Résistance des matériaux II Table des matières - Moodle · PDF fileRésistance des matériaux II 5 Table des matières CONTENU DE COURS CHAPITRE DU LIVRE Révision des notions du

Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

Résistance des matériaux II 5

Table des matières CONTENU DE COURS CHAPITRE DU LIVRE

Révision des notions du cours MEC1420

11

Principes de base 1 13 Révision MEC1410: statique Voir MEC1410 19 Chargement uniaxial 2 26

Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants 3 38 Contraintes dans les poutres en flexion 4 34 Torsion des sections circulaires 6.1; 6.2; 6.3.1; 6.3.2 57 Superposition de contraintes 7 65 Critères de défaillance des matériaux (ductiles : Tresca et Von Mises; fragiles) 10.1 à 10.4 incl. 74 Déformations 8 77 Relation contraintes/déformations 9.1à 9.6 incl. 83 Torsion des sections ouvertes et composées 6.3, 6.4 et 6.5 97 Section rectangulaire minces; Applications aux profilés minces 6.4 et 6.5, 16.1, 16.4.4;

16.6.2; 16.6.3; fig. 16.13 104

Flexion gauche 133 Efforts internes et analyse des contraintes associés à la flexion gauche 17.4 à 17.6 incl. 134 Contraintes dues à la flexion pure 17.7 138

1

Instabilité, flambement des colonnes, déversement de poutres, voilement 165 Définition de stabilité 11.1 167 Stabilité d’une membrure rigide en compression 11.2 168 Stabilité d’une membrure élastique en compression 11.3 184 Formule d’Euler 11.4 205 Colonne « rotule-rotule » soumise à une charge excentrée 11.5 210 Conception d’une colonne 11.6 217 Méthode de résolution approx. pour une poutre-colonne (chargement combiné) 11.7.3 et 11.7.4 222 Déversement latéral des poutres 11.8 238 Voilement des sections à parois minces 11.9 et 11.10 239



2

Méthodes d’analyse basées sur l’énergie de déformation (Méthodes énergétiques) 245 Énergie de déformation 9.7.1 et 9.7.2 249 Énergie de déformation : traction, flexion et torsion 14.1 et 14.2 253 Théorème de Maxwell-Betti 14.3 261 Théorème de Castigliano 14.4 269 Théorème de Castigliano pour systèmes isostatiques et hyperstatiques 14.4.1 et 14.4.2 275, 290 Effets de l’effort tranchant 14.5 313

Concepts d’analyse limite et contraintes résiduelles 341 Modèles du comportement des matériaux 12.1-12.2 342 Analyse limite au chargement uniaxial, en torsion, à la flexion 12.3-12.5 344, 352, 362 Contraintes résiduelles 12.6-12.7, notes de cours 387

Concentration de contrainte 409 Valeur théorique du facteur de concentration de contrainte 10.2 + notes de cours 414 Comportement des matériaux en présence de concentration de contrainte Notes de cours 432 Fatigue 445 Mécanismes de rupture par fatigue Notes de cours 448 Méthode d’essai normalisé 454 Diagramme S-N 457 Limite d’endurance Chargement non complètement renversé Diagramme de Goodman 477 Contraintes combinées normales et de cisaillement 493 Dommage cumulatif 510 Joints structuraux Joints boulonnés (effets du cisaillement direct et du moment de torsion) 15.1 – 15.3 Joints soudés soumis à une charge excentrée 15.7 – 15.10



3

MEC1420

MEC1410



4

MEC1420

MEC2405



5

RDMII MEC1410

MEC1410



6

MEC1410

RDMII



7

RDMII

MEC1410



8

RDMII

MEC2310



9



10



Révision du cours RDMI et statique

• Notes de cours divisées en 4 parties 1. Notions de contrainte (chap 1-4, 6) 2. Évaluation de la résistance (chap 7 et 10) 3. Déformations (chap 8 et 9) 4. Torsion avancée (chap 6 et 16)

11



Formulaire type à l’examen

12

Chargement uniaxial Cylindre à paroi mince sous pression

Flexion

Torsion

Section rectangulaire cylindre tube

cylindre tube

(cylindre)



Contenu de la partie 1

• Révision des chapitres 1-4 et 6 du manuel Résistance des matériaux, 3e édition, Bazergui et al.

• Études des contraintes pour les trois types de chargement simple d’une membrure droite

z

yx

xP

yP

L

az

yx

L

T

Chargement axial Chargement en flexion Chargement en torsion Traction-compression et réservoir sous pression

Combinaisons des chargements

13



Conception de structures mécaniques

• Critères de conception 1. Résistance 2. Rigidité 3. Instabilité 4. Fatigue

Résistance

Rigidité

Instabilité

Fatigue

Contenu pour le cours MEC2405

Révision RDM I, flexion gauche, analyse limite, concentration de contrainte

Révision RDM I, méthodes énergétiques

Instabilité de membrures rigides, flambement de membrures élastiques

Chargements cycliques

14




1. Résistance • Prédire les contraintes maximales et les

comparer à un critère de défaillance • Éviter les déformations plastiques

2. Rigidité • Prédire les valeurs maximales des

déformations ou des déplacements

3. Instabilité • Éviter l’effondrement de la structure suite

à un phénomène d’instabilité

4. Fatigue • Prédire la durée de vie d’une structure

sous chargements cycliques

15




1. Résistance • Prédire les contraintes maximales et les

comparer à un critère de défaillance

2. Rigidité

• Prédire les valeurs maximales déformations ou les déplacements

3. Instabilité • Éviter l’effondrement de la structure

suite à un phénomène d’instabilité

4. Fatigue • Durée de vie d’une structure sous

chargements cycliques

maxd d

Ex. critère sur le déplacement

Facteur de sécurité en résistance

Formule d’Euler, Code ACNOR

Loi de Goodman, Loi de Miner

n

i i

i

N

n

1

0,1

0,1// ry

yyamp

rz

zzamp

r M

MF

M

MF

C

C

int

int

Contra e permiseF S

Contra e induite

16



Évaluation de la résistance de pièces mécaniques, l’ingénieur doit évaluer le facteur de sécurité (FS) :

Contrainte permise est évaluée à partir des propriétés du matériau de la pièce et des critères de défaillance (chap. 10) Contrainte induite est calculée à partir du chargement et de la géométrie de la pièce (chap. 1 à 6 et 7)

eintContra

cetanRésis

induiteeintContra

permiseeintContraSF

17



Contrainte

tanceRésisSF

Chargements Uniaxial (tension-compression)

Flexion Torsion Effort tranchant

(flexion)

Contraintes Normales () de Cisaillement ()

Propriétés des matériaux (essai normalisé)

Statique Tresca

Von Mises Mohr Modifié

Critères de défaillance

Fatigue Goodman

Goodman modifié

18



Rappel de certaines notions de MEC1410 (1/4)

• Diagramme de corps libéré (DCL) en 3D – Addition vectorielle – Calcul du moment causé par une force

19

MEC1410: Cours #6 p. 6 MEC1410: Cours #6 p. 7




• Propriétés de surface – Position du centroïde

20





• Propriétés de surface – Second moments de surface (Iy, Iz)

• Théorème des axes parallèles • Rayon de giration (k = (I/A)1/2) nous utiliserons r dans ce cours

21





• Propriétés de surface – Moment produit d’une surface (Iyz)

• Théorème de translation

22

MEC1410: Cours #11 complément p. 1 MEC1410: Cours #11 complément p. 2



Rappel: Contrainte et élément infinitésimal

• Dans un état de contrainte le plus complet, chaque cube (ou élément) infinitésimal d’un solide est soumis à trois contraintes sur chacun de ses six plans – Une contrainte normale i – Deux contraintes de cisaillement ij orthogonales entre

elles et qui reposent dans le plan

xy

z

xy

xz x

y

yxyz

zzx

zy

23



Rappel: Contrainte et élément infinitésimal

Contrainte – Normale (ex. x) – De cisaillement (ex. xy)

+ - (+) si face (+) et direction (+)

ou

(+) si face (–) et direction (-) sinon (-)

Logo des notes de cours

+ -

x

y

Face et direction

Face

Direction

Chap 1-4, 6

5

24



Sections les plus couramment rencontrées en ingénierie

Pleine Creux

Rectangulaire

Ronde

Profilé

I C L

Chap 1-4, 6

Arbres de transmission

Plancher de maison

25



Dans la grande majorité des cas, les équations que l’ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à : – Chargement uniaxial (Chap 2) – Chargement de flexion – Chargement de torsion – Chargement combiné:

• axial-flexion • axial-torsion • flexion-torsion • flexion-axial-torsion

z

yx

xP

x

Uniaxial

N.B.: Comprend aussi les cylindres à paroi mince sous pression

Chap 1-4, 6

26



Chargement uniaxial, section rectangulaire

xxRP

z

yx

xP

xR

z

yx

xP

hbA ; A

Pxx

z

yx

xPb

h

x

xy xz yz 0y z

Chap 1-4, 6

thtbhbAA

Pxx 22

Section pleine Section évidée

27



Chargement uniaxial, barreau circulaire plein

AP

x

xP

r

z

yx A

Px

xPr

z

yx A

Px

0

0

rxrx

r

Pour un barreau plein: A = r2

x

z

r

y

Vue plan yz

Chap 1-4, 6

28



Cylindre à paroi mince sous pression

• Cas particulier de chargement uniaxial • Important en génie mécanique

• Applications

– Vérins pneumatiques et hydrauliques, – Tuyauterie de distribution d’eau, d’air comprimé ou de vapeur – Réservoirs sous pression tels que les chaudières thermiques, les

échangeurs de chaleur, les réservoirs d’air comprimé

MEC3200 - Transmission de chaleur MEC3210 - Systèmes de pompage, ventilation et compresseurs MEC3350 - Systèmes hydrauliques et pneumatiques

Chap 1-4, 6

29



• Rapport: rayon moyen (rm) / épaisseur de la paroi (t) > 10

• Distribution de la contrainte tangentielle () est constante à travers la paroi

• Type:

r

r

t

p

x

Cylindre à paroi mince sous pression

Contrainte dans la direction x, x = 0

Contrainte dans la direction x, x 0

OUVERT FERMÉ ou

Chap 1-4, 6

30



Cylindre fermé à paroi mince soumis à une pression interne p et à une force axiale F en tension

0oupr

mp r

t

2 2m

x

m

p r F

t r t

Partie de la contrainte due à la pression

Partie de la contrainte due à la force extérieure F

r

x

r

t

p

x

b

F

Chap 1-4, 6

y

z

31



Vérification des formules par éléments finis (Ansys)

Paroi mince (t = 4mm) Paroi épaisse (t = 20mm)

• P = 1 MPa • rm = 80mm

θ = 19.95

r = 1

x = 9.8

Contrainte en MPa

θ = 20.1

r= 9.96

x= 1.4

32

Valeurs prises sur la surface intérieure

r

x



Exemple: Cylindre avec deux conditions d’appui F

En équilibre

p

piston 0x

F pA F RA

p

ApA R

RA

Fx Fx

Fx = 0

OUVERT p

À compléter

F

Appui à la base

Appui en haut

33



Flexion ordinaire (moment fléchissant M et effort tranchant V)

Dans la plupart des cas, les équations que l’ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à :

• Chargement uni-axial • Chargement de flexion (Chapitres 3 et 4, R de M) • Chargement de torsion • Chargement combiné:

– axial-flexion – axial-torsion – flexion-torsion – flexion-axial-torsion

Contraintes

z

yx

L

zM y

P

L

a

xxjx et

Flexion pure (moment fléchissant M seulement)

Chap 1-4, 6

34



Flexion Pure – Moment concentré (MB) sur une poutre rectangulaire pleine – Moment interne (MAB) qui engendre la contrainte; ici MAB est égal à MB

• c = distance du plan neutre à la fibre extrême (ici, c = h/2)

c

L

b

h

A B

6

hbS

2

z

12

hbI

3

z

0

0

yzxzxy

zy

z

AB

z

ABx

S

M

I

cM

Contraintes aux fibres extrêmes

ABM

z

yx

L

BM

MB MAB x

Chap 1-4, 6

35



Flexion Pure – Moment concentré sur une poutre rectangulaire à paroi mince

z

ABx

I

cM

x

y

z

ABM

b

h2/h

2/h

t

Contraintes aux

fibres extrêmes 2h

c Rappel: Comment calculer Iz?

Chap 1-4, 6

ABx

z

M y

I

où

Augmentation linéaire de la contrainte normale en fonction de la distance par rapport au plan neutre

36



Flexion pure

1 212

23

21

htI

z

3 4

x

y

z b

h

t

2th

y

tb 2

h

1 23

4z

'z

AyIIzz

2'43 2

ttb

thttbI

z2

2122

223

43

4321 zzz

III

ttbthttbhtIz

23261 233

t

Rappel: Comment calculer Iz?

Chap 1-4, 6

37



Dans la plupart des cas, les équations que l ’ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à :

• Chargement uni-axial • Chargement de flexion ordinaire: avec moment

fléchissant et effort tranchant • Chargement de torsion • Chargement combiné:


Flexion ordinaire (moment fléchissant et effort tranchant)

yP

L

a

xjx et

Chap 1-4, 6

38



ch

b

LAR

CR

P

ba

Flexion ordinaire Charge concentrée sur une poutre ayant des appuis simples

Après avoir calculer les réactions Ra et RB la procédure de solution est :

1- Tracer le diagramme des efforts tranchants

2- Tracer le diagramme des moments fléchissants (Mz)

3- Calculer les contraintes xjx et x

y

zVABz MM

RA

A B C

x

Chap 1-4, 6

39



1- Tracer le diagramme des efforts tranchants

Le diagramme des efforts tranchants varie d’une quantité égale à - (la force concentrée) à l ’endroit où celle-ci est appliquée

0V

AR

CR

P

ch

b

L

x

y

z

ARCR

ba

P

x

xqV

qdx

dV

xVM

Vdx

dM

Chap 1-4, 6

40



2- Tracer le diagramme des moments fléchissants

V

0

AR

CRP

zM

0

aRM Az max

ch

b

L

x

y

z

ARCR

P

ba

x

x

Vdx

dMxVM

Chap 1-4, 6

41



3- Calculer la contrainte

On fait une coupe de la pièce à une distance x de l’appui gauche

z

ABx

I

cM

V

0

AR

BRP

ABM

0

maxzM

xRM AAB

x

y

zVABM

x

y

z

x

x

x

RA

Chap 1-4, 6

42



3- Calculer la contrainte au point critique

MAB est maximum à x = a, là où V = 0

z

Ax S

aR

x

y

z

P

V

x

a

ABM

V

0

AR

CRP

zM

0

maxz AM R a

x

x

z

Ax S

aR

x

RA

Chap 1-4, 6

43



z

yx

L

zM

0

0

ABMz

y

L

ABMx

0V

zM

M

V

x

x

xqV

qdx

dV

xVM

Vdx

dM

A B

Chap 1-4, 6

Exemple 1: Flexion pure

44



Charge uniformément

distribuée sur une partie de la poutre

-

y

z x

-RA

RA

h

RB

0 +

mNw /,0

02 w

RRaR A

AA

M

xqVqdxdV

xVMVdx

dM

0w

RB

1l

1lRB

aRA

la

0w

RA

z

0

AA

x S

w2R

aR

q = -w0

x

x

z

0

AA

x S

w2R

aR

Points importants à identifier

Chap 1-4, 6

Exemple 2

45



Représentation de σx par ÉM de l’exemple 2

46

Charge distribuée

h = 30mm

AR

y

z

x N/mm500 w

b = 50mm

mm600l

z

x

RB

mm300a

Le calcul théorique donne une contrainte normale maximale de 225 MPa



h

Il faut bien calculer les réactions aux appuis

-

RB

RB +

AR

AR

y

z

x

P

0w

zM

V

x

x

Ici, V passe par zéro à deux sections de la pièce ; il faut alors calcule x aux deux endroits pour trouver les contraintes maximales

Chap 1-4, 6

Exemple 3

47



-RA

y

z

x x+x

RA

h

RA a

RB

P

a b

RB

x

Contrainte de cisaillement due à l ’effort tranchant

xMxxM

Px

x

V

zMxxV xV

xM xxM

xq

x

Dans cette poutre, à une distance x de l’origine, isolons une section de longueur x

Chap 1-4, 6

48



)11.4(xVMM0M xxx Un élément de poutre de longueur x est en équilibre:

y

z

x

xV

xxV

x xx b

hxxV xV

xMxxM

)3.4(0 adAF xx

)12.412.4( betaI

yM

z

x avec

x

Chap 1-4, 6

49



Si on isole un élément de cette section d’aire dont le centroïde est situé à une distance de l’axe neutre, il faut ajouter une force interne Fx pour que l’élément soit en équilibre:

'y

est mesurée sur la face sur laquelle agit V

'A

'A

c

xV

x+x x

'y xF

y

z

x

b

xxV

'A

)13.4(0

x

A

xx

A

xx FdAdAF

C’est cette force Fx qui cause une contrainte de cisaillement.

Chap 1-4, 6

50



x+x x y

z x

b est mesuré à y1 (surface glissante)

est le second moment de toute la section par rapport à z

Q est le premier moment de surface

xV

c

'y yx

b

V

1y

xy

'A

zI

' 'y y

yx xy

z z

V Q V A y

I b I b

Chap 1-4, 6


51



La figure ci-dessous illustre la répartition en intensité des contraintes de

cisaillement dues à l’effort tranchant dans un profilé en I. On remarque :

– les contraintes de cisaillement sont nulles aux fibres extrêmes de la poutre – la contrainte de cisaillement est maximale à l’axe neutre de la poutre – la majeure partie de l’effort tranchant est reprise dans l’âme de la poutre – les contraintes de cisaillement sont relativement constantes dans l’âme

Chap 1-4, 6


52



Exemple : Calculer les contraintes de cisaillement dues à l’effort tranchant Vy en A-A et en B-B :

Dimensions en mm

6 440 10z

I mm

A A B

B 20

6

10

5

125 260

102

yV

y

x

z

Section A-A est dans l’âme de la poutre, sous la semelle supérieure. Section B-B est dans la semelle supérieure, à 20 mm de l’extrémité gauche.

Chap 1-4, 6

53



À la section d’étude A-A :

La contrainte de cisaillement se calcule : où Q = le premier moment de l’aire de la section de la poutre qui est au dessus

de la section d étude par rapport à l’axe neutre, soit

y

xy

z

V Q

I b

mmbet

mmxyAQ

6

105,12712510102'' 33

A A b 6

10

5

125 260

102

z

y

Chap 1-4, 6

54



À la section d’étude B-B :

B

B 20

6

10

5

125 260

102

z

y

3 3' ' 20 10 125 25 10

10 , l'épaisseur de la semelle

Q A y mm

et

b mm

Chap 1-4, 6

y

xy

z

V Q

I b

55



Résultats FEM

xz

xy

56

Force de cisaillement Vy=142.4 kN



Dans la grande majorité des cas, les équations que l ’ingénieur utilise pour calculer la sollicitation se résument à :

• Chargement uni-axial • Chargement de flexion • Chargement de torsion • Chargement combiné:


z

yx

L

T

Torsion

xj

Chap 1-4, 6

57



Barreau circulaire plein

J

rTx

2

4r

J

r x

y

z

T

T

y

z x

0

0

rxr

rx

Torsion

Contrainte de cisaillement

à la surface externe

z

y

Vue plan yz

J: second moment polaire (constante de torsion)

Chap 1-4, 6

58



Torsion

Tube circulaire

J

rTx 0

0

rxr

rx


à la surface externe

x

y

z

T

T

r

ir

y

z x

4 4( )

2e i

r rJ

J = 2r3t

où r est le rayon moyen

Chap 1-4, 6

59



Torsion Tube rectangulaire à paroi mince


moyenne dans la paroi

x = n = s = 0

xn = ns = 0 t A M x

xs

2

t h t b A

moyen périmètre

du intérieur l'

à surface laest A

x

y

zb

h

t

xM

xM

Chap 1-4, 6

est constant dans

l’épaisseur

60



yP

L

a

z

yx

xP

0

0

yzxzxy

zy

A

Px

bI

QV)ou(

0

zxzxy

yzzy

z

zx S

M

0

0

rxr

rx

J

rTx

Résumé

x = n = s = 0

xn = ns = 0 t A M x

xs

2

z

yx

L

xMT ou

x

y

z

b

h

t

xM

xM

Chap 1-4, 6

61



yP

L

a

z

y x

xP

Résumé

z

yx

L

xMT ou

x

y

z

b

h

t

xM

xM

Chap 1-4, 6

Exemples de section

Axial Toutes les sections constantes selon l’axe x

Changements de section Concentration de contrainte (chap. 10)

Pression cyl. à paroi mince

Section sans plan de symétrie flexion gauche (chap. 17)

Nouveaux en RDM II

Flexion section simple

Torsion section circulaire (x,r,)

Torsion section fermée mince (x,s,n)

Torsion section ouverte mince

Torsion section combinée

Révision partie 4

62



Dans la grande majorité des cas, les équations que l ’ingénieur utilise pour calculer la sollicitation se résument à :

• Chargement uni-axial • Chargement de flexion • Chargement de torsion • Chargement combiné:


z

yx T

L

PzM

Chap 1-4, 6

63



Contraintes aux fibres

externes (r: rayon externe)

Chargement combiné Flexion-axial-torsion

2

4r

J

J

rTx

4

4r

I

2rA

A

P

I

cMz

r x

y

z

T

T

PP

zM z

M

Chap 1-4, 6

64



Contenu de la partie 2: Chapitres 7 et 10

• Objectifs – Comprendre la définition d’un état plan de contrainte – Calculer les contraintes selon une orientation arbitraire – Calculer les contraintes principales et leur orientation – Représenter l’état de contrainte à l’aide du cercle de Mohr – Calculer la valeur du cisaillement maximal – Évaluer la résistance d’un matériau ductile avec les critères

d’écoulement (Tresca et von Mises)

Chap 7 et 10

65




Chapitre 7 Superpositions de contraintes (état plan de contrainte sur la surface z)

cos 2 sin 22 2

x y x y

x xy

sin 2 cos 2

2x y

x y xy

2

21,2 2 2 xy

x y x y

1

2tan 2 xy

x y

1 2x y x y

Chapitre 10 Critères de défaillance

Tresca max min

max 2 2Y

S

max min max2Y YS S

FS

2Y

YS

SS

Von Mises 2 2 2

1 2 2 3 3 1

1

2 YS

0,577YS Y

S S

66



Toutes les contraintes agissant sur une des faces du cube unitaire sont nulles (ici, la face z) ainsi que toutes les contraintes agissant sur les autres faces, dans la direction z. (z = 0 et xz= zx= yz= zy= 0) Très fréquent en ingénierie

xy

z

xy

xz x

y

yxyz

zzx

zy

État plan de contrainte

Chap 7 et 10

x

xx

y

xy

yx

yx

xy

x

xy

z

xyyx

y

Simplification à un élément 2D

y

xy

67



État plan de contrainte – Contraintes en un point selon une orientation arbitraire (x’-y’)

• On calcule les contraintes x ,y et xy suivant les directions x et y choisies

• On définit un nouveau système d ’axes x’ et y’ qui fait un angle avec le système x,y; l’axe x positif est l’axe de référence

• En utilisant les équations d’équilibre dans le système x’-y’ (Fx’ = 0; Fy’=0; Mz=0), on établit les expressions pour le calcul des contraintes x’ ,y’ et x’y’ dans le nouveau système

x ’

xy

xy

y

x

y y ’

x ’

θ

x ’y ’

x

Chap 7 et 10

! Attention à la convention

de signe de

68



Pour transformer x ,y et xy en x’ ,y ’ et x’y’

' '

' ' '

0 cos 2 sin 22 2

0 sin 2 cos 22

x y x y

x x xy

x y

y x y xy

F

F

x ’

xy

xy

y

x

y y ’

x ’

θ

x ’y ’

x

(7.14)

(7.15)

Chap 7 et 10

69



État plan de contrainte – Contraintes principales 1 , 2 et 3 en un point

''' 20 yx

x

d

d

(7.14)

2 sin 2 cos 2 2 xy

y x y x ' x

2 2 2 xy

2 y x y x

2 , 1

(7.18) et (7.19)

(7.24)

Sur les plans où se trouvent les contraintes principales, les contraintes de cisaillement sont nulles.

Chap 7 et 10

Contraintes principales en

un point

3 0ou valeur connuez

70



État plan de contrainte – Cercle de Mohr

Pour tracer le cercle de Mohr d’un état plan de contrainte dans le plan x-y, on procède de la façon suivante :

• Placer les points X (x ,xy) et Y (y , -xy) dans un système d’axes - • Joindre les deux points par une droite et déterminer le point d ’intersection C

avec l’axe (c = (x + y) /2)

y

x

y’

x’

),( xyxX

),(' ''' yxxX

),(' ''' yxyY

C

2

),( xyyY

• Le cercle de Mohr est le cercle dont le centre est C et qui passe par les points X et Y. • L’état de contrainte selon le système x’-y’ est également représenté par le cercle

x

y

xyyx

x

y

Chap 7 et 10

71



État plan de contrainte – Cercle de Mohr Contraintes principales 1 et 2

• L’axe 1 de la contrainte principale 1 fait un angle 1 avec l’axe x

• Sur les plans des contraintes principales, les contraintes de cisaillement sont nulles.

x

y

1

),( xyxX

),( xyyY

C

)0,(1 1)0,(2 2

12

yx

xy

22tg 1

Chap 7 et 10

! Attention à la valeur

calculée de 1

72



État plan de contrainte – Cercle de Mohr Cisaillement maximal max

• En état plan de contrainte, la contrainte de cisaillement maximal se situe sur un plan dont la normale d est à 45 par rapport à l’axe 1 (sens trigonométrique négatif à partir de l ’axe 1).

),( xyxX

),( xyyY

C

)0,(1 1)0,(2 2

),( max dD

12

x

y

d

45

e

Chap 7 et 10

73



Chap. 10 - Critères d’écoulement: Tresca

2/max YS

1Y1 S

Essai de traction

123

max

max

min

3,2 1

Pièce réelle

1

2

3

max

1

2 YS

FS

2

),,min(),,max( 321321max

Cisaillement

maximal Cas général 3D

L’écoulement d’un matériau ductile se produit lorsque max atteint une valeur critique.

Chap 7 et 10

74



213

232

221 )()()(

21

YSFS

L’écoulement d’un matériau ductile se produit lorsque l’énergie de distorsion atteint une valeur critique.

Chap 7 et 10

Contrainte équivalente de von Mises

dans le système d’axes 1-2-3

Chap. 10 - Critères d’écoulement: von Mises

75



Chap. 8 Déformations Chap. 9 Relations contraintes-déformations

• Objectifs: – Connaître la définition d’un état plan de déformation – Savoir définir les déformations à partir des déplacements – Savoir calculer les déformations normales et de cisaillement selon

une orientation quelconque; application des lectures de jauges – Appliquer les relations contraintes-déformations (Loi de Hooke) – Solutionner le cas particulier de la séance de laboratoire no. 2

• Étude des déformations dans un panneau de cisaillement

Chap 8 et 9

Contenu de la partie 3: Chapitres 8 et 9

76



Déformation Les forces extérieures sur un solide causent : • un déplacement de l’ensemble des points constituant le solide • un mouvement relatif entre les points du solide déformation du solide • Comme pour le cas des contraintes, l’étude des déformations dans un

solide est réalisée pour un état plan. Ici, c’est l’état plan de déformation, qui est différent de l’état plan de contraintes.

• Les côtés CAB d’un élément unitaire de longueurs x et y avant l’application d’une force extérieure se retrouvent en C’A’B’ après chargement.

• Ce faisant, le point A s’est déplacé de la distance u selon l ’axe x et de v selon l ’axe y.

Chap 8 et 9

y

x

x

y

A

'A 'B

B

u v

C'C

xy

2

uu x

x

vv x

x

77



Déformations

Les déformations normales x et y et de cisaillement xy sont définies de la façon suivante :

x

v

y

uCABBAC

y

v

AC

ACCA

x

u

AB

ABBA

xy

y

x

'''

''

''

Chap 8 et 9

y

x

x

y

A

'A 'B

B

u v

C'C

xy

2

uu x

x

vv x

x

• Déformations: c’est ce qui existe physiquement. • Contraintes: c’est un concept commode pour faire des calculs

78



Déformations

• La méthode expérimentale la plus répandue et la plus utile en ingénierie pour l’analyse des contraintes est basée sur la mesure des déformations à l’aide des jauges de déformation

• Connaissant les déformations, les contraintes peuvent être calculées à l’aide de la loi de Hooke (Chap. 9)

• Ce sont les contraintes qui permettent d’évaluer le facteur de

sécurité (FS) d’une pièce soumise à des forces extérieures connues

Chap 8 et 9

Une jauge mesure une déformation normale et elle est toujours dans un état plan de contrainte parce qu’elle est collée sur une surface libre. Donc, 3 = 0.

79



Fil dont la résistance électrique R varie avec son allongement. Elle mesure une déformation exclusivement dans l’axe de son fil. – On colle solidement la jauge sur la surface de la pièce. Lorsqu’une

force agit sur la pièce, celle-ci se déforme. – La jauge subit alors la même déformation et sa résistance électrique

varie en conséquence:

• On enregistre le changement de résistance. • Après une calibration adéquate, on déduit

la déformation.

– Il n’existe aucune méthode simple qui permette de mesurer une déformation de cisaillement .

kR

R

Chap 8 et 9

Jauges de déformation

Échantillon « disque » instrumentée de 3 rosettes

80



On sait que : où 3 en général est connue On sait aussi que : (pour état plan de contrainte en z)

et que : (loi de Hooke)

• Une jauge ne mesure qu’une déformation normale() • Elle ne peut pas mesurer une déformation de cisaillement ()

321 ,, FS

xyyx ,,, 21

xyyxxyyx ,,,,

Chap 8 et 9

81



À partir de trois valeurs de déformation normale (a, b, c) mesurées suivant des orientations quelconques mais connues, (a, b, c ) on peut déterminer x, y et xy de la façon suivante : Dans ce système, l’axe x est l’axe de référence. Les angles i sont mesurés à partir de cet axe ; ils sont positifs dans le sens anti-horaire. Ensemble de jauges: une rosette

a

b

c

a

b

c

x

y

c

xy

c

yxyx

c

b

xy

b

yxyx

b

a

xy

a

yxyx

a

2sin2

2cos22

2sin2

2cos22

2sin2

2cos22

Ceci constitue un système de trois équations à trois

inconnues x, y, xy

Chap 8 et 9

! Attention à la convention

de signe de

82



Chap. 9 Relations contraintes-déformations (Loi de Hooke)

GGG

E

E

E

yz

yzxz

xz

xy

xy

yxzz

xzyy

zyxx

;;

1

1

1

2133

1322

3211

1

1

1

E

E

E

Axes x, y et z Axes 1, 2 et 3

Chap 8 et 9

83



Rappel: Propriétés mécaniques

• Module d’Young (E)

• Module de cisaillement (G)

• Coefficient de Poisson (v)

E

G

)1(2 v

EG

L

Tv

F F

Direction longitudinale

Direction transversale

Chap 8 et 9

84



Questions :

• Que vaut max (1, 2, 3)?

• Quelle est l ’orientation de max ?

• Quel est l’effort tranchant qui

passe dans le panneau?

x

y

F

F

Étude des déformations dans un panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. 2)

Chap 8 et 9

Panneau

Cadre

85



x

y

F

2/F 2/F

030060

060 a

b

c

V2/F

2/F

x

Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. 2)

x

2/F

2/F 2/F

a

b

2/F

b

aF

2

b

aF

2

Efforts internes dans le cadre

86



2/F

cornièrespanneau VVV

AV xypanneau

A

x

yF

2/F 2/F

C

C

Coupe C-C


On suppose la contrainte uniforme sur la surface A

87




0

0

xy

yx

12

x

yF

2/F 2/F

),0( X

),0( Y

1

2

045x

03

2

1

3

21

Contraintes principales et orientation

Contraintes selon le système d’axes x-y

1

88



x

y

F

2/F 2/F

x

y

F

2/F 2/F

030

060

060a

b

c

030

060

060 a

b

c

Laboratoire Étude ici


89



Relations pour une rosette à 0o ± 60o

cos(2 60) sin(2 60)2 2 2

cos(0) sin(0)2 2 2

cos( 2 60) sin( 2 60)2 2 2

d'où on tire

2

32

3 3

x y x y xy

a

x y x y xy

b

x y x y xy

c

x b xy a c

by a c

a

b

c

x

y2/1 2/3

2/32/1

1 0

060

060

Formules pour rosette à 60

90



Les déformations étant mesurées suivant trois directions a, b et c connues, on peut calculer les déformations suivant les directions x, y et z. À ce stade, on peut :

• calculer les déformations principales 1, 2, 3 puis les contraintes principales 1, 2, 3

ou • calculer les valeurs de x, y et xy puis les

contraintes principales 1, 2, 3


91



2133

1322

33211

E

1E

1

0oùE

1

G

E

1E

1

0oùE

1

xy

xy

yxzz

xzyy

zzyxx

max2 YS

FS

321321max

2

xy

2

yxyx

2,1

,,min,,max

:veuton

222

0

;22

3

2

2

2,1

z

xy

yxyx

2

,,min,,max 321321max

cbaxyyx ,,,,

Onconnait , , on mesure , ,a b c a b c

92



À partir de x , y et xy on solutionne pour obtenir les déformations principales :

: de Loi

0 ) ( 0 1 1

2 1 3 3

E E

Hooke

(8.15)

321321max ,,min,,max

2 2

1,2 2 2 2x y x y xy

93



12

03

21

12

),0( X

),0( Y

03

2

1

030060

060 a

b

c

3

)2/,( xyyY

3

ac

o120 o120

030

060

060a

b

c

x

y

Cercle de Mohr: Contraintes Cercle de Mohr: Déformations

94




Chapitre 8 Déformations

cos 2 sin 22 2 2

x y x y xy

x

sin 2 cos 2

2 2 2x y x y xy

1 2x y x y

Chapitre 9 Relations contraintes / déformations / température

1x x y z

v TE

xy

xyG

1y y z x

v TE

yz

yzG

1z z y x

v TE

xzxz

G

Énergie de déformation

1

2 x x y y z z xy xy yz yz zx zx

V

U dV

95



• Objectifs – Dessiner la propagation du flux de cisaillement sur la

section d’une structure en torsion – Savoir calculer la contrainte de cisaillement et la

constante de torsion (J) pour une section • ouverte (mince et épaisse) • fermée

– Identifier la contrainte de cisaillement maximale dans une section composée (en utilisant la compatibilité géométrique)

Chap 6 et 16

Révision partie 4: Chapitres 6 et 16

96



T

T

T TT

TT

Sections fermées Sections ouvertes

tA

Txs 2

J

tTxy 3

3

1tbJ

t

ds

AJ

24

JG

LT

y

zx

TTT T T

1

23 T

Section composée

J

Trx

Compatibilité géométrique

Formule

générale

Section circulaire

trrr

J

rJ

ie 344

4

22

)(

2

Rayon moyen T

Chap 6 et 16

97



Chapitre 16, TORSION AVANCÉE

16.1 Introduction

16.2 Méthode de Saint-Venant

16.3 Fonction de contraintes

16.4 Quelques solutions particulières

16.4.1 Procédure

16.4.2 Barreau elliptique

16.4.3 Barreau triangulaire

16.4.4 Résolution pour une section rectangulaire

16.5 ...............

Chapitre 6, LA TORSION

6.1 Introduction

6.2 Sections circulaires

6.3 Tube à parois minces

6.4 Sections ouvertes minces (méthode de calcul)

6.4.1 Section rectangulaire mince

6.4.2 Application aux profilés minces

6.5 .........

Chap 6 et 16

98



Section fermée q, le flux de cisaillement ( une définition), est une force / unité de longueur de paroi, N / m. Sur une section fermée, q est constant autour de la section même si l’épaisseur t varie

tdnq xs

t

t

xs

2/

2/

)principale e(contraint 0

Donc,

0

3

n

nsxnsnx

tTq

T

x ns

x

Chap 6 et 16

est constant dans

l’épaisseur

99



Section fermée Avec

et

On obtient : et :

tdnq xs

t

t

xs

2/

2/

AqT 2

0 dsqshTM x

q = constant suivant la direction s

Équation d’équilibre

A = aire du périmètre moyen Asdsh 2

min2 tA

Txs txs épaisseur l'sur constant

sd

T

Ad

q

)(sh

t

x ns

Chap 6 et 16

100



est l’aire à l’intérieur du périmètre moyen de la section

Section fermée Contrainte de cisaillement maximale

A

min2 tA

Txs

T

tT

A

xn

s

xs est maximum pour tmin

Puisque q est constant selon s, si t augmente, xs diminue

Chap 6 et 16

101



Déformation observée en torsion

x

Dans un barreau circulaire

s

xzxy et Dans un barreau prismatique

zouy

r

y

z

Chap 6 et 16

102



Déformations de cisaillement pour section prismatique

b

t

Chap 6 et 16

103



Déformations de cisaillement pour section prismatique

Changement de l’angle droit :

dans le plan x-z, donc xz et xz

dans le plan x-y, donc xy et xy

y

Chap 6 et 16

104



Simulation par ÉF

105

T = 100 kN.m

Rectangle mince:

160x10x80mm

Rectangle épais:

160x40x80mm

T

y

xz



106

Simulation par ÉF: rectangle mince en torsion



107

Simulation par ÉF: rectangle épais en torsion



Contraintes de cisaillement pour les 2 épaisseurs Rectangle mince Rectangle épais

τxz

τxy

108 La déformation a été amplifiée d’un facteur 100



Contrainte normale σx pour les 2 épaisseurs

Rectangle mince Rectangle épais

109 La déformation a été amplifiée d’un facteur 100



Résolution pour une section rectangulaire

Si b/t > 10, k1 = k2 =1,0

C’est le cas que nous étudierons

k1

k2

Constante de torsion xy

Section 16.4.4 du volume

xy

Chap 6 et 16

110



Section ouverte (barreau rectangulaire) • Contrairement à une section fermée, le

flux q, pour circuler, doit passer deux fois (aller retour) sur l’épaisseur t.

• Ceci fait que le cisaillement change de sens sur l’épaisseur t et la section est beaucoup moins efficace pour transmettre de la torsion

• Contraintes et constante de torsion

y

x

z

T

T

ty

x

z

b

L

xy varie linéairement selon z J

tTxy 3

3

1tbJ

)principale contrainte ( 0 Donc

00

3

z

xzyzzyx et

Chap 6 et 16

111



1t

2b2b

1b 1b 1b

2t

1t1t

2t

3b3t

3b3t

2t2b

TTT

Section ouverte (barreau rectangulaire)

• Sections en I, en C ou en L (exemples de sections ouvertes) – Inefficaces pour transmettre un couple de torsion.

Chap 6 et 16

112



Section composée

Pour améliorer une section ouverte telle qu’un profilé en I, on peut souder une plaque sur toute la longueur de la poutre. Pour l’analyse en torsion, on décompose la poutre combinée en deux sections ouvertes,1 et 2, et une section fermée, 3.

yx

z

1

23 T

x

Chap 6 et 16

113



Simulation ÉF de la section composée avec 3 types de soudure

114 y

x

z

102 mm 10

6 240 10

Vue de dessus

encastrement

Aux extrémités Multipoints Continue



Section composée connectée par des soudures aux extrémités

Concentration de contraintes

au niveau des soudures

115



Section composée connectée par des soudures multiples

116



Section composée connectée par des soudures continues

117



Deux plaques parallèles réunies par un seul cordon de soudure constituent deux sections ouvertes.

Par contre, les deux mêmes plaques réunies par deux

cordons de soudure sur toute leur longueur deviennent une

section fermée

T

xy

x

z

x

Chap 6 et 16

Section composée

118



Section composée

Exemple: – Deux cordons de

soudure sur toute la longueur du profilé

Section ouverte

Section fermée

T

Illustration de la circulation du flux de cisaillement

Chap 6 et 16

119



Section composée

Exemple: On veut connaître TTOT permis pour une valeur de SY connue.

1t1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

LLLL 321

Chap 6 et 16

120



Procédure de solution : • 1- Établir la répartition de Ttot dans

1 , 2 et 3 (équilibre) • 2- Assurer la compatibilité de

déformation comme un corps solide • 3- Calculer les relations T- • 4- Calculer les contraintes • 5- Calculer TTOT permis

1t1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

LLLL 321

Chap 6 et 16

121



321 TTTTTOT

1t1b

2b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL 321

1t1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

Chap 6 et 16

122


Résistance des matériaux II 5 Solution : 1- Équilibre : T1, T2 et T3 sont les parties du couple total TTOT reprises respectivement par les sections 1, 2 et 3.

321 TTTTTOT

1t1b

2b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL 321

Chap 6 et 16

123



2- Compatibilité : Les sections 1, 2 et 3 sont solidaires. Elles se déforment comme un corps solide sous l ’action du couple TTOT. Donc, Si on appelle =/L, on a :

12

3

i 321

L

ii

321

Chap 6 et 16

124



2- Compatibilité : 3- Relations T - : ou que

iii

i

ii

ii

GJ

T

GJ

LT

L

ii

321

33

3

22

2

11

1

GJ

T

GJ

T

GJ

T

1t1b

2b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL 321

Chap 6 et 16

125



2- Compatibilité : 3- Relations T - : Si les valeurs de Gi sont identiques :

iii

i

ii

ii

GJ

T

GJ

LT

GJ

T

GJJJ

TTT

GJ

T

GJ

T

GJ

T

TOT

TOT

)(

321

321

3

3

2

2

1

1

i

ii

L

321

Rappel: Formule trigonométrique

fdb

eca

f

e

d

c

b

a

Lorsque même matériau

dans sections 1,2 et 3

Chap 6 et 16

126



3- Relations T - : J1 et J2 : constantes de torsion pour une section ouverte J3 : constante de torsion pour une section fermée circulaire:

TOT

TOT

J

T

JJJ

TTT

J

T

J

T

J

T

)(

321

321

3

3

2

2

1

1

322

31121 3

1tbtbJJ

33

3

2

3

2

3

2

3 22444

tr

t

r

A

t

périmètre

A

t

ds

AJ

1t

i321 LLLL

1b

2b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

r

3t

A

Chap 6 et 16

127



4- Calcul de : a) sections ouvertes (1)

TOT

TOT

J

T

J

T

J

T

2

2

1

1

TOT

TOTxs

J

tT

J

tT 1

1

111)(

1

111)(

J

tTxs

1t1b

2b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL 321

Même approche pour section (2)

TOT

TOTxs

J

tT

J

tT 2

2

222)(

Chap 6 et 16

128



4- Calcul de : a) sections ouvertes (1 et 2)

TOT

etdeTOT

ouvertxsJ

tT 21max

max )(

TOT

TOT

xsJ

tT 11)(

TOT

TOT

xsJ

tT 22)(

1t1b

2b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL 321

Utiliser la plus grande épaisseur pour calculer

la contrainte maximale des sections ouvertes

Chap 6 et 16

129



4- Calcul de : b) section fermée (3)

3

33 22

)(tA

T

tA

Txs

TOT

TOT

J

T

J

T

3

3

3

3

3

33 2

12

)(tAJ

JT

tA

T

TOT

TOT

xs

1t1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

3T

3T

3

33 2

1)(

tAJ

JT

TOT

TOT

xs

Chap 6 et 16

130



5- Calcul de TTOT permis: TTOT permis est le plus petit des deux valeurs calculées .

1t

1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

33

22

)( tAJ

J

FS

ST TOTY

ferméTOT

21max2)(

etde

TOTY

ouvertTOTt

J

FS

ST

Chap 6 et 16

131



Calcul de FS lorsque la valeur de T est connue: a) sections ouvertes (1 et 2)

b) Section fermée (3)

1t

1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

ouvertxs

YSFS

max2

21max2 etdeTOT

TOTY

tT

JSFS

32 xs

YSFS

3

3

2

2

JT

tAJSFS

TOT

TOTY

Chap 6 et 16

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Résistance des matériaux II Table des matières - Moodle · PDF fileRésistance des matériaux II 5 Table des matières CONTENU DE COURS CHAPITRE DU LIVRE Révision des notions du