INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

74

Predrag Milosavljević1,2, Gabrijela Grujić2, Vuk Đuričković1

RUĐER BOŠKOVIĆ I PRIMENA KONCEPTA PLATONOVOG GEOMETRIJSKOG BROJA PRI ANALIZI OŠTEĆENJA I SANACIJI KUPOLE BAZILIKE SVETOG PETRA U VATIKANU

RUGGIERO BOSCOVICH AND APPLICATION OF PLATO’S GEOMETRICAL NUMBER CONCEPT IN DAMAGE ANALYSIS AND REPAIR OF THE DOME OF ST. PETER’S

BASILICA IN VATICAN CITY

Original naučni rad / Original scientific paper UDK /UDC: 514.11 726.6.013(456.31) Rad primljen / Paper received: 27.04.2017

Adresa autora / Author's address: 1) University of Belgrade, University Studies, History and Philosophy of Natural Sciences and Technology, Belgrade, Serbia email: pmilosavljevic@gmail.com 2) University of Belgrade, Teacher Education Faculty, Serbia

Ključne reči • Ruđer Josip Bošković • Platonov geometrijski broj • zlatni presek • Bazilika Svetog Petra • muzička analogija

Izvod

O Ruđeru Josipu Boškoviću je objavljen mali broj rado-va koji se odnose na tradiciju primene antičkih znanja čije je osnove ovaj istaknuti dubrovački filozof prirode imple-mentirao u svoj naučni i inženjerski rad. Studija koju su 1742. godine načinili Bošković i njegove kolege, Toma Luser i Fransoa Žaki, ukazuje na to da su konstruktori kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu, među kojima se nalazio i Mikelanđelo Buanaroti, prilikom koncipiranja njenog oblika i strukture, pridržavali antičke tradicije bazi-rane na geometrijskoj implementaciji neprekidne podele i muzičke analogije, ali, takođe, i njihovoj sintezi u okviru sistema tzv. Platonovog geometrijskog broja. U tom pogle-du, ovaj rad ima za cilj da ukaže da su u tehničkom smislu antička i vizanto-renesansna učenja nastavila da se prime-njuju i nakon XVI veka. Među istaknutim naučnicima XVIII veka, koji su nastavili da primenjuju antička znanja, poseb-no mesto zauzima Ruđer Bošković.

Keywords • Ruggiero Giuseppe Boscovich • Plato's geometrical number • golden ratio • St. Peter's Basilica • musical analogy

Abstract

Little is known on the published works of Ruggiero Giuseppe Boscovich that refer to a tradition of applied antique knowledge this distinguished philosopher of nature from Dubrovnik has implemented in his scientific and engineering work. The study by Boscovich and his colleagues Thomas Le Seur and François Jacquier in 1742 indicates that when defining the form and structure, the builders of St. Peter Basilica Dome in the Vatican, among whom was Michelangelo Buonarroti, complied with the antique tradition based on geometric imple-mentation of the system of continuous division and musical analogy, but also on their synthesis within the so-called Plato's geometrical number. Regarding this, we aim to show that the ancient- and Byzantine-Renaissance teachings con-tinued development and were used in a technical manner after the XVI century. Among XVIII century prominent scholars who continued application of ancient knowledge, a special place is dedicated to Ruggiero Boscovich.

UVOD

Iako je bio školovan u jezuitskom okruženju Papskog univerziteta Gregoriana (Pontificia Università Gregoriana), u kome je značajan deo obrazovanja bio baziran na principi-ma Aristotelovog učenja, Ruđer Josip Bošković (Ruggiero Giuseppe Boscovich, 1711-1787), dubrovački filozof priro-de, matematičar, astronom, diplomata, teolog i poeta, srpsko-italijanskog porekla, u velikoj meri je tokom svog kasnijeg rada teorijsko i praktično iskustvo usmerio u pravcu usavr-šavanja i primene renesansnih znanja prevashodno bazira-nih na temeljima Platonovog učenja. Posebno mesto u tom pogledu zauzima tehnologizacija koncepta Platonovog geo-metrijskog broja, baziranog na sintezi sistema neprekidne srazmere (zlatnog preseka) i elemenata muzičke analogije. Naime, slično kao što je postuliranjem „srazmere“ u okviru teorije „geometrijskog“ ili „svadbenog broja“ atinski filozof Platon (Πλάτων, 424/423–348/347. godine stare ere) objaš-njavao nastanak asimetrično-ravnotežnog poretka i uskla-

đene dinamike sila i geometrije strukturiranja materije /1/, tako je i Bošković u svojim spisima, posebno u okviru dela Theoria philosophiæ naturalis (1763. godina), rezultantama „modusa“ dodelio dve vrednosti iz kojih je izveo sistem atraktivnih i repulzivnih sila, /2/. Bošković je poput Platona izveo diferencijaciju elemenata geometrijskih osnova na koje se svode (i u odnosu na koje se sagledavaju) odnosi i granične vrednosti dejstva uzajamnih, repulzivno-atraktiv-nih sila u prirodi. U tom pogledu, Bošković je „modus“, „poluprečnik“, „nagib“ (kosinu) i „mali (oštar) ugao“ ozna-čio kao zasebne, ali međusobno uslovljene vrednosti u odnosu na koje je potrebno posmatrati sistem promena veli-čina u prirodi. Pojam „modusa“ je u okviru Boškovićeve teorije imao smisao „mere nagiba“ (kosine), čija osnova se nedvosmisleno podudara sa Platonovim pojmom „srazmere“ i u vezi sa njom, geometrijskih funkcija dijagonale „Istog“ i dijagonale „Drugog“, /3/). Pored sličnih odrednica koje se u drugačijem pojmovnom obliku uočavaju u Boškovićevim

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

75

teorijskim radovima, istaknuti dubrovčanin je identične geo-metrijsko-konstruktabilne srazmerske osnove o kojima je tokom antike govorio Platon, primenio i prilikom rešavanja problema oštećenja kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu.

Slika 1. Francuski matematičar Fransoa Žaki (1) i dubrovački

matematičar i filozof prirode srpsko-italijanskog porekla Ruđer Josip Bošković (2)

O tome na poseban način svedoče geometrijski dijagrami prikazani u okviru table koju su Bošković i njegove kolege (sl. 1), matematičari Toma Luser (Thomas Le Sueur, 1703-1770. godina) i Fransoa Žaki (François Jacquier, 1711-1788. god.), načinili u vezi sa uspostavljanjem geometrij-skih odrednica (metoda) pomoću kojih su rešili problem rada spoljašnjih sila, sila loma, kao i težine i momenta iner-cije kupole i potkupolnih stubova Bazilike Svetog Petra u Vatikanu, /4/(3). Pregled izvora tehničkih znanja aktuelnih do vremena rekonstrukcije kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu

Veliki uticaj na postupke konstruisanja arhitektonskih zdanja do razdoblja podizanja kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu (XVI vek), imala su tehnička znanja sakupljena u zbirci „Deset knjiga o arhitekturi“, /5/. Pomenutu zbirku je na prelazu iz stare u novu eru načinio rimski arhitekta, teoretičar i inženjer Marko Vitruvije Polio (Marcus Vitru-vius Pollio, 80/70. – 15. god. stare ere). Od tog perioda njen sadržaj je pretrpeo više redakcija na različite evropske jezike. Sadržaj pomenutog Vitruvijevog dela bio je od posebnog značaja u periodu nakon X veka, kada je posle više od petsto godina od pada Zapadnog rimskog carstva došlo do obnove stila i izgradnje objekata zasvođenih kupolama, kao i uvođenja rebrastih (romanika) i krstasto-rebrastih (gotika) svodova, tj. lučnih formi povezivanih stubovima i polu-stubovima unutar različitih tipova zdanja. Za razliku od zapadnoevropske arhitekture, u vizantijskom kulturnom krugu, a kasnije, nakon VII veka, i u okviru islamske (arap-ske) arhitekture, izgradnja složenijih kupola i lučno zasvo-đenih građevinskih celina zadržala je, kako tehničko-tehno-

1 Portret Fransoa Žakija načinio je Benua Pešu (Benoît Pécheux, ?)

prema radu Lorana Pešoa (Laurent Pécheux), prva polovina XIX veka (Musée des beaux-arts de Lyon).

2 Portret Ruđera Boškovića načinio je 1760. godine engleski slikar Robert Edž Pajn (Robert Edge Pine, 1730-1788. godine).

3 Takođe, videti elektronsku verziju http://mathematica.sns.it/ media/volumi/143/cupola _san_pietro.pdf (June 14, 2014).

loški, tako i kulturni kontinuitet, koji je tokom vremena dobijao sve značajniji zamah. U okviru zapadnoevropskog arhitektonskog stvaralaštva, pomenuti trend počinje da dominira od razdoblja romanike (IX vek), kada ujedno započinje i postepena transformacija crkvene arhitekture koja od tog vremena poprima sve veću složenost formi, likovnosti, ali, takođe, i simbolike izraza.

Podstaknut Vitruvijevim delom i sve većim zahtevima građevinarstva, đenovljanski arhitekta, matematičar, umet-nik i humanista Leon Batista Alberti (Leon Battista Alberti, 1404-1472) načinio je 1485. godine traktat „O graditelj-stvu” (De Re Aedificatoria), u okviru koga je izneo čitav niz geometrijskih zakonomernosti u vezi sa načinom konstruisanja lučno zasvođenih elemenata, razvivši pri tom (pretežno na formalno-geometrijskim osnovama) teoriju lukova i kupola. Pomenuta Albertijeva knjiga, a nakon nje i delo „Četiri knjige o arhitekturi“ (I quattro libri dell' archi-tettura), koju je 1570. god. načinio venecijanski arhitekta Andrea Paladio (Andrea Palladio, 1508-1580), predstavljale su značajna dela korišćena u arhitektonskom stvaralaštvu do XVIII veka. Potrebe za obnovom i rešavanjem konstruktivnih problema i održivosti kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu

Početkom XVI veka Papa Julije II započinje sa obnovom Bazilike Svetog Petra u Vatikanu, a izradu projekta je poverio poznatom urbinskom arhitekti Donatu Bramanteu (Donato di Angelo di Pascuccio detto il Bramante, 1444-1514). Iako nije sačuvan nijedan Bramanteov originalni nacrt bazilike, do naših dana je ostalo poznato da je ovaj istaknuti renesansni stvaralac rešenje objekta sveo na osno-vu upisanog grčkog krsta, čiji je centralni deo karakterisala velika poluloptasta kupola postavljena na izdignuti tambur, /6/.(4) Rad na obnovi crkve neometano je trajao sve do smrti pape Julija II (1513. god.), nakon čega je njegov naslednik, papa Lav X (Giovanni di Lorenzo de' Medici, pontifikat između 1513. i 1521. godine) za isti posao angažovao arhi-tektu i slikara Rafaela Santija (Raffaello Sanzio da Urbino, 1483-1520). Rafaelo je zajedno sa fra Đovanijem Đakon-dom (Giovanni Giocondo da Verona, 1433-1515, http://it. wikipedia.org/wiki/Giovanni_Giocondo - cite_note-2) nas-tavio sa radom i modifikacijama ovog kompleksnog projekta. Nešto kasnije, papa Lav X je proglasio Rafaela za glavnog arhitektu, /7/(5), koji je na tom poslu ostao sve do svoje smrti. Nakon Rafaela, pomenuti posao je bio poveren firen-tinskom arhitekti Antoniju da Sangalu il Đovaniju (Antonio da Sangallo il Giovane, 1484-1546) i njegovom saradniku, arhitekti, scenografu i slikaru Baldasaru Tomasu Peruđiju (Baldassarre Tommaso Peruzzi, 1481-1536). U tom periodu 4 Murray, P., L'architettura del Rinascimento italiano. Laterza,

Bari. (2007), p. 148. O tome na poseban način govore predstava Donata Bramantea (prednja strana) i predstava crkve (zadnja strana), utisnute na novčiću koji je italijanski zlatar Kristoforo Fopa (Cristoforo Foppa, 1445-1527), poznatiji kao Caradosso, iskovao u znak polaganja kamena temeljca koji se zbio 18. aprila 1506. Takođe, videti Pevsner N., Storia dell'architettura euro-pea, Laterza, Bari. (1998), p.130.

5 Uporediti sa: Ruschi, P., Studi per il tamburo e per la cupola di San Pietro, ed. M. Mussolin, Michelangelo architetto a Roma, Cinisello Balsamo, Milano. (2009), p.121.

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

76

obnova bazilike je pretrpela nekoliko odlaganja. Nakon načinjenih izmena u projektu, Sangalo je sve do 1539. godi-ne bio preokupiran pripremom i izradom detaljnog drvenog model bazilike sa kojim je trebalo da bude vizuelizovan njen novi izgled. Sangalov model je nastao iz procesa sinteze arhitektonskih osnova baziranih na grčkom i latinskom krstu, u čijoj se centralnoj kompoziciji nalazio dvostruki tambur i kupola od šest etaža, /7/. Do 1543. godine radovi na kupoli su realizovani do nivoa tambura, /8/. Tri godine nakon toga (1546. god.), umire i Sangalo, zbog čega je u pogledu dalje razrade projekta i nastavka radova na izgrad-nji crkve angažovan znameniti firentinski skulptor, arhitekta i slikar Mikelanđelo Buanaroti (Michelangelo Buonarroti, 1475-1564). Mikelanđelo je od samih početaka imao nega-tivan stav prema rešenjima njegovog prethodnika, zbog čega je doneo odluku da centralni plan bazilike bude vraćen na početno rešenje, odnosno, na osnovu sa upisanim grčkim krstom. Iako je Mikelanđelov rad na konstrukciji kupole dokumentovan kroz više izvora (pisama, crteža i zapisa) koje su načinili njegovi savremenici, među kojima se nala-zio i arhitekta, slikar i istoričar umetnosti Đorđo Vazari (Giorgio Vasari, 1511-1574), do danas nije ostao sačuvan nijedan celovit originalan nacrt koji bi na neposredan način ukazao na geometrijske osnove koje je ovaj istaknuti rene-sansni stvaralac koristio prilikom koncipiranja oblika i strukture kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu (sl. 2).

Slika 2. Izgledi i preseci kupola, zamišljeni prema: a) Bramanteu, b) da Sangalu i c,d) Mikelanđelu Buanarotiju (gravire iz Du Pérac,

Speculum Romanae Magnificentiae, 1569. god.)

Koliko je do danas ostalo poznato, Mikelanđelo nije izradio konačnu verziju originalnog projekta za vatikansku baziliku već je tokom svog rada bio primoran da razrađuje i

usklađuje rešenja svojih prethodnika, /9/(6). Početno Bra-manteovo rešenje koje je odlikovala osnova sa upisanim grčkim krstom (okružena sa četiri manja krsta), Mikelanđelo je zamenio formom centralnog krsta sa deambulatorijom i pojednostavljenom konstrukcijom unutrašnjeg prostora. Kako se može uočiti, Mikelanđelo je u konstruktivnom smislu posebnu pažnju usmerio prema razradi geometrij-skog koncepta u čijoj se osnovi nalazila poluloptasta kupola (iz koje je izveo složeniju strukturu kupole sa dvostrukom ljuskom). Pomenuto Mikelanđelovo rešenje je bilo slično rešenju kupole Cattedrale di Santa Maria del Fiore, /10/(7), koju je između 1425. i 1436. godine načinio firentinski arhitekta, inženjer i skulptor Filipo Brunaleski (Filippo di ser Brunellesco Lapi, 1377-1446).

Nakon Mikelanđelove smrti je pronađeno nekoliko nacrta koji su poslužili da se obnovi njegovo rešenje forme i struk-ture kupole. Među njima se nalazi i crtež koji je u knjizi Speculum Romanae Magnificentiae (1569) reprodukovao francuski arhitekta, graver i slikar Etjen Duperak (Étienne Du Pérac; 1525-1604). Pomenuti crtež je tokom vremena postao izuzetno prihvaćen i rasprostranjen među istoričarima i teoretičarima arhitekture (8).

Drugi crtež, koji se čuva u muzeju Casa Buonarroti (Inv. No. 35 A), načinjen 1559/1560. godine (sl. 3), predstavlja neposredno svedočanstvo u vezi sa Mikelanđelovim konceptom forme i strukture kupole, kao i tamburom projektovanim za vatikansku baziliku (9).

Slika 3. Delovi Mikelanđelovog crteža sa proračunima koji se

odnose na konstrukciju kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu (Inv. br. 35 A; Casa Buonarroti, Firenca), 1559/60. god. (10); i dijagram sa prikazom dela analize ugaonih vrednosti preseka Mikelanđelove kupole (desno): OCD 52∠ ≈ ° , ODA 45∠ ≈ °

6 Brodini, A., San Pietro in Vaticano, ed. M. Mussolin, Michel-

angelo architetto a Roma, Cinisello Balsamo, Milano. (2009), p.170. Takođe, videti: Zanchettin, V., Il tamburo della cupola di San Pietro, ed. M. Mussolin (2009), p.180.

7 Uporediti sa Pevsner, N. (1998), p.149, /10/. 8 Uporediti sa Zanchettin, V. (2009), p. 180; Pevsner, N. (1998), p.

180, /10/. 9 Ruschi, P. (2009), pp.122-123. 10 Uporediti sa http://www.michelangelodigitalmuseum.com/?p=

889 (March 14, 2017). U okviru sajta videti reference Witt-kower, R., La Cupola di San Pietro di Michelangelo. Riesame critico delle testimonianze contemporanee, Sansoni, Firenze. (1964), pp.21-22; Millon, H.A., Smyth C.H., Michelangelo architetto. La facciata di San Lorenzo e la cupola di San Pietro, catalogo della mostra, Olivetti, Milano. (1988), pp. 150-155, n. 29.

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

77

Kako se može pretpostaviti, pomenuti crtež je prevas-hodno bio načinjen u svrhu izrade velikog drvenog modela bazilike, pomoću koga je trebalo da budu predstavljeni oblik tambura, raspored unutrašnjih pilastara i okula, kao i sistem spoljašnjih potpornih lukova koji kulminiraju u nizu spregnutih (dvostrukih) stubova. Na određeni način, pome-nuta geometrijska studija se dovodi u vezu sa crtežom koji se danas nalazi u Palais des Beaux-Arts (Cabinet des Dessins) u Lilu, u okviru koga je takođe bio dat prikaz preseka kupole sa uzdignutim tamburom, okulom raščlanjenim stubovima i gornjim vencem ukrašenim statuama. Pomenuto rešenje je slično onome (Inv. No 50A recto, Casa Buona-rroti) koje je između 1519/1520. godine Mikelanđelo načinio za potrebe završetka izgradnje tambura kupole Cattedrale di Santa Maria del Fiore (11).

U trenutku kada je preuzeo upravljanje radovima na Bazilici Svetog Petra u Vatikanu, Mikelanđelo je bio primoran da prihvati čitav niz tehničkih ograničenja uslov-ljenih do tada izvedenim radovima načinjenim prema nacrtima njegovih prethodnika. Među njima je posebno bila istaknuta vrednost prečnika kupole preko koga su definisani veličina i položaj baze kupole (omeđane kubetom sa kruž-nom kolonadom stubova i vencem iznad njih), kao i geome-trija raspona kupolnih lukova. U želji da načini ispravke i uskladi odnose u okviru same strukture objekta, Mikelanđelo je započeo sa povezivanjem nedovršenih delova zdanja, poput apside i transepta (12). Izgradnja postolja iznad tam-burnog venca je započeta tokom 1549. godine, a radovi bivaju okončani tek u februaru 1552.(13) Nakon završetka izgradnje tamburnog venca obavljeni su radovi i pripreme u vezi sa podizanjem unutrašnjih elemenata kupolne strukture, dok je sa njenom izgradnjom započeto 1554. Pomenuti radovi su okončani 1561, nakon čega se krenulo sa ugova-ranjem preostalih poslova (14). Nakon Mikelanđelove smrti nastavak radova na kupoli neko vreme je bio obustavljen.

U pogledu daljeg planiranja i nastavka radova, /6/(15), početkom 1587. godine su angažovani italijanski arhitekta i skulptor Đakomo Dela Porta (Giacomo Della Porta, 1532-1602) i njegov pomoćnik, švajcarski arhitekta Domeniko Fontana (Domenico Fontana, 1543-1607). Radovi na dovr-šetku kupole počinju nakon godinu dana (1588), tako da su do 1590. godine (uz angažovanje većeg broja radnika i veli-kih količina materijala) bili dorađeni njeni nedovršeni elementi, dok je spoljašnja pokrivka (od olovnih ploča) bila konačno postavljena 1593., /11/(16). Dela Porta i Fontana nisu spadali u inženjere koju su bezpogovorno, samo na osnovu Mikelanđelovih nacrta, pristupili daljoj izgradnji kupole. Naime, oni su načinili čitav niz tehničkih dopuna i 11 Up. Ruschi, P. (2009), pp. 123-124. 12 Brodini, A. (2009), p. 173. 13 Up. Brodini, A. (2009), p. 174. 14 Zanchettin, V. (2009), p. 185; Pevsner, N. (1998), p. 149. 15 Videti: Murray P., L'architettura del Rinascimento italiano.

Bari, Laterza (1997): 158 i Cassanelli L., Contardi B., Roma sacra: guida alle chiese della città eterna. Elio de Rosa, Napoli (1995).

16 Carusi, M., La struttura portante della cupola di Della Porta: 1588-2010. Annali di architettura: Rivista del Centro Inter-nazionale di Studi di Architettura Andrea Palladio di Vicenza, 22 (2010), pp.125-150.

izmena u pogledu forme i strukture kupole, a sve u skladu sa iskustvima i dostignućima do kojih se u nauci i tehnici došlo tokom druge polovine XVI veka. Dela Porta i Fontana ne samo da su u pogledu Mikelanđelovog projektnog rešenja načinili niz izmena, među kojima se nalazila i promena zakrivljenosti kupolnog luka (sa kojima je izgled kupole bio bliži Bruneleskijevom rešenju), već su ujedno u zidove kupole ubacili i seriju tangencijalnih lanaca (posebno u gornjem delu). Ugrađeni lanci su imali preventivnu funkciju očuvanja (utezanja) kupole, posebno u pogledu mogućih deformacija prouzrokovanih pritiskom. U određenoj meri, na taj način je kupola bila statički održivija i donekle zašti-ćena od prodora poprečnih sila.

Može se pretpostaviti da su u skladu sa geometrijskim principima koje je primenio Mikelanđelo, a koji su očigledno bili bazirani na primeni sfernog odsečka svedenog na raspon ugla približno 51,8°, Dela Porta i Fontana su modifikovali strukturu kupole u oblik dvostruke izdužene ljuske. Na taj način dvojica inženjera su samo donekle rešila problem generisanja bočnih sila. Pri tom, Dela Porta je u okviru same kupole načinio i otvore preko kojih je postignuta veća osvetljenost unutrašnjeg prostora objekta, što je kupoli isto-vremeno dalo viši estetski i simbolički smisao. Pored pome-nutih izmena, Dela Porta i Fontana su tokom dogradnje kupole koristili kvalitetnije materijale koji su omogućili da objekat tokom vremena ne trpi ozbiljnije štete izazvane zemljotresima, poput onog koji se zbio 1703, /12, 13/.

Tokom pontifikata pape Klimenta VIII (Clemente VIII, između 1592. i 1605. godine), na vrhu kupole su podignuti toranj i krst. Iz vremena Dela Porte takođe potiču i manje kupole raspoređene oko centralne, za koje se pretpostavlja da nisu imale konstruktivnu funkciju. Takođe, pretpostavlja se da su pomenute, manje kupole(17), projektovali italijanski arhitekta i teoretičar Jakopo da Vinjola (Jacopo Barozzi da Vignola, 1507-1573), i slikar, arhitekta i antikvar Piro Ligo-rio (Pirro Ligorio, 1513-1583). Problemi održivosti kupole i studija trojice matematičara, Bošković, Luser i Žaki

Do problema sa kupolom Bazilike Svetog Petra u Vati-kanu dolazi neposredno nakon njene izgradnje.

Uprkos nesumnjivih sposobnosti svih učesnika pri konci-piranju i podizanju kupole, posebno Dela Porte i Fontane, koji su u svoje vreme spadali među najznačajnije inženjere (18), već u kratkom vremenu nakon okončanja njene izgradnje na kupoli su počela da se pokazuju određena oštećenja, očigledno prouzrokovana konstruktivnim propustima i nedovoljnim statičkim proračunima. To je u narednim godi-nama uslovilo potrebu da se obavi nekoliko dodatnih radova radi njene konsolidacije i uvećanja stepena održivosti. Prvi dokumentovani spisi o pomenutim radovima datiraju iz 1603. Međutim, i pored svih do tada izvedenih popravki, tokom 1631. dolazi do pojave novih, većih naprslina, takođe prouzrokovanih pritiskom koji je kupola vršila na podku-polnu bazu(19). Kako pomenuti problem tokom vremena nije

17 Brodini, A. (2009), p.178. 18 Murray, P., L'architettura del Rinascimento italiano, Bari,

Laterza. (1997), p.158. 19 Carusi, M. (2010), pp. 125-150.

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

78

bio rešen, a 1742. godine su naprsline postale sve veće i vidljivije, papa Benedikt XIV (Benedetto XIV, 1675-1758) je u strahu od opšteg urušavanja kupole uputio poziv trojici matematičara, Boškoviću, Luseru i Žakiju, iznoseći pred njih zahtev da istraže uzroke nastalih oštećenja, ali, takođe, i da iznesu predloge i mogućnosti za njenu sanaciju. Na osnovu kasnijih dokumenata se može zaključiti da je Bošković preuzeo veći deo prihvaćenog posla, tako da je nakon približno tri meseca od početka njihovog zajednič-kog rada nastao i prvi dokument (studija), posvećen rešava-nju ovog problema. Naslov pomenute studije glasi Spis koji se odnosi na oštećenja kupole Svetog Petra u Rimu i njihovo ispravljanje (Scritture concernenti I danni della cupola di San Pietro di Roma e i loro rimedi, 1742). U spisu se nalazi niz proračuna i zapažanja koja su trojica istaknutih matematičara načinila u vezi sa kupolom i njenim oštećenjima, dok se na samom kraju spisa nalazi tabla sa dijagramima koji se odnose na geometrizaciju konačnih rezultata analize i rešenja zatečenog problema (sl. 4).

Slika 4. Naslovna strana(20) i strana sa crtežom polupreseka kupole

i modela sa pojednostavljenim prikazom rezultata geometrijske analize Bazilike Svetog Petra u Vatikanu (Scritture concernenti I danni della cupola di San Pietro di Roma e i loro rimedi, 1742)

Nakon objavljivanja pomenute studije papa Benedikt XIV je iz dodatne predostrožnosti angažovao italijanskog matematičara, fizičara i inženjera Đovanija Polenija (Gio-vanni Poleni, 1685-1761), kako bi na osnovu izvedenih proračuna obavio proveru održivosti kupole, ali, takođe, i kako bi preuzeo rukovođenje njenom daljom sanacijom. Nakon završetka provere rezultata do kojih su došli Boško-vić i njegove kolege, Poleni je u periodu 1743. i 1744. godine organizovao posao ubacivanja redova gvozdenih tangenci-jalnih lanaca na mesta koja su prethodno (geometrijskim putem) odredila trojica matematičara, a među kojima su posebno značajni lanci ugrađeni iznad tambura u donjoj zoni kupolne ljuske (21).

20 Tabelu videti u Le Seur, T., Jacquier, F., Boscovich, R.G.

(1743). Takođe, videti i verziju http://digi.ub.uni-heidelberg.de/ diglit/leseur1743/0191?sid=39455132d9c4d8758ffbef6834e41389 (July 14, 2014).

21 Videti u http://www.unipd.it/1000annidiscienza/visita/ortobota nico/poleni/sanpietro.html (July 18, 2014).

Analogija Boškovićevih dijagrami i aspekti Platonovog geometrijskog broja

Značajno mesto u okviru studije koju su objavili Bošković, Luser i Žaki, imalo je to što su prilikom definisanja i obraz-loženja uzroka koji su uticali na oštećenje kupole, a zatim i prilikom iznošenja predloga za njenu dalju sanaciju, pome-nuta trojica matematičara po prvi put primenila znanja iz oblasti mehanike. Pored pažljivog nabrajanja oštećenja, posebno vertikalnih pukotina, uočenih na skoro celoj povr-šini kupole, oni su ukazali i na dve dugačke horizontalne pukotine, jedne koja se nalazila na vrhu kupole i druge koja se nalazila na bazi luka. Takođe, tom prilikom je bila uočena i velika naprslina duž masivnog rebra. Pomenuta naprslina je ukazala na odvajanje masivnog rebra od stuba koji drži kupolu, što je predstavljalo poseban rizik za njeno urušavanje. Između ostalog, položaje i karakteristike pomenutih naprslina Bošković i njegove kolege su detaljno predstavili u okviru crteža sa prikazom polupreseka kupole, koji se nalazi u okviru table prikazane u prilogu na kraju pomenutog spisa.

Pored detaljnog prikaza polupreseka kupole, pomenuta tabla ima poseban značaj sa stanovišta četiri geometrijska dijagrama (raspoređena iznad crteža kupole), čije osnove ukazuju na logiku geometrizacije i postupka svođenja elemenata kupole na proste planimetrijske relacije, ugaone i srazmerske vrednosti. Pored toga što posredno ukazuju na pristup preko koga su trojica matematičara obavili analizu kupole, pomenuti dijagrami ukazuju i na geometrijske vred-nosti preko kojih se može objasniti koncept oblikovanja kupole na osnovu koga je 1546. godine Mikelanđelo Buana-roti obavio njeno konstruisanje(22). U tom pogledu, Boško-vićeva analiza ukazuje da je Mikelanđelo u određenom smislu poznavao zakonomernosti graničnog ugla kojim se određuje momenat pritiska i zatezanja kupolne ljuske. Takođe, ona ukazuje i na to da se Mikelanđelo ujedno poslužio i sinte-zom vrednosti zlatnog preseka i elemenata izvedenih iz primene principa muzičke analogije, poput odnosa 2/3. U tom pogledu, od posebne važnosti je vrednost ugla od približno 51,729°, koji je Mikelanđelo očigledno imao u vidu prilikom rešavanja problema statike, strukture i geo-metrije kupole. Kada se pomenuta ugaona vrednost uporedi sa rezultatima savremenih istraživanja iz oblasti konstruk-tivnih sistema, u okviru kojih je bliska vrednost (od približno 8,8 × 10–2) označena kao granična vrednost uticaja sila na kupolu oblika polulopte, može se konstatovati izne-nađujuće građevinsko iskustvo i geometrijska preciznost kojom su raspolagale renesansne arhitekte. Naime, primer kupole u obliku polulopte opterećene sopstvenom težinom ukazuje na promene naprezanja u meridijanskim i horizon-talnim presecima. U navedenom slučaju, u pravcu temenih glavnih krugova, tada se javlja samo pritisak, dok se u prav-cu horizontalnih krugova (od temena do tačke A) javlja pritisak pod uglom od 51,817° (sl. 5), ispod koga dolazi do procesa zatezanja (23). 22 Videti u Ruschi, P. (2009), p.121; Brodini, A. (2009), p.170;

Ackerman, J.S., L'architettura di Michelangelo. G. Einaudi, Torino. (1968), p.220.

23 Kose reakcije ljuske u ovom slučaju se prenose na prsten kupole. Naime, kada su sve sile S duž celog prstena jednake (pri rota-ciono simetričnom opterećenju), i u slučaju kada prsten naleže

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

79

Slika 5. Granični ugao od 51,817° - geometrijska osnova promene

napona na primeru kupole u obliku polulopte (24)

Na osnovu geometrije kupole Crkve Svetog Petra u Vati-kanu, može se izneti pretpostavka da je na određeni način Mikelanđelo bio upoznat sa geometrijsko-konstruktabilnim postupkom označenim kao „Metoda 6 4 “, preko čije se osnove na jedinstven i sistematski način mogu izvesti ugao-ne i srazmerske vrednosti do kojih su u vezi sa strukturom kupole došli Ruđer Bošković i njegove kolege (sl. 6).

Slika 6. Analiza geometrijsko-konstruktabilnih vrednosti preko

kojih se može ustanoviti metoda konstruisanja forme kupole Crkve Svetog Petra u Vatikanu; i (desno) izdvojeni prikaz „Metode 6 4 “ koja čini bazičnu konstruktivnu osnovu:

1 6AJ AB 2 3, AB KD 6 4, KAB cos 52,2384

−= = ∠ = ≈ °

Istorijske osnove primene geometrijskog sistema kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu

Slične principe i geometrijske pristupe prilikom konstru-isanja arhitektonskih struktura, koji se pronalaze u okviru izraza kasne gotike, uočavaju se i u stvaralaštvu iz epohe renesanse (XV vek). Naime, prema sličnim principima (u čijoj se osnovi nalazila sinteza zlatnog preseka i uglova od približno 51° i 52°), italijanski matematičar, skulptor, prav-nik i humanista Đovani di Gerardo da Prato (Giovanni di Gherardo da Prato, 1360-1446), takođe je konstruisao jednu od kupola. Naime, Da Prato je 1420. godine bio imenovan za vicenadzornika izgradnje Crkve Santa Marija del Fjore

na zid, tada horizontalne komponente sile (nφ) izazivaju aksi-jalno zatezanje prstena: S = Hr0 = –(nφ)0×ϕ0×r0.

Takođe, u pomenutom slučaju, usled vertikalne komponente opterećenja nema momenata sile, dok se u slučaju kada se prsten kupole nalazi na stubovima, tada pored sile zatezanja u prstenu dolazi do pojave savijanja, slično kao što je to slučaj kod kružne kontinualne grede. Više videti u /14/.

24 Uporediti sa Nestorović M. (2000): 87 (sl. 3.39), /14/.

(Santa Maria del Fiore) u Firenci. U svrhu prikaza boljeg i održivijeg modela kupole od onog koji je pre njega načinio firentinski arhitekta, inženjer, skulptor Filipo Brunaleski (Filippo Brunelleschi, 1377-1446), Da Prato je tokom 1426. godine na jednom pergamentu načinio dijagram u okviru koga je predstavio konstruktivno polazište za njegov pred-log rešenja (sl. 7). Između ostalog, Da Prato je u okviru pomenutog dijagrama pomoću dve dijagonale (OE i CD) naglasio vrednosti uglova od približno 52,239° (AOC) i 51,729° (AOE), i položaje i relacije AO/FO = OB/OG = 3/5 preko kojih se izvode lučne linije na osnovu kojih su defini-sani oblik (zakrivljenost) kupole (k1 i k2) i prečnik osnove lanterne. U pogledu primene metode pomoću koje se sa velikim stepenom tačnosti može obaviti analiza geometrij-ske osnove kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu, može se iskazati da Mikelanđelo nije bio prvi i jedini renesansni arhitekta i umetnik koji se njom služio prilikom koncipira-nja likovnih i arhitektonskih celina. O tome na neposredan način svedoče skice i crteži nekolicine starijih umetnika i arhitekata iz razdoblja gotike i renesanse. Primena geome-trijskih vrednosti istovetnih elementima koji se u konstruk-tivnom smislu postižu pomoću „Metode 6 4 , kao i nešto složenijih rešenja, primarne konstrukcije zlatnog preseka i lestvične deobe po zlatnom preseku (koja se svodi na sintezu vrednosti 6 4 , 5 1 4− i uglova od približno 52,238° i 51,729°), uočava se i u okviru građevinarstva gotičkih majstora, među kojima posebno mesto zauzima francuski arhitekta i umetnik Vilar d'Onkur (Villard de Honnecourt, XIII vek). Pomenuti gotički majstor je u okviru jednog od listova iz svoje sveske (stranica 64) načinio skicu spoljaš-njih potpornih stubova katedrale čija se geometrija svodi na kombinaciju istovetnih vrednosti – zlatnog preseka (BC/AB; BC/AD) i (ADC ≈ 51,729°), sl. 8.

Slika 7. Pergament sa geometrijskim dijagramom (detalj) koji pri-

kazuje konstrukciju kupole crkve Santa Maria del Fiore, koji je 1426. godine načinio da Prato (Inv. Mostra 158, Archivio di Stato di Firenze) i segmenti sa prikazom geometrijske osnove Da Prato-

vog dijagrama, /15/(25)

Identične vrednosti koje se postižu primenom primarne konstrukcije po zlatnom preseku (∠CAB ≈ 29,96°; ∠CBA ≈ 75,52°; AB/AD ≈ 1,618), takođe se uočavaju i u okviru geometrije raščlanjenog kružnog isečka, prikazanog na Stranici 41 D'Onkurove sveske (sl. 9). 25 Videti u Capretti, E., Brunelleschi, Firenze/Milano, Giunti.

(2003), p.38. Takođe, videti u http://commons.wikimedia.org/ wiki/File:Giovanni_di_gherardo_da_prato,_disegno_con_osservazioni_sul_tracciamento_della_Cupola_di_SMF,_1426,_archivio_di_stato_di_Fi,_inv._mostra_158.jpg (July 2, 2014).

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

80

Slika 8. Geometrijske osnove potpornih stubova na crtežu iz sveske Vilara d'Onkura (Stranica 64), razdoblje oko 1235. godine, /16, 17/(26)

Slika 9. Geometrijske osnove raščlanjenog kružnog isečka na crtežu

iz sveske Vilara d'Onkura (Stranica 41), razdoblje oko 1235.(27)

S kraja XV veka, istovetnu geometrijsko-konstruktabilnu osnovu je u svojim delima primenio i Leonardo da Vinči (Leonardo di ser Piero da Vinci, 1452-1519), koji je o tome ostavio i neposredno svedočanstvo u okviru nekoliko listova iz svoje Sveske. Među njima se posebno ističe list sa inven-tarskom oznakom RL 12542r, koji se danas čuva u „Kraljev-skoj kolekciji“ (Kraljevska biblioteka u Vindzoru). Na listu datiranom iz razdoblja oko 1494. godine, označenog kao Studija za Tajnu večeru, i arhitektonske i geometrijske skice, urađene u tehnici mastilo i pero, Leonardo je načinio kon-strukciju identičnu „Metodi 6 4 “ (sl. 10).

26 Villard de Honnecourt (ed. Theodore Bowie), The Medieval

Sketchbook of Villard de Honnecourt. Dover Publications, Mineola, NY. (2001). Takođe videti Sketchbook of Villard de Honnecourt (MS. 19093 French Collection, Bibliothèque Nationale, Paris [No.1104 Library of Saint-Germain-des Prés until c.1800]).

27 Isto.

Slika 10. Geometrijska konstrukcija istovetna Metodi 6 4 prika-

zana u okviru stranice Studija za Tajnu večeru, arhitektonske i geometrijske skice (mastilo i pero; dim.: 26,0 × 21,0 cm), koju je oko 1494. godine načinio da Vinči (RL 12542r; Royal Collection,

Royal Library; Windsor, Engleska) (28)

Razradu pomenute metode (iz koje se izvodi tzv. Primar-na konstrukcija zlatnog preseka), Leonardo je predstavio u okviru skice označene kao Geometrijska studija (sl. 11).

Istaknuti renesansni polimat je pomenuti crtež načinio oko 1490. godine, a danas se on takođe nalazi u Kraljevskoj kolekciji (Inv. No. RL 12283).

Slika 11. Osnova Leonardovog crteža označenog kao Geometrij-ska studija (29), pero i mastilo (dim.: 32,0 × 44,6 cm), oko 1490.

(RL 12283, Royal Collection, Royal Library; Windsor, Engleska)

Analoške osnove Boškovićevih rezultata istraživanja i ele-menata Platonovog geometrijskog broja

Analogija geometrijskih vrednosti koje se postižu razra-dom „Metode 6 4 “ i elemenata Boškovićevih dijagrama (koji se odnose na analizu kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu), na svojevrstan način ukazuje na konstruktivnu primenu elemenata tzv. Platonovog geometrijskog broja. Navedena pretpostavka se potvrđuje očiglednom primenom identičnih srazmerskih i ugaonih vrednosti karakterističnih za Platonovu dijagonalu „Istog“ i „Drugog“ (Timaj, 36b-d, /3/), čiji opis atinski filozof iznosi neposredno nakon nabra-janja vrednosti izvedenih iz aritmetičkih progresija, /3,

28 Fotografiju videti u http://www.royalcollection.org.uk/eGallery

/object.asp?object=912542r&row=362&detail=magnify (December 12, 2010); http://www.royalcollection.org.uk/collec tion/912542/recto-studies-for-the-last-supper-and-architectura l-and-geometric (May 5, 2013).

29 Fotografiju videti u http://www.royalcollection.org.uk/collectio n/912283/recto-studies-of-geometry-clouds-plants-engineering-etc-verso-studies (May 5, 2013).

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

81

18/(30), preko kojih se postižu intervali pitagorejske dijaton-ske muzičke lestvice (kvinta, kvarta, celi ton i dijezis): 3/2, 3/4, 9/8 i 256/243 (Timaj, 35b-36b, /3/).

U osnovi, Platonov broj čini poseban vid geometrijske strukturalizacije „srazmere“, koju istaknuti antički filozof definiše u skladu sa osobenostima i međusobnom zavisnosti neprekidne podele (1:M = M:m) i sferne simetrije, o čemu se na poseban način izrazio u dijalogu Timaj (31b-32b, 33b-c, /3/). U drugom dijalogu, Država (Knjiga VIII, 546) (31) Platon daje precizniji opis iz koga se može sagledati način na koji je u geometrijskom smislu objedinio elemente „srazmere“, sferne simetrije (prečnik i poluprečnik) i inter-vala pitagorejske muzičke lestvice, dovevši ih u vezu sa vrednostima tzv. „prve“ ( 100 2 1,0069≈ ) i „druge harmonije“

(100

1002 11 0,993

3−

− ≈ ).

Pomenute dve harmonije („dva odnosa“), /19/(32) ukazuju na pozitivnu („povećanje“ - od centra sfere) i negativnu („smanjenje“ - prema centru sfere) progresiju (odstupanja) izvedenu iz kontinualne podele, a posmatrano u odnosu na sfernu simetriju i jediničnu vrednosti prečnika sfere (izraže-nog kroz muzički interval prime – 1/1). Prema mišljenju istaknutog antičkog filozofa, pomenute dve progresije čine ključne strukturalne komponente preko kojih se u sklad dovodi linearno i nelinearno delovanje u okviru prirodnog poretka sila i organizacije materijalnih sturktura. Platon je u vezu sa pomenutom geometrijom doveo prethodno pozna-vanje principa i sistema kontinualnosti prirode, sa kojom je u dijalogu Država ujedno doveo u vezu i sprovođenje uspešne organizacije društva (države). Zapravo, on je u skladu sa principima filozofije prirode, načinio analošku paralelu iznoseći u pomenutom dijalogu tvrdnju po kojoj uspešna održivost društva zavisi od znanja vladara u vezi sa geometrijskom matricom prema kojoj je, po njegovom shvatanju i pretpostavkama, bazirana održivost strukture materije, konstatujući da je takav princip društvene organi-zacije u skladu sa jednostavnošću osnove prirodnog i kosmičkog uređivanja.

Kako se može uočiti, konceptualno polazište Platonovog „geometrijskog broja“ se ogleda u geometrizaciji izvedenoj iz obrasca (1) u okviru koga ključno mesto zauzima način

30 Platon (1995), str.80-83, 94. Uporediti sa aritmetičkim i geome-

trijskim odrednicama podele na muzičke intervale u delu teksta koji se odnosi na opis dijagonale „Istog“ i dijagonale „Drugog“. O „srazmeri“ videti u Platon (1995), 76-78. O tzv. malim muzič-kim intervalima videti u Boëthius, Boëthius de institutione musica, III 8 p. 278, 11; Diels, H., Predsokratovci: Fragmenti, I svezak. Naprijed, Zagreb. (1983), str.359. Takođe, videti Predrag Milo-savljević, Osnove Platonove filozofije prirode i antički obrazovni sistem, Teme: časopis za društvene nauke, XL, 2 (2016), str. 563-582. Prema pitagorejcu Filolaju iz Krotone dijezis predstav-lja „interval za dva [cela] tona manji od četvorotrećinske pro-porcije“, odnosno 4/3:(9/2)2 = 256/243.

31 Platon (1969), str. 266-267. 32 Uporediti sa opisom „dve harmonije“ (546c) u Plato (transl. P.

Shorey), Plato in Twelve Volumes, Vols. 5 & 6, Cambridge, MA, Harvard University Press/London, William Heinemann Ltd. (1969)

tačnog određivanja vrednosti broja koji određuje nagib dija-gonalne protežnosti suprotnih odstupanja „prve“ i „druge harmonije“ (sila delovanja u prirodi), a u okviru koga posebno mesto zauzima osnova kvartne podele (3/4):

33 5 52,734

4 × =

(1)

Međutim, složenost osnove Platonovog geometrijskog broja zasnovana je zapravo na posebnoj strukturalnoj sintezi i geometrijskoj usklađenosti neprekidne podele i odnosa tzv. velikih i malih intervala pitagorejske dijatonske muzičke lestvice. Kako se može uočiti, Platon poseban značaj daje progresijama malih intervala – dijezisa (256/243) i pitago-rejske kome, čiju su vrednost pitagorejci poput Filolaja iz Krotone (480-405. godine stare ere) izražavali preko obrasca 9/8 : (256/243)2 ≈ 1,0136, dok se kod Platona (na osnovu opisa iz dijaloga Država) ona može izraziti i preko sledeće jednakosti (2):

100 1003 5 1,0136× ≈ (2) Ugaone vrednosti na osnovu kojih je Mikelanđelo konci-

pirao raspon kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu, u analoškom smislu odgovaraju vrednostima izvedenim iz pojednostavljenih i aproksimativnih relacija celobrojnih osnova (1, 2, 3, 4, 5, 100 ...) i kombinacija njihovog stepe-novanja i korenovanja, na kojima su bazirane sinteza i složenost strukture „geometrijskog broja“ (2), opisanog u Platonovom dijalogu Država (Knjiga VIII, 546). Među njima se između ostalih nalazi vrednost bliska ∠AOC = cos–1( 6 4 ), izraz (3):

2

513 1005 3 52,2384 2

− + × + ≈ °

(3)

kao i vrednosti dijagonala „prve harmonije“ (4) i „druge harmonije“ (5) (sl. 12),

3100

256 23603243 1 5 3 51,729 AO C

7 4

°+ × ′→ + − ≈ °≈∠

(4)

2 1003 5 3 3 52,755 CO A4

′ ′+ × + ≈ ° ≈∠

(5)

Boškovićevi dijagrami koji daju prikaz analize konstruk-tivnih osnova kupole takođe ukazuju na svođenje njenih vrednosti na elemente zlatnog preseka, što dodatno potvr-đuje pretpostavku da je i sam Mikelanđelo bio upoznat sa osobenostima ugaonih raspona koji se u okviru konstrukcije „lestvične deobe po zlatnom preseku“ dovode u vezu sa kontekstom pomenute srazmere posmatrane sa stanovišta relacija prečnika AB osnovnog kruga k1 i dijagonale CO′ (AB/CO′ = (1+√5)/2), postavljene pod ∠CO′A ≈ 51,729° (sl. 12).

Značajno je pomenuti da se izuzetnost Boškovićevih rezultata analize strukturalnih osnova unutrašnje i spoljaš-nje ljuske kupole Bazilike Svetog Petra u Vatikanu ogleda u razumevanju njihove međusobno usklađene geometrije, čija se osnova upravo svodi na sintezu zlatnog preseka i ugao-nih vrednosti od približno 51° i 52°. Naime, Boškovićevi

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

82

dijagrami 3 i 5 ukazuju na dvostruko transponovanu vred-nost zlatnog preseka u okviru složene geometrije kupole, preko čije su vrednosti harmonizovani raspored i odnosi sila koji na nju deluju. Tako je na osnovu Boškovićevog Dijagrama 3 moguće konstatovati da se raspon ∠MhQ svodi na vrednost od približno 51,729° (sl. 13).

Slika 12. Metoda lestvične deobe po zlatnom preseku: AB/CO =

√6/4, AB/CO′ = AB/CF′ = (1 + √5)/2, ∠CO′A = 51,729°

Slika 13. Dijagram 3 preko koga je Ruđer Bošković odredio geo-metrijske osnove preseka i položaje tangencijalnih lanaca koje je

potrebno ugraditi u kupolu Bazilike Svetog Petra u Vatikanu.

S druge strane, Dijagram 5, koji na pojednostavljen način prikazuje odnos i razliku vrednosti na kojima su zasnovane geometrija unutrašnje i spoljašnje kupolne ljuske, ujedno ukazuje i na to da se presek (R) dve hipotenuze, hm i HM, takođe svodi na podelu po zlatnom preseku (6):

1 52

hm hRhR Rm

+= = (6)

Pomenuti vid podele (7) uočava se i u okviru preseka linija sa kojima je u geometrijskom pogledu opisan pravac delovanja tangencijalnih i radijalnih sila (sl. 14):

1 52

CH CH HQHQ CH

+ += = (7)

Tačke sa kojima su određena temena trouglova i presek njihovih stranica, u okviru Boškovićevih geometrijskih dijagrama ujedno označavaju i pozicije (M, m, R, h, H, Q)

kroz koje se protežu linije po kojima su raspoređeni umet-nuti (tangencijalni) lanci čijom ugradnjom je obavljena dodatna stabilizacija kupole.

Slika 14. Dijagram 5 preko koga je Ruđer Bošković odredio odnos geometrijskih osnova unutrašnje i spoljašnje ljuske, kao i položaj

tangencijalnih lanaca koje je bilo potrebno ugraditi u kupolu Crkve Svetog Petra u Rimu.

Geometrizacija proračuna položaja pomenutih lanaca otkriva da je istaknuti dubrovački filozof prirode uspostavio ispravnu analogiju između geometrijskih osnova strukture dvostruke ljuske kupole sa geometrijom radijalnih i tangen-cijalnih sila koje su vršile pritisak na njen oblik i strukturu (sl. 15).

Slika 15. Prikaz analogije geometrijskih vrednosti Boškovićevog dijagrama i geometrije poprečnog preseka kupole Crkve Svetog Petra u Vatikanu, koji potvrđuju da su u položaju tačke preseka

dijagonala i temene tačke trouglova bila određena mesta kroz koja su protegnuti tangencijalni lanci.

Jedan od kurioziteta u pogledu primene istovetnih geome-trijskih vrednosti

Kao poseban istorijski kuriozitet se može navesti i činje-nica koja svedoči o tome da je i prilikom konstruisanja Bogorodičine crkve (Manastir Studenica, Srbija), podignute s kraja XII veka, bio korišćen sličan obrazac. Naime, na oplati spoljašnjih zidova Bogorodičine crkve nalazi se čitav niz urezanih tehničkih crteža u razmeri 1:1 koji svedoče o

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

83

Slika 16. Jedan od studeničkih dijagrama – prikaz geometrije

krovne konstrukcije i gornjeg dela portala urezani na donjem delu severnog zida (foto perspektivni izgled sa naglašenim detaljima složenog crteža), Crkva Uspenja presvete Bogorodice (Manastir

Studenica, Srbija), kraj XII veka, /21/(33)

studioznom pristupu studeničkih majstora prilikom defini-sanja geometrijskih/konstruktivnih svojstava arhitektonskih elemenata. U okviru više složenih formi urezanih dijagrama na mermernoj oplati crkve, pronalaze se elementi geome-trijsko-konstruktivnog sklopa (analogni vrednostima koje su prethodno navedene u ovom radu) preko kojih je obav-ljeno proporcionisanje osnove plana, nagiba krovne konstrukcije, krivine lukova portala i drugih arhitektonskih detalja u vezi sa centralnom studeničkom crkvom. Među njima se nalazi i prikaz geometrije krovne konstrukcije i

33 Više detalja o crtežima koji se nalaze na zidovima Bogorodičine

crkve videti u Nenadović, S., Studenički problemi, ZZNUSKN RS, Beograd. (1957), str.17-27.

gornjeg dela portala, čije su osnove urezane na donjem delu severnog zida Bogorodičine crkve (sl. 16).

Može se pretpostaviti da su, slično kao u renesansnom razdoblju, tokom srednjeg veka u Srbiji takođe bili izrađi-vani mali modeli crkvenih objekata, o čemu na poseban način svedoče freske u okviru kojih su ktitori predstavljeni kako u ruci drže umanjeni prikaz građevine, /20/(34).

ZAKLJUČAK

Jednostavnost sistema do kojeg su došli Bošković, Luser i Žaki, govori o izvanrednom pristupu analizi geometrijskih osnova arhitektonskih elemenata na koje se svodi kupola Bazilike Svetog Petra u Vatikanu. Njihovo geometrijsko tumačenje problema održivosti kupole podrazumevalo je uočavanje ključnih konstruktivnih i statičkih pozicija. Izvanredna jednostavnost promišljanja o srazmerskoj sintezi i ekvivalenciji vrednosti konstruktivnih elemenata (preko kojih je određen usklađeni odnosi geometrije unutrašnje i spoljašnje strukture kupolnih ljuski), ali, takođe, i njihovo svođenje na planimetrijske šeme, govori o visokom nivou matematičkog i tehničkog znanja, kao i sposobnosti apstra-hovanja rezultata obavljenog istraživanja.

Na osnovu ustanovljenih planimetrijskih relacija i sraz-merskih zakonomernosti na koje se svode analoške vred-nosti Boškovićevih crteža (kojima je opisana geometrija kupolnih ljuski i pravaca delovanja sila), može se konstato-vati da je naš naučnik uz pomoć svojih saradnika zatečeni problem uspeo da reši primenom posebne geometrijske zakonomernosti karakteristične za Platonovo učenje o Geometrijskom broju. Boškovićevi analoški pristupi u reša-vanju statičkih problema u vezi sa održivošću kupole, odnosno, određivanja položaja tangencijalnih lanaca, obez-bedili su, kako to ističu i savremeni inženjeri, da i pored svih nejasnoća u vezi sa proračunima i tajnama koje se odnose na mogućnost njenog održanja, /22/(35), kupola Bazilike Svetog Petra u Vatikanu i dalje opstaje i odoleva kako prirodnim silama, tako i društvenim uticajima.

ZAHVALNICA

Ovaj rad je nastao kao rezultat dela istraživanja sprove-denih u okviru naučnog projekta Teorija i praksa nauke u društvu: multidisciplinarne, obrazovne i međugeneracijske perspektive (OI 179048, Ministarstvo prosvete, nauke i tehnološkog razvoja Republike Srbije).

LITERATURA 1. Platon, Država, Kultura, Beograd. (1969). 2. Boscovich, R.J., Theoria philosophiæ naturalis redacta ad

unicam legem virium in natura existentium, In officina Libraria Kaliwodiana, Prostat Viennæ Austriæ. (1759).

3. Platon, Timaj, Eidos, Vrnjačka Banja. (1995). 34 Deroko, A., Monumentalna i dekorativna arhitektura u srednjo-

vekovnoj Srbiji, Turistička štampa, Beograd. (1985), str.30. Osnivači crkava, zadužbinari ili ktitori (inicijatori ili pokrovi-telji izgradnje), bili su još nazivani i „zidatelji“ ili „strojtelji“, dok je „strojenijem“ bilo nazvano osnivanje manastira.

35 Hajdin, R., Ruđer Bošković: začetnik modernog građevinskog inženjerstva, ur. Z. Knežević, Trista godina od rođenja Ruđera Boškovića, SANU/Astronomska opservatorija, Beograd. (2014), str.39.

Ruđer Bošković i primena koncepta Platonovog geometrijskog ... Ruggiero Boscovich and application of Plato’s geometrical ...

INTEGRITET I VEK KONSTRUKCIJA Vol. 17, br. 1 (2017), str. 74–84

STRUCTURAL INTEGRITY AND LIFE Vol. 17, No 1 (2017), pp. 74–84

84

4. Le Seur T., Jacquier F., Boscovich R.G., Scritture concernenti i danni della cupola di San Pietro di Roma e i loro rimedi, App-resso Simone Occhi, Venezia. (1743).

5. Vitruvius M.P., Deset knjiga o arhitekturi, Svetlost, Sarajevo. (1990)

6. Murray, P., L'architettura del Rinascimento italiano. Laterza, Bari. (2007).

7. Ruschi, P., Studi per il tamburo e per la cupola di San Pietro, ed. M. Mussolin, Michelangelo architetto a Roma, Cinisello Balsamo, Milano. (2009).

8. Ackerman, J.S., L'architettura di Michelangelo, G. Einaudi, Torino. (1968).

9. Mussolin, M., (ed.) Michelangelo architetto a Roma, Cinisello Balsamo, Milano. (2009).

10. Pevsner, N., Storia dell'architettura europea, Laterza, Bari. (1998).

11. Carusi, M., La struttura portante della cupola di Della Porta: 1588-2010, Annali di architettura: Rivista del Centro Interna-zionale di Studi di Architettura Andrea Palladio di Vicenza, 22 (2010).

12. Fontana, C., Il Tempio Vaticano e sua origine con gl'edifitii piu cospicui antichi, e moderni fatti dentro, e fuori di esso, Nella stamparia di Gio: Francesco Buagni, Roma. (1694).

13. Milizia, F., Memorie degli architetti antichi e moderni, A spe-se Remondini di Venezia, Bassano. (1785).

14. Nestorović, M., Konstruktivni sistemi – principi konstruisanja i oblikovanja, Arhitektonski fakultet, Beograd. (2000).

15. Capretti E., Brunelleschi. Firenze/ Milano, Giunti. (2003). 16. Villard de Honnecourt (ed. Theodore Bowie), The Medieval

Sketchbook of Villard de Honnecourt, Dover Publications, Mineola, NY. (2001)

17. Sketchbook of Villard de Honnecourt (MS. 19093 French Col-lection, Bibliothèque Nationale, Paris [No. 1104 Library of Saint-Germain-des Prés until c.1800])

18. Diels, H., Predsokratovci: Fragmenti, I svezak. Naprijed, Zagreb (1983).

19. Plato (Transl P. Shorey), Plato in Twelve Volumes, Vols. 5 & 6, Cambridge, MA, Harvard University Press/London, William Heinemann Ltd. (1969).

20. Deroko, A., Monumentalna i dekorativna arhitektura u sred-njovekovnoj Srbiji, Turistička štampa, Beograd. (1985).

21. Nenadović, S., Studenički problemi, ZZNUSKNRS, Beograd. (1957).

22. Knežević, Z. (ur.), Trista godina od rođenja Ruđera Boško-vića, SANU/Astronomska opservatorija, Beograd. (2014).

23. Cassanelli, L., Contardi, B., Roma sacra: guida alle chiese della città eternal, Elio de Rosa, Napoli. (1995).

E-IZVORI http://commons.wikimedia.org/wiki/ http://digi.ub.uni-heidelberg.de/ http://mathematica.sns.it/ http://www.michelangelodigitalmuseum.com/ http://www.royalcollection.org.uk/ http://www.unipd.it/

© 2017 The Author. Structural Integrity and Life, Published by DIVK (The Society for Structural Integrity and Life ‘Prof. Dr Stojan Sedmak’) (http://divk.inovacionicentar.rs/ivk/home.html). This is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License

CMEM 2017, 18th International Conference on Computational Methods and Experimental Measurements Alicante, Spain, 4 – 6 July 2017 Call for papers www.witconferences.com/cmem2017 Conference Topics Computational and experimental methods; Fluid flow; Structural and stress analysis; Materials characterization; Electromagnetic problems; Structural integrity; Destructive and non-destructive testing; Heat transfer and thermal processes; Advances in compu-tational methods; Automotive applications; Aerospace applica-tions; Applications in industry; Ocean engineering and marine structures; Fluid structure interaction; Bio-electromagnetics; Hybrid methods; Process simulations; Environmental modelling and appli-cations; Computer modelling; Validation of computer modelling; Data and signal processing; Virtual testing and verification; Simulation and forecasting; Measurements in engineering Papers presented at CMEM 2017 will be published by WIT Press in a Volume of WIT Transactions. Selected papers will appear in a special Issue of the International Journal of Computational Methods and Experimental Measurements (ISSN: 2046-0546 Digital ISSN: 2046-0554). Abstracts and papers will be reviewed by members of the International Scientific Advisory Committee and other experts. WIT Press is an advocate of Open Access which offers maximum dissemination of your work. WIT Transactions and Journal papers can be downloaded for free (www.witpress.com/elibrary). Indexing and Archiving Papers presented at Wessex Institute conferences are referenced by CrossRef and have appeared in notable reviews and databases. Papers are submitted to various indexing services such as Thomson Reuters Web of Science, Google Scholar, Scopus and ProQuest. All conference books are listed in the British Library and American Library of Congress.

Conference Chairmen Y Villacampa, University of Alicante, Spain G M Carlomagno, University of Napes ‘Federico II’, Italy S Ivorra Chorro, University of Alicante, Spain C A Brebbia, Wessex Institute, UK Conference Secretariat Stephanie Everest Wessex Institute, Ashurst Lodge, Ashurst,

Southampton, SO40 7AA Tel: 44 (0) 238 029 3223 Fax: 44 (0) 238 029 2853 severest@wessex.ac.uk International Scientific Advisory Committee R Callarotti, Universidad del Turabo, Puerto Rico R Cerny, Czech Technical University in Prague, Czech Republic N Didenko, St Petersburg State Polytechnical University, Russia L Dimitrov, Technical University of Sofia, Bulgaria K El Khamlichi Drissi, Blaise Pascal University, France V Gattulli, University of L’Aquila, Italy M Goto, Oita University, Japan A Harapin, University of Split, Croatia R Irles, Universidad de Alicante, Spain I Kotchergenko, Kotchergenko Engenharia Ltda, Brazil D Poljak, University of Split, Croatia H Sakamoto, Kumamoto University, Japan G Sforza, ESSEBI Srl, Italy G Zappala, CNR-IAMC, Italy V Zhmud, Novosibirsk State Technical University, Russia