia eeuacionr de una segunda supershy
Las componentes de este producto vectorial se obtienen como cofacshytores de la primera linea en el determinante simb6Iico
i k
(26) X-x Y-y Z Z =0
x y Z
El desarrollo de este determinante es
(27) [(Y-y)z-(Z-z)xJi+[(Z z)x (X-x)zJi
+ [(X - x)y - (Y -p)x]k = 0
igualdad a cero que implica la de las tres componentes
(Y -y)z - (Z-z)y - 0(28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente la (10)
6 2 Plano tangente a una superlide Sea una superficie de ecuaci6n
(1) I(xyz) o
Nos proponemos hallar el lushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que seria posishyble trazar sobre la superficie conshysiderada a traves de un punto P ordinario de la misma (Figura 6-2) Por punto ordinaria se enshytiende todo punto de la superficie en el cual no se anulen a la vez las tres derivadas parciales de primer orden de I (xyz) con resshypecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre la superficie (S) la curva tendra ecuaciones de la forma
(2) I(xyz) = 0 11 (xyz) = 0
donde 11 (xyZ) = 0 viene a ser la ecuaci6ni de una segunda supershycie Las ecuaciones de la tamrente a la curva intersecci6n definida
85
por las (2) estfm escritas en (22) y (23) del numero 61siendo innecesario repetirlas aqui
Si ahora imaginamos una variedad infinita de superficies Ii (xyz) = 0 (i = 12 3 ) las cuales contengan el punta P obshytendremos ellugar geometrico de las tangentes al eli minar
(3) ay az
en el sistema (22) (23) ampliado a las nuevas funciones eliminashycion que resulta innecesaria puesto que la ecuacion (22) es indepenshydiente de las li(XyZ) = 0 Ellugar geometrico viene a ser en conshysecuencia
al al ai shy(4) (X - x) - + (Y - y) - + (Z - z) - = u
ax ay az
que como habiamos dicho ya es ecuacion de un plano el plano tanshygentea la superficie en el punta considerado
Resulta ahora facil interpretar las ecuaciones (22) (23) Esshytas representan la tangente a la linea interileccion de las superfi shycies I = 0 11 = 0 Pero la tangente no es otra cosa que la arista seshygun la cual se cortan los dos pIanos tangentes a las superficies en el punta considerado
6 3 El gradiente Se da el nombre de gradiente de Ia supershyficie I (x y z) - 0 al vector cuyas componlltlnteil son
al _ aj al(1) -- azax ay
En todo punto ordinario de la superfici~ dicho vector tendra modulo diferente de cero
El gradiente es un vector de grande importancia en Fisica mashytematica Como vamos a demostrar es perpendicular ala superfi shycie en el punta ltonsiderado
Sea el vector PM que en el plano tangente une el punta P con el punta (X Y Z) Las componentes de este ultimo vector son
(1) (X - x) (Y - y) (Z - z)
Ahora bien sielgradiente se designa por G la ecuacion 0) del plano tangentepuede escribirse
86
(2) PMG = deg 10 que demuestra que G es perpendicular a PM y por consiguiente al plano tangente puesto que el punta M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente est la normal a la sushyperficie
El modulo del gradiente vale
(3) G = [(allax)2 + (allay)2 + (allaz)2]V
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica por e]emplo en el estudio del calor se consideran fun- ciones escalaresde los puntos a saber
(1) I(x y z) = C
Tales funciones definen superficies y para losdiv~rsos valores de C definen una familia de superficies cuyos elementos compOllenshytes no se cortan
l Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto shy
(2) 11 (x y z) Cl
I~ (x y z) = C2
Xo+4JC bullbullbull J 11 Sean por otra parte P (x y z) un
-------------- punta en la primera Q (x + AX
y + AY z + AZ) un punto en la segtinda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshyrq C-J memos la razon de incrementos
12 (x + ~x y + AY z + AZ) - 11 (x y z) (3) AS
El limite de esta razon cuando AS tiende acero (f2 -+ It) reshycibe elnombre de derivada direccional de fl en la direccion PQ
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
df _ ald~ + afdy afdz(4) +ds Bxds ayds azds
87
(2) PMG = 0
10 que demuestra que G es perpendicular aPM y por consiguiente aI plano tangente puesto que el punto M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente eSi la normal a la sushype1ficie
EI modulo ltdel gradiente vale
(3) G = [(alax)2 + (alay)2 + (alaz)2]h
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica p~r e]emplo en el estudio del calor se consideran fun-middot cione~ escalaresde lo~ puntos a saber lt
(1) I(x y z) = c Tales funciones definen superficies y para los div~rsos valores
de C definen una familia de superficies cuyos elementos componenshytes no se cortan
l
(3)
X+4JC bullbullbull J
Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto
(2) 11 (x y z)middot = C1
12 (x y z) = C2
1J Sean por otra parte P(x y z) un r----------shy punto en la primera Q(x + AX
PLj -3
Y + AY Z +AZ) unmiddot punto en Ia segunda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshymemos la razon de incrementos
11 (x y z)
~s
EI limite de esta razOn cuando AS tiende a cero (If ~ 11) reshycibe el nombre de derivada direccional de 110 en la direccion PQ
(4)
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
ds aldxmiddot afdy+ +axdsmiddot middotaydsmiddot
iJldz iJzds
87
---
Tratemos de interpretar esta relaci6n En primer lugar se obshyserva que los cosenos directores de PQ tienen POl valor
dx qV dz(5)
ds dsas middot que pueden ser considerados como las componentes de un vector unishytario e dirigido segun PQ (vector de direcci6n 0 versor) En conshysecuencia la (4) puede escribirse como producto escalat aSi
(6) df = Ge = G cos v ds
middot donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la supershyficie en P (dirigida hacia fJ La relaci6n (6) hace vel como la deshyrivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradienshyte por cos v 0 sea que es igual a la proyeccion del vector gradiente sobre la direcci6n PQ
Por In anterior seconcluye que elmiddot modulo del gradiente corresshyponde al valor mas alto de laderivada direccional en otras palashybras el gradiente mide en direccion intensidad y sentido la variashy
middot cion mas rapida de Ia funci6n
f(x v z) = C
6 5 El plano normal
El plano normal en punta ordinashyrio de una curva es por definishyci6n el plano perpendicular a Ia tangente construido en e1 punto considerado
Tiene como ecuaci6n vectorial la siguiente
(1) PMt = 0
~j C-4 cuya expresi6n cartesiana es
(2) (X - x) (dxds) + (Y - y) (dvjds) + (Z z) (dzds) = 0
6 6 El plano osculador Un elemento geometrico de grande importancia en el estudio de curvas alabeadas es el plano osculador Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional un papel anaJogo al de la tangentepara las curvas planas Segun vereshy
88
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalela con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curv~ alabeada (Figura 6-4) pun punta ordinario en la misma y el versort correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + ~x V + ~V z + ~z Al hacer tender Hhacia P el plano gira alrededor dela tanshy
gente acercandose a una posici6n limite para la cualmiddot hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punt6 P
2) A(Xmiddot x) + B(Y V) + C(Z - z) = 0
La extremidad del versor tangentemiddot tiene por coordenadas
~3) x + x V + V z + z En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n
(4) Ax + By + Cz = 0
Si el plano contiene ademas el punto H se verifica
(5) A~x + B~V +CAZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x ~y ~Z para tener
(6) AX = xAs + (x21) (~s)2(x3) (AS)3 + etc Substituyendola(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + BV + Cz)~s + (Ax + BV + Cz) (AS)22 + = 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la s~shyrie restante por (As)22 y haciendo tender acero AS se obtiene
89
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
dr dx + dy dz(i2) -- = 1 -- J +k ds ds ds
0 segun la notaci6n de Lagrange
(13) = ix + jy + kz
Si se tiene en cuentaque r es el vector unitario t (versor tanshygente) podemos escribir
(14) x = cos a y = cos 3 z = cos y
donde cos a etc son los cosenos directores de la tangente para el punta P
La ecuaci6n vectorial de la tangente sintetiza las ecuaciones (10) Si se introduce la variable auxiliar empleada en Geometria analitica
(PS)(15) --- =p
(PT)
(8 punto (X Y Z) T extremo del versor t) las (10) dan lugar a la siguiente relaci6n
(16) R = r + Jp
En esta expOSlClOn mantendremos eierto paralelismo entre los procedimientos y expresiones cartesianas y los vectoriales EI metoshydo en general consistira en pasar de Ia expresi6n cartesiana (Anashyisis) a Ia vectorial (Sintesis) y viceversa
Volviendo a las ecuaciones de la tangente vemos como elIas pueden ser escritas con empleo de diferenciales asf
X-x Y Z~z
dx dy dz
Ocurre muchas veces que una curva alabeada aparece definida como intersecci6n de dos superficies cuyas ecuaciones escribimos de manera general asi
(18) f(xyz) = 0 11 (xyz) = 0
Para obtener en este caso las ecuaciones de Ia tangente a Ia curshyva lntersecci6n de las (18) se bull como sigue
~ 83
UNlVERSIDAD NAtIONAL OE COLOMBIA IiDl I)fl~1N
DEPTO ns Bl8LIOTECAS
(25)
84
de Las ecuaciones de la tangente a Ia curva intersecci6n definida
85
Se efectua Ia diferenciaci6n de las ecuaciones (18) con 10 que se tiene
(19) ~dx+ dy dz = 0 ax ay az
(20) atl dx afl dy + dz = 0 ax ay az
De estas ecuaciones se deduce
af ay afaz (21) dx dy dzshy
aflay afl az
afax af ayafax af az
afdaxafd ax
valores que llevados a (17) resuelven Ia euesti6n
Mas resulta preferible proceder de Ia manera siguiente
Se despejan de (17) dXdy dzy se reemplazanen (19) y (20) con 10 eual se obtiene
(22) (X - x) (aflax) + (Y y) (allay) (Z - z) (allaz) = 0
(23) (X - x) (allax) + (Y y) (afday) (Z z) (aId az) = 0
Las (22) y (23) vienen a ser las ecuaciones de la tangente aIa curva considerada Son ecuaciones de dos pIanos puesto que son Ji- 1
neales en X Y Z Tendremos ocasion mas adelante de analizar su significado
Obtendremos ahora de manera directa por medio del Ca1culo vectorial las ecuaciones de Ia tangente ala eurva Sea (Figura 61) FS un vector en Ia tangente con origen en P sus componentes valeri
(24) X-x Y Vi Z-z
Por otra parte considerando et versor tangente t cuyas comshyponentes son (x V z) formaremos el producto vectorial de los dos vectores mencionados que por ser estos colineales igualaremos a cero teniendose
Las componentes de es[e producto vectorial se obtienen como cofacshytores de Ia primera linea en el determinante simb6lico
i k
(26) X-x Y-y Z-z =0
y x z
EI desarrollo de este determinante es
(27) [ (Y y)z - (Z - z)x]i + [(Z z)x - (X x) zJi
+ [(X - x)y - (Y -y)x]k = 0
igualdad a cero que implica Ia de las tres componentes
(Y-y)z- (Z-z)y - 0 (28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente Ia (10)
6 2 Plano tangente a una superficie Sea una superficie de ecuacion
(1)
Nos proponemos hallar el Iushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que serta posishy M
ble trazar sobre Ia superficie con- siderada a traves de un punto P ordinario de Ia misma (Figura 6-2) Por punto ordinario se enshy ---4amp0J-_____ tiende todo pun to de Ia superficie en el cual no se anulen a Ia vez las tres derivadas parciales de primer orden de I(xyz) con resshy F-itJ -Z pecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre Ia superficie (S) Ia curva tendra ecuaciones de Ia forma
(2) I(xvz) = 0 fl (xyz) = 0
donde fl (xyz) = 0 viene a ser Ia eeuacionr de una segunda supershy
Las componentes de este producto vectorial se obtienen como cofacshytores de la primera linea en el determinante simb6Iico
i k
(26) X-x Y-y Z Z =0
x y Z
El desarrollo de este determinante es
(27) [(Y-y)z-(Z-z)xJi+[(Z z)x (X-x)zJi
+ [(X - x)y - (Y -p)x]k = 0
igualdad a cero que implica la de las tres componentes
(Y -y)z - (Z-z)y - 0(28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente la (10)
6 2 Plano tangente a una superlide Sea una superficie de ecuaci6n
(1) I(xyz) o
Nos proponemos hallar el lushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que seria posishyble trazar sobre la superficie conshysiderada a traves de un punto P ordinario de la misma (Figura 6-2) Por punto ordinaria se enshytiende todo punto de la superficie en el cual no se anulen a la vez las tres derivadas parciales de primer orden de I (xyz) con resshypecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre la superficie (S) la curva tendra ecuaciones de la forma
(2) I(xyz) = 0 11 (xyz) = 0
donde 11 (xyZ) = 0 viene a ser la ecuaci6ni de una segunda supershycie Las ecuaciones de la tamrente a la curva intersecci6n definida
85
por las (2) estfm escritas en (22) y (23) del numero 61siendo innecesario repetirlas aqui
Si ahora imaginamos una variedad infinita de superficies Ii (xyz) = 0 (i = 12 3 ) las cuales contengan el punta P obshytendremos ellugar geometrico de las tangentes al eli minar
(3) ay az
en el sistema (22) (23) ampliado a las nuevas funciones eliminashycion que resulta innecesaria puesto que la ecuacion (22) es indepenshydiente de las li(XyZ) = 0 Ellugar geometrico viene a ser en conshysecuencia
al al ai shy(4) (X - x) - + (Y - y) - + (Z - z) - = u
ax ay az
que como habiamos dicho ya es ecuacion de un plano el plano tanshygentea la superficie en el punta considerado
Resulta ahora facil interpretar las ecuaciones (22) (23) Esshytas representan la tangente a la linea interileccion de las superfi shycies I = 0 11 = 0 Pero la tangente no es otra cosa que la arista seshygun la cual se cortan los dos pIanos tangentes a las superficies en el punta considerado
6 3 El gradiente Se da el nombre de gradiente de Ia supershyficie I (x y z) - 0 al vector cuyas componlltlnteil son
al _ aj al(1) -- azax ay
En todo punto ordinario de la superfici~ dicho vector tendra modulo diferente de cero
El gradiente es un vector de grande importancia en Fisica mashytematica Como vamos a demostrar es perpendicular ala superfi shycie en el punta ltonsiderado
Sea el vector PM que en el plano tangente une el punta P con el punta (X Y Z) Las componentes de este ultimo vector son
(1) (X - x) (Y - y) (Z - z)
Ahora bien sielgradiente se designa por G la ecuacion 0) del plano tangentepuede escribirse
86
(2) PMG = deg 10 que demuestra que G es perpendicular a PM y por consiguiente al plano tangente puesto que el punta M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente est la normal a la sushyperficie
El modulo del gradiente vale
(3) G = [(allax)2 + (allay)2 + (allaz)2]V
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica por e]emplo en el estudio del calor se consideran fun- ciones escalaresde los puntos a saber
(1) I(x y z) = C
Tales funciones definen superficies y para losdiv~rsos valores de C definen una familia de superficies cuyos elementos compOllenshytes no se cortan
l Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto shy
(2) 11 (x y z) Cl
I~ (x y z) = C2
Xo+4JC bullbullbull J 11 Sean por otra parte P (x y z) un
-------------- punta en la primera Q (x + AX
y + AY z + AZ) un punto en la segtinda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshyrq C-J memos la razon de incrementos
12 (x + ~x y + AY z + AZ) - 11 (x y z) (3) AS
El limite de esta razon cuando AS tiende acero (f2 -+ It) reshycibe elnombre de derivada direccional de fl en la direccion PQ
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
df _ ald~ + afdy afdz(4) +ds Bxds ayds azds
87
(2) PMG = 0
10 que demuestra que G es perpendicular aPM y por consiguiente aI plano tangente puesto que el punto M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente eSi la normal a la sushype1ficie
EI modulo ltdel gradiente vale
(3) G = [(alax)2 + (alay)2 + (alaz)2]h
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica p~r e]emplo en el estudio del calor se consideran fun-middot cione~ escalaresde lo~ puntos a saber lt
(1) I(x y z) = c Tales funciones definen superficies y para los div~rsos valores
de C definen una familia de superficies cuyos elementos componenshytes no se cortan
l
(3)
X+4JC bullbullbull J
Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto
(2) 11 (x y z)middot = C1
12 (x y z) = C2
1J Sean por otra parte P(x y z) un r----------shy punto en la primera Q(x + AX
PLj -3
Y + AY Z +AZ) unmiddot punto en Ia segunda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshymemos la razon de incrementos
11 (x y z)
~s
EI limite de esta razOn cuando AS tiende a cero (If ~ 11) reshycibe el nombre de derivada direccional de 110 en la direccion PQ
(4)
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
ds aldxmiddot afdy+ +axdsmiddot middotaydsmiddot
iJldz iJzds
87
---
Tratemos de interpretar esta relaci6n En primer lugar se obshyserva que los cosenos directores de PQ tienen POl valor
dx qV dz(5)
ds dsas middot que pueden ser considerados como las componentes de un vector unishytario e dirigido segun PQ (vector de direcci6n 0 versor) En conshysecuencia la (4) puede escribirse como producto escalat aSi
(6) df = Ge = G cos v ds
middot donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la supershyficie en P (dirigida hacia fJ La relaci6n (6) hace vel como la deshyrivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradienshyte por cos v 0 sea que es igual a la proyeccion del vector gradiente sobre la direcci6n PQ
Por In anterior seconcluye que elmiddot modulo del gradiente corresshyponde al valor mas alto de laderivada direccional en otras palashybras el gradiente mide en direccion intensidad y sentido la variashy
middot cion mas rapida de Ia funci6n
f(x v z) = C
6 5 El plano normal
El plano normal en punta ordinashyrio de una curva es por definishyci6n el plano perpendicular a Ia tangente construido en e1 punto considerado
Tiene como ecuaci6n vectorial la siguiente
(1) PMt = 0
~j C-4 cuya expresi6n cartesiana es
(2) (X - x) (dxds) + (Y - y) (dvjds) + (Z z) (dzds) = 0
6 6 El plano osculador Un elemento geometrico de grande importancia en el estudio de curvas alabeadas es el plano osculador Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional un papel anaJogo al de la tangentepara las curvas planas Segun vereshy
88
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalela con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curv~ alabeada (Figura 6-4) pun punta ordinario en la misma y el versort correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + ~x V + ~V z + ~z Al hacer tender Hhacia P el plano gira alrededor dela tanshy
gente acercandose a una posici6n limite para la cualmiddot hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punt6 P
2) A(Xmiddot x) + B(Y V) + C(Z - z) = 0
La extremidad del versor tangentemiddot tiene por coordenadas
~3) x + x V + V z + z En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n
(4) Ax + By + Cz = 0
Si el plano contiene ademas el punto H se verifica
(5) A~x + B~V +CAZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x ~y ~Z para tener
(6) AX = xAs + (x21) (~s)2(x3) (AS)3 + etc Substituyendola(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + BV + Cz)~s + (Ax + BV + Cz) (AS)22 + = 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la s~shyrie restante por (As)22 y haciendo tender acero AS se obtiene
89
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
(25)
84
de Las ecuaciones de la tangente a Ia curva intersecci6n definida
85
Se efectua Ia diferenciaci6n de las ecuaciones (18) con 10 que se tiene
(19) ~dx+ dy dz = 0 ax ay az
(20) atl dx afl dy + dz = 0 ax ay az
De estas ecuaciones se deduce
af ay afaz (21) dx dy dzshy
aflay afl az
afax af ayafax af az
afdaxafd ax
valores que llevados a (17) resuelven Ia euesti6n
Mas resulta preferible proceder de Ia manera siguiente
Se despejan de (17) dXdy dzy se reemplazanen (19) y (20) con 10 eual se obtiene
(22) (X - x) (aflax) + (Y y) (allay) (Z - z) (allaz) = 0
(23) (X - x) (allax) + (Y y) (afday) (Z z) (aId az) = 0
Las (22) y (23) vienen a ser las ecuaciones de la tangente aIa curva considerada Son ecuaciones de dos pIanos puesto que son Ji- 1
neales en X Y Z Tendremos ocasion mas adelante de analizar su significado
Obtendremos ahora de manera directa por medio del Ca1culo vectorial las ecuaciones de Ia tangente ala eurva Sea (Figura 61) FS un vector en Ia tangente con origen en P sus componentes valeri
(24) X-x Y Vi Z-z
Por otra parte considerando et versor tangente t cuyas comshyponentes son (x V z) formaremos el producto vectorial de los dos vectores mencionados que por ser estos colineales igualaremos a cero teniendose
Las componentes de es[e producto vectorial se obtienen como cofacshytores de Ia primera linea en el determinante simb6lico
i k
(26) X-x Y-y Z-z =0
y x z
EI desarrollo de este determinante es
(27) [ (Y y)z - (Z - z)x]i + [(Z z)x - (X x) zJi
+ [(X - x)y - (Y -y)x]k = 0
igualdad a cero que implica Ia de las tres componentes
(Y-y)z- (Z-z)y - 0 (28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente Ia (10)
6 2 Plano tangente a una superficie Sea una superficie de ecuacion
(1)
Nos proponemos hallar el Iushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que serta posishy M
ble trazar sobre Ia superficie con- siderada a traves de un punto P ordinario de Ia misma (Figura 6-2) Por punto ordinario se enshy ---4amp0J-_____ tiende todo pun to de Ia superficie en el cual no se anulen a Ia vez las tres derivadas parciales de primer orden de I(xyz) con resshy F-itJ -Z pecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre Ia superficie (S) Ia curva tendra ecuaciones de Ia forma
(2) I(xvz) = 0 fl (xyz) = 0
donde fl (xyz) = 0 viene a ser Ia eeuacionr de una segunda supershy
Las componentes de este producto vectorial se obtienen como cofacshytores de la primera linea en el determinante simb6Iico
i k
(26) X-x Y-y Z Z =0
x y Z
El desarrollo de este determinante es
(27) [(Y-y)z-(Z-z)xJi+[(Z z)x (X-x)zJi
+ [(X - x)y - (Y -p)x]k = 0
igualdad a cero que implica la de las tres componentes
(Y -y)z - (Z-z)y - 0(28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente la (10)
6 2 Plano tangente a una superlide Sea una superficie de ecuaci6n
(1) I(xyz) o
Nos proponemos hallar el lushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que seria posishyble trazar sobre la superficie conshysiderada a traves de un punto P ordinario de la misma (Figura 6-2) Por punto ordinaria se enshytiende todo punto de la superficie en el cual no se anulen a la vez las tres derivadas parciales de primer orden de I (xyz) con resshypecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre la superficie (S) la curva tendra ecuaciones de la forma
(2) I(xyz) = 0 11 (xyz) = 0
donde 11 (xyZ) = 0 viene a ser la ecuaci6ni de una segunda supershycie Las ecuaciones de la tamrente a la curva intersecci6n definida
85
por las (2) estfm escritas en (22) y (23) del numero 61siendo innecesario repetirlas aqui
Si ahora imaginamos una variedad infinita de superficies Ii (xyz) = 0 (i = 12 3 ) las cuales contengan el punta P obshytendremos ellugar geometrico de las tangentes al eli minar
(3) ay az
en el sistema (22) (23) ampliado a las nuevas funciones eliminashycion que resulta innecesaria puesto que la ecuacion (22) es indepenshydiente de las li(XyZ) = 0 Ellugar geometrico viene a ser en conshysecuencia
al al ai shy(4) (X - x) - + (Y - y) - + (Z - z) - = u
ax ay az
que como habiamos dicho ya es ecuacion de un plano el plano tanshygentea la superficie en el punta considerado
Resulta ahora facil interpretar las ecuaciones (22) (23) Esshytas representan la tangente a la linea interileccion de las superfi shycies I = 0 11 = 0 Pero la tangente no es otra cosa que la arista seshygun la cual se cortan los dos pIanos tangentes a las superficies en el punta considerado
6 3 El gradiente Se da el nombre de gradiente de Ia supershyficie I (x y z) - 0 al vector cuyas componlltlnteil son
al _ aj al(1) -- azax ay
En todo punto ordinario de la superfici~ dicho vector tendra modulo diferente de cero
El gradiente es un vector de grande importancia en Fisica mashytematica Como vamos a demostrar es perpendicular ala superfi shycie en el punta ltonsiderado
Sea el vector PM que en el plano tangente une el punta P con el punta (X Y Z) Las componentes de este ultimo vector son
(1) (X - x) (Y - y) (Z - z)
Ahora bien sielgradiente se designa por G la ecuacion 0) del plano tangentepuede escribirse
86
(2) PMG = deg 10 que demuestra que G es perpendicular a PM y por consiguiente al plano tangente puesto que el punta M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente est la normal a la sushyperficie
El modulo del gradiente vale
(3) G = [(allax)2 + (allay)2 + (allaz)2]V
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica por e]emplo en el estudio del calor se consideran fun- ciones escalaresde los puntos a saber
(1) I(x y z) = C
Tales funciones definen superficies y para losdiv~rsos valores de C definen una familia de superficies cuyos elementos compOllenshytes no se cortan
l Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto shy
(2) 11 (x y z) Cl
I~ (x y z) = C2
Xo+4JC bullbullbull J 11 Sean por otra parte P (x y z) un
-------------- punta en la primera Q (x + AX
y + AY z + AZ) un punto en la segtinda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshyrq C-J memos la razon de incrementos
12 (x + ~x y + AY z + AZ) - 11 (x y z) (3) AS
El limite de esta razon cuando AS tiende acero (f2 -+ It) reshycibe elnombre de derivada direccional de fl en la direccion PQ
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
df _ ald~ + afdy afdz(4) +ds Bxds ayds azds
87
(2) PMG = 0
10 que demuestra que G es perpendicular aPM y por consiguiente aI plano tangente puesto que el punto M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente eSi la normal a la sushype1ficie
EI modulo ltdel gradiente vale
(3) G = [(alax)2 + (alay)2 + (alaz)2]h
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica p~r e]emplo en el estudio del calor se consideran fun-middot cione~ escalaresde lo~ puntos a saber lt
(1) I(x y z) = c Tales funciones definen superficies y para los div~rsos valores
de C definen una familia de superficies cuyos elementos componenshytes no se cortan
l
(3)
X+4JC bullbullbull J
Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto
(2) 11 (x y z)middot = C1
12 (x y z) = C2
1J Sean por otra parte P(x y z) un r----------shy punto en la primera Q(x + AX
PLj -3
Y + AY Z +AZ) unmiddot punto en Ia segunda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshymemos la razon de incrementos
11 (x y z)
~s
EI limite de esta razOn cuando AS tiende a cero (If ~ 11) reshycibe el nombre de derivada direccional de 110 en la direccion PQ
(4)
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
ds aldxmiddot afdy+ +axdsmiddot middotaydsmiddot
iJldz iJzds
87
---
Tratemos de interpretar esta relaci6n En primer lugar se obshyserva que los cosenos directores de PQ tienen POl valor
dx qV dz(5)
ds dsas middot que pueden ser considerados como las componentes de un vector unishytario e dirigido segun PQ (vector de direcci6n 0 versor) En conshysecuencia la (4) puede escribirse como producto escalat aSi
(6) df = Ge = G cos v ds
middot donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la supershyficie en P (dirigida hacia fJ La relaci6n (6) hace vel como la deshyrivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradienshyte por cos v 0 sea que es igual a la proyeccion del vector gradiente sobre la direcci6n PQ
Por In anterior seconcluye que elmiddot modulo del gradiente corresshyponde al valor mas alto de laderivada direccional en otras palashybras el gradiente mide en direccion intensidad y sentido la variashy
middot cion mas rapida de Ia funci6n
f(x v z) = C
6 5 El plano normal
El plano normal en punta ordinashyrio de una curva es por definishyci6n el plano perpendicular a Ia tangente construido en e1 punto considerado
Tiene como ecuaci6n vectorial la siguiente
(1) PMt = 0
~j C-4 cuya expresi6n cartesiana es
(2) (X - x) (dxds) + (Y - y) (dvjds) + (Z z) (dzds) = 0
6 6 El plano osculador Un elemento geometrico de grande importancia en el estudio de curvas alabeadas es el plano osculador Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional un papel anaJogo al de la tangentepara las curvas planas Segun vereshy
88
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalela con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curv~ alabeada (Figura 6-4) pun punta ordinario en la misma y el versort correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + ~x V + ~V z + ~z Al hacer tender Hhacia P el plano gira alrededor dela tanshy
gente acercandose a una posici6n limite para la cualmiddot hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punt6 P
2) A(Xmiddot x) + B(Y V) + C(Z - z) = 0
La extremidad del versor tangentemiddot tiene por coordenadas
~3) x + x V + V z + z En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n
(4) Ax + By + Cz = 0
Si el plano contiene ademas el punto H se verifica
(5) A~x + B~V +CAZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x ~y ~Z para tener
(6) AX = xAs + (x21) (~s)2(x3) (AS)3 + etc Substituyendola(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + BV + Cz)~s + (Ax + BV + Cz) (AS)22 + = 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la s~shyrie restante por (As)22 y haciendo tender acero AS se obtiene
89
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
Las componentes de este producto vectorial se obtienen como cofacshytores de la primera linea en el determinante simb6Iico
i k
(26) X-x Y-y Z Z =0
x y Z
El desarrollo de este determinante es
(27) [(Y-y)z-(Z-z)xJi+[(Z z)x (X-x)zJi
+ [(X - x)y - (Y -p)x]k = 0
igualdad a cero que implica la de las tres componentes
(Y -y)z - (Z-z)y - 0(28)
(Z-z)x - (X x)z - 0 etc
de las cuales se deduce facilmente la (10)
6 2 Plano tangente a una superlide Sea una superficie de ecuaci6n
(1) I(xyz) o
Nos proponemos hallar el lushygar geometrico de las tangentes a todas las curvas que seria posishyble trazar sobre la superficie conshysiderada a traves de un punto P ordinario de la misma (Figura 6-2) Por punto ordinaria se enshytiende todo punto de la superficie en el cual no se anulen a la vez las tres derivadas parciales de primer orden de I (xyz) con resshypecto a sus variables
Si imaginamos una curva trazada sobre la superficie (S) la curva tendra ecuaciones de la forma
(2) I(xyz) = 0 11 (xyz) = 0
donde 11 (xyZ) = 0 viene a ser la ecuaci6ni de una segunda supershycie Las ecuaciones de la tamrente a la curva intersecci6n definida
85
por las (2) estfm escritas en (22) y (23) del numero 61siendo innecesario repetirlas aqui
Si ahora imaginamos una variedad infinita de superficies Ii (xyz) = 0 (i = 12 3 ) las cuales contengan el punta P obshytendremos ellugar geometrico de las tangentes al eli minar
(3) ay az
en el sistema (22) (23) ampliado a las nuevas funciones eliminashycion que resulta innecesaria puesto que la ecuacion (22) es indepenshydiente de las li(XyZ) = 0 Ellugar geometrico viene a ser en conshysecuencia
al al ai shy(4) (X - x) - + (Y - y) - + (Z - z) - = u
ax ay az
que como habiamos dicho ya es ecuacion de un plano el plano tanshygentea la superficie en el punta considerado
Resulta ahora facil interpretar las ecuaciones (22) (23) Esshytas representan la tangente a la linea interileccion de las superfi shycies I = 0 11 = 0 Pero la tangente no es otra cosa que la arista seshygun la cual se cortan los dos pIanos tangentes a las superficies en el punta considerado
6 3 El gradiente Se da el nombre de gradiente de Ia supershyficie I (x y z) - 0 al vector cuyas componlltlnteil son
al _ aj al(1) -- azax ay
En todo punto ordinario de la superfici~ dicho vector tendra modulo diferente de cero
El gradiente es un vector de grande importancia en Fisica mashytematica Como vamos a demostrar es perpendicular ala superfi shycie en el punta ltonsiderado
Sea el vector PM que en el plano tangente une el punta P con el punta (X Y Z) Las componentes de este ultimo vector son
(1) (X - x) (Y - y) (Z - z)
Ahora bien sielgradiente se designa por G la ecuacion 0) del plano tangentepuede escribirse
86
(2) PMG = deg 10 que demuestra que G es perpendicular a PM y por consiguiente al plano tangente puesto que el punta M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente est la normal a la sushyperficie
El modulo del gradiente vale
(3) G = [(allax)2 + (allay)2 + (allaz)2]V
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica por e]emplo en el estudio del calor se consideran fun- ciones escalaresde los puntos a saber
(1) I(x y z) = C
Tales funciones definen superficies y para losdiv~rsos valores de C definen una familia de superficies cuyos elementos compOllenshytes no se cortan
l Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto shy
(2) 11 (x y z) Cl
I~ (x y z) = C2
Xo+4JC bullbullbull J 11 Sean por otra parte P (x y z) un
-------------- punta en la primera Q (x + AX
y + AY z + AZ) un punto en la segtinda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshyrq C-J memos la razon de incrementos
12 (x + ~x y + AY z + AZ) - 11 (x y z) (3) AS
El limite de esta razon cuando AS tiende acero (f2 -+ It) reshycibe elnombre de derivada direccional de fl en la direccion PQ
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
df _ ald~ + afdy afdz(4) +ds Bxds ayds azds
87
(2) PMG = 0
10 que demuestra que G es perpendicular aPM y por consiguiente aI plano tangente puesto que el punto M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente eSi la normal a la sushype1ficie
EI modulo ltdel gradiente vale
(3) G = [(alax)2 + (alay)2 + (alaz)2]h
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica p~r e]emplo en el estudio del calor se consideran fun-middot cione~ escalaresde lo~ puntos a saber lt
(1) I(x y z) = c Tales funciones definen superficies y para los div~rsos valores
de C definen una familia de superficies cuyos elementos componenshytes no se cortan
l
(3)
X+4JC bullbullbull J
Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto
(2) 11 (x y z)middot = C1
12 (x y z) = C2
1J Sean por otra parte P(x y z) un r----------shy punto en la primera Q(x + AX
PLj -3
Y + AY Z +AZ) unmiddot punto en Ia segunda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshymemos la razon de incrementos
11 (x y z)
~s
EI limite de esta razOn cuando AS tiende a cero (If ~ 11) reshycibe el nombre de derivada direccional de 110 en la direccion PQ
(4)
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
ds aldxmiddot afdy+ +axdsmiddot middotaydsmiddot
iJldz iJzds
87
---
Tratemos de interpretar esta relaci6n En primer lugar se obshyserva que los cosenos directores de PQ tienen POl valor
dx qV dz(5)
ds dsas middot que pueden ser considerados como las componentes de un vector unishytario e dirigido segun PQ (vector de direcci6n 0 versor) En conshysecuencia la (4) puede escribirse como producto escalat aSi
(6) df = Ge = G cos v ds
middot donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la supershyficie en P (dirigida hacia fJ La relaci6n (6) hace vel como la deshyrivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradienshyte por cos v 0 sea que es igual a la proyeccion del vector gradiente sobre la direcci6n PQ
Por In anterior seconcluye que elmiddot modulo del gradiente corresshyponde al valor mas alto de laderivada direccional en otras palashybras el gradiente mide en direccion intensidad y sentido la variashy
middot cion mas rapida de Ia funci6n
f(x v z) = C
6 5 El plano normal
El plano normal en punta ordinashyrio de una curva es por definishyci6n el plano perpendicular a Ia tangente construido en e1 punto considerado
Tiene como ecuaci6n vectorial la siguiente
(1) PMt = 0
~j C-4 cuya expresi6n cartesiana es
(2) (X - x) (dxds) + (Y - y) (dvjds) + (Z z) (dzds) = 0
6 6 El plano osculador Un elemento geometrico de grande importancia en el estudio de curvas alabeadas es el plano osculador Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional un papel anaJogo al de la tangentepara las curvas planas Segun vereshy
88
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalela con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curv~ alabeada (Figura 6-4) pun punta ordinario en la misma y el versort correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + ~x V + ~V z + ~z Al hacer tender Hhacia P el plano gira alrededor dela tanshy
gente acercandose a una posici6n limite para la cualmiddot hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punt6 P
2) A(Xmiddot x) + B(Y V) + C(Z - z) = 0
La extremidad del versor tangentemiddot tiene por coordenadas
~3) x + x V + V z + z En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n
(4) Ax + By + Cz = 0
Si el plano contiene ademas el punto H se verifica
(5) A~x + B~V +CAZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x ~y ~Z para tener
(6) AX = xAs + (x21) (~s)2(x3) (AS)3 + etc Substituyendola(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + BV + Cz)~s + (Ax + BV + Cz) (AS)22 + = 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la s~shyrie restante por (As)22 y haciendo tender acero AS se obtiene
89
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
por las (2) estfm escritas en (22) y (23) del numero 61siendo innecesario repetirlas aqui
Si ahora imaginamos una variedad infinita de superficies Ii (xyz) = 0 (i = 12 3 ) las cuales contengan el punta P obshytendremos ellugar geometrico de las tangentes al eli minar
(3) ay az
en el sistema (22) (23) ampliado a las nuevas funciones eliminashycion que resulta innecesaria puesto que la ecuacion (22) es indepenshydiente de las li(XyZ) = 0 Ellugar geometrico viene a ser en conshysecuencia
al al ai shy(4) (X - x) - + (Y - y) - + (Z - z) - = u
ax ay az
que como habiamos dicho ya es ecuacion de un plano el plano tanshygentea la superficie en el punta considerado
Resulta ahora facil interpretar las ecuaciones (22) (23) Esshytas representan la tangente a la linea interileccion de las superfi shycies I = 0 11 = 0 Pero la tangente no es otra cosa que la arista seshygun la cual se cortan los dos pIanos tangentes a las superficies en el punta considerado
6 3 El gradiente Se da el nombre de gradiente de Ia supershyficie I (x y z) - 0 al vector cuyas componlltlnteil son
al _ aj al(1) -- azax ay
En todo punto ordinario de la superfici~ dicho vector tendra modulo diferente de cero
El gradiente es un vector de grande importancia en Fisica mashytematica Como vamos a demostrar es perpendicular ala superfi shycie en el punta ltonsiderado
Sea el vector PM que en el plano tangente une el punta P con el punta (X Y Z) Las componentes de este ultimo vector son
(1) (X - x) (Y - y) (Z - z)
Ahora bien sielgradiente se designa por G la ecuacion 0) del plano tangentepuede escribirse
86
(2) PMG = deg 10 que demuestra que G es perpendicular a PM y por consiguiente al plano tangente puesto que el punta M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente est la normal a la sushyperficie
El modulo del gradiente vale
(3) G = [(allax)2 + (allay)2 + (allaz)2]V
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica por e]emplo en el estudio del calor se consideran fun- ciones escalaresde los puntos a saber
(1) I(x y z) = C
Tales funciones definen superficies y para losdiv~rsos valores de C definen una familia de superficies cuyos elementos compOllenshytes no se cortan
l Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto shy
(2) 11 (x y z) Cl
I~ (x y z) = C2
Xo+4JC bullbullbull J 11 Sean por otra parte P (x y z) un
-------------- punta en la primera Q (x + AX
y + AY z + AZ) un punto en la segtinda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshyrq C-J memos la razon de incrementos
12 (x + ~x y + AY z + AZ) - 11 (x y z) (3) AS
El limite de esta razon cuando AS tiende acero (f2 -+ It) reshycibe elnombre de derivada direccional de fl en la direccion PQ
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
df _ ald~ + afdy afdz(4) +ds Bxds ayds azds
87
(2) PMG = 0
10 que demuestra que G es perpendicular aPM y por consiguiente aI plano tangente puesto que el punto M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente eSi la normal a la sushype1ficie
EI modulo ltdel gradiente vale
(3) G = [(alax)2 + (alay)2 + (alaz)2]h
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica p~r e]emplo en el estudio del calor se consideran fun-middot cione~ escalaresde lo~ puntos a saber lt
(1) I(x y z) = c Tales funciones definen superficies y para los div~rsos valores
de C definen una familia de superficies cuyos elementos componenshytes no se cortan
l
(3)
X+4JC bullbullbull J
Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto
(2) 11 (x y z)middot = C1
12 (x y z) = C2
1J Sean por otra parte P(x y z) un r----------shy punto en la primera Q(x + AX
PLj -3
Y + AY Z +AZ) unmiddot punto en Ia segunda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshymemos la razon de incrementos
11 (x y z)
~s
EI limite de esta razOn cuando AS tiende a cero (If ~ 11) reshycibe el nombre de derivada direccional de 110 en la direccion PQ
(4)
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
ds aldxmiddot afdy+ +axdsmiddot middotaydsmiddot
iJldz iJzds
87
---
Tratemos de interpretar esta relaci6n En primer lugar se obshyserva que los cosenos directores de PQ tienen POl valor
dx qV dz(5)
ds dsas middot que pueden ser considerados como las componentes de un vector unishytario e dirigido segun PQ (vector de direcci6n 0 versor) En conshysecuencia la (4) puede escribirse como producto escalat aSi
(6) df = Ge = G cos v ds
middot donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la supershyficie en P (dirigida hacia fJ La relaci6n (6) hace vel como la deshyrivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradienshyte por cos v 0 sea que es igual a la proyeccion del vector gradiente sobre la direcci6n PQ
Por In anterior seconcluye que elmiddot modulo del gradiente corresshyponde al valor mas alto de laderivada direccional en otras palashybras el gradiente mide en direccion intensidad y sentido la variashy
middot cion mas rapida de Ia funci6n
f(x v z) = C
6 5 El plano normal
El plano normal en punta ordinashyrio de una curva es por definishyci6n el plano perpendicular a Ia tangente construido en e1 punto considerado
Tiene como ecuaci6n vectorial la siguiente
(1) PMt = 0
~j C-4 cuya expresi6n cartesiana es
(2) (X - x) (dxds) + (Y - y) (dvjds) + (Z z) (dzds) = 0
6 6 El plano osculador Un elemento geometrico de grande importancia en el estudio de curvas alabeadas es el plano osculador Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional un papel anaJogo al de la tangentepara las curvas planas Segun vereshy
88
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalela con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curv~ alabeada (Figura 6-4) pun punta ordinario en la misma y el versort correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + ~x V + ~V z + ~z Al hacer tender Hhacia P el plano gira alrededor dela tanshy
gente acercandose a una posici6n limite para la cualmiddot hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punt6 P
2) A(Xmiddot x) + B(Y V) + C(Z - z) = 0
La extremidad del versor tangentemiddot tiene por coordenadas
~3) x + x V + V z + z En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n
(4) Ax + By + Cz = 0
Si el plano contiene ademas el punto H se verifica
(5) A~x + B~V +CAZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x ~y ~Z para tener
(6) AX = xAs + (x21) (~s)2(x3) (AS)3 + etc Substituyendola(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + BV + Cz)~s + (Ax + BV + Cz) (AS)22 + = 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la s~shyrie restante por (As)22 y haciendo tender acero AS se obtiene
89
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
(2) PMG = 0
10 que demuestra que G es perpendicular aPM y por consiguiente aI plano tangente puesto que el punto M ha sido elegido libremente en dicho plano La normal al plano tangente eSi la normal a la sushype1ficie
EI modulo ltdel gradiente vale
(3) G = [(alax)2 + (alay)2 + (alaz)2]h
6 4 Derivada direccional En muchas cuestiones de Fisica matematica p~r e]emplo en el estudio del calor se consideran fun-middot cione~ escalaresde lo~ puntos a saber lt
(1) I(x y z) = c Tales funciones definen superficies y para los div~rsos valores
de C definen una familia de superficies cuyos elementos componenshytes no se cortan
l
(3)
X+4JC bullbullbull J
Sean las dos superficies de la familia 0 conjunto
(2) 11 (x y z)middot = C1
12 (x y z) = C2
1J Sean por otra parte P(x y z) un r----------shy punto en la primera Q(x + AX
PLj -3
Y + AY Z +AZ) unmiddot punto en Ia segunda Representemos por AS el modulo de PQ (distancia) y forshymemos la razon de incrementos
11 (x y z)
~s
EI limite de esta razOn cuando AS tiende a cero (If ~ 11) reshycibe el nombre de derivada direccional de 110 en la direccion PQ
(4)
Ahora bien segun el Calculo Diferencial dicho limite vale
ds aldxmiddot afdy+ +axdsmiddot middotaydsmiddot
iJldz iJzds
87
---
Tratemos de interpretar esta relaci6n En primer lugar se obshyserva que los cosenos directores de PQ tienen POl valor
dx qV dz(5)
ds dsas middot que pueden ser considerados como las componentes de un vector unishytario e dirigido segun PQ (vector de direcci6n 0 versor) En conshysecuencia la (4) puede escribirse como producto escalat aSi
(6) df = Ge = G cos v ds
middot donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la supershyficie en P (dirigida hacia fJ La relaci6n (6) hace vel como la deshyrivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradienshyte por cos v 0 sea que es igual a la proyeccion del vector gradiente sobre la direcci6n PQ
Por In anterior seconcluye que elmiddot modulo del gradiente corresshyponde al valor mas alto de laderivada direccional en otras palashybras el gradiente mide en direccion intensidad y sentido la variashy
middot cion mas rapida de Ia funci6n
f(x v z) = C
6 5 El plano normal
El plano normal en punta ordinashyrio de una curva es por definishyci6n el plano perpendicular a Ia tangente construido en e1 punto considerado
Tiene como ecuaci6n vectorial la siguiente
(1) PMt = 0
~j C-4 cuya expresi6n cartesiana es
(2) (X - x) (dxds) + (Y - y) (dvjds) + (Z z) (dzds) = 0
6 6 El plano osculador Un elemento geometrico de grande importancia en el estudio de curvas alabeadas es el plano osculador Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional un papel anaJogo al de la tangentepara las curvas planas Segun vereshy
88
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalela con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curv~ alabeada (Figura 6-4) pun punta ordinario en la misma y el versort correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + ~x V + ~V z + ~z Al hacer tender Hhacia P el plano gira alrededor dela tanshy
gente acercandose a una posici6n limite para la cualmiddot hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punt6 P
2) A(Xmiddot x) + B(Y V) + C(Z - z) = 0
La extremidad del versor tangentemiddot tiene por coordenadas
~3) x + x V + V z + z En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n
(4) Ax + By + Cz = 0
Si el plano contiene ademas el punto H se verifica
(5) A~x + B~V +CAZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x ~y ~Z para tener
(6) AX = xAs + (x21) (~s)2(x3) (AS)3 + etc Substituyendola(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + BV + Cz)~s + (Ax + BV + Cz) (AS)22 + = 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la s~shyrie restante por (As)22 y haciendo tender acero AS se obtiene
89
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
---
Tratemos de interpretar esta relaci6n En primer lugar se obshyserva que los cosenos directores de PQ tienen POl valor
dx qV dz(5)
ds dsas middot que pueden ser considerados como las componentes de un vector unishytario e dirigido segun PQ (vector de direcci6n 0 versor) En conshysecuencia la (4) puede escribirse como producto escalat aSi
(6) df = Ge = G cos v ds
middot donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la supershyficie en P (dirigida hacia fJ La relaci6n (6) hace vel como la deshyrivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradienshyte por cos v 0 sea que es igual a la proyeccion del vector gradiente sobre la direcci6n PQ
Por In anterior seconcluye que elmiddot modulo del gradiente corresshyponde al valor mas alto de laderivada direccional en otras palashybras el gradiente mide en direccion intensidad y sentido la variashy
middot cion mas rapida de Ia funci6n
f(x v z) = C
6 5 El plano normal
El plano normal en punta ordinashyrio de una curva es por definishyci6n el plano perpendicular a Ia tangente construido en e1 punto considerado
Tiene como ecuaci6n vectorial la siguiente
(1) PMt = 0
~j C-4 cuya expresi6n cartesiana es
(2) (X - x) (dxds) + (Y - y) (dvjds) + (Z z) (dzds) = 0
6 6 El plano osculador Un elemento geometrico de grande importancia en el estudio de curvas alabeadas es el plano osculador Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional un papel anaJogo al de la tangentepara las curvas planas Segun vereshy
88
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalela con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curv~ alabeada (Figura 6-4) pun punta ordinario en la misma y el versort correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + ~x V + ~V z + ~z Al hacer tender Hhacia P el plano gira alrededor dela tanshy
gente acercandose a una posici6n limite para la cualmiddot hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punt6 P
2) A(Xmiddot x) + B(Y V) + C(Z - z) = 0
La extremidad del versor tangentemiddot tiene por coordenadas
~3) x + x V + V z + z En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n
(4) Ax + By + Cz = 0
Si el plano contiene ademas el punto H se verifica
(5) A~x + B~V +CAZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x ~y ~Z para tener
(6) AX = xAs + (x21) (~s)2(x3) (AS)3 + etc Substituyendola(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + BV + Cz)~s + (Ax + BV + Cz) (AS)22 + = 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la s~shyrie restante por (As)22 y haciendo tender acero AS se obtiene
89
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
mos luego el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza con la curva en un punto ordinario que en el entorno del punta la curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas conteshynida en el plano osculador
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto geometrico sobre el plano osculador
Sea una curva alabeada (Figura 6-4) Pun punta ordinario en la misma y el versor t correspondiente Se construye el plano que contiene a t y a un punta H de la curva cuyas coordenadas vienen a ser
(1) x + LlX Y + LlY middotZ + LlZ
Al hacer tender H hacia P el plano gira alrededor de latan~ gente acercandose a una posici6n limite para la cual hablamos de plano osculatlor a la curva en P
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida
Sea primero la ecuaci6n de un plano que contenga el punta P
(2) A(X ~ x) + B(Y - y) + C(Z z) = 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas
~3) x + x y y Z +- z
En consecuencia si el plano (2) contiene la tangente se cumple la relaci6n
(4) Ax By + Cz = 0
Si el plaho contiene ademas el punto H se verifica
(5) ALlx + BLlY CLlZ = 0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX LlY LlZ para tener
(6) ~X=XLlS+- (x2) (LlS)2+(X3) (LlS)3+
etc Substituyendo la(6) y analogas en (5) resulta
(7) (Ax + By + CZ)LlS + (Ax + By + Cz) (Lls)22 + == 0
EI primer parentesis es nulo en virtud de (4) Dividiendo la seshyrie restante pOl (Lls)22 y haciendo tender acero LlS se obtiene bull
89
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
(8) Ax + By Cz 0
La eliminaeionde A Bj C entre las ecuaciones (2) (4) (8) conduce a la ecuacion del plano oseulador
X-x y y Z-z
x z (9) =0v
x y
Otrus definiciones para el plano osculador
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que pershymiten obtener tambien la ecuacion del JTIismo las cuales expondreshymos en seguida pues ayudan Ia intui~i6n y tiene~ importaneia en las aplicacionesmiddot
Una nueva definicion es Ia siguiente dado un puntofijo P y dos puntos proximos Pl P2Iostres determinim un plano cuya po sidon llmite cuando Ph P2 tienden a reunirse con P eSla del plano oseulador
Por ultimo dado eIpunto P y el correspondiente versor tangenshyte t un punta proximo PlY el consiguiente versor h se traza par P una paralela a este ultimo versor EI plano que asi se delermina adshyquiere una posici6n limite cuando iF tiende a confundirse can P en tal posicion limite el plano es osculador a Ia curva en P
6 7 Derivada segunda del vector de posicion En este m1meshyro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segunshydo orden del vector de posicion a saber el Hmite
Dicha segunda derivada se es- cribe en unau otra de las formas equivalentes
d2r dt(2) r = ds2 ds
90
Construyamos en el punto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con In arista interseccion del plano osculador con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de P Tal versorreeibe el nombre de versor nor1nal-principal y como vamos a demostrar en seguidaj permite completar las igualdades (2) asi
(3) rmiddot = njR
donde R es un escaar cuya dimensi6n es una longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de Jndicatriz es[6rica de las tangentes
Sea un punto 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos verso res equipolentes a t t1 ti os extremos dees~os verso res estaran situados en una superificie esferiea de radio unidad en la eual desshycriben una curvasigma que recibe el nombre de indicatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrreacion facil de analizar
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q punto variable QlSe tiene
(4)
At es el incremento vectorial de t Dividierido (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qh l variable a saber
QQl Qh(5) - -- - 1 AS
Al hacer tender AS a cera se obtiene un veCtor limite Qh que sigue Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen los arcos sigma Par consiguiente se puede escribir
dt d2r(6) = Qhds ds2
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector Qh
Veamosen primer lugar Ia direccion EIvector QQh esta conshytenido en el plano determinado por t y h Al Hmite de las posiciones deeste plano corresponde el plano osculador y allimite de Ia cuerda QQl corresponde Ia tangente a sigma 0 sea que Qhvendra a ser pashyralelo al plano osculador
91
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
Construyamos en eLpunto F un versor n sujeto a las siguientes condiciones coincide con la arista intersecci6n del plano osculador con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de P Tal versorrecibe el nombre d~ versornormal-principal y como vamos a demostrar en seguida permite completar las igualdactes (2) asi
(3) r =njR
don de R es unescaar cuyadimensi6n esuna longitudque luego interpretaremos
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geoshymetrico que recibe el nombre de indicatriz esterica de las tangentes
Sea un punta 0 (Figura 6-5) desde el eual trazamos versores equipolentes a t t1 h los extremos de estos versores estaran situados en una superificie esferica de radio unidad en la cual desshy
criben una curvasigma que recibe el nombre de indiCatriz esferica de las tangentes Entre la curva dada y su indicatriz existe una coshyrrelaci6n facil de analizar
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q punta variable Q1 Se tiene
(4) QQ1 = h - t = Ilt
At es el incremento vectorial de t Dividiendo (4) por el escalar AS se obtiene un vector Qhh variable a saber
Ilt _ QQ1 Qh1(5) AS AS
Al hacer tender IlS a cera se obtiene un vector limite Qh que sigue la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen los arcos sigma Por consiguiente se puede escribir
dt d2r (6) - = Qhds ds2
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh
Veamos en primer lugar la direcci6n Elvector QQh esta con- tenido en elplano determinado por t y t1 Al iimite de las posiciones de este plano corresponde el plano osculadory al limite de la cuerda QQ1corresponde la tangente a sigma 0 sea que Qh vendraa serpashyralelo al plano osculador
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indicashytriz sigma que a la vez es el mismo sentido que en la primera curshyva tiene elversor normal-principal
Vamos a demostrar por ultimo que el m6dulo del vector Qh tiene por valor lacurvatura principal en el punto P con 10 que se puede escribir
(7) Qhl = Irl = K = 1R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n infinitesima de curva que en el entorno de P coincide con el plano osculador
Con el fin de determinar el m6dulo atendemos a la relaci6n (5) y a la Figura 6-5 por la cual observamosque elm6dulo del vector ~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad
En consecuencia
1_l_l~tl _ --2 It I sen(~a2) ~s ~s
(8)
Al considerar ~s como infinitesimo de primer orden la relashyci6n (8) se simplifica asi
(9) ~sI ~ 1=
~a es el cingulo de contingencia 0 sea el angulo entre las tanshygentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene por valor la curvatura media de la linea considerada entre los pun~ tos PP Pasando al limite resulta en consecuencia
(10) ~ = ~ = K = 1jRds dsI
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente deshymostrada
R designa Gomo ya hemos dicho el radio de curvatura La curshyvatura a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas planas la cmil cuando las curvas son alabeadas recibe el nombre de curvatura principal EI plano osculador hace posible asimilar toshyda curva ahtbeada a una curva plana en las vecindades del puntode osculacion
92
6 8 El vector derivada n-sima Expresado el vector de posishyci6n por medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun X
(2) r = ix + iV + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + jy + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relaci6n general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion anashylitica de la curvatura
La curvatura es una magnitud de naturaleza escalar m6dulo del vector r Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facilshymente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicali6n escalar asi
nn(5) r r - = 1R2
R2
EI producto escalar que aparece al lado izquierdo de middot(5) se exshypresa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (x)2 + (y)2 + (z)2 = IR2
de la cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la norshymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vecshytor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectific(mte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposicion deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
6 8 El vectOt derivada n-sima Expresado el vector de posishycion POl medio de sus componentes
(1) r = ix + iy + kz
se obtiene derivando segun x
(2) r = ix + j y + kz
De estase obtiene por otra parte
(3) r = ix + 111 + kz
Las relaciones (2) y (3) son casos particulares de la relacion general
(4) r(n) =ix(n) + iy(n) + kz(n)
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n anashyutica de Ia curvatura
La curvat1ra es una magnitud de naturaleza escalar modulo del vector rH Su valor en coordenadas cartesianas se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7 por medio de multiplicalion escalar asi
nn(5) = 1R2
R2
EI productoescalar que aparece al lado izquierdo de (5) se exshypresa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes con 10 cual se obtiene
(6) (XUP + (y)2 + (z)2 = IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R Los cosenos directores de la nor-shymal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec-
Utor r al ser divididas por el modulo de este vector Son a saber
(7) a = Rx b = Ry c = Rz
6 9 El plano rectiicimte Es el plano que contiene la tanshygente a la curva -el versor t- y es a la vez perpendicular al plano osshyculador Omitimos por no ser esencial a los fines de esta exposici6n deducir la ecuaci6n del plano rectificante
93
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
6 10 El triedro intrinseco Si en direccion normal al plano deterniinado por I y n (Plano osshyculador MB de la Figura 6-6) se - construye unmiddot tercer versor b de
t manera a tener una terna direcshy ~--~==--__ I ta se formara el Hamado triedro intrinseco EI nuevo versor b reshy
cibe el nombre de versor bi-norshy_---8 mal
Con referencia a la misma Fishygura es MT el plano normal MN el plano rectificante Se tiene
(1) n A I =b I A b = n bAn =I
o sea que cada versor es el producto vectorial de los otros dos mulshytiplicados en orden adecuado Las dos ultimas relaciones se deducen de las dos primeras por permutacion circular de las letras
611 Segunda curvatura 0 torsion Antes de estudiarla proshycederemos a calcular la derivada delversor b (bi-normal) Como se trata de un versor 0 sea un vector con modulo unidad se tiene
(1) bb = 1
de donde
db(2) --b =middot0 ds
Esta relacion demuestra que dbds esta contenido en un plano perpendicular a b Es paralelo por tanto al plano osculador
Por otra parte de la relacion
(3) b1 = 0
se obtiene alderivar
(4) ~I b~ =0 ds ds
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es
(5) dl = nRds
puede escribirse
94
db(6) --I + (bn) (1R) = 0
ds
EI segundo producto en (6) es nuloQueda solamente
db (7) 1=0
ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a I mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
(8) db = xn ds
donde xes un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa Ia curva en P y PI puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a ~s el anguloentre dichos pIanos ~f3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
~f3(1) = Xn
~s
mide la torsion media 8u limite df3ds cuando ~s tiende acero es la torsion en elpunto P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
Q~
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza Ia indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
(1)
b AP Q~ l Se construye el siguiente vecshy~( ~ l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b1
95
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
db(6) --t + (bn) (1R) = 0ds
EI segundo producto en (6) es nulomiddot Queda solamente
--0 t(7) db = 0 ds
Segun este resultado dbds es perpendicular a t mas como por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador su direcshycion coincidira con la del soporte de n 10 que conduce a escr~bir
db(8) --=xn
ds
donde x es un numero rositivo 0 negativo segun que dbds tenga el sentido de noel opuesto
6 12 Modulo de la torsion Si se consideran los pIanos oscushyladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia curshyvilinea igual a AS el anguJoentre dichos plarJOs A3 da idea de la mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva
La razon
(1) = Xn AS
mide Ia torsion media Su limite d3ds cuando AS tiende acero es la torsion en el punta P magnitud escalar modulo del vector dbds que pasamos a construir
A partir de un punto 0 (Fishygura 6-7) se traza la indicatriz esferica de las binormales Con referencia a la Figura se tiene
Q~ (1)
b Q l AI Se construye el siguiente vecshy1 ~b l tor conteriido en el plano detershy
1 minado por b y b i
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
(2)
Haciendo tender acero Dos se tiene el vector limite que ~era
(3) ~ =Qlmiddotds
cuyo modulo tiene por valor d8ds En efecto al ser QQl infinitesishymo de primer orden puede escribirse
(4) BBI == Ibl2 sen (Do82)
teniE~ndose en consecuencia
(5) I~~l-y p~r ultimo
(6) 1= ~L =x = lTds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura 0 radio de torsion
I ~~
La ecuacion (8) del numero anterior queda pues como sigue
db(7) -= niTds
6 13 F6nnulasde Fnnet y 8m1middotet Tres formulas de Ia Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos franceshyses Frenet y Serret Dos de ellas han sido ya deducidas
db(1) r == nR = niTds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmushylas que sus autores derivaron por via analitica
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- denadas Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n con respecto a s Escribimos
(2) n = ltIt 8n yb n = dnds
Multiplicando la (2) port escalarmente se tiene
96
(3) nt = a(tt) + 8(nt) + y(bt)
Por ser nulos los dos ultimos productos queda solamente
(4) nt = a
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de donde
(6) nt - -nt
Con esto la relacion (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = - (nn) R = -1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relacion fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a (tn) +8 (nn) I (bn)
Esta relacion se simplifica por tenerse
(10) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8(nn) ==8 = 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ello se multiplica Ia misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb = a (tb) I (bb) I
de don de
(13) 1= nb == -nb = -nnT = -lT
En definitiva la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente
(14) - n = - t --b
R T
que es la tercera formula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
97
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
(3) nt = a(U) + 8(nt) + (bt)
Por ser nulos los dos uItimos productos queda solamente
(4)
Ahora bien derivando el producto nt = 0 segun s se tiene
(5) nt + nt = 0
de clonde
(6) nt = -nt
Con esto la relaci6n (4) puede escribirse
(7) -nt = a
Substituyendo el valor de t dado por la primera de las (1) se tiene
(8) -nnR = --(nn)R = --1R = a
Vamos a demostrar ahora que es 8 = O Al efecto multiplicanshydo la relaci6n fundamental (2) escalarmente por n se tiene
(9) nn = a(tn) + 8 (nn) + y(bn)
Esta relaci6n se simplifica por tenerse
(JO) nn = tn = bn = 0
obteniendose finalmente
(11) 8 (nn) =8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y Para ella se multiplica la misma igualdad (2) por b -producto escalar- para tener
(12) nb= a(tb) + y(bb) --
de donde
(13) y = nb = -nb = -nnT = -1T
En definitiva la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente
t b(14) -- shyn = R T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret escrita bajo forma vecshytorial
7
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
98
Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
99
Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
99
EJERCICIOS
1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son
(1) x = 2s
se deben determinar en el punta correspondiente a s = 12 los eleshymentos siguientes a) la ecuaci6n de la tangente b) el versor tanshygente c) la ecuaci6n del plano normal d) la ecuaci6n del plano osshyculador e) la ecuaci6n del plano rectificante f) la curvatura prinshycipal COl1)putos con tres cifras decimales
Resps a) X = -4Z + 34 Y = -6Z + 38
b) a = 0549 (3 = 0824 y = -0137
c) 64X + 96Y -16Z- 1317 = 0
d) 8 (Y -+~ 2Z - X) + 3 =0
e) 13X - 7Y + 10Z ~ 578 = 0
f) (JR) = 6708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida
(2)
en el punto (x y z) de la superficie
Resp SlXX + S2YY + SazZ + DI = 0
Demostrar que la superficie (2) en el caso de representar una cuadrica no degenerada (D1 diferente de cero) carece de puntos singulares
Por el contrario cuando se tiene Dl = 0 la ecuacion (2) corresshyponde a un conomiddot Determinar el punto singular
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es
3X2 + 5y2 + 6z2 71 = 0
se deben calcular el modulo del gradiente y los cosenos directores de dicho vector en elpunto (-2 1 3)
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Resp G = 39243
a = -03058 (3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que la distancia del punto PI (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos (3 y = a sen3 Z = c3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI Angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Racer las demostraciones
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Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
I 1
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Resp G - 39243
a -03058 [3 = 02548 y = 09173
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1) al plano osculador correspondiente al punto P es infinitesimo de tercer orden comparado con PPlgt infinitesimo principal
5) La helice circular cuyas ecuaciones parametricas son
x = a cos [3 y a sen [3 Z = c[3
tiene las siguientes propiedades la inclinaci6n de las tangentes resshypecto al eje de z -eje del cilindro- es constante EI radio de curvatushyra es constante y tiene por valor R = la EI angulo diedro formashydo por el plano osculador con el plano (x y) es constante Hacer las demostraciones
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