10.1 Sürtünen Yüzeyler 303

10.2 Sürtünme Kuvveti ve Sürtünme Katsayısı 304

10.3 Sürtünme Açısı 307

Örnekler 308

10.4 Kamalar 313

Örnekler 316

10.5 Kayış Sürtünmesi 317

Örnekler 319

10.6 Basınç Yatakları 321

Örnek 322

10.7 Mil Yatakları ve Dingil Sürtünmesi 323

Örnek 324

10.8 Tekerlek Sürtünmesi ve Yuvarlanma Direnci 324

10.9 Kare Dişli Vida 325

Örnek 329 PROBLEMLER 330

Alman matematikçidir. Eliptik fonksiyonlar kuramı, iletişimin çok sınırlı olduğu bir dönemde, Norveçli matematikçi Niels Hendrik Abel ile aynı dönemde ama birbirlerinden tamamen habersiz gerçekleştirilmiştir. Geliştirdiği HamiltonJacobi kuramı 20. yüzyılda kuvantum kuramının matematik modellenmesine önemli katkı yapmıştır. Birinci dereceden kısmi diferansiyel denklemler üzerine yaptığı çalışmalarla, dinamikteki diferansiyel denklemlere uyguladı. Abel transandantal fonksiyonlarına ve eliptik fonksiyonların sayısal kuramının uygulamalarına dönük etkili çalışmalarda bulunmuş-tur.

Carl Gustav Jacob JACOBI (1804-1851)

10.1 SÜRTÜNEN YÜZEYLER

Birden fazla cisim Şekil (10.1a) da görüldüğü gibi birbirleriyle temas edi-yorsa, bu yüzeyler arasında sürtünmeye dayalı karşılıklı etkileşim olur. Sürtünme, cisimlerin yüzey yapılarına dayanan fiziksel özellikleriyle iliş-kilidir. Pürtüklü (pürüzlü) bir yüzeyin, pürtüksüz (cilalı) bir yüzeye göre, temas edeceği tüm yüzeyler üzerindeki sürtünme etkisi oldukça farklıdır. Yüzeyler iki sınıfa ayrılır:

Cilalı yüzey Pürüzlü yüzey.

Cilalı Yüzey: Bu tanım bir idealleştirme olup gerçekte böyle bir özelliğe ancak bazı özel durumlarda sadece yaklaşılabilir. Eğer; Şekil (10.2a) daki A cismi ile yatay düzlem arasındaki temas yüzeyi cilalı ise, A cisminin SCD Şekil (10.2b) de görüldüğü gibi çizilir. Dikkat edilirse, etkileşim kuvveti AN temas yüzeyine dik doğrultudadır. Yalnız bu durumda cisme

etkiyen yatay P kuvvetini dengelemek mümkün değildir. Örnek olarak buz üstünde giderken fren yapan bir arabayı düşünebiliriz.

Pürüzlü Yüzey: Şekil (10.1) de görüldüğü gibi, gerçek yüzeylerde farklı mertebelerden pürüzler olduğundan, yapılacak uygun varsayımlarla fizik olay gerçeğe olabildiğince yakın ifade edilebilir. Temas eden yüzeyler arasındaki sürtünme, bir etkileşim kuvveti ( )R ile ifade edilirken, Şekil

(10.4) de görüldüğü gibi bunun bileşenlerinden biri sürtünme yüzeyine dik olan normal kuvvet ( )N ve diğeri ise bu yüzeye teğet olan sürtünme

kuvvetidir ( )sF . Bileşke kuvvet ile sürtünme yüzeyi arasında sürtünme açısı ( ) denilen belli bir açı oluşur. Sürtünme,

304 STATİK

Sıvı sürtünmesi Kuru sürtünme

biçiminde iki sınıfa ayrılarak incelenebilir.

Sıvı Sürtünmesi: Çeşitli hızlarda hareket eden akışkanlar (sıvı ya da gaz) arasında ya da akışkanlar içine batmış cisimler incelenirken gündeme gelir. Sıvı sürtünmesi; akışkan içinde komşu katmanların farklı hızlarda hareketine (hız gradyanına) dayalı olarak ortaya çıkabileceği gibi, akışka-nın viskozitesine de bağlıdır. Örneğin Şekil (10.3) deki akışkan üzerinde

ov hızı ile hareket eden yeterince geniş bir levhayı ele alalım. Akışkanın

levha ile temas eden parçacıkları ov hızı ile hareket ederken, akışkanın

zemin ile temas içindeki parçacıklarının hızı sıfırdır. Buna göre levha ile zemin arasındaki akışkanın hızı ( )v v y= biçiminde düşey koordinatın bir

fonksiyonu olur.

Kuru Sürtünme: Birden fazla katı cismin yüzeyleri arasında temas varsa ve bunlar birbirlerine göre bir harekete zorlanıyorsa ortaya çıkar. Bu kitap kapsamında sadece kuru sürtünme ele alınacaktır.

10.2 SÜRTÜNME KUVVETİ VE SÜRTÜNME KATSAYISI

Eğer iki cisim arasında temas yüzeyi Şekil (10.4a) da belirtildiği gibi pürüzlü ise, bu durumda A cisminin SCD Şekil (10.4b) de görüldüğü gibi olur. Yani bu iki yüzey arasındaki etkileşim kuvveti R, yüzey normali ile gibi bir açı yapar. İstenirse bu R kuvveti Şekil (10.4c) de görüldüğü

gibi iki bileşene ayrılabilir. O zaman temas yüzeyine dik AN bileşenine

normal kuvvet, temas yüzeyine teğet ve hareketin tersi yönündeki sF

bileşenine de sürtünme kuvveti denir.

Sürtünme Kuvveti: İki yüzey birbiri ile temasta iken, biri ötekine göre hareket zorlanınca ortaya çıkan, hareketle zıt yönlü ve sürtünen yüzeylere teğet olan kuvvete verilen addır. Sürtünme kuvveti sonuç olarak ısı biçi-minde bir enerji kaybına neden olur. Eğer Şekil (10.4a) daki A cismi den-gede ise, Şekil (10.4c) deki SCD da yazılacak denge denklemleri,

0; 0

0; 0x s

y A

F P F

F N W

ü= - = ïïýï= - = ïþ (10.1)

dir. R yi bileşenlerine ayırmakta kullanılan açısına sürtünme açısı

denir ve ileride daha kapsamlı incelenecek. Yalnız bu aşamada bilinmesi gereken en önemli bilgi, sürtünme kuvvetinin şiddeti için daima bir üst sınır vardır. Bazı durumlarda sürtünmeden kaçınılırken, bazı durumlarda ondan yararlanılmaya çalışılır. Örneğin bir makina çalışırken sürtünme

10. SÜRTÜNME 319

elde edilir. Son olarak (10.22) integrali hesaplanırsa,

► 2 1sT T e = (10.23)

bulunur. Bu bağıntı, sabit silindirik tambura sarılı kayış ya da halat ile fren kayışı için tam kayma hareketinin başlayacağı sırada kullanılmalı-dır. Burada radyan cinsinden kullanılan açı 2 > olabilir, örneğin halat direğe n kere sarılı ise, 2 n = olur. Eğer kayış, halat, fren kaymı-

yorsa ya da kayma başlangıcında değilse (10.23) kullanılamaz. (10.23) kayışlı transmisyonlarda da kullanılabilir. Yalnız bu durumda hem kasnak hem de kayış döneceği için, kayışın kasnağa göre hareket edip etmediği bilinmelidir. Kayışlı transmisyonlar Şekil (10.15) de görüldüğü gibi sık-lıkla V biçimindedirler. O nedenle bunlara V kayışı denir. Hareket halin-deki kayışta çekme kuvveti 2T , direnen kayış kuvveti 1T ve kasnak ile

kayış arasındaki statik sürtünme katsayısı s ise kayış kuvvetleri arasın-

daki ilişki, (10.23) e benzer yapıda,

► 2 1T T e = (10.24)

yazılabilir. Burada kayış yanaklarındaki sürtünmeyi gözeten ilişki,

► ( )1

2sins

= (10.25)

dir.

:ÖRNEK 10.7: Şekil (P7.1) de görülen sistemde A makarası sürtünmesiz olup miller sabittir ve bunların yüzeyinde statik sürtünme katsayısı 0.3s =

dür. Kablonun en fazla 500kN taşıyabileceği bilinmektedir. Buna göre T kuvveti ile çekilerek hareket ettirilmek istenen W ağırlığının alabileceği en büyük değeri hesaplayınız. Açılar 60 = ve 80 = dir.

ÇÖZÜM: B milinin Şekil (P7.2) deki SCD da, asılım yönündeki kablo kuv-vetinin en büyük değeri 500kN olabileceğine göre,

2 500kNT =

dur. Kablonun mile sürtündüğü yüzeyde merkez açısı 150B = olup,

radyan cinsinden değeri,

5

150 rad180 6B

= ´ =

dır. Şu halde, kayış sürtünmesi denklemi 2 1s BT T e = dan,