S E Guia de Ejercicio2

7/30/2019 S E Guia de Ejercicio2

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TAREA - 2

CADENAS MARKOVIANAS

SISTEMAS ESTOCASTICOS

1. Si repetitivamente se lanza una moneda con probabilidad p de caer cara y se cuenta el

número de caras resultantes de las tiradas sucesivas. Si se comienza con 0 y sea Tn=número de veces que hay que tirar la moneda para alcanzar n caras ¿Cuál es ladistribución de probabilidades de Tn?

2. Si la máquina automática de venta de refresco tiene una probabilidad δ = 0,2 de fallar el próximo día y una probabilidad γ de reparase el próximo día. Si se observa que el díaLunes la máquina esta bien:

3. ¿Cuál es la probabilidad que la máquina permanezca trabajando sin fallar los díasmartes, miércoles y jueves. ¿Cuál es la probabilidad de que falle el jueves?

4. Un juego independiente se puede ganar con p= 18/38 se repite sucesivamente hasta quealgún jugador obtiene tres triunfos sucesivos y gana. Si el jugador ha ganado 2 juegosconsecutivos¿Cuál es la probabilidad de ganar el pozo en las próximas 5 jugadas?

5. Para el juego anterior, si se gana con 4 juegos sucesivos1. Dibuje el diagrama de transición del juego2. So p= 18/38 y el juego lleva 3 éxitos sucesivos ¿Cuál es la probabilidad de que

gane el pozo en las próximas 5 tiradas?

6. Un experimento consiste en tirar 2 monedas balanceadas y contar el número de carasobtenido. Se repite sucesivamente el juego en forma independiente modele lo medianteuna cadena de Markov y dibuje su diagrama de transición de estado para el número desus caras.

7. Un juego que se puede ganar con probabilidad p, se repite sucesivamente en formaindependiente por un jugador. Si las apuestas son múltiplos de $ 1 y el pago es doble onada. Bajo el supuesto que el jugador sigue la estrategia del doblete económico hastaalcanzar $ 7.

a. Dibuje el diagrama de transición del juego b. Calcule las probabilidades de obtener $ 7 en a lo mas 6 juegos3. Calcule la probabilidad eventual de obtener $ 7

8. Para el juego del problema 2 sean x e y los estados de la máquina automática derefrescos entre los días Martes y Miércoles sucesivos. si se supone que el lunes estabafuncionando bien.

a. Calcule la probabilidades de la distribución conjunta de x e y. b. Calcule las distribuciones marginales de la densidad de probabilidades de x e y,

¿Son independientes? ¿Son idénticamente distribuidas?

9. Modifique el problema de la máquina automática de servicios de la siguiente manera.Suponga que la probabilidad de que la máquina este trabajando cualquier solo depende



del estado de la máquina en los dos último días. Específicamente suponga queP[ X(n+1) = k/ X(n-1) = l y X(n) = j ) = qjk sea además qoo= ¾ , q1o = 4/5 y qo1= 2/3

a. Demuestre que X(n) no es una cadena de Markov b. Defina un nueva variable de estados para este modelo tomando los pares de

estados binarios (jk) se dirá que la maquina esta en el día n-1 en j estará el día n

en k. Demuestre que en el nuevo espacio se trata de una cadena de Markov,dibuje su diagrama de transición de estado.c. Si la máquina esta trabajando el lunes y el martes ¿Cuál es la probabilidad que

este trabajando el día jueves?

10. Compare los juegos del doblete y de la ruleta si en ambas se juega con fichas de $ 1 osus múltiplos solamente y existe una probabilidad p de ganar cada juego. Sea B6 (p) yT6 (p) la probabilidad de ganar $5 en a lo mas 6 juegos para el doblete y la ruleta.

4. Calcule B6(p)/T6(p) para p = 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; y 0,75. ¿como es el cuociente de a?

11. Dado el siguiente modelo genético. Cada gen esta hecho de 3 subgenes que pueden ser normales o anormales. Se dice que el gen esta en estado i si contiene i subgenesnormales. Cuando N genes ese replican dando origen primer 2N genes se forma unnuevo gene seleccionado al azar N subgenes de los 2Ngenes. Si se supone que unsurgen normal da origen a un surgen normal y un surgen anormal en uno anormal. el gendel estado i duplica en 2 i subvienes normales y 2N- 2i subvienes anormales. Obtenga la probabilidad que el nuevo gen este en el estado j y que contengas j subgenes normalessea

Pij =

)2(

))

22)(

2(

N N

j N

i N

j

i

−

−

∑ =1 Pij

Para N=3 dibuje el diagrama de transición de estado y escriba la matriz estocástica

12. Para un modelo de inventario caracterizado por:D(n) = Demanda aleatoria en el periodo nX(n) = Cantidad total en inventario

Si al comienzo del día n+1 el inventario será

X(n+1)= snSiDn DT

snSiX n Dn X

≤++−

≥−

)1()1(

)()()([

Se ordena llenar el inventario T si X(n) s≤ Si la demanda D(n) = [1

0Si T= 2 y S=-1

Dibuje el diagrama de transición de estado y formule la matriz estocástica de esta cadena13. Si se tira una moneda balanceada repetitivamente.

i. ¿Cuál es el valor esperado de los ellos que aparecen antes de que ocurran3 caras sucesivas?

ii. Cuantos lanzamientos esperados ocurrirán hasta que ocurran tres carassucesivas?



iii. Si el primer lanzamiento resulta cara ¿Cuál es la nueva respuesta de a?iv. Si la primera lanzada resulta cara cuántos lanzamientos se esperan hasta

la ocurrencia de 3 caras sucesivas

14. Considere el juego del doblete, para el:

i. Clasifique los estados y escriba la matriz de transición de estados enforma estándar.ii. Muestre que la matriz Q satisface Q4 = P2 Q2 use esto para calcular (I-

Q)-1

iii. Calcule el largo esperado del juego si parte si parte del estado 1iv. Calcule la probabilidad de ganar el juego con N05 si comienza de 1

15. Considere el juego de la ruleta con N= 5i. Escriba la matriz de transición de estado en forma estándar

ii. Calcule la matriz (I-Q)-1 para p= 0,3 y p= 0,7iii. Calcule las probabilidades de ganar y el promedio esperado de duración

de l juego para p=0,3 y P= 0,4 si se parte de 1

16. En el ejercicio 9 sea B(p) y T(p) respectivamente la probabilidad de ganar el juego( alcanzar 5 ) siguiendo la estrategia del doblete o d la ruleta con fichas de $ 1.

i. Calcule B(p) /T(p) para p= 0,3 y = 0,4ii. Existe alguna contradicción entre los resultados de este problema y el 9

17. Suponga usted administra una máquina de venta de café que genera ganancias diarias promedio de $ 200. Cuando la máquina esta funcionando, Si la tasa de falla δ = 0,2. Siuna empresa de reparaciones ofrece un servicio de mantención de probabilidad γ dereparar en un día la falla. Si el costo del servicio es de $ 10(1-γ) por día.

¿Que valor de γ optimiza la ganancia neta de la máquina?

a. Considere un ratón ubicado en un tablero con 9 compartimentos dispuestos d lasiguiente forma

1 2 34 5 67 8 9

El ratón se mueve de un compartimento a otro en forma aleatoria, sitiene k compartimentos contiguos escoge uno de ellos con probabilidad 1/k. Sea Xnel número de compartimiento en que se encuentra el ratón después de la movidanúmero n. Obtenga la matriz de transiciones de estado

18. Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentarse en un juego en queen cada oportunidad cada jugador lanza una de sus monedas. Si ambas coinciden, ganaJuan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario gana Pedro. El juegotermina cuando uno de los jugadores se queda con las 4 monedas.

a. Obtenga la distribución de probabilidades del número de jugadas necesarias para que Juan logre 3 monedas por primera vez.



b. Explique cómo obtendría la distribución de probabilidades del número de jugadas para el término del juego.

19. Suponga que las ventas semanales de un cierto producto pueden ser descrita como unaCadena de Markov discreta. Suponga que estas oscilan entre 2 y 8 unidades. La matrizde probabilidades de transición es la siguiente:

2 3 4 5 6 7 82 0,6 0.4 0 0 0 0 03 0 1 0 0 0 0 04 0 0 0 1 0 0 05 0 0 0.8 0.2 0 0 06 0 0 0 0 0,4 0,6 07 0,5 0 0.3 0 0 0 0,28 0 0,4 0 0 0,6 0 0

1. ¿Existe distribución límite estacionaria? Justifique2. Suponga que las ventas semanales pueden clasificarse en Bajas (2,3) medias(4,5) o altas (6, 7,8) y suponga que durante la primera semana se vendieronseis unidades. ¿Cuales son las probabilidades, en el largo plazo, de que lasventas en una semana cualquiera sean bajas, Medias o altas?

3. Cuanto tiempo transcurre en promedio entre dos semanas con ventas iguales a2 unidades? ¿Cual es la distribución de probabilidades de ese tiempo?

20. Considere la Cadena de Markov con la siguiente matriz de transición de probabilidades.

1 2 3 4 5 6 71 ½ 0 ½ 0 0 0 02 1/3 0 0 2/3 0 0 03 0 0 1/3 0 2/3 0 04 ¼ ¼ 0 ¼ 0 ¼ 05 1/3 0 1/3 0 1/3 0 06 0 0 0 0 0 1/3 2/37 0 0 0 0 0 2/3 1/3

a. Calcule P(2:4) y P(4:j) con j = 1;3;5; 7

b. Calcule Lim f(n) n → ∞ ¿depende de f (0)?

21. Considere una Cadena de Markov con la siguiente matriz de transición instantánea deestado.

0,8 0 0 0 0 0,2 00 0 0 0 1 0 0



0,1 0 0,9 0 0 0 00 0 0 0,5 0 0 0,50 0,3 0 0 0,7 0 00 0 1 0 0 0 00 0,5 0 0 0 0,5 0

1. Determine las clases de estados y clasifique los estados en transientes,recurrentes y determine si son aperíodicos o periódicos y el periodo.

2. Analice el problema de la existencia de una distribución límite.3. ¿Cuál es la probabilidad de que si el sistema parte del estado 7 se llegue

alguna vez al estado 6 y al 5?4. Suponga que el sistema parte del estado 1 ¿que tiempo transiciones promedios

le toma volver al estado 1?5. Obtenga P(6;i) y P(6,3)

22. la Corporación de Educación Municipal de una cierta comuna está encargada de la gestión

educacional de 100 colegios de enseñanza básica. Esta Corporación debe escoger una políticade asignación de recursos a actividades de supervisión y apoyo pedagógicos as los colegios.Para evaluar la efectividad de su política cuenta con los resultados del SIMCE que anualmenteaplica el Ministerio de educación Este programa mide el logro de los programas oficiales paralos distintos niveles de Educación Básica. Esto permite obtener el promedio de logro deobjetivos por nivel y colegio para todas la asignaturas evaluadas Si el resultado obtenido por uncolegio puede clasificarse en; Malo < ·0, Regular entre (30 a 50) y Bueno > 50 y Excelente >70. Suponga que los resultados obtenidos por un colegio en el SIMCE del próximo año solodependen del resultado del SIMCE actual y de la supervisión del colegio por la Municipalidad.Si los colegios no reciben ninguna supervisión sus resultados los próximos años quedarándefinidos por la siguientes transiciones, instantánea

Próximo añoEste año Resultado Actual M R B EM 0,3 0,6 0,3 0,1 0R 0,45 0,3 0,4 0,2 0,1B 0,12 0,1 0,3 0,4 0,2E 0,13 0,1 0,2 0,4 0,3

La Corporación Municipal dispone de $ 70.000.000 para gastar en supervisión. El costo

de dar supervisión a un colegio con resultado actual M alcanza a $ 3.000.000 en losotros casos alcanza a $ 2.000.000 anuales por colegio.Se desea determinar la política óptima de asignación de recursos para la supervisión enla que se especifique el porcentaje de colegio de cada categoría de resultados querecibieran recursos para supervisión.Si los colegios reciben supervisión sus resultados SIMCE del próximo año se pueden predecir por la siguiente matriz de transición instantánea

PROXIMO AÑO



Este año M R B EM 0,4 0,5 0,1 0R 0,2 0,4 0,3 0,1B 0,1 0,3 0,3 0,3E 0 0,3 0,3 0,4

1. Formule un modelo que permita obtener la política de asignación optima derecursos (maximizar colegios con resultados R o B). ¿Como cambiaría elmodelo si quiere minibar la cantidad de colegio con resultados M?

2. Suponga que quiere escoger una política tima valedera para un horizonte largo oestacionario. Formule un modelo que le permita minibar el número de colegioscon resultados M en el largo plazo.

23: Una Empresa debe decidir el tamaño de su aviso de publicidad en la edición dominical delmercurio. Hay dos alternativas: Un aviso pequeño con un costo anual de $ 100.000 y un avisogrande con un costo anula de $ 300.000 : Las ventas semanales de la empresa pueden

clasificarse en Altas con un ingreso neto ( no considera gastos de avisos) de $ 1.000.000 semanalcon un ingreso neto semanal de $ 800.000 o Bajas con un ingreso neto semanal de $ 500.000Se sabe que las ventas de una semana dependen de las ventas de la semana anterior y del tamañodel aviso en función de las siguientes probabilidades:

AVISO PEQUEÑO AVISO GRANDEVentas semanaPasada

Ventas semanaactualA M B A M B

A 0,2 0,5 0,3 0,6 0,3 0,1M 0,1 0,5 0,4 0,4 0,5 0,1

B 0,1 0,3 0,6 0,2 0,7 0,1

Suponga se desea analizar la siguiente política: si las ventas durante la semana pasada fueron bajas publicar un aviso grande. Formule como una cadena de markov y analice la política.

24. Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glóbulo rojo. Después de unacantidad de tiempo el glóbulo rojo muere y es reemplazado por dos glóbulos rojos nuevos o2 glóbulos blancos nuevo. Las probabilidades de estos eventos son ¼ y ¾ respectivamente.Subsecuentemente cada glóbulo rojo se reproduce de la misma manera y cada glóbulo blanco muere sin reproducirse en una unidad de tiempo. Formule un modelo que le permitacalcular la probabilidad de la extinción del cultivo.

25. Considere un sistema de atención al que llegan personas de acuerdo aun proceso dePoisson de tasa λ: Los tiempos de atención de las personas son variables independientes eidénticamente distribuidas de distribución F continua. Suponga que se observa el procesocada vez que sale un cliente del sistema. Sea Xn = Nª de personas en el sistema a la salidadel cliente Nª - ¿Es Xn una cadena de Markov? ¿Que sucede si observamos el sistema a lallegada de cada cliente?

26. La empresa Car Rental se dedica a arrendar autos para el uso diario y tiene oficinas enSantiago y en Viña. Una de las secciones de la empresa esta destinada exclusivamente a



arrendar autos para viajes entre ambas ciudades. En este caso una persona que arriende elauto en una de estas ciudades debe devolverlo en las oficinas de la otra antes de la 8AM delDIA siguiente. Si los clientes llegan diariamente a arrendar en Santiago tiene unadistribución Poisson con media α y en Viña Poisson con media β. y esta sección de laempresa tiene N autos que al comienzo de cada semana están asignados a alguna de estas

oficinas.Formule un modelo de una cadena Markoviana que permita asignar los vehículos alcomienzo de la semana de manera de minimizar el número de clientes esperando autos en ambasciudades (considere una semana = 6 días hábiles).

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