IntroduccionalaInvestigacionenMatematicasUNABREVEINTRODUCCIONALCALCULODEVARIACIONESEDUARDOMARTINEZResumen. El objetivo de estas notas es proporcionar un introducci on al calcu-lodevariaciones,demaneraqueunopuedaintuirlasideasquehaydetrasdelPrincipiodelMaximodePontryagin.1. C alculodeVariacionesHistoricamente,elCalculodeVariacionestuvounagranrelevanciaeneldesa-rrollo del Calculo en el siglo XVIII. El primer problema relacionado con el calculovariacionalfuepropuestoyresueltoporNewtonen1694.Setratadedeterminarla forma mas aerodinamica posible de una supercie de revolucion, es decir la quepresenta menor resistencia al movimiento.Quizas el problema mas famoso es el de la braquistocrona, que fue propuesto porJean Bernoulli en 1696, como reto a otros matematicos de la epoca, y en particulara su hermano Jacques. Tanto ambos hermanos Bernoulli como Newton, LHospitaly Leibnitz encontraron la solucion correcta, y todas ellas fueron publicadas en mayode 1697. Este problema, as como el de la catenaria y el de las geodesicas del plano,que tuvieron gran importancia en su epoca, se presentan a continuacion.La braquistocrona. Conectamos dos puntos del plano mediante un alambre de formacurva. Insertamos una cuenta en el alambre y la colocamos en el punto inicial. Alsoltarla,lacuentaempiezaabajaryllegaalotropuntoenunciertotiempo.Esclaroquedichotiempodependedelaformaquedemosalalambre. Buscamoslaforma del alambre que hace que el tiempo empleado por la cuenta para recorrerlasea mnimo.Denotemos, como antes, los puntos considerados por (x0, y0) y (x1, y1). Si con-sideramos la longitud del arco del alambre y denotamos porv(s) la velocidad de lacuenta cuando hemos recorridos unidades de longitud sobre el alambre, entoncesel tiempo empleado esT(y) =

L0dsv(s).Si parametrizamoslacurvaporlavariablex, y=y(x), entoncesel elementodearco esds =

1 +y

(x)2dx y la velocidad podemos relacionarla con la altura pormedio de la energac =12mv(x)2+mgy(x),dondelaconstantec=mgy0, eslaenergainicial (suponiendoquesoltamoslacuenta enx0con velocidad inicialv(x0) nula). Despejando, obtenemosv(x) =

2g

cmg y(x) =12g

y0 y(x)Date:Febrero2008.2000MathematicsSubjectClassication. 49S05,49K15,58D15,70H25,49J15.Keywordsandphrases. SistemasdeControl,Calculovariacional,ControlOptimo.http://andres.unizar.es/~emf.12 EDUARDOMARTINEZy sustituyendo llegamos aT(y) =12g

x1x0

1 +y

(x)2y0 y(x)dxIgual que en los otros casos la funcionydebe satisfacer la condicion de extremosjosy(x0) = y0ey(x1) = y1.Deniendo la funcion u(x) = y0y(x) podemos reescribir la funcion a minimizarcomoT(u) =

x1x0

1 +u

(x)2u(x)dxsiendoT(u) = 2gT(y). La funcionu debe satisfacer las condiciones de contornou(x0) = 0 yu(x1) = y0 y1.Geodesicas del plano. Consideremos dos puntos del plano y buscamos la curva queconecta dichos puntos y tiene longitud mnima. Si las coordenadas de dichos puntosson (x0, y0) y (x1, y1) y parametrizamos la curva por la variable x, y = y(x) entoncesqueremos minimizarL(y) =

x1x0

1 +y

(x)2dxentre todas las curvasy = y(x) con extremos josy(x0) = y0ey(x1) = y1.Ecuaciones deEuler. Todos los problemas considerados anteriormentetienenlaformageneral queseexponeacontinuacion. Sean(x0, y0)y(x1, y1)dospuntosdelplano.Deentretodaslasfuncionesy=y(x)quesatisfacenunacondiciondeextremos jos,y(x0) = y0ey(x1) = y1, hallar aquellas que minimizan el funcionalJ(y) =

x1x0(x, y, y

) dx,dondees una funcion conocida. Encontraremos condiciones necesarias que debesatisfacer una funcion para ser una solucion.Elmetodoempleadoessimilaralqueseusaenelcalculodiferencialparaen-contrar mnimos de funciones: siF(x) tiene un mnimo enx0, entonces para cadadireccionvlafuncion F(x0 +v) tieneunmnimoen =0, por loqueF

(x0; v) =ddF(x0 + v)[=0= 0,esdecirladerivadadireccionaldeFenx0encualquier direccionv debe ser nula.Supongamos que y = 0(x) es una funcion que satisface las condicion de extremosjos y que minimiza el funcional J() =

x1x0(x, (x),

(x)) dx,Tomamos una funcionw(x) tal quew(x0) =w(x1) = 0, de forma que

(x) =0(x) + w(x), tambiensatisfacelacondiciondeextremosjos. Si evaluamoselfuncional eny =

y derivamos con respecto addJ(0 +w)

=0,CALCULODEVARIACIONES 3obtenemos0 =dd

=0

x1x0(x, 0 +w,

0 +w

) dx=

x1x0dd(x, 0 +w,

0 +w

)

=0dx=

x1x0y w +y

w

dx=

x1x0y w +ddx

y

w

ddx

y

w

dx=

x1x0y w ddx

y

w

dx +

y

w

x1x0=

x1x0y ddx

y

wdx,dondetodaslasderivadasparcialesdeestanevaluadasen(x, 0,

0), ydondehemos integrado por partes para tener en cuenta la ligadura de extremos jos. Dadoque la funcion w es arbitraria (salvo por la condicion en los extremos), si suponemosquetantocomo0sonsucientementeregulares(C2essuciente), sepuedededucir (ver mas adelante) que la funcion que multiplica a w en el integrando debeanularse. Esta condicion es la ecuacion de Euler-Lagrange para nuestro funcional:ddxy

=y .Notese que esta es una ecuacion diferencial de segundo orden, que explcitamentese escribe2y2y

+2yy

y

+2xy

y= 0.Resolucion de los ejemplos. Antes de fundamentar los calculos realizados, podemosresolver los ejemplos que se han expuesto anteriormente.Geodesicas del plano. El funcional a minimizar esJ(y) =

x1x0

1 +y

(x)2dx,es decir(x, y, y

) =

1 +y2. La ecuacion de Euler-Lagrange son0 =ddxy

y=ddxy

1 +y2 0.Por tantoy

/

1 +y2es una constantek < 1y

1 +y2= k.Elevando al cuadrado y2= k(1 +y2), y despejando obtenemos y

= m, con m unaconstate dada por m2= k/(1 k). Finalmente, integrando obtenemos y = mx+n,es decir una recta. Los valores den ym los hallamos imponiendo los valores en losextremos:y0 = mx0 +n y y1 = mx1 +n,de donde nalmente, la solucion de nuestro problema esy =y1 y0x1 x0(x x1) +y1,que es la solucion que todos conocemos y esperabamos.4 EDUARDOMARTINEZEjercicio1: Que ocurre six1 = x0cony1 = y0? Es que no hay rectas uniendodichos puntos?.Ejercicio 2: La propiedad que ha hecho sencillo resolver el problema ha sido quey

1+y2es constante. Cual es la causa de dicha propiedad? como puede generali-zarse?La braquistocrona. El funcional a minimizar esJ(u) =

x1x0

1 +u

(x)2u(x)dx,es decir(x, u, u

) =

1+u2u. La ecuaciones de Euler-Lagrange son0 =ddxu

u=12u2+ 2uu

+ 1[u(1 +u2)]3/2es decir,u2+ 2uu

+ 1 = 0.Para encontrar la solucion, es mejor considerar la funcionC(u, u

) = u(1 +u2),que es una constante de movimientou(1 +u2) = 2a.La solucion de esta ecuacion es mas facil si introducimos como parametro el angulodela(tangenteala)curvaconelejex,omejortodava=t/2,esdeciru

=tan(t/2), de dondeu =2a1 +u2= 2a cos2(t/2) = a(1 + cos t).De aqudu = a sin t dt y sustituyendo obtenemosdx =1tan(t/2)du = 2a cos2(t/2) dt = a(1 + cos(t)),e integrandox = b a(t + sin t).En resumen, la solucion se escribe parametricamente en la formax(t) = b a(t + sin t)u(t) = a(1 + cos t)quesonlas ecuacionesparametricasdeunacicloide (curvadescrita porunpuntodel borde una rueda que gira sin deslizar). En terminos de la variabley =y0 uobtenemos una cicloide invertida. Por tanto, la braquistocrona no es sino un arcode cicloide invertida.CALCULODEVARIACIONES 521.510.502 4 6 8 10 12Christiaan Huygens llamo a esta curva latautocrona, debido a la siguiente pro-piedad que el mismo descubrio: el tiempo para llegar al suelo (y = 0) no dependedel punto inicial desde el que se lanza la cuenta.Ejercicio3: Probar que loanterior es cierto, yque dichotiempoes igual a2

2a/g.Porotrolado, lapropiedaddeisocronaunidaal hechodequelaenvolventede una cicloide es otra cicloide, permitio a Huygens construir un reloj de pendulocicloidal, mas exacto que el reloj de pendulo clasico, ya que el periodo de oscilacionno depende de la amplitud del movimiento.2. EcuacionesdeEuler-LagrangeEn el caso de las geodesicas del plano (por ejemplo) en vez de buscary =y(x)podemos buscar la curva con otra parametrizacion. Entoncesx =x(t),y =y(t) yel funcional a minimizar (la longitud total) esS(x, y) =

t1t0

x(t)2+ y(t)2dt,donde t0 y t1 son los valores del parametro t para los que alcanzamos los extremos,es decir, (x, y)(t0) = (x0, y0) y (x, y)(t1) = (x1, y1).Igualmente en el caso de la braquistocrona, hemos usado un parametro t, que hasimplicado el problema, proporcionando las ecuaciones parametricas de la cicloide.Esconveniente, portanto, considerarel casomasgeneral deunfuncional quedependedenvariablesdependientesxiysusderivadasprimeras xiconrespectoa un parametrot, y as el integrando sera de la formaL(t, x1, . . . , xn, x1, . . . , xn).SupondremosademasqueLesunafunciondeclaseC2enunabiertode R2n+1.Notese el cambio de notacion: variable independiente t, variables dependientes xi, mas acorde con nuestra notacion en el resto de la asignatura.Dadaunacurva : [t0, t1] Rnconderivadasegundacontinua, denimoselfuncionalJpor medio deJ() =

t1t0L(t, (t), (t)) dt.6 EDUARDOMARTINEZQueremos minimizarJsobre el subespacio afnA C2([t0, t1], Rn) de curvas conextremos josm0ym1, es decirA = C2([t0, t1], Rn)

(t0) = m0y(t1) = m1.Este espacio es una variedad lineal de Banach, es decir, el espacio vectorial asociadoV =W C2([t0, t1], Rn)

W(t0) = 0 yW(t1) = 0,es un espacio de Banach con la normaC1[[W[[ = supt[t0,t1] [W(t)[ + supt[t0,t1] [W(t)[.Por tanto, podemos hacer calculo diferencial sin problemas.Proposici on 1 (Lema fundamental del Calculo de Variaciones):SeaF : [t0, t1] Rnunafuncioncontinuatalque

t1t0' F(t), W(t) ` dt = 0paratodoW V.EntoncesF(t) = 0paratodot [t0, t1].Proof. Es suciente probarlo paran = 1. Si existiera un punto [t0, t1] tal queF() = 0, entonces por la continuidad deF, existira un entorno o semientorno de enelqueF(t) = 0.Sinperdergeneralidadpodemossuponer (t0, t1)yqueF(t) > 0 en dicho entorno ( , +). Como ademas podemos elegirWpositiva,de claseC2y cuyo soporte este contenido en dicho entorno, se deduce que

t1t0F(t)W(t) dt =

+F(t)W(t) dt > 0ya que F(t)W(t) es una funcion continua, no nula y no negativa. Por tanto llegamosa una contradiccion. Un calculo similar al realizado antes muestra que la derivada direccional de Jenla direccion deW V esJ

(; W) =

t1t0' L(t), W(t) ` dt,dondeL(t) es la funcion con valores en Rncuyas componentes son[L(t)]i =Lxiddt

L xi

.En efecto, si A es la solucion buscada, tomamos la curva

= +W Apara W V, es decir,

(t) = (t) +W(t). Derivando con respecto a , obtenemosJ

(; W) =ddJ( +W)

=0=

t1t0ddL(t, (t) +W(t), (t) +W(t))

=0dt=

t1t0' Lq , W ` + ' Lv ,W `

dt=

t1t0

Lq ddt

Lv

, W

dt + ' Lv , W `

t1t0=

t1t0' L(t), W(t) ` dt,donde hemos usadoddt' Lv , W ` = 'ddt

Lv

, W ` + ' Lv ,W `,CALCULODEVARIACIONES 7y tambien queW(t0) = W(t1) = 0.Utilizando el lema fundamental del Calculo de Variaciones obtenemos las ecua-cionesdeEuler-LagrangeL = 0, es decirddt

L xi

=Lxi.Lagrangeobtuvo(alos19a nos!) lasecuacionesanterioresdeformageneralparanvariablesindependientes, utilizandometodosanalticos(esencialmentelasmismas ideas que nosotros). Previamente, Euler haba obtenido ya las ecuacionespara problemas con una variable dependiente, utilizando argumentos geometricos.Ejercicio4: Probar que si L esC2entoncesJes diferenciable. Su diferencial espor tantoDJ() : W J

(; W).Nota1: Sepuedeverqueenel casotodavamasgeneral dequelafuncionLdependadederivadas deordensuperior L(t, x, x(1), . . . , x(r)), las ecuaciones deEuler-Lagrange son0 =rk=0(1)kdkdtk

Lx(k)

Por supuesto hay que exigir la regularidad suciente tanto ax(t) como aL. En el caso de que nuestras curvas esten constre nidas a permanecer en una ciertasubvariedadlacosassecomplican. Sepuedegeneralizar lohechoaqu parava-riedadesdiferenciablesBanach, llegandoaunresultadofacilmenteexpresableenterminos de multiplicadores de Lagrange.Porejemplo,parahallarlaecuaciondelasgeodesicasenunasuperciedere-volucion podemos proceder de dos maneras diferentes: (1) utilizando coordenadasenlasupercieyminimizandolalongituddearco(omejorsucuadrado), o(2)minimizar la longitud del arco en R3(o mejor su cuadrado) donde las curvas estanconstre nidas a satisfacer la ecuacion de la supercie. Estas ultimas ecuaciones tienenuna interpretacion geometrica clara.Finalmente, notemos que solo hemos encontrado condiciones de primer orden, esdecircondicionesdepuntocrtico.Bajocondicionesadecuadasderegularidad,sepuede calcular la diferencial segunda deJy encontrar condiciones sucientes paraque una punto crtico sea un mnimo. Para todas estas cuestiones, vease el libro deVan Brunt.3. ProblemasconligadurasConsideremos ahora un problema con ligaduras, es decir, al igual que antes bus-camos extremos de un funcionalJsobre un conjunto de curvas con extremos jos,pero ahora a dichas curvas le imponemos que satisfagan alguna condicion adicional(longitud constante, permanecer en una supercie, ...). A las soluciones de este tipode problemas las denominamos extremos condicionados.Si dicha ligadura se representa por la anulacion de una funcion () = 0, donde:A Rmes una aplicacion que suponemos diferenciable, entonces el problemase expresa en la forma mn J[1(0).Para resolver el problema tomamos el funcional J = (J, ):A RRm. Si es un extremo condicionado entoncesDJ() no puede ser sobreyectiva. En efecto,si lofuera, laimagendeunabiertoentornoadebeserunentornode J().En particular, dicho entorno contendra al intervalo (J() , J() + )()), oconotraspalabrasel intervaloanteriorestacontenidoenlaimagendeJ, loquecontradice el hecho de que entengamos un extremo.8 EDUARDOMARTINEZPor tanto, debe existir un vector (, p) RRmno nulo tal que ' (, p), DJ() ` =0, es decir, tal queDJ() + ' p, D() ` = 0.Lascomponentes p1, p2, . . . , pmdel vector psedenominanmultiplicadores deLagrange. El n umeroreal sellamamultiplicadordeanormalidad, aunqueesocasiones tambien se le llama multiplicador de Lagrange.Laregla anteriorsepuede reexpresar enterminos delfuncionalextendidoJ=J + ' p, `, de forma que,p y deben satisfacer la ecuacionD J() = 0.La catenaria. Consideremos un cable no de longitud1L, homogeneo y exible (peronoextensible)suspendidoentredospuntos.Queremosdeterminarsuposiciondeequilibrio. Esta se consigue en el punto en el que sus energa potencial es mnima.Si mdenotalamasaporunidaddelongituddelcableygeslaaceleraciondelagravedad, entonces dicha energa potencial esV (y) =

L0mgy(s) ds,donde hemos parametrizado la curva por el arco. Si (x0, y0) y (x1, y1) son las coor-denadas de los puntos de donde esta suspendido el cable y parametrizamos la curvapor la variable x, entonces ds =

1 +y

(x)2dx y los valores s = 0, L correspondenax = x0, x1, respectivamente, por lo queV (y) = mg

x1x0y(x)

1 +y

(x)2dx.Por tanto, queremos encontrar la funciony = y(x) que hace mnimo el valor deVde entre todas las curvas con extremos josy(x0) = y0 ey(x1) = y1, y que ademassatisfacen la ligaduraL =

x1x0

1 +y

(x)2dx,Supondremos en primer lugar = 0, que podemos reescalar a = 1. El funcionala minimizar es (salvo constantes)J(y) =

x1x0y(x)

1 +y

(x)2dx,es decir(x, y, y

) = y

1 +y2, y por tanto el funcional extendido corresponde alintegrando(x, y, y

) = y

1 +y2p

1 +y2= (y p)

1 +y2.Podemos hacer el cambio de variable u = yp, de forma que el funcional extendidoqueda igual que el funcional original, pero en la variableu:(x, u, u

) = u

1 +u

(x)2.La ecuaciones de Euler-Lagrange son0 =ddx y

y=12u2uu

u2 1(1 +u2)3/2es decir,2uu

u2 1 = 0.Para resolver es mejor considerar la funcionEE(y, y

) =u1 +u2,que es constante de movimientou1 +u2= a,1Volvemosenestaseccionalanotaciondelprincipio.EnparticularLeslalongituddelcableCALCULODEVARIACIONES 9de donde se llega au

=

(u/a)2 1.Haciendo el cambio u = a cosh(v), se tiene

(u/a)2 1 = sinh(v) e u

= a sinh(v)v

porloquea sinh(v)v

= sinh(v),yas v(x) = (x b)/aparaalgunaconstanteb.Por tantou = a coshxba, y nalmentey = p +a cosh x ba.queeslaecuaciondelacatenaria.Lainterpretaciongeometricadepeslaalturade la catenaria en el punto mas bajo, que corresponde ax = b.Para=0tenemos el funcional extendido=p

1 +y

(x)2, quesalvolaconstante multiplicativa no nulap es el funcional de las geodesicas del plano. Portanto, enestecasolasolucionesunarectay=mx + n, paraciertasconstantesm, n R.Ejercicio5: Paradeterminarlasconstantesayb(omyn)debemosimponerlas condiciones de contornoy(x0) =y0ey(x1) =y1. Hay siempre solucion? Es unica? Razona el resultado e interpretalo geometricamente.4. Elprincipiodelm aximodePontryaginLa teora de control optimo constituye una generalizacion natural del calculo devariaciones. Existen multitud de formas asociadas a problemas de control optimo,y nosotros consideraremos la que sigue. Sean T R+, x0, x1 Rndados. Considera-mos el conjunto de controles admisibles W= : [0, T] U [ acotada y medible .Para cada control W encontramos la solucion : [0, T] Rndel problema devalor inicial

x = f(x, (t))x(0) = x0.Deentretodosestoscontroles u=(t)seleccionamosaquellosenloscualeslasolucionx = (t) esta denida en todo el intervalo [0, T] y ademas(T) = x1. Eneste conjunto de controles, queremos minimizar el funcionalJ(u) =

T0L(x, u) dt,o mas explcitamenteJ() =

T0L((t), (t)) dt.Daremos un conjunto de condiciones necesarias (no sucientes en general) que lasexpresaremos en terminos de la funcion Hamiltoniano de Pontryagin,H(x, p, , u) = ' p , f(x, u) ` L(x, u).Teorema 1 (Principiodel maximodePontryagin):Supongamos que las de-rivadasparcialesdeLyf conrespectoaxsonfuncionescontinuasconrespectoatodaslasvariables.Seanu =(t)uncontroladmisibleyx =(t)lacorrespon-diente trayectoria del sistema de control. Si ((t), (t)) es optimal, entonces existenunaconstante 0, 1,una funcionabsolutamentecontinua: [0, T] Rntalesque (, (t)) = (0, 0)paratodot [0, T],talesque1. Lacurvap = (t)satisface i = Hxi((t), (t), , (t)),paracasitodot [0, T].10 EDUARDOMARTINEZ2. Elcontrolu = (t)maximizaelHamiltoniano,esdecir,maxuUH((t), (t), , u) = H((t), (t), , (t)),paracasitodot [0, T].3. ElHamiltonianoesconstantealolargodedichasolucionH((t), (t), , (t)) = constante.En lo que sigue daremos un argumento (que no una demostracion) que nos permi-ta intuir de donde proceden las condiciones del principio del maximo. SupondremosqueU es un abierto de Rmy que las funciones L y fson de clase C1, y probaremossolamente que u es un punto crtico de u H(x, p, ,), es decir, que H/u = 0,y no que es un punto de maximo como asegura el principio. Mas adelante supon-dremos que se cumplen unas cuantas condiciones adicionales, que en la mayora delos casos no se dan, como por ejemplo que el conjunto de los controles satisfaciendolas condiciones anteriores tiene una estructura razonablemente buena.Seguiremospasosanalogosalosdadosenel casodel calculovariacional paraencontrar las ecuaciones de Euler-Lagrange. Consideremos un controlque mini-miza el funcionalJy sea la correspondiente trayectoria en el espacio de estados.Tomamos unavariaciondel control s= +sZconZWyseaslaco-rrespondientetrayectoria2. Dadoquessatisface s=f(s, + sZ), juntocons(0)=x0ys(T)=x1, setienequeel vectordevariaciondelasvariablesdeestadoW(t) =xs(t)s[s=0satisface

W=fxW +fuZW(0) = 0W(T) = 0.EvaluandoJensy derivando, tenemos que0 =ddsJ(s)

s=0=

T0sL(s(t), (t) +sZ(t))

s=0dt=

T0

LxW +LuZ

dtdonde las derivadas parciales estan evaluadas en ((t), (t)).Debemos ahorautilizar ahoraambas relaciones paraobtener las condicionesquedebesatisfacernuestrasolucion. Paraello, ymotivadosporlaregladelosmultiplicadores de Lagrange, podemos multiplicar la ecuacion variacional por unafuncion: [0, T] Rnderivable y sumarla al integrando, obteniendo0 =

T0

LxW +LuZ + ' ,W fxW fuZ `

dt=

T0

' Lx fx , W ` + ' Lu fu , Z `

dt.Para pasar a la segunda igualdad, hemos integrado por partes el termino ' ,W ` yhemos tenido en cuenta que Wse anula en ambos extremos. Dado que la variacionZde los controles es libre, pero la variacion de las variables de estadox no lo es,debemos elegir adecuadamente el valor de los multiplicadores. Esto se consiguehaciendo que el termino que multiplica aWse anule, es decir, si elegimosp = (t)como una solucion de la ecuaci on diferencial p =Lx pfx,2SesuponequeexistetalvariacionCALCULODEVARIACIONES 11entonces la derivada deJen es0 =

T0' Lu fu , Z ` dt,y comoZes libre3, se obtiene ademas la condicionLu fu= 0.En terminos del Hamiltoniano de Pontryagin,H = ' p , f ` L,ambas ecuaciones se escriben en la forma p = Hx0 =Hu .Ademas la ecuacion x = f(x, u), se puede expresar tambien en la forma x =Hp.Enlaobtenciondelascondicionesanteriores,hemossupuestoqueelconjuntodecontrolesadmisibles(quehacenquelasolucionsatisfagalascondicionesdecontorno) admite variaciones Z que en cada punto generan todo Rm. Esto en generalno sera cierto. Por ejemplo, pueden existir controles que no admitan variacionesgenericasodening untipo. Porejemplo, si enalgunatopologadichocontrol esun punto aislado, entonces en dicho punto no podemos calcular la derivada de J, yestos puntos habra que considerarlos por separado como candidatos a optimo. Comola condicion de ser puntos aislados no depende del la funcion a optimizar, podemosutilizarcualquiera, porejemploL=0. Deah quetengamosqueconsiderarnosolamente la funcion de coste original 1L sino tambien el coste 0, esto es, 0L. Enotras palabras hay que considerarL, con 0, 1, por lo que el HamiltonianoesH(x, p, , u) = ' p , f(x, u) ` L.Finalmente, veamos queHes constante a lo largo de cada trayectoria optimal.En efecto4ddtH((t), p(t), , (t)) =Hx +Hp p +Hu = p + p 0 = 0.Notesequehaymuchospuntosacosenlaargumentaciondada. El problemaprincipal reside en que no conocemos la estructura del conjunto de controles talesque la trayectoria asociada cumple las condiciones de contorno, y en general, dichoconjunto no sera una variedad de Banach. Si lo fuera, todos los calculos que hemosrealizado son facilmente justicables. Es mas, en este caso, uno puede suponer que = 1.EduardoMartnez: DepartamentodeMatem aticaAplicadaandIUMA, FacultaddeCiencias,UniversidaddeZaragoza,50009Zaragoza,SpainE-mail address:emf@unizar.es3SesuponequeZpuedetomarvaloresarbitrariosencadapunto.Estoengeneralnoescierto.4Aqusuponemosqueutienederivada.12 EDUARDOMARTINEZIndice1. Calculo de Variaciones 12. Ecuaciones de Euler-Lagrange 53. Problemas con ligaduras 74. El principio del maximo de Pontryagin 9