Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

3. Dua buah kotak bermassa 𝑀 ditahan atas lantai dengan sebuah penahan sehingga

keduanya tidak dapat bergerak. Kedua kotak ini terpisah sejauh 𝑑 = 2(𝐿 + 𝑅). Kemudian

sebuah silinder berongga tanpa tutup berdinding tipis dengan massa 𝑚 dan jari-jari 𝑅

dihubungkan dengan dua buah pegas berkonstanta 𝑘 yang dihubungkan dan kedua kotak

seperti tampak pada gambar. Panjang pegas ketika tidak teregang adalah 𝐿. lantai licin

sempurna sehingga silinder tidak akan berotasi. Sebuah partikel kecil bermassa 𝑚

berada di permukaan dalam silinder berongga.

a. Untuk osilasi yang kecil, tentukan frekuensi osilasi untuk modus getar sistem ini!

b. Untuk limit 𝑘 → 0, tentukan frekuensi osilasi sistem! Apakah makna fisis dari

frekuensi ini?

c. Untuk limit 𝑘 → ∞, tentukan frekuensi osilasi sistem! Apakah makna fisis dari

frekuensi ini?

d. Sekarang partikel menempel pada permukaan dalam silinder tepat di titik

terendahnya. Penahan kedua kotak kemudian dilepas, tentukan frekuensi osilasi

untuk modus getar sistem ini!

e. Pada saat awal (𝑡 = 0) sistem yang baru ini masih diam, kemudian diberikan impuls

Δ𝑝 pada kotak sebelah kiri. Tentukan persamaan posisi silinder relatif terhadap

posisi awalnya sebagai fungsi waktu.

Solusi :

𝑑

𝑘 𝑘 𝑀 𝑀

𝑚

𝑚

𝑅

licin licin

𝑑

𝑘 𝑘 𝑀 𝑀

𝑚

𝑚

𝑅

licin menempel

Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

a. Pusat massa cincin sebagai titik asal. Misal cincin diberi simpangan 𝑥 dan partikel

diberi simpangan sudut 𝜃 berlawanan arah jarum jam dengan acuan garis vertikal di

bawah pusat massa sistem, maka

𝑟 𝑐 = 𝑥𝑖 dan 𝑟 𝑝 = (𝑥 + 𝑅 sin 𝜃)𝑖 + 𝑅 cos 𝜃 𝑗

dan juga

𝑣 𝑐 = 𝑥 𝑖

𝑣 𝑝 = 𝑥 + 𝑅𝜃 cos 𝜃 𝑖 − 𝑅𝜃 sin 𝜃 𝑗

Serta

𝑎 𝑐 = 𝑥 𝑖

𝑎 𝑝 = 𝑥 + 𝑅𝜃 cos 𝜃 − 𝑅𝜃 2 sin 𝜃 𝑖 − 𝑅𝜃 sin 𝜃 + 𝑅𝜃 2 cos 𝜃 𝑗

Gaya yang bekerja pada cincin dan partikel

𝐹 𝑐 = (−2𝑘𝑥 + 𝑁 sin 𝜃)𝑖 + 𝑁𝐿 − 𝑁 cos 𝜃 − 𝑚𝑔 𝑗

𝐹 𝑝 = −𝑁 sin 𝜃 𝑖 + 𝑁 cos 𝜃 − 𝑚𝑔 𝑗

Hk. II Newton

𝐹 = 𝑚𝑎

(untuk cincin)

Arah 𝑖

𝑁 sin 𝜃 = 𝑚𝑥 + 2𝑘𝑥 …(1)

Arah 𝑗

𝑁𝐿 = 𝑁 cos 𝜃 + 𝑚𝑔 …(2)

(untuk partikel)

Arah 𝑖

𝑁 sin 𝜃 = −𝑚𝑥 − 𝑚𝑅𝜃 cos 𝜃 + 𝑚𝑅𝜃 2 sin 𝜃 … (3)

Arah 𝑗

𝑁 cos 𝜃 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝑅𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑅𝜃 2 cos 𝜃 … (4)

Dari (1) dan (3)

2𝑚𝑥 + 2𝑘𝑥 + 𝑚𝑅𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑅𝜃 2 sin 𝜃 = 0… (5)

Dari (3) dan (4)

𝑥 cos 𝜃 + 𝑅𝜃 + 𝑔 sin 𝜃 = 0 …(6)

Untuk osilasi kecil sin 𝜃 ≈ 𝜃, cos 𝜃 ≈ 1, 𝜃 2 ≈ 0, maka

2𝑚𝑥 + 2𝑘𝑥 + 𝑚𝑅𝜃 = 0

𝑥 + 𝑅𝜃 + 𝑔𝜃 = 0

Untuk osilasi berlaku 𝑥 = −𝜔2𝑥 dan 𝜃 = −𝜔2𝜃 sehingga

Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

2(𝑘 − 𝑚𝜔2)𝑥 − 𝑚𝜔2𝑅𝜃 = 0

−𝜔2𝑥 + 𝑔 − 𝜔2𝑅 𝜃 = 0

Dalam bentuk matriks

2(𝑘 − 𝑚𝜔2) −𝑚𝜔2𝑅

−𝜔2 𝑔 − 𝜔2𝑅

𝑥𝜃 =

00

Agar hasilnya tidak nol, determinan matriks kiri harus nol

2(𝑘 − 𝑚𝜔2) −𝑚𝜔2𝑅

−𝜔2 𝑔 − 𝜔2𝑅 = 0

2(𝑘 − 𝑚𝜔2) 𝑔 − 𝜔2𝑅 − (−𝜔2)(−𝑚𝜔2𝑅) = 0

𝑚𝑅𝜔4 − 2 𝑘𝑅 + 𝑚𝑔 𝜔2 + 2𝑘𝑔 = 0

Sehingga

𝜔2 =

𝑘𝑅 + 𝑚𝑔 ± 𝑘2𝑅2 + 𝑚2𝑔2

𝑚𝑅

b. Untuk limit 𝑘 → 0

𝜔1 = 0 atau 𝜔2 = 2𝑔

𝑅

Ini adalah frekuensi osilasi sistem jika tidak terdapat pegas

c. Untuk limit 𝑘 → ∞

𝜔2 = 𝑘

𝑚 1 +

𝑚𝑔

𝑘𝑅 ± 1

Sehingga

𝜔1 = 2𝑘

𝑚 dan 𝜔2 =

𝑔

𝑅

Ini adalah frekuensi sudut osilasi jika pegas sangat kaku. Cincin akan berosilasi pada

sumbu 𝑥 dengan frekuensi sudut 𝜔1 dan partikel berosilasi di permukaan dalam

cincin dengan frekuensi sudut 𝜔2.

d. Sistem ini laksana 3 benda yang masing-masing bermassa 𝑀, 2m, dan 𝑀 dan

dihubungkan oleh dua buah pegas. Misal ketiganya disimpangkan dengan simpangan

𝑥1, 𝑥2, dan 𝑥3 untuk kotak kiri, silinder dan partikel, serta kotak kanan. Persamaan

gerak sistem menjadi

𝑘(𝑥2 − 𝑥1) = 𝑀𝑥 1

−𝑘(𝑥2 − 𝑥1) + 𝑘 𝑥3 − 𝑥2 = 2𝑚𝑥 2

Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

−𝑘 𝑥3 − 𝑥2 = 𝑀𝑥 3

Gunakan 𝑥 1 = −𝜔2𝑥1, 𝑥 2 = −𝜔2𝑥2, dan 𝑥 3 = −𝜔2𝑥3 sehingga

(𝑘 − 𝑀𝜔2)𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 0

−𝑘𝑥1 + 2(𝑘 − 𝑚𝜔2)𝑥2 − 𝑘𝑥3 = 0

−𝑘𝑥2 + (𝑘 − 𝑀𝜔2)𝑥3 = 0

Dalam bentuk matriks

𝑘 − 𝑀𝜔2 −𝑘 0

−𝑘 2(𝑘 − 𝑚𝜔2) −𝑘

0 −𝑘 𝑘 − 𝑀𝜔2

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 000

Determinan matriks kiri harus nol

𝑘 − 𝑀𝜔2 −𝑘 0

−𝑘 2(𝑘 − 𝑚𝜔2) −𝑘

0 −𝑘 𝑘 − 𝑀𝜔2

= 0

(𝑘 − 𝑀𝜔2)2(𝑘 − 𝑚𝜔2)(𝑘 − 𝑀𝜔2) − (𝑘 − 𝑀𝜔2)(−𝑘)(−𝑘) − (𝑘 − 𝑀𝜔2)(−𝑘)(−𝑘) = 0

𝑀2𝑚𝜔6 − 𝑘𝑀(𝑀 + 2𝑚)𝜔4 + 𝑘2(𝑀 + 𝑚)𝜔2 = 0

Sederhanakan menjadi

𝑀𝜔2(𝑀𝜔2 − 𝑘) 𝑀𝑚𝜔2 − 𝑘(𝑀 + 𝑚) = 0

Kita dapatkan tiga frekuensi sudut untuk tiga modus getar yaitu

𝜔1 = 0,𝜔2 = 𝑘

𝑀, dan 𝜔3 =

𝑘(𝑀 + 𝑚)

𝑀𝑚

e. Persamaan gerak masing-masing benda untuk masing-masing modus getar

Modus getar 1 (𝜔1)

𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡

Modus getar 2 (𝜔2)

𝑥1 = −𝑥3 = 𝐴 sin 𝜔2𝑡 + 𝜙2 , 𝑥2 = 0

Modus getar 2 (𝜔2)

𝑥1 = −𝑚

𝑀𝑥2 = 𝑥3 = 𝐵 sin 𝜔3𝑡 + 𝜙3

Persamaan gerak sistem adalah superposisi dari persamaan gerak pada masing-

masing modus

𝑥1(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + 𝐴 sin 𝜔2𝑡 + 𝜙2 + 𝐵 sin 𝜔3𝑡 + 𝜙3

𝑥2(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 −𝑀

𝑚𝐵 sin 𝜔3𝑡 + 𝜙3

𝑥3(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 − 𝐴 sin 𝜔2𝑡 + 𝜙2 + 𝐵 sin 𝜔3𝑡 + 𝜙3

Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

Turunkan satu kali terhadap waktu

𝑣1(𝑡) = 𝑣0 + 𝐴𝜔2 cos 𝜔2𝑡 + 𝜙2 + 𝐵𝜔3 cos 𝜔3𝑡 + 𝜙3

𝑣2(𝑡) = 𝑣0 −𝑀

𝑚𝐵𝜔3 cos 𝜔3𝑡 + 𝜙3

𝑣3(𝑡) = 𝑣0 − 𝐴𝜔2 cos 𝜔2𝑡 + 𝜙2 + 𝐵𝜔3 cos 𝜔3𝑡 + 𝜙3

Saat 𝑡 = 0, 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 0 dan 𝑣1 = Δ𝑝/𝑀 serta 𝑣2 = 𝑣3 = 0

Maka akan didapatkan

𝑥0 = 𝜙1 = 𝜙2 = 0, 𝑣0 =Δ𝑝

2(𝑀 + 𝑚), 𝐴 =

Δ𝑝

2

𝑀

𝑘, dan 𝐵 =

Δ𝑝

2

𝑚3

2𝑘𝑀(𝑀 + 𝑚)3

Sehingga

𝑥2(𝑡) =Δ𝑝

2(𝑀 + 𝑚)𝑡 −

Δ𝑝

2

𝑀𝑚

2𝑘(𝑀 + 𝑚)3sin 𝑡

𝑘(𝑀 + 𝑚)

𝑀𝑚