Sampling Motion Governed by Newtons Laws

Disusun oleh:Maruli Manurung 1211100063M. Hilmi Pamungkas 1211100109

Contoh 2.4-1(halaman 83)Misalkan diberikan sistem kontinu, sebagai berikut:

x =

[0 10 0

]x+

[0

1/m

]u+ w (1)

Jika u(t) = mg adalah konstan dan x = [d s]T dengan d adalah posisi dan s adalahkecepatan. Kemudian subsitusikan ke persamaan (1), sehingga menjadi[

ds

]=

[0 10 0

] [ds

]+

[0

1/m

]mg[

ds

]=

[s0

]+

[0g

]

dari persamaan di atas dapat ditulis, sebagai berikut

d = s

s = g

Kemudian, kedua persamaan di atas diintegralkan t0s() d =

t0g d

s()t0

= gt0

s(t) s(0) = g(t 0)s(t) s(0) = gt

s(t) = s(0) + gt (2)

dan t0d() d =

t0s() d

karena s(t) = s(0) + gt, maka

t0d() d =

t0

(s(0) + g) d

d()t0

= [s(0) +1

2g 2]

t0

d(t) d(0) = s(0)(t 0) + 12g(t2 02)

d(t) d(0) = s(0)t+ 12gt2

d(t) = d(0) + s(0) +1

2gt2 (3)

1

Untuk input gaya u(t) = F = mg. Persamaan (1) adalah formula Hukum NewtonF = ma, dengan d sebagai posisi dan s sebagai kecepatan.

Misal x(0) (x0, p0), w (0, Q) dan posisi dari d(t) dibuat sedemikian sehinggaz =

[1 0

]x+ v (4)

Measurement noise v adalah (0, r) dan tidak berkorelasi.Jika pengukuran dibuat pada interval T unit, maka sistem dapat didiskritisasi dengan

cepat dengan mengasumsikan bahwa A adalah nilpotent (An = 0), jika A =

[0 10 0

]dengan n = 2 sedemikian sehingga A2 = 0, sehingga barisan untuk matrik sistem sampelberhingga.

Dari persamaan (2.4-6) dan (2.4-10), diketahui penyelesaian dari sistem ini yaitu:

xk+1 = ASxk +B

Suk + wk

zk = Hxk + vk

dengan

AS = eAT

BS = T0eAB d

Terlebih dahulu akan dicari nilai dari AS dan BS. Akan dicari nilai dari AS. KarenaAS = eAT , maka dengan menggunakan deret taylor di sekitar t = 0, diperoleh

AS = eAT

= eA.0 + AeA.0T + A2eA.0T 2

2!+ A3eA.0

T 3

3!+ ...

= I + AT + A2T 2

2!+ A3

T 3

3!+ ...

bila A =

[0 10 0

]dengan n = 2 sedemikian sehingga A2 = 0 sehingga diperoleh

AS = I + AT

=

[1 00 1

]+

[0 10 0

]T

AS =

[1 T0 1

](5)

dan selanjutnya akan dicari nilai dari BS

BS = T0eAB d

= BA1(eA )T0

= BA1(eAT eA.0)= BA1(eAT I)= BA1(I + AT + A2

T 2

2!+ A3

T 3

3!+ ... I)

= BT + ABT 2

2!+ A2B

T 3

3!+ ...)

2

jika A =

[0 10 0

], B =

[0

1/m

]dan karena A2 = 0 maka diperoleh

BS = BT + ABT 2

2!

=

[0

1/m

]T +

[0 10 0

] [0

1/m

]T 2

2!

=

[0

T/m

]+

[T 2/m

0

]2!

=1

m

[0T

]+

1m

[T 2

0

]2

BS =1

m

[T 2/2T

](6)

Kemudian akan dicari noise covarian dari QS dan RS dengan menggunakan persamaan(2.4-9) dan (2.4-15) maka diperoleh

QS = T0eAGQGT eA

T d

= GQGT T0e(A+A

T ) d

= GQGT (A+ AT )1e(A+AT )T0

= GQGT (A+ AT )1(e(A+AT )T I)

= GQGT (A+ AT )1[I + (A+ AT )T +(A+ AT )2T 2

2!+ ... I]

= GQGTT +(AGQGT +GQGTAT )T 2

2!+A2GQGT + 2AGQGTAT +GQGT (AT )2

3!+ ...

Karena A2 = 0, (AT )2 = 0, G = 1 dan misalkan Q =

[q1 q2q3 q4

], maka diperoleh

QS = QT +(AGQGT +GQGTAT )T 2

2!+

2AGQGTAT

3!

= QT +(AQ+QAT )T 2

2+AQAT

3

QS =

[q1 q2q3 q4

]T +

[q2 q2/2q4/2 0

]T 2 +

[q4/3 0

0 0

]T 3 (7)

Sementara RS = RT

dari persamaan (2.4-15), sehingga untuk versi sampel dari persamaan(1) dan (4) adalah

xk+1 =

[1 T0 1

]xk +

1

m

[T 2/2T

]uk +

[01

]wk (8)

zk =[

1 0]

+ vk (9)

dengan noise covariance QS dan RS seperti di atas.

3