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Modelo Estrutural e Forma ReduzidaProcessos Estocasticos Estacionarios
ErgodicidadeExemplo
Series Temporais e Modelos Dinamicos em
Econometria
Marcelo C. Medeiros
Departamento de Economia
Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro
Aula 2
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Modelo Estrutural e Forma ReduzidaProcessos Estocasticos Estacionarios
ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
O Modelo Estrutural
Seja zt = (z1t , . . . , zmt)′ ∈ R
m um vetor composto dasvariaveis de interesse.
Considere o seguinte modelo “estrutural”:
Bzt = A0 + A1zt−1 + . . . + Apzt−p + ut ,
Bzt = A0 + A(L)zt + ut ,
onde:B ∼ (m ×m), A0 ∼ (m × 1),A1 ∼ (m ×m), . . . ,Ap ∼ (m ×m) sao parametros;ut = (u1,t , . . . , um,t)
′ e um vetor composto pelos choques(efeitos nao-antecipados) estruturais eA(L) = A1L+ A2L
2 + · · ·+ ApLp ; L e o operador defasagem.
Em geral, os elementos da diagonal principal de B sao todosiguais a 1.
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Modelo Estrutural e Forma ReduzidaProcessos Estocasticos Estacionarios
ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Operador Defasagem
Definicao
Seja yt um processo estocastico. Defina o operador defasagem L
tal que:
Lyt = yt−1
Ljyt = yt−j ∀ j ∈ N.
Se |α| < 1, entao:
(1− αL)−1 = 1 + αL+ α2L2 + . . .
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Operador Diferenca
Definicao
Seja yt um processo estocastico. Defina o operador diferenca ∆tal que:
∆yt = (1− L)yt = yt − yt−1
∆jyt = (1− L)jyt ∀ j ∈ N+
∆jyt =(
1− Lj)
yt = yt − yt−j .
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
O Modelo Estrutural - Hipoteses
Algumas hipoteses importantes:
Seja Ft−1 o conjunto de toda a informacao disponıvel ate oinstante t − 1.E[ut |Ft−1] = 0 ⇒ ut e um processo diferenca martingal.E[utu
′
t |Ft−1] = Σu , onde Σu e uma matriz de covarianciadiagonal ⇒ Toda simultaneidade esta modelada via B.Na verdade, os parametros B,A0,A1, . . . ,Ap sao“pseudo”-estruturais, dado que eles sao funcoes dosparametros primitivos (deep) da economia (ver o exemplo deotimizacao intertemporal da Aula 1).
Atencao
Note que, devido a presenca de simultaneidade, E[uit |zjt ] 6= 0,∀ i 6= j e i = 1, . . . ,m.
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Processos Martingais
Considere a seguinte sequencia de σ-algebras
Ft , t = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .
de forma a representar o conjunto de informacao ate oinstante t.
Suponha tambem a seguinte ordenacao:
. . . ,Ft−2 ⊆ Ft−1 ⊆ Ft ⊆ Ft+1 ⊆ Ft+2, . . . .
O conhecimento se acumula ao longo do tempo!
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Processos Martingais
Considere tambem a sequencia aleatoria (processoestocastico) yt , t = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . tal queσ(yt , yt−1, . . .) ⊆ Ft .
Neste caso, yt e Ft -mensuravel e a sequencia yt e“adaptada” para Ft.
yt ,Ft e chamada de sequencia adaptada.
Mensurabilidade implica que a expectativa condicional existe(a condicao E[|yt |] < ∞ e suficiente). Portanto,E[yt |Ft ] = yt , a.s..
No entanto, E[yt |Ft−1], quando existir, e uma variavelaleatoria!
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Processos Martingais
Martingal
Uma sequencia adaptada yt ,Ft e chamada de martingal se paratodo instante t:
E[|yt |] < ∞ e
E[yt |Ft−1] = yt−1, a.s..
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Processos Martingais
Diferenca Martingal
Uma sequencia adaptada yt ,Ft e chamada de diferencamartingal se para todo instante t:
E[|yt |] < ∞ e
E[yt |Ft−1] = 0, a.s..
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DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Processos Martingais
Um Teorema Importante para Processos Martingais
Seja yt uma sequencia do tipo diferenca martingal (DM) egt−1 = g(yt−1, yt−2, . . .) uma funcao nao-linear mensuravel eintegravel de valores defasados da sequencia yt. Portanto,ytgt−1 tambem e uma sequencia do tipo diferenca martingal eyt e gt−1 sao variaveis aleatorias nao correlacionadas.
Prova: ytgt−1 sera uma sequencia DM dado queE(ytgt−1|Ft−1) = E(yt |Ft−1)gt−1 = 0 a.s.
Pela Lei das Expectativas Iteradas (LEI),
E(yt) = E[E(yt |Ft−1)] = E(0) = 0
E(ytgt−1) = E[gt−1E(yt |Ft−1)] = E(gt−1 · 0) = 0.
Portanto, C(gt−1, yt) = E(gt−1yt)− E(yt)E(gt−1) = 0− 0 = 0.
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DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
O Modelo Estrutural - Um Caso Particular
Suponha que zt = (yt , x′
t)′, onde yt ∈ R e xt ∈ R
m−1. Logo,[
1 b′yxbxy Bx
] [
ytxt
]
=
[
a0,ya0,x
]
+
[
a1,y a′1,yxa1,xy A1,x
] [
yt−1
xt−1
]
+ · · ·
+
[
ap,y a′p,yxap,xy Ap,x
] [
yt−p
xt−p
]
+
[
uy ,tux ,t
]
.
Neste caso,
yt = a0,y − b′yxxt +
p∑
i=1
(
ai ,yyt−i + a′i ,yxxt−i
)
+ uy ,t
yt = α0 +
p∑
i=0
β′
ixt−i +
p∑
i=1
αiyt−i + uy ,t
⇒ Modelo Auto-regressivo com defasagens distribuıdas.
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DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
A Forma Reduzida
Considere agora a forma reduzida (supondo que B sejainvertıvel):
zt = B−1A0 + B−1A1zt−1 + . . .+ B−1Apzt−p + B−1ut ,
zt = C0 + C1zt−1 + . . .+ Cpzt−p + vt ,
zt = C0 + C(L)zt + vt ,
⇒ Modelo Auto-regressivo Vetorial de ordem p – VAR(p)
onde:
C0 ∼ (m × 1), C1 ∼ (m ×m), . . . ,Cp ∼ (m ×m) sao novosparametros;vt e um vetor de erros (que sao combinacoes lineares doschoques estruturais) eC(L) = C1L+ C2L
2 + · · ·+ CpLp .
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Funcao de Resposta ao Impulso
Em geral, estamos interessados no efeito causal dinamico
∂zt+h
∂uj ,t, j = 1, . . . ,m , h = 0, 1, 2, . . . .
Para isto precisamos conhecer B!
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Funcao de Resposta ao Impulso
Considere p = 1 e escreva
zt = C0 + C1zt−1 + vt ⇒ VAR(1).
Portanto,
zt = C0 + C1zt−1 + vt
zt+1 = C0 (I+ C1) + C21zt−1 + C1vt + vt+1
zt+2 = C0
(
I+ C1 + C21
)
+ C31zt−1 + C2
1vt + C1vt+1 + vt+2
...
zt+h = C0
h∑
i=0
Ci1 + Ch+1
1 zt−1 +
h∑
i=0
Ci1vt+h−i .
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Funcao de Resposta ao Impulso
Mas vt = B−1ut . Logo,
zt+h = C0
h∑
i=0
Ci1 + Ch+1
1 zt−1 +h
∑
i=0
Ci1B
−1ut+h−i
zt+h = C0
h∑
i=0
Ci1 + Ch+1
1 zt−1 +
h∑
i=0
Φiut+h−i ,
onde
Φi =
φ11,i · · · φ1m,i
......
...φm1,i · · · φmm,i
.
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ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Funcao de Resposta ao Impulso
A quantidade de interesse e
∂zj ,t+h
∂uk,t= φjk,h ⇒ Resposta impulsional!
A sequencia
∂zj,t+h
∂uk,t
∞
h=0e chamada de
Funcao de Resposta ao Impulso (FRI).
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Modelo Estrutural e Forma ReduzidaProcessos Estocasticos Estacionarios
ErgodicidadeExemplo
DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso
Funcao de Resposta ao Impulso
Qual e o formato esperado da FRI?
Vai depender da dinamica do processo estocastico vetorial zt .Mais precisamente, o formato da FRI vai depender de umapropriedade chamada de estacionariedade.Mas o que e estacionariedade e quais sao as condicoes paraque zt seja um processo estacionario?
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ErgodicidadeExemplo
Processos Estocasticos Estacionarios
Estacionariedade Fraca
Um processo estocastico yt e dito fracamente estacionario (ouestacionario de segunda ordem, ou ainda estacionario em
covariancia) se, e somente se, os dois primeiros momentos de ytexistirem e forem constantes ao longo do tempo, ou seja:
E[yt ] = µ, |µ| < ∞, ∀ t ∈ T e
E[(yt − µ)(yt−h − µ)] = γh, |γh| < ∞, ∀ t ∈ T e h = 0,±1,±2, . . .
Estacionariedade implica que γ−h = γh.
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ErgodicidadeExemplo
Processos Estocasticos Estacionarios
Estacionariedade Forte
Um processo estocastico yt e dito fortemente estacionario (ouestacionario no sentido estrito) se, e somente se, a distribuicaoconjunta de (y1, y2, . . . , yT ) for invariante com relacao atranslacoes temporais, ou seja,
F (y1, y2, . . . , yT ) = F (y1+τ , y2+τ , . . . , yT+τ ), ∀ τ.
Pontos importantes:
distribuicao conjunta e constante ao longo do tempo eestacionariedade forte implica que todos momentos existentessejam constantes ao longo do tempo.
No entanto, estacionariedade forte nao implica emestacionaridade fraca! Exemplo: variaveis Cauchy.
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Modelo Estrutural e Forma ReduzidaProcessos Estocasticos Estacionarios
ErgodicidadeExemplo
Ergodicidade
Ergodicidade e uma propriedade referente a relacao entre amedia temporal de um processo estocastico calculada a partirde uma realizacao temporal (serie temporal).
Ergodicidade
Seja yt(ω), ω ∈ Ω, t ∈ T um processo estocastico fracamenteestacionario, tal que E[yt(ω)] = µ < ∞ e
E
[yt(ω)− µ]2
= γ0 < ∞, ∀ t ∈ T e yT = 1T
∑Tt=1 yt (media
amostral). Se o processo yt for ergodico para media, entao
yTp
−→ µ, T −→ ∞.
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ErgodicidadeExemplo
Blanchard e Perotti - QJE (2002)
An Empirical Characterization Of The Dynamic Effects Of
Changes In Government Spending And Taxes On Output.
VAR com tres variaveis timestrais - impostos (Tt), gastos dogoverno (Gt) e PIB (Xt):
zt = C(L)zt−1 + vt ,
onde zt = (Tt ,Gt ,Xt)′ e vt = (tt , gt , xt).
Forma reduzida x forma estrutural:
tt = a1xt + a2egt + ett ,
gt = b1xt + b2ett + e
gt ,
xt = c1tt + c2gt + ext ,
onde ett , egt e ext sao choques estruturais.
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