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8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
1/35
Spécialité EBE
Catherine Buhé Janvier 2011
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
2/35
PLAN
L’eurocode 2 et le matériau béton armé
Calculs à l’ELU
Principes et hypothèses
Applications :Traction simple et Compression centrée
Calculs à l’ELS
C. Buhé 2Béton armé
Principes et hypothèses
Applications : Traction simple et Compression centrée
Flexion simple
Effort tranchant
Flexion composée
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
3/35
PLAN
L’effort tranchant
Compréhension du phénomène
Objectifs, Effets de l’effort tranchant
Fonctionnement et modélisation de l’effort tranchant
C. Buhé 3Béton armé
Vérification et dimensionnement 4 valeurs d’effort tranchant résistant
Effort tranchant réduit
Répartition des armatures
Méthode de Caquot et Méthode générale
Dispositions constructives
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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L’effort tranchant
Objectifs de la prise en compte de l’effort tranchant
Vérifier les dimensions de l’âme Déterminer les armatures transversales Déterminer les arrêt des armatures longitudinales
Les zones
Compréhension de l’effort tranchant
C. Buhé 4Béton armé
AA AAAI AIZC ZC ZC
Les appuisd’about
Les appuisintermédiaires
courantes
Seul l’ELU est vérifié
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L’effort tranchant
Visualisation des effets de l’effort tranchant
Rupture de poutre par effort tranchant prèsde l’appui
Compréhension de l’effort tranchant
C. Buhé 5Béton armé
Efforts concentrés, comme près des
colonnes, peuvent provoquer une rupturede la dalle par poinçonnement
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L’effort tranchant
2 poutres isostatiques semblables mais dont la première ne comportepas d’armature d’effort tranchant soumises à un chargement identiqueconstitué de deux charges concentrées aux 1/3 et 2/3 de la portée
la ruine de la première poutre survientprématurément par fissuration diagonale
Visualisation des effets de l’effort tranchant
Compréhension de l’effort tranchant
C. Buhé 6Béton armé
et décollement du béton situé au-dessusde l’armature de flexion
la ruine de ladeuxième poutre
arrive normalementen flexion à mi-portéecomme prévu.
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L’effort tranchant
Visualisation des effets de l’effort tranchant
Lors d'essais sur une poutre B.A. sans armature d’âme, on constate
l'apparition de fissures inclinées, celles-ci délimitent des prismes de bétoninclinés à environ 45° sollicités en compression simple, ces prismes sontappelés bielles.
Compréhension de l’effort tranchant
C. Buhé 7Béton armé
sens d'apparition des fissures
membrure comprimée
b i e l l e
d ' a b o
u t
b i e l l e
2
b i e l l e
3
b i e l l e
1
θ θθ θ =45°
sens d'apparition des fissures
b i e l l e
4
Ces fissures apparaissent d’abord au voisinage des appuis et se propagentensuite vers la zone centrale de la travée.
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L’effort tranchant
Fonctionnement et modélisation
p
p
z L 10====
h
2
L p
V
pz5=
xy
diagramme de l'effort tranchant
d z
Sous l’action d’un moment de flexion positif, la
poutre est sollicitée en compression dans la partie
supérieure et en traction dans la partie inférieure
Dans les zones tendues, la résistance du béton à la
traction est faible voire nulle s’il a une fissuration
Compréhension de l’effort tranchant
C. Buhé 8Béton armé
2 L p−−−−
8
2 pL
diagramme du moment de flexion
M
due au retrait, pour la reprise de l’effort de tractionon ne peut pas compter sur lui, il est donc négligé
dans les calculs.
Cet effort de traction doit être repris par l’acier, d’où
la mise en place d’armatures longitudinales
Ce premier modèle (= 2 membrures distantes de z)
permet de comprendre comment s’effectue la reprise
du moment de flexion, mais pas celle de l’effort
tranchant.
pFcd
FtdhM V V
p
hd d , z 90≈
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L’effort tranchant
Que se passe-t-il dans la zone tendue ?
Compréhension de l’effort tranchant
p
==== τ ττ τ τ ττ τ σ σσ σ =
Isolons un élément de volume situé dans la zone tendue d’une poutre soumise àun effort tranchant. Le béton tendu étant négligé, l’étude des contraintes nousapprend qu’il est soumis uniquement à des contraintes tangentes .
C. Buhé 9Béton armé
VEd
compression traction
isolement d'un prisme élémentaire de béton
f i s s u r e
ct
τ ττ τ τ ττ τ
τ ττ τ τ ττ τ
τ ττ τ τ ττ τ
τ ττ τ
Si nous faisons varier l’intensité du chargement. ↑⇒↑⇒↑ τ Ed V p
Lorsque la contrainte de traction atteint la résistance de traction du béton, il seproduit une fissure inclinée à 45
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L’effort tranchant
Fonctionnement et modélisation
La modélisation va permettre de comparer le fonctionnement d'une poutre en béton armé àcelui d'une poutre fictive en treillis
Compréhension de l’effort tranchant
C. Buhé 10Béton armé
La membrure supérieure de la poutre fictive correspond à la zone de compressiondans le béton tandis que la membrure inférieure correspond à l'armature tendue.Les diagonales comprimées du treillis correspondent aux "bielles" de compressiondans l‘âme de la poutre en béton et les diagonales tendues correspondent auxarmatures d’effort tranchant, appelées ≪ étriers ≫.
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L’effort tranchant
Fonctionnement et modélisation
Il n'existe pas un treillis unique auquel on doit se référer mais bien une infinité de modèlesdépendant de la dimension des diagonales de béton et d'acier, de leur inclinaison, de leurdegré d'encastrement ...
Modélisation : Treillis
Compréhension de l’effort tranchant
membrure comprimée (béton et aciers éventuels) bielles de béton comprimées
N bc
Z
C. Buhé 11Béton armé
de RitterMörscharmatures longitudinales tendues armatures d'âme tendues
N s
45° α αα α
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L’effort tranchant
Comment travaillent les bielles ?
Compréhension de l’effort tranchant
N bc
Z
45°α αα α
H
O
A
FcVu
Fc s’applique sur OH x bo
(1 cotg )
2
Z OH
α +=
C. Buhé 12Béton armé
N s Z Z cotg α αα α
0c c
0 (1 cotg )
2
c b Z σ α +=
2
cu
F V =Projection verticale de Fc
0 0
2 2 2
(1 cotg ) 1 cotg 1 cotg
u u bc
V V
b Z b Z
τ σ
α α α = = =
+ + +
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L’effort tranchant
Comment travaillent les montants ?
Soit n le nombre de cadres
dans un module
Compréhension de l’effort tranchant
F st
bc
s t s t s t s t s t
t
FcVu (1 cotg )
t
Z n
s
α +=
C. Buhé 13Béton armé
Z (1 + cotg α αα α )
α αα α
F st
s
Fst Fst sin αααα = Vu
Projection verticale de Fs
( ) ( )α α
τ
α α
σ cot1sincot1
sin 0 +
=+
== Z Ad b
s
As
Z
V
An
F
t
t u
t
t
u
t
st st
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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L’effort tranchant
Bases de la vérification à l’effort tranchant : Vérification de la résistance des bielles de béton en compression
Reprise de l’effort tranchant par l’acier des étriers sur une distance z le long de l’axede la poutre
Augmentation de l’armature principale en raison de la force supplémentaire àreprendre
Définition de 3 valeurs d’effort tranchant résistant :’ ’ ’ ’
Dimensionnement de l’effort tranchant
C. Buhé 14Béton armé
Rdc
tranchant VRds Effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant
travaillant à la limite élastique
Vrdmax la valeur de calcul de l’effort tranchant maximal pouvant être repris par l’élémentavant écrasement des bielles de compression
Définition de 2 valeurs d’effort tranchant :
VEd Effort tranchant agissant de calcul
Ved,r Effort tranchant réduit
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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L’effort tranchant
Dimensionnement de l’effort tranchant
( ){ }1 31 1100 Rd ,c min cp Rd ,c l ck cp wV max v k ; C k f k b d σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ = + + 200
1 2 k min ; d
= +
avec d en mm sl l
w
A
b d ρ ρρ ρ = 020 ,≤≤≤≤
c , Rd
C 1 k minv
VRdc Effort tranchant résistant de calcul de l’élément en l’absence d’armature
cd
c
Ed cp f
A
N 2,0
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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L’effort tranchant
Dimensionnement de l’effort tranchant
sw Rd ,s wd ywd
AV V zf cot
sθ θθ θ = =
1
2
2 Rd ,max cw w cd
sinV b z f
θ θθ θ α ν α ν α ν α ν =
Si VEd > VRdc , des armatures d’effort tranchant sont requises
L’effort tranchant résistant : VRd = min (VRds , VRdmax )
C. Buhé 16Béton armé
La valeur max est obtenue pour θ=45°
On vérifie que VEd > VRdc . Si ce n’est pasle cas, on redimensionne le coffrage ou onaugmente la résistance du béton
On définit Asw de telle sorte queVEd < VRds soit vérifiée.
1
2 Rd ,max cw w cd V b z f α ν α ν α ν α ν =
cd wcw
w
ywd sw f b
sb
f A..
2
1.1
max,ν α ≤
ν1 = 0,6 pour fck 0,5 pour fck
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L’effort tranchant
Notion d’’effort tranchant réduit
VEd,r : Effort tranchant réduit
1/ Si la poutre est soumiseprincipalement à des chargesréparties, il n’y a pas lieu d’effectuer devérification à l’effort tranchant à unedistance au nu de l’appui < d
transmissions
d i r e c t e s
Ed V
nu , Ed V
eff L
n L
C. Buhé 17Béton armé
2/ Considérer cet effort tranchantréduit traduit qu’une partie descharges proches de l’appui esttransmise directement, véhiculées parla bielle d’about. Cela revient à écrêter
le diagramme d’effort tranchant sur ladistance d à partir du nu puisconsidérer un décalage de la courbeenveloppe d’effort tranchant de z cotθ
diagramme d'effort tranchant de calcul (sollicitant)
effort tranchant RDM
décalage: clause 6.2.3(5)
transmissions directes: clause 6.2.1(8)
Ed V
n L
1 a
eff L
d
nu , Ed V
r , Ed V
- p o u r d é t e r m i n e r l ' é p u r e d e s e s p a c e m e n t s
i i l i l i i l l
u
diagramme de chargement sollicitant la poutre
z cot θ θθ θ
d e s c o u r s d ' a r m a t u r e s d ' â m e
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L’effort tranchant
Répartition des armatures d’effort tranchant
1er espacement au voisinage de l’appui
Position de la première nappe / nu de l’appui
( )
Ed
yd
sw V
f d As
cossin9.0
1
+=
C. Buhé 18Béton armé
Répartition suivant la méthode de Caquot ou la méthode générale
=
2;70;
6supmin 10 smmhs
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L’effort tranchant
Répartition des armatures d’effort tranchant
Méthode de Caquot
S1reel fait partie de la suite de Caquot 7 8 9 10 11 13 16 20 25 3560 en cm et est défini par s
1précédent. s
2,s
3s
4 …suivent la suite de Caquot
On définit le nombre de répétition ns1 à l’entier supérieur de
On a en abscisse de cumul
réel
ss
sd n
1
01
−=
sns Abscisse +=
C. Buhé 19Béton armé
On définit le nombre de répétition pour s2, s3 s4 …
On a en abscisse de cumul
On cherche à atteindre le milieu de la poutre. On fait de même en partant del’autre extrémité
d ln eff
−=2
...432110 +++++= snsnsnsns Abscisse réelscumul
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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L’effort tranchant
Répartition des armatures d’effort tranchant
Méthode générale
s0 et s1 sont défini comme précédemment
Le nombre de répétition n est obtenu par1s
d n =
10 sns Abscissecumul +=
C. Buhé 20Béton armé
On recalcule l’effort tranchant à l’abscisse cumulée + si
On réitère pour faire la poutre entière
( )
Ed
yd
swi
icumulu Edeff Ed
V
df As
sabscissea pV V
)cos(sin9.0 α α +=
++−=
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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L’effort tranchant
Dispositions constructives relatives aux
armatures d’effort tranchant
Pourcentage minimum d’armature
Espacement maximal déduit du % minimal
yk
ck w
w
sww
f f
sb A 08.0
min, =≥= ρ ρ
C. Buhé 21Béton armé
Espacement longitudinal maximal
ond s
mmhsid s
l
l
sin75.0
2509.0
max,
max,
=
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PLAN
L’eurocode 2 et le matériau béton armé
Calculs à l’ELU
Principes et hypothèses Applications :Traction simple et Compression centrée
Calculs à l’ELS
C. Buhé 22Béton armé
Principes et hypothèses
Applications : Traction simple et Compression centrée
Flexion simple
Effort tranchant
Flexion composée
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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PLAN
Vérification du flambement et de l’élancement
La flexion composée à l’ELU
Section entièrement tendue Section partiellement tendue
Section entièrement comprimée
C. Buhé 23Béton armé
Dispositions constructives La flexion composée à l’ELS
Section entièrement tendue
Section partiellement tendue Section entièrement comprimée
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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La flexion composée
Définition
Une section est soumise à la flexion composée si elle subit:
Un effort normal N appliqué en son centre de gravité plus unmoment de flexion MG
Ou Un effort normal N excentré d’une uantité e ar ra ort à son
C. Buhé 24Béton armé
centre de gravité
M G0 = N.e 0
G
G0 h
eG0
N
N
e 0
M G0
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ELU La flexion composée
Comportement
5 cas de comportement possibles
Section entièrement tendue x
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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Section entièrement tendue
Sollicitations :Effort normal de traction NEdLe centre de traction C est situé entre les deux nappes d’armaturesPivot A : max11 ; σ σ ε ε == sud s
ELU La flexion composée
C. Buhé 26Béton armé
( )
( ) 2211
s2
121
2s1
*
*A
**A
saa
a
saa
a
ee
e N
eee N
σ
σ
+=
+=
Equilibre des forces
Equilibre des moments en As1
2211 ssss Ed A A N σ σ +=
( )212211 aassa As ee Ae N M +== σ
Solutionéconomique :avoir le centre degravité desarmatures en C
ELU L fl i é
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Section partiellement tendue
ELU La flexion composée
C. Buhé 27Béton armé
Passage par le pivot A ou pivot BEquilibre des forces
Equilibre des moments en As1
cd wssss Ed df b A A N σ σ Ψ+=+ 2211
( ) ( ) cd wgss A Ed As f d bd d Ae N M 2
2221 1 α δ α σ −Ψ+−==
max11 ; σ σ ε ε == sud s cd cc f == σ ε ;%5.3 0
11 ss A σ
As M
cd wssss df b A A α σ σ Ψ+= 2211
( ) ( ) cd wgss As f d bd d A M 2
222 1 α δ α σ −Ψ+−=
Equations de la flexion simple
ELU La flexion composée
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Section partiellement tendue
Technique de calcul
Calcul du moment MA, par rapport aux aciers tendus
En déduire par le calcul en flexion simple les sections As1 et As2 des armatures S’il faut des aciers comprimés : la section As2 est celle calculée Revenir à la flexion composée avec les sections d’aciers :
où N (Ned ou Nser) en valeur algébrique
AA N
−= ɺɺ
ELU La flexion composée
C. Buhé 28Béton armé
σs1 tat m te term nant pour e ca cu e s11sσ
Rq: Flexion-compression As1 < Äs1Flexion-traction As1 > Äs1si A
s1
< 0 x>d les aciers sont tous comprimés, l’assimilation à la flexionsimple n’est plus possible et tant qu’on a pas une section entièrement comprimée ,prévoir la section mini d’armature en FS
Rq: Si N est une compression, C est à l’opposée de As1; ea> e0• Si N est une traction, C et As1 sont du même coté / g0 ea < e0
ELU La flexion composée
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Section entièrement comprimée
Sollicitations :Effort normal de compression NedPivot C
cd
Ed cd c
bhf
N bhf N =ΨΨ= 11
ELU La flexion composée
C. Buhé 29Béton armé
h y =
Si Ψ1< 0.81 et e < 0.084 : ELU nonatteint, section entièrement comprimée
Si Ψ1< 0.81 et e >0.084 : sectionpartiellement tendue, ELU peut ne pasêtre atteint, il faut des aciersSi Ψ1> 0.81 et e < 0.084 : ELU atteint,section entièrement comprimée, il fautdes armatures
SiΨ
1> 0.81 et e >0.084: sectionpartiellement tendue, ELU atteint
∞→ y
Si Ψ1< 0.81section partiellement tendue
ou l’ELU n’est pas atteintSi Ψ1> 0.81section entièrementcompriméel’ELU est atteintIl faut des aciers comprimés
Si Ψ1> 1Section de béton insuffisante,il faut des aciers ou augmenterla section de bétonSi Ψ1< 1L’ELU peut ne pas être atteint,le béton est surabondant
cd c f
A vérifier
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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A vérifier
La flexion composée
Conditions supplémentaires à vérifier – dispositions constructives:
Section entièrement comprimée
c
yd
Ed A f
N )002,0;
.10,0max(A mins,
=
=
C. Buhé 30Béton armé
Section partiellement tendue
c.maxs,
( )[ ]ctmctmeff ct
ctmeff ct
t t
yk
eff ct
s
f f h f
requiden fissuratiosi f f
d bd b f
f A
;1000 / 6.1max
)0013.0;26.0max(
,
,
,
min
−=
=
=
ELS La flexion composée
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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Section partiellement tendue
)2 / ( hd ee
N
M e
ser a
ser
ser ser
−+=
=
ELS La flexion composée
Fs2
Fc
Fs1
Nser
C. Buhé 31Béton armé
Equilibre des forces
Thalès
cw
ssssser
yb A A N σ σ σ
22211 +=+
( )
( ) y yd
yd y
cs
cs
σ σ
σ σ
=−
=−
15
15
1
2
2 ( ) ( )
( )( )
−+=
−−+
−
=
−−
−+
215
32
15152
222
122
hd e N A
y
d d d y yd
yb
N A y
yd A
y
d y yb
ser ser cs
ser css
σ
σ
Equilibre des moments en As1
( ) ( ) cw
ssaser yd yb
d d Ae N σ σ 3 / 2
222 −+−=
ELS La flexion composée
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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Section partiellement tendue
( ) ( )
( )( )
−+=
−−+
−
=
−−
−+
2
15
32
15152
222
122
hd e N A
y
d d d y yd
yb
N A y
yd A
y
d y yb
ser ser cs
ser css
σ
σ
ELS La flexion composée
Fs2Fc
Fs1
Nser
2 équations, 2 inconnues
C. Buhé 32Béton armé
Inertie [ ]2
222
1
3
)()(153
d y A yd Aby I ser sser sser ser −+−+=
sser
ser
cser es
cser
ser
cser c
yd I
y N
y I
y N
σ α σ
σ σ
≤−=
≤=
)(
Vérification de l’ELS
Si la condition n’est pas
satisfaite, on dimensionne àl’ELS avec la méthode pourla flexion simple
1
1122
s
ser ssss
N A Aet A A
σ
−==
ELS La flexion composée
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33/35
Section entièrement comprimée
( ) csscser A Abh N σ σ 2115 ++=
ELS La flexion composée
Dimensionnement :On faittravailler le béton au maximum
Equilibre des forces
Equilibre des Moments / As1
C. Buhé 33Béton armé
( )
( )
21
2
2
15
15
2
s
c
cser s
c
cser ser
s
Abh N
A
d d
hd bh N M
A
−−
=
−
−−+
=
σ
σ
σ
σ
( )221522 d d Ah
d bhh
d N M cscser ser −+
−=
−+ σ σ
La flexion composée
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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Imperfection géométrique et effets du
second ordre
La flexion composée
Flexion avec Traction
Valeurs effectivement obtenues par les combinaisons d’actions
ELS : (M serG , N ser ) ou (N ser excentré de e ser = M serG / N ser ) ELU : (M uG , N u ) ou (N u excentré de e u = M uG / N u )
C. Buhé 34Béton armé
Flexion avec Compression Valeurs effectivement obtenues par les combinaisons d’actions
ELS : (M serG , N ser ) ou (N ser excentré de e ser = M serG / N ser ) ELU : Correction pour intégrer le risque de flambement
Correction dimensionnelleLes écarts sur les dimensions sont normalement intégrés dans lescoefficients partiels de sécurité relatifs aux matériaux
La flexion composée
8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2
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Imperfection géométrique et effets du
second ordre
p
Flexion avec Compression à l’ELU
l 0 : Longueur de flambement de la pièce = longueur efficaceh : hauteur totale de la section dans le plan de flexion
l: longueur libre de la pièce
0l
Les écarts sur les dimensions sont normalement intégrés dans les coefficientsartiels de sécurité relatifs aux matériaux.
010e eee i ∆++=
e i : excentricité additionnelle ∆e 0 : supplément d’excentricité
e o : excentricité du premier ordre
C. Buhé 35Béton armé
400i
Cas des voiles et poteaux isolés des structures contreventée
Cas des sections droites avec ferraillage symétrique 0EdEdEdG0 e*NMM ∆+=)30 / ;20max(e0 hmm=∆
Les effets du second ordre traduisent l’influence des déformations sur lemoment de flexion. Inutile de vérifier le flambement, on se contente d’une FCsous les sollicitations
0
0
000Ed ee N
M
ee N M N N i
i
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Excentricité du premier ordre à l’ELU