Scattering in Meccanica Classica

Sommario • Scattering

• Diffusione Thomson e Rayleigh

• Sezione d’urto in meccanica classica

• Attenuazione

• Scattering da una sfera rigida

• Sezione d’urto di Rutherford

F. Bianchi 2

Scattering (1) • Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere

informazioni sulla struttura del sistemi fisici. – Usato ampiamente anche dalla natura.

• Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione

– Sorgente di luce – Oggetto – Rivelatore di luce

• La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada,

LED, laser,..), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore,..).

3 F. Bianchi

Scattering (2) • Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia

corpuscolare sia ondulatorio: Collisione – Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni

• Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio.

• Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio.

• Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura – Trattazione classica

• Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio – Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne) – Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico

4 F. Bianchi

Scattering di Onde Elettromagnetiche

• Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente: – d/λ >> 1 ottica geometrica – d/λ ~ 1 ottica fisica

• Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente: – d ~ 0 scattering Thompson (su elettroni liberi) – d/λ << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati) – d/λ ~ 1 scattering Mie

5 F. Bianchi

Scattering Thomson (1) • Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero

• Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x.

• L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B. – Si puo’ trascurare B se ve << c

• Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche

6 F. Bianchi

Scattering Thomson (2)

7 F. Bianchi

Scattering Thomson (3) • Potenza media incidente per unita’ di

superficie:

• Forza agente sull’elettrone:

• Accelerazione media dell’elettrone:

• Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica:

• Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido

2002

1 cEI ε=⟩⟨

EeamF

==

2

20

2

2

222

2mEe

mEea =

⟩⟨=⟩⟨

Θ⟩⟨

=Ω

23

0

22

sin16 c

aeddP

πε

Θ

=

Ω2

200

2

20

2

sin24cE

mce

ddP ε

πε8 F. Bianchi

Scattering Thomson (4)

• Sezione d’urto (m2/sr)

• Sezione d’urto totale (m2)

• Raggio classico dell’elettrone

• σT indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente

( )θϕθπεπε

επεε

σ

2222

20

22

2

20

2

2200

2

20

2

200

cossinsin4

sin4

sin24

21

+

=Θ

=

=Θ

=

Ω⟩⟨=

Ω

mce

mce

cEmc

ecEd

dPId

d

( ) 22

20

2222

4

2

20

2

38

438sincossinsin

4 eT rmc

eddmc

e ππε

πϕθθθϕθπε

σπ

=

=+

= ∫

20

2

4 mcere πε

=

9 F. Bianchi

Scattering Rayleigh (1) • Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati

– Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda

• Modello supersemplificato della forza di legame: – Termine elastico + Termine di smorzamento

– Equivale a:

• L’equazione del moto dell’elettrone:

• Con:

• Una possibile soluzione e’:

10 F. Bianchi

Scattering Rayleigh (2) • Sostituendo x(t) e

le sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone:

• L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’:

• Potenza irraggiata dall’elettrone

Θ

+−

=Ω

2200

2

20

2

22220

2

4

sin24)(cE

mce

ddP ε

πεωγωωω

11 F. Bianchi

Scattering Rayleigh (3)

• La sezione d’urto (m2/sr):

( )

Thomson

Ω+−=

=+

+−

=

=Θ

+−

=

=Θ

+−

=Ω⟩⟨

=Ω

dd

mce

mce

cEmc

ecEd

dPId

d

σωγωω

ω

θϕθπεωγωω

ω

πεωγωωω

επεωγωω

ωε

σ

22220

2

4

2222

20

2

22220

2

4

22

20

2

22220

2

4

2200

2

20

2

22220

2

4

200

)(

cossinsin4)(

sin4)(

sin24)(

21

12 F. Bianchi

Scattering Rayleigh (4) • L a sezione d’urto totale (m2) dipende fortemente dalla

frequenza dell’onda incidente.

• Massimo sezione d’urto:

• Se • Sezione d’urto di Rayleigh

– Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte.

– Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria

Thomsonσωγωω

ωωγωω

ωπσ 22220

2

42

22220

2

4

)()(38

+−=

+−= eT r

Thomsonσωωσωω 4

00

=⇒<< T

Thomsonσγ

ωσωω 200

=⇒≅ T

13 F. Bianchi

Scattering Rayleigh (5)

14 F. Bianchi

Scattering in Meccanica Classica • Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico:

– Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di deflessioni (θ,ϕ) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa.

• Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione. – Es.: cometa e sole

• Caso microscopico: – Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto

• Fascio di particelle incidenti – Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto – Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola

collisione non sono in generale noti. • NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in

meccanica quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione).

– E’ necessario un approccio statistico. 15 F. Bianchi

Sezione d’Urto • Grandezze misurabili:

– Φ -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m-2 s-1

– R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido dΩ , si misura in particelle sr-1 s-1

• Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..):

• dσ/dΩ e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale.

• Sezione d’urto totale:

ΦΩ

=ddR σ

∫ =∆ΩΩ

Ω=

π

σσ4

ddd

16 F. Bianchi

Sezione d’Urto ed Attenuazione (1)

• Fascio di proiettili di flusso Φ che attraversa un volume contenente N particelle per unita’ di volume. – Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un

bersaglio.

• Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante):

• Introducendo ρ (densita’ di massa, g/cm3) ed A (massa molecolare, g):

• Naturale identificare k con σ. Integrando:

17 F. Bianchi

Sezione d’Urto ed Attenuazione (2)

• Quantita’ spesso usate:

• λ-> cammino libero medio • µ-> coefficiente di attenuazione lineare del

fascio

• Per un singolo proiettile (Φ0 =1): 18 F. Bianchi

Ancora sulla Sezione d’Urto (1) • In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’

statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio.

– N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi pratici.

• La sezione d’urto totale σ e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b.

• La sezione d’urto differenziale dσ/dΩ e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido dΩ.

– Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b.

• Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche:

– Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio. – Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio. – Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico).

19 F. Bianchi

Interpretazione Classica della Sezione d’Urto

• Fascio di particelle incidenti di flusso Φ che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto.

• Particelle deflesse in dΩ (con angolo polare fra θ e θ+dθ, angolo azimutale fra φ e φ+dφ): Sono quelle che incidono in ds ( con par.d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra φ e φ+dφ)

θθσ

φθθσφ

φ

φθθσ

ddb

senb

dd

ddsenddbdbd

bdbdI

ddsenddR

=Ω

→

Ω=→

Φ=Ω

Φ=

• Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio. • Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione

20 F. Bianchi

Scattering da Sfera Rigida • Barriera di potenziale

infinita per r<a. • Per il proiettile vale la

legge della riflessione.

2

2

42sin

22

cos2

sin22

cos

2sin

2sin2

cos

sin

2sin

2

2cos

2sinsin

2

a

aaaaa

ddbb

dd

addb

aaab

πσ

θθθ

θθ

θ

θ

θθσ

θθ

θθπψ

θπψ

=

====Ω

=

=−

==

−=

b ψ

θ

21 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (1) • Classico problema a due corpi con un potenziale

centrale repulsivo.

• Per ricavare la sezione d’urto:

• Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering θ

• Prendiamola un po’ alla lontana…

θθσ

ddb

senb

dd

=Ω

22 F. Bianchi

La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m1 ed m2 che interagiscono con un potenziale centrale:

e’:

Introducendo le coordinate:

Si puo’ riscrivere come:

Sezione d’Urto di Rutherford (2)

23 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (3)

• Introducendo:

• La Lagrangiana diventa:

• Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche)

e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano. – Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di

forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme

• La lagrangiana del moto relativo e’:

24 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (4)

• In coordinate polari:

• θ e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva:

• Anche l’energia si conserva:

25 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (5)

• Da cui:

• Separando le variabili:

• Integrando con la condizione iniziale :

• Sostituendo r(t) con :

26 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (6)

• A questo punto sono note r(t) e θ(t). E’ possibile ricavare l’equazione della traettoria:

• Integrando:

• Consideriamo ora il caso:

27 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (7)

• L’equazione della trettoria diventa:

• Questo e’ un integrale del tipo:

• Con:

28 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (8)

• La soluzione e’:

• Ritornando ad r:

• Infine:

• Definendo:

29 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (9)

( )2

222

2

2

2

2

'21

)'(21

cos1'1

2

')(

+=+=

+−=

==

=−=

eZZEb

eZZmEl

lemZZ

r

mEbbmvlr

eZZr

rV

inc

ε

θε

α

m==

µθ 00

22sin

2cos1 χεχφ

εcosec=⇒==

φ/2

χ

30 F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (10)

2sin

12

'41

2sin

1sin

22

'21

sin

2sin

12

'21

22'

'2

21

'21

2

112

2sin

2sin1

2sin

2cos

2

4

22

2

22

2

22

2

2

22

22

2

2

2

2

2

χ

χχ

χ

χχσ

χχχ

χχ

εχχ

χ

χ

χχ

=

=

=−=

Ω

−=⇒=

=⇒−

+=

−=−=−

==

EeZZ

ctg

EeZZ

ddbb

dd

EeZZ

ddbctg

EeZZb

eZZEbctg

eZZEbctg

ctg cosec

Sezione d’urto totale e’ divergente Conseguenza del range infinito di V(r)

31 F. Bianchi

Estensione a Processi Qualunque (1)

• Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale:

32 F. Bianchi

Estensione a Processi Qualunque (2)

33 F. Bianchi