tangenten 1/2005 1

Godt nyttår til alle dere som leser TANGEN-

TEN. Det er kjekt å vite at det er langt over

3000 abonnenter nå som leser bladet. Like

kjekt er det å se at vi også har mange engasjerte

lesere som sender stoff til oss og som også påtar

seg skriveoppgaver når redaksjonen ber om

det. Vi kan være stolte av en slik dugnadsånd

og et slikt felleskap.

I desember skylte en ny bølge med resultater

fra PISA- og TIMSS-undersøkelsen over oss,

og mange er oppgitt over manglende fremgang

trass iherdig innsats. Igjen ser Norge seg forbi-

gått av Finland og mange andre land. Mange

spør hvorfor? I analysen nå i etterkant ser vi

stadig oftere at reformtempo, nye arbeids-

former, skolens og lærernes autoritetstap blir

nevnt som mulige forklaringer. Reformene har

bidratt til en endring av elev- og lærerrollen

som enkelte hevder har ført til dårligere mate-

matikkunnskaper. Oppsummering og forkla-

ring i timene gjennom en formidlende lærer er

undervisningselementer på vikende front. Kan

der være en sammenheng med dette og elevers

manglende evne til å kunne strukturere isolerte

kunnskapsbiter til et meningsfullt hele? Ut fra

det finske utdanningssystemet kan det se ut til

at en autoritetsheving gjennom større faglighet

og større fagkompetanse hos lærerne kan være

en vei å gå. Men hvordan får vi engasjerte, dyk-

tige, kvalifiserte og interesserte lærere?

Rune Herheim, som er nytt medlem i redak-

sjonen for TANGENTEN, kommer med noen

egne betraktninger omkring PISA- og TIMSS-

studienes resultater og deres konsekvenser for

vårt utdanningssystem. (Les side 2.)

Også i dette heftet finner du en del bak-

grunnsstoff om de nasjonale prøvene i mate-

matikk. Kompetansebegrepet innen matema-

tikk dannet en del av det didaktiske grunnlaget

for utviklingen av prøvene. Mona Røsseland

gir oss bakteppet for tenkningen bak de nasjo-

nale prøvene i to artikler. Den første finner du

i dette heftet. I neste hefte fortsetter hennes

artikkel.

År 2005 er også det første året Holmboepri-

sen deles ut. Holmboeprisen er på sett og vis

en ’spin-off ’-effekt av Abelprisen. Prisen skal

hedre stor innsats for matematikkfaget i skolen

og premiere gode lærere eller gode lærerteam.

Det er naturlig at Abel-komiteen ikke bare

setter fokus på de store vitenskapelige, mate-

matiske bragder, men også har undervisning

og opplæringsdimensjonen med. Vi vet alle at

vi kan lære mye av gode forbilder, og det gjel-

der selvsagt også vårt fag. Det blir spennende å

(fortsettes side 4)

1/2005 tangenten2

Rune Herheim

Aksepter, ta skuld og iverksett!PISA/TIMSS sett frå sidelinaTorsdag 16. desember var det fagkonferanse om

resultata frå TIMSS 2003 og PISA 2003. PISA-

undersøkinga, der OECD har eit overordna

koordineringsansvar, har sett på 10. klassingar

sine evner til å nytta kunnskap i matematikk,

naturfag, lesing og problemløysing. TIMSS-

undersøkinga har sett på 4. og 8. klassingar

sine skulekunnskapar i matematikk og natur-

fag. I begge undersøkingane har norske elevar

oppnådd svake resultat i matematikk og natur-

fag, både samanlikna med andre land, men òg

samanlikna med kva norske elevar tidlegare

har prestert i tilsvarande testar.

Eit av dei viktigaste poenga frå prosjektleia-

rane for PISA og TIMSS og fleire av innleiarane

på konferansen, mellom anna Per Aahlin frå

utdanningsforbundet, var at utdanningssyste-

met må akseptera desse resultata. Ein ynskte

ikkje at det no skulle brukast energi på å debat-

tera om undersøkingsresultata er gyldige og

pålitelege, men at kreftene skulle fokuserast

mot å løysa den norske realfagskrisa. At det er

lagt mykje arbeid ned i desse undersøkingane

er det ikkje tvil om. Ein har kvalitetssikra opp-

gåvetypar, oversetjingar, korrektur, søkt repre-

sentative utval av elevar og skular osv. Men skal

ein få med seg personar i ulike roller i utdan-

ningssystemet er ein avhengig av at alle dreg i

same retning. Oppnår ein dette ved å unngå

ein debatt om sjølve undersøkingane? Ein risi-

kerer at folk sit med spørsmål og kritikk mot

undersøkingane som dei ikkje har fått svar på.

For å nytta filosofen Hans Skjervheim [1] sine

omgrep; skal lærarar, foreldre og andre verta

samde om at ein bør justera realfagsundervi-

singa må dei overtydast om at det er naudsynt,

ikkje overtalast.

I det norske utdanningssystemet har ein

underleg trend utvikla seg. Studentar og elevar

har manglar i sin realfagskunnskap, men det

einaste som er sikkert er at det ikkje er ’vår

skuld’ … På universitet og høgskular skuldar

ein på dårlege førekunnskapar frå vidaregå-

ande trinn, på vidaregåande trinn skuldar ein

på ungdomstrinnet, medan på ungdomstrin-

net skuldar ein på barnetrinnet. Og så skul-

dar me alle på L97. Eit signal som kom tydeleg

fram under konferansen var at alle må ta skuld,

anten ein er utdanningsminister, lærarutdan-

nar eller lærar. Det er meir fruktbart å sjå kva

Rune Herheim er høgskolelektor i matematikk fagdidaktikk ved Høgskolen i Bergen, rher@hib.no

tangenten 1/2005 3

ein sjølv kan gjera betre, enn å konstatera at det

ein annan stad er gjort for dårleg arbeid. Me

har ein ’systemfeil’ vart det sagt fl eire gonger

på konferansen. Systemfeil er eit omgrep det

kan vera vanskeleg å knyta noko presist inn-

hald til. Langt viktigare enn å strø om seg med

vide omgrep er det å sjå på kva konkret som

bør gjerast for å styrka realfagsundervisinga.

På konferansen vart barne-, ungdoms- og vida-

regåande trinn trekt fram som satsingsområde.

Det er bra, men kva med førskuletrinnet? Det

er vel ingen som trur at elevar fyrst startar

oppbygginga av sin matematiske kompetanse

den dagen dei byrjar på skulen?

Tiltak må setjast i verk. Det vil ikkje seia

at alt må endrast, og undervisingsmetodar må

forkastast. Svært mykje av det arbeidet som

vert gjort i skulen er bra. Professor Svein Lie

kom i sitt innlegg under konferansen inn på

at det kan vera verdt å sjå på nokon av konse-

kvensane av L97. Det har vorte lagt opp til nye

roller i skulen, der lærar har gått frå formidlar

til rettleiar, og elevar har fått ansvar for eiga

læring. Formidling har nesten vorte uglesett,

og det har vore lagt føringar der mellom anna

tema- og prosjektarbeid har fått ei domine-

rande rolle. Lie sa at ein slik metodetvang ikkje

legg til rette for at ein lærar kan nytta sine beste

sider. Gjennom leik og tema- og prosjektarbeid

kan elevar oppnå viktige læringsmål, men som

Lie var inne på så kan ein spørje seg om det har

vore mindre læringsutbyte av desse metodane

enn det som har vore tenkt? Har lærarar ikkje

vore medvitne nok i å leggja til rette for læring,

eller sikra at elevar får eit læringsutbyte, i desse

metodane?

Men konsekvensar av L97 treng ikkje i seg

sjølv vera forklaring til svak utvikling innan

realfag. Ein kan faktisk spørja seg om L97

eigentleg har vorte realisert i den grad at det er

meining i å vurdera konsekvensane av denne

planen? I ein evalueringsrapport av L97 [2]

har ein funne at det langt på veg ikkje er til-

felle. Under klasseromsobservasjonar har dei

funne at det er to arbeidsformer som er domi-

nerande. Den eine er der lærar er forelesande

og den andre er når elevar arbeider individuelt

med lærebøkene.

Norske elevar ligg i verdstoppen når ein ser

på tiltru til eigne realfaglege evner. Som det

står i [3] kan dette forklarast med kulturelle

skilnadar, men det kan òg sjåast i høve til

Figur side 149 i Hva i all verden har skjedd i realfagene?

1/2005 tangenten4

meistringsaspektet. Har me i Noreg fokusert

så mykje på at elevar skal lukkast og utvikla

sjølvtillit i faget at dei ikkje har fått varierte

og store nok utfordringar? Har frykta for at

elevar ikkje skal lukkast ført til at me heller

har ’slakka litt av’ på dei faglege krava? Når

ein derimot snakkar om det å ha interesse

for faget og det å lika å arbeida med det, ligg

norske elevar igjen langt ned på lista. Her kan

det vera ein samanheng. Motivasjon får ein ved

å lukkast, og dess meir krevjande utfordrin-

gar ein løyser, dess større vert gleda og gnisten

til å arbeida vidare i faget. Det handlar såleis

ikkje berra om å løysa ei oppgåve, ein må òg få

strekkja seg.

Under konferansen kom det fram sterke

signal om at ein ynskte fagleg sterkare læra-

rar. I figuren på førre sida kan ein sjå noko av

bakgrunnen for dette. Av norske lærarar som

underviser i matematikk i 8. klasse har svært

få fordjuping i matematikk, og nesten ingen

har fordjuping i matematikk didaktikk. Dette

bilete er hakket verre for 4. klasse, og i tillegg

har norske lærarar lite relevant etterutdanning

for matematikkundervising.

I den norske skulen har me såleis eit sterkt

behov for ei større fagleg tyngde i matematikk.

For å utdanna lærarar med fagleg djupn bør

ein kanskje vurdera å ta oppatt dei linedelte

lærarhøgskuleutdanningane, eller syta for å ha

fordjupingsfag i matematikk som er aktuelle

og tilgjengelege for allmennlærarstudentane.

Då kan ein få ein gunstigare kombinasjon av

allmennutdanna lærarar og lærar med større

fagleg tyngde. Men då må det presiserast at på

same vis som ein skiskyttar må meistra både

langrenn og skyting, må ein lærar ha både

fagleg og fagdidaktisk kompetanse. Så viss ein

aksepterer at arbeidet med realfaga i skulen har

eit utviklingspotensiale og er sjølv viljug til å

forbetra seg, kan tiltak setjast i verk for å snu

den negative trenden for realfaga. Men det mest

grunnleggjande grepet ein bør gjera er å syta

for at dei som faktisk har kompetanse i mate-

matikkundervising òg underviser i faget.

Referansar[1] Skjervheim (2001): Eit grunnproblem i peda-

gogisk filosofi. I: Hans Skjervheim, Deltakar og tilskodar og andre essays, (pp. 214–230). Oslo: Aschehoug & Co, Idé og tanke

[2] Brekke, Breiteig og Alseth (2003): Syntese-rapport. Endringer og utvikling ved R97 som bakgrunn for videre planlegging og justering – matematikkfaget som kasus.

www.program.forskningsradet.no/reform97/

uploaded/nedlasting/brekke.doc[3] Grønmo, Bergem, Kjærnsli, Lie og Turmo

(2004): Hva i all verden har skjedd i realfagene? Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS 2003.

www.timss.no/ramme_3_03.html

se hvem som vinner årets Holmboepris.

Tangenten skal presentere vinneren så snart

han eller hun er utpekt. Tangenten håper denne

prisen kan være med å skape blest rundt faget

og matematikk som undervisningsfag. Fristen

for nominasjon av kandidater er nettopp gått

ut, så har du noen kandidater: ikke nøl med å

foreslå dem til neste års Holmboepris!

(fortsatt fra side 1)

tangenten 1/2005 5

Tallfølgen i annen potensJeg satt på rommet mitt og studerte rekken av

kvadrattall (1, 4, 9, 16, 25 …)

Lagde kvadrater som illustrasjon til tallene.

For hvert kvadrat illustrerte jeg også det fore-

gående som et mindre kvadrat inni det neste.

Y = 42

Y = 52

På tegningen kommer økningen for hvert kva-

drattall tydelig fram. Det så ut som økningen

Sindre Haugstad Torp

Eksponentielle tallfølger og geometriske figurer

Hallo, jeg har funnet ut en formel for hvordan

man kan finne neste kvadrattall i rekken av

kvadrattall. Jeg lurer på om dette er en kjent

formel?

y = x + kvadratroten av x ganger 2 + 1 der

x = et kvadrattall

y = neste kvadrattall i rekken av kvadrattall

1×1 = 1, 2×2 = 4, 3×3 = 9, 4×4 = 16,

5×5 = 25, 6×6 = 36

For eksempel: 75×75 = 5625

Det neste kvadrattallet i rekken blir da:

x + (kvadratroten av x) ganger 2 + 1,

det vil si 5625 + 75 ganger 2 + 1 = 5776

kvadratroten av 5776 = 76

Dette ble skrevet til Newtonredaksjonen av

12 år gamle Sindre Haugstad Torp nå elev

ved Solvang Ungdomsskole i Asker, men elev

ved Jansløkka grunnskole da utforskningen

startet. Nils Kr. Rossing fra Vitensenteret i

Trondheim oppfordret Sindre til å skrive

hvordan han tenkte da han kom fram til

regelen. Resultatet sees her hvor Sindre viser

hvordan han undersøkte videre og fant løs-

ning for kubikktall, tallfølger i fjerde potens

og en generell løsning.

1/2005 tangenten6

fulgte et mønster. Jeg gikk ned til stua og viste

tallene og kvadratene til faren min som sa: Kall

det lille kvadratet for X og det store for Y og

lag en regel. En stund etter hadde jeg formelen

skrevet på et papir.

Y X X= + × +2 1

Tallfølgen i tredje potensEn annen gang satt jeg med en ny oppgave.

Hvordan blir det for ’kubikkrekka’ (1, 8, 27,

64, 125 …)? Hva er sammenhengen mellom et

kubikktall Y og det foregående X? I hodet fore-

stilte jeg meg kuber som illustrerte tallene.

Hva måtte jeg legge til kuben X for å få

kuben Y? Jeg skjønte at det ville blitt alt for

komplisert å finne formelen direkte ved bare

å bruke X og Y.

Jeg innførte derfor Z (se figuren under).

= Z = X

= (X + 3Z2)

= (X + 3Z2 + 3Z)

= (X + 3Z2 + 3Z + 1)Formelen blir da:

Y X Z Z= + × + × +( )2 3 3 1

der Z = et helt tall, X Z= 3 og Y Z= +( )1 3 .

Løser vi ut Z får vi formelen:

Y X X X= + + +3 3 13 2 3 .

Tallfølgen i fjerde potensJeg prøvde av og til å få til ’i fjerde-rekka’. Jeg

hadde nå brukt flateinnhold for å finne forme-

len for kvadrattallene og kuber for kubikktal-

lene, men nå var det ikke flere dimensjoner å

bruke. Men en dag kom jeg til å tenke på en

ting: Tre i fjerde betyr jo bare tre ganger tre

ganger tre ganger tre. Tre i fjerde blir da tre ’tre

i tredje’ kuber. Z i fjerde blir Z antall ’Z i tredje

kuber’, der Z har samme betydning som før.

For å finne formelen må man være nøyaktig

med antall kuber og det som skal ’legges på’

(fortsettes side 18)

tangenten 1/2005 7

Per Arne Birkeland, Ole Mydland

På leting etter mønsterHvordan klarer elever å oppdage mønstre og

se generelle trekk ved dem? Greier de å bruke

algebra til å uttrykke slike trekk med utgangs-

punkt i en praktisk tilnærming?

Av og til sier lærere at å generalisere blir for

vanskelig for elevene. De klarer sjelden å opp-

dage generelle sammenhenger selv. Og hvis de

skal bruke algebra, blir det ekstra vanskelig.

Samtidig vet vi at L97 [1] gir klare beskjeder til

oss lærere om hva målet for elevene er:

De skal kunne tolke og bruke bokstaver som

symboler for ukjente og variable størrelser

og til å generalisere og bevise. Elevene skal

kunne bruke tall som et utgangspunkt for

fordypning og generalisering av ideer og

metoder. (L97, s. 166)

Som lærere i allmennlærerutdanningen ved

Høgskolen i Agder og med mange års erfaring

fra undervisning i ungdomsskolen, ville vi

undersøke i hvilken grad ungdomsskoleelever

ved samarbeid i grupper greier å oppdage gene-

relle mønstre. Vi fant en egnet oppgave fra et

tidligere nummer av Tangenten ([4], se farget

boks neste side), og allierte oss med Inger Mar-

grethe Haanes, som er matematikklærer i en 9-

klasse ved en skole i Kristiansand. Utprøvingen

skjedde i en dobbelttime en maidag i 2004.

Klassen ble delt inn i 5 grupper. Et lokalt

snekkerfirma hadde tatt utfordingen med å

lage terninger med mål 2 cm × 2 cm × 2 cm

slik at hver av gruppene hadde 125 småternin-

ger hver. På forhånd var vi litt usikre på om

gutter og jenter i 14- til 15-årsalderen ville

synes det var for barnslig å bygge med klosser,

og om de kunne ha noen hjelp av denne kon-

kretiseringen. Derfor sa vi på forhånd at klos-

sene kunne brukes hvis elevene hadde lyst til

det. Lærerne skulle observere, stille spørsmål

og gi hint etter behov.

Etter noen minutters informasjon i starten,

satte elevene i gang. Når de skulle finne hvor

mange sider som var synlige eller ikke, star-

tet alle gruppene med å bygge en 3-terning og

telle de ulike kategoriene. Det virket som ingen

av elevene ’så’ løsningen umiddelbart uten

den konkrete 3-terningen. Diskusjonen gikk

imidlertid livlig om hvordan småterningene i

Per Arne Birkeland er høgskolelektor i matematikk fagdidaktik ved Høgskolen i Agder, per.a.birkeland@hia.noOle Mydland er pensjonert høgskolelektor i matematikk.

1/2005 tangenten8

hvert tilfelle kunne telles opp. Det var spesielt

interessant å merke at ganske tidlig i proses-

sen begynte elever å lete etter mønster. Da ei

av gruppene skulle til å studere 4-terningen,

utbryter en gutt spontant: «Nå må vi til med et

mønster! Kan vi ikke ta sånn en tabell, en sånn

skala som passer til alle de andre?» Resten av

gruppa er enig. Og så begynner den mer eller

mindre bevisste letingen etter mønster, skritt

for skritt.

Her leter elever etter et system.

«Det er 4 klosser som har null sider synlig, det

er de fire der, de som er heilt inni der,» mener

ei jente og peker engasjert. Gutten er enig: «Ja,

for du har en der, en der, …, en, to, tre, fire …».

Men plutselig sier han: «Det er 8! Se der! En,

to, tre, fire – ikke sant? De fire i det laget der,

Oppgaven vi gavI denne oppgaven skal dere arbeide med en

terning som er satt sammen av små-ternin-

ger. På figuren under ser dere en terning

som er satt sammen av 3 terninger i hver

retning. En slik sammensatt terning kaller

vi en 3-terning.

I posen dere har fått på gruppa, er det

nok småterninger til å bygge en 5-terning.

Hvor mange småterninger består

en 3-terning av?

en 4-terning?

en 5-terning?

en 10-terning?

en n-terning?

Sidene på noen av småterningene er synlige,

det vil si at de enten vender ut i lufta eller

ned i bordet, og noen sider er skjulte.

I en 3-terning fins småterninger der 3

sider er synlige, 2 sider er synlige, 1 side er

synlig, og 0 sider er synlige.

Hvor mange av småterningene i en 3-ter-

ning har:

0 sider synlige?

1 side synlig?

2 sider synlige?

3 sider synlige?

Finn ut det samme på en 4-terning og en

5-terning. Dere har ikke nok terninger til

å bygge en 6-terning. Men kan dere likevel

finne ut hvor mange småterninger dere har

av hver type i en slik terning? Kan dere finne

ut det samme om en 10-terning?

Har dere funnet et mønster slik at dere

kan si med et tall eller et bokstavuttrykk

hvor mange dere har av hver type småter-

ning i en n-terning?

tangenten 1/2005 9

og fire i det laget der». Heile gruppa dras med

i prosessen, og gutten prøver å overbevise de

andre ved å lage en 2-terning: «Det er sånn en

terning som er gjemt inni der».

Tilsvarende arbeider gruppa med å finne

1 og 2 sider som er synlige på 4-terningen, og

kommer i begge tilfellene til at dette antallet

blir 4 ganger 6. Det kan virke som elevene bare

teller, men et noe uklart mønster avtegner seg

snart. Da de like etter studerer 5-terningen, går

det mye kjappere med å finne antall synlige og

usynlige sider på småterningene. Ikke fordi

elevene teller fortere, men fordi de har funnet

spesielle måter å telle på, eller tenke på. Lærer

oppmuntrer dem til å skrive ned ’regnestykket’

som viser hvordan de tenker.

Dette lille hintet hjelper elevene i den videre

letingen etter mønster: «Å var det vi ganga her

med? Vi kan bare se på den», sier ei jente. Elev-

ene går tilbake til 3-terningen og velger å lage

en tabell, en matrise. Kombinert med å telle, tar

de til å resonnere seg fram til hvert enkelt tall i

tabellen. En interessant og noe uventet uttalelse

fra en av guttene innleder denne viktige tan-

keprosessen: «Jeg vet ikke om jeg klarer å føre

det ned, men jeg vet i alle fall åssen en tenker»!

Sammen begynner gruppa med ’3 synlig’:

«Det blir 8 her uansett», skyter ei jente raskt

inn, «og der plusser vi bare på 12», fortsetter

hun. De er kommet til ’2 synlig’. En gutt følger

opp: «Det er 12 ganger 1, 12 ganger 2, 12 ganger

3,…», men så stopper det opp. Mønsteret som

de mener å ha funnet, passer ikke på 6- og 7-

terningen. Lærer spør elevene om hvordan en

kan kontrollere at tallene i tabellen stemmer.

De finner feilen, og letingen etter mønster kan

fortsette.

Gruppa er i ferd med å knekke koden

Ved ’2-synlig’ finner elevene en fast differanse,

12, mellom tallene i de forskjellige terningene.

Det er derfor ganske logisk at de også leter etter

en fast forskjell mellom tallene i rekka ved ’1-

synlig’. Men her må de tenke i andre baner.

«Har du funne systemet, det som var der?», spør

en av guttene. «Jaaa, det var 6 ganger …» Det

er antall småterninger med 1 synlig side i en

6-terning elevene leter etter. De finner at tallet

16 er sentralt her, men diskuterer ivrig hvilket

tall dette skal ganges med. Lenge holder de på

4, men til slutt ender de opp med 16 ganger 6.

Lærer spør elevene om hvordan de kom fram

til 16, om dette tallet også er et gangestykke.

«4 ganger 4», svarer ei jente kjapt. «Åssen kom

dere fram til tallet 4 da», spør lærer videre. Etter

hvert oppdager elevene at i en slik sammensatt

terning er det «to utenfor», som de sier. Da står

en igjen med: «4 i en 6-terning og 8 i en 10-ter-

ning. Og i en 20-terning 18». «I en n-terning

da», spør lærer? «n minus 2» svarer ei jente fort

og ler, som om hun ville si: Så enkelt!

1/2005 tangenten10

Til ei gruppe som hadde funnet at det er 96

småterninger som har 1 side synlig i en 6-ter-

ning, spør lærer: «Åssen fant du 96?». Et svar

kommer kontant og overbevisende: «Jeg må

tenke meg at det er en 6-terning vi holder på

med. Så da blir det 4. 4 på den sida, 4 på den, 4

på den, 4 på den, 4 på den og 4 på den – eller,

ja – ikke sant, det blir 16 på alle samma. 16

ganger 6 er 96». Fra 6-terning går gruppa over

til 10-terning, og tar også med 23-terning og

64-terning. De fyller ut tabellen og kontrollerer

hver linje i den ved addisjon.

En av guttene på gruppa har allerede i hodet

et løsningsmønster for de ulike kategoriene.

Lærer utfordrer ham til å forklare dette for de

andre. «På null blir det n – 2 i tredje …». «Du

må forklare hvorfor det blir n – 2». «Fordi du

må ta vekk 2 for å få det midterste …». «Hvor-

for tar du vekk 2?» «De ytterste, – de ytterste

lagene, så får vi bare den siden som er i midten,

der som ingen sider vil være ut». De tenkte på

at de måtte ’skrelle av’ et lag ytterst. Etter at

elevene på dette tidspunktet hadde jobbet med

oppgaven i en god klokketime, var alle grup-

pene kommet godt i gang med å skrive et alge-

braisk uttrykk for antall terninger i de ulike

kategoriene.

En viktig bit av denne dobbelttimen var

oppsummeringen. Vi hadde snakket på for-

hånd om hvor viktig det er for elevenes

læringsutbytte at elevene blir hjulpet til å se

tilbake på det de har gjort. Vi ønsket også å

spørre dem om hvordan de selv opplevde å

arbeide på denne måten.

Tilbakemeldingen vi fikk fra elevene, var

udelt positive. «Dette var gøy», sa de. Læreren

var også meget godt fornøyd, og syntes elev-

ene hadde klart mer enn hun hadde trodd på

forhånd.

Elevene viste i denne oppgaven at de i stor

grad var i stand til å oppdage generelle møn-

stre. Men de var ikke overlatt helt til seg selv.

Lærerens funksjon vurderer vi som meget

viktig. Hvis ikke det hadde vært en voksen til

stede som kunne stille de rette spørsmålene, og

som kunne gi de nødvendige ’puff ’ videre der

det stoppet litt opp, ville nok noen elever «stått

fast» og mistet interessen. At lærer gir hint, er

ikke ensbetydende med å frata elevene følelsen

av å mestre oppgaven selv. Her er det selvfølge-

lig en balansegang. Man må unngå å gi elev-

ene hele løsningen. Men erfaringer fra dette

og tilsvarende arbeid, viser tydelig at elevene

selv med viktige hint, ikke fratas følelsen av og

gleden ved å ha oppdaget ting selv.

Tidligere forskning støtter også opp om de

erfaringene vi gjorde i dette lille prosjektet. Det

er liten tvil om at elevene strever i deres møte

med algebra. Furinghetti og Paola [2] grup-

perte vanskelighetene slik:

– vanskeligheter med å sette opp formler

– vanskeligheter med å forstå formler og å

tangenten 1/2005 11

kontrollere dem

– vanskeligheter med å individualisere pro-

blemteksten

– vanskeligheter med å representere tanke-

gangen gjennom algebraisk manipulasjon

– vanskeligheter med å tolke foreslåtte

utsagn.

Men det er flere som har rapportert om gode

erfaringer med å tilnærme seg algebra ved å

studere mønstre i tilknytning til konkrete

materialer. Pegg og Redden [3] gjorde dette

med barn i 12-årsalderen, hvor de arbeidet

med å lage trekanter ved hjelp av fyrstikker.

Etter en lang erfaringsøkt med fyrstikkene der

tallene etter hvert ble satt inn i tabeller, vokste

bokstavbehovet gradvis frem ved at antall fyr-

stikker ble kalt f. Dette ble barna etter hvert

fortrolige med.

Påstanden om at elevene må ha nådd et visst

modenhetsnivå, er heller ikke et entydig resul-

tat fra forskningen. Mulig det kan vises dersom

forutsetningen er en undervisning uten bruk

av mønsterbasert innfallsvinkel. Men Zack [5]

rapporterer om at 10–11 åringer kan nå ganske

langt i evnen til å løse generaliseringsproblemer

når problemløsning er en viktig del av under-

visningen, og der det skjer i en oppmuntrende

atmosfære gjennom samarbeid. Behovet for å

bruke algebra vokste her frem som et resultat

av studier med mønstre tilknyttet situasjoner

som elevene kunne etterprøve og forstå.

Litteratur[1] Det kongelige kirke-, utdannings- og fors-

kningsdepartement.(1996). Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen. Oslo, Norway: Nasjonalt læremiddelsenter.

[2] Furinghetti, F. & Paola, D. (1995). A different approach to algebra and proof: Behaviours observed in classroom. In L. Meira & D. Carra-

her (Eds.): Proceedings of the Nineteenth Inter-national Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, p. 202). Recife, Brazil: Universidade Federal de Pernambuco.

[3] Pegg, J. & Redden, E. (1990). Procedures for, and experiences in, introducing algebra in New South Wales. Mathematics Teacher, 83, 386-391.

[4] Torkildsen, Ole E. (1995). Klasseoppgave. Tan-genten 2, 45-46.

[5] Zack, V. (1995). Algebraic thinking in the upper elementary school: The role of collaboration in making meaning of generalisation. In L. Meira & D. Carraher (Eds.): Proceedings of the Ninete-enth International Conference of the Internatio-nal Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 106-113). Recife, Brazil: Universidade Federal de Pernambuco.

1/2005 tangenten12

Mona Røsseland

Hva er matematisk kompetanse?Norge har nok en gang kommet dårlig ut i

undersøkelser som viser elevers kompetanse

i matematikk. Vi leter etter årsaker, og vi

prøver å finne den riktige veien framover. Før

vi kan enes om en hensiktsmessig strategi for

å gjøre norske barn og unge bedre i matema-

tikk, bør vi diskutere hva det innebærer å ha

matematisk kompetanse. Noen mener at bare

elevene kan de fire regningsartene (les algorit-

mene) når de går ut barneskolen, må vi være

fornøyde. Andre mener at det viktigste er at

elevene er kreative og klarer å finne løsninger

på problemløsningsoppgaver uten tanke på en

’riktig’ fremgangsmåte. Heldigvis er det mange

som mener at det er viktig at elevene behersker

flere ulike kompetanser i matematikk, men da

trenger vi en bevisstgjøring omkring hva det

vil si å ha matematiske kompetanse.

I Danmark har de kommet et stykke på vei

i dette arbeidet. I 2000 satte de i gang prosjek-

tet Kompetenceudvikling og Matematiklæring,

der målet var å prøve å skape en felles forstå-

else for hva det vil si å beherske matematikk.

matematikkbeherskelse, og hvordan dette kan

påvirke matematikkundervisningen og gjøre

den bedre. Arbeidet ble ledet av Mogens Niss,

professor ved Roskilde Universitetssenter, og

i 2002 kom rapporten Kompetancer og mate-

matiklæring [5] fra det danske Undervisnings-

ministeriet.

Rapporten er grunnlag for min beskrivelse

av de matematiske kompetansene. Det har

også vært inspirasjonskilde til de nasjonale

prøvene i matematikk i Norge. I disse prøvene

blir elevene testet i ulike oppgavetyper, og de

blir vurdert ut i fra en beskrivelse av matema-

tiske kompetanser. Etter prøvene skal lærerne

lage en profil over hver elev og for klassen som

helhet. Profilen beskriver hvilket nivå elevene

har i de ulike kompetansene. Kompetansebe-

grepene jeg gjør rede for her ligger til grunn for

arbeid med de nasjonale prøvene.

Den danske rapporten vender seg bort fra

den tradisjonelle, pensumbaserte beskrivelsen

av matematikkfaget. I stedet foreslår den at

hensikt og utbytte med undervisning karakte-

riseres ved hjelp av åtte kompetanser som en

ønsker at elevene skal utvikle. De åtte kom-

petansene er: Tankegang-, Resonnement-, Kommunikasjon-, Problembehandling-, Modellering-, Representasjon-, Symbol og

Mona Røsseland er nettverkskoordinator ved Matematikksenteret, mona.rosseland@hjemme.no

tangenten 1/2005 13

formalisme- og Hjelpemiddelkompetansen.

Denne kompetansebaserte beskrivelsen av

matematikkfaget ønsker jeg å belyse gjennom

to artikler her i Tangenten. Den siste artikkelen

kommer i Tangenten nr 2 (2005).

Jeg velger å knytte beskrivelsen av kompe-

tansene opp mot undervisning gjennom å vise

hvilke type aktiviteter og situasjoner som kan

være med å stimulere utviklingen av kompe-

tansene hos elevene. Skal de nasjonale prøvene

bli et hjelpemiddel for lærerne, vil det være helt

vesentlig at lærerne har en god forståelse for

hva de ulike kompetansene står for. Det vil

også være av betydning at lærerne tar kompe-

tansebeskrivelsene med inn i klasserommet,

som grunnlag for undervisningen slik at det

får praktiske konsekvenser i norsk skole.

I denne artikkelen tar jeg for meg tanke-

gangs-, resonnements- og kommunikasjons-

kompetansen. I den siste artikkelen beskriver

jeg problembehandlings-, modellerings-, hjel-

pemiddel-, representasjons-, symbol- og for-

malismekompetansen. Der belyser jeg noen

problemstillinger i forhold til å bruke kom-

petansebeskrivelsene som grunnlag for vur-

dering, slik det blir gjort i forbindelse med de

nasjonale prøvene i matematikk.

En kompetansebeskrivelse av matematisk faglighetHvorfor er det så nødvendig å forandre på vår

tradisjonelle måte å se matematikkfaget på?

Hvorfor lage de nasjonale prøvene så kom-

pliserte, der en må forholde seg til mange nye

begreper, som disse matematiske kompetan-

sene?

Skolematematikken har vært preget av et

fokus på produktet og den riktige fremgangs-

måten, og en har arbeidet for å få større fokus

på prosessdimensjonen i faget. Vi ser det

tydelig at L97 understreker betydningen av

elevaktivitet, der elevene skal konstruere sin

egen kunnskap. Vi er nå blitt mer opptatte av

hvordan elevene bruker sin matematiske kom-

petanse, hvilke strategier de velger for å løse

oppgaver og problemer og hvilken begrepsfor-

ståelse de har.

Også i PISA-undersøkelsen (Programme

for Internastional Student Assessment) har

prosessdimensjonen i faget grunnleggende

betydning. Her blir det understreket at det

kreves ulik matematisk kompetanse for å løse

forskjellige typer matematiske problemer.

PISA fokuserer altså i langt større grad på et

mer integrert spektrum av kunnskaper, fer-

digheter og holdninger enn det som har vært

vanlig i tester til nå. En legger vekt på elevenes

evne til å tolke informasjon og trekke slutnin-

ger på basis av kunnskap og ferdigheter som

de har, og på hvordan elevene bruker kunn-

skaper og ferdigheter i gitte sammenhenger

(Bergem [1]).

I PISA brukes tre kompetanseklasserOppgavene er delt inn i tre kategorier etter

hvilke kompetanser de krever:

Reproduksjonsklassen: Oppgavene er knyttet

til elevers bruk av faktakunnskaper og stan-

dardalgoritmer. En kan også finne enkle pro-

blemløsningsoppgaver her, men konteksten er

matematisk og fremgangsmåten (algoritmen)

gitt.

Forbindelsesklassen: Her skal elevene se for-

bindelser og kunne sette sammen informasjon

som grunnlag for problemløsningen. Elevene

må da ha evne til å se sammenhenger mellom

ulike deler av matematikken for å løse oppga-

vene, og de skal kunne bruke ulike represen-

tasjoner.

1/2005 tangenten14

Refleksjonsklassen: Her er oppgavetypene mer

sammensatte enn ved forrige klasse og krever at

elevene i tillegg har evne til å utvikle originale

løsningsstrategier. Kompetansen kjennetegnes

ved at elevene selv må finne fram til hva som er

oppgavens matematiske problem, og vise evne

til kritisk tenkning, analyse og refleksjon (Lie

m.fl. [2]).

Når de overordnede målene i matematikk kun

tydeliggjør hvilke matematiske emneområder

som skal læres, er det vanskelig å klargjøre hva

matematikkundervisning skal gå ut på. Vi vet

at det er langt mer gjennomgripende forhold

enn pensumbeherskelse som gjør seg gjeldende

i matematisk faglighet. Faren blir at en reduse-

rer matematisk faglighet til ’rette og feile svar’,

noe som igjen fører til et for lavt ambisjonsnivå

for undervisningen. En kompetansebeskrivelse

av faget går langt mer direkte på selve under-

visningen, for da vil en også sette fokus på fer-

digheter som vanskelig lar seg teste i en skrift-

lig prøve. Lærerne bør dermed sette flere krav

til sin undervisning, for eksempel bruke mer

tid på kommunikasjon, der elevene får forklare

hvordan de tenker og forstår.

En slik reduksjon av matematikkompe-

tanse kan sammenlignes med å identifisere

språkbeherskelse med en liste over ordforråd

og grammatiske regler en skal gjenkjenne og

kunne. Norsklærere har større ambisjoner for

undervisningen enn at elevene bare lærer dette.

De ønsker at elevene skal forstå stoffets opp-

bygging og indre sammenheng, og ikke minst

være skapende og analyserende i faget i forhold

til et mangfold av sjangrer og stilarter. En kan

selvsagt understreke at dette ikke går uten et

ordforråd og grammatikk, men ingen vil heller

mene at det i seg selv er nok for språkbeher-

skelse (Niss [4]). På samme måte blir det med

matematikken.

Å ha matematisk kompetanse kjennetegnes

ved å ha viten om, å forstå, utøve, anvende og

kunne ta stilling til matematikk og matematisk

virksomhet i et mangfold av sammenhenger.

Dette impliserer naturligvis en mangfoldighet

av konkret viten og konkrete ferdigheter innen

forskjellige matematiske områder, men mate-

matisk kompetanse kan ikke reduseres til disse

forutsetningene.

Beskrivelse av kompetanseneTankegangskompetansen

Denne kompetansen består først og fremt i det

å være klar over hvilke typer spørsmål som er

karakteristisk for matematikk, selv å kunne

stille slike spørsmål og ha blikk for hvilke typer

av svar som kan forventes. Matematisk tanke-

gang omfatter bevissthet rundt hvilke spørsmål

som er karakteristiske for matematikk. Det vil

også si å kjenne, forstå og kunne bruke matema-

tiske begreper, kunne abstrahere og generalisere

og kunne skille mellom påstander, antagelser

og bevis. For grunnskolen vil dette gjelde ele-

mentær matematikk, det vil si grunnbegrepene

for størrelse, tall og rom som det er naturlig at

de respektive aldersgrupper befatter seg med

(se NSMO [3]).

Denne kompetansen vil komme til syne

gjennom dialog mellom elevene og mellom

elevene og lærer. Elever med god tankegangs-

kompetanse kan stille spørsmål som – Finnes

det et tall som både er partall og oddetall? Hva

betyr brøk egentlig? Hvorfor blir svaret større

enn det vi deler med når en deler med et tall

mindre enn 1? Denne kompetansen henger

nøye sammen med resonnementskompetan-

sen, og til tider kan det være vanskelig å skille

dem fra hverandre. Disse to kompetansene,

sammen med kommunikasjonskompetansen

blir også slått sammen til en kompetanseprofil

i de nasjonale prøvene fra 2005.

tangenten 1/2005 15

Slik jeg ser det, vil denne kompetansen

være en betydningsfull lærerkompetanse. Det

er viktig at lærerne har evne til å stille gode

spørsmål til elevene, spørsmål som får elevene

til å reflektere. Ved hjelp av lærerens ledende

spørsmål klarer elevene selv å resonnere seg

frem til svar som gir innsikt og forståelse. Her

tror jeg vi har mye å lære, for vi har ofte en

higen etter å gi elevene svarene med en gang de

spør. Kanskje vi langt oftere skulle stille spørs-

mål tilbake til elevene, og så la dem få tid til å

tenke og gjerne komme med nye mer reflek-

terte spørsmål? Eksempelet med figurtall (ned-

enfor) viser lærerens tankegangskompetanse i

sin dialog med elevene.

Resonnementkompetansen

Kompetanse i matematisk resonnement inne-

holder å kunne tenke ut og gjennomføre ufor-

melle og formelle resonnementer, kunne

omforme resonnementer og antagelser til gyl-

dige bevis og kunne følge og bedømme mate-

matiske resonnementer og forstå hva et bevis

er (Niss m.fl. [5], s. 54).

Denne kompetansen er aktiv når en elev

klarer å bedømme holdbarheten av en mate-

matisk påstand, det innebærer også å overbe-

vise seg selv og andre om eventuell gyldighet av

denne. Det dreier seg både om regler og setnin-

gers riktighet, men også avgjørelsen om at gitte

svar på spørsmål, oppgaver eller problemer er

korrekte og tilstrekkelige. Resonnementskom-

petansen er den som aktiverer hvilke operasjo-

ner en skal bruke i en regneoppgave, hvis denne

aktiveringen stiller krav til oppfinnsomhet,

analyseevne eller overblikk. Denne kompe-

tansen henger nøye sammen med både model-

lerings- og problemløsningskompetansen, og

vi kan si at resonneringskompetansen er disse

kompetansenes ’juridiske’ side, den som vurde-

rer om svaret er rett eller galt (ibid. s. 210).

Å forstå et resonnement er for eksempel å

kunne forstå utsagn som: Tone har flere dukker

enn Kine, og Kine har flere dukker en Marit.

Da har Tone flere dukker enn Marit.

Eksempel på å kunne følge og forholde seg til

et elementært matematisk resonnement er:

– Utsagn: Berit og Anne bor henholdsvis 1,5

og 2 km fra skolen, så de må bo 3,5 km fra

hverandre.

– Resonnement: Nei, det trenger de ikke.

Det kan jo være de bor på samme vei til

skolen, og da vil det bare være 0,5 km

mellom dem.

På barnetrinnet vil elevenes resonnementer

være intuitive og uformelle eller konkrete,

basert på spesifikke opptellinger, utregnin-

ger eller tegninger. Det er derfor ikke forven-

tet at de skal gjennomføre noen bevisførsel i

en streng betydning av begrepet. Eksempelet

som følger viser både tankegangs- og resonne-

mentskompetansen gjennom en aktivitet med

figurtall.

Arbeid med figurtall– et undervisningsopplegg som legger til rette

for utvikling av tankegang- og resonnements-

kompetanse.

En fjerde klasse arbeider med figurtall. Læreren

har satt elevene i gang med å lage ulike figurer

ved hjelp av små kvadratiske brikker. Først skal

elevene lage en figur der de ikke får bruke mer

enn 8 biter. Neste steg blir å lage en noenlunde

tilsvarende figur, men den skal være større. Det

innebærer at de må bruke flere brikker. Så skal

de lage en tredje figur, som igjen er større enn

de forrige, men lik i form. Læreren ber elev-

ene finne ut hvor mange brikker de har brukt

i hver figur.

Kari og Lucie har funnet ut at de har brukt

1/2005 tangenten16

8 biter i første fi gur, 25 biter i andre fi gur og 52

biter i tredje fi gur. Læreren observerer jentene

i arbeidet, og kommer nå med noen spørs-

mål: – Kan dere fi nne ut hvor mange biter dere

trenger til fjerde fi guren, uten å legge den med

biter?

– Nei, går det an? svarer jentene tvilende.

– Jo, jeg tror det! sier læreren og går et stykke

unna jentene for å se hvordan de griper pro-

blemet an alene.

Jentene diskuterer en stund seg i mellom før de

spør: – Kan vi få tegne fi guren i stedet? Jentene

får ruteark og tegner den fjerde fi guren. De

teller antall biter og kommer til 89. Så kommer

læreren igjen med nye spørsmål: – Kan dere

nå fi nne ut hvor mange biter dere trenger til den

femte fi guren, og denne gangen uten å tegne den?

Jentene ser rådville ut, så læreren kommer med

et nytt tips: – Hvis dere skriver ned alle tallene

dere har funnet til nå i et skjema, blir det litt mer

oversiktelig. Læreren hjelper jentene i gang med

å lage en tabell:

Figur nr. 1 2 3 4 5

Antall biter

8 25 52 89

Voksermed

17 27 37

– Hva forteller tallene dere? Kan dere fi nne noe

mønster i dem? Læreren trekker seg nok en

gang litt i bakgrunnen, og lar jentene reson-

nere seg frem på egenhånd. Jentene begynner

å studere tallene: – Hvor mye større blir tallene

fra fi gur til fi gur? Kan det være at fi gurene hele

tiden vokser med 10 mer enn forrige gang? Det

går ikke så veldig lang tid før de kommer med

en hypotese: – Mon tro om ikke det neste fi guren

vokser med 47? – Lærer, vi tror at den femte fi gu-

ren vil ha 136 biter. De klarer nesten ikke sitte

stille på stolene, og de nesten roper ut. – Kan

vi få tegne nå?

Læreren synes det er en glimrende ide,

og berømmer jentene for deres fremragende

matematiske resonnement og fremgangsmåte.

Det tar heller ikke lang tid før de fornøyd kan

konstatere at femte fi gur virkelig består av 136

biter. – Går det an å fi nne ut hvor mange brikker

dere trenger til den 10. fi guren? spør læreren.

Lucie stønner litt: – Da trenger vi store ark til

å tegne på. – Trenger vi å fortsette å tegne, tro?

spør Kari. – Hvis vi vet hvordan fi gurene vokser,

kan vi kanskje regne det ut uten å tegne? Jentene

fi nner seg en kalkulator og går i gang med å

fylle ut tabellen. Timen er over for lengst og

deres medelever er gått ut, og læreren går til

lunsj. Da hun kommer tilbake, sitter jentene

med store smil, og de kan fortelle at den tiende

fi guren vil ha 521 biter!

tangenten 1/2005 17

KommunikasjonskompetanseKompetanse i kommunikasjon inneholder det

å kunne sette seg inn i og tolke andres matema-

tikkholdige skriftlige, muntlige eller visuelle

utsagn og ’tekster’. Det er å kunne uttrykke

seg om matematiske forhold på ulike måter

og på forskjellig nivå av teoretisk og teknisk

nøyaktighet, både skriftlig, muntlig og visuelt

for forskjellige kategorier av mottakere (ibid.,

s. 60).

Vi kan gjerne si at denne kompetansen er

todelt, i og med at kommunikasjonen skjer

mellom avsendere og mottakere. På denne

måten består denne kompetansen dels i å forstå

og tolke andre sine matematikkholdige tekster,

både visuelle, skriftlige (f. eks.i bøker og i opp-

gaver) og muntlige (eks. læreren gir en grublis

muntlig). Dette vil da betegne den mottakende

siden av kommunikasjonskompetansen. I til-

legg trenger elevene denne kompetansen når de

selv skal formidle sine matematiske kunnska-

per, for eksempel når de skal gjøre rede for et

matematisk resonnement, – Hvordan tenkte du

nå? – Hvordan kom du frem til svaret? og dette

kan de gjøre skriftlig, muntlig eller visuelt

gjennom f. eks. tegninger. Dette viser uttrykks-

siden av kommunikasjonskompetansen.

Eksempler på vurdering av kommunikasjonskompetansen hos to 4. klassingerKlassen jobber med problemløsningsoppgaver,

såkalte grubliser, og læreren går rundt og snak-

ker med elevene. Hun prøver å få elevene til å

formidle hvordan de forstår oppgavene og hva

de tenker når de løser dem.

Sissel klarer til en viss grad å forklare hva

hun tenker, men det er i et enkelt og dagligdags

språk. Hun bruker lite et matematisk språk,

som for eksempel sier hun ikke enere og tiere,

men ord som begynne bakerst når hun skal for-

klare hvordan hun tenker i addisjonsstykker.

Hun er også i stor grad avhengig av konkreter

for å forstå og forklare hva hun gjør. Hun viser

dårlig begrepsforståelse, noe som igjen reduse-

rer hennes muligheter til å forstå og sette seg

inn i de matematiske tekstene. Se eksempel fra

dialogen mellom henne og lærer da hun arbei-

der med oppgaven: Du har 80 kr og så kjøper du

to flasker brus til 15 kr stykk. Hvor mye penger

har du igjen?

Sissel resonnerer: – Jeg tar en tikroning, og

så en til … og så … Hun er veldig usikker og

lærer spør hvor mange tiere det er i 80. – Det

er 10–20 … 30–40–50–60 … 40, nei, 70–80.

Hun tegner nå 8 sirkler på papiret. Lærer hjel-

per videre og gjentar oppgaven med at hun skal

kjøpe to brus til 15 kr. Nå er hun veldig usik-

ker, men sier forsiktig: – Da kan jeg i hvert fall

ta bort en tikroning … Og så …, ja, nå må jeg

tenke … tror du det går an til å ta kroner også?

Nei, jeg forstår ikke hvordan jeg skal gjøre dette,

sier hun fortvilt. – Jeg klarer det ikke!

Lærer hjelper henne videre, med å gjenta

oppgaven. – Du har 80 kr og så skal du kjøpe

deg brus. Hvor mye må du betale i kiosken for

brusen? … Jeg må betale 20 kr … eller blir det

mer? Nå forslår lærer at hun tegner ned pen-

gene. Hun tegner ned en tier og fem kronestyk-

ker og sier videre: så tar jeg en tier til … Kan jeg

veksle en tikroning, tror du? Til slutt klarer hun

å finne frem til at det blir 30 kr, og teller seg

frem til at hun da vil ha 50 kr igjen av de 80.

Lars på sin side viser stor kompetanse i

kommunikasjon. Han forklarer løsningene

sine på en tydelig måte, og han bruker et mate-

matisk språk i sine forklaringer. Han sier blant

annet hundreplass, og han bruker helt naturlig

tiere og enere. Lars har heller ingen problemer

med å forstå innholdet i problemløsningsopp-

gavene, og han viser god begrepsforståelse. På

oppgaven – Du har 4 poser med kjærligheter.

1/2005 tangenten18

Det er 8 kjærligheter i hver pose. Hvor mange

kjærligheter har du? viser han at han både har

flere mulige løsningsmetoder og at han klarer

å formidle hvordan han tenker: Han sier: 16 +

16 er 32! Han skriver ned 8×4 = 32 mens han

forklarer: – Det er 8 i hver pakke og så er det 4

pakker, det blir 32. – Jeg kunne også ha skrevet

det slik: 8 + 8 + 8 + 8 = 32. Men jeg tenkte slik:

(8 + 8 = 16) ⇒ 16 + 16 = 32.

Eksemplene illustrerer at dialogen med

lærer er verdifull når vi skal vurdere elevene

sin matematiske kompetanse. For å få et full-

godt bilde av kompetansene til elevene våre, er

det ikke tilstrekkelig med en to timers prøve.

Men dette vil jeg komme nærere inn på i den

neste artikkelen.

Litteraturliste[1] Bergem, O. C. (2002) Utvikling av matematikk-

oppgaver i PISA. Hovedfagsoppgave levert til Institutt for læreutdanning og skoleutvikling ved UiO.

[2] Lie, S, Kjærnsli, M, Roe, A og Turmo, A; Nasjo-nal hovedrapport PISA 2000: Godt rustet for framtida? Norske 15-åringers kompetanse i lesing og realfag i et internasjonalt perspektiv. Acta Didactica 4/2001

[3] Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

(NSMO); www.matematikksenteret.no Infor-masjon om de Nasjonale Prøver i matematikk.

[4] Niss, M (1999). Kompetencer og uddannelses-beskrivelse, Uddannelse 9: 21–29. Danmark

[5] Niss, M, Jensen, T. H. (2002) Utdannelsessty-relsens temahefter nr. 18- 2002; Kompetancer og matematiklæring. Undervisningsministeriet, København

(fortsatt fra side 6)

kubene. Følger ellers samme prinsipp som for

’i tredje rekka’.

Setter X Z= 4 , Y Z= +( )1 4 . Formelen blir

da:

Y X Z Z Z Z Z Z Z Z

Y X Z Z Z

= + × + × + + + + +

= + + + +

3 3 3 3 1

4 6 4 1

2 3 2

3 2

Løser vi ut Z får vi formelen:

Y X X X X= + + + +4 6 4 14 3 4 2 4( ) ( ) ( ) .

En generell løsningEtter hvert begynte jeg å undre meg om det

fantes en generell løsning for tall opphøyd i

hva som helst. Jeg hadde begynt å tenke på det

allerede når jeg holdt på med ’kubikkrekka’,

men nå så jeg en viss likhet mellom denne og

formelen for tall opphøyd i fjerde potens. Jeg

prøvde med mange generelle uttrykk uten å

lykkes.

Til slutt innså jeg at løsningen var enklere

enn jeg hadde trodd. Ved å bruke de samme

definisjoner for Y og Z som tidligere, og når n

er naturlige tall, får vi:

Y Z n= +( )1 .

Da X Z n= blir Z Xn= . Får da den generelle

likningen:

Y Xn n= +( )1 .

tangenten 1/2005 19

Per Storfossen

Lag et regnestykke med 25 som svarPå barnetrinnet møter elevene tallregningen

eller aritmetikken. Addisjon eller addisjons-

oppgaver blir først presentert. Deretter følger

ofte de andre basisregningsartene i rekkefølgen

subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Kan-

skje det er mulig og fruktbart samtidig å ta i

bruk alle de fire basisregningsartene for å hjelpe

elever til å se sammenhengen mellom dem når

tallene som oftest er små? Hvilken oppgavetype

kan i så fall stimulere til en slik elevaktivitet? En

slik problemstilling ga grunnlag for at elevene i

en fjerdeklasse ved Lovisenberg skole i Hamar

arbeidet med å løse oppgaven «Lag et regne-

stykke med 25 som svar».

Senere har vi oppdaget at den samme opp-

gavetypen er gitt i Nasjonale Prøver med opp-

gaveteksten «Lag fem forskjellige regnestykker

med 24 til svar».

Fokus var å se hvordan elever opplever

møtet med regningsartene. Elevene hadde ikke

tidligere erfaring med den oppgavetypen. Vi var

spente på hvordan de ville reagere på selve opp-

gaveformuleringen, og hvordan de ville komme

i gang med å løse en slik åpen oppgave. Ville de

for eksempel lage kun ett regnestykke som de

ble bedt om, eller mange regnestykker hvor alle

de fire basisregneartene kom i betraktning?

Vi prøvde å unngå presentasjon og bruk

av standardalgoritmer (effektive, rigide og

abstrakte ‘regnemaskiner’) når tallene er små,

og når elever selv foretrekker å bruke egne

metoder.

Elevene gikk til verketLæreren skrev bare oppgaveteksten på tavla, og

ga dem ikke veiledning eller forklaring. Hen-

sikten var å gi elevene en reell sjanse til å prøve

seg på utfordringene oppgaven ga. Elevene gikk

til verket.

Responsen til oppgaveteksten uteble ikke.

Noen satt som spørsmålstegn og spurte «Hva

skal jeg gjøre, jeg forstår ikke noe? Skal jeg

gange eller legge sammen?» Andre uttalte etter

en kort stund «Hei, det går ikke an å stoppe,

det er jo ørthen måter å gjøre dette på». Den

sistnevnte kommentaren reflekterte til opplev-

elsen av å se den store mengden av regnestykker.

De så for seg ‘uendelig av muligheter’. Vi lærere

fikk oppleve å se barns naturlige nysgjerrighet

og kreativitet komme til syne. Den umiddelbare

friheten ved det å komponere noe og å kaste seg

ut i et ‘undersøkelseslandskap’ var noe nytt og

spennende for dem. Det var også konkurranse

mellom noen av elevene om å lage flest mulig

regnestykker. Her ble det mye regnetrening!

Per Storfossen er høgskolelektor i matematikk fagdidaktikk ved Høgskolen i Hamar, studiested Elverum, per.storfossen@hihm.no

1/2005 tangenten20

Den andre gruppen av elever hadde prob-

lemer med å komme i gang med oppgaven. Det

så ikke ut til at de fikk tak i hva som var menin-

gen med den, eller hva de skulle gjøre. Etter en

stund fikk de hjelp av læreren som foreslo hvor-

dan de kunne arbeide.

I etterkant snakket vi med noen elever for

å få nærmere kjennskap til framgangsmå-

tene deres. Vi så spor av flere mulige tanke-

modeller. I elevbesvarelse nr. 1 er det første

regnestykket 100 : 4 = 25, mens det siste er

1000000 : 40000 = 25. I linjen under dobles både

dividend og divisor slik at en får 200 : 8 = 25.

Neste regnestykke, 300 : 12 = 25, kan være en

transformasjon av 100 : 4 = 25 ved at dividend

og divisor er multiplisert med 3.

3000 : 120 = 25 kan være framkommet ved

å multiplisere med 10 i både teller og nevner

i det tidligere regnestykket 300 : 12, eller ved å

multiplisere med 30 i både teller og nevner i reg-

nestykket 100 : 4. Det er også mulig å komme

fram til det samme resultatet ved å addere

(kombinere resultater fra tidligere regnestykker)

tellerne og nevnerne hver for seg i regnestyk-

kene 100 : 4 og 200 : 8 ved at (100 + 200) : (4 + 8

) = 25. Resultatet er gyldig fordi 1004

2008

25= =

og 100 2004 8

100 1 24 1 2

25++

++= =( )

( ) ved at kvotienten (kon-

stanten) er den samme (25). Resultatet er gener-

aliserbart eller allmenngyldig fordi når ab

k ak b

= =⋅⋅

kvotient, vil a kab kb

a kb k

ab

++

++= = =( )

( )11

kvotient. Å nytte

at kvotienten er den samme krever en innsikt i

brøkbegrepet.

Et nytt regnestykke kan framkomme ved å

ta utgangspunkt i et tidligere regnestykke, for

deretter å multiplisere teller og nevner med en

ønsket konstant. Et eksempel er regnestykket

7000 : 280 = 25 som kan utledes fra det tidligere

regnestykket 1000 : 40, hvor den valgte kon-

stanten er 7. Flere regnestykker indikerer at

eleven kan ha en oppfattelse av multiplikas-

jon og divisjon som motsatte regneoperas-

joner. Vi får bekreftelser på dette når vi gjen-

Tre eksempler på elevarbeider

Elevbesvarelse nr. 1

Elevbesvarelse nr. 2

Elevbesvarelse nr. 3

tangenten 1/2005 21

kjenner dobling og halvering i regnestykket

100 4 100 200 200 8 251004

14

18

: := = ⋅ = ⋅ = = .

I elevbesvarelse nr. 2 starter eleven med å

skrive addisjonstykket 21 + 4 = 25. I linjene

under legger eleven til en i den ene addenden

for samtidig å trekke fra en i den andre, slik at

regnskapet holdes i orden. Dette indikerer elev-

ens forståelse av at subtraksjon og addisjon er å

betrakte som motsatte regneoperasjoner. For-

holdet kommer fram for eksempel av transfor-

masjonen 25 + 0 = 25 til 31 – 6 = 25. Vi merker

oss også at det trer fram et tallmønster gjennom

elevenes tallregninger.

I besvarelse nr. 3 viser eleven hvordan reg-

ningsartene kreativt kan anvendes og settes i

sammenheng med hverandre. I regnestykket

5 · 6 – 5 = 25 benyttes eksempelvis både mul-

tiplikasjon og subtraksjon. Vi antar at eleven

har en tallforståelse ved at ett tall kan uttrykkes

på ulike måter ved hjelp av ulike regneoperas-

joner.

De tre elevbesvarelsene viser at vi ikke bare

fikk ett regnestykke som vi ba om, men mange

regnestykker. I alle eksemplene brukes likhets-

tegnet riktig som en balanse ved å assosiere

det med å gjøre sammenlikninger. Dette skjer

når eleven går fra et regnestykke til det neste

regnestykket. Til venstre for likhetstegnet lager

eleven et regnestykke (regneoperasjon) og til

høyre for likhetstegnet finnes svaret på reg-

nestykket (25). Denne dualismen med bruken

av likhetstegnet kommer til syne i eksemplene.

Alle regnestykkene kunne derfor føres under

hverandre, noe elevene var vant til. Vi opplevde

at oppgaven stimulerte elevenes fantasi og

kreativitet. Den var utfordrende å arbeide med

for lærere og elever. Arbeid som dette kan gi

grunnlag for videre bevisstgjøring av likhets-

tegnets funksjon og av hvordan regneartene

henger sammen.

En gjennomgang av elevarbeidene viser at

alle utregningene gjøres med hoderegning. Reg-

nestykkene føres rett inn i kladdeboka uten mel-

lomregninger. De valgte ikke å bruke kalkulator

som alle hadde tilgjengelig. Kladdebøkene viser

at det sjelden forekom regnefeil i utegningene.

Monografisk metode Flere av elevarbeidene viser at det falt dem

naturlig å anvende alle regningsartene. I opp-

gaven utnyttet de sammenhenger mellom dem.

Denne anskueliggjørelsen er gjort før. Gudrun

Malmer [3] beskriver en metode kalt for mono-

grafisk metode. Metoden tar hensyn til at de

fire regningsartene henger tett sammen. Hun

mente at barnet opplever denne helheten i sine

tidlige møter med matematikken. Hun refererer

til tyskeren Grube [2] som utviklet metoden på

midten av 1800 tallet. Grube foreslo at det var

bedre å arbeide med alle regningsartene samti-

dig (under ett) for å se den tette sammenhen-

gen mellom dem, enn i stedet å behandle dem

som strengt atskilte regningsarter hvor addisjon

kom først. Metoden representerer en slags hel-

hetstenkning der en går fra helhet til deler, og

kaller den for analytisk metode. Forfatteren R.

Braun [1] gjør rede for Grubes arbeide og den

monografiske metode. Også Heiberg Solem og

Lie Reikerås [4] oppfordrer til monografisk til-

nærming.

Referanser[1] Braun R. (1979). Mathematikunterricht und

Erziehung: die monographische Methode A. W. Grubes als didaktisch-methodisches Konzept eines erziehenden Rechenunterrichts, zugleich ein Beitrag zur Geschichte der Grundschul-didaktik der Mathematik. Europäische Hoch-schulschriften. Reihe 11, Pädagogik; 68. Frankfurt am Main.

[2] Grube A. W. (1860). Pädagogische Studien und Kritiken für Lehrer und Erzieher. Leipzig: Brandstetter.

[3] Malmer G. (1991). Kreativ matematikk. Ekelunds Forlag AB

[4] Heiberg Solem,I & Lie Reikeraas (2001). Det matematiske barnet, Bergen: Caspar Forlag

1/2005 tangenten22

Barbro Grevholm er professor i matematikkdidaktikk ved Høgskolen i Agder, Norge og Högskolan Kristianstad, Sverige, barbro.grevholm@hia.no, barbro.grevholm@mna.hkr.se

Barbro Grevholm

Kognitiva verktyg för lärande i matematik – tankekartor och begreppskartor InledningFör en alltför stor grupp elever är matematik

det besvärligaste skolämnet att komma till

rätta med. Läraren finns där för att stödja och

hjälpa eleven när det blir svårt att gå vidare i

lärandet. I aktuella rapporter från PISA-under-

sökningen visar det sig att norska elever ligger

under genomsnittet i matematik i OECD-län-

derna. Detta har väckt debatt i stora kretsar

och många undrar varför det måste vara så när

Norge är ett land med så goda resurser mänsk-

ligt och materiellt.

Det finns en tradition i matematik för lärare

att diagnosticera sina elever med olika typer

av prov och diagnoser. Därmed kan lärare

i regel ganska klart peka ut var eleven står i

sin lärandeprocess och vad som ännu inte

är uppnådda kunskaper. I Norge har omfat-

tande arbete utförts för att utveckla lärares och

elevers möjligheter till diagnoser och att följa

upp dem på ett meningsfullt sätt och en del av

arbetet är utgivet i serien ’Kartlegging av mate-

matikkforståelse’ utgivet av Læringssenteret. Se

till exempel Streitlien, Wiik och Brekke [11]. I

Norge betonar kursplanen L97 begreppsbild-

ning och begreppslig förståelse.

Men hur går man vidare därifrån och hur

kan eleven få individuell hjälp och stöd att ta

ett steg till i utvecklingen? Var kan läraren få

hjälp med att välja ut de åtgärder som är lämp-

liga för just en viss elev med klart fastlagda

svårigheter? Söker man efter litteratur som

läraren kan dra nytta av i en sådan situation

är det svårt att finna något. Lärares professio-

nella kunskaper är i hög grad talade eller tysta

kunskaper som förs över med traditioner från

en generation av lärare till nästa.

Det finns dock forskning som kan ge upp-

slag om lämpliga utvägar för läraren och eleven

i samarbetet. För lärare finns det i regel inte

tid avsatt att på egen hand sätta sig in i sådana

forskningsrapporter och dra ut lämpliga kon-

sekvenser av dem.

Vad säger forskningen?Ett exempel som kan nämnas är Ebbe Möl-

leheds avhandling [9] om problemlösning i

matematik. Han visar att den viktigaste fak-

torn som påverkar eleven när det gäller fram-

gång i att lösa problem är förmågan att förstå

tangenten 1/2005 23

texten i uppgiften. Det resultatet stämmer med

flertalet lärares egna erfarenheter. Men hur ofta

sker aktiviteter i klassrummet med avsikt att få

eleverna att fokusera på betydelsen av att förstå

en problemtext? Ytterst få läroböcker innehål-

ler övningstyper som arbetar med textförstå-

else. Detta är bara ett exempel på att många

vet vad som krävs men trots det arbetar vi inte

aktivt med uppgiften på ett sätt som stämmer

med våra kunskaper om problemen.

Många forskare använder modeller i form

av nätverk eller kognitiva strukturer där ny

kunskap kopplas till den tidigare genom länkar

för att beskriva hur kunskapen utvecklas hos

individen (Hiebert & Lefevre [4]; Novak [7]).

Det ligger då nära till hands att använda kog-

nitiva verktyg som anknyter till nätverk.

En annan aspekt som också är välkänd är

att det är svårt för elever att själva bygga upp

en struktur och överblick över sina kunskaper.

Här kan lärare vara till god hjälp om de förser

eleverna med sådana kognitiva verktyg som

passar för att skapa struktur och visa helhe-

ter. Jag ska ta upp och diskutera några sådana

kognitiva verktyg och deras användningsmöj-

ligheter.

Begreppskartor som kognitiva verktygBegreppskartor förekommer i många olika

former, som namn på bilder som knyter

samman företeelser och fenomen som kan

associeras till varandra. Det kan vara i form

av en spindelvävsliknande struktur eller i en

hierarkisk struktur. De förra kallas ofta tanke-

kartor (Buzan, [1]). Tankekartans egenskaper

och användningsmöjligheter kan kort sam-

manfattas så här:

– kan ge skiss av ett område översiktligt

– kan vara en sammanfattning

– kan vara en självdiagnos efter studier

– för repetition

– för redovisning

– är en mental kartbild

– kan knyta samman nyckelord och

begrepp

Begreppskartorna introducerades på 70-talet

av Joseph Novak [6–8] som ett kraftfullt verk-

tyg för lärande. Egentligen utarbetade Novak

och hans medarbetare från början begrepps-

kartor som ett instrument för att i en samlad

bild sammanfatta huvuddragen i elevers

begreppsuppfattning av det som kom fram i

en forskningsintervju. I lärarutbildningen har

jag använt dem för att synliggöra och disku-

tera centrala begrepp och hur de utvecklas.

Studenter bedömer verktyget som användbart

både i eget lärande och i sin egen undervisning

(Grevholm, [2, 3]).

Figur 1, som presenterades på LUMA 1998

(konferens för lärarutbildarna i matematik

i Sverige), är min begreppskarta över vad en

begreppskarta är. Begreppskartan är en bild

som representerar en persons kunskaper vid

ett visst tillfälle uttryckta genom påståenden.

Påståendena länkar olika begrepp till varan-

dra med hjälp av länkord, som oftast är verb.

Begreppen är i regel substantiv. Begreppen

är hierarkiskt strukturerade i begreppskar-

tan. Länkarna visar hur de olika begreppen

är förbundna med varandra i ett nätverk, en

kognitiv struktur. Länkorden har en viktig

roll i att ge mening åt kartans delar och skiljer

begreppskartor från tankekartor, där det i regel

saknas.

Begreppskartor kan användas både vid

undervisning, inlärning, diagnosticering och

bedömning. De skiljer sig från tankekartor

genom att de är byggda av kunskapspåståen-

den och är hierarkiska. Länkorden är viktiga

och saknas i regel i en tankekarta. Konstruk-

tion av kunskap är en komplex produkt av

1/2005 tangenten24

den mänskliga kapaciteten, den kulturella

kontexten och förändringar i utvecklingen av

relevanta kunskapsstrukturer och verktyg för

att erövra ny kunskap (Novak 1998). Novak

hävdar att begrepp spelar en central roll i både

lärandets psykologi och teorier om kunskap.

Novak definierar ett begrepp som uppfattade

regelbundenheter i händelser eller objekt och

som vi har infört en etikett eller benämning

för. Etiketten kan vara ett ord eller en symbol.

Novak har använt begreppskartor som ett

verktyg för att representera strukturer eller

ramverk av begrepp/påståenden, som har här-

letts från kliniska intervjuer eller konstruerats

av lärande subjekt. Begreppskartor har visat

sig vara användbara verktyg vid planering av

undervisning och för att hjälpa studenter att

lära sig hur man lär.

Några exempel på begreppskartor i matematikFigur 2 är ett exempel på en begreppskarta

som ritats av en matematiklärare i Sverige,

som deltog i en workshop om begreppskar-

tor. Läraren hade aldrig tidigare ritat sådana

kartor. Andra lärare ritade kartor som till stora

delar liknade den här, så den är på intet sätt

specifik. Vad kan jag då läsa ut ur denna karta?

För det första ser jag att läraren ritar in fler

begrepp än vad jag brukar få från mina lärar-

studerande. Ett sådant exempel är olösbar, som

egenskap för en ekvation. Kanske ser vi också

att läraren är mest inriktad på polynomekva-

tioner eftersom hon tar upp att ekvationer kan

vara av olika grad. Det är vanligt att lärarstu-

derande är mera kategoriska och skriver ’har

olika grad’. De glömmer då helt bort att de löst

många andra typer av ekvationer såsom tri-

gonometriska, exponentiella osv. När exempel

Figur 1

tangenten 1/2005 25

nämns blir det oftast sådana som varit kun-

skaper länge hos den som ritar, alltså de första

mera grundläggande kunskaperna mera ofta

än de mest färska. Vi ser även att läraren är

medveten om till vad ekvationer kan användas

och att de kan beskriva olika skeenden. Det är

mindre vanligt att elever visar fram den sor-

tens övergripande kunskaper. Läraren ger även

exempel på tre olika sätt att lösa ekvationer

och visar även där prov på god överblick. Inga

irrelevanta eller triviala påståenden finns med,

vilket kan förekomma hos yngre elever som har

svårt att fokusera på väsentligheterna.

Vi kan jämföra denna karta med en som är

ritad av en lärarstuderande nio månader efter

att hon avslutat sina kurser i matematik (F6

9912, figur 3).

Vi finner många gemensamma element

i kartorna. Båda säger att en ekvation är en

likhet som innehåller variabler eller okända.

Båda talar om att det kan finnas en eller flera

lösningar. Vilka skillnader finns det? Den

lärarstuderande har vissa triviala påståenden

som att den okända kallas x, y eller z. Den

lärarstuderande drar in begreppet ekvations-

system, som ingår i kursen i funktionslära för

dem. Hon skriver också om lösningsmetoder,

men kopplar lösningsmetoder för ekvations-

system till ekvationer istället för ekvations-

system. Här ser vi alltså kopplingar som bör

strukturers om. Av metoder för att lösa ekva-

tioner nämner hon enbart grafisk och gissa och

pröva. Hon har givetvis löst ekvationer både

algebraiskt och numeriskt, men de kunska-

perna kommer inte fram vid det här tillfället.

När den lärarstuderande fick rita om sin karta

ett halvt år senare såg den ut som i figur 4.

Nu har bilden fått en bättre struktur. Ekva-

tionssystem och deras lösningsmetoder är rätt

hopkopplade. Lösningsmetoder för ekvationer

har blivit faktorisering och prövning, fortfa-

rande lite ofullständigt. Men den lärarstu-

derande nämner fortfarande ingenting om

vad ekvationer kan användas till. Begreppet

Figur 2

1/2005 tangenten26

okänd har utgått till förmån för variabel och

hon talar fortfarande om att de brukar kallas

x, y eller z. Under tiden som gått från decem-

ber 1999 till juni 2000 hade denna lärarstude-

rande inga kurser i matematik och heller inte

någon skolpraktik i matematik. Trots det har

det hänt något med hennes begreppsstruktur,

den har förfinats och blivit mer logisk och

tydlig. Hennes matematiska språk har förbätt-

rats. Detta är tydligt även för andra studenter,

vars kartor jag studerat. Det tyder på att det

händer något med begreppsstrukturen även

då den lärande inte aktivt arbetar med ämnet.

Det är en spännande observation, som det vore

intressant att veta mer om.

När är en begreppskarta en bra begreppskarta?För den individ som ritar kartan är den alltid

rätt i den meningen att den utgör den bild av

begreppsstrukturen som individen har just

då. För en lärare kan däremot kartan signa-

lera sådana observationer som jag har beskri-

vit ovan. Kanske ser man att vissa underbe-

grepp saknas. Kanske är vissa kopplingar lite

märkliga och kan behöva ifrågasättas. Kanske

är vissa delar ofullständiga. I samtal mellan

lärare och elev om en karta kan sådana ting

komma fram. Eleven kan få uppgifter som gör

det möjligt att tillägna sig den kunskap som är

ofullständig eller saknas helt. Om vissa kopp-

lingar är märkliga behöver det kanske utma-

nas i en problemsituation? Det är alltså inte så

fruktbart att tänka i termer av en bra karta. En

karta ska vara en bild av hur den ritande just då

uppfattar sin begreppsstruktur. Och en karta

ska vara ens egen. Lärarens kartor bör nog inte

användas som instrument i undervisningen.

Eleven ska rita så som hon har konstruerat sin

egen kunskap, allt i konstruktivistisk anda.

Figur 3

tangenten 1/2005 27

Däremot kan det vara fruktbart för elever att

jämföra sina kartor och ställa frågor om vad

som skiljer och förenar.

Hur kan begreppskartor användas?I litteraturen finns beskrivet en rad olika sätt

att använda begreppskartor (Novak 1998). Vid

starten av ett nytt avsnitt kan läraren inleda

med en kartläggning av elevernas förkunska-

per genom att de får berätta allt de vet genom

påståenden. Dessa kan skrivas upp på tavlan

och därefter sammanfogas i en begrepps-

karta. Kartan blir ett synligt bevis på klassens

utgångsläge inför nya kunskaper. Efter det att

klassen arbetat igenom det nya avsnittet kan

en ny karta ritas. Jämförelse med den tidi-

gare kartan kan då synliggöra nya kunskaps-

strukturer och begrepp. Detta är då exempel

på kartor som innehåller en grupps samlade

kunskaper. I en jämförelse blir det tydligt för

både lärare och elever om några luckor finns i

associationerna mellan begrepp eller om elever

har olika uppfattning om hur begreppen ska

länkas samman.

En elev som vet hur begreppskartor ritas

och fått en viss vana att göra det kan använda

verktyget i sitt eget lärande. När ett nytt avsnitt

bearbetats kan eleven försöka rita sin egen

karta över de nya kunskaperna. Det visar sig

att kartorna är högst individuella. Steg för steg

kan eleven i kartan rita in sin egen kunskaps-

utveckling och se om det sker nytt lärande eller

Figur 4

1/2005 tangenten28

inte. I samtal med läraren kan eleven diskutera

om hans karta stämmer med en mera allmän

syn på begreppen eller om eleven kanske fått

en vag eller oklar bild av hur begreppen hänger

samman.

För att skapa utmaningar i lärandet kan

läraren låta elever rita sina egna enskilda

begreppskartor och därefter be dem att i små

grupper jämföra sina kartor inbördes. Elever

upptäcker då likheter och skillnader och vär-

defulla diskussioner uppstår om varför de har

olika uppfattningar på vissa punkter. Det kan

leda till att någon elev ändrar uppfattning och

ser nya möjligheter att förstå begreppssam-

banden. Elever kan upptäcka att vissa kartor

är rikare än andra och har fler länkar. De kan

få impulser att införliva fler delar i sin egen

karta och på så sätt utvidga sin syn på begrep-

pen inom området. I samtalen får elever till-

fälle att utveckla ett matematiskt språk och får

ge uttryck för hur de tänker matematiskt och

motivera det för kamraterna. Resonemang och

samtal av detta slag är väsentliga för lärandet

(Schoenfeld, [10]).

Kartorna kan användas för läraren att skapa

sig en bild av hur en student tänker. De fung-

erar då som ett alternativt diagnosinstrument,

som kan användas upprepade gånger. Lärare

kan använda begreppskartor för sin egen del.

Att rita en karta inför ett nytt avsnitt inne-

bär att du som lärare tydliggör för dig själv

vilka centrala begrepp och delbegrepp du vill

behandla och hur du ser sambanden mellan

dem. Det kan tydliggöra för dig som lärare

vissa kopplingar, som du kanske annars inte

hade betonat så starkt. Om elever ska få en god

begreppsuppfattning måste de få de viktiga

begreppen belysta ur olika aspekter så ett de

får en rik och nyanserad begreppsbild (Niss,

[5]).

Sammanfattningsvis gör jag en översikt

över hur begreppskartor kan användas dels i

grupp eller klass dels för enskilda elever:

I grupp eller klass

En begreppskarta kan fungera

– som inledning eller brainstorm för att

diagnosticera kunskaper

– som avslutning, för att sammanfatta och

ge en helhetsbild

– vid genomgång för att se var man fogar

till ny kunskap till den tidigare

– som startpunkt för jämförelser och dis-

kussion

För enskilda elever

En begreppskarta kan fungera

– genom att dokumentera elevens kunskaper

för henne själv

– för att skapa överblick

– för att kunna visa hur ny kunskap utvecklas

och fogas till den tidigare

– som jämförelse över tid för att eleven ska

kunna iaktta sin egen utveckling

– vid samtal med kamrat för jämförelser

– för att utveckla sitt språk inom ämnet

– för att se var det finns luckor i kunskaperna

eller outvecklade föreställningar

– för att sammanfatta studier

– för att repetera vid senare tillfälle

För läraren själv

En begreppskarta kan användas

– för att skapa överblick vid förberedelser av

undervisning

– för att strukturera sin undervisning

– för att bedöma och examinera elevers kun-

skaper

– för att prioritera vid val av stoff

– för att granska sin egen bild av kunskaper

inom ett område

tangenten 1/2005 29

Begreppskartor är kraftfulla verktyg men man

måste själv ha prövat på för att verkligen känna

styrkan i dem. Det finns god datorprogamvara

tillgänglig på nätet utan kostnad. Med ett pro-

gram som Cmap kan man enkelt rita tydliga

och bra kartor som kan vara till stor hjälp i

arbetet.

Litteratur [1] Buzan, T. (1982). Använd huvudet bättre.

Stockholm: Undervisningstjänst.[2] Grevholm, B. (2000a). Teacher education in

transition: The case of Sweden. Kristianstad: Högskolan Kristianstad.

[3] Grevholm, B. (2000b). Research on student teachers learning in mathematics and mathe-matics education. I Proceedings from Interna-tional Conference of mathematics Education 9, Makuhari, Tokyo, Japan.

[4] Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics. An introductory analysis. I J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: the case of mathematics. (pp 1–27). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

[5] Niss, M. (2001). Den matematikdidaktiska forskningens karaktär och status. I B. Grev-holm (ed.) Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.

[6] Novak, J. D. (1985). Metalearning and metaknowledge strategies to help students learn how to learn. I L. West & A. Pines (eds.), Cognitive structure and conceptual change, pp. 189–207. New York: Academic Press.

[7] Novak, J. D. (1998). Learning, creating and using knowledge. Mahwah, New Jersey: Law-rence Erlbaum.

[8] Novak, J. D. & Gowin, D. B. (1984). Learning how to learn. Cambridge: Cambridge Univer-sity Press.

[9] Möllehed, E. (2001). Problemlösning i grund-skolan. Malmö: Malmö Högskola.

[10] Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metakogni-tion and sense-making in mathematics. I D. A. Grouws (red), Handbook for research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan.

[11] Streitlien, Å., Wiik, L. & Brekke, G. (2001). Tanker om matematikkfaget hos elever og lærere. Læringssenteret.

1/2005 tangenten30

Nils Kristian Skiple

Kva må gjerast for at elevane skal bli flinkare i matematikk?

Utgangspunktet for denne teksten er evalu-

eringa av L97 (Brekke m.fl. 2003) og resultata

frå den internasjonale undersøkinga PISA2000

(Kjærnsli og Lie 2003).

Evalueringa av L97 viser at elevane sine

rekneferdigheiter har gått ned frå 1995 til 2003,

og at intensjonane i læreplanen i liten grad er

følgd opp i praksis.

Resultata frå PISA2000 viser at Noreg gjer

det spesielt dårleg i matematikk.

Det er difor nødvendig å gjera noko, men

kva?

Brekke foreslår ein tydlegare læreplan og

meir kursing av matematikklærarane. Eg er

einig i det, spesielt at det trengst ein tydlegare

læreplan. Men for at den læreplanen skal bli

god er det viktig at ’kvardagsperspektivet’ frå

’grasrota’ kjem fram.

For det første, lærarane får så utruleg mange

føringar frå styresmaktene, kva garantiar har

me då for at føringane knytt til matematikk

skal bli prioritert?

Og for det andre, når læreplanen ikkje blir

følgd opp i praksis, så må det også vera grun-

nar for det knytt til den einskilde elev, lærar og

skule. Vil elevane læra matematikk? Kva sosio-

økonomisk bakgrunn har dei? Kva haldningar

har dei til skulearbeid generelt? Kva tenkjer

eigentleg lærarane? Kva haldningar har dei til

faget? Kva erfaringar har dei? Kva identitet har

dei? Korleis er arbeidsmiljøet på den einskilde

skule? Er realfaglærarane inkludert i felles-

skapen, er det rom for refleksjon, er det rom

for nytenking, korleis er dei fysiske forholda

på skulen, korleis er budsjettet, kor sterke er

føringane frå kommunen og staten? Dette er

eit utval spørsmål meir direkte knytt til sku-

lekvardagen og livet i skulen. Og når desse

vert drøfta trur eg det er viktig å ha eit ’ned-

anfrå og opp-perspektiv’, i motsetning til det

meir vanlege ’ovanfrå og ned-perspektivet’. I

det følgjande vil eg avgrensa meg til lærarane

ved å laga ei historie om to ulike lærartypar,

Nils Kristian Skiple studerer matematikk fagdidaktikk ved Universitetet i Bergen, nils.skiple@student.uib.no

tangenten 1/2005 31

og drøfta kva som skal til for at dei skal dra i

same retning.

Lærar A er ein mann i 50-åra med universitets-

utdanning innan realfaga, og lærar B er ei ung

forholdsvis nyutdanna kvinne med allmenn-

lærarutdanning. Dei jobbar på ein bynær, stor

ungdomsskule, me er i år 2000, og L97 er offi-

sielt ferdig innførd.

Lærar A underviser framleis på gamlemå-

ten; omgrep og algoritmar blir gjennomgått

ved hjelp av tavla, elevane øver på dei ved hjelp

av læreboka. Elevane til lærar A får dei beste

eksamensresultata, elevane er fornøyde, forel-

dra er fornøyde og rektor er fornøyd. Rektor

veit at læreplanen ikkje blir følgd, men når

alle er fornøyde, så er det lett ’å sjå gjennom

fingrane’ med det. Elles er det verdt å merka

seg, at når alle elevane til lærar A er fornøyde,

så betyr ikkje det at alle jobbar med matema-

tikken, ein fjerdedel av elevane avskyr faktisk

matematikk. Dei putlar med forskjellige små-

ting i timane eller dagdrøymer, men dei har

bøkene framme og er rolege. Dette ser lærar

A, men han seier ikkje noko så lenge dei ikkje

forstyrrar undervisninga. Elevane skjøn-

nar denne innforståtte avtalen og held seg i

ro. Resultat, alle er fornøyde og harmonien

rår. Når lærar A lar dei som ikkje jobbar med

matematikk få vera i fred, så gjer han det, fordi

han ut frå erfaring veit at det er umogeleg å

læra dei umotiverte noko, og han veit heller

ikkje noko om korleis han eventuelt skal endra

motivasjonen deiras.

Lærar B har lest grundig i læreplanen og har

på lærarskulen vorte fora med idear om kon-

tekstavhengig matematikk og konstruktivisme.

Ho prøvar etter beste evne å realisera dette.

Elevane jobbar i grupper med forskjellige

lærebøker, dei set sine eigen læringsmål og

lagar sine eigne arbeidsplanar, dei ’tar ansvar

for eiga læring’ for å bruka ei noko slitt frase.

Lærar B ser på seg sjølv som rettleiar, tavla

blir ikkje brukt til gamaldags formidling frå

lærar til elev. På gode dagar opplever ho at

elevane bruker tavla til å forklara kvarandre

eit eller anna matematisk problem, det gjer ho

veldig glad. Vanlegvis er ho i godt humør, men

ho vert av og til litt lei og sur. Spesielt når dei

mest initiativfattige av elevane og klagar på

at dei ikkje lærer noko. Ho er litt redd for at

dei skal få foreldra til å gå til rektor og klaga,

men veit innerst inne at ho har sitt på det tørre,

fordi ho held seg til læreplanen.

Resultata til klassen på dei felles heildags-

prøvane har vore under middels, ho fryktar litt

for korleis det skal gå til eksamen. Ho skjønar

at ho ikkje enno har funne den beste måten å

organisera undervisninga, difor prøver ho ut

stadig nye måtar å gruppera elevane på, utvi-

klar stadig nytt materiell som ho gjev dei, og

eksperimenter med ulike leikar, spel og dra-

matiseringar. Ekskursjonar har ho slutta med,

fordi det rett og slett krevde for mykje forar-

beid, sjølv om dei andre lærarane på teamet var

positive. Lærar B brukar veldig mykje tid til å

førebu seg, men det tar på, ho er i ferd med å

bli litt sliten.

Elevane er vanlegvis fornøyde, dei får vera

aktive, og får prata om alt muleg i matema-

tikktimane. Det er ikkje alltid dei snakkar

om matematikk, men dei har lært at dei må

snakka om matematikk når frøken nærmar seg

det bordet dei sit ved, for elles vert ho sur, og

det er så plagsomt. Alle elevane tykkjer det er

kjekt med leikar, spel og drama. Til og med dei

som til vanleg ikkje orkar å ta ’ansvar for eiga

læring’ ved å laga eigne planar og følgja dei.

Alt i alt, elevane er fornøyde, men ein del

av dei flinke og ambisiøse elevane skjønar at

dei lærer lite på skulen, difor jobbar dei mykje

1/2005 tangenten32

heime med matematikkoppgåver som har

fasitsvar. Men dei klagar ikkje, for det er moro

å vera på skulen i matematikktimane.

Lærar A og lærar B står for kvar sin ytterkant,

lærar A for tradisjonen og lærar B for det nye

knytt til L97. Det er positive og negative aspekt

knytt til både lærar A og B si undervisning.

Kva skal til for at dei skal samarbeida, slik

at det nye kan bli ei blandinga av det beste frå

begge? Det er eit godt spørsmål, som eg i det

følgjande skal prøva å svara på.

For det første, den nye læreplanen lyt til ein

viss grad legitimera den tradisjonelle overlæ-

ringa av omgrep og algoritmar. Det grunngjev

eg ut frå Skovsmose [2] som argumenter for

at matematikken kan forståast som eit fram-

andt språk, og McLaughlin (1987, referert i

Sjøberg [2]) som meiner at eit framandt språk

best kan lærast ved at ein del grunnleggjande

ferdigheiter vert automatisert. Ein annan

grunn er sjølvsagt den at lærar A vil ta den nye

læreplanen meir alvorleg, når den inneheld

ein metode han av erfaring veit har fungert.

I L97 låg det underforstått at hans læringssyn

var ein anakronisme, og indirekte vart han då

ein gamal stabukk, ikkje så rart då at L97 vart

lagt på hylla.

For det andre, skulane lyt etablera fagsek-

sjonar og dei må få ein agenda. Først på agen-

daen til matematikkfaget lyt det stå matema-

tikkfilosofi og vitskapsteori, kva er eigentleg

matematikk, kva er kunnskap, kva er læring,

kva er målet for matematikkundervisninga i

skulen?...Altså at dei matematikkdidaktiske

spørsmåla, kva? og kvifor?, vert diskuterte.

Kanskje kan det virka litt framandt og sært

at lærarane skal vera fokuserte på filosofiske

spørsmål, men eg støttar meg til Quale (Jorde

og Bungum [1]).

Det må utarbeidast materiell som lærarane

kan bruka som diskusjonsgrunnlag, og haldast

kurs for nokre utvalde lærarar, men det vik-

tigaste er diskusjonen på den einskilde skule.

Denne diskusjonen lyt stå på agendaen ei god

stund før ein diskuterer korleis ein skal organi-

sera den nye undervisninga. I Noreg har skule-

utviklinga på den einskilde skule, i motsetning

til for eksempel i svensk skule, hatt for sterkt

fokus på ”korleis-spørsmålet”. Dette må det

takast høgde for i utforming av den nye agen-

daen jamfør idealet innan didaktikken; først

kva, så kvifor og til slutt korleis.

For at det skal vera realistisk å oppretta fun-

gerande fagseksjonar, så må noko anna priori-

terast ned. Etter mitt skjønn må det bli alt det

funksjonæraktige arbeidet i team/ trinn knytt

til det å leggja timeplanar, årsplanar, tverr-

faglege planar o.s.v. Timeplanen, eller eit sett

med timeplanar for ulike behov, bør lagast av

administrasjonen, og den nye læreplanen må

vera så spesifisert at den kan erstatta dei fleste

planane som vert laga rundt på skulane i dag.

På den måten kan det frigjevast tid til interes-

sante fagdidaktiske spørsmål.

For det tredje, lærarane må få høve til å

hospitera, for på den måten å få nye impulsar.

Det kan vera hospitering innan skulen, følgt

opp av tid til samtale mellom dei to lærarane

etterpå. Men gjerne og hospitering knytt til

andre skular og/eller relevante arbeidsplassar

som ikkje er knytt til utdanningssektoren. Min

påstand er at norske lærarar er lærevillige, og

vil ta i mot slike tilbod med glede. Føresetna-

den er at det vert lagt til rette, slik at det ikkje

kjem på toppen av alt anna, sagt med andre

ord, at ein ikkje sjølv lyt organisera det og

ordna med vikar. Statens utdanningskontor

og/eller kommuneadministrasjonen lyt altså

vera tutorar for dette.

(fortsettes side 43)

tangenten 1/2005 33

Reidar Mosvold

Takvinkler til besvær?I matematikkundervisningen ønsker vi ofte å

trekke inn eksempler på hvordan matematikk

brukes i hverdagen. Ulike yrker gjør bruk av

ulike typer matematisk kunnskap, og proble-

met er ofte for læreren å ha oversikten over

dette. Byggebransjen gjør bruk av mye mate-

matikk, og vi skal nå se et eksempel på kunn-

skaper og hjelpemidler byggfolk gjør bruk av

når de skal konstruere og bygge et tak. Her

støter vi på et teknisk hjelpemiddel som ofte

blir brukt i vinkelberegninger ved takkon-

struksjon, men som kanskje ikke er så kjent

for folk flest.

Alle hus har tak, men formene på taket kan

variere. Vi har grovt sett tre hovedtyper: pult-

tak, saltak og valmtak (se figur 1).

Et pulttak har fall bare mot den ene siden,

og blir på folkemunne ofte kalt for flatt tak,

selv om det stort sett har en helling og derfor

strengt tatt ikke er helt flatt. Saltak har fall mot

to sider, og mannen i gata ville kanskje kalle

dette for et vanlig skråtak. Når et hus med

saltak blir sett fra siden, vil en matematiker

kunne si at det ser ut som et rektangel med en

likebeint trekant plassert oppå. Takets hellings-

vinkel kan variere. Den tredje formen er valm-

tak, som har helling mot fire sider. Et hus med

valmtak har vannrett gesims rundt hele huset

og får derfor ingen gavl slik som hus med saltak

får. Å konstruere et slikt tak er slett ingen enkel

oppgave, og det er mye matematikk som ligger

til grunn for de ulike takkonstruksjonene. Her

Figur 1

Reidar Mosvold er høgskolelektor ved Høgskolen i Telemark, reidar.mosvold@hit.no

1/2005 tangenten34

vil vi gjøre en del forenklinger, og vi tar særlig

for oss utregningen av de ulike sperrene som

brukes i byggingen. Vi behandler her materia-

lene som lengder, og tar ikke hensyn til alt en

tømmermann må tenke på når det gjelder kut-

ting og slike ting.

Vi skal først se på et enkelt saltak. Saltak

har som nevnt helling mot to sider, og bjelkene

eller sperrene som holder taket oppe kalles for

alminnelig sperr. Vinkelen som en alminnelig

sperr danner med planet kalles for hellingsvin-

kelen. I en hustegning får vi som regel oppgitt

spennvidden på huset, som er husets bredde fra

svill til svill. Svillene er noe forenklet den øver-

ste kanten på huset før en setter på

taket. Når vi ser huset fra siden,

kan vi si at loddlinja fra mønet

deler huset i to like halvdeler med

lengde L. Vi kan derfor kalle spen-

nvidden for 2L, som på figur 3.

En hustegning vil også inne-

holde enten takhøyden, som er

den loddrette linjen fra svillen til

mønet, eller hellingsvinkelen. På

vår hustegning har vi fått oppgitt spennvidden

til 8000 mm og takhøyden til 2038 mm. For å

bygge et slikt tak, må vi først regne ut hellings-

vinkelen, og så bruke den til å regne ut lengden

på alminnelig sperr. Hellingsvinkelen v kan vi

enkelt regne ut ved å bruke tangens.

tan( )v

v

=

= °

2038

400027

For å regne ut lengden på alminnelig sperre

(AS) kan vi nå bruke cosinus til v, slik at vi

får:

Figur 2

Figur 3

tangenten 1/2005 35

AS

L

v= = =

(cos( )) (cos( ))

4000

274488

Vi ser at lengden på alminnelig sperre er

4488 mm, og vi kan nå starte med å kutte

til sperrene og bygge taket. Noen praktiske

forhold kommer selvsagt med i betraktning.

Sperrene skal for eksempel passe sammen

på toppen, og derfor må kuttes på skrå i en

bestemt vinkel, men det velger vi å utelate her.

Til tross for at vi forenkler en god del i forhold

til hva bygningsfolk kan tillate seg å gjøre, må

vi gjøre en hel del beregninger bare for å kunne

begynne å bygge et enkelt saltak.

For valmtak er det noen nye momenter

som kommer inn. Et valmtak har ikke bare

alminnelig sperr, men også gratsperr, som går

diagonalt fra hjørnet av huset til mønet. Hvis

huset i tillegg har en ekstra fløy eller vinkel

som vi ofte sier, må vi også bruke kilsperr til

å binde sammen de to takflatene. Vi velger å

ikke regne med noen ekstra fløy, men vi må

uansett regne ut lengden på gratsperrene før vi

kan starte byggingen. Sett ovenfra ser vi at det

er 45° mellom gratsperr og kortsiden på huset.

Takhøyden vet vi, så vi må først finne lengden

fra hjørnet og inn til mønet i planet, eller det

vi kan kalle for projiseringen av gratsperr (GS’)

ned i planet. (GS’ betyr her GS-merket og har

ingenting med derivasjon å gjøre.)

GS

LL’

(cos( ))= = ⋅

452

Så må vi finne vinkelen u mellom GS og planet,

som vi kan regne ut ved å bruke tangens.

tan( )( )

arctan(( )

) ,

uTH

L

uTH

L

=⋅

=⋅

= °

2

219 81

Nå gjenstår bare å regne ut lengden på grats-

perr (GS), som vi kan finne ved å bruke cosi-

nus:

GS

L

u= ⋅ =( )

(cos( ))

26012

Lengden på gratsperr blir derfor 6012 mm, hvis

vi regner uten flere desimaler. I husbygging gir

det ikke noen mening i å operere med mindre

mål enn millimeter.

Nå er det selvsagt ikke slik at bygningsfolk

i praksis alltid må utføre alle disse utregn-

ingene før de kan begynne å kutte sperrer

og bjelker. Ofte får de levert ferdigkuttede

sperrer, slik at husbyggingen blir som å sette

sammen et stort byggesett. Selv om alle sperrer

og bjelker kommer ferdig oppkuttet må byg-

ningsfolkene stadig gjøre en del beregninger

selv, og noen ganger får de heller ikke ferdig

oppkuttede materialer. Da må de beregne

vinkler og lengder selv. Til denne jobben ville

nok mange tømmermenn brukt den såkalte

Lindefjeld-vinkelen. Vinkelen ble konstruert

av Tollef Lindefjeld, og de første vinklene kom

i produksjon på 1960-tallet. Lindefjeld hadde

virket som tømmermann i USA tiåret før, og

der hadde han blitt kjent med og brukt den

��

���

��

��

��

�

��

GS: gratsperr, TH: takhøyde, AS: alminnelig sperr, 2L: husbredde

1/2005 tangenten36

såkalte Stanley vinkelen. Tollef Lindefjeld

forenklet denne vinkelen, men den viktigste

forbedringen var at han gjorde den nøytral

for alle mål. Vinkelen fungerer like godt om

en måler i centimeter, tommer, eller liknende.

Dette er blitt et populært hjelpemiddel som

forenkler arbeidsoppgavene for alle hånd-

verkere. Vinkelen er konstruert blant annet for

å forenkle takbygging, men kan også brukes til

flere andre formål.

Vinkelen ser ved første øyekast ut som en

vanlig snekkervinkel, men om vi ser litt nær-

mere etter er det vesentlige forskjeller. På den

korte armen til vinkelen er det preget inn

grader og tall (figur 4). Tallene er ordnet i tre

kolonner. Gradtallene står i midten, og under

hvert enkelt gradtall står stigningsforholdet.

Dersom en tømmermann har en tegn-

ing der hellingsvinkelen ikke er oppgitt, kan

han ganske enkelt regne ut stigningsforholdet

mellom takhøyden og halve spennvidden. Der-

etter kan han finne dette forholdet på Linde-

fjeld-vinkelen. Hellingsvinkelen står nå rett

over dette stigningsforholdet i den midterste

kolonnen. Vinkelen angir også forholdstall for

sperrenes lengde. Dersom taket har en hellings-

vinkel på 26°, kan han ganske enkelt gå inn

i tabellen på vinkelen og finne 26°. Tallet til

venstre for dette gradtallet er 1,11. Dette mul-

tipliseres så med L, som er halve spennvidden,

og angir lengden på alminnelig sperre. Tallet

til høyre for gradtallet brukes på samme måte

for å finne lengden på gratsperre og kilsperre.

Dermed slipper byggfolkene å gå den tunge

veien om flere kom-

pliserte regnestyk-

ker, og det eneste

de trenger å gjøre

er å lese av tabellen

på Lindefjeld-vin-

kelen og utføre noen

ganske enkle multiplikasjonsstykker. Vinkelen

kan også brukes til å sjekke vinkler i eksister-

ende bygg, og den har også flere andre funks-

jonsmuligheter.

I matematikkundervisningen kan vi trekke

inn dette med konstruksjon av tak og hellings-

vinkler når vi har om rettvinklete trekanter,

Pytagoras-setningen, trigonometri, og vi har

sett at forholdstall også kan komme inn. Vi

kan også utforme småprosjekter om takkon-

struksjon, hvor vi lar elevene forsøke å finne

ut hvordan ulike tak skal konstrueres, hvordan

de skal regne ut lengdene på de ulike sperrene,

osv. Læreren kan presentere ulike hjelpemidler

som byggfolk bruker, som for eksempel Linde-

fjeld-vinkelen. Han kan fortelle hvordan vin-

kelen virker, eller la elevene bruke litt tid på å

forsøke å finne ut av dette selv. Etter at han har

vist elevene hvordan vinkelen fungerer, kan

elevene få i oppgave å finne ut hvordan tabel-

lene på vinkelen kan regnes ut. Konstruksjon

av tak kan presenteres ganske forenklet ved å

gjenkjenne de geometriske formene og tegne

disse, og det kan gjøres stadig mer komplisert,

helt til en når det nivået av detaljer som bygn-

ingsfolk gjør bruk av.

Figurene og eksemplene her er gjengitt fra

Lindefjeld (1960). Mer informasjon om vin-

kelen finnes på www.lindefjeldvinkelen.no.

Litteratur:Lindefjeld, T. (ca. 1960) Instruksjonbok for bruk av

Lindefjeld Vinkelen

Figur 4

tangenten 1/2005 37

Cato Tveit

Restklasseregning med LegoEn innledningLigger det matematiske utfordringer for barn i

det å bygge hus med legoklosser?

Ja, vil muligens noen hevde, og de innly-

sende eksemplene er ofte: telling, geometri i

form av visualisering, romforståelse og form-

forståelse, og gjerne også nødvendig kreativitet

i matematiske forstand for å løse praktiske byg-

geproblemer. Alt litt avhengig av hvor gamle

barna er. Dette er også gjerne ting man som

pedagog ønsker å forsterke etter at huset er

bygd. Fokus blir da på ting som: Hvor mange

klosser trengte vi? Hvor stort er arealet av veg-

gene? Volumet av huset? Og barnas bruk av

begrep for å uttrykke seg utvetydig…. (se f. eks.

Herbjørnsen [2] for beskrivelse av et prosjekt

der bygging av hus med legoklosser inngår).

Jeg stiller igjen spørsmålet, men litt refor-

mulert: Er dette essensen av matematisk læring

som vi kan trekke ut av husbygging med lego-

klosser?

Jeg mener nei. I husbygging med legoklos-

ser inngår det mye mer matematikk. Samtlige

av de ovenfor nevnte momentene kan vi også

finne ved bygging i andre materialer (se f. eks.

Avdem [1]). I det følgende ønsker jeg å gå litt

lenger inn i ’legomaterien’. Utgangspunktet

mitt er ikke at lego er et godt redskap for å lære

matematikk. Min planlagte konklusjon går mer

i retning av at legobygging medfører utvikling

av et grunnlag for god matematisk forståelse på

flere områder. Følgelig blir hypotesen at barn

som har gode og omfattende erfaringer med

legobygging i ung alder, stiller med et fortrinn

i matematikk i senere skolesammenheng. Min

intensjon blir nå å forsøke å peke på hvorfor.

ProblemstillingFor å gjøre ideene klare, trenger vi en konkret

problemstilling som vi skal analysere.

Figur 1: Hus med tak i sveitserstil

Cato Tveit er universitetslektor ved Universitetet i Stavanger, Institutt for allmennlærerutdanning og spesialpedagogikk, cato.tveit@uis.no

1/2005 tangenten38

Oppgaven:

– bygg et hus med fire vegger

– taket skal ikke være for bratt, og huset

skal ha vide takskjegg (sveitserstil)

Her trengs det noen presiseringer, og innfø-

ring av noen definisjoner, slik at det blir mulig

for utrente legobyggere å følge tankegangen

videre.

En enhet, i legoterminologi, tilsvarer en

’knott’ på en legoklosse. Siden knottene er på

oversiden av klossene, har vi her enheter for

lengde og bredderetning på legobyggverket.

Legoklosser finnes i ulike tykkelser. Høyden

på alle klossene som omtales her 1 cm (dette

kan gjerne brukes som definisjon på enhet i

høyderetningen). Prototypen på en legoklosse

anses gjerne å være 2×4-klossen. De øvrige

klossene som omtales her vil være 2×2-klos-

sen, 2×3-klossen, og klosser til takbygging med

utgangspunkt i 3×2-33° og 3×4-33°. Først, med fire vegger er det underforstått av

vi snakker om et hus med rektangulær grunn-

falte, dvs. grunnmuren får rektangulær form

sett ovenfra. Ut fra tilgjengelige legoklosser er

det her også underforstått at veggene har tyk-

kelse 2.

Med tak i sveitserstil menes et ikke spesielt

bratt tak, dvs bygd med utgangspunkt i 3×4-

33°-klosser, der to enheter henger utfor lang-

sideveggen av huset (takskjegget). Med langsi-

devegg menes den veggen som ikke har gavl.

Ideelt skulle et tak i sveitserstil også henge to

eller flere enheter ut over endeveggen (veggen

med gavl), men dette er ikke noe vesentlig krav

for den videre utledningen.

Barn og legobyggingLegoklossebyggernes hovedproblem at det ikke

er ubegrenset tilgang på klosser. (I resten av

artikkelen er det underforstått at det ikke er

ubegrenset tilgang på alle typer klosser). De

sofistikerte legobyggerne spør da gjerne: er det

nok klosser til prosjektet vårt? De mer konkre-

torienterte repliserer gjerne: la oss bygge…, så

ser vi etter hvert.

Et av de kraftigste pedagogiske momentene

ved legobygging, er at slike avveiinger gjør at

en gitt utfordring blir selvdifferensierende. De

som tar en teoretisk utfordring kan resonnere

i forkant, de som ikke motiveres like mye av

teoretiske utfordringer kan gå i gang med å for-

søke å løse den praktisk først. Det interessante

her er at utfordringen som er gitt innlednings-

vis ikke lar seg løse uten litt strategisk tenking.

Følgelig vil alle som ikke tenker ut en komplett

løsningen i forkant før eller siden konfronteres

med et problem. Da trengs det noen strategier

for problemløsing. Oppgaven vår vil på dette

punktet bli et konkret skoleeksempel på bruk

av Pólyas strategi for problemløsning [3].

Når barn går i gang med et slikt bygge-

prosjekt, er det trolig noen klosser som blir

Figur 2: 2×2-klosse, 2×3-klosse, 2×4-klosse og 3×4-33°-klosse

tangenten 1/2005 39

foretrukket å bygge med. Disse klossene blir

gjerne brukt opp først, og da går man over til

andre typer klosser. Klosser av typen 2×n, der

n > 4, er store, og derfor greie å bygge med, så

lenge de er tilgjengelig. Ellers er 2×4-klosser

svært foretrukket. Klossen 2×3 faller noe kre-

vende å bruke. Klossen 2×2 er ok, men ikke

alene, da den gir problemer med å låse klossene

fra forrige lag. Det å låse klossene fra forrige lag

er essensielt for at huset skal bli stabilt. Dersom

klossene ikke låses, får vi deler av veggene som

høye tynne søyler. Dette problemet refereres

også av Herbjørnsen [2]: «De som ikke fant ut

av det, fikk en mengde løse søyler som de satte

ved siden av hverandre.»

Hvordan selve byggingen nå utarter seg, er

selvsagt svært individuelt. Det er imidlertid

et par strategier som er interessant å belyse.

Videre er det et par problem som må løses for

å faktisk kunne bygge det omtalte huset. I det

følgende betraktes husbyggingsstrategiene rent

matematisk, deretter kobles de til barns byg-

ging, og barns erfaringsstrategier med byg-

ging.

Strategi: SpeilingsbyggingSpeilingsbygging innebærer at hvert klosse-

lag i den rektangulære grunnmuren har en

(figur 3a) eller to (figur 3b) symmetrisakser

med tanke på hvordan de enkelte klossene

er plassert. Vi kan definere en byggestrategi

som ’ekte’ dersom utelukkende en type klosse

anvendes. For at klossene i neste lag skal låse

forrige lag (se figur 3c), ser vi at ekte speilings-

bygging bare kan utføres med klosser av type

2×4. Dersom man skulle forsøke å benytte ute-

lukkende klossen 2×3 ved speilingsbygging, vil

det oppstå et behov for andre typer klosser for

å justere i neste lag.

Dette medfører at en vegg som er symme-

trisk om en akse, med ekte speilingsbygging,

har lengden 4f, der f er et naturlig tall (og f hen-

viser til antall f irerklosser).

Figur 3a: 1 symmetriakse. Figur 3b: 2 symmetriakser.

Figur 3c: låsende lag.

1/2005 tangenten40

Strategi: RotasjonsbyggingRotasjonsbygging innebærer at klossenes plas-

sering i den rektangulære grunnmuren skal ha

en rotasjonssymmetri ved rotasjon 180° om et

senter i grunnmuren (se figur 4a). For å skille

rotasjonsbygging fra speilingsbygging, skal

også klossene plasseres slik at dersom langveg-

gen kortes inn slik at grunnmuren blir kva-

dratisk, skal vi også ha rotasjonssymmetri ved

rotasjon 90° om et senter i grunnmuren. Dette

medfører at alle klossene kan brukes til ekte

rotasjonsbygging. Ved å sette klossene ’motsatt

vei’ i neste lag (se figur 4b), vil vi låse klossene

fra forrige lag (her ser vi imidlertid at bruk av

utelukkende 2×2-klosser ikke låser ved rota-

sjonsbygging).

Betrakter vi utelukkende 2×3-klossen vil

veggenes lengde bli på formen 3t + 2, der t ∈ N

Figur 4a: rotasjonsbygging. Figur 4b: låsende lag

Figur 5 a–c

tangenten 1/2005 41

(og t henviser til antall treerklosser). Betrakter

vi utelukkende 2×4-klossen vil veggenes lengde

bli på formen 4f + 2, der f ∈ N.

Bygging av hus med sveitsertakVi betrakter nå konsekvensene av kriteriene

(definert tidligere) for hus med tak i sveitser-

stil. Med utgangspunkt i 3×4-33°-takklosser,

gir dette at to av enhetene skal henge ut over

langsideveggen, mens den siste enheten bygges

oppå siste lag med klosser i veggen. Dette med-

fører at første lag med takklosser ’spiser’ to

enheter av husets endevegg (se figur 5b). En

takkloss i neste lag overlapper en enhet med

forrige lag med takklosser, og spiser to nye

enheter av endeveggen (se figur 5c). Følgelig,

hvert påfølgende lag med takklosser forbruker

4 enheter av endeveggen. For at siste lag med

takklosser skal møtes i mønet, må endeveg-

gens lengde kunne skrives på formen 4n + 2,

der n ∈ N.

PlanleggingDersom vi planlegger å bygge et hus med sveit-

sertak, med utgangspunkt i ekte speilingsbyg-

ging eller ekte rotasjonsbygging, ser vi at det er

av interesse å betrakte de heltallige løsningene

til følgende ligninger.

Ekte speilingsbygging:

1) 4f = 4n + 2

rotasjonsbygging med bare 2×4-klosser:

2) 4f + 2 = 4n + 2

rotasjonsbygging med bare 2×3-klosser:

3) 3t + 2 = 4n + 2

Ligning 1) har ingen løsning. Ligning 2) og 3)

har mange løsninger. Et optimalt utgangspunkt

kan betraktes som å bygge et hus der det finnes

en løsning til ligning 2) og 3) samtidig. Dette

gir oss mulighet til å bruke ulike klosser, og

fortsatt tenke ekte rotasjonsbygging. Essensen

i problemet kan også formuleres som å finne

heltallige løsninger til 4f = 3t. Vi har heltal-

lige løsninger for hvert multippel av 3 stk 2×4-

klosser (eller 4 stk 2×3-klosser), dvs. endeveg-

gens optimale lengde er på formen 12x + 2, der

x ∈ N.

Faktisk byggingDen mest primitive byggeteknikken omtalt

ovenfor er speilingsbygging. Dersom barna

har nok 2×4-klosser tilgjengelig, er det rime-

lig stor sannsynlighet for at de ikke-sofistikerte

byggerne går i gang med 2×4 speilingsbygging.

Disse barna erfarer problemer idet det er slutt

på 2×4-klossene, eller idet de skal gjøre ferdig

mønet på sveitserhustaket. Som utledet oven-

for, huset kan ikke få sveitsertak dersom man

starter på denne måten.

Utgangspunktet for å starte med denne

type bygging er gode erfaringer med partall og

partallsløsninger, altså vegglengder som har 2

som faktor. Klossen 2×4 oppleves som en ’god’

klosse. En backup for dette utgangspunktet kan

ofte være å sette to og to 2×3-klosser sammen

(tilsvarer en 2×6-klosse). Her kjenner altså

legobyggeren til prinsippet for minste felles

multiplum til 2 og 3. Dette gir byggeklossele-

mentene en felles faktor 2. Ulempen er at idet

det er slutt på 2×4-klossene, må kompensa-

sjonen til speilingsbygging med 2×3 bli bruk

av 2×2-klosser, som ikke gir muligheten for

skikkelig låsing. (En måte å låse med bruk av

2×3- og 2×2-klosser er å kombinere to 2×3-

klosser, men ikke ved siden av hverandre. Her

ligger det da til grunn et poeng med å stable på

beina en rekke av oddetallskombinasjoner, dvs

3 pluss et multiplum av 2, som igjen ’partalls-

rettes’ ved å legge til 3 til slutt. Noen avanserte

1/2005 tangenten42

legobyggere knekker den koden.)

Eksempler på matematisk tenkning som

ligger bak det å satse på speilingsstrategi kan

være: gode erfaringer med praktisk bruk av

speilingssymmetri, etablering av minste felles

multiplum til 2 og 3 som partall og avansert

generell behandling av tall med faktor 2, dvs.

partall.

Rotasjonsbyggeteknikken kan betegnes som

noe mer sofistikert enn speilingsteknikken.

I utgangspunktet åpner den for flere valg av

vegglengder, samtidig som den åpner for strate-

gier med bruk av ulike klosser. Den sofistikerte

legobyggeren vil ha erfaringer med bygging

av sveitsertak, og kan da forutsi hvilke mål

grunnmuren bør ha. Vi vil her kunne obser-

vere to varianter: den legobyggeren som vet at

kravet 4f + 2 til kortveggens lengde er nok, og

den legobyggeren som ser at valget 12x + 2 til

kortveggens lengde gir visse fordeler etter hvert

som det minker på legoklossene.

Legobyggeren som ser at rotasjonsbygging

og 4f + 2 som vegglengde er nøkkelstrategier,

har en del uformelle erfaringer med ulike typer

symmetri, og videre, behersker ulike typer

symmetri og restklasseregning.

Legobyggeren som i tillegg ser at 12x + 2

som valg av vegglengde er et strategisk lurt

valg, har et særdeles godt forhold til minste

felles multiplum for to tall. Problemet som

først er formulert, deretter løst, kan formelt

skrives på formen:

kortvegglengde ≡ 2 (mod mfm(3, 4)).

Går vi her et trinn tilbake, og innser at de fleste

erfarne legobyggerne i stor grad vil prøve seg

fram, kan vi fortsatt reise et par spørsmål

omkring hvilke tanker og konklusjoner disse

barna gjør seg idet de finner hvilke valg som

gjør det mulig å bygge huset. Barna som kan

planlegge alle detaljene i forkant har utvilsomt

en særs god forståelse av største felles faktor

og minste felles multiplum. Barna som løser

problemet ved å prøve seg fram med bygging,

arbeider med disse problemstillingene på en

konkret måte, og finner en løsning. De har

altså utstrakt erfaring med å finne felles faktor

og felles multipler, om enn på en mer konkret

måte.

Problem som ikke omtales grundigUtgangspunktet for mine utledninger er: hvil-

ken matematikk er det de erfarne legobyggerne

behandler, på en uformell måte?

Legobygging i en skolesituasjon vil medføre

en del problemer som jeg ikke peker på her.

Mange elever vil trolig møte elementære

byggeproblemer, grunnet noe svak erfaring

med legobygging. Et eksempel på dette er pro-

blemene med lagvis bygging kontra det å bygge

ferdig en og en vegg, og problemet med låsende

byggeteknikk. Dette er to ulike vinklinger på

samme problem.

Andre aspekt kan være valg av andre strate-

gier enn de jeg har omtalt. Et eksempel på det

kan være å spare litt på de ’kjekke’ klossene,

for å kunne bruke dem til å supplere med mot

slutten.

Trolig vil få barn bygge helt konsekvent

etter de rene metodene som omtalt ovenfor. Å

bygge slavisk etter dem vil trolig bli betraktet

som noe kjedelig, da det medfører at alle klos-

sene må sorteres først. Imidlertid vil erfarne

legobyggere kjenne til flere av prinsippene,

og bruke dem indirekte og delvis. Dette vil

da innebære at de da nødvendigvis har en

viss uformell forståelse av og erfaring med

de omtalte matematiske begrepene, selv om

disse ikke hele tiden kommer fram i rendyrket

form.

tangenten 1/2005 43

Didaktisk verdi?Min analyse var ment som påpekning av hvor-

dan man kan anta at erfaringer innen legobyg-

ging har overføringsverdi til mer kjent formell

matematikk.

I skolesammenheng er det mulig å trekke

linjer fra erfaringer med legobygging til for-

mell matematikk, for de elevene som har denne

erfaringen.

En konsekvens her er også at dette belyser

noen aspekt ved små barns legobygging som

kan være interessante å forsterke. Variasjon av

byggestrategier, som gir ulike erfaringer, er et

essensielt moment.

Litteratur[1] Avdem, M. S. og Ryen, S. J. (1999): Isslottet.

DMMHs publikasonssserie nr. 3/1999.[2] Herbjørnsen, O. (2003): Lego og lavvo. Tangen-

ten nr. 2/2003. Caspar Forlag AS.[3] Pólya, G. (1957): How to solve it : a new aspect

of mathematical method – 2nd ed. Garden City, N.Y.: Doubleday

Det er mi von at ei realisering i lærepla-

nen av dei tre punkta nemnd over kan gje eit

grunnlag for at lærar A og lærar B skal koma

kvarandre i møte, og dra lasset saman. Eller

sagt på ein annan måte, at den tradisjonelle

formidlingspedagogikken skal smelta saman

med den moderne aktivitetspedagogikken til

noko nytt og gjevande for matematikkfaget.

Målt på den måten at evalueringa av den neste

læreplanen viser eit samsvar mellom plan og

praksis, og at Noreg gjer det bra i nye versjo-

nar av dei internasjonale undersøkinga PISA

og TIMSS.

Bøker[1] Jorde, D. og Bungum, B. (red.) (2003) Naturfag-

didaktikk. Oslo:Gyldendal[2] Sjøberg, S. (2003). Fagdebatikk. Oslo: Gylden-

dal[3] Skovsmose, O. (1994) Towards a Philosophy of

Critical Mathematics Education. London:Kluwer Academic Publishers

InternettBrekke, Breiteig og Alseth (2003) Synteserapport.

Evaluering av matematikken etter L97

www.program.forskningsradet.no/reform97/

uploaded/nedlasting/brekke.doc

(fortsatt fra side 32)

1/2005 tangenten44

Paal Bergh

Bueabakus Forskjellen på denne bueabakusen og abaku-

ser flest er ganske i øyenfallende. Mens andre

abakuser nøyer seg med ti kuler på enerplass,

tierplass og hundrerplass, har denne engelske

utgaven av sorten hele 20 kuler på hver av plas-

sene. Formålet med dette er å kunne visuali-

sere hvordan tieroverganger fungerer. Tanken

bak er ikke dum. Abakusen får greit frem hva

som skjer når man legger sammen tall som blir

mer enn ti. Enten det er på enerplass eller på

tierplass. Ja, til og med på hundrerplass kan

man fylle opp med 20 kuler, til tross for at det

ikke er muligheter for å ’veksle om’ videre.

Jeg prøvde ut abakusen i tredje og fjerde

klasse i forbindelse med elevenes første møte

med addisjon med tieroverganger. I første

omgang benyttet jeg innretningen for en

samlet klasse. De som satt nærmest så nok greit

hva som foregikk. Verre var det nok for dem

som satt lenger bak i klasserommet. Kulene på

abakusen er ikke runde, men sylinderformet,

med en 2–3 millimeter glipe mellom hver. De

er dessuten ganske små. Det var derfor vanske-

lig for de som hadde litt avstand frem, å få et

godt inntrykk av hvor mange kuler jeg hadde i

bruk. Dette problemet er ikke verre enn at ved

å omorganisere elevene litt er problemet løst.

Videre er det jo enda bedre å la elevene få prøve

abakusen selv. Enten alene eller i små grupper.

Et større problem er layouten på selve abaku-

sen. Tallene fra 1 til 20 er preget på fremsiden

av abakusen på en slik måte at du i første møte

med den hele tiden må kontrolltelle for å se om

du har rett antall kuler. Det er strekene mellom

hvert tall som i hvert fall gjorde meg usikker

på om kulene skulle nå øvre eller nedre strek

ved tallet.

Paal Bergh er lærer ved Midttun skole i Bergen, paal.bergh@bergen.kommune.no

tangenten 1/2005 45

Figur 1

Problemet er for så vidt lett å rette opp, men

slik produktet fremstår i dag, vil dette etter

min mening lett føre til misforståelser. Jeg

savner samtidig en klar og tydelig strek ved

titallet som viser elevene når man har kommet

til ti og må veksle. For min del løste jeg dette

ved bruk av en rød sprittusj, noe som resulterte

i at elevene så bedre når man hadde kommet

til ti.

Jeg lot elevene i de tidligere nevnte klassene

få prøve ut abakusen på egen hånd for å se

hvordan de løste konkrete oppgaver. Jeg vekslet

mellom nedskrevne og muntlige oppgaver hvor

tierovergangene fremkom vekselvis ved ener-

leddet, tierleddet eller begge. De fleste elevene

klarte dette uten store problemer. De vekslet

om, og talte sammen. Det jeg så mange av dem

stusset på, og som de svakeste elevene hadde

problemer med, var å skifte fra de ti nederste

kulene til de ti øverste når de skulle veksle

om. Det var jo for dem de nederste ti kulene

som utløste tierovergangen. De måtte derfor

begynne å telle kuler fra toppen og nedover.

De hadde heller ikke evnen til å dele opp tallet.

Hadde de for eksempel tretten enere, ville det

vært enklere å tenke at dette kunne deles opp

i ti og tre, og la de tre nederste ligge igjen, og

veksle om det som var over.

Det er nok dette som gjør at produktet ikke

lever helt opp til forventningene. Dette hadde

sikkert vært mulig å konstruere noe lignende,

hvor man kunne veksle om de nederste kulene

for å visualisere fremgangsmåten ved tierover-

ganger bedre. Men det får bli en oppgave for

ingeniørene.

Det må også nevnes at abakusen har en

bakside som gir mulighet for egne tilpasnin-

ger. Den er nemlig konstruert slik at to hvite

utskiftbare pappskiver (figur 2) erstatter de

mer eller mindre utydelige tallrekkene som

dominerer forsiden. Anvendelsesområdene er

sikkert mange. Hjelp til å visualisere sammen-

hengen mellom desimaltall og hele tall, og like-

ledes sammenhengen mellom brøk og hel- og

sammensatte tall, er to bruksområder jeg har

tenkt å prøve ut.

Figur 2

Totalt sett fungerer abakusen brukbart for de

fleste elevene etter hvert som de venner seg til

å se bort fra de forvirrende strekene i tallrek-

kene. De fleste vil heller ikke ha problemer

med å se sammenhengen mellom de ti øver-

ste kulene og de ti nederste. De vil også lett

kunne telle opp det antall kuler de må ’veksle

(fortsettes side 50)

1/2005 tangenten46

Kristin Hinna

matemania – til lek og læring i matematikk

’matemania’ (www.matemania.no) er et inter-

aktivt læremiddel i matematikk utviklet av

Caspar Forlag sammen med Mediesenteret ved

Høgskolen i Bergen. Det er et todelt produkt;

en del for ungdomsskolen og en del for mellom-

trinnet. Det er blitt gitt økonomisk støtte fra

Læringssenteret for utvikling av dette produk-

tet. Utforming av aktivitetene er det matema-

tikklærere ved Høgskolen i Bergen/Avdeling

for Lærerutdanning og Norsk Lærerakademi

Lærerhøgskolen som i sin helhet står for.

I denne artikkelen vil jeg se på den delen

som er tiltenkt mellomtrinnet. matemania er

uavhengig av andre læreverk, og det utnyt-

ter muligheten man har til interaktivitet på

Kristin Hinna er høgskolelektor i matematikk fagdidaktikk ved Høgskolen i Bergen, khi@hib.no

tangenten 1/2005 47

nettet.

Aktivt undersøkende og samarbeidende

elever kan gjøre det mulig å frigjøre lærere til

faglig å følge opp enkeltelever eller grupper av

elever. Dette kan også sees i sammenheng med

at læremiddelet vil kunne være en positiv sti-

mulans når det gjelder hjemmearbeid og sam-

arbeid skole/hjem.

Læremiddelet skal være differensierende i

den forstand at problemstillinger og arbeids-

måter er tilrettelagt for å gi utfordringer på

ulike nivåer. De mange veivalgene og åpne

problemstillinger virker også differensier-

ende. Samtidig som opplegget har til hensikt

å utfordre elever til undersøkende virksom-

het, er det også en målsetting at de utvikler

matematiske ferdigheter. Elevers innsikt i egen

kunnskapsutvikling søkes stimulert, bevisst-

gjøring omkring elevers valg er sentralt.

Læremiddelet skal kunne brukes av hele

klasser. Det skal også være et tilbud til enkelt-

elever eller elevgrupper, til ekstra interesserte

elever og til elever som trenger å arbeide mer

med faget. Det er også tenkt som er hjelpemid-

del for lærere. Læremiddelet er tilgjengelig både

på bokmål og nynorsk. Valget av målform gjør

du før du begynner på de ulike aktivitetene.

Læremiddelet er tilpasset L97, med fokus på

et konstruktivistisk læringssyn. Man ønsker

også å utvikle glede og nyfikenhet i forhold til

matematikkfaget.

Sitat fra evalueringen i en 6. klasse: «Akti-

vitetene i matemania er bra og engasjerende».

Mange jenter betegner symmetriverkstedet

som gøy.

’matemania for mellomtrinnet’ innehol-

der per i dag 23 ulike aktiviteter hvor man

kan utforske ulike matematiske begreper

som målestokk, ulike tallsystem, statistikk og

sannsynlighetsregning, algebra og geometri for

1/2005 tangenten48

å nevne noen. Man har mulighet til å utvide

spektret av aktiviteter på et senere tidspunkt

om det skulle være aktuelt. Klikker man på

’hurtigmeny-ikonet’ får man fram hurtigme-

nyen som viser alle aktivitetene i emneområ-

der som man gjenkjenner fra L97: Geometri,

Hverdagsmatematikk, Tallære og Statistikk,

sannsynlighet, strategi og spill. matemania er

ikke altomfattende, men det favner allikevel

mange av emnene som står i L97.

Ved å vektlegge det visuelle og begrense den

skrevne teksten vil det ikke by på store proble-

mer å oversette læremiddelet slik at man også

kan bruke det for språklige minoritetsgrup-

per.

Nedenfor vil jeg vise et par av aktivitetene

som man kan finne i matemania. Det kunne

ha vært et hvilket som helst av de andre akti-

vitetene da alle aktivitetene har sine særegen-

heter.

Frukthandleren: Her møter man forbipasse-

rende som lar seg friste av de varene frukthand-

leren har for salg. Her må man legge på rett

vekt på høyre side, og så frukt på venstre side

til vekten er riktig. Når det er gjort skal det

betales for varen. Her må man regne ut prisen

for varen, og så gi igjen rett.

Gir man galt beløp på vekslepenger får man

en liten tilbakemelding på dette ved at feltet

med vekslepengene ‘rister’ på seg.

Klikker man på ikonet som markerer akti-

viteten gir en egen meny. Her kan man få en

liten forklaring dersom man er usikker på hva

man skal gjøre, det ligger oppgaver til aktivi-

teten, litt informasjon om aktiviteten, en kal-

kulator og en hurtigmeny for å kunne gå til

andre aktiviteter. I noen verksteder har du også

et valg ’Vi lager’ der du kan få oppskrifter på

hvordan aktiviteten kan lages i klasserommet

uten datamaskin. Denne menyen finnes i alle

verkstedene.

Origami: Her kan man klikke på 10 ulike figu-

rer. Så får man opp en liten animasjon som

viser hvordan man kan brette denne figuren.

tangenten 1/2005 49

Her kan det være hensiktsmessig å ha kvadra-

tiske ark tilgjengelig. Dersom man synes det

går for fort, kan man vise ett og ett bilde om

gangen.

Et eksempel på en oppgave fra ’fugl’ er gitt

i rammen.

Under ’informasjon’ vil du finne dette:

«I disse verkstedene håper vi at du kan bli

bedre kjent med: symmetrier, ulike geome-

triske figurer og vinkler.

Det kan være lurt å lage figurene før du

starter på oppgavene knyttet til dem. Så kan

du brette ut igjen figurene. Da vil du se møn-

steret som er utgangspunkt for oppgavene du

skal løse.» Oppskriften som man kan skrive ut

finner man under menyvalget «Vi lager».

Eurobutikken: Her er du inne i en butikk.

Noen priser er oppgitt i kr og noen i euro. Du

får oppgitt hvor mye du kan handle for og hva

kursen på euro er. Så er det om å gjøre å handle

den varen som er billigst, for man ønsker jo å

handle så mye som mulig. Velger du ’feil’ får

du spørsmål om du vil prøve deg på nytt eller

om du vil gå videre. Klarer man å velge den

rimeligste varen gjennom hele handelen får

man meldingen: «Gratulerer, du fant billigste

vare hele tiden,» og dette blir også sett opp mot

hvor mye du hadde å handle for. Skulle man

komme i skade for å velge en dyrere vare, men

allikevel holde seg under det beløpet man har

til rådighet får man to valg: man kan prøve

en gang til eller man kan gå videre. Er du så

uheldig at du ikke har nok penger må du gjøre

handelen om igjen.

Det er to muligheter her, enten multipliserer

man opp euro med kursen, eller så dividerer

man den norske prisen med eurokursen.

Målestokk: Her skal du møblere et tenkt sove-

rom. Du møter på en liten tekst som forkla-

rer i korte trekk at du skal lage en tegning av

rommet ditt med møbler. I drop down-menyen

kan man lese om aktiviteten. Først skal man

skrive hvor høy man er og så definere lengden

på siden i hver rute slik den skal være i virke-

ligheten.

Vegger: For å tegne omrisset av rommet

ditt, må du klikke et sted i rutenettet og dra

en strek så langt som du vil ha rommet ditt.

Dra videre og få en ny vegg. Du kan velge et

enkelt rektangel eller et ’vinkelrom’ med flere

enn fire vegger. For å kunne sette møbler helt

inn til veggen, bør alle vinklene i rommet være

90 grader. Når du har tegnet omrisset av hele

rommet kan du sette inn dører og vinduer.

Møblering: Nå er du klar til å møblere

rommet. Velg blant møblene på høyre side

av skjermen og dra disse inn i rommet. Her

kan du rotere møblet ved å klikke i sentrum

av det. Du kan dra i ’pilene’ slik at møblet får

en lengde og bredde som passer målestokken

i rommet.

Pass på når du roterer eller drar i møblet!

Dersom du under rotasjonen kommer utenfor

veggen eller kolliderer med et møbel som står

i nærheten, vil det ’forsvinne’ og du må hente

møblet på nytt. Det er enkelte ting du kan

plassere over/under hverandre. Teppet kan for

eksempel ligge under et bord. En krakk kan stå

delvis under et bord eller en pult. Men sengen

kan selvsagt ikke være under kommoden.

Sengen: Når du mener du har laget et sove-

rom det går an for deg å bo i (husk at sengen

må være i rommet), klikker du på ’ferdig’-

Når du brettet ut fuglen vil du se dette fine mønsteret.Hvilken symmetri har denne figuren?

1/2005 tangenten50

knappen. Da vil en person i din størrelse for-

minsket i målestokken du har valgt, sveve inn

i rommet og legge seg i senga. Dersom senga

er i rimelig bra målestokk, får du en ’god natt’-

melding.

Etterarbeid: Skriv gjerne ut soverommet

ditt og lag regnestykker. Kan en medelev for

eksempel finne ut hvor lang og brei pulten din

ville vært i virkeligheten?

Styrker ved læremiddeletEn av styrkene ved dette læremiddelet er at det

ligger på nettet. Man slipper å installere pro-

grammet før bruk, og all informasjon er lett

tilgjengelig for elever, lærere og også foreldre.

Det er stort nettsted, gjennomført med høy

kvalitet på de enkelte verkstedene

Av de 23 aktivitetene er det tre som ikke har

egen oppgavemodus. Dette fordi oppgavene er

integrert i selve aktiviteten. Slik sett får man

også en større variasjon i aktivitetene.

Klikker man på ’Om matemania’ vil fag-

lærer finne mer stoff som kan være relevant

for bruken av læremiddelet. Det er et ønske at

matemania skal være så lett tilgjengelig som

mulig.

om’. For de svake elevene derimot, vil denne

abakusen ha for mange forvirrende elementer

som vil ligge som et hinder for den gode visua-

liseringen produktet egentlig skulle bidra til.

Så må man i neste omgang spørre seg hvem

det er som har størst behov for en abakus som

illustrerer tieroverganger på denne måten. Er

det ikke først og fremst de elevene som sliter

med matematikkens abstrakte tenking?

Bueabakusen forhandles av KPT Naturfag,

www.kptnaturfag.no.

(fortsatt fra side 45)

tangenten 1/2005 51

Henrik Kirkegaard

SøppelmatematikkZuzuu – zuzuuzuzuuuuu. Bank-dink-donk.

Det var nesten ikke til å få ørenslyd i 5. klasse.

Halvparten av elevene mine spilte luftgitar og

den andre halvpart trommet på diverse pulter

og skap. Vi hadde vært på rikskonsert i gymsa-

len og hørt på ’søppelmusikk’ eller trash-grass-

music. En forrykende konsert. Årets beste

ifølge elevene. Det var selvfølgelig bare å gripe

sjansen og elevenes motivasjon. Vi lagde i fel-

lesskap en uke med ’søppelfag’ på timeplanen.

Fagene var de vanlige fag på ukeplanen; men

innholdet var annerledes. Jeg skal her fortelle

mer om det vi holdt på med i matematikkti-

mene.

Vi diskuterte litt frem og tilbake. Det skulle

være noe som var moro, noe som ikke nød-

vendigvis skulle være nyttig, noe som kunne

’brukes og kastes’ og noe som ikke var ordent-

lig matematikk (men akkurat det klarte vi

ikke).

Vi begynte med å lage skolens lengste pluss-

oppgave. Det var ikke noe særlig nyttig (det

var til gjengjeld en glimrende aktivitet i min

3. klasse); men det var veldig moro og elevene

koste seg. Vi forsøkte også å gjøre det samme

med ganging; men det ble søppel. Hver elev

fikk en remse av et ruteark. Det var 5 ruter

høyt og et ’kladdehefte’ langt. Øverste rad

med ruter er tom, neste rad skrev vi tilfeldige

tall, likeså på tredje rad, da kom det en strek

mellom tredje og fjerde rad, fjerde rad står

fasit og femte rad er tom. I første kolonne må

summen ikke bli høyere enn 9, da slipper du

problemet med 10-er overgang til remsen før.

Deretter taper du sammen remse på remse.

Neste søppelprosjekt var tallrekker. Vi laget

først et ’hundrekart’, et kvadrat med tallene fra

1–100. Vi farget oddetallene og fikk et mønster.

Så farget vi 3-gangen på et nytt ’hundrekart’,

deretter 5-gangen osv. Vi lagde tallrekker som

1–2–4–7–11–16, 1–4–7–5–8–11–9 og mange

andre. Noen elever fant på å skrive tallene i

spiralmønster. De begynte med 1 i midten

og skrev tallene i spiral utover. Da farget de

igjen ulike tallrekker. Noen rekker ble flotte

og symmetriske, noen ble flotte og kaotiske

og noen ble overraskende. Prøv for eksem-

pel å farge kvadrattallene i et spiralmønstret

hundrekart. Vi forsøkte også å skrive tallene

på andre måter; men det ble litt for kaotisk og

veldig søplete.

Vi hadde spillet PLUMP på ark med seks-

kantruter. Om PLUMP kan du lese i heftet om

skolenes matematikkdag 2005 (og tusen takk

til ’forfatterne’ for det store arbeid som ligger

bak dette heftet). Elevene spurte om de kunne

prøve å skrive tallene fra 1–100 på et slikt seks-

kantruteark. Jeg sprang opp til kopimaskinen

1/2005 tangenten52

og kopierte sektkantruteark til alle. Da jeg nå

var ved kopimaskinen kopierte jeg også tre-

kantruteark. Ned igjen i klassen, hvor elevene

knapt kunne vente med å komme i gang – ja,

da, de fleste kunne knapt vente med å komme

i gang. Det ble til flere timer med farging av

ruteark/mønsterark i ulike tallrekker. Noen ark

ble veldig flotte; men den tilhørende tallrekke

ble ganske spesiell og ikke helt forutsigbar.

Jeg overveide på et tidspunkt å vise klas-

sen Pascals trekant, for der finnes det ganske

mange fine mønstre; men det får vi og klassen

ta en annen gang.

Vi fant også på flere ’søppelspill’. Spill det

ikke gikk an å gjennomføre. Kast en terning

og pluss antall øyne med de kast du etter hvert

får. Hvem kommer først til en million? Den

idé utviklet seg til et spill, hvor du hele tiden

ganger med det antall øyne du får. Hvem

kommer først til en million? Dette spill går an

å gjennomføre, men det ble et søppelspill, for

det var for mye hardt arbeid og for lite spill

mente elevene.

Alt i alt ble det en ganske interessant uke.

Elevene fikk utforsket, eksperimentert og lært

mye mer enn de og jeg i utgangspunktet hadde

trodd. De fikk også lov til å gjøre ganske tåpe-

lige ting. Lage papirfly som ikke flyr og sånn.

Det var ikke så farlig, så lenge det ikke tok

overhånd. Det mest utrolige ved denne uke var

den iver og glede elevene viste. Tenk hvilken

skaperkraft våre elever har, en skaperkraft og

fantasi vi i vår iver etter å proppe lærdom inn

i hodet på dem ved å sitte stille og lytte, pugge

og kunne utenat, får dem til å glemme i løpet

av deres skoletid.

Jeg innrømmer at det ble mye papir (gjen-

brukspapir) og tenkte med skrekk på foreldrene

i min 5. klasse, som fikk fortalt de utroligste

historier fra disse skoledager. Men det var det

verdt og elevene syntes at jeg var ganske kuul,

min høye alder tatt i betraktning.

tangenten 1/2005 53

Anders Høyer BergAbels nøtter. 333 matematiske oppgaver.Cappelen (i samarbeid med Dagbladet) 2004ISBN 82-02-22525-6187 sider

År 2002 var det 200 år sidan Niels Henrik Abel

vart født. Avisa vi elskar å hate innimellom, men

som vi likevel kjøper, Dagbladet, markerte året

med daglige småoppgåver i ’Abels hjørne’. No

har den ansvarlige for hjørnet, Anders Høyer

Berg, samla ein del av desse smånøttene i ei

bok.

Det fine med denne oppgåvesamlinga er at

dei fleste oppgåvene er praktiske eller har ein

konkret innfallsvinkel som alle kan forstå. Dei

enklaste kan løysast av elevar i ungdomsskolen.

Dei vanskeligaste krev bruk av papir og blyant

og kanskje litt matematisk erfaring på vidare-

gåande skoles nivå. Dessutan trur eg det er ein

fordel med sunt bondevett.

Problema har forfattaren gruppert i logisk

sammenhengande bolkar med stigande vanske-

grad: Lette nøtter frå dagliglivet. Kan du telle?

Kjøp og salg. Geometriske gløtt. Triks med tall.

Sannsynsrekning. Og i siste bolken, Abels harde

nøtter, kjem dei problema kor ein må bryne

hjernevindingane skikkelig. Men det høyrer òg

med i ei slik bok.

Dessutan er det med løysingsforslag. Ulikt

fasitar i vanlige matematikkbøker er det her

ikkje fasitfeil. Eg fann ingen direkte feil. Men det

går sjølvsagt an å tolke oppgåver forskjellig. Det

kan skyldast knapp oppgåvetekst med litt lågt

presisjonsnivå. Og da blir det kranglingsmonn

på løysingsforslaget. Som for eksempel oppgåve

180: «To flaggstenger står 12 meter fra hveran-

dre. Den ene er 10 meter høy og den andre 15

meter høy. Hvor langt (i meter) er det mellom

toppene av flaggstengene?» Her står det ikkje at

bakken er meint å vere horisontal, men løysings-

forslaget med Pytagoras brukt på den rettvinkla

topptrekanten krev jo dette, slik at svaret blir 13

m. Men i ei slik bok er det viktigare at problemet

er kort og tydelig formulert heller enn at inn-

fløkte startvilkår er nøye presisert.

Abel-biograf Arild Stubhaug har laga ei kort

innleiing om Abel, ei innleiing som bør friste

lesarane til å hoppe over til den store Abel-bio-

grafien til Stubhaug frå 1996: Et foranskutt lyn

– om Niels Henrik Abel og hans samtid.

Denne boka er eit fint supplement til den

løpande undervisninga og oppgaverekninga i

den skolematematiske kvardagen.

Åke Jünge, matematikklærar ved Levanger vida-

regåande skole

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen54

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Realfagbygget A4, NTNU

7491 Trondheim

Telefon: +47 73 55 11 42

Faks: +47 73 55 11 40

merete.lysberg@matematikksenteret.no

Matematisk sirkus

på ICME-10May Renate Settemsdal

4.–11. juli ble ICME-

10 arrangert i Køben-

havn. ICME står for

International Con-

gress on Mathematical

Education, og konfe-

ransen blir arrangert

hvert fjerde år. Kon-

feransen har et rikt,

faglig innhold, blant annet med forelesninger,

diskusjonsgrupper og plenum. For første gang

i ICMEs historie ble det arrangert et ’Mathe-

matical Circus’. Ansvarlige for sirkuset var

Vagn Lundsgaard Hansen, Danmarks Tekniske

Universitet, og Ingvill Merete Stedøy, NSMO.

Lærere fra hele verden ble invitert til å komme

med et ’sirkusnummer’, og publikum var del-

takeres barn og lokale danske barn.

Det ’Matematiske sirkuset’ foregikk i tre

store telt som ble satt opp på campus. Ideen var

å trekke lokalbefolkningen, lærere, deltakere

og deres familier til kreativ eksperimentering

med matematiske aktiviteter. Ved å ha sirkuset

på campus kunne deltakerne på konferansen

stikke innom mellom de ulike forelesningene.

Lærere og matematikere fra hele verden ble

invitert til å bidra med ulike matematiske akti-

viteter på sirkuset. Kravet til aktivitetene var

at de måtte være utprøvd på elever i en klasse

eller på matematiske utstillinger der målet er å

engasjere deltakerne i aktiv deltakelse.

Fra Norge bidro Kurt Klungland med

’Cola-matematikk’, Mona Røsseland og Tone

Burlien med ’Matematikk i juledekorasjo-

ner’, Gerd Nilsen, Kristin Melgårdsbakken og

Vegard Engstrøm med ’Spill og puslerier’, Ola

Bolstad med ’Karveskurd og geometri’, Guri

Nortvedt med ’Spill og puslerier’, Claire Berg

med ’Undersøkende aktiviteter med Cuisenaire-

staver’ og Henrik Kirkegaard med ’Geome-

triske mønster på drager’ i tillegg til Toril

Sivertsen og undertegnede. Toril og jeg hadde

med tre ulike problemløsningsoppgaver. Disse

tre var ’Froskehopp’, ’Uranstaver’ og noen fyr-

stikkoppgaver som presenteres nedenfor.

De ulike problemløsningsoppgavene’Froskehopp’ er slik at to froskefamilier sitter

på hvert sitt vannliljeblad.(Se figur nedenfor)

Den ene familien er mørkegrønn, og den andre

lysegrønn. De to familiene skal bytte plass,

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 55

og dette må skje etter gitte regler. De mørke-

grønne kan bare fl yttes mot høyre, og de lyse-

grønne bare mot venstre. I tillegg er det slik at

en frosk kan fl ytte frem til et ledig blad foran

seg, eller han må hoppe over en annen frosk. Et

fl ytt regnes som ett trekk, og det er om å gjøre

å få de to familiene til å bytte plass på færrest

mulig trekk. Se også artikkelen ’Froskehopp’

av Ingvild M Holden i Tangenten 4/2003.

’Uranstavene’ er som et magisk kvadrat.

Staver med tall på skal settes ned i en behol-

der, og summen av tallene langs en rad, en

rekke eller en diagonal skal bli det samme.

Hvis denne summen overskrider 30 kommer

beholderen til å eksplodere!

Fyrstikkoppgavene gikk ut på å fl ytte fær-

rest mulig pinner fra en grunnfi gur, og lage

en fi gur med andre egenskaper. Vi hadde med

fl ere ulike mønster slik at det var mulig å bryne

seg på fl ere oppgaver i samme sjanger.

Mye besøk på SirkusetToril og jeg hadde samme aktivitetene på 3

ulike dager. Vi hadde mye besøk av ivrige del-

takere. Unge og gamle fra ulike land satte seg

ned og jobba målbevisst med de ulike oppga-

vene. De nekta å gi seg, og mange gikk ikke før

de hadde fått det til. Noen av dem som gav opp

kom tilbake senere og ville prøve mer etter å ha

fått tenkt seg litt om. Dette skulle de klare!

Jakten på et mønsterAktiviteten med ’froskehoppene’ er en typisk

oppgave hvor man må prøve seg frem, og

forsøke å fi nne systemet. Det kan være greit

å starte med to frosker på hver side, og syste-

matisk gå gjennom hvilke valgmuligheter man

har før hvert fl ytt. Prinsippet er det samme selv

om det tas med fl ere frosker på hver side.

Spesielt morsomt var det å se ei norsk jente

som prøvde på aktiviteten. Hun starta med to

frosker på hver side, og

etter litt prøving og feil-

ing fi kk hun det til. Så

utvidet hun det til 3 fros-

ker på hver side, og da ble

det tydeligvis verre. Hun

satt og strevde lenge, men

nekta å gi opp. Plutselig gikk det opp et lys for

henne, og hun sa høyt og tydelig: «Å, nå vet

jeg det! Jeg må huske å ta med!» Flere som satt

rundt henne stussa på hva hun mente, men

skjønte hun hadde gjort en oppdagelse. Med

største selvfølge fl ytta hun slik at de to fros-

kefamiliene på 3 bytta plass på færrest mulig

trekk. Hun hadde funnet mønsteret! Nå var

det veldig morsomt å se at hun videreutvikla

oppgaven helt på egenhånd. For henne var

det ikke nok å gjøre det med 4 forsker på hver

side, slik oppgaven var gitt. Hun ville ha en

ekstra utfordring, og slo sammen to spillbrett

slik at hun fi kk 8 frosker på hver side. Lett som

bare det fl ytta hun alle froskene helt korrekt,

og kom frem til det minste antall trekk som

måtte gjøres.

Denne jenta var på mange måter en

’drømme elev’. Hun jobba konsentrert og sys-

tematisk med problemet, og kom frem til riktig

svar gjennom prøving og feiling. I tillegg hadde

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen56

utforskinga gjort henne

nysgjerrig slik at hun ville

videreutvikle oppgaven

selv. Det er jo nettopp på

denne måten vi ønsker at

elever skal lære matema-

tikk!

Ved å erfare ulike innfallsvinkler til faget, bli

utfordret på oppgaver der de må tenke kreativt

og arbeide med nye problemstillinger, vil alle

elever få en bredere matematisk kompetanse,

uansett hvilke forutsetninger de har. Denne

treningen kommer til nytte både i dagligli-

vets situasjoner, i anvendelser av matematikk

i andre fag, og ved eventuelle videre studier i

matematikk.

Det er moro med matte på mattesirkus!

KappAbel-

konkurransen –

Nordisk fi nale 2004Den første virkelige nordiske fi nalen i Kapp-

Abel-konkurransen ble arrangert under ICME-

10 (se foran). KappAbel-konkurransen er en

matematikkonkurranse for skoleklasser på 9.

trinn, og har etter hvert blitt godt kjent i Norge

(Se www.KappAbel.com). Fra og med forrige

skoleår var alle de fem nordiske landene med

i KappAbel, og vinnerne fra hvert land møttes

til nordisk fi nale.

Tjue forventningsfulle ungdommer møttes

til dyst to kvelder på rad. Første kvelden var

det presentasjon av klassens prosjektarbeid,

som denne gangen skulle handle om matema-

tikk og musikk. Alle lagene hadde presentert

prosjektene sine i de nasjonale fi nalene, men

denne gangen skulle alt foregå på engelsk. Pro-

sjektkonkurransen var en egen del av fi nalen,

uavhengig av oppgavedelen. Det skulle kåres en

vinner av prosjektkonkurransen og en vinner

av oppgavekonkurransen.

Etter prosjektpresentasjonen fi kk alle lagene

premier, og prosjektene deres ble stilt ut så alle

deltakerne på ICME-10 kunne se dem.

Kvelden etter prosjektpresentasjonen var

det oppgavefi nale. Begge dager var det ca. 200

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 57

Det fi nske laget brukte ganske avansert matematikk.

publikummere fra hele verden. Alt foregikk

på engelsk, og det var moro å se hvordan alle

lagene klarte dette på en utmerket måte. Lagene

skulle løse åtte oppgaver, hver på 5 minutter.

Etter hver oppgave fi kk lagene poeng, så alle

kunne følge med hvem som ledet. Etter at

alle oppgavene var besvart, måtte vi bruke en

ekstraoppgave for å kåre en vinner. Det danske

laget vant både prosjektkonkurransen og opp-

gavekonkurransen. Skikkelig hjemmeseier.

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen58

Novemberkonferansen:

Vurdering i

matematikk

– Hvorfor og hvordan?

Hvert år i november arrangerer senteret en

matematikk-relatert konferanse ved NTNU

i Trondheim. Tittelen i 2004 var: «Vurde-

ring i matematikk – Hvorfor og hvordan? Fra

småskole til voksenopplæring». I Norge har

det i den senere tid vært mye fokus på ulike

evalueringsformer i matematikkopplærin-

gen. Avgangseksamen for grunnskolen har

gjennomgått store forandringer. Det er gjort

eksperimenter med alternative evaluerings-

former som mappevurdering, gruppeeksame-

ner, eksamen med forberedelsestid og andre.

Lærerne er med rette opptatt av at andre sider

ved elevenes matematikkompetanse enn det de

får vist på eksamener skal vurderes og verdset-

tes. Norge har nettopp innført nasjonale prøver

i matematikk, mens de i Sverige har hatt slike

prøver lenge. Også i voksenopplæringen er det

ulike former for vurdering, gjerne i forhold til

deltakernes realkompetanse.

Dette var utgangspunktet for årets konfe-

ranse. Konferansen hadde som mål å få presen-

tert mange ulike innfallsvinkler til vurdering,

og i den forbindelse var det viktig at vi så ut

over våre egne landegrenser. Et annet mål for

konferansen var derfor å etablere et enda ster-

kere nordisk samarbeid og felleskap med våre

nordiske kollegaer.

Konferansen hadde en myk start lørdag,

med hyggelig sosialt samvær med gamle venner

og nye bekjente på Lian Herregård. Søndag var

det matematiske utfl ukter i og rundt Trond-

heim, med matematisk rebusløp i sentrum som

et av høydepunktene. Seminaret, «Grunnleg-

gende voksenundervisning i matematikk,

til glede og styrke?» var også lagt til søndag,

der en la fokus på hvordan en kan organisere

grunnleggende voksenundervisning i matema-

tikk, slik at de studerende får glede av den, og

ikke minst styrke deres verdighet og identitets-

følelse.

Litt regn og vind stopper ikke matematikkentusiasmen

til deltakerne.

PleumsforedrageneSvein H. Torkildsen, lærer ved Samfunnets skole

i Kristiansand, holdt et glødende åpningsfore-

drag der han stilte spørsmål om nasjonale og

internasjonale prøver er drivkraft eller bremse-

kloss for lærerne. Han etterlyste også et nær-

mere samarbeid mellom de ulike aktørene i

matematikkopplæringen og den eksterne vur-

deringen, alt fra lærebokforfattere, didaktikere,

planmakere og til de som lager eksamensopp-

gavene og de nasjonale prøvene. Videre under-

streket han betydningen av den kunnskap og

ferdighet som elevene har, men som vanskelig

lar seg måle i ulike skriftlige tester.

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 59

Ingvill M. Stedøy gir Svein H. Torkildsen ei fi n bok om

Abel som takk for fl ott foredrag!

Ole Bjørkquist, professor ved Åbo Akademis

ped.fakultet i Vasa, Finland, tok opp proble-

mene som kan oppstå når det kommer refor-

mer i matematikkundervisningen, uten at vur-

deringsmetodene endrer seg. Han mente at det

kan bli et så stort misforhold mellom de nye

reformene og den eksisterende vurderningen,

at det kan føre til at de ønskede effektene av

undervisningen uteblir.

Svein Kvalø, seniorrådgiver på VOX, nasjonalt

senter for voksnes læring i arbeidslivet, berettet

om et prosjekt i praktisk regning for kjøkken-

medarbeidere på Ullevål universitetssykehus.

Han fortalte hvordan det er mulig å avdekke

arbeidstakeres uformelle kompetanse før en

setter i gang et kompetansehevende tiltak i

en bedrift. Et av prosjektets mål hadde vært å

bevisstgjøre de ansatte på sløsing av råvarer, og

gjennom praktisk regning knyttet til arbeids-

takernes daglige arbeid, fi kk de større innsikt

og forståelse for problemstillingen.

Torulf Palm og Jesper Boesen, Matematiska

institutionen, Umeå universitet, viste inter-

essante resultatet fra en analyse av svenske

gymnas prøver i matematikk. De stilte spørs-

mål om hvilke matematiske resonnement som

ble verdsatt i skolematematikken. Deres studier

indikerte at det var avgjø-

rende for elevene å fi nne

prosedyrer for å kopiere

løsningsmåter fra lære-

boka, i stedet for å forsøke

å konstruere sine egne løs-

ningsresonnement. Studi-

ene viste også at oppgavetypene i prøvene var

lagt opp slik at en reproduksjon av rutinemes-

sige oppgaver gav uttelling på karakteren.

Lisser Rye Ejersbo, doktorggradsstudent på

Learning Lab, Danmark, snakket om sin erfa-

ring om hvordan muntlige prøver i matema-

tikk fungerer i Danmark. Den muntlige prøven

i matematikk er en del av den avsluttende eksa-

men etter endt grunnskole i Danmark. Det er

en totimers gruppeprøve, som tar utgangs-

punkt i en praktisk problemstilling. Elevene

bedømmes individuelt med en karakter, som

blir gitt på bakgrunn av resultater og kommu-

nikasjon.

Mellom plenumsforedragene var det ulike

parallellseksjoner, der deltakerne til enhver tid

kunne velge mellom fi re eller fem forskjellige

foredrag. Det var mange stemmer som kom til

ordet gjennom disse dagene i november. Det

var stemmer som var kritiske til ulike typer

vurdering, blant annet til de nye nasjonale prø-

vene i Norge. Det var stemmer som argumen-

terte for hvorfor nasjonale prøver er nødvendig

og hvordan de kan bli best mulig. Vi føler at

konferansen gav et godt bilde av det som rører

seg ikke bare i Norge, men også i våre naboland

når det gjelder vurdering i matematikk.

For dere som har lyst til å lese mer om de

ulike foredragene, viser vi til nettsiden til

Senteret, www.matematikksenteret.no, under

’Novemberkonferansen’.

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen60

Kengurukonkurransen

2005

Første gang i Norge!

Våren 2005 arrangeres Kenguru-konkurransen

for første gang i Norge. Kengurukonkurransen

vil i Norge bli et tilbud til elever i 4. – 7. klasse

i grunnskolen. 4. og 5. klassinger konkurrerer

i klassen Ecolier, mens 6. og 7. klassinger kon-

kurrerer i klassen Benjamin.

Kengurukonkurransen startet i Australia

for over 20 år siden. Den kom til Europa i 1991

og siden bl.a. til Sverige i 1999. I 2003 deltok ca.

3 millioner elever fra 35 land!

I år får norske elever anledning til å delta

i denne morsomme matematikkonkurransen.

Konkurransen fi nner sted 17. mars. Skoler

kan gjennomføre konkurransen senere på året

dersom det passer bedre, men de som ønsker å

delta i selve konkurransen må ha sendt inn sine

resultater innen 6. april. Registreringsskjema

med retningslinjer kan fylles på nettet eller

sendes inn pr. post.

Elevene får utdelt et oppgavesett med svaral-

ternativer som de løser individuelt i løpet av 75

min. Oppgavene er inndelt i tre grupper; tre-,

fi re-, og fempoengsoppgaver. Til hver oppgave

er det fem svaralternativer der ett av dem er

riktig. Svarene kan føres rett inn på svararket,

eventuellt ringes rundt.

Eksempler på oppgaver

1. Hvor mange gram veier kenguruen?

A 6g B 7g C 9g D 10g E 15g

2. Du har to like deler:

Figurene kan roteres med eller mot klokka,

men kan ikke bli snudd1 på. Hvilke av disse

fi gurene er da umulig å sette sammen?

Dere fi nner linker til de svenske oppga-

vesettene fra de siste årene på nettsiden

http://129.16.132.5/index.php?name=kanguru-

start.

Sammen med årets oppgaver følger forslag

til løsninger og hvordan man kan jobbe videre

med oppgavene i etterkant av konkurransen.

Smakebiter fi nnes på matematikksenterets

hjemmesider.

Må alle på trinnet delta?Dette er ikke noe krav fra vår side, men det er

ønskelig at alle elever skal få muligheten til å

prøve seg. Det må understrekes at dette ikke er

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 61

en vanlig matteprøve! Oppgavene er ikke valgt

ut i fra hva elever i denne alderen skal eller bør

kunne. Oppgaveformen er noe annerledes enn

det vi forbinder med tradisjonelle matteprøver.

Faktisk viser erfaringer fra andre land at elever

som i utgangspunktet har et anstrengt forhold

til faget, ofte lykkes.

Det er viktig at deltakerne gir oss tilbake-

melding og sender inn resultatene fra konkur-

ransen. Når oppgaver skal plukkes ut, gjøres

det bl.a. på bakgrunn av tidligere års erfaringer.

Resultatene fra skolene gir oss en god pekepinn

på vanskelighetsgraden på årets konkurranse,

slik at vi, sammen med andre deltakerland,

kan justere til neste år.

PremieringDe 5 beste deltakerne i hver konkurranse-

klasse får premie. I tillegg trekkes det 5 gruppe-

premier blant alle registreringsskjemaene som

sendes inn.

På internett vil det ligge kopieringsorigi-

naler til deltakerdiplom. Vi håper at skolene

markerer konkurransen og gjør stas på alle

som deltar og på de elevene som oppnår best

poengsum. I Sverige blir mange skoler sponset

med premier av det lokale næringsliv.

For ytterligere info om konkurransen og

påmelding se våre nettsider: www.matematikk-

senteret.no under ’Hva skjer?’

Note1 ’Snudd’ her i betydningen ’speilet’ eller ’lagt på

magen’.

Landslaget for matematikk i skolen62

LAMISLandslaget for matematikk i skolen

v/Randi Håpnes (sekretær)

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Realfagsbygget NTNU

Høgskoleringen 5

7491 Trondheim

lamis@matematikksenteret.no · www.lamis.no

Postgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103

Det overordnede målet for

Landslaget for matematikk i

skolen er å heve kvaliteten på

matematikkundervisningen i

grunnskolen, den videregå-

ende skole og på universitet/

høyskole.

Landslaget skal stimulere til

kontakt og samarbeid mellom

lærere på ulike utdanningsnivåer

og mellom lærere og andre som

er opptatt av matematikk.

Styret for LAMIS er:

Fra barnetrinnet

Mona Røsseland,

Samnanger (leder)

Kari Haukås Lunde, Bryne

Fra ungdomstrinnet

Grete Tofteberg, Våler

Beate Stabell, Østre Toten

Fra videregående skole

Helge Flakstad, Horten

Jan Finnby, Lillehammer

Fra høyskole/universitet

Bjørnar Alseth, Oslo

Kristian Ranestad, Oslo

Medlemskontingent

Skole/institusjon 550,–

Enkeltmedlem 300,–

Husstandsmedlem 150,–

Studenter 200,–

Tangenten inngår i kontingen-

ten. (Gjelder ikke husstands-

medlemmer.)

Landslaget for matematikk i skolen 63

Lederen har ordet

Godt nytt matematikkår!

Det blåste riktig godt rundt

matematikken på slutten av

2004, der vi fikk ene nedslående

rapporten etter den andre. PISA

og TIMSS er to ulike undersø-

kelser som bruker til dels svært

forskjellige oppgavetyper. Det

at norske elever skårer dårlig

på begge gjør at vi nok ikke

lenger kan unnskylde resulta-

tene med at oppgavene ikke

passer norske elever. Faktumet

som vi må se i øynene, er at

norske elever ikke er gode nok i

matematikk! Med denne erkjen-

nelsen må vi nå bruke kreftene

til å se fremover og komme med

forslag til hvordan vi kan gjøre

det bedre.

Det har vært et voldsomt

mediakjør med mange hvorfor,

og massemedia har prøvd å

sette ulike matematikkmiljøer

opp mot hverandre i et forsøk

på å nøre opp under ”når kryb-

ben er tom, bites hundene”.

Dette er ingen fruktbar vei å gå,

og Lamis vil gjøre alt vi kan til å

forene og samle kreftene mot et

felles mål; nemlig et formidabelt

løft for faget vårt på alle under-

visningsnivå.

Vi må ikke glemme at det fak-

tisk skjer mye konstruktivt rundt

om på mange skoler. Lamis har

merket en markant økning både

i forhold til medlemstall, men

også i forhold til henvendelser

fra skoler og lærere som ønsker

å satse på matematikk. Aldri har

vi hatt flere lokallag, og aldri har

aktivitetsnivået vært høyere med

tanke på temakvelder som inspi-

rasjons- og kunnskapskilder til

lærere. Men nå er det heller

ikke Lamis medlemmer jeg er

bekymret over når det gjelder

adekvat matematikkundervis-

ning, for sammen inspirerer og

etterutdanner vi hverandre. Det

er derimot viktig at vi får flere

lærere med på laget, slik at vi

kan bidra til å øke matema-

tikkompetansen til den norske

lærerstanden som helhet.

Både elevrollen og lærerrol-

len er under utvikling, og det vil

verken være mulig eller ønske-

lig å gå tilbake til den gamle

puggskolen slik noen har tatt

til ordet for. Men samtidig må vi

ikke gå i den andre grøften der

alt bare skal være morsomme

aktiviteter, for da kan en lett

glemme eller miste litt ut av syne

de faglige målene. Vi skal ikke

kun ha aktiviteter for aktivitete-

nes skyld, men de skal først og

fremst bidra til at elevene utvi-

kler matematisk kompetanse. I

dette inngår at matematikk også

i stor grad er disiplin, nøyaktig-

het, grundighet og omhyggelig

arbeid. Øve og øve, sier Annie

Selle, øve mye, men på en mor-

sommere måte.

Matematikkens dag er et av

våre bidrag til å vise de mulig-

hetene som finnes der en kan

arbeide med matematikk på en

artig måte uten å miste faglig

fokus. Heftet til årets matema-

tikkdag er et flott verk med et

(forts. side 66)

Landslaget for matematikk i skolen64

Gand videregående skole i

Sandnes er en stor kombinert

skole med idrettsfag, 7 studie-

retninger for yrkesfag og klas-

ser for påbygningsår represen-

tert. Skolen har ca. 900 elever.

Skolen har et ressurssenter med

et studieverksted og et bibliotek

som driver et nært samarbeid.

Arbeidet drives i samarbeid med

PPT-kontoret ved Ellen Heber.

Skolens studieverksted

Målsetning:

– ’lære elevene å lære’ med

vekt på å bevisstgjøre dem

i forhold til studieteknikk og

alternative læringsstrategier

i fag der elever og lærere

finner det nødvendig.

– utarbeide og holde kortkurs

for grupper av elever/ klas-

ser på bakgrunn av evalu-

ering fra lærere, resultat av

screeningtest eller elevens

ønske.

– legge til rette for at elever

som trenger ekstra oppføl-

ging i skolearbeidet kan få

hjelp og veiledning ved stu-

dieverkstedet.

– tilrettelegge for å drive

interne og eksterne lærer-

kurs knyttet til Studieverk-

stedets virksomhet.

– initiere, legge til rette for og

drive utviklingsarbeid i for-

hold til skolens virksomhets-

plan.

Vi har åpent alle skolens timer. I

åpningstiden er der alltid minst

en realist eller en filolog til stede.

Vi har inneværende år 70 % av

en lærerstilling til å dekke opp

for behov i matematikk.

Hva har vi gjort i forhold til arbeidet med matematikk?

Utgangspunktet for arbeidet

vårt er skolens kartleggings-

prøver, der holdninger til mate-

matikk også kartlegges. I en

klasse svarte 9 av 15 jenter at

de HATET matematikk. I tillegg

viser erfaringen at matematikk

er et av de fagene der mange

får problemer med å bestå. Vi

bestemte oss for å gripe fatt i

dette og spesielt fokusere på

jenter og matematikk.

Kursing

Skoleåret 2003/2004 kurset hele

studieverkstedets personale

seg i forskjellige læringsstrate-

gier og bevisstgjøring i forhold

til matematikkvansker, kartleg-

ging og tiltak. Vi har kjørt interne

og eksterne kurs med følgende

personer som bidragsytere:

Olav Lunde, Ellen Heber, Snorre

Ostad, Carol Santa, Gro Knud-

sen og Vegard Engstrøm.

I tillegg til å kurse oss selv

og lærere fra andre skoler, har

vi kjørt kurs for elever og lærere

ved egen skole:

– Aviser i matematikkunder-

visningen

– Måleenheter ved Ludometo-

den

– Brøkstaver

– Kunst og matematikk

Matematikk på Studie-verkstedet ved Gand vgs.Venke Håland, Sidsel Ødegård

Landslaget for matematikk i skolen 65

– Bruk av materiell fra Ingvill

Stedøys matematikk koffert

Matematikkens dag

Vi bestemte at vi ville være

med på matematikkens dag og

involvere noen klasser på grunn-

kurs. Hensikten med dagen var

å prøve å endre holdningene til

matematikk, spesielt hos jen-

tene som ”hater” faget i følge

egne utsagn. Halvparten av

alle elevene på grunnkurs (ca.

180 elever) deltok i løpet av to

hele dager med matematikkak-

tiviteter. Hele skolens ledelse,

matematikkseksjonen og stu-

dieverkstedets personale ble

involvert som aktivitetsledere.

Bibliotek, studieverksted og

skolens aula ble stedet der det

hele foregikk.

Elevene måtte gjennom tre

forskjellige stasjoner:

Stasjonen for målinger Denne

var i hovedtrekk lik Lamis sitt

opplegg for matematikkens

dag 2004. Her skulle elevene

bevisstgjøres på vekt, tid, leng-

demål, volum og areal.

Stasjonen for geometri På

denne stasjonen brukte vi opp-

legg fra Lamis 2003. Elevene

skulle bruke sin kreativitet og

lage et geometrisk bilde i svart/

hvitt.

Stasjonen for tallære Her

var det lagt ut ulike matema-

tiske spill. Elevene skulle prøve

å spille flest mulig spill i løpet av

to skoletimer.

Elevene fikk servert forfrisk-

ninger til lunsj, og det ble lagt

vekt på trivsel og matematisk

kreativitet på tvers av kjønn og

studieretninger. Dagen ble lagt

opp som en konkurranse der

innsats, kreativitet og samar-

beid skulle vektlegges. Elevene

samlet poeng og konkurrerte på

vegne av sin klasse. Matema-

tikkseksjonen i samarbeid med

en formgivingslærer skulle kåre

en verdig vinner. En annen av

skolens formingslærere laget en

vandrepokal som ble tildelt den

klassen som vant.

Utenfor konkurranse hadde vi

lagt ut både ’grubliser’ og Pen-

tomino i alle rom. Pentomino

ble et populært innslag med en

pose twist til den som klarte å

lage et rektangel av brikkene. Til

slutt hadde vi delt ut så mange

twistposer at vi måtte redusere

premien til en mindre sjokola-

deplate.

Tilbakemeldingene fra elever,

lærere og skolens ledelse har

vært svært positive. Matematik-

kens dag har kommet for å bli på

skolen. Den er lagt inn som en

del av skolens virksomhetsplan

og har fått sin plass i årshjulet.

Det er vanskelig å måle virknin-

gene av en slik dag for elevene,

men håpet er at de har fått noen

positive holdninger til hva mate-

matikk er og at mestringsopple-

velsene de fikk, gir en lykkeligere

mattematikkhverdag.

Konkretiseringsmateriell

For å kunne fokusere på andre

læringsstrategier enn ’de van-

lige’, trengte vi en del konkre-

tiseringsmateriell. Vi har derfor

kjøpt inn en del tilleggsmateriell

til bruk i undervisningen, Ingvild

Stedøys matematiske koffert,

vekt, termometer, målebånd og

farget papir til bretting.

Forskjellige nivådifferensierte løyper i matematikkfaget

Gand videregående skole har tre

paralleller på grunnkurs studie-

retning for idrettsfag. Erfarings-

messig vil en del av disse elev-

ene slite med å komme gjennom

og bestå 5t-matematikken i

1MX/Y. For å kunne gi disse

et best mulig tilbud og hjelp i

arbeidet, bestemte vi oss for

å kjøre nivådifferensierte grup-

per inneværende år. Elevene

fikk selv velge hvilket nivå de

ville legge seg på; en undervis-

ning rettet mot karakterer over

middels, rettet mot et middels

nivå eller rettet mot en form for

minimumsplan der ståkarakter

var målet. Dette betyr at en ved

hjelp av studieverkstedet kan

sette inn en ekstra matema-

tikklærer for disse tre klassene

Landslaget for matematikk i skolen66

og bruke denne der lærerne selv

finner det hensiktsmessig i for-

hold til denne inndelingen.

Andre tilbud ved studieverk-stedet

Flinke elever har tilbud om å

arbeide selvstendig og hurtigere

enn den klassen de tilhører. De

kan da bruke den matematikk-

læreren som er tilgjengelig på

studieverkstedet til hjelp og

veiledning. Elever som trenger

en annen opplæring enn den de

kan få i klassen, kan få hjelp på

studieverkstedet. Vi driver også

undervisning for Oppfølgingstje-

nesten som kjøper tjenester av

oss. Det som vi synes er viktig

i denne sammenheng, er at vi

kan hjelpe flere på en gang. Vi

får grupper på tvers av nivå,

studieretning og klasser og kan

utnytte eksisterende ressurser

bedre enn tidligere.

Arbeid framover

– Videreføre arbeidet og gi

tilbud om Matematikkens

dag til flere elever.

– Evaluere og videreutvikle

arbeidet med løyper, om vi

finner dette tjenlig.

– Våge å bruke og utvikle flere

alternative metoder for mate-

matikkundervisningen. På

yrkesfaglige studieretninger

er det lite nytt fra grunnsko-

len, vi må derfor arbeide mer

med en metodisk tilnærming

til matematikken.

– Lage og systematisere

materiell for en stadig mer

yrkes- og hverdagsretting

av matematikken i forhold

til den studieretning og livs-

situasjon elevene befinner

seg i.

– Dele vår erfaring med kol-

leger slik at våre metoder vil

bli brukt i større grad.

Ønsker du å vite mer om noen

av våre aktiviteter og erfaringer,

er det bare å ta kontakt.

sidsel.odegard@gand.vgs.no,

lærer i matematikk og natur-

fag.

venke.haland@gand.vgs.no

pedagogisk leder ved Studi-

everkstedet.

Mer informasjon på skolens

hjemmeside:

h t t p : / / w w w . r o g a l a n d -

f.kommune.no/~gand/

vell av ideer. Her er det bare

for lærerne å plukke ut aktivite-

ter og tilpasse Matematikkens

dag til sin skole og sine elevers

behov og ønsker. Jeg vil rette

en stor takk til Ann-Christin

Arnås, Hanne Marken Dalby,

Jan Finnby og Beate Stabell fra

lokallaget i Oppland og Hed-

mark for et glimrende arbeid

med heftet.

Lamis sommerkurs et annet

eksempel hvor vi er med på å

øke kvaliteten på norsk mate-

matikkundervisning. Vi må aldri

glemme at læreren er undervis-

ningens viktigste ressurs, og jeg

er ganske sikker på at det er her

vi må sette det avgjørende støtet

i forhold til å bedre matematik-

kunnskapen til norske barn.

Gjennom våre sommerkurs og

lokallagskurs vil lærere få idéer

til aktiviteter som fungerer, og

få mot og vilje til å forandre sin

undervisning. Og så må vi alle

jobbe ytterligere for å få økt

fokus på den matematiske kom-

petansen som vi vil elevene skal

utvikle gjennom aktivitetene.

(forts. fra side 63)

Landslaget for matematikk i skolen 67

Historikk

Hedmark/Oppland lokallag ble

stiftet 13. januar 2004, etter at et

interimstyre ble nedsatt i okto-

ber 2003.

OrganiseringPå stiftelsesmøtet ble det valgt

et styre på tre, med fire vara-

medlemmer. Vi fikk problemer

med å finne styremedlem fra

høyskolenivået. To av styremed-

lemmene med vara er på valg

hvert år. Styremedlemmene er

samlet rundt Mjøsa. Vi har valgt

å holde kontakten i stor grad

via mail, og kun med ett til to

styremøter i halvåret. På disse

styremøtene er vararepresen-

tantene invitert, men de har ikke

møteplikt.

Temakvelder

Vi har hatt som målsetting å

arrangere minst to medlemsmø-

ter/temakvelder i halvåret. Selv

på årsmøtet har vi temamøte i

etterkant. Alle møter har enkel

bevertning. Mange har lang

reise, og det sosiale er viktig.

Da interimstyret ble nedsatt var

Mona Røsseland trekkplaster

og holdt temakveld med jule-

verksted. Tema på stiftelses-

møtet var Matematikkens dag

2004. Neste temakveld hadde

tittel ”Krav til kunnskap på ulike

trinn med blikk på nasjonale

prøver og overgangen mellom

de forskjellige trinnene”. Her

holdt vi møte på to steder sam-

tidig. Ulikt frammøte, men totalt

sett svært godt besøkt.

Høsten 2004 skulle starte

med temamøte om KappAbel

og Kenguru. Dessverre måtte vi

avlyse på grunn av dårlig påmel-

ding. Årsaken er ukjent, men

kanskje ikke temaet fenget. På

årsmøtet i november, hvor alle

på valg tok gjenvalg (det sier

noe om hvor spennende dette

arbeidet er), var temakvelden

”Arbeidsmåter i lys av nasjonale

prøver”. For første gang siden

starten hadde vi hjelp utenfra.

Det var Guri Nortvedt, som sitter

sentralt i utarbeidelsen av nasjo-

nale prøver.

Tirsdag 11. januar 2005 hadde

vi vår hittil siste temakveld.

Temaet var Matematikkens dag,

og nervøsiteten var ekstra stor

denne kvelden. Sammen med

Beate Stabell var det vi i styret

som hadde laget årets hefte, og

å presentere egne aktiviteter er

alltid litt skummelt! Oppslutnin-

gen var stor, hele 130 lærere for-

delt på S-, M- og U-trinn/VGS,

og deltakerne gikk hjem med

mange idéer til egen matema-

tikkdag.

Alle møtereferater er lagt ut på

vår lokallagsside som er å finne

på Lamis sin hjemmeside.

Hefte til Matematikkens dag

Styret, sammen med en av med-

lemmene i regionen, ble bedt om

å stå for arbeidet med matema-

tikkheftet for 2005. Dette sa vi ja

til, og det har vært et givende,

men hektisk arbeid. For andre

lokallag som får denne jobben

er det viktig å starte tidlig. Da

har en også mye større mulighet

til å be om innspill fra medlem-

mene, noe som kan være til god

hjelp.

Styremedlemmene i Hed-

mark/Oppland lokallag er også

ressurspersoner under Matema-

Hedmark/Oppland lokallagAnn-Christin Arnås, Hanne Marken Dalby, Jan Finnby

(forts. side 70)

Landslaget for matematikk i skolen68

Hvilke mål vil vi ha for matematikkopplæringen?Bjørnar AlsethStyremedlem i Lamis og leder for plangruppa i matematikk

Tilstanden for matematikkopp-

læringen i kongeriket er ikke til-

fredsstillende. Det er nylig slått

fast gjennom de to internasjo-

nale studiene TIMSS og PISA.

Det er interessant at bildet som

de to studiene tegner er så likt,

fordi det er snakk om to svært

ulike studier. PISA er en prak-

tisk orientert test av det elever

trenger av matematikk i daglig-

livet. TIMSS derimot er en mer

teoretisk og tradisjonell test av

elevers matematikkunnskap. En

TIMSS-oppgave til elevene på

4. trinn er mye referert: Hva er

15 · 9? Dette klarte kun 30 % av

de norske elevene, noe som var

dårligst av absolutt alle deltaker-

landene. Som et tiltak for å rette

på dette vil Clemet utnytte den

pågående læreplanrevisjonen.

En av tingene hun vil ha gjort,

er å få læreplanen i matematikk

tydeligere. Enkelte har tolket

dette som ’mer konkret’, og i

mange tilfeller er det forelig-

gende læreplanforslaget mer

konkret. Men det skal altså først

og fremst være mer tydelig.

Har så læreplangruppa lyktes

i dette? Dette vil det naturligvis

være delte oppfatninger om.

La oss ta et eksempel, som

det om tabellkunnskaper etter

4. trinn. Læreplangruppas for-

slag lyder:

– Bruke tabellkunnskaper til-

knyttet regneartene, se sam-

menhenger mellom regnear-

tene og selv oppdage enkle

tallmessige sammenhen-

ger.

Her kunne man tenkt seg at man

i stedet forventet noe i retning

av det å kunne den lille gange-

tabellen, altså en konkretisering

av vårt forslag. Vi mener en slik

konkretisering vil være uheldig

av to grunner. For det første vil

det medføre en innsnevring av

det vi mener elevene bør kunne.

For det andre vil det kunne føre

til en fokusering på unødvendige

detaljer.

1. Innsnevring

I vårt forslag skal elevene altså

utvikle tabellkunnskaper, men

det er ikke spesifisert hvilke.

Det innebærer at enhver lærer

må gjøre en tolkning. En nær-

liggende tolkning er at elevene

bør kunne den lille gangetabel-

len, men i tillegg enkelte andre,

som 11-gangen, 20-gangen, 30-

gangen og 25-gangen. I tillegg

rommer dette punktet fakta-

kunnskaper knyttet til addisjon

og subtraksjon som jeg ikke vil

utdype her.

Andre kompetansemål er i

planforslaget beskrevet mer

konkret. For eksempel nevner

vi at elevene skal kunne finne

typetall, median og gjennom-

snitt etter 7. trinn. Her er det

greit å være konkret, fordi det

er nettopp disse tre målene

for sentraltendens vi ønsker

elevene skal ha kompetanse

om. Denne konkretiseringen

stenger ikke noe viktig ute. Det

gjør derimot innsnevringen av

tabellkunnskap til kun å gjelde

den lille gangetabellen.

Landslaget for matematikk i skolen 69

2. Fokusering på unødvendige detaljer

Men, kan det innvendes, det står

jo ikke at elevene må kunne hele

den lille gangetabellen. Hvorfor

ikke skrive helt eksplisitt hva

de skal kunne? For det første

ville det bli ei veldig lang liste,

og vi er bedt om å lage mindre

detaljerte planer enn L97. For

det andre, og dette er det vik-

tigste, innebærer det et annet

fagsyn enn det som kommer

til uttrykk i planutkastet. Denne

ulikheten kan illustreres ved at

vi ser for oss en gruppe elever

midtveis i 4. trinn. Her vil noen

av elevene sikkert være usikre

på deler av gangetabellen. Står

det i læreplanen at alle elevene

skal kunne den lille gangetabel-

len har ikke læreren noe valg.

Hun er nødt til å bruke tiden på å

forsøke å lære disse elevene de

siste restene av tabellen. Etter

vårt forslag må hun dels gjøre

det, men hun må også fokusere

på sammenhenger mellom reg-

neartene. Selv husker jeg godt

at jeg ikke kunne 7 · 9 før på ung-

domstrinnet. Jeg kunne nok de

andre kombinasjonene i tabel-

len, men ikke denne. Det bød

imidlertid ikke på noen proble-

mer, fordi jeg visste at jeg kunne

regne det ut ved å ta 10 · 7 – 7,

altså 70 – 7. Dette kunne jeg

gjøre fordi jeg hadde innsett

sammenhengen mellom addi-

sjon og multiplikasjon.

Dette er en viktig forskjell i

fagsyn som nok vil prege flere

høringsuttalelser: Oppfatter

man faget som bestående av

en lang rekke faktakunnskaper,

vil man naturligvis ønske en fag-

plan som lister opp disse. Det

vil være i motsetning til plan-

utkastet som er basert på en

oppfatning av faget som dels

bestående av fakta og ferdighe-

ter og dels av sammenhenger

og strukturer. Etter vår oppfat-

ning bør elevene besitte en lang

rekke faktakunnskaper, gjerne

ut over den lille gangetabellen

etter 4. trinn. Samtidig er vi ikke

så oppsatt på enkelte mer peri-

fere kunnskapsbiter, fordi vi vil

at elevene skal være i stand til

å resonnere. For eksempel vil

elevene etter vårt forslag kunne

løse TIMSS-oppgaven 15 · 9.

Det kan de nemlig gjøre hvis

de ser sammenhengen mellom

addisjon/subtraksjon og multi-

plikasjon. Da kan de dele opp

regnestykket slik jeg gjorde for

7 · 9, for eksempel i 15 · 10 – 15.

Hvis all fokus i undervisningen

er på terping av gangetabellene

er det mindre grunn til å tro at

elevene vil lære seg å se slike

sammenhenger. Legg merke

til at for å kunne bruke denne

strategien må elevene vite hva

15 · 10 er, altså noe som går ut

over den lille multiplikasjonsta-

bellen.

Ved at elevene settes i stand

til å resonnere og til å utnytte

strukturer og sammenhenger i

faget, blir behovet for å spesifi-

sere alle tenkelige kunnskapsbi-

ter mindre. Som nevnt skriver vi

’tabellkunnskaper’ i planforsla-

get, noe som kan innebære at

enkelte elever lærer 25-gangen.

På en annen side ville vi aldri ha

presisert at alle elever skal kunne

25-gangen. Derimot er det viktig

at de som ikke kan 25-gangen

som faktakunnskap er i stand til

å utnytte kunnskap om tall og

regneartene til å resonnere seg

fram til riktige resultater. Dette

mener vi også bør gjelde for den

lille gangetabellen. Alle elevene

bør få rikelig anledning til å lære

denne. Men om noen biter står

igjen til mellomtrinnet, er det

ingen krise så lenge de er i stand

til å resonnere seg fram til riktig

svar. Denne evnen til resonne-

ment og til å se og utnytte sam-

menhenger vil også være svært

nyttig i forhold til å bruke mate-

matiske kunnskaper i praktiske

situasjoner, en slik kompetanse

som testes i PISA. Det er grun-

dig dokumentert gjennom de

siste 25 årene at det å kunne

gangetabellen alene ikke er til-

strekkelig for dette.

Tilsvarende står det i et kom-

petansemål for 7. trinn blant

Landslaget for matematikk i skolen70

annet at elevene skal kunne

bruke ulike skriftlige regnemeto-

der. Her kunne vi i stedet skrevet

for eksempel «standardalgorit-

mene for de fire regneartene».

Men dette vil være en uheldig

innsnevring og en unødvendig

fokus på bestemte ferdigheter

siden det finnes andre måter

som kan være enklere å forstå

og som er omtrent like effektive.

Det kan illustreres med divisjon.

I stedet for standardalgoritmen

kan elever skrive mer utførlig det

som deles og det som er igjen:

453 : 3 = 300 100 135 120 40 15 15 5 0

145

En slik metode vil være enklere

å forstå og ikke særlig mer

arbeidskrevende. Det har vært

viktig for oss å legge til rette

for at elevene får forståelse for

de metodene de bruker og at

de kan være fleksible i valg av

metoder. Vi ser på det som like

viktig som det at elevene lærer

seg standardalgoritmen. Derfor

bør ikke den være den eneste

som er nevnt i planen. Etter

vårt forslag tror vi elevene vil

utvikle effektive algoritmer med

forståelse, så kan det hende at

enkelte først begynner å bruke

standardalgoritmen for divisjon

på ungdomstrinnet.

Et annet eksempel som illus-

trerer dette poenget kan hentes

fra geometri, 7. trinn hvor det i

det første målet blant annet står

at elevene skal kunne identifisere

og analysere egenskaper ved 2-

og 3-dimensjonale figurer. Her

kunne man i stedet tenkt seg

en opplisting av hvilke figurer

elevene skulle ha kompetanse

om, men vi mener at det vil få

tilsvarende uheldige konsekven-

ser. Hvis lista er kort, medfører

konkretiseringen en uheldig inn-

snevring av det elevene bør få

anledning til å møte i undervis-

ningen. Hvis lista gjøres lengre,

kan det medføre at mye tid går

med til unødvendige detaljer.

Skal for eksempel rombe være

med på lista? Det vil være uhel-

dig om den ikke var med, siden

mange lærere kan ha utmerkede

undervisningsopplegg knyttet til

denne figuren. Men det vil også

kunne være uheldig om den var

med, fordi man da forlangte at

alle elever måtte bruke tid på

den. Læreplanforslaget vektleg-

ger både fakta og ferdigheter og

strukturer og sammenhenger.

Det å utnytte sammenhenger

betyr at elever som skal arbeide

med en rombe uten å ha møtt

den i undervisningen, vil kunne

bruke det de kan om kvadrater

og parallellogrammer i arbeidet.

Dermed blir det ikke avgjørende

om alle elevene lærer om romben

på mellomtrinnet eller om noen

først møter den seinere.

Jeg håper alle LAMIS-med-

lemmer bruker anledningen til

å gå grundig gjennom planfor-

slaget og vurderer det i forhold

til egen praksis og eget faglige

ståsted. Det vil være nyttig for

egen del i forhold til den under-

visningen vi alle skal gjennom-

føre i årene framover. Samtidig

trenger Utdanningsdirektoratet

gode og velbegrunnede tilba-

kemeldinger når de skal gjøre

planen ferdig.

tikksenteret, noe som gjør at vi

av og til er sammen på konfe-

ranser og liknende. Det har vært

lærerikt og givende i tillegg til å

sveise oss godt sammen. Derfor

vil vi oppfordre andre styrer til å

dra på konferanser sammen; bli

godt kjent med hverandre. Det

gjør at styrearbeidet går mye

lettere. Søk Lamis sentralt om

reisestøtte.

(forts. fra side 67)

Landslaget for matematikk i skolen 71

Nytt fra Bergen og omegn lokallag Temakvelder våren 2005:

Diskusjonsmøte om nye læreplaner, onsdag 16. mars klokken 18.00 til 21.00.

Leder av læreplangruppen for matematikk, Bjørnar Alseth, vil delta på møtet. (Sted: Høgskolen

i Bergen, Landås)

Matematikk og IKT-ressurser, 14. april klokken 18.00 til 21.00.

Kursleder blir Christoph Kirfel. (Sted: Fusa videregående skole, Eikelandsosen)

Invitasjon og nærmere beskrivelser av innholdet blir kun sendt på epost og lagt ut på www.lamis.

no/bergen (send oss epostadressen din hvis du vil være sikker på å holde deg oppdatert).

Nytt lokallagsstyre ble valgt på årsmøtet 27. oktober, og består av:

• Else Aarø, else.aaro@bergen.kommune.no (leder)

• Ole Bjørn Eikeland (nestleder)

• Jostein Holck (kasserer)

• Hans Jørgen Riddervold, hans.jorgen.riddervold@hib.no (skriver)

Nytt lokallag: LAMIS fjellregionenDet nye lokallaget LAMIS Fjellregionen hadde konstituerende møte 13.12.04. Initiativet til laget ble

tatt av lærere ved Tolga skole som gjennom kontakt med Ingvill M. Stedøy og deltakelse på LAMIS

sine sommerkurs ble klar over hvilken inspirasjon et samarbeid innenfor LAMIS kan være i mate-

matikkundervisningen. Ideen ble luftet på en nettverkssamling for skolene i Nord-Østerdal, og det

viste seg å være stor interesse for å danne et eget lokallag – mye fordi avstanden til de nærmeste

lokallagene ble for stor til at man kunne reise på kurskvelder arrangert av disse.

LAMIS Fjellregionen består av kommuner i Nord-Østerdal, samt Rendalen, Røros og Holtålen.

Styret består av

Toril Sivertsen (leder), Arvid Hagen (nestleder), Oddbjørg Brænd (kasserer) og Ståle Lund (sekre-

tær). Øvrige styremedlemmer: Børge Røhjell, Ellen Langøien, Helge Bjertnæs og Inger Elisabeth

Sande.

Landslaget for matematikk i skolen72

Sommerkurs-rapporten fra 2004 er ferdig! Det er blitt en vakker bok på hele 185 sider, der en finner 28 svært gode verksteder og plenumsfo-

redrag. For de av dere som ikke fikk anledning til å være med på sommerkurset kan den anbefales

på det varmeste.

Vi selger boka for kr. 200.

Send bestilling til: lamis@matematikksenteret.no

Boka vil i tillegg fungere som velkomstgave til nye medlemmer det neste året sammen med mate-

matikkdag-heftet for 2005.

AbeldagenHusk å sette av 24. mai eller en annen dag i uke 21 til å arrangere en Abeldag på skolen din.

Abeldag-heftet kommer sammen med Tangenten nr. 2/2005 (ca. 1. april). Heftet vil være fullt av

idéer til å arrangere en matematisk aktivitetsdag ute i skolegården i forbindelse med utdeling av

Abelprisen i mai.

Lamis aktivitetskalender Hva skjer i Lamis? Våren – 2005Mars

I mars er det hittill tre aktivitetsdager. Gå inn

på www.lamis.no/aktivitetskalender_v05.htm

og sjekk hva som skjer rundt om i landet i

Lamis sin regi!

Ma Ti On To Fr Lø Sø

5 1 2 3 4 5 6

6 7 8 9 10 11 12 13

7 14 15 16 17 18 19 20

8 21 22 23 24 25 26 27

9 28 29 30 31