S.5-Mathematics Chapter

x A

B

y

O

S.5-Mathematics

Chapter.5

圓方程

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中華基督教會基智中學中五/圓方程/頁 2

A1. 坐標幾何重溫重要公式：

1. 距離公式

兩點 ),( aa yxA 和 ),( bb yxB 的距離是

22

abab yyxxAB

例子：若 )2,4(P 和 )8,12(Q ，則

2228412 PQ =10

2. 斜率公式

已知兩點 ),( aa yxA 和 ),( bb yxB ，則直線 AB的斜率( ABm )=

ab

ab

ABxx

yym

例子：若若 )2,4(A 和 )0,3(B ，則

21

2

43

20

ABm

3. 中點公式

已知兩點 ),( aa yxA 和 ),( bb yxB ，若 yxM , 是線段 AB的中間點，則

2

ba xxx

，

2

ba yyy

例子：若 yxM , 是圖中線段 AB的中間點，

則

52

28

32

51

y

x

5,3M 。


A2.直線方程(重溫) 已知一點和斜率已知兩點

L的方程：

)( 11 xxmyy

此公式稱為點斜式。

步驟1：計算L的斜率(m)

12

12

xx

yym

步驟2：利用左面的點斜式。

例子：右圖中， L穿過(0, -5)，而且斜率是 2，求它的方程。

L的方程： )0(2)5( xy

052

25

yx

xy

重要概念：

1. 平行線

若兩條直線互相平行，則它們的斜率相等。

即若 21 // LL ，則 21 mm 。

例如：在右圖中， 21 // LL 。若 21 m ，

則 212 mm .

2. 垂直線

若兩條斜率不等於零的直線互相垂直，則它們的斜率的積等於-1。

即若 21 LL ，則 121 mm 。

例如：在右圖中， 21 LL 。若2

12 m ，

則 12

11 m

21 m


B. 圓的方程(標準式) 標準式：若圓心== ),( kh

半徑== r

圓的方程—

222 )()( rkyhx

例1：求以(3,-2)為圓心，半徑為5的圓的方程。

答：該圓的方程 222 5))2(()3( yx

25)2()3( 22 yx

例2：求以原點為圓心，半徑為 7的圓的方程。

答：該圓的方程

222 7)0()0( yx

722 yx

例3：已知圓的方程是 16)2()5( 22 yx ，求該圓的圓心與半徑。

答： 16)2()5( 22 yx

222 4)2()]5([ yx

所以，圓的圓心=(-5, 2)

半徑=4

例4：已知圓心為(3, 2)。另外圓周上有一點(0,6)。求該圓的方程。

答：半徑 = 22 )62()03( = 5

圓的方程： 222 5)2()3( yx

25)2()3( 22 yx

代公式：

圓心座標 =3, ,

半徑

半徑，即係由圓心(3,2)至

圓周上一點(0,6)的距離。

死都要寫成：

“ + = “

咁 (乜乜,物物) ==圓心；

“某 d野” ==半徑


例5：已知(-6,1)及(6,17)為圓直徑上的兩個端點。

a) 求圓心，並由此求半徑

b) 求該圓的方程

答：a) 圓心 =

2

171,

2

66

= 9,0

半徑 = 22 )917()06( = 6436

= 10

b) 圓的方程：

222 10)9()0( yx

100)9( 22 yx

清 concept時間：

1. 25)2()3( 22 yx 的圓心是(-3, -2)，半徑是25。

是 / 否

2. 2733 22 yx 的圓心是(3, 3)，半徑是 27 。

是 / 否

練習時間：

3. 根據下列條件，求圓的方程：

a) 圓心為 )7,0(C 且半徑為 4。

b) 圓心為 )1,2( C 且 )3,2(A 為圓上的一點。

4. 求下列各圓的圓心坐標和半徑。(如有需要，答案以根式表示。)

a) 144)2()4( 22 yx

b) 1)2

1( 22 yx

c) 1522 yx

d) 4)1(2)1(2 22 yx

中點公式：


5. 已知圓方程 1625

22 yx

圓心 = _____________________ ；半徑 = _____________

6. 已知圓方程 4008464

22 yx

圓心 = _____________________ ；半徑 = _____________

7. 已知圓心為(6, 4)。另外圓周上有一點(2,1)。

a)

求該圓的半徑

b)

求該圓的方程

8. 已知(-6,1)及(6,17)為圓直徑上的兩個端點。

a)

求圓心，並由此求半徑

b)

求該圓的方程

功課：練習 5A- 1,2,3,4,13至 22, 25,26,27,31【數】( / 交)


C. 圓的方程(一般式)

圓的一般式為： 022 FEyDxyx

例6：求以(3,-2)為圓心，半徑為5的圓的方程，並以一般式表示。

答：方程為： 222 5)2()3( yx

01246

0254496

22

22

yxyx

yyxx

由一般式中求圓心和半徑的方法(配方法)

例7：求 02912822 yxyx 的圓心和半徑。

答：

但配方法會暴露自己的身份，所以都係用番公式啦：

公式：對於一般式 022 FEyDxyx

圓心 =

2,

2

ED 半徑 = F

ED

22

22

試下將例 7用公式做一次﹗

例8：求 02912822 yxyx 的圓心和半徑。

答：

用公式時，要小人一種情況(見下例)

例9：已知圓的方程為 02212822 22 yxyx ，求圓心及半徑。

答：方程： 02212822 22 yxyx

0116422 yxyx

圓心 =

2

6,

2

4 = 3,2

半徑 = 112

6

2

422

= 1194 = 2

先用標準式求圓方程，

再拆括號移項成一般式。

一般式係要同既系數

都係”1”，所以要先除 2

變番做一般式先。


下例有兩個方法處理，配方法和公式兩種：

例10：以標準式表示圓方程 0121622 yxyx

例11：已知圓 0422: 22 kyxyxC 通過 )1 ,1( P 。

a) 求 k 的值。

b) 求圓 C 的圓心坐標和半徑。

下例是『三點求圓』的方法，如非絕景，絕不輕用：

例12：a)有多少個圓通過A(0, 6) 和 B(9, 3)兩點？

b) 若圓 C 通過 O(0, 0)、A(0, 6) 和 B(9, 3) 三點，求圓 C 的方程。


練習時間：

9. 若圓心為(5, -3)，半徑為 2。求圓的方程，並以一般式表示。

10. 已知圓的方程為 0410422 yxyx ，求圓心及半徑。

11. 已知圓的方程為 016422 yxyx ，試以標準式表示之。

12. 現有一圓 08622 kyxyx 通過(1,7)。

a)

求 k的值。

b)

求該圓的圓心和半徑

c)

求該圓與 y軸的兩個交點。


13. 若圓 C 通過 O(0, 0)、A(8, 0) 和 B(7, 7) 三點，求圓 C 的方程。

14. 已知圓 0)48(2: 22 kykxyxC 通過 P(2, 4)。

a)求 k 的值。

b)求圓 C 的圓心坐標和半徑。(如有需要，答案以根式表示。)

c) 若 PQ 為圓 C 的一條直徑，求 Q 的坐標。

15. a) 以標準式寫出 078822 yxyx 。

b) 判斷 (7, 0) 是在圓的裡面還是外面。

功課：練習 5A- 5至 12, 23, 24, 28, 29, 30, 32, 33【數】( / 交)


D. 圓點我們要判斷某一點【例如 P(5,2)】在圓的外面/裡面/踩界，我們只需要把那一點

【例如 P(5,2)】，代入一般式的方程當中，由數值的正/負/零，就可以知道了。

在圓外在圓上在圓內

代入的結果

當然，你永遠可以藉計算 P點與圓心距離來判定 P點在圓的內/外/上。

例13：考慮圓 046422 yxyx ，判斷 )4,3( A 和 )2,2(B 相對於圓的位置。

答：把 )4,3( A 代入 46422 yxyx

15

42412169

446344322

)4,3( A 在圓內。

把 )2,2(B 代入 46422 yxyx

0

412844

426242222

)4,3( A 在圓上。

例14：考慮圓 01126: 22 yxyxC 。，判斷 )4,3( A 和 )2,2(B 相對於圓的位置。

a) 求證 )2,4( A 在圓C內。

b) 若弦PQ的中點為 A，

i) 求PQ的方程。 ii) 求PQ的長度(答案以根式表示。)

解：


練習時間：

16. 考慮圓方程 03361422 yxyx ，求以下各點相對於圓的位置：

a) )2,3(P b) )0,3(Q

c) )1,4( R d) )2,8(S

17. )3,4(P 是在圓 9)6()8( 22 yx 的那個位置？

18. )4,5(A 在圓 036)12(: 22 ykkxyxC 上。

a) 求 k的值。

a) 求證 )5,3(B 在圓C內。

b) 若弦PQ的中點為 B，

i) 求PQ的方程。 ii) 求PQ的長度。

功課：練習 5B- 1, 2, 3, 4, 9, 10, 23, 24【數】( / 交)


基礎複習題：(進入非基礎前，先重溫本章既基礎部分先)

19. 求圓心為(4, -3) 半徑為5的圓方程，並以,

a) 標準式表示

b) 一般式表示。

20. 求圓 225138

22 yx 的圓心和半徑。.

21. 求圓 016822 yxyx 的圓心和半徑。

22. 判斷下列各點相對於圓 01312622 yxyx 的位置。

a) P(2, 1) b) Q(0, -1)

c) R(-3, -4)


23. 若(8, -4) 和 (24, 6) 是圓直徑的兩個端點，求

a) 圓心 b) 半徑

c) 圓的方程(以一般式表示)

24. 若 )8,3( A 在圓 017222 kxyx 內，求 k值的範圍。

25. 若 )4,( kkB 在圓 048322 yxyx 上，求 B的座標。

由下一版開始，就係『非基礎』部分。

準備好你既『熊』心壯志未？

呢隻名叫『野心熊』既物體，係專門活躍於

非基礎的內容。見到佢既時候，請小心留神。

P.S. 切勿餵食野心熊，唔係佢會死跟住你。


E. 圓直線例15：圓C的圓心 )1,5( 且通過 )4,6( 。

a) 求C的方程。

b) 由此，求該圓與 x軸的交點座標。

圓與直線的交點，即是該兩條方程的聯立方程解：

cmxy

FEyDxyx 022

例16：求圓 042: 22 yyxC 與直線 12 xy 的交點坐標。

解：

例17：求圓 9)2()1(: 22 yxC 與直線 xy 210 的交點坐標。

解：

D:/e-books/高中數學新里程(中五)/S5_C09/images/C5091801_jpg.jpg



練習時間：

26. 求 012106: 22 yxyxC 與 y軸的交點座標。

27. 求圓 0392: 22 yyxC 與直線 0173 yx 的交點坐標。

28. 求圓 03410: 22 yxyxC 與直線 7 yx 的交點坐標。

29. 求圓心於 )4,6( ，半徑為5的圓，與 x軸相交的座標。(提示：有兩個處理方法)

功課：練習 5B- 11至 16, 22, 25, 26【數】( / 交)


圓與直線的交點數目(可由判別式就可以知道：)

兩個交點 ( 0 ) 一個交點 ( 0 ) 沒有交點 ( 0 )

例18：求 013102: 22 yxyxC 與 7: xyL 的交點數目。

答：

7

01310222

xy

yxyx

把 L 代入 C

0862

013701024914

013)7(102)7(

2

22

22

xx

xxxxx

xxxx

acb 42

0100

6436

82462

有兩個相交點

例19：若直線 kyx 34 為圓 0828: 22 yxyxC 的切線，求 k的值。

解：

例20：若直線 2 mxy 為圓 01612: 22 xyxC 的切線，求m的值。

解：

永遠都係將直線代入圓﹗

終於搵到條二次方程，

想知佢有幾多個解(即係

交點)，我們會用判別式。


例21：a) 求證圓 01382: 22 yxyxC 與直線 01: yxL 交於兩點。

b) 若M為交點的中點，求M的座標。

解：

練習時間：

30. 求 012106: 22 yxyxC 與 0: yL 的交點數目。

31. 求 0208: 22 yyxC 與 62: xyL 的交點數目。


32. 若 082: 22 yxyxC 與 mxyL : 只有一個交點，求m的值。

33. a) 求證圓 02561822: 22 yxyxC 與直線 093: yxL 交於兩點。

b) 若M為交點的中點，求M的座標。

圓與切線方程

切線特徵：

和圓相交只有一點

半徑和切線垂直

求切線方程的方法

求圓心，再計 OP的斜率，

一再求切線的斜率，

最後用點斜式求直線方程。

1

2

3


例22：已知 0788: 22 yxyxC 及 )1,0(A 為圓上的一點。

a) 求圓心O的座標及 OA的斜率，

b) 求於 A點切線的斜率 Lm ，

c) 求於 A點切線的方程 L。

答： a) 圓心 O

2,

2

ED

4,4

2

8,

2

8

OA的斜率 04

14

4

3

b) 1 OAL mm (垂直)

3

4

14

3

L

L

m

m

c) 切線方程： )0(3

41 xy

0334

433

yx

xy

例23：已知 )7,4(P 是圓 03964: 22 yxyxC 上的一點。切線L與該圓切於 )7,4(P 。

a) 求L的方程。

b) 若斜率為m的直線 1L 與 L交於 y軸，且與圓C只交於一點，

i) 以斜截式寫出 1L 的方程。 ii) 求 1L 的方程。





練習時間：

34. 已知 25)3()5(: 22 yxC 及 )1,2( P 。

a) 求C的圓心O b) 求 OP 的斜率

c) 求於P點之切線的斜率 d)求於 P點之切線的方程

35. 已知 )7,2(Q 是圓 084: 22 FyxyxC 上的一點。

a) 求F的值。

b) 求於Q點之切線的方程。

36. 已知圓 01010222 yxyx 。

a) 求證原點在圓外；

b) 求通過原點的切線方程。


Extras:

37. 圖中， OPQ 的內切圓與 PQ相切於 R。求 R的座標。

38. 圖中所示為兩個外切圓 1C 和 2C 。 1C 的圓心為 )5,1( ， 2C 的方程為 50)13()7( 22 yx 。

a) 求 1C 的方程。

b) 求由原點至 1C 的兩條切線的方程。

c) b)的其中一條切線與 2C 相交於兩個相異點 A和 B。求 AB的中點座標。




陳年舊事：

39. 某圓的方程為

0118422 yxyx 。下列何者

正確？

I. 該圓的圓心的坐標為 4,2 。

II. 該圓的半徑為 3。

III. 原點位於該圓以外。

A. 只有 I 及 II

B. 只有 I 及 III

C. 只有 II 及 III

D. I、II 及 III

40. 圖中，通過A (0, 8)及B (0, 2)的圓與正x

軸相切。該圓的方程為

A. 01610822 yxyx 。

B. 01610822 yxyx 。

C. 016101022 yxyx 。

D. 016101022 yxyx 。

41. 點 A 及點 B 的坐標分別為 a,2

及 7,b 。若 AB 的中點的坐標為

5,1 ，則 a

A. 0。

B. 3。

C. 4。

D. 17。

42. 設 a 為一常數。若圓

03622 yaxyx 通過點

3,2 ，則該圓的面積為

A. 8 。

B. 10 。

C. 16 。

D. 55 。

43. 圓 364 22

yx 與正x軸及正y軸分

別相交於A及B。求AB。

A. 30

B. 302

C. 34

D. 342

E.

44. 若 ( – 2, 3 ) 為 ( a, – 1 ) 與 ( 4, b )

的中點，則 b =

A. – 7。

B. 7。

C. – 8。

D. 8。

45. 若連結兩點 3,2 及 kk 1, 的線段的長

為4，則 k

A. 2。

B. 4。

C. 0或4。

D. – 2或2。

46. 圓C與y軸相交於A及B。若AB = 8且C的

圓心的坐標為（- 3, 5），則C的方程

為

A. 010622 yxyx 。

B. 010622 yxyx 。

C. 0910622 yxyx 。

D. 0910622 yxyx 。

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