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Schemi S chemi di di
moltiplicazionemoltiplicazione
……e qualche trucchetto per e qualche trucchetto per le tabellinele tabelline
I ndice S chemi … con le dita
a gelosia
a castelluccioEgizi
del contadino russo
per scapezzo a crocetta
N epero :
Moltiplicazione
ad una cifra Moltiplicazione
a più cifre
medioevale
A ll’indietro
Moltiplicazione con le Moltiplicazione con le ditadita
Un vecchio sistema usato per le “tabelline”
con numeri maggiori di 5
5 6 7 8 9 10
indice
Per moltiplicare 8 x 7 si procedeva in questo modo:
1- Si indicava con una mano l’8 e con l’altra il 7
2- Si sommavano le dita alzate che indicavano le decine:
3 da + 2 da = 5 da3- Si moltiplicavano tra loro le dita chiuse:
2 x 3 = 64- Si sommavano i risultati:
50 + 6 = 56
Gli <<Ossi>> diGli <<Ossi>> di N eperoN epero
Così scrive N epero stesso: Eseguire dei calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva e la causa principale della disaffezione che la m aggioranza della gente prova nei confronti della matematica.
Ho cercato sempre - usando tutti i m ezzi che avevo a disposizione e con le forze che il m io intelletto m i ha dato - di rendere più agevole e spedito questo processo. È con questo scopo ben fisso nella mente che ho elaborato il metodo dei logaritm i, a cu i ho dedicato molti anni di studio... Nello stesso tem po, a beneficio di chi volesse far uso solo dei numeri naturali, ho predisposto altri tre brevi metodi di semplificazione dei calcoli. I l primo dei quali e stato battezzato R abdologia e si basa su ll'uso di alcune asticelle su cu i sono scritti i numeri... Rabdologia, p. 1http://www.sibiwin.it/matematica/mouseCALC2.htm
indice
L’uso dei regoli rinascimentali di Nepero sono dovuti a Lord John Napier barone di Murchiston (1550-1617), ricco proprietario terriero scozzese che si interessava di argomenti di varia natura. Per la matematica si applicò a questioni di calcolo e di trigonometria e fu l’inventore dei logaritmi. Nella sua Rhabdologia del 1617 presentò alcuni ingegnosi artefici per eseguire le moltiplicazioni e le estrazioni di radici quadrate (e cubiche) attraverso una tavola numerica formata da bastoncini mobili.
Queste strisce risultavano intestate ciascuna ad una cifra della numerazione decimale, da 1 a 9.
Queste informazioni le ho tratte dal libro di Barbanera e De Luca, “Progetto Pitagora”, classe quinta, Giunti Lisciani Editori, 1993
torna
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1
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0 9
8
72
3
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46
5
6
5
72
81
1
9
i i ‘‘’’bastoncinibastoncini ’’
I ndex fisso
0 2
4
60
0
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2
18
1
1
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4
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9
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38
4
4
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56
63
1
701
2
3
5
7
6
4
89
indice
Moltiplicazione ad una cifraMoltiplicazione ad una cifra::
Es. 385 x 8
si avvicinano all’indice fisso del moltiplicatore i regoli 3, 8, 5
Facendo scorrere il visore sulla riga 8, appariranno nelle finestrelle i numeri:
2 4+ 6 4 + 4 0
Sommiamo cominciando da destra
La cifra delle unità è 0 (si guarda l’unità del regolo 5)
La seconda cifra, quella delle decine, è 8 (4+4)
La terza cifra, quella delle centinaia, è 0 (4+6) col riporto di 1
La quarta cifra, delle unità di migliaia, è 3 (2+1 di riporto)
Il prodotto è 3.080
0 3
6
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1
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89
indice
Moltiplicazione a piMoltiplicazione a più ù cifrecifre:
Es. 742 x 463
0 2
4
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701
2
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5
7
6
4
89
1- Si inseriscono i bastoncini contrassegnati con i numeri 7, 4 e 2, vicino all’Index fisso del moltiplicatore
2- Facciamo scorrere prima il visore sulla riga quattro: appariranno nelle finestrelle i numeri: 2 8+1 6+0 8
Sommando come nell’esempio precedente, si ottiene 2.968
3- Facciamo ora scorrere il visore sulla riga 6; appariranno nelle finestrelle:
4 2+2 4+1 2. Sommando, si ottiene 4.452
4- Infine, poniamo il visore sulla linea 3; appariranno: 2 1+1 2+0 6. Sommando si ottiene 2.226
5- Sommiamo i risultati ottenuti, aggiungendo uno zero al secondo numero, due zeri al terzo, e così via:
2.968 + 44.520 + 222.600= 270.088
indice
Schema a Schema a reticoloreticolo, <<dei , <<dei musulmani>>, <<a gelosia>>musulmani>>, <<a gelosia>>
324 x 433 2 443
32
4 43
1. S i scrive il moltiplicando e il moltiplicatore ai lati di un rettangolo o di un quadrato (quando i due fattori hanno un numero uguale di cif re)
indice
Lo schema a reticolo era in uso nei paesi arabi; per questo veniva chiamato <<schema dei musulmani>>.
I n I talia era conosciuto come <<schema a gelosia>> ( gelosia, in questo caso, è sinonimo di persiane che, messe alla finestra, proteggevano da sguardi indiscreti)
3 2 4
4
3
16
08
12
3
2
4 4
31 60 8
1 2
2. R icordando che 324 x 43= 324 x (40 +3), si applica la proprietà distributiva, si comincia a moltiplicare 324 x 4 decine
e si scrivono i risu ltati come indicato negli schemi
3
2
4 4
31 6
0 8
1 21 260
0 9
3 2 4
4
3
16
08
12
21
600
9
3. S i moltiplica 324 x 3 e si scrivono i risu ltati , come indicato negli schemi
4. S i addiziona in diagonale a cominciare dalle unità ( 2) , tenendo conto di eventuali riporti
32
4 431 6
0 8
1 2
1 2
60
0 9
23931
324 x 43= 13 932
3 2 443
16
08
12
21
600
9
2393
1
(6+6+1)(9+8+1)
+ 1 di riporto
(2+1 di riporto)
indice A schema gelosia
Schema <<a castelluccio>>Schema <<a castelluccio>>742 x 463742 x 463
1- Si moltiplicava 7 x 463.
7 x 3=21. Si scriveva 1 sotto il 3 e si riportava 2.
A destra dell’1 si scrivevano due zeri in quanto si era moltiplicato per 7 centinaia.
742 X 463 _______ 100
2- Si moltiplicava 7 x 6= 42 più 2 di riporto=44.
Si scriveva 4 e si riportava 4.
Si moltiplicava 7 x 4= 28 più 4 di riporto: 32
742 X 463 _______ 324100
3- Si moltiplicavano le 4 decine per 463, mettendo uno zero per indicare che moltiplicavano le 4 decine.
742 X 463 _______ 324100 18520
4- Si moltiplicava 2 x 463 e si addizionavano i prodotti parziali
742 X 463 ________ 324100 18520
926
_________
343.546
indice
Schema <<all S chema <<all ’’indietro>>indietro>>La stessa moltiplicazione - La stessa moltiplicazione - 742 x 463 -742 x 463 -
eseguita con questo schema, simile al eseguita con questo schema, simile al ‘castelluccio’. In questo caso, però, si ‘castelluccio’. In questo caso, però, si
cominciava a moltiplicare:cominciava a moltiplicare:
1- 742 x 400= 296.800
2- 742 x 60= 44.520
3- 742 x 3= 2.226
742
x 463
___________
296800
44520
2226
____________
343 546indice
Gli Egizi Gli Egizi
e la moltiplicazionee la moltiplicazionePer eseguire la moltiplicazione, gli antichi Egizi non avevano bisogno delle tabelline.
A loro bastava saper moltiplicare e dividere per 2 e saper sommare.
S i conoscono due m odi:
Primo m odo
Secondo modo
indice
Questo modo di eseguire la m oltiplicazione è di origine antichissima e viene descritto nel ‘papiro papiro di R hinddi R hind’’Per moltiplicare 25 x 11 si scrivevano i due numeri in colonna
Si calcolava la metà di 25 (1/2 di 25=12 r.1). Non si teneva conto del resto e si scriveva 12
Si calcolava la metà di 12 e si scriveva
Si calcolava il doppio di 11e si scriveva.
Si calcolava il doppio di 22 e si scriveva
Si calcolava la metà di 6 e si scriveva
Si calcolava il doppio di 44 e si scriveva
Si calcolava la metà di 3 e,non tenendo conto del resto, si scriveva 1.
Si calcolava il doppio di 88 e si scriveva
25 11
12 22
6 44
3 88
1 176
25 11
12 22
6 44
3 88
1 176
Dopo che si raggiungeva l’1 (nella colonna dove si era diviso il numero di partenza a metà), si cancellavano le righe in cui la metà trovata era un numero pari.
Si sommavano, infine, i raddoppi rimasti:
11 + 88 + 176 = 275
275 Torna
Per eseguire questa moltiplicazione
26 x 1726 x 17
gli Egizi si comportavano in questo modo:
Partendo da 26, si eseguivano i successivi raddoppiamenti
Partendo da 1, si raddoppiava fino a trovare il 17. Si fermavano a 16 perché, fra i numeri scritti, ci sono 16 e 1 che, sommati tra loro, danno 17
26 1
52 2
104 4
208 8
16416
X 2 X 2
442Si sommavano, infine,i numeri che nella colonna dei raddoppiamenti
corrispondevano a 16 e a 1, cioè:
416 + 26 = 442
Moltiplicazione del <<contadino Moltiplicazione del <<contadino russo>>russo>>
Così denom inato per il fatto che fino a poco tempo fa era ancora in uso presso i contadini
russi. Questo m etodo è sim ile a quello egiziano. 1- S i formano due colonne di numeri: nella prima colonna, ogni numero successivo al primo è il doppio del precedente; nella seconda colonna la metà ( approssimata all’unità inferiore) del precedente.2- S i prosegue in tal modo fino a che nella seconda colonna si ottiene 1.
5
24032
126 42
252 21504 10
10082016
1
3- S i evidenziano i numeri dispari presenti nella seconda colonna e si addizionano i numeri che a essi corrispondono nella prima colonna.
La somma è il prodotto richiesto.
4032
126 42
252 21504 10
1008 52016 2
1
126 x 42= 252 + 1 008 + 4 032= 5 292
126 x 42
indice
Procedimento per <<scapezzo>> o per Procedimento per <<scapezzo>> o per spezzatospezzato
S i scompongono entram bi i fattori nella somma di due o più addendi, a piacere.
Es. 56 x 34
56= 30+20+6 34= 20+10+4
Il prodotto si ottiene applicando alla moltiplicazione
(30+20+6) x (20+10+4)
la proprietà distributiva rispetto all’addizione.
Usare uno schema facilita:30 20 6
20
10
4
600 400
300 200
120 80 24
60
120
56x34= 600+400+120+300+200+60+120+80+24= 1 904
indice
Lo schem a <<a crocetta>>Lo schem a <<a crocetta>>esposto da Fibonacci nel ‘Liber abaci ‘,
e noto agli indiani come ‘m oltiplicazione fu lm inea’, permette di risolvere la moltiplicazione senza eseguire i prodotti parziali.
Es: 153 x 42153 x 42= (100+50+3) x (40+2)
1- 40 x 100= 4.000
2- 4.000+ (40 x 50)= 6.000
3- 6.000+ (40 x 3)= 6.120
4- 6.120+ (2 x 100)= 6.320
5- 6.320+ (2 x 50)= 6.420
6- 6.420+ (2 x 3)= 6.426
100+50+3
40+2
indice
Lo schema Lo schema MedioevaleMedioevale,,
progenitore di quello attuale
9 3 4
4
1
3
6373
439
2082
2 9 3 2 7 6
Questo schema è stato tratto da ‘larte de labbacho’‘larte de labbacho’, di autore ignoto, opera stampata a Treviso nel 1478.
Op. cit. Barbanera, De Luca.