SAM SAM Přehled tématPřehled témat

2

Pojem systémPojem systém• Systém – výraz odvozený z řečtiny

– Syn – dohromady– Histemi – sestavovat

• Základní téma systémových věd• Zkoumání vztahů, nikoliv objektů,

prvků samotných

3

SystémSystém

• Systém• Okolí systému• Účel v definici systému• Struktura systému• Hranice systému• Prvky systému• Hierarchie systémů• Vazby prvků systému• Chování systému

4

Systémový trojúhelníkSystémový trojúhelník

MODEL

SYSTÉM

OBJEKT

Reálný svět

Věda- metody OR/MS

5

ModelováníModelování• Modely

– Ikonické (materiální) modely– Symbolické modely

• Slovní• Grafické• Matematické

– Normativní modely – Deskriptivní modely

– Koncepční modely

6

ModelováníModelování• Definování systému na reálný objekt• Verbálně-grafický model daného

objektu• Matematický model

– Prvky– Čas– Dynamika– Náhoda

• Testování a verifikace modelu• Modelové experimenty

7

Systémová analýzaSystémová analýza

Základní princip:

„Každý existující systém lze zdokonalit, každý nově projektovaný systém lze zkonstruovat tak, aby uspokojoval požadavky uživatele.“

8

Postup klasické systémové Postup klasické systémové analýzyanalýzy

• Vymezení (analýza a formulace) řešeného problému

• Identifikace systému na zkoumaném objektu• Vytvoření systémového modelu a

kvantifikace modelu• Modelové výpočty a experimenty• Interpretace výsledků a řešení problému• Implementace a realizace řešení v praxi

9

Tvrdé a měkké systémové Tvrdé a měkké systémové metodologiemetodologie

• Tvrdé metodologie– Řešení optimální ekonomicky, technicky atd.

• Měkké metodologie– Řešení optimální ekonomicky, technicky atd.– Řešení sociálně přijatelné

10

Fáze měkké systémové Fáze měkké systémové metodologiemetodologie

Problémová situace, uvažovaný problém

Vyjádření problémové situace

Základní definice relevantního systému

aktivit

Pojmový (koncepční) model systému (holonu) v

pojmech podle základní definice

Porovnání modelu a objektivní reality

Změny: systémově vhodné, společensky

přípustné

Činnosti vylepšující aktuální situaci

objektivní realita

systémové úvahy o realitě

11

Nástroje měkké systémové Nástroje měkké systémové metodologiemetodologie

• Rich Picture vyjádření problémové situace

• Root DefinitionsCATWOE

• Koncepční modely

12

Tvrdé systémové Tvrdé systémové metodologiemetodologie

• Lineární optimalizační modely– Parametrizace– Dynamizace….

• Modely strukturální analýzy• Markovské řetězce• Systémy hromadné obsluhy

13

Typy omezujících podmínek:

spotřeba ≤ K … kapacitnívýroba ≥ P … požadavkovévýroba ≤ spotřeba (+/- rezerva/překročení) … bilanční faktor I / faktor II ≤ ≥ α … poměrové

Základní typy vazeb v systémovém diagramu:

Odvozování matematických modelů

14

15

Možné varianty vazeb Možné varianty vazeb v diagramu v diagramu

16

Možné varianty vazeb Možné varianty vazeb v diagramu v diagramu

17

Modely strukturální analýzyModely strukturální analýzy

Meziprodukt (výstup i-tého odvětví do j-tého)

+ finální produkce

Spo

třeb

a pr

oduk

tu (

vstu

p i-

tého

odv

ětví

do

j-té

ho)

+

spot

řeba

pri

már

ních

čin

itel

ů

Meziodvětvová spotřeba

Finální produkce

Spotřeba prmárních

činitelů

18

Kvadranty modelu strukturní Kvadranty modelu strukturní analýzyanalýzy

• I. kvadrant výrobní spotřeby – matice meziodvětvových (endogenních) toků.

• II. kvadrant konečné spotřeby – exogenní (vnější) toky produkce - rozdělení finální

produkce (čtyři sektory: spotřeba obyvatelstva, celospolečenská spotřeba, investiční výstavba a zahraniční obchod

• III. kvadrant primárních činitelů– spotřeba živé práce, nakoupených materiálů, energie,

surovin apod. (odpisy, mzdami a zisky včetně daní).

• IV. kvadrant – údaje o tocích primárních zdrojů ve finální spotřebě.

19

Uzavřený strukturní Uzavřený strukturní modelmodel

• Vnitřní rovnováha systému - produkce každého vyrobeného produktu se právě rovná požadovanému množství

AX = X tedy (E - A) X = 0

• Náklady na výrobu j-tého výrobku nesmí být větší než jeho cena (podmínka rentability)

pT A pT neboli pT (E - A) 0 (p vektor cen výrobků jednotlivých odvětví )

Xij … …….

Xi

Xj

20

Otevřený strukturní modelOtevřený strukturní model

Výrobní odvětví NH

Finální produkce

Celková produkce

Výrobní odvětví NH

xij ……. Yi Xi

Primární činitelé

zij ……. Mi

Celková spotřeba

Xj

21

Distribuční rovniceDistribuční rovnice

• X = AX + Y • M = MX

• Y = (E - A)X Kolik bude finální produkce? Matice (E-A) určuje vyprodukovanou finální produkci z jednotky

celkové produkce.

• (E - A)-1Y = X Kolik zajistit celkové produkce?Matice (E-A)-1 určuje požadovanou celkovou produkci

potřebnou pro jednotku finální produkce, obsahuje spotřebu spotřeby.

22

Hodnotové rovniceHodnotové rovnice

• Hodnota celkové produkce j-tého odvětví– materiálové náklady– spotřeba primárních činitelů a – nově vytvořená hodnota přidaná zpracováním

• Soustava hodnotových rovnic:

• Diagonálně rozepsaná matice primárních činitelů:

23

Markovské řetězceMarkovské řetězce

• Markovův řetězec je diskrétní řetězec, který splňuje markovskou vlastnost, tj. pro každé m = 2, 3, … a pro všechny možné stavy platí vztah:

P{Xm = em | Xm-1 = em-1, …, X1 = e1 } =

= P{Xm = em | Xm-1 = em-1 }

JEV diskrétní spojitý

diskrétní diskrétní řetězec spojitý řetězec ČAS

spojitý diskrétní proces spojitý proces

24

Markovská rovniceMarkovská rovnice

Maticové vyjádření Markovovy rovnice:

T(n) = Tn …. matice přechodu, tj.:

k

kjikij m)(n(m).pp(n)p

i j

25

Absolutní pravděpodobnostiAbsolutní pravděpodobnosti

• Pravděpodobnosti jednotlivých stavů M. řetězce v kroku n se nazývají absolutní pravděpodobnosti stavů v okamžiku n

pn = (p1n , p2

n, p3n , … ).

• Absolutní pravděpodobnosti stavů v okamžiku 0 se nazývají počáteční pravděpodobnosti stavů

p0 = (p10 , p2

0, p30 , …)

26

Markovova větaMarkovova věta

• Výpočet absolutních pravděpodobností

• Vektorově lze tyto vztahy zapsat takto

pn  = p0 Tn = pm Tn-m =  pn-1T

j j

jk1n

jmn

jimj

j

nji

0j

ni ppppppp

i

j

j

j

27

Limitní pravděpodobnostiLimitní pravděpodobnosti

• Ergodický Markovský řetězec

lim pj(n) = pj, j = 1, 2, …, r

• Výpočet pomocí řešení soustavy lineárních rovnic (Markovská soustava rovnic)

1ppp

ppp

r21

i

r

1iijj

28

Chování ergodického Chování ergodického řetězceřetězce

Limitní pravděpodobnosti stavů

0

0,2

0,4

0,60,8

1

1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Krok

29

Přiřazovací problémPřiřazovací problém• Kvantifikovatelnost vazby

• Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů D = S.

• Při přiřazovací úloze hledáme právě m obsazených polí (nezávislých prvků), jde tedy o silně degenerovanou úlohu.

• Jednotky kapacit dodavatelů a jednotky požadavků spotřebitelů jsou vzájemně homogenní (v tabulce jsou ohodnoceny 1, tj. jde o celočíselnou úlohu).

• V rámci dodavatelsko-spotřebitelských vazeb existuje nekonečná mezní míra substituce, tj. libovolného spotřebitele Sj můžeme uspokojit libovolnou zakázkou dodavatele Di

• Řešením úlohy přiřazovacího problému o velikosti m x m je nalezení právě m nezávislých prvků s minimálním součtem.

S1 S2 S3 S4 ai

D1 1 3 7 15 1

D2 6 7 19 16 1

D3 10 18 2 5 1

D4 13 18 20 16 1

bj 1 1 1 1

30

König-Egerwarryho teorémKönig-Egerwarryho teorém• „Grafický test optima“ maďarské metody.• Minimální počet krycích čar, kterými jsou identifikovány

nezávislé nuly tabulky a současně jsou pokryty všechny volné nuly tabulky, je roven minimálnímu počtu nezávislých nul, které lze z tabulky vybrat.

„„Maďarská metoda“Maďarská metoda“1. Primární redukce matice sazeb 2. Výběr nezávislých nul3. Kontrola správnosti výběru ( krycí čáry)4. Sekundární redukce matice sazeb5. Opakujeme kroky 2, 3 a 4 dokud není nalezeno m

nezávislých nul