- Succes ! -

Colegiul Naţional “Mircea cel Bătrân”

Constanţa

Concursul Interjudeţean de Matematică

“N. N. Mihăileanu”

Ediţia a XI-a, 28-29 mai 2010

Proba individuală Clasa a IX-a

Problema 1

Fie 1 2, : R Rf f → două funcţii de gradul doi astfel încât ecuaţiile 1( ) 0f x = şi 2 ( ) 0f x = admit

rădăcini reale. Să se arate că dacă ecuaţia ( )1 2( ) 0f f x− = nu are rădăcini reale, atunci ecuaţia

( )1 2( ) 0f f x+ = are rădăcini reale.

* * *

Problema 2

Dacă măcar unul dintre numerele întregi a şi b nu se divide prin 3, atunci ecuaţia

0222=++− baabxx nu are rădăcini întregi.

Ion Cucurezeanu, Constanţa

Problema 3

Fie Q un punct în planul triunghiului ABC şi D, E, F simetricele lui Q faţă de A, B, respectiv C.

Notăm cu M, N, P, mijloacele segmentelor AE, BF respectiv CD.

a) Să se arate că dacă G , 1G , 2G sunt centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, MNP şi

DEF, atunci 214

1

3

1

2

1QGQGQG == ;

b) Să se arate că, dacă Q este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, atunci 1G este

mijlocul segmentului QH unde H este ortocentrul triunghiului ABC;

c) Să se arate că, dacă Q este ortocentrul triunghiului ABC atunci 1G este centrul cercului

circumscris triunghiului ABC .

Cătălin Zîrnă, Constanţa

Problema 4

Fie 1>n un număr natural impar şi un pătrat P de latură n descompus în pătrate de latură 1 în

interiorul cărora se află câte o lăcustă. Acestea execută un salt de aceeaşi lungime întreagă 1≥k pe

direcţia liniilor sau coloanelor, rămânând în interiorul lui P. Să se arate că vor exista două lăcuste

care ajung în acelaşi pătrat unitate.

Marius Cavachi, Constanţa

Notă. Timp de lucru: 3 ore.

Fiecare problemă are 7 puncte.