C Y C L E 2 – P O R T D E B O U C

A N N É E S C O L A I R E 2 0 1 8 - 2 0 1 9

Résolution de problèmes

Nathalie Escudier, formatrice REP+

Objectifs de la formation

Réfléchir sur la personnalisation des apprentissages dans l’enseignement de la résolution de problèmes.

Appréhender la spécificité de l’analyse et du statut de l’erreur en Résolution de Problèmes.

Apporter quelques éléments théoriques sur la résolution de problèmes.

Séance classe

DESCRIPTION puis ANALYSE

- du (des) type(s) de problèmes (document typologie des problèmes (classification de G. Vergnaud))

- des stratégies

- des erreurs/difficultés (document « Erreurs relatives à… »)

- des réussites

des élèves

PROPOSITIONS en réponse aux erreurs des élèves

Analyse de Vidéo

Ouafa, CE1 Argenteuil, vidéo du centre-alain-savary.ens-lyon. 1/ décrire 2/ analyser: comprendre, en cherchant « les bonnes raisons que l’enseignante a de faire ce qu’elle fait » 3/ chercher à quelles conditions elle pourrait faire autrement.

Comment résout-on un problème ?

Deux processus cognitifs en jeu :

• Processus représentationnel : L’enfant construit une représentation cognitive (mentale) du problème. Le problème peut lui évoquer un problème autre, déjà résolu.

• Processus opératoire : L’élève déclenche un traitement

Attention : ces processus sont simultanés, ils interagissent !

C’est l’interaction de ces processus qui font réussir la résolution.

Résoudre un problème passe par la construction d’une représentation de ce problème et la réussite à ce problème enrichit notre mémoire des problèmes… résolus.

Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11

Ce problème ressemble à un problème connu mémoire

Ce problème ne me rappelle rien il faut construire une nouvelle

stratégie

Ne pas laisser les élèves penser que résoudre des problèmes se limite à « trouver la bonne opération » ou « avoir de la chance » en prenant les deux nombres de l'énoncé et en choisissant une opération au hasard…

> proposer des problèmes complexes

Quels problèmes ?

3 types de problèmes sont à travailler à l’école

Problèmes élémentaires (visent l’automatisation de la procédure)

Problèmes complexes (souvent des assemblages de problèmes élémentaires)

(à proposer dès le CP)

Problèmes atypiques (Problèmes ouverts et résistants)

La résolution de problèmes joue également un rôle primordial dans la construction même des notions mathématiques

PROBLÈMES , REPRÉSENTATION MODÉLISATION

Chercher

Modéliser*

Représenter *

Raisonner

Calculer *

Communiquer

* Prioritaires au cycle 2

Compétences travaillées

Ca

tég

ori

sati

on

de

Ver

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au

d

(Po

ur

l’en

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na

nt)

Les problèmes situés en haut à gauche d’une case sont des problèmes « simples », ceux situés en bas à droite sont des problèmes « complexes ».

Selon D. Butlen

MODELISATION DE SINGAPOUR

Représenter: d’autres modèles

Boîte à nombre (ACE) pour les problèmes de « parties/tout »

Demi-droite graduée

2 3

0 2 5 10

5

2

5

3

10520

Préconisations IGEN, nov. Déc. 2018

Manipuler – représenter

Dans un paquet de billes rouges, vertes ou bleues, il y a 162 billes.

Il y a trois fois plus de billes rouges que de billes vertes et 7 billes vertes de moins que de billes bleues.

Combien y a-t-il de billes rouges ?

162 – 7 Billes vertes

Billes rouges

Billes bleues 7

162

= 155 155 5 = 31

31 × 3 = 93

31 31

31

31

31

IGEN, nov. Déc. 2018

L’ ÉLÈVE en RÉSOLUTION de PROBLÈMES

Les productions d’élèves:

différents stades vers l’abstraction

LES DIFFÉRENTS STADES VERS L’ABSTRACTION

La modélisation

Préconisation Rapport Villani-Torossian

Les procédures des élèves

Vidéo Denis Butlen (conférence de consensus Différenciation

pédagogique)

https://www.cnesco.fr/fr/differenciation-pedagogique/paroles-dexpert/postures-des-enseignants-et-des-eleves/

Comment aider vraiment les élèves ?

En classe, les élèves résolvent de nombreux problèmes et, souvent, l’enseignant pense que, par la multiplication des exercices, l’élève apprendra à le faire. Si cette hypothèse se vérifie, heureusement, pour de nombreux

élèves, d’autres sont systématiquement en échec parce qu’ils ne

comprennent pas tout seuls comment procéder ou persistent à utiliser une démarche qui n’est pas appropriée ! Cèbe et Goigoux le précisent : “Si l’on se contente de faire varier les expériences sans enseigner

aux élèves comment les traiter efficacement, on court le risque qu’ils n’apprennent rien de “ce faire“. Fournir des expériences est certes nécessaire, mais il semble essentiel d’aider à les traiter“.

Extrait de “L’aide stratégique aux élèves en difficulté

scolaire“, Pierre VIANIN

Des préconisations : Priorité donnée aux temps pendant lesquels les élèves résolvent

effectivement eux-mêmes des problèmes.

Des temps d'échanges collectifs (émission d’hypothèses, d'élaboration collective des stratégies, confrontation des idées, proposition de méthodes de résolution, proposition à la classe de problèmes créés par les élèves eux-mêmes).

Temps de travail individuel de recherche (appropriation du problème et engagement de tous les élèves dans la tâche de résolution) avant le travail en groupe (collaborer par binôme ou par groupes de trois ou quatre élèves)

Lors des temps de recherche individuelle ou par groupe, l'enseignant circule pour consulter les productions de chacun des élèves afin de pouvoir :

- encourager leur mise en recherche ; - relancer le travail des élèves bloqués, en posant des questions pour les aider à s'approprier l'énoncé, en invitant à faire un dessin ou un schéma, en proposant du matériel ;

- inviter des élèves à utiliser les ressources à leur disposition (cahier de référence ou affichages) ;

- demander à des élèves ne trouvant pas la même chose de comparer leurs résultats et leurs procédures pour se mettre d'accord ;

- accompagner plus longuement des élèves ayant des besoins spécifiques ou des difficultés particulières ;

…

Aide stratégique…

Le projet

d’une école

en REP+ sur

Marseille

DES OUTILS

les cahiers de référence pour garder la mémoire de la méthode enseignée ou de la démarche visée

Un affichage

Des supports individuels

Le coin des

mathématiques (MHM),

la boîte à problèmes

La compréhension de l’énoncé ?

Des pratiques à interroger

Repérage de « mots clés », des « indices », Surlignage

« Quelle opération faut-il faire ? »

A. un massif de fleurs, formé de 60 tulipes rouges et 15 tulipes jaunes B. un massif de 60 rangées de 15 tulipes C. un massif de 60 fleurs, formé de tulipes et de 15 jonquilles D. 60 tulipes disposées en 15 massifs réguliers

E. 60 tulipes mais 15 ont été piétinées

F. Il y a 60 fleurs en tout et 2 fois plus de tulipes que de roses

LES MASSIFS DE TULIPES :

Calculer pour chaque énoncé le nombre de tulipes dans un massif.

La compréhension de l’énoncé ?

Des pratiques à renforcer

- Faire raconter l’histoire (sans les nombres ?)

- Inciter les élèves à intégrer l’idée qu’un même contenu peut être lu de plusieurs façons.

> Orienter l’élève vers le recodage sémantique

- Faire créer des problèmes (avec des contraintes)

- Proposer des problèmes simples dans un contexte familier

vocabulaire simple, énoncé simple ne pas passer du temps sur la compréhension de l’énoncé

Varier les habillages

Un exemple de classe: Classe de CE1, REP+ Rituels mathématiques Ecriture d’un énoncé à

partir d’un tout.

Quel choix d’énoncé?

Attention, un certain nombre d’analogies intuitives va faciliter ou complexifier la résolution du problème:

- Analogies de substitution (notions mathématiques) Addition: L’idée qu’additionner c’est ajouter Soustraction: L’idée que soustraire c’est perdre Multiplication: L’idée d’une réplication sommative: addition réitérée Division: L’idée de partage

- Analogies de scénario (connaissances extra-mathématiques)

- Analogies de simulation (représentation mentale de la

situation décrite par l’énoncé)

Recodage sémantique

Analogie de scénario

TYPOLOGIE des ERREURS

Erreur due à une situation nouvelle

pour l’élève

Erreur due à une mauvaise

compréhension de la consigne

Erreur due à un acquis antérieur

pas assez maitrisé et pas

réinvestissable

Erreur due à une opération mentale inadaptée engagée

par l’élève

L’analyse de l’erreur en résolution de problèmes

Travaux de R.Charnay et M.Mante

STATUT de l’ERREUR

Un autre regard sur l’erreur Vidéo Denis Butlen (conférence de consensus

Différenciation pédagogique)

- L’élève doit avoir le temps d’essayer, d’éventuellement se tromper, d’analyser son erreur, d’essayer à nouveau.

- Le professeur doit aider l’élève à identifier son erreur, à la comprendre afin qu’elle devienne constitutive de son apprentissage.

(Rapport Villani – Torossian)

Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique

Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11

Zdf

DISPOSITIFS de différenciation pédagogique : modalités qui requièrent une

planification et une organisation systématiques : - plan de travail - tutorat entre élèves - table d’appui

- groupes de besoins

Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11

Différenciation pédagogique

Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique

L’aide individuelle

Soutien classique : élève par élève

Familiariser l’élève avec la démarche experte

Modelage = simplifier la tâche

Faire faire et faire dire par l’élève

Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11

Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique

Le tutorat

Responsabiliser les élèves avancés par une approche moins formelle et plus rationnelle

Différencier par l’accompagnement : individualisé/différencié/personnalisé

Scénariser le format des échanges (préparer les élèves)

Souplesse d’organisation

Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11

Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique

Les groupes de besoins

Evaluation préalable aux regroupements

Groupes flexibles

Temps en groupes homogènes inférieur au moment collectif

Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11

Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique

La table d’appui

Matérialiser dans la classe un espace (table spécifique) d’aide.

Compatible avec les objectifs de la séance

Au service de l’évaluation formative

Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11

DES SUPPORTS MATHÉMATIQUES

Ecole d’Argenteuil

8 séquences pour résoudre des problèmes au cycle 3 (CE2-CM1-CM2)

MHM

https://methodeheuristique.com/fichiers/fichiers-ce2/

ACE (CE1)

Ecole d’Argenteuil Méthode originale et explicite d'enseignement/apprentissage des stratégies de résolution de problèmes par modélisation logique basée sur la typologie de Vergnaud. Etapes et stratégies enseignées aux élèves: 1) Lecture et compréhension 2) Reconnaître la structure du problème 3) Compléter la structure : Mettre en équation 4) Résoudre cette équation 5) Exprimer le résultat, la réponse 6) Expliciter sa démarche

http://centre-alain-savary.ens-lyon.fr/CAS/mathematiques-en-education-prioritaire/reportage-argenteuil/des-situations-mathematiques Kevin Gueguen, auteur et propriétaire des fichiers qu'il a construit pour les maitres et maitresses de l'école élémentaire JJ Rousseau, accepte de les mettre à la disposition des formateurs et des enseignants qui le souhaitent, dans le cadre des conditions définies par une licence creative commons.

8 séquences pour résoudre des problèmes au cycle 3 (CE2-CM1-CM2) Quelques lignes directrices ont guidé ce travail : ● une organisation de l’enseignement autour de deux pôles :

- développer, expliciter l’exploration de l’énoncé écrit d’un problème. - amener les élèves à construire et utiliser des répertoires de situations qui, à terme, donneront du sens aux opérations et rendront plus sûr le choix des procédures de résolutions.

● une centration des travaux sur les problèmes arithmétiques fondamentaux. ● une attention toute particulière au rebrassage des connaissances. ● un apprentissage de la rédaction de la solution différé du temps de résolution

du problème. ● des activités quotidiennes pour ancrer l’apprentissage :

- le calcul mental -les petits problèmes oraux http://ww2.ac-poitiers.fr/dsden16-pedagogie/spip.php?article881

Quand un élève résout un problème, il va mettre en œuvre des connaissances qu’il possède et utilise différents moyens de contrôle : - sémantiques : analyse de l’énoncé - pragmatiques : c’est interroger la pertinence de sa réponse

-> travail sur l’estimation, l’approximation

Références

institutionnelles

BO spécial n°3 du 26 avril 2018 (dernière partie) « La résolution de problèmes à l'école élémentaire »

Repères annuels de progression, Mathématiques

Programmes de l’école

Référentiel de l’éducation prioritaire

Conférence de consensus Différenciation pédagogique

https://www.cnesco.fr/fr/differenciation-pedagogique/

Résoudre un problème complexe…

Un renard a mangé 90 grains de raisin en 5 jours.

Chaque jour, il a mangé 5 grains de plus que la

veille.

Combien a-t-il mangé de grains de raisin le

premier jour ?

Quels ressentis?

Quelles procédures? Quelle efficacité?

Refus d’engagement

Très

confortable

Situation

d’inconfort

Engagement

A

C

D

B

« Qu’aurait-il fallu faire / dire

pour que vous ayez plus de confort et d’engagement dans la tâche ? »

petit groupe (binôme…)

étayage par proposition de dessin…

des étayage mathématiques : problème résolu, résolution partielle, donner la réponse et chercher la stratégie, donner une étape du raisonnement…