El solucionari de Matemtiques aplicadesa les Cincies Socials per a 2n de Batxillerats una obra collectiva, concebuda, dissenyadai creada al departament dEdicions Educativesde Grup Promotor / Santillana, dirigit perEnric Juan Redal i Pere Maci Arqu.En la realitzaci hi han intervingut:M. Jos BarberoAna M. GazteluAugusto GonzlezJos LorenzoPedro MachnMiguel MarqusMara Jos ReyJos del RoEDICIAnglica EscoredoNria GrinyJosep LlonguerasCarlos PrezDIRECCI DEL PROJECTEDomingo Snchez FigueroaBiblioteca del professoratSOLUCIONARIMatemtiques 2BATXILLERATaplicades a les Cincies SocialsGrup PromotorSantillana917486 _ 0001-0005.indd 1 14/01/10 18:122PresentaciEl nom de la srie, La Casa del Saber, respon al plantejament de presentar un projecte de Matemtiques centrat en ladquisici dels continguts que calen perqu els alumnes es puguin valer en la vida real. El saber matemtic ha de garantir no noms la interpretaci ila descripci de la realitat, sin tamb lactuaci sobre aquesta.617 MatriusCRITERIS DAVALUACItUtilitzar els conceptes de matriu, element, dimensi i diagonal principal.tDeterminar la igualtat de dues matrius.tIdentificar els diferents tipus de matrius.tCalcular la matriu transposada duna de donada.tFer sumes, productes de matrius i multiplicacions duna matriu per un nombre.tCalcular el rang duna matriu pel mtode de Gauss.t Calcular la matriu inversa duna matriu donada a partir de la seva definici o pel mtodede Gauss-Jordan.CONTINGUTStElements duna matriu. Identificaci, classificaci i utilitzaci dels diferents tipus de matrius.tDeterminaci de la igualtat de dues matrius.tClcul de la matriu transposada. Matriu simtrica i antisimtrica.tOperacions amb matrius: Suma i resta de matrius. Propietats. Producte duna matriu per un nombre. Propietats. Producte de matrius. Propietats.t Determinaci del rang duna matriu analitzant-ne la dependncia o la independncia linealde les files o les columnes.tClcul del rang duna matriu per mitj del mtode de Gauss.tClcul de la matriu inversa a partir de la seva definici.tClcul de la matriu inversa utilitzant el mtode de Gauss-Jordan.tValoraci de la utilitat de les matrius en diferents contextos reals.tGust per la resoluci ordenada doperacions amb matrius.tValoraci de la necessitat defectuar amb cura els clculs amb matrius.OBJECTIUSt Identificar els elements duna matriu i classificar-la dacord amb diferents criteris.t Calcular la matriu suma i la matriu resta de dues matrius, o ms, del mateix ordre.t Trobar, en els casos en qu sigui possible, el producte de dues matrius, o ms, i tambles potncies de diferents ordres duna matriu quadrada.t Obtenir la matriu transposada duna matriu donada.t Determinar si una matriu s simtrica o antisimtrica.t Determinar el rang duna matriu per mitj del mtode de Gauss.t Obtenir la matriu inversa duna de donada a partir de la definici de matriu inversai pel mtode de Gauss-Jordan.24 25 Representaci de funcions10CRITERIS DAVALUACItTrobar el domini, les simetries i els punts de tall amb els eixos duna funci.tDeterminar si una funci s peridica.tCalcular les asmptotes horitzontals, verticals i obliqes duna funci, i determinar la posici relativa de la grfica duna funci respecte daquestes asmptotes.tTrobar els intervals de creixement i de decreixement duna funci.tObtenir els mxims i els mnims duna funci.tDeterminar els intervals de concavitat i de convexitat duna funci.tTrobar els punts dinflexi duna funci.tRepresentar grficament una funci a partir de lestudi de les seves propietats.CONTINGUTStDomini i punts de tall amb els eixos.tSimetries.tPeriodicitat.tBranques infinites. Asmptotes verticals, horitzontals i obliqes.tIntervals de creixement i decreixement. Mxims i mnims.tIntervals de convexitat i concavitat. Punts dinflexi.tRepresentaci grfica de funcions polinmiques, racionals, amb radicals, exponencials, logartmiques i definides a trossos.OBJECTIUStObtenir el domini i els punts de tall amb els eixos duna funci.tDeterminar si una funci s simtrica.tEstudiar si una funci s peridica i, en el cas que ho sigui, calcular-ne el perode.tDeterminar les asmptotes verticals, horitzontals i obliqes.tObtenir els intervals de creixement i decreixement, i els mxims i els mnims, a partirde lestudi de la derivada primera.tCalcular-ne els intervals de concavitat i convexitat, i els punts dinflexi, a partirde lestudi de la derivada segona.tRepresentar grficament una funci.917486 _ 0001-0005.indd 2 14/01/10 18:123de els da i 43Lescarabat dorEdgar Allan PoeA tots ens agradaria trobar un tresor que resolgus els nostres problemes. De vegadesno sabem exactament com hauria de ser. Daltres vegades ho sabem, per no tenimel mapa; o tenim un mapa amb les instruccions codificades. Aix s el que va li va passara en Legrand, el protagonista de Lescarabat dor. Havia trobat el pergam al costatde les restes dun vaixell pirata, lhavia posat al foc perqu surts a la llum el missatge escrit amb tinta invisible, per noms hi va aparixer el reguitzell de signes que veiemen el pargraf seleccionat.Per la firma, de seguida va adonar-se que aquest missatge amagava un text en angls. Desxifrar-lo era el preu que en Legrand havia de pagar pel seu tresor. I ho va aconseguir.En aquest pargraf explica a un amic com va comenar a desxifrar el missatge que el portaria fins al tresor amagat pels pirates. La seva estratgia inicial va ser comparar la freqncia dels signes en el missatge amb la freqncia de cada lletra en la llengua anglesa. El missatge desxifrat en angls el podem trobar en qualsevol edici del relat, i tradut al catal,literalment, seria:Un bon got a lhostal del bisbe a la cadira del diable quaranta-un graus i tretze minuts Nord-est i des del Nord branca principal set brot costat Est solar quart de lull esquerredel cap de mort una lnia recta des de larbre a travs de la bala cinquanta peus cap a fora.Podem veure que el missatge encara t un aire misteris i incomprensible, i, ara, el problema consisteix a interpretar-lo. Amb imaginaci, constncia i una mica de sort, en Legrand va entendre qu significa aquest aparent galimaties va aconseguir desenterrar un tresor fabuls. Per saber com va fer-ho, sha dacabar de llegir el relat, que s un dels ms extraordinaris dEdgar Allan Poe.421SOLUCIONARI1SOLUCIONARIOUna taula numrica com 3 4 1 2 30 1 7 2 1 s un exemple de matriu. Serveix per codificar problemes o situacions com aquest: Una empresa dautobusos t tres lnies: A, B i C. Dilluns van sortir 4 autobusos de la lnia A, 5 de la B i 3 de la C. Dimarts en van sortir 1 de la A, 7 de la B i 3 de la C. Dimecres, 4 de la A, 5 de la B i 6 de la C. Representa en forma de matriu el trfic daquesta empresa durant els tres dies.4 5 31 7 34 5 6A la matriu, les files representen els dies de la setmana, i les columnes cadascuna de les lnies dautobs.LI TERATURAI MATEMTI QUES Lescarabat dor[Juntament amb les restes dun vaixell pirata, el protagonista va trobar un pergam amb un missatge ple de signes:( 5 3 o o3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 o . ) 4 o ) ; 8 0 6 * ; 4 88 P 6 Va sospitar que indicava la posici dun tresor i va comenar a desxi-frar-lo.]Vaig comptar tots els signes i vaig formar aquesta taula.Signe8 ; 4 o ) * 5 6 (1 0 9 2 : 3 P - .Freqncia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1La lletra ms freqent en un text angls s la e. Desprs, la srie s la segent: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina fins al punt que s difcil trobar una frase dalguna longitud de la qual no si-gui el carcter principal. Com que el signe predominant s el 8, co-menarem per assignar-lo a la e de lalfabet natural. [] Ara, de totes les paraules, the s la ms usual; per tant, hem de veure si est repetida una combinaci de tres signes, lltim dels quals sigui el 8. [] Hi ha ni ms ni menys que set combinacions dels signes ; 4 8. Podem, per tant, suposar que ; representa t, 4 representa h, i 8 representa e.Acabem de fixar una sola paraula; pero aquesta paraula ens permet tamb descobrir alguns principis i finals dunes altres paraules. Vegem, per exemple, el penltim cas en qu apareix la combinaci ;48 gaire al final del missatge. Sabem que el ; que ve immediatament desprs s el principi duna paraula, i dels sis signes que segueixen a aquest the, en coneixem, al menys, cinc. Substitum, doncs, aquests signes per les lletres que representen, i deixem un espai per al desconegut: t_eeth.Provem lalfabet complet per trobar una lletra que es pugui adaptar a aquest forat i formi una paraula amb sentit. Ens nadonem que no existeix. Per tant, hem de descartar el grup th com a part daquesta paraula. Aix doncs, redum els signes a t_ee.Emprem lalfabet, si cal, com abans, i arribem a la paraula tree (arbre), com lnica intelligible. Obtenim, aix, una altra lletra, la r represen-tada per (.EDGAR ALLAN POENmeros realesMatrius144Matrius451 SOLUCIONARIACTIVITATS001 Escriu una matriu que compleixi les condicions segents:tDimensi 3 r 2.ta32a21a111ta22a12a312La matriu s: 1 21 22 1

002Venen llistons de dues qualitats i de dues longituds. Els llistons grans de baixa qualitat costen 0,75 , i els dalta qualitat, 1 , mentre que els llistons petits de baixa qualitat costen 0,45 , i els dalta qualitat, 0,60 . Escriu aquestes dades en forma de matriu.La matriu ser de dimensi 2 r 2. Les files nindiquen la qualitat; les columnes, la mida, i els elements de la matriu, el preu. 0 45 0 750 60 1, ,,003 Troba el valor de cada incgnita perqu les dues matrius siguin iguals: xz x zyy y

1 3 01 2 12 1 02 3Perqu les matrius siguin iguals han de tenir la mateixa dimensi i totsels seus elements han de ser iguals. Les dues matrius sn de dimensi 2 r 3. x12 x1z1y2 zy1 z33y1 y2x23 x100 z1y z123La soluci s x1, y 2 i z3. 004 Escriu un exemple de les matrius segents:a) Una matriu fila amb quatre columnes.b) Una matriu columna amb quatre files.c) Una matriu quadrada dordre 4.Resposta oberta. Per exemple: a)A(1 3 1 0)b)B

1241c) C

1 2 3 40 2 3 15 2 2 01 1 1 1

ABANS DE COMENARRECORDA001 Resol aquests sistemes.a) xxxyyyzzz2 2332044

b)

2 12 3 05 7333y zx y zx y za) xxxyyyzzzx2 2332044

}}}m

y z y z y zy z y z3 2 3 2 43 3 2 4( )m

4 7 44 46 007y zy zzz m4yz4z0 y1xy3z0y1, z0 x1La soluci del sistema s x1, y1 i z0.b)22531072xxyyyzzz y

}}}m11 2 3 2 1 05 72 5 35x y yx yx yx y

( )m

710 xx y yx 5 717510}}mz y zy 2 13451395175}}mLa soluci del sistema s x10,y z175395i .002 Resol aquests sistemes.a) x yx yx y2 02 52 3 12 b) x yx yx yx y

4402 33 4 12 3a)

x yx yx yx y2 02 522 5 2m }}mm mx yy y y

24 5 1y1y2y x22x 3y 1x2, y1 4 3 1. En aquest cas, la soluci del sistema s vlida.b)

x yx yx x y02 33 3 1 1 m m3x4y1x1, y1 341x2y3x1, y1 123En aquest cas, la soluci del sistema s vlida. En aquest sentit, i considerant les Matemtiques daquests nivells com una matria essencialment procedimental, recollim en aquest material la resoluci de tots els exercicis i problemes que hi ha formulats al llibre de lalumne. Pretenem que aquesta resoluci no sigui tan sols un instrument, sin que es pugui entendre com una proposta didctica per enfocar ladquisici dels diferents conceptes i procediments que es presenten al llibre de lalumne.25917486 _ 0001-0005.indd 3 14/01/10 18:124ndexUnitat 1Matrius6Unitat 2Sistemes dequacions lineals8Unitat 3Vectors i coordenades en el pla10Unitat 4La recta en el pla12Unitat 5Sistemes dinequacions lineals14Unitat 6Programaci lineal16Unitat 7Lmits i continutat de funcions18Unitat 8 Derivada duna funci20Unitat 9Aplicacions de la derivada22Unitat 10Representaci de funcions24Competncies bsiques del batxillerat26Programaci de les unitats917486 _ 0001-0005.indd 4 14/01/10 18:12568024680246Unitat 1Matrius42Unitat 2Sistemes dequacions lineals90Unitat 3Vectors i coordenades en el pla130Unitat 4La recta en el pla168Unitat 5Sistemes dinequacions lineals220Unitat 6Programaci lineal262Unitat 7Lmits i continutat de funcions316Unitat 8Derivada duna funci368Unitat 9Aplicacions de la derivada406Unitat 10Representaci de funcions458Resoluci de les activitats917486 _ 0001-0005.indd 5 14/01/10 18:1261 MatriusUDICFC CdCONTINGUTSElements duna matriu. Identificaci, classificaci i utilitzaci dels diferents tipus de matrius.Determinaci de la igualtat de dues matrius.Clcul de la matriu transposada. Matriu simtrica i antisimtrica.Operacions amb matrius: Suma i resta de matrius. Propietats. Producte duna matriu per un nombre. Propietats. Producte de matrius. Propietats. Determinaci del rang duna matriu analitzant-ne la dependncia o la independncia lineal de les files o les columnes.Clcul del rang duna matriu per mitj del mtode de Gauss.Clcul de la matriu inversa a partir de la seva definici.Clcul de la matriu inversa utilitzant el mtode de Gauss-Jordan.Valoraci de la utilitat de les matrius en diferents contextos reals.Gust per la resoluci ordenada doperacions amb matrius.Valoraci de la necessitat defectuar amb cura els clculs amb matrius.OBJECTIUSIdentificar els elements duna matriu i classificar-la dacord amb diferents criteris.Calcular la matriu suma i la matriu resta de dues matrius, o ms, del mateix ordre. Trobar, en els casos en qu sigui possible, el producte de dues matrius, o ms, i tamb les potncies de diferents ordres duna matriu quadrada.Obtenir la matriu transposada duna matriu donada.Determinar si una matriu s simtrica o antisimtrica.Determinar el rang duna matriu per mitj del mtode de Gauss. Obtenir la matriu inversa duna de donada a partir de la definici de matriu inversa i pel mtode de Gauss-Jordan.917486 _ 006-0025.indd 6 14/01/10 18:147CRITERIS DAVALUACIUtilitzar els conceptes de matriu, element, dimensi i diagonal principal.Determinar la igualtat de dues matrius.Identificar els diferents tipus de matrius.Calcular la matriu transposada duna de donada.Fer sumes, productes de matrius i multiplicacions duna matriu per un nombre.Calcular el rang duna matriu pel mtode de Gauss. Calcular la matriu inversa duna matriu donada a partir de la seva definici o pel mtode de Gauss-Jordan.917486 _ 006-0025.indd 7 14/01/10 18:148Sistemes dequacions lineals2AORARDDPOBJECTIUSResoldre sistemes transformant-los en sistemes escalonats.Analitzar, discutir i resoldre pel mtode de Gauss sistemes dequacions lineals.Expressar sistemes dequacions lineals per mitj de matrius.Analitzar la compatibilitat i la incompatibilitat dels sistemes dequacions amb laplicaci del teorema de Rouch-Frbenius.Discutir la compatibilitat i resoldre sistemes dequacions lineals homogenis.Discutir i resoldre sistemes amb un nombre diferent dequacions i dincgnites.Plantejar i resoldre problemes per mitj de sistemes dequacions lineals.CONTINGUTSSistemes dequacions lineals. Sistemes dequacions escalonats.Transformaci dun sistema en un descalonat equivalent i resoluci daquest.Mtode de Gauss per solucionar i discutir sistemes dequacions lineals.Teorema de Rouch-Frbenius.Sistemes homogenis.Sistemes amb un nombre diferent dequacions i dincgnites.917486 _ 006-0025.indd 8 14/01/10 18:149CRITERIS DAVALUACIAplicar correctament el llenguatge algebraic per expressar situacions de la vida quotidiana.Obtenir sistemes dequacions equivalents a un de donat mitjanant procediments diversos.Resoldre un sistema dequacions transformant-lo en sistemes escalonats.Aplicar el mtode de Gauss per estudiar i resoldre sistemes.Resoldre sistemes dequacions per mitj de mtodes matricials.Discutir i classificar sistemes dequacions amb laplicaci del teorema de Rouch-Frbenius.Discutir i resoldre sistemes dequacions homogenis.Plantejar i resoldre problemes utilitzant sistemes dequacions lineals.917486 _ 006-0025.indd 9 14/01/10 18:1410Vectors i coordenades en el pla3 TCTCONTINGUTS Vectors: mdul, direcci i sentit. s del concepte de vector i els seus elements mdul, direcci i sentit en diferents contextos i determinaci de lexistncia o no dequivalncia entre dos vectors. Operacions amb vectors. Elaboraci de sumes de vectors, del producte dun nombre per un vector, i obtenci decombinacions lineals de vectors de manera grfca. Dependncia lineal. Bases. Coordenades. Operacions amb coordenades. Determinaci de la relaci de linealitat entre dos vectors i clcul de les coordenades dunvector en una base qualsevol. Producte escalar. Propietats. Aplicacions del producte escalar. Obtenci del producte escalar de dos vectors i utilitzaci de les seves propietats per resoldre diferents problemes: clcul del mdul dun vector, de langle que formen dos vectors... Aplicacions dels vectors. Valoraci de la presncia de vectors i de sistemes de referncia a la realitat. Inters per la recerca de situacions en les quals apareguin vectors per resoldre-ho. Gust per la realitzaci dels clculs amb vectors amb cura. Gust per la representaci grfca clara i precisa de vectors i punts en el pla. Valoraci de ls dels productes de vectors per resoldre problemes de geometria del pla: determinaci dangles i dortogonalitat, i clcul de distncies. Valoraci de les noves tecnologies per utilitzar-les en el clcul vectorial i la seva representaci grfca.OBJECTIUS Utilitzar el concepte de vector i els seus elements: mdul, direcci i sentit. Distingir si dos vectors sn equivalents i calcular les coordenades dun vector coneguts els seus extrems. Efectuar operacions de suma de vectors i producte de vectors per un nombre real, i tamb combinacions lineals de vectors. Distingir si dos vectors en el pla sn linealment dependents o independents i si formen base, i obtenir les coordenades dun vector en una base. Obtenir el producte escalar de dos vectors i aplicar-lo al clcul del mdul dun vector i de langle que formen dos vectors. 917486 _ 006-0025.indd 10 14/01/10 18:1411CRITERIS DAVALUACI Determinar el mdul, la direcci i el sentit dun vector, si s equivalent o no amb un altre vector, i calcular-ne els components. Sumar vectors, multiplicar-los per un nombre real i obtenir combinacions lineals de vectors demanera grfca. Determinar la relaci de linealitat entre dos vectors. Expressar un vector com a combinaci lineal daltres vectors donats i obtenir analticament lescoordenades dun vector en una base qualsevol. Trobar el producte escalar de dos vectors de manera grfca i analtica, i utilitzar les seves propietats per resoldre diferents problemes. Calcular la distncia entre dos punts. Trobar langle de dos vectors i determinar vectors ortogonals a un de donat.os 917486 _ 006-0025.indd 11 14/01/10 18:1412La recta en el pla4 C T T O O O O O TCONTINGUTS Vector director duna recta. Equaci vectorial duna recta. Equacions paramtriques duna recta. Equaci contnua. Equaci general. Equaci explcita. Equaci punt-pendent. Equaci segmentria. Rectes paralleles als eixos decoordenades. Determinaci de diferents formes de lequaci duna recta quan en coneixem un punt i el vector director o b dos punts. Obtenci de punts duna recta i el seu vector director quan en coneixem lequaci. Posicions relatives de dues rectes en el pla. Reconeixement de rectes paralleles i perpendiculars. Feixos de rectes. Resoluci de problemes dincidncia i parallelisme mitjanant feixos de rectes. Distncies dun punt a una recta i entre dues rectes. Angles entre dues rectes. Disposici positiva per a lestudi de la geometria analtica. Reconeixement de la necessitat de conixer i poder determinar lequaci de la recta en el pla. Inters per la recerca de situacions en els quals calguin les condicions de parallelisme i perpendicularitat entre rectes en el pla. Gust per la representaci grfca clara i precisa de punts i rectes en el pla. Valoraci de les noves tecnologies per la utilitat que tenen en la geometria, especialment per ala representaci grfca.OBJECTIUS Reconixer i trobar lequaci vectorial, les equacions paramtriques, lequaci contnua, lequaci general, lequaci explcita i lequaci punt-pendent duna recta. Trobar punts de rectes sigui quina en sigui lequaci. Reconixer punts i direccions de rectes mitjanant la seva equaci. Determinar la posici relativa de dues rectes en el pla. Emprar correctament els conceptes dincidncia, parallelisme i intersecci entre rectes. Saber calcular correctament distncies entre punts i rectes.917486 _ 006-0025.indd 12 14/01/10 18:1413CRITERIS DAVALUACI Reconixer i calcular lequaci vectorial duna recta. Determinar les equacions paramtriques duna recta a partir de lequaci vectorial. Calcular les equacions paramtriques duna recta que passa per dos punts. Trobar les diferents formes dexpressi duna recta a partir de punts i vectors. Transformar lequaci duna recta donada en una altra forma. Distingir si un punt pertany o no a una recta donada. Determinar la posici relativa de dues rectes en el pla. Obtenir lexpressi dun feix de rectes paralleles a una de donada. Obtenir lequaci del feix de rectes que passen per un punt donat. Obtenir la distncia entre un punt i una recta. Obtenir la distncia entre dues rectes qualssevol. Obtenir langle que formen dues rectes. Trobar les coordenades del baricentre dun triangle.. 917486 _ 006-0025.indd 13 14/01/10 18:1414Sistemes dinequacions lineals5CRITERIS DAVALUACI Representar les regions del pla determinades per rectes. Resoldre una inequaci lineal amb dues variables. Resoldre un sistema dinequacions lineals amb dues variables i determinar-ne la regi factible. Determinar grfcament un conjunt de restriccions, representar la regi factible i trobar-ne elsvrtexs. Resoldre loptimitzaci duna funci objectiu sotmesa a un conjunt de restriccions mitjanant lestudi analtic o grfc dels vrtexs de la seva regi factible, sigui acotada o no.CONTINGUTS Inequacions de primer grau amb dues incgnites. Sistemes dinequacions de primer grau amb dues incgnites. Regions del pla determinades per inequacions. El conjunt de restriccions i la regi factible. La funci objectiu. Localitzaci de solucions. Tipus de solucions. Resoluci duna inequaci lineal o dun sistema dinequacions lineals amb dues variables. Representaci dun conjunt de restriccions i determinaci de la seva soluci o regi factible. Determinaci grfca i analtica dels punts que optimitzen una funci objectiu sotmesa a un conjunt de restriccions. Valoraci del llenguatge algebraic i del grfc com a llenguatges idonis per plantejar i resoldre un conjunt de restriccions. Inters per la representaci grfca clara i precisa dun conjunt de restriccions en el pla i de la seva soluci. Valoraci dels recursos informtics per la utilitat que tenen en la resoluci grfca dun conjunt de restriccions.OBJECTIUS Resoldre grfcament inequacions i sistemes dinequacions lineals amb dues incgnites. Representar grfcament el recinte determinat per un conjunt de restriccions i trobar la regi factible. Determinar, tant grfcament com analticament, la soluci ptima duna regi factible.917486 _ 0006-0025.indd 14 22/01/10 13:0115CRITERIS DAVALUACI Representar les regions del pla determinades per rectes. Resoldre una inequaci lineal amb dues variables. Resoldre un sistema dinequacions lineals amb dues variables i determinar-ne la regi factible. Determinar grfcament un conjunt de restriccions, representar la regi factible i trobar-ne elsvrtexs. Resoldre loptimitzaci duna funci objectiu sotmesa a un conjunt de restriccions mitjanant lestudi analtic o grfc dels vrtexs de la seva regi factible, sigui acotada o no.e nt 917486 _ 006-0025.indd 15 14/01/10 18:1416OBJECTIUS d a Va A CONTINGUTS Programaci lineal. Mtodes de resoluci. Tipus de solucions. Problema de la producci. Problema de la dieta. Problema del transport. Reconeixement de la presncia de problemes de programaci lineal en la realitat, obtenci dela funci objectiu corresponent, representaci de la regi factible i determinaci dels vrtexs de la regi factible. Resoluci de problemes de programaci mitjanant el mtode algebraic: determinaci de tots els vrtexs de la regi factible i anlisi del valor de la funci objectiu en cadascun. Resoluci de problemes utilitzant el mtode grfc: representaci de rectes paralleles a la funci objectiu i determinaci de quina maximitza o minimitza aquesta funci. Anlisi de les solucions dun problema de programaci. Plantejament i resoluci de problemes reals de producci, de dieta i de transport per mitj de programaci lineal, utilitzant els mtodes algebraic i/o grfc, i anlisi de les solucions obtingudes. Curiositat per plantejar de manera matemtica situacions quotidianes que es poden resoldre mitjanant programaci lineal. Valoraci positiva del llenguatge algebraic i del grfc com a idonis per plantejar i resoldre problemes de programaci lineal. Inters per lorigen de la programaci lineal i valoraci de la importncia que ha tingut en la histria de les matemtiques de lltim segle. Coneixement i valoraci de la importncia de la programaci lineal en la resoluci de problemes comuns de la societat actual: problema de la producci, de la dieta, del transport, etc. Sentit crtic davant de les solucions obtingudes. Valoraci dels recursos informtics per la utilitat que tenen en la resoluci de problemes deprogramaci lineal. Plantejar problemes de programaci lineal, defnir-ne les variables, la funci que es vol optimitzar, i escriure el sistema dinequacions que determinen les restriccions. Trobar les solucions dun problema de programaci lineal utilitzant mtodes algebraics igrfcs. Analitzar les solucions dun problema de programaci lineal i determinar si existeix soluci ptima, i, en cas afrmatiu, si s nica. Aplicar la programaci lineal a la resoluci de problemes reals: producci, dieta i transport. Programaci lineal6917486 _ 006-0025.indd 16 14/01/10 18:1417CRITERIS DAVALUACI Plantejar un problema de programaci lineal, obtenir la funci objectiu, determinar lesrestriccions de les variables, representar la regi factible i trobar els punts extrems. Resoldre un problema de programaci lineal algebraicament per mitj de lestudi dels vrtexs de la seva regi factible. Resoldre un problema de programaci lineal grfcament determinant la recta parallela a la funci objectiu que maximitza o minimitza el problema. Verifcar que en un problema de programaci lineal coincideix la soluci trobada algebraicament amb la determinada grfcament. Analitzar les solucions dun problema de programaci lineal amb dues variables. Determinar si existeix o no la soluci ptima dun problema de programaci lineal. Plantejar, resoldre i analitzar diversos problemes de la producci, la dieta i el transport.ts e es.s 917486 _ 006-0025.indd 17 14/01/10 18:1418 Lmits i continutat de funcions7CONTINGUTSLmit duna funci a linfinit.Operacions amb lmits.Lmit de funcions potencials, exponencials i racionals.Lmits infinits i a linfinit. Indeterminacions.Lmits laterals.Continutat duna funci en un punt i en un interval.Tipus de discontinutats duna funci.OBJECTIUSDeterminar el valor del lmit duna funci a linfinit.Aplicar la definici de lmit duna funci a linfinit a la resoluci de lmits de funcions.Aplicar les operacions amb lmit suma, diferncia, producte i quocient a la resoluci delmits.Determinar el lmit duna funci en un punt i obtenir-ne els lmits laterals.Resoldre indeterminacions de diferents tipus a lhora de calcular lmits.Analitzar la continutat duna funci en un punt verificant si els lmits laterals sn iguals alvalor que agafa la funci en aquell punt.Determinar els punts de discontinutat duna funci i el tipus de discontinutat quepresenten.CADCREED917486 _ 006-0025.indd 18 14/01/10 18:1419CRITERIS DAVALUACICalcular el lmit, si existeix, duna funci a linfinit.Aplicar les operacions amb lmits per resoldre lmits de funcions.Determinar el lmit duna funci en un punt.Calcular els lmits laterals duna funci en un punt.Resoldre indeterminacions dels tipus:``, ` `, 1` i 00 .Estudiar la continutat duna funci en un punt.Estudiar la continutat duna funci en un interval.Determinar les discontinutats duna funci i estudiar el tipus al qual pertanyen.917486 _ 006-0025.indd 19 14/01/10 18:1420 Derivada duna funci8TDAOCCdOiCONTINGUTSTaxa de variaci mitjana.Derivada duna funci en un punt.Derivades laterals.Continutat i derivabilitat.Funci derivada.Derivada de la suma i de la diferncia de funcions.Derivada del producte i del quocient de funcions.Regla de la cadena.Derivades de funcions potencials, exponencials, logartmiques, trigonomtriques i implcites.OBJECTIUSUtilitzar la taxa de variaci mitjana duna funci per interpretar situacions de la vida quotidiana.Obtenir la derivada duna funci en un punt, i les seves derivades laterals.Analitzar la continutat i la derivabilitat duna funci en un punt considerant les relacions entre totes dues.Calcular la funci derivada duna funci i les derivades successives.Calcular derivades per mitj de les regles de derivaci.Obtenir derivades doperacions amb funcions.Aplicar la regla de la cadena al clcul de la derivada duna funci composta.Calcular la derivada de les funcions potencials, exponencials, logartmiques i trigonomtriques.Fer servir les tcniques de derivaci per calcular la derivada dalgunes funcions.917486 _ 006-0025.indd 20 14/01/10 18:1421CRITERIS DAVALUACITrobar la taxa de variaci mitjana duna funci en un interval.Determinar la derivada duna funci en un punt, i les seves derivades laterals.Analitzar la continutat i la derivabilitat duna funci en un punt.Obtenir la funci derivada duna funci elemental.Calcular derivades successives duna funci.Calcular derivades doperacions amb funcions, i aplicar la regla de la cadena per trobar derivades de funcions compostes.Obtenir la derivada de les funcions potencials, exponencials, logartmiques i trigonomtriques, i de funcions compostes daquestes.917486 _ 006-0025.indd 21 14/01/10 18:14229 Aplicacions de la derivadaFODODTRCONTINGUTSInterpretaci geomtrica de la derivada.Creixement i decreixement duna funci. Mxims i mnims.Intervals de creixement i decreixement i mxims i mnims duna funci a partir de les derivades primera i segona.Concavitat i convexitat. Punts dinflexi.Estudi de la derivada segona per determinar els intervals de convexitat i concavitat i els punts dinflexi duna funci.Optimitzaci. Resoluci de problemes reals doptimitzaci de funcions.OBJECTIUSObtenir lequaci de la recta tangent i de la recta normal a una funci en un punt.Determinar els intervals de creixement i de decreixement duna funci a partir del signe de la derivada primera.Obtenir els mxims i els mnims duna funci a partir de les derivades primera i segona.Determinar els intervals de convexitat i de concavitat duna funci, i els punts dinflexi, per mitj de lestudi de la derivada segona.Conixer els passos que cal seguir per optimitzar una funci donada.Optimitzar funcions.917486 _ 006-0025.indd 22 14/01/10 18:1423CRITERIS DAVALUACIFer servir la interpretaci geomtrica de la derivada per resoldre problemes.Obtenir lequaci de la recta tangent i de la recta normal a una funci en un punt.Determinar els intervals de creixement i de decreixement duna funci.Obtenir els mxims i els mnims duna funci.Determinar els intervals de concavitat i de convexitat duna funci.Trobar els punts dinflexi duna funci.Resoldre problemes reals doptimitzaci de funcions: maximitzar i minimitzar.917486 _ 006-0025.indd 23 14/01/10 18:1424 Representaci de funcions10CRITERIS DAVALUACITrobar el domini, les simetries i els punts de tall amb els eixos duna funci.Determinar si una funci s peridica.Calcular les asmptotes horitzontals, verticals i obliqes duna funci, i determinar la posici relativa de la grfica duna funci respecte daquestes asmptotes.Trobar els intervals de creixement i de decreixement duna funci.Obtenir els mxims i els mnims duna funci.Determinar els intervals de concavitat i de convexitat duna funci.Trobar els punts dinflexi duna funci.Representar grficament una funci a partir de lestudi de les seves propietats.CONTINGUTSDomini i punts de tall amb els eixos.Simetries.Periodicitat.Branques infinites. Asmptotes verticals, horitzontals i obliqes.Intervals de creixement i decreixement. Mxims i mnims.Intervals de convexitat i concavitat. Punts dinflexi.Representaci grfica de funcions polinmiques, racionals, amb radicals, exponencials, logartmiques i definides a trossos.OBJECTIUSObtenir el domini i els punts de tall amb els eixos duna funci.Determinar si una funci s simtrica.Estudiar si una funci s peridica i, en el cas que ho sigui, calcular-ne el perode.Determinar les asmptotes verticals, horitzontals i obliqes.Obtenir els intervals de creixement i decreixement, i els mxims i els mnims, a partir de lestudi de la derivada primera.Calcular-ne els intervals de concavitat i convexitat, i els punts dinflexi, a partir de lestudi de la derivada segona.Representar grficament una funci.917486 _ 0006-0025.indd 24 22/01/10 13:0125CRITERIS DAVALUACITrobar el domini, les simetries i els punts de tall amb els eixos duna funci.Determinar si una funci s peridica.Calcular les asmptotes horitzontals, verticals i obliqes duna funci, i determinar la posici relativa de la grfica duna funci respecte daquestes asmptotes.Trobar els intervals de creixement i de decreixement duna funci.Obtenir els mxims i els mnims duna funci.Determinar els intervals de concavitat i de convexitat duna funci.Trobar els punts dinflexi duna funci.Representar grficament una funci a partir de lestudi de les seves propietats.917486 _ 006-0025.indd 25 14/01/10 18:14[1-2]Competncia en comunicaci lingsticaLa competncia en comunicaci s lhabilitat per expressar i interpretar concep-tes, pensaments, sentiments, fets i opinions de forma oral i escrita (escoltar, par-lar, llegir i escriure), i per a interactuar lingsticament duna manera adequada i creativa en tots els possibles contextos socials i culturals, com leducaci i la formaci, la vida privada i professional, i loci.Les Matemtiques constituxen un mbit de refexi i alhora de comunicaci i expressi. La resoluci de problemes consta duna srie de processos i raona-ments que ajuden a formalitzar el pensament, per la qual cosa dna suport i fonament a la comprensi i expressi oral i escrita.El llenguatge matemtic s un vehicle de comunicaci didees que destaca per la precisi en els seus termes i per la capacitat per a comunicar grcies a un lxic propi de carcter sinttic, simblic i abstracte. En les Matemtiques aplicades a les cincies socials del Batxillerat t una gran importncia el desenvolupament dhabilitats i destreses que permeten expressar-se verbalment i per escrit en di-ferents situacions, comprenent i utilitzant termes, notacions i representacions matemtiques.[3a]La competncia matemticaLa competncia matemtica s lhabilitat per a desenvolupar i aplicar el raona-ment matemtic amb la fnalitat de resoldre diversos problemes en situacions quotidianes. Basant-se en un bon domini del clcul, lmfasi se situa en el procs i lactivitat, encara que tamb en els coneixements. La competncia matemtica entranya en diferents graus la capacitat i la voluntat dutilitzar maneres mate-mtiques de pensament (pensament lgic i espacial) i representaci (frmules, models, construccions, grfcs i diagrames)Les matemtiques, per la seva prpia naturalesa, es troben ntimament associa-des als aprenentatges que es plantegen i treballen en el procs densenyament-aprenentatge de la matria ja que les diferents formes de pensament matemtic per a interpretar i descriure la realitat i actuar sobre ella, i lhabilitat per a uti-litzar les eines matemtiques en la comprensi de diferents fenmens socials, formen part del propi objecte daprenentatge.Tots els continguts estan orientats a aplicar habilitats i destreses que fan possible comprendre arguments i expressar i comunicar en el llenguatge matemtic. Per tamb inclou actituds com la disposici per a utilitzar el pensament crtic, per a mostrar una actitud fexible i oberta davant altres argumentacions i opinions i per a utilitzar procediments rigorosos de verifcaci i precisi.Recomanacions del Parlament Europeu i del Consell sobre les competncies clau per a laprenentatge permanentEl Parlament Europeu i el Consell fan diferents propostes i recomanacions sobre les competncies clau per a laprenentatge permanent (desembre 2006). En aquest informe, les competncies es defneixen com una combinaci de coneixements, capacitats i actituds adequades al context. Les competncies clau sn aquelles que totes les persones precisen per a la seva realitzaci i desenvolupament perso-nals, aix com per a la ciutadania activa, la inclusi social i locupaci.El marc de referncia estableix les segents vuit competncies clau:CC1. Comunicaci en la llengua materna.CC2. Comunicaci en llenges estrangeres.CC3. Competncia matemtica i competncies bsiques en cincia i tecnologia.CC4. Competncia digital.CC5. Aprendre a aprendre.CC6. Competncies socials i cviques.CC7. Sentit de la iniciativa i esperit dempresa.CC8. Conscincia i expressi culturals.Aquestes competncies es consideren totes elles importants, ja que cadascuna delles pot contribuir a lxit en la societat del coneixement. Moltes de les com-petncies se solapen i entrellacen: determinats aspectes essencials en un mbit donen suport a la competncia en un altre.La competncia en les capacitats bsiques fonamentals de la llengua, la lectura i la escriptura, el clcul i les tecnologies de la informaci i la comunicaci (TIC) constituxen el fonament essencial per a laprenentatge, mentre que totes les activitats daprenentatge se sustenten en la capacitat daprendre a aprendre. Hi ha una srie de temes que sapliquen al llarg del marc de referncia i que interve-nen en les vuit competncies clau: el pensament crtic, la creativitat, la capacitat diniciativa, la resoluci de problemes, lavaluaci del risc, la presa de decisions i la gesti constructiva dels sentiments.Contribuci de les Matemtiques aplicades a les cincies socials a les competncies clauLa contribuci de les Matemtiques aplicades a les cincies socials a la conse-cuci de les competncies clau s fonamental i es materialitza en les correspon-dncies segents:26Competncies bsiques del batxillerat917486 _ 0026-0041.indd 26 22/01/10 12:59[1-2]Competncia en comunicaci lingsticaLa competncia en comunicaci s lhabilitat per expressar i interpretar concep-tes, pensaments, sentiments, fets i opinions de forma oral i escrita (escoltar, par-lar, llegir i escriure), i per a interactuar lingsticament duna manera adequada i creativa en tots els possibles contextos socials i culturals, com leducaci i la formaci, la vida privada i professional, i loci.Les Matemtiques constituxen un mbit de refexi i alhora de comunicaci i expressi. La resoluci de problemes consta duna srie de processos i raona-ments que ajuden a formalitzar el pensament, per la qual cosa dna suport i fonament a la comprensi i expressi oral i escrita.El llenguatge matemtic s un vehicle de comunicaci didees que destaca per la precisi en els seus termes i per la capacitat per a comunicar grcies a un lxic propi de carcter sinttic, simblic i abstracte. En les Matemtiques aplicades a les cincies socials del Batxillerat t una gran importncia el desenvolupament dhabilitats i destreses que permeten expressar-se verbalment i per escrit en di-ferents situacions, comprenent i utilitzant termes, notacions i representacions matemtiques.[3a]La competncia matemticaLa competncia matemtica s lhabilitat per a desenvolupar i aplicar el raona-ment matemtic amb la fnalitat de resoldre diversos problemes en situacions quotidianes. Basant-se en un bon domini del clcul, lmfasi se situa en el procs i lactivitat, encara que tamb en els coneixements. La competncia matemtica entranya en diferents graus la capacitat i la voluntat dutilitzar maneres mate-mtiques de pensament (pensament lgic i espacial) i representaci (frmules, models, construccions, grfcs i diagrames)Les matemtiques, per la seva prpia naturalesa, es troben ntimament associa-des als aprenentatges que es plantegen i treballen en el procs densenyament-aprenentatge de la matria ja que les diferents formes de pensament matemtic per a interpretar i descriure la realitat i actuar sobre ella, i lhabilitat per a uti-litzar les eines matemtiques en la comprensi de diferents fenmens socials, formen part del propi objecte daprenentatge.Tots els continguts estan orientats a aplicar habilitats i destreses que fan possible comprendre arguments i expressar i comunicar en el llenguatge matemtic. Per tamb inclou actituds com la disposici per a utilitzar el pensament crtic, per a mostrar una actitud fexible i oberta davant altres argumentacions i opinions i per a utilitzar procediments rigorosos de verifcaci i precisi.e re est ts, es o-.na m-bit a i C) es Hi ve-tat ns e-n-27at917486 _ 0026-0041.indd 27 15/01/10 8:3928[5AelefsedeobtaixelsfncomLecileda lla niApSifeutrelullaa uEnnoencr[6Aqcupaen[3b]Les competncies bsiques en cincia i tecnologiaLa competncia en matria cientfca alludeix a la capacitat i la voluntat duti-litzar el conjunt dels coneixements i la metodologia emprats per a explicar la naturalesa, amb la fnalitat de plantejar preguntes i extreure conclusions basades en proves. Per competncia en matria de tecnologia sentn laplicaci daquests coneixements i metodologia en resposta al que es percep com desitjos o necessi-tats humans. Les competncies cientfca i tecnolgica comporten la comprensi dels canvis causats per lactivitat humana i la responsabilitat de cada individu com ciutad.Una gran part dels continguts de les matemtiques t a veure amb aquesta com-petncia del coneixement i interacci amb el mn fsic, econmic, social i tec-nolgic. Cal ressaltar les aportacions de la modelitzaci que t les matemtiques, entenent aquesta modelitzaci com el procs pel qual sinterpreta matemti-cament una determinada situaci per tal de conixer el seu comportament i controlar-la.La comprensi del mn real est lligada, en gran mesura, al coneixement de la matemtica. La matemtica facilita la creaci de models simplifcats del mn real que permeten una interpretaci acotada daquest i alhora generen problemes adequats al moment educatiu de lalumne/a tot facilitant el seu esperit crtic i despertant la seva creativitat.La modelitzaci permet identifcar i seleccionar les caracterstiques rellevants duna situaci real, representar-la simblicament i determinar pautes de com-portament, regularitats i invariants, a partir de les quals poder fer prediccions sobre levoluci, la precisi i les limitacions del model.[4]Competncia digitalLa competncia digital comporta ls segur i crtic de les tecnologies de la socie-tat de la informaci (TSI) per al treball, la comunicaci i loci. Se sustenta en les competncies bsiques en matria de TIC: ls dordinadors per a obtenir, avalu-ar, emmagatzemar, produir, presentar i intercanviar informaci, i comunicar-se i participar en xarxes de collaboraci a travs dInternet.Aquesta competncia es desenvolupa dins de les matemtiques per mitj de ls de diferents recursos treballats al llarg dels cursos i etapes: recaptaci dinforma-ci, simulaci de situacions, obtenci i tractament de dades, i altres situacions densenyament aprenentatge, que constitueixen vies de tractament de la infor-maci, i consegentment treballen la sistematitzaci, la refexi crtica i lhabili-tat per a comunicar amb efccia els resultats del propi treball i que contribuiran a un bon autoaprenentatge dels alumnes.917486 _ 0026-0041.indd 28 15/01/10 8:3929[5]Aprendre a aprendreAprendre a aprendre s lhabilitat per a iniciar laprenentatge i persistir en ell, per a organitzar el propi aprenentatge i gestionar el temps i la informaci efcament, ja sigui individualment o en grups. Aquesta competncia comporta ser conscient del procs daprenentatge propi i de les necessitats daprenentatge de cadascun, determinar les oportunitats disponibles i ser capa de superar els obstacles amb la fnalitat de culminar laprenentatge amb xit. Aquesta compe-tncia signifca adquirir, processar i assimilar nous coneixements i capacitats, aix com buscar orientacions i fer-ne s. El fet daprendre a aprendre fa que els alumnes es recolzin en experincies vitals i daprenentatge anteriors amb la fnalitat dutilitzar i aplicar els nous coneixements i capacitats en molt diversos contextos, com els de la vida privada i professional i leducaci i formaci. La motivaci i la confana sn crucials per a ladquisici daquesta competncia.Les activitats de les matemtiques, sobretot pel que fa al gran bloc de resolu-ci de problemes facilita la capacitat daprendre a aprendre ja que participa de lexperimentaci, observaci, establiment de resultats conjecturals (hiptesis) i darribar a resultats que es puguin confrontar amb altres. Aquest tipus dactuaci a laula de matemtiques participa del que anomenem proactivitat, entesa com la capacitat per planifcar, organitzar la feina, treballar en equip i que la comu-nicaci daquest treball en equip sigui funcional.Aprendre a prendre decisions est relacionat amb lesperit crtic i la visi global. Si a lalumne li diem que un problema no t soluci, poc haur aprs. Si a ms, fem que experimenti (amb un paper essencial de les TIC) i que descobreixi la utilitat de les diverses eines, haur aprs molt ms. Si un problema no es pot resoldre, potser variant les condicions o emprant ms recursos, s que ser reso-luble. I aquesta dinmica no s daplicaci exclusiva a la matemtica, sin tras-lladable a altres mbits, ja que lalumne/a aprn a no limitar la presa de decisions a unes condicions i recursos esttics.En defnitiva, lactivitat matemtica associada a la resoluci de problemes no noms permet validar laprenentatge de lalumne, sin que participa plenament en els processos de creixement personal i de relaci amb els altres i permet in-crementar la motivaci de lalumnat.[6]Competncies socials i cviquesAquestes competncies inclouen les personals, interpersonals i interculturals i re-cullen totes les formes de comportament que preparen a les persones per a partici-par duna manera efca i constructiva en la vida social i professional, especialment en societats cada vegada ms diversifcades, i, si escau, per a resoldre confictes.ti-la es sts si-i du m-c-es, ti-t i la eal es c i nts m-ns e-es u-se s ma-ns or-li-an 917486 _ 0026-0041.indd 29 15/01/10 8:3930[8LatjanAqsecodidiasCa SehaquSepasitMElcomElmels AqcotoAquestes competncies tamb estan vinculades a les Matemtiques a travs del desenvolupament de les eines prpies de la matria per a estudiar i descriure fe-nmens socials de lentorn proper. Ls daquestes eines mostra el seu paper per a conixer i valorar problemes de la societat actual: fenmens com la diversitat cultural, el respecte al medi ambient, la salut, el consum, la igualtat doportu-nitats entre els sexes o la convivncia pacfca. La participaci, la collaboraci, la valoraci de lexistncia de diferents punts de vista i lacceptaci de lerror de manera constructiva constituxen tamb continguts dactitud que cooperaran en el desenvolupament daquestes competncies.El tractament de diverses fonts dinformaci, la simulaci de diverses situacions, els processos de resoluci de problemes i altres situacions realitzen una aporta-ci signifcativa perqu serveixen en incrementar la capacitat de lalumne en el seu desenvolupament futur.[7]Competncia en iniciativa i sentit dempresaPer sentit de la iniciativa i esperit dempresa sentn lhabilitat de la persona per a transformar les idees en actes. Est relacionat amb la creativitat, la innovaci i lassumpci de riscos, aix com amb lhabilitat per a planifcar i gestionar pro-jectes amb la fnalitat darribar a objectius. En aquesta competncia es donen suport totes les persones, no noms en la vida quotidiana, a casa i en la societat, sin tamb en el lloc de treball, al ser conscients del context en el qual es desen-volupa el seu treball i ser capaos daproftar les oportunitats, i s el fonament daltres capacitats i coneixements ms especfcs que precisen les persones que estableixen o contribueixen a una activitat social o comercial. Aix ha dincloure una conscienciaci sobre els valors tics i promoure la bona gobernana.De la mateixa manera que en el punt [5], aquesta competncia est relacionada amb una gesti proactiva dels projectes resoluci de problemes. entesa com la capacitat per planifcar, organitzar la feina i, en el treball en equip, liderar, delegar, informar o comunicar.La proactivitat inclou tamb la capacitat per determinar els punts forts i febles dun mateix, dassumir riscos, aix com davaluar les capacitats prpies.Tamb est relacionada amb la motivaci i la determinaci per al compliment dels objectius ja siguin comuns o de grup.En defnitiva, lactivitat matemtica associada a la resoluci de problemes ja sigui de forma individual o en grup permet no noms validar laprenentatge de lalumne, sin que participa plenament en els processos de creixement i dini-ciativa de lalumne i contribueix a que desenvolupi majors cotes dautonomia i iniciativa en els processos de presa de decisions.917486 _ 0026-0041.indd 30 15/01/10 8:3931[8]La competncia en expressi culturalLa competncia de conscincia i expressi cultural s lapreciaci de la impor-tncia de lexpressi creativa didees, experincies i emocions de diferents mit-jans, inclosa la msica, les arts escniques, la literatura i les arts plstiques.Aquesta competncia cultural i artstica tamb est vinculada als processos den-senyament/aprenentatge de les matemtiques. Les matemtiques sempre han constitut una gran expressi de la cultura. Conixer la seva histria, analitzar les diverses poques, la seva creativitat i sensibilitat i tamb els diferents pensaments divergents son importants i ressalten el valor formatiu de les matemtiques en aspectes com la recerca de la bellesa i lharmonia i lestmul de la creativitat.Competncies bsiques de les Matemtiques aplicadesa les cincies socials al batxilleratSer competent en matemtiques requereix tenir uns coneixements, capacitats i habilitats que han de facilitar que lalumne/a pugui i vulgui afrontar els reptes que se li plantegin.Ser competent en matemtiques s per tant, tenir les habilitats per desenvolu-par i aplicar el raonament matemtic amb la fnalitat de resoldre problemes en situacions diverses.Mtodes de treball a les matemtiquesEl currculum de les matemtiques aplicades a les cincies socials explicita les competncies especfques que shi treballen, aix com la contribuci de la mate-mtica al desenvolupament de les competncies bsiques abans descrites.El treball en les matemtiques aplicades a les cincies socials se centra bsica-ment en la resoluci de problemes, la qual cosa permet desenvolupar a laula els cinc vessants segents de lactivitat matemtica:Resoldre problemes matemtics.Comunicar-se matemticament.Raonar matemticament.Valorar la matemtica i la seva construcci.Tenir confana en la prpia capacitat matemtica.Aquests vessants han de ser sempre presents en lactivitat matemtica i per aix conformen els processos que caldr desenvolupar de manera general al llarg de tota letapa.Aquestes competncies tamb estan vinculades a les Matemtiques a travs del desenvolupament de les eines prpies de la matria per a estudiar i descriure fe-nmens socials de lentorn proper. Ls daquestes eines mostra el seu paper per a conixer i valorar problemes de la societat actual: fenmens com la diversitat cultural, el respecte al medi ambient, la salut, el consum, la igualtat doportu-nitats entre els sexes o la convivncia pacfca. La participaci, la collaboraci, la valoraci de lexistncia de diferents punts de vista i lacceptaci de lerror de manera constructiva constituxen tamb continguts dactitud que cooperaran en el desenvolupament daquestes competncies.El tractament de diverses fonts dinformaci, la simulaci de diverses situacions, els processos de resoluci de problemes i altres situacions realitzen una aporta-ci signifcativa perqu serveixen en incrementar la capacitat de lalumne en el seu desenvolupament futur.[7]Competncia en iniciativa i sentit dempresaPer sentit de la iniciativa i esperit dempresa sentn lhabilitat de la persona per a transformar les idees en actes. Est relacionat amb la creativitat, la innovaci i lassumpci de riscos, aix com amb lhabilitat per a planifcar i gestionar pro-jectes amb la fnalitat darribar a objectius. En aquesta competncia es donen suport totes les persones, no noms en la vida quotidiana, a casa i en la societat, sin tamb en el lloc de treball, al ser conscients del context en el qual es desen-volupa el seu treball i ser capaos daproftar les oportunitats, i s el fonament daltres capacitats i coneixements ms especfcs que precisen les persones que estableixen o contribueixen a una activitat social o comercial. Aix ha dincloure una conscienciaci sobre els valors tics i promoure la bona gobernana.De la mateixa manera que en el punt [5], aquesta competncia est relacionada amb una gesti proactiva dels projectes resoluci de problemes. entesa com la capacitat per planifcar, organitzar la feina i, en el treball en equip, liderar, delegar, informar o comunicar.La proactivitat inclou tamb la capacitat per determinar els punts forts i febles dun mateix, dassumir riscos, aix com davaluar les capacitats prpies.Tamb est relacionada amb la motivaci i la determinaci per al compliment dels objectius ja siguin comuns o de grup.En defnitiva, lactivitat matemtica associada a la resoluci de problemes ja sigui de forma individual o en grup permet no noms validar laprenentatge de lalumne, sin que participa plenament en els processos de creixement i dini-ciativa de lalumne i contribueix a que desenvolupi majors cotes dautonomia i iniciativa en els processos de presa de decisions.917486 _ 0026-0041.indd 31 22/01/10 12:5933a un dels grans objectius del batxillerat: la formaci de persones autnomes i crtiques que spiguen acceptar els propis errors i, alhora, les virtuts de les altres persones. Mitjanant la resoluci de problemes, la matemtica ensenya a saber actuar quan ens equivoquem, i a no mantenir una postura infexible a causa de no voler assumir els errors comesos. Ensenyar una frmula o un algorisme i resoldre exercicis que sn aplicaci immediata hauria de reque-rir poc temps. Ara b, experimentar, plantejar problemes, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fns a obtenir-ne una que sigui plausible, proposar la soluci, redactar les conclusions i exposar-les en pblic requereix temps per al qual cal una bona planifcaci.La presncia de calculadores i ordinadors en el context educatiu de la mate-mtica permet les proves i els assajos en la cerca de patrons de comportament matemtic, anlogament al que es realitza en les cincies experimentals.Les activitats dissenyades des daquest punt de vista i orientades cap a la construcci de coneixement, difcilment sn possibles amb els mitjans tradi-cionals del llapis i el paper. I la potncia que ens permeten aquests mitjans tecnolgics no ha de quedar reduda al clcul: s possible i desitjable realitzar activitats en les quals la representaci grfca reveli regularitats i variacions.Les noves tecnologies han de contemplar lexperimentaci i la comunicaci de les idees per donar pas al raonament matemtic i a la comunicaci oral i escrita daquestes idees.Competncies bsiques del batxillerat i el seu desenvolupamentEscamilla i Lagares (2006) defneixen les competncies bsiques com capacitats relacionades, de manera prioritria, amb el saber fer; per des dun vessant de funcionalitat i practicitat que no la redueix a un carcter merament mecnic: el saber fer ha de tenir una dimensi de carcter teorico comprensiu (elements de treball, tasques, formes de resoluci) i una dimensi de carcter actitudinal (en funci del bagatge de coneixements, la forma dincorporar-los, la valoraci de les diferents opcions).Les competncies formen un element de formaci a qu, per la seva complexitat, cal apropar-se de manera convergent (des de les diferents matries) i gradual (des de diferents moments i situacions daprenentatge cursos i etapes).El desenvolupament daquestes competncies bsiques constitueix, en les nos-tres concrecions del currculum, una obligaci i per tant shan de concretar en enunciats ms concrets en cada matria defnint els mtodes operatius que es nt. nt es ue ue na ue a-nts o m, sta es ti-li-a i ar ota a-tir ge-s no nt. ci-tic de ca nt-el x-no -uir 917486 _ 0026-0041.indd 33 15/01/10 8:3934[C[Cidentifquin la corresponsabilitat de cada mbit del currculum per a la seva adquisici i desenvolupament.Daquesta manera, mostrarem unes competncies especfques com a elements dacompliment en contextos determinats densenyament-aprenentatge; queda-ran supeditades, doncs, a les bsiques.Dins daquest entrellaament que hem vist abans sobre les diferents competnci-es clau, les matemtiques aplicades a les cincies socials al batxillerat continuen el desenvolupament de les competncies bsiques de lESO i preparen per a la vida activa i per actuar de manera efcient en els estudis superiors i es poden sintetitzar en les segents competncies bsiques extretes daquests compe-tncies clau i descomptant la competncia matemtica que, evidentment, est incorporada en tota la resta:[CB1]Competnciacomunicativa:Interpretariexplicarambsmbolsieinesmate-mtiques els enunciats de problemes propis de les matemtiques aplicades a les cincies socials: fenmens socials, econmics i humanstics, duna forma clara, precisa i coherent (competncies clau 1 i 2).Les Matemtiques aplicades a les cincies socials desenvolupen una tasca fonamental per a levoluci duna personalitat formada i equilibrada que integra lestmul de diferents capacitats, entre elles de les cognitives, en millorar el pensament refexiu incorporant al llenguatge les formes dex-pressi i raonament matemtic i reconeixent, plantejant i resolent, per mitj de diferents estratgies, situacions susceptibles de ser formulades en termes matemtics.Lensenyament a travs de la resoluci de problemes parteix de lexpe ri-mentaci i lobservaci, facilita el descobriment, permet arribar a lesta-bliment de conjectures i, per tant, contribueix decisivament a lassoliment de la competncia comunicativa ja que lalumne ha de defensar, oralment o per escrit, aquesta conjectura mitjanant arguments que lhan condut a establir-la per sabent que no t la seguretat que sigui certa, la qual cosa s molt ms propera a all que succeeix en la vida real, que no pas la seguretat a qu es pot arribar en determinats resultats obtinguts per laplicaci rutinria de frmules i algorismes.Per aix aquest enfocament metodolgic de lensenyament de la matem-tica participa en lassoliment de la competncia comunicativa ms enll de lmbit dacci disciplinria. Lensenyament de la matemtica a travs de la resoluci de problemes facilita la formulaci dactivitats que enca-minen lestudiant cap a lestabliment de conjectures i llur contrast.917486 _ 0026-0041.indd 34 15/01/10 8:3935[CB2]Competnciaenconeixementiinteracciambelmn:Descriureesdeveni-ments,situacions,tcniques,mtodes,etc.,procedentsdelmbitcientfic, tecnolgic,social,econmicialtresdelavidaquotidianaidelnostreentorn mitjanantel llenguatgecientficadientrelacionatamblesmatemtiques (competncia clau 3b).Lensenyament de la matemtica ha de facilitar entorns daprenentatge que facilitin un pensament matemtic que no sigui purament formal a travs de la generalitzaci de casos, replantejament de problemes per ana-logia amb altres, situacions concertes, etc. Aquest tipus de treball permet plantejar problemes inspirats en el mn real i que es presenten en models simplifcats. La seva resoluci i posterior traducci al mn real permet una interpretaci del mn que possibilita adoptar nous punts de vista i tenir-ne un coneixement ms ampli.[CB3] Competnciaengestiitractamentdelainformacidigital:Utilitzarde formaprecisaiautnomalesdiferentseinestecnolgiques:calculadores numriquesigrfiques,elsordinadorsielsdiferentsprogramesdaplica-cimatemticapertaldemillorarlacomprensidelsdiferentscontinguts daquest nivell: matrius, equacions, clcul dexpressions algebraiques i lmits, derivades,grficsdefuncionsialtresproblemesdeprocessamentdedades (competncia clau 4).Aquesta competncia sadquireix mitjanant ls de recursos diversos que es treballen al llarg del desenvolupament de la matria: La cerca dinfor-maci a travs de fonts diverses (tradicionals o electrniques), i la seva posterior estructuraci, s una competncia necessria per a tot alumne en el mn actual, i les activitats obertes com les que es proposen en aquest currculum requereixen sovint recursos tecnolgics que fomenten lautoaprenentatge de lalumne.Cal incidir en la comprensi dels processos matemtics per procurant no caure en lexecuci de rutines que amb tanta facilitat poden inundar el temps disponible dels alumnes. I la millor manera devitar-ho s fer-ne s tot ensenyant, des de lexperimentaci, amb les aplicacions que ens ofereixen les TIC.Les noves tecnologies poden integrar-se en lensenyament de la matem-tica amb fnalitats diametralment oposades. Tot tenint en compte la gran facilitat i freqncia dels alumnes en ls de les noves tecnologies, el pro-fessorat ha dorientar el seu s per tal que estiguin al servei de lalumne i no aquest a disposici delles.va nts a-ci-en la en e-st te-les ra, ca ue en x-er es ri-a-nt nt ut ual as er m-ll s a-917486 _ 0026-0041.indd 35 15/01/10 8:3936[CLa selecci dels recursos tecnolgics ha de permetre, a ms, que si-guin una eina que sempri en la resoluci de problemes per experi-mentar, observar, proposar conjectures i contrastar-les, en defnitiva, una eina al servei de la creativitat. El disseny dactivitats que partici-pen de la capacitaci tecnolgica i la competncia digital sn mplies i s desitjable afavorir aquelles que faciliten el descobriment per part de lalumne.[CB4]Aprendre a aprendre i competncia en recerca: Formular hiptesi sobre dife-rents fets i conceptes diversos per tal destudiar-los i analitzar-los des de dife-rents vessants de recerca per tal de millorar la capacitat de raonament lgic i matemtic (competncia clau 5).La resoluci de problemes facilita la capacitat creativa i impulsa la com-petncia en recerca. Lexperimentaci, lobservaci, lestabliment de re-sultats conjecturals (hiptesis), lestudi de casos concrets sobre aquests tot acceptant-los o refutant-los, la reformulaci de conjectures i la cerca darguments que donin transparncia als resultats descoberts, sn activi-tats que participen en ladquisici de la competncia en recerca. Les capa-citats que potencia el currculum de matemtiques faciliten lestabliment de raonaments quantitatius sobre situacions de la vida real i sobre el mn que ens envolta.[CB5]Competncies socials, culturals i cviques: Reflexionar i raonar de forma mate-mtica amb llgebra, lanlisi, la geometria, etc. sobre el coneixement de la culturaidelahistriaenlanlisidesituacionsifetsprocedentsdelnostre entorn natural, cultural, cientfic i tecnolgic (competncies clau 6 i 8).Lactivitat matemtica que genera la resoluci de problemes ofereix una intensa contribuci a la formaci integral de lalumne ms enll de lm-bit disciplinari, en particular a lassoliment de la competncia personal i interpersonal.Les Matemtiques aplicades a les cincies socials desenvolupen una tas-ca fonamental per a levoluci duna personalitat formada i equilibrada que integra lestmul de les capacitats personals i interpersonals, que ha destimular lalumne a manifestar una actitud positiva davant la resolu-ci de problemes mostrant confana en la capacitat per a enfrontar-se a ells amb xit i valorant les Matemtiques com part integrant de la nostra cultura, des dun punt de vista histric i des del seu paper en la societat actual, aplicant les competncies matemtiques adquirides per a analitzar i valorar fenmens socials com la diversitat cultural, el 917486 _ 0026-0041.indd 36 15/01/10 8:3937respecte al medi ambient, la salut, el consum, la igualtat de gnere o la convivncia pacfca.Les Matemtiques aplicades a les Cincies Socials ha de permetre desenvo-lupar, en lalumne, la capacitat de raonament i el sentit crtic per a analitzar la realitat social en les seves diverses manifestacions econmiques, artsti-ques, humanstiques, poltiques, etc., des duna perspectiva matemtica[CB6]Competncia en autonomia i iniciativa: Utilitzar de forma autnoma i rigoro-sa les eines de llgebra, lanlisi, i la geometria per tal de plantejar i resoldre problemes,argumentartcniquesimtodesidetectarincorreccionsdetipus lgicoprocedimentalqueestimulinelraonamentlgicilacapacitatper expressar idees amb arguments adients propis (competncia clau 7).Un dels objectius de les matemtiques s el dimpulsar i fomentar el des-envolupament de lesperit emprenedor i la confana en si mateix, la par-ticipaci, el sentit crtic, la capacitat diniciativa personal i de autonomia i la capacitat per a planifcar, prendre decisions i assumir responsabilitats.Tot el procs de recaptaci de informaci i el seu tractament per arribar a conclusions, contribueixen que lalumne desenvolupi majors cotes dau-tonomia i iniciativa.Per descomptat, els propis processos de resoluci de problemes realitzen una aportaci signifcativa a lavan per part de lalumne en autonomia i iniciativa ja que sutilitzen per a planifcar estratgies, assumir reptes i contribueixen a conviure amb la incertesa controlant al mateix temps els processos de presa de decisions.No oblidem per aquesta competncia els temes de la sistematitzaci, la refexi crtica i lhabilitat per a comunicar amb efccia els resultats del propi treball.Les matemtiques aplicades a les cincies socials treballen les habilitats relacionades amb lestabliment dhiptesi, laplicaci destratgies i lex-trapolaci dels resultats obtinguts a altres situacions semblants. Les ac-tivitats que es plantegin han dafavorir la possibilitat daplicar les eines matemtiques a lanlisi de fenmens despecial rellevncia social.Per tant lavan en iniciativa i autonomia personal per tal de triar el m-tode ms adequat o de buscar nous mtodes apareixer en moltes de les competncies lligades a temes de resoluci de problemes, construccions espacials, clcul drees, etc.si-ri-va, ci-es art fe-fe-c i m-re-sts ca vi-a-nt n te-la tre na m-l i as-da ha u-se la en es el 917486 _ 0026-0041.indd 37 15/01/10 8:3938 BLPr Competncies especfiques que es treballen i relaci ambles competncies generalsBLOC I.LGEBRA LINEAL I GEOMETRIA DEL PLAMatrius Utilitzar el llenguatge algebraic en general i el relatiu a matrius en particular per a descriure i resoldre situacions problemtiques en diferents contextos (CB1, CB2, CB3, CB6). Operar de diferents maneres amb les matrius i aplicar-les a lestudi de deter-minats fenmens (CB2 i CB6). Processar i comunicar informaci mitjanant lexposici de taules numri-ques, grfcs i matrius i ser capaos de passar duns mtodes als altres (CB2, CB3, CB4 i CB5). Utilitzar aplicacions informtiques per a operar amb matrius mitjanant les ordres adients en la resoluci dels problemes dlgebra lineal, i daltres (CB3, CB4 i CB5). Construir models mitjanant laplicaci de procediments amb matrius (CB3 i CB4). Avanar en iniciativa i autonomia personal per tal de triar el mtode ms adequat o de buscar nous mtodes en la resoluci de problemes relacionats amb el cl-cul matricial ja siguin de les matemtiques o daltres cincies (CB2, CB3, CB4 i CB6).Sistemes dequacions lineals Utilitzar el llenguatge algebraic per a descriure i resoldre situacions problem-tiques en diferents contextos (CB1, CB2, CB3 i CB6). Utilitzar les aplicacions informtiques en la resoluci de sistemes dequacions lineals (CB3 i CB4). Analitzar la validesa dels resultats obtinguts al resoldre sistemes dequacions lineals utilitzats per a descriure problemes en diverses situacions i interpretar-los dins del seu context (CB5 i CB6). Desenvolupar lautonomia i iniciativa personal a lhora de buscar nous mtodes en la resoluci de problemes reals en qualsevol context (CB2, CB3, CB4 i CB6).Vectors. La recta en el pla Utilitzar els vectors per a expressar magnituds fsiques vectorials del mn quotidi, com la fora, lacceleraci o la velocitat (CB1, CB2 i CB5).917486 _ 0026-0041.indd 38 15/01/10 8:3939 Reconixer la utilitat de les representacions vectorials i saber interpretar-les en mltiples aspectes de la vida diria: senyals de trfc, mapes meteorolgics, diagrames de fux, etc. (CB2,CB4, CB5 i CB6). Resoldre de manera clara, rigorosa i exacta, utilitzant vectors i representacions gr-fques, problemes propers tant de Geometria com de Fsica (CB2, CB3 i CB6). Utilitzar les noves tecnologies per a efectuar representacions precises de punts i vectors (CB3 i CB5). Expressar de forma rigorosa i en llenguatge matemtic (algebraic), de diferents formes, la relaci que verifquen els punts duna recta (CB1, CB4 i CB6). Reconixer la utilitat de les diferents expressions de lequaci duna recta, i usar en cada cas la ms adequada (CB1, CB2, i CB6). Potenciar la creativitat dels alumnes permetent-los i suggerint-los diferents mtodes per a afrontar i resoldre un problema geomtric (CB4 i CB6). Resoldre de manera clara, precisa i exacta, utilitzant elements geomtrics i representacions grfques adequades, problemes geomtrics en el plnol mit-janant les noves tecnologies (CB2, CB3 i CB6). Calcular de forma rigorosa i en llenguatge algebraic, aplicant les frmules adi-ents, angles, distncies i condicions de perpendicularitat en el pla. (CB1 i CB4). Efectuar representacions grfques precises, utilitzant el material adequat, de cadascun dels elements geomtrics en el pla (CB3, CB5 i CB6). Potenciar la creativitat dels alumnes, permetent-los i suggerint-los diferents mto-des per a afrontar i resoldre problemes mtrics de geometria plana (CB4 i CB6). Resoldre els problemes de manera clara i precisa, utilitzant elements geom-trics i representacions grfques adequades, mitjanant les noves tecnologies (CB3 i CB6).BLOC II.PROGRAMACI LINEALProgramaci lineal Utilitzar diferents tipus de llenguatge, algebraic i grfc, en la descripci i reso-luci de situacions problemtiques en diversos contextos (CB1, CB3 i CB6). Descriure les possibles solucions dun problema donat mitjanant un conjunt de condicions i restriccions (CB1, CB2, CB4 i CB6). Resoldre problemes de diferents matries mitjanant el plantejament i resolu-ci de sistemes dinequacions lineals i amb les tcniques prpies de la progra-maci lineal (CB2, CB3, CB4 i CB5).ar os er-ri-2, res ).B3 uat l-4 i m-ns ns ar-es ).n 917486 _ 0026-0041.indd 39 15/01/10 8:3940 Re Interpretar i analitzar la regi factible associada a un problema de programa-ci lineal, i escollir la que optimitza una determinada funci objectiu (CB1, CB2, CB4 i CB6, C8). Utilitzar els mitjans tecnolgics en la resoluci de problemes de programaci lineal (CB3 i CB4). Conixer el context histric en el qu va sorgir i s va desenvolupar la pro-gramaci lineal, i la gran infuncia daquesta matria en la soluci de molts problemes de la societat actual (CB2,CB4,CB5 i CB6). Potenciar lautonomia i la iniciativa personal a lhora de buscar mtodes nous en la resoluci de problemes (CB4, CB5 i CB6).BLOC III.ANLISILmits i continutat de funcions Conixer i operar correctament laritmtica de linfnit, les indeterminacions i els processos per a resoldre-les (CB4 i CB5). Utilitzar la calculadora i els programes informtics, per tal dobtenir expressi-ons decimals per a estimar el valor dun lmit i per a estudiar les discontinu-tats i les asmptotes duna funci (CB3 i CB6). Utilitzar taules, el llenguatge algebraic i el llenguatge grfc per a transmetre informacions referents a la dependncia, evoluci i tendncia duna magnitud fsica o social respecte daltra (CB1, CB3, CB5 i CB6). Utilitzar els conceptes de continutat i discontinutat en altres matries, sobre-tot la Fsica on hi ha nombrosos exemples (CB2, CB4, CB5 i CB6). Utilitzar les noves tecnologies per a obtenir, analitzar i difondre informacions, relatives a temes cientfcs que continguin taules de dades relacionades, o re-presentacions grfques dels mateixos (CB1, CB2, CB3, CB4, CB5 i CB6). Utilitzar les noves tecnologies per a estudiar el comportament de certes variables en les proximitats dun punt i la seua tendncia a llarg termini (CB3, CB4 i CB6). Expressar tendncies i comportaments a llarg termini de determinades va-riables de la demografa, leconomia i altres cincies, mitjanant el clcul de lmits (CB1, CB2, CB4 i CB5).Derivades. Clcul. Aplicacions Utilitzar el llenguatge algebraic i grfc per a descriure la relaci que existeix entre les variacions que es produeixen en una magnitud i les variacions que, com a conseqncia daquestes, apareixen en altra (CB1, CB5 i CB6).917486 _ 0026-0041.indd 40 15/01/10 8:3941 Conixer levoluci histrica del problema del clcul de la tangent a una corba en un punt (CB2, CB4 i CB5). Utilitzar les funcions algebraicament i grfcament per a analitzar i explicar el comportament dun fenomen donat per una expressi algebraica (CB1, CB4 i CB6). Interpretar de manera adequada les diverses informacions grfques existents en els mitjans de comunicaci o cientfcs relatives a levoluci, en funci del temps, dalgunes variables de carcter cientfc i daltres (CB1, CB4, CB5 i CB6). Utilitzar la derivada duna funci en un punt per a extraure i elaborar con-clusions sobre el comportament daquesta funci en les proximitats daquest punt (CB1, CB2, CB5 i CB6). Abordar la resoluci de problemes doptimitzaci siguin de carcter cientfc o funcional amb ls de la terminologia adequada (CB2, CB5 i CB6). Utilitzar aplicacions informtiques per a obtenir i representar funcions deri-vades mitjanant les seves corresponents expressions algebraiques (CB3,CB5 i CB6). Utilitzar aplicacions informtiques que ens permetin la resoluci de proble-mes matemtics i daltres cincies relacionats amb les derivades (CB3 i CB4). Conixer el desenvolupament histric dels conceptes de diferencial i de derivada, apreciar laportaci de determinats matemtics a aquest tema i la seva infuncia en el desenvolupament cientfc i tecnolgic posterior (CB4 i CB5). Reconixer a les matemtiques i a les seves aplicacions tecnolgiques el de-senvolupament de la humanitat en el coneixement de les diferents cincies per a aconseguir una millora en les seves condicions de vida (CB5).Representaci de funcions Utilitzar les funcions i especialment les seves grfques per a descriure, ana-litzar i determinar el comportament dun fenomen donat per una expressi algebraica (CB1, CB3, CB4 i CB6). Utilitzar aplicacions informtiques per a representar i analitzar el comporta-ment local i global de les funcions i la seva posterior representaci grfca. (CB3, CB4 i CB6). Analitzar el comportament duna funci mitjanant lanlisi de les seves pro-pietats globals i locals (CB4 i CB6). Utilitzar les noves tecnologies per a representar i analitzar el comportament local i global de les funcions. (CB3, CB4 i CB6)ma-1, i o-lts us s i si-u-re ud re-ns, re-es ).a-de eix ue, 917486 _ 0026-0041.indd 41 15/01/10 8:39Lescarabat dorEdgar Allan PoeA tots ens agradaria trobar un tresor que resolgus elsnostres problemes. De vegades no sabem exactament com hauria de ser. Daltres vegades ho sabem, per no tenimel mapa; o tenim un mapa ambles instruccions codificades. Aix s el que va li va passara en Legrand, el protagonista de Lescarabat dor. Havia trobat el pergam al costat de les restes dunvaixell pirata, lhavia posat al foc perqu surts a la llum el missatge escrit amb tinta invisible, pernoms hi va aparixer el reguitzell de signes queveiemen el pargraf seleccionat.Per la firma, de seguida va adonar-se que aquest missatge amagava un text en angls. Desxifrar-lo era elpreu que en Legrand havia de pagar pel seu tresor. Iho va aconseguir.En aquest pargraf explica a un amic com va comenar a desxifrar el missatge que el portaria fins al tresor amagat pels pirates. La seva estratgia inicial va ser comparar lafreqncia dels signes en el missatge amb la freqncia de cada lletra en la llengua anglesa. Elmissatge desxifrat en angls el podem trobar en qualsevol edici del relat, i tradut al catal,literalment, seria:Un bon got a lhostal del bisbe a la cadira del diable quaranta-un graus i tretze minuts Nord-est i des del Nord branca principal set brot costat Est solar quart de lull esquerredel cap de mort una lnia recta des de larbre a travs de la bala cinquanta peus cap a fora.Podem veure que el missatge encara t un aire misteris i incomprensible, i, ara, el problema consisteix a interpretar-lo. Amb imaginaci, constncia i una mica de sort, en Legrand va entendre qu significa aquest aparent galimaties va aconseguir desenterrar un tresor fabuls. Persaber com va fer-ho, sha dacabar de llegir el relat, que s un dels ms extraordinaris dEdgar Allan Poe.421 SolucionarioLI TERATURAI MATEMTI QUESLescarabat dor[Juntament amb les restes dun vaixell pirata, el protagonista va trobar un pergam amb un missatge ple de signes:( 5 3 + 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 . ) 4 ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 6 Va sospitar que indicava la posici dun tresor i va comenar a desxi-frar-lo.]Vaig comptar tots els signes i vaig formar aquesta taula.Signe 8 ; 4 ) * 5 6 ( + 1 0 9 2 : 3 - .Freqncia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1La lletra ms freqent en un text angls s la e. Desprs, la srie s la segent: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina fins al punt que s difcil trobar una frase dalguna longitud de la qual no si-gui el carcter principal. Com que el signe predominant s el 8, co-menarem per assignar-lo a la e de lalfabet natural. [] Ara, de totes les paraules, the s la ms usual; per tant, hem de veure si est repetida una combinaci de tres signes, lltim dels quals sigui el 8. [] Hi ha ni ms ni menys que set combinacions dels signes ; 4 8. Podem, per tant, suposar que ; representa t, 4 representa h, i 8 representa e.Acabem de fixar una sola paraula; pero aquesta paraula ens permet tamb descobrir alguns principis i finals dunes altres paraules. Vegem, per exemple, el penltim cas en qu apareix la combinaci ;48 gaire al final del missatge. Sabem que el ; que ve immediatament desprs s el principi duna paraula, i dels sis signes que segueixen a aquest the, en coneixem, al menys, cinc. Substitum, doncs, aquests signes per les lletres que representen, i deixem un espai per al desconegut: t_eeth.Provem lalfabet complet per trobar una lletra que es pugui adaptar aaquest forat i formi una paraula amb sentit. Ens nadonem que no existeix. Per tant, hem de descartar el grup th com a part daquesta paraula. Aix doncs, redum els signes a t_ee.Emprem lalfabet, si cal, com abans, i arribem a la paraula tree (arbre), com lnica intelligible. Obtenim, aix, una altra lletra, la r represen-tada per (.Edgar allan PoEnmeros realesMatrius1917486 _ 0042-0089.indd 42 15/01/10 12:4043Lescarabat dorEdgar Allan PoeA tots ens agradaria trobar un tresor que resolgus elsnostres problemes. De vegades no sabem exactament com hauria de ser. Daltres vegades ho sabem, per no tenimel mapa; o tenim un mapa ambles instruccions codificades. Aix s el que va li va passara en Legrand, el protagonista de Lescarabat dor. Havia trobat el pergam al costat de les restes dunvaixell pirata, lhavia posat al foc perqu surts a la llum el missatge escrit amb tinta invisible, pernoms hi va aparixer el reguitzell de signes queveiemen el pargraf seleccionat.Per la firma, de seguida va adonar-se que aquest missatge amagava un text en angls. Desxifrar-lo era elpreu que en Legrand havia de pagar pel seu tresor. Iho va aconseguir.En aquest pargraf explica a un amic com va comenar a desxifrar el missatge que el portaria fins al tresor amagat pels pirates. La seva estratgia inicial va ser comparar lafreqncia dels signes en el missatge amb la freqncia de cada lletra en la llengua anglesa. Elmissatge desxifrat en angls el podem trobar en qualsevol edici del relat, i tradut al catal,literalment, seria:Un bon got a lhostal del bisbe a la cadira del diable quaranta-un graus i tretze minuts Nord-est i des del Nord branca principal set brot costat Est solar quart de lull esquerredel cap de mort una lnia recta des de larbre a travs de la bala cinquanta peus cap a fora.Podem veure que el missatge encara t un aire misteris i incomprensible, i, ara, el problema consisteix a interpretar-lo. Amb imaginaci, constncia i una mica de sort, en Legrand va entendre qu significa aquest aparent galimaties va aconseguir desenterrar un tresor fabuls. Persaber com va fer-ho, sha dacabar de llegir el relat, que s un dels ms extraordinaris dEdgar Allan Poe.1 Solucionariuna taula numrica com 3 4 1 2 30 1 7 2 1 s un exemple de matriu. Serveix percodificar problemes o situacions com aquest: una empresa dautobusos t tres lnies: A, B i C. Dilluns van sortir 4 autobusos de la lnia A, 5 de la B i 3 de la C. Dimarts en van sortir 1 de la A, 7 de la B i 3 de la C. Dimecres, 4 de la A, 5 de la B i 6 de la C. representa enforma de matriu el trfic daquesta empresa durant els tres dies.4 5 31 7 34 5 6A la matriu, les files representen els dies de la setmana, i les columnes cadascuna de les lnies dautobs.LI TERATURAI MATEMTI QUESLescarabat dor[Juntament amb les restes dun vaixell pirata, el protagonista va trobar un pergam amb un missatge ple de signes:( 5 3 + 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 . ) 4 ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 6 Va sospitar que indicava la posici dun tresor i va comenar a desxi-frar-lo.]Vaig comptar tots els signes i vaig formar aquesta taula.Signe 8 ; 4 ) * 5 6 ( + 1 0 9 2 : 3 - .Freqncia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1La lletra ms freqent en un text angls s la e. Desprs, la srie s la segent: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina fins al punt que s difcil trobar una frase dalguna longitud de la qual no si-gui el carcter principal. Com que el signe predominant s el 8, co-menarem per assignar-lo a la e de lalfabet natural. [] Ara, de totes les paraules, the s la ms usual; per tant, hem de veure si est repetida una combinaci de tres signes, lltim dels quals sigui el 8. [] Hi ha ni ms ni menys que set combinacions dels signes ; 4 8. Podem, per tant, suposar que ; representa t, 4 representa h, i 8 representa e.Acabem de fixar una sola paraula; pero aquesta paraula ens permet tamb descobrir alguns principis i finals dunes altres paraules. Vegem, per exemple, el penltim cas en qu apareix la combinaci ;48 gaire al final del missatge. Sabem que el ; que ve immediatament desprs s el principi duna paraula, i dels sis signes que segueixen a aquest the, en coneixem, al menys, cinc. Substitum, doncs, aquests signes per les lletres que representen, i deixem un espai per al desconegut: t_eeth.Provem lalfabet complet per trobar una lletra que es pugui adaptar aaquest forat i formi una paraula amb sentit. Ens nadonem que no existeix. Per tant, hem de descartar el grup th com a part daquesta paraula. Aix doncs, redum els signes a t_ee.Emprem lalfabet, si cal, com abans, i arribem a la paraula tree (arbre), com lnica intelligible. Obtenim, aix, una altra lletra, la r represen-tada per (.Edgar allan PoEnmeros realesMatrius917486 _ 0042-0089.indd 43 15/01/10 12:4044MatriusACTIVITATS001 Escriu una matriu que compleixi les condicions segents:Dimensi 3 2.a32 = a21 = a11 = 1a22 = a12 = a31 = 2La matriu s: 002Venen llistons de dues qualitats i de dues longituds. Els llistons grans de baixa qualitat costen 0,75 , i els dalta qualitat, 1 , mentre que els llistons petits de baixa qualitat costen 0,45 , i els dalta qualitat, 0,60 . Escriu aquestes dades enforma de matriu.La matriu ser de dimensi 2 2. Les files nindiquen la qualitat; les columnes, lamida, i els elements de la matriu, el preu. 003 Troba el valor de cada incgnita perqu les dues matrius siguin iguals: Perqu les matrius siguin iguals han de tenir la mateixa dimensi i tots els seus elements han de ser iguals. Les dues matrius sn de dimensi 2 3. x + 1 = 2 x = 1z + 1 = y + 2 z = y + 1 z = 33 = y + 1 y = 2x + 2 = 3 x = 10 = 0z 1 = y z = 1 + 2 = 3La soluci s x = 1, y =2 i z = 3. 004 Escriu un exemple de les matrius segents:a)una matriu fila amb quatre columnes.b)una matriu columna amb quatre files.c)una matriu quadrada dordre 4.Resposta oberta. Per exemple: a)A = (1310)b) c)ABANS DE COMENAR RECORDA001 resol aquests sistemes. a) xxxyyyzzz2 2332044+++=== b) + = + = =2 12 3 05 7333y zx y zx y za) xxxyyyzzzx2 2332044+++==== = + =y zy z y zy z y z32 3 2 43 3 2 4( ) = = ==4 7 44 46 007y zy zzz 4y z = 4 z = 0 y = 1x + y + 3z = 0 y = 1, z = 0 x = 1La soluci del sistema s x = 1, y = 1 i z = 0.b)22531072xxyyyzzz y++=== = 11 2 3 2 1 05 72 5 35x y yx yx yx y+ = = = ( )===710 xx y yx = ==5 717510z y zy= = ==2 13451395175La soluci del sistema s x = 10,y z = =175395i .002 resol aquests sistemes.a) + =+ = =x yx yx y2 02 52 3 12 b) x yx yx yx y =+ = = = 4402 33 4 12 3a) + =+ ==+ =x yx yx yx y2 02 522 5 2 x yy y y=+ = =24 5 1y = 1 y = 2y x = 22 x 3y = 1 x = 2, y = 1 4 3 = 1. En aquest cas, la soluci del sistema s vlida.b)+ =+ == = =x yx yx x y02 33 3 1 1 3x 4y = 1 x = 1, y = 1 3 4 = 1x 2y = 3 x = 1, y = 1 1 2 = 3En aquest cas, la soluci del sistema s vlida. 917486 _ 0042-0089.indd 44 15/01/10 12:40Matrius451 SolucionariACTIVITATS001 Escriu una matriu que compleixi les condicions segents:Dimensi 3 2.a32 = a21 = a11 = 1a22 = a12 = a31 = 2La matriu s: 1 21 22 1 002Venen llistons de dues qualitats i de dues longituds. Els llistons grans de baixa qualitat costen 0,75 , i els dalta qualitat, 1 , mentre que els llistons petits de baixa qualitat costen 0,45 , i els dalta qualitat, 0,60 . Escriu aquestes dades enforma de matriu.La matriu ser de dimensi 2 2. Les files nindiquen la qualitat; les columnes, lamida, i els elements de la matriu, el preu. 0 45 0 750 60 1, ,,003 Troba el valor de cada incgnita perqu les dues matrius siguin iguals: xz x zyy y++ + ++1 3 01 2 12 1 02 3Perqu les matrius siguin iguals han de tenir la mateixa dimensi i tots els seus elements han de ser iguals. Les dues matrius sn de dimensi 2 3. x + 1 = 2 x = 1z + 1 = y + 2 z = y + 1 z = 33 = y + 1 y = 2x + 2 = 3 x = 10 = 0z 1 = y z = 1 + 2 = 3La soluci s x = 1, y =2 i z = 3. 004 Escriu un exemple de les matrius segents:a)una matriu fila amb quatre columnes.b)una matriu columna amb quatre files.c)una matriu quadrada dordre 4.Resposta oberta. Per exemple: a)A = (1310)b)B =1241c)C =1 2 3 40 2 3 15 2 2 01 1 1 1

ABANS DE COMENAR RECORDAresol aquests sistemes. 4y z = 4 y = 1x + y + 3z = 0 x = 1La soluci del sistema s x = 1, y = 1 i z = 0.b)22531072xxyyyzzz y++=== = 11 2 3 2 1 05 72 5 35x y yx yx yx y+ = = = ( )===710 xLa soluci del sistema s x = 10, resol aquests sistemes. y = 1 x = 22 x 3y = 1 4 3 = 1. En aquest cas, la soluci del sistema s vlida.3x 4y = 1 3 4 = 1x 2y = 3 1 2 = 3En aquest cas, la soluci del sistema s vlida. 917486 _ 0042-0089.indd 45 15/01/10 12:4046Matrius010 Efectua aquestes operacions: a)2(A B) + 3C b)(2)(A C) 3(B + 2C)011 calcula loperaci amb matrius segent:012 Troba el valor de x en aquesta igualtat de matrius:013 Efectua els productes que siguin possibles entre les matriusA, B i C.A C no es poden multiplicar ja que la dimensi de A s 2 3 i la de C s 2 2. C B no es poden multiplicar ja que la dimensi de C s 2 2 i la de B s 3 2. 005 Escriu matrius que compleixin les condicions segents:a)Matriu diagonal dordre 4 que compleixi que aii = 7.b)Matriu identitat amb tres files.a) A =7 0 0 00 7 0 00 0 7 00 0 0 7 b) B =1 0 00 1 00 0 1006calcula (A B)t, si A i B sn les matrius segents:A B ==1 70 35 44 15 81 70 35 44 15 8(\)

(\)

llllll=(\)

(tt4 15 81 70 35 4\)

=(\)

t4 51 81 0 57 3 4(\)

=(\)

31 15 4057 24 27007 Efectua loperaci amb matrius segent: + 1 2 10 3 12 2 31 0 11 44 02 2 1 + 1 2 10 3 12 2 31 0 11 44 02 2 10 8 21 1 3 =008 Determina els elements que falten si A + B = C.Aa b= 3 4 55Bc de=23 1Cf=7 61 1 03 4 5523 17 61 1 a bc def + = 005 4 55 3 1+ ++ + = c de a bf 77 61 1 0 f = 5 4 + c = 7 c = 35 + d = 6 d = 15 + e = 1 e = 4a + 3 = 1 a = 4b 1 = 0 b = 1009 Fes aquesta operaci amb matrius:23 3 11 2 01 5 234 0 41 1 20 2 31 0 22 3 11 1 023 3 11 2 01 5 234 0 41 1 220 2 31 0 22 3 11 1 0 = 5 6 121 2 51 15 13917486 _ 0042-0089.indd 46 15/01/10 12:40Matrius471 Solucionari010 Efectua aquestes operacions:A =1 31 2B = 2 03 1C =2 31 2a)2(A B) + 3C b)(2)(A C) 3(B + 2C)a) 2 3 21 32 332 31 2( ) A B C + = + =8 157 0b) ( )( ) ( ) ( ) + = 2 3 2 23 02 43 A C B C =2 61 50 187 7011 calcula loperaci amb matrius segent:2 3 1 4 50123 3 1 451 ( ) ( )002 3 1 4 50123 3 1 45 ( ) ( ) = 106 2 80510( ) ( ) 9 3 12510=== + + = + = 6 0 2 5 8 10 9 5 31 12 0 10 80 45 3 1122012 Troba el valor de x en aquesta igualtat de matrius:( ) ( ) 1 111 9310 xx = 0( ) ( ) 1 111 9310 xx= = = = 0 1 3 0 2 4 2 x x x x ( )013 Efectua els productes que siguin possibles entre les matriusA, B i C.A B = = 1 0 22 1 33 01 22 3=C1 43 2A B B A = = 7 613 113 0 65 2 88 3 13 =B C3 127 011 2 = C A9 4 141 2 0A C no es poden multiplicar ja que la dimensi de A s 2 3 i la de C s 2 2. C B no es poden multiplicar ja que la dimensi de C s 2 2 i la de B s 3 2. Escriu matrius que compleixin les condicions segents:a)Matriu diagonal dordre 4 que compleixi que aii = 7.b)Matriu identitat amb tres files. calcula (A B)t, si A i B sn les matrius segents:1 70 35 44 15 8(\)

(\)

llllll=(\)

(tt4 15 81 70 35 4\)

=(\)

t4 51 81 0 57 3 4(\)

=(\)

31 15 4057 24 27Efectua loperaci amb matrius segent:Determina els elements que falten si A + B = C. 3 4 5523 17 61 1 a bc def + = 005 4 55 3 1+ ++ + = c de a bf 77 61 1 0 f = 5 4 + c = 7 c = 35 + d = 6 d = 15 + e = 1 e = 4a + 3 = 1 a = 4b 1 = 0 b = 1Fes aquesta operaci amb matrius:917486 _ 0042-0089.indd 47 15/01/10 12:4048MatriusPerqu les dues files siguin dependents han de ser proporcionals, F2 = F1.018Determina el rang de les matrius segents: a)Cap de les tres files no s proporcional a una altra fila. Comprovem si alguna fila s combinaci lineal de les altres dues: Com que els valors de m sn diferents, el sistema no t soluci. Cap fila scombinaci lineal de les altres dues, aix doncs, les tres files sn linealment independents i, per tant, el rang de la matriu s 3. b)Com que F2 = 2F1 i F3 = 3F1, totes les files sn proporcionals. Aix doncs, el nombre de files linealment independents s 1 i, per tant, el rang de la matriu s 1. 019calcula el rang per mitj del mtode de Gauss: 014Determina la dimensi de la matriu que resulta daquesta operaci i, desprs, comprova-ho efectuant les operacions.22 1 03 0 132 13 04 5 1 + 22 1 3La dimensi de la matriu que en resulta s 2 3. 22 1 03 0 132 13 04 5 12 1 + 334 2 06 0 236 9 112 15 3 = + == 22 25 342 45 11015 comprova si es compleix que A (B + C ) = B A + C A, en qu:A B C ===1 12 33 12 13 01 11Si no s