SÔÛ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021

KHÓA NGÀY 16/7/2020

Môn thi chuyên : TOÁN; Ngày thi: 17/7/2020

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. ( điểm)

Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện

Tính giá trị của biểu thức

Câu 2. ( điểm)

a)

Giải phương trình:

b)

Giải hệ phương trình:

Câu 3. ( điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh rằng các đường thẳng qua , lần lượt vuông góc với đồng quy.

Câu 4. ( điểm)

a)

Cho 2 số thực . Chứng minh rằng:

b)

Cho hai số dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 5. ( điểm)

Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại Kẻ đường kính của đường tròn . Gọi là đường thẳng qua song song với Đường thẳng cắt lần lượt tại

a)

Chứng minh: thẳng hàng.

b)

cắt lần lượt tại . Chứng minh:

Câu 6. ( điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

HẾT.

ĐÁP ÁN

Câu 1. ( điểm)

Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện .

Tính giá trị của biểu thức: .

Giải.

Câu 2. ( điểm)

a)

Giải phương trình:

Giải.

TH1: (không thỏa (*)) (0,25)

TH2:

(*) (0,25)

Từ (*) và (**) suy ra (0,25)

Thử lại ta được hai nghiệm: (0,25)

b)

Giải hệ phương trình :

Giải.

(0,25)

(0,25)

Giải (I):

(0,5)

Giải (II):

(0,5)

Câu 3. ( điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Các điểm được xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng qua , lần lượt vuông góc với đồng quy.

Giải.

Gọi là giao điểm các đường thẳng .

Ta có là hình bình hành (0,25)

Mặt khác là hình thang cân (0,25)

Từ đó suy ra

là trung trực của (0,5)

Chứng minh tương tự ta có , (0,25)

Suy ra đồng quy. (0,25)

Câu 4. ( điểm)

a) Cho 2 số thực . Chứng minh rằng:

Giải.

(0,5)

(Đúng với mọi ) (0,5)

b) Cho hai số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có:

(0,25)

(0,25)

Mà (vì ) (0,25)

Do đó:

Dấu xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là khi (0,25)

Cách 2 : Do và

Do đó : (0,25)

(0,25)

(0,25)

Do đó

Dấu xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là khi (0,25)

Câu 5. ( điểm)

Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại Kẻ đường kính của đường tròn . Gọi là đường thẳng qua song song với Đường thẳng cắt lần lượt tại

a) Chứng minh: thẳng hàng.

b) cắt lần lượt tại . Chứng minh:

Giải.

a)

Chứng minh rằng : thẳng hàng.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và

Mà (cùng chắn cung ) và (so le trong)

Suy ra cân tại (0,25)

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó:

Ta có : ( cân tại ) và ( cân tại ) (0,25)

Mà (so le trong) (0,25)

thẳng hàng. (0,25)b) Gọi là giao điểm của và đường thẳng .

Chứng minh tương tự câu a ) ta được

Suy ra (1) (0,25)

Vì song song nên (2)(0,5)

Từ (1) và (2), suy ra (0,25)

Câu 6. ( điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

Giải.

tồn tại sao cho (0,25)

+) nếu thì và (loại)

+) nếu thì (0,5)

Thử lại ta được thỏa mãn phương trình. (0,25)

abc

,,

d

A

BC

.

JD

d

,

BC

L

,

H

.

E

,

F

,

2020

abc

bccaab

++=

+++

L

JAJF

,

BC

MK

,

MHMK

.

=

1,0

x

,

y

x

y

3

31

-=

1,0

(

)

222

:

abc

Pabc

bccaab

æö

÷

ç

÷

=++++

ç

÷

ç

÷

ç

+++

èø

abc

,,

abc

bccaab

2020

++=

+++

(

)

abc

Pabc

bccaab

222

:

æö

÷

ç

÷

=++++

ç

÷

ç

÷

ç

+++

èø

(

)

abc

Pabcabcabc

bccaab

222

():

æö

÷

ç

÷

=+++++-++++

ç

÷

ç

÷

ç

+++

èø

aabcbabccabc

abcabc

bccaab

()()()

():()(0,5)

éù

++++++

êú

=++-++++

êú

+++

ëû

abcabcabc

2020()():()2019(0,5)

éù

=++-++++=

êú

ëû

2,5

xxxxx

22

29214(*)

+++-+=+

xxxxx

22

29214

++=-+Û=-

2,5

xxxx

22

2921

++¹-+

(

)

xxxxxx

22

28(4)2921

Û+=+++--+

xxxx

22

29212(**)

Û++--+=

xxx

2

2296

++=+

xxxx

22

84361236

Þ++=++

xxxx

2

8

7800

7

Þ-=Þ=Ú=

xx

8

0

7

=Ú=

yxyxx

yxxx

22

232

2861

81

ì

ï

-=-+

ï

ï

í

ï

=+-+

ï

ï

î

yxyxxxyx

yxxxyxxx

2222

232232

2861()(31)

8181

ìì

ïï

-=-+-=-

ïï

ïï

Û

íí

ïï

=+-+=+-+

ïï

ïï

îî

22

29214

xxxxx

+++-+=+

xyxxyx

yxxxyxxx

232232

3131

(I)(II)

8181

ìì

ïï

-=--=-+

ïï

ïï

ÛÚ

íí

ïï

=+-+=+-+

ïï

ïï

îî

xyxyx

yxxxxxxx

232232

3112

81(12)81

ìì

ïï

-=-=-

ïï

ïï

Û

íí

ïï

=+-+-=+-+

ïï

ïï

îî

yx

xxx

yyy

xxx

32

12

013

137

430

ì

ììì

ï

ïïï

=-

==-=-

ï

ïïï

ï

ÛÛÚÚ

íííí

ïïïï

===

++=

ïïïï

îîî

ï

î

xyxyx

yxxxxxxx

232232

3141

81(41)81

ìì

ïï

-=-+=-

ïï

ïï

Û

íí

ïï

=+-+-=+-+

ïï

ïï

îî

yx

xxx

yyy

xxx

32

41

017

1327

870

ì

ììì

ï

ïïï

=-

===

ï

ïïï

ï

ÛÛÚÚ

íííí

ïïïï

=-==

-+=

ïïïï

îîî

ï

î

1,5

ABC

ABBCCA

()

<<

O

()

A

22

232

2861

81

yxyxx

yxxx

ì

ï

-=-+

ï

ï

í

ï

=+-+

ï

ï

î

BC

O

()

A

1

BC

11

,

A

1

BC

11

,

BCCAAB

,,

H

G

I

A1

B1

C1

C

A

B

IHG

,,

AABBCC

111

,,

AIBC

1,5

IABCIBAC

,

==

ABCC

1

ACBCBCAC

11

,

==

AIACBIBC

11

,

==

AB

IC

1

ICGH

1

^

GAIH

1

^

HBIG

1

^

GAHBIC

111

,,

ABC

2,0

ab

,

abab

ab

ab

222

22

()

2

2

+-

³+

++

abab

ab

ab

222

22

()

2

2

+-

³+

++

ab

ab

2

22

11

()0

2

2

éù

êú

Û--³

êú

++

ëû

abab

ab

222

22

()()

0

2(2)

-+

Û³

++

ab

,

ab

,

ab

3

+£

Qba

ab

207

=-++

ABBCCA

()

<<

aa

aa

2020

525.20

+³=

bb

bb

77

727.14

+³=

ab

6618

--³-

ab

3

+£

Qba

ab

207

16

=-++³

""

=

Û

ab

2;1

==

16

ab

2;1

==

O

()

ab

,0

>

ab

3

+£

Þ

ab

ab

2020

30

3

-³-Ù³>

-

Qbbb

bbbb

207207

235(3)718

33

³-++=+-++-

--

b

b

20

5(3)2.10020

3

+-³=

-

b

b

7

72.4914

+³=

Q

20141816

³+-=

""

=

Û

A

b

1

=

Þ

a

2

=

16

ab

2;1

==

2,0

I

()

ABC

AB

,

BC

,

BC

CA

D

,

E

,

F

.

EJ

I

()

d

A

BC

.

JD

O

()

d

,

BC

L

,

H

.

E

,

F

,

L

d

N

L

M

H

D

K

J

E

F

I

B

C

A

JAJF

,

BC

1

A

MK

,

MHMK

.

=

EFL

,,

·

o

JDE

90

=

·

o

JEH

90

=

Þ

·

·

JEDJHE

=

·

·

JEDADL

=

JD

·

·

JHEALD

=

B

·

·

ALDADL

=

Þ

ADL

D

A

Þ

ALAD

=

ADAF

=

ALADAF

==

·

·

o

FAL

AFL

180

2

-

=

AFL

D

AC

·

·

o

FCE

CFE

180

2

-

=

EFC

D

C

·

·

LAFFCE

=

Þ

·

·

AFLCFE

=

Þ

LFE

,,

N

JK

d

ANAFAD

==

ANAL

=

d

HK

B

1

NAJA

MKJM

LAJA

MHJM

ì

ï

ï

=

ï

ï

ï

í

ï

ï

=

ï

ï

ï

î

Þ

NALA

MKMH

=

MHMK

=

1,0

xy

,

x

y

3

31

-=

x

y

3

31

-=

(

)

(

)

x

yyy

2

311

Þ=+-+

Þ

C

mnN

,

Î

m

n

y

yy

mnx

2

13

13

ì

ï

+=

ï

ï

ï

-+=

í

ï

ï

+=

ï

ï

î

m

mmn

y

mnx

31

93.333

ì

ï

=-

ï

ï

ï

Û-+=

í

ï

ï

+=

ï

ï

î

m

0

=

y

0

=

x

0

=

m

0

>

mm

mm

93.333

93.33

-+

-+

M

M

n

n

33

93

ì

ï

ï

ï

Þ

í

ï

ï

ï

î

M

M

n

1

9

ì

ï

ï

ï

Þ=

í

ï

ï

ï

î

ymx

212

Þ=Þ=Þ=

xy

2,2

==

AB

C

1

A

1

B

1

,

C

1

BC

,

CA

,

AB

2,0

a

,

b

222

22

()

2

2

abab

ab

ab

+-

³+

++

ab

,

ab

3

+£

Qba

ab

207

=-++

2,0

1,0

I

()

ABC

AB

,

BC

,

CA

D

,

E

,

F

.

EJ

I

()