Rozmaito±ci siecznych i rangi tensorów w

geometrii algebraicznej

Jarosªaw Buczy«ski

21 sierpnia 2014

A Podstawowe informacje

A.1 Imi¦ i nazwisko

Jarosªaw Buczy«ski

A.2 Stopnie naukowe

2008 � Doktorat obroniony na Wydziale Matematyki Uniwersytetu War-szawskiego (z wyró»nieniem); praca doktorska: �Algebraic Legendrian varie-ties�, promotor: Jarosªaw Wi±niewski.2003 �Magisterium na Uniwersytecie Warszawskim, Kolegium MISMaP,kierunek matematyka, obronione z wyró»nieniem; praca magisterska: �Pod-rozmaito±ci legendrowskie w zespolonej przestrzeni rzutowej� opiekun: Jaro-sªaw Wi±niewski.

A.3 Historia zatrudnienia

wrz 2011 � sie 2018 Adiunkt, stanowisko wspólne: Instytut Matema-tyczny PAN, Warszawa oraz Wydziaª Matematyki, In-formatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego

wrz 2008 � sty 2012 Stypendium �Marie Curie International Outgoing Fel-lowship�; zatrudniony przez Instytut Fouriera, Greno-ble, Francja: cz¦±¢ wyjazdowa na Uniwersytecie TexasA&M, College Station, TX, USA; cze±¢ powrotna wInstytucie Fouriera

1

kwi 2011 � cze 2011 Wizyta naukowa w Institut Mittag-Le�er w Sztokhol-mie (Szwecja) w ramach programu �Algebraic Geome-try with a view towards applications�

sty 2011 � kwi 2011 Urlop z powodów rodzinnychwrz 2008 � sie 2010 Asystent Badawczy na Uniwersytecie Texas A&Mwrz 2007 � sie 2008 Asystent Badawczy na Uniwersytecie Kent w Canter-

bury, Wielka Brytaniapa¹ 2003 � lut 2008 Studia doktoranckie na Uniwersytecie Warszawskimwrz 2003 � lip 2004 Stypendium Marie Curie na Uniwersytecie Warwick,

Wielka Brytania

A.4 Publikacje tworz¡ce habilitacj¦

Tre±¢ niniejszej rozprawy habilitacyjnej stanowi¡ nast¦puj¡ce artykuªy:

(1) Secant varieties to high degree Veronese reembeddings,

catalecticant matrices and smoothable Gorenstein

schemes,(wspóªautorzy: W. Buczy«ska) Journal of Algebraic Geometry 23 (2014),63-90.

Wkªad J. Buczy«skiego byª nieco wi¦kszy ni» wspóªautorki. Artykuªpowstaª w wyniku licznych intensywnych rozmów i wymiany my±li.Dowody ksztaªtowaªy si¦ stopniowo, kolejne wersje coraz silniejszychtwierdze« powstawaªy w miar¦ post¦pu prac. Ostateczny ksztaªt pierw-szej wersji artykuªu byª w wi¦kszym stopniu dzieªem Buczy«skiego, alebyªo to zbudowane na wcze±niejszych wersjach roboczych wypracowa-nych wspólnie. Korekta artykuªu po pierwszej recenzji byªa opracowanawspólnie. Nie jest wi¦c mo»liwe dokªadne rozdzielenie, które pomysªylub dowody pochodz¡ od kogo. Szacowany udziaª procentowy: 60%.

(2) Determinantal equations for secant varieties and the

Eisenbud-Koh-Stillman conjecture,(wspóªautorzy: A. Ginensky, J. Landsberg) Journal of London Mathe-matical Society, 88(1):1-24, 2013.

Równie» ten artykuª jest w wi¦kszym stopniu autorstwa Buczy«skiego,ni» wspóªpracowników. W uproszczeniu, wkªad do pierwszej wersjiartykuªu (umieszczonej na serwerze arxiv 1wszego lipca 2010) byª po-równywalny. Natomiast pó¹niej artykuª podlegaª mody�kacjom, po-prawkom, a wyniki byªy wzmocnione. W szczególno±ci Lemat 2.8 ijego dowód jest pomysªem Buczy«skiego, co przyczynia si¦ do dowodu

2

Twierdzenia 1.1 w peªnej ogólno±ci. Prace redakcyjne byªy wykonanewspólnie. Szacowany udziaª procentowy: 40%�45%.

(3) Ranks of tensors and a generalization of secant varieties,(wspóªautorzy: J. Landsberg) Linear Algebra and Its Applications 438(2013), pp. 668-689 (Special Issue "Tensors and Multilinear Algebra").

Artykuª powstaª w wyniku licznych i intensywnych rozmów w biurzeLandsberga podczas pobytu Buczy«skiego w Texas A&M University.Wymiana my±li byªa pó¹niej kontynuowana drog¡ e-mailow¡ oraz przeztelefon po opuszczeniu Teksasu przez Buczy«skiego. Nie jest wi¦c mo»-liwe rozdzielenie, które pomysªy lub dowody pochodz¡ od kogo. Sza-cowany udziaª procentowy: 50%.

(4) On the third secant variety,(wspóªautorzy: J. Landsberg) Journal of Algebraic Combinatorics, 40(2014), pp. 475-502.

Analogicznie do poprzedniego artykuªu. W rzeczy samej, pierwotnawersja poprzedniego artykuªu zawieraªa cz¦±¢ wyników z tego artykuªui dopiero pó¹niej, wyniki zostaªy rozdzielone, ze wzgl¦du na ich obj¦-to±¢. Tak»e te» ten artykuª powstaª w wyniku licznych i intensywnychrozmów w biurze Landsberga podczas pobytu Buczy«skiego w TexasA&M University. Wymiana my±li byªa pó¹niej kontynuowana drog¡e-mailow¡ oraz przez telefon po opuszczeniu Teksasu przez Buczy«-skiego. Nie jest wi¦c mo»liwe rozdzielenie, które pomysªy lub dowodypochodz¡ od kogo. Szacowany udziaª procentowy: 50%

(5) Waring decompositions of monomials,(wspóªautorzy: W. Buczy«ska, Z. Teitler) Journal of Algebra 378 (2013),pp. 45-67.

Artykuª powstaª w wyniku licznych i intensywnych rozmów rozpocz¦-tych w Leuven i Djursholm. Wymiana my±li byªa pó¹niej kontynu-owana, cz¦±ciowo drog¡ e-mailow¡ oraz przez telefon. Nie jest wi¦cmo»liwe rozdzielenie, które pomysªy lub dowody pochodz¡ od kogo.Szacowany udziaª procentowy: 35%

(6) Secants of Lagrangian Grassmannians,(wspóªautorzy: A. Boralevi) Annali di Matematica Pura ed Applicata(2011), Volume 190, Number 4, 725-739.

Artykuª powstaª w wyniku licznych i intensywnych rozmów podczaspobytu wspóªautorów w Teksasie 2009-2010. Nie jest wi¦c mo»liwe

3

rozdzielenie, które pomysªy lub dowoyu pochodz¡ od kogo. Szacowanyudziaª procentowy: 50%

Wyniki skªadaj¡ce si¦ na rozpraw¦ habilitacyjn¡ s¡ opisane w rozdziale B.

A.5 Inne wyniki naukowe

Inne publikacje napisane po doktoracie:

(1) Maps of toric varieties in Cox coordinates,(wspóªautorzy: G. Brown) Fundamenta Mathematica, 222 (2013), 213-267

Artykuª oparty jest na pomysªach Buczy«skiego, wi¦kszo±¢ pracy zo-staªa wykonana przez niego. Wszystkie stwierdzenia i lematy byªy prze-stawiane wspóªautorowi, który w wielu przypadkach wniósª cenne (cz¦-sto krytyczne) uwagi, wskazywaª problemy oraz analizowaª przykªady.Szacowany udziaª procentowy: 60%�70%.

(2) On the graph labellings arising from phylogenetics,(wspóªautorzy: W. Buczy«ska, K. Kubjas, M. Michaªek) Central Euro-pean Journal of Mathematics, 2013, 11(9), 1577-1592 .

Wkªad Buczy«skiego jest niedu»y: spora cz¦±¢ pracy redakcyjnej, prze-prowadzenie niektórych oblicze« komputerowych, oraz niewielki udziaªw dyskusjach, które ostatecznie doprowadziªy do dowodu Twierdze-nia 1.1. Szacowany udziaª procentowy: 15%�20%.

(3) Contact Moishezon threefolds with second Betti number

one,(wspóªautorzy: T. Peternell) Archiv der Mathematik (2012), Volume98, Number 5, Pages 427-431

Ten krótki artykuª jest wynikiem intensywnej wspólnej pracy podczaskrótkiej wizyty naukowej Buczy«skiego w Bayreuth oraz pó¹nieszejemailowej wymiany my±li. Dowód gªównego Twierdzenia i Lematówpowstaª wspólnie, a praca redakcyjna byªa przeprowadzona na zmian¦.Szacowany udziaª procentowy: 50%.

(4) Duality and integrability on contact Fano manifolds,Documenta Math. 15 (2010), 821�841 .

Artykuª napisany samodzielnie. Udziaª procentowy: 100%.

Te wyniki w skrócie opisaªem w rozdziale C.

4

B Streszczenie wyników skªadaj¡cych si¦ na ha-

bilitacj¦

Przedstawiana rozprawa dotyczy geometrii algebraicznej. Dokªadniej, oma-wiamy w niej wªasno±ci rozmaito±ci siecznych do rzutowych rozmaito±ci,rangi ogólnych i symetrycznych tensorów oraz ich minimalne rozkªady. Jestto dziedzina, w której pracuj¡ wybitni matematycy z ró»nych stron ±wiata:Pierre Comon (Université de Grenoble), David Eisenbud (University of Cali-fornia, Berkeley), Joseph Landsberg (Texas A&M University), Laurent Ma-nivel (Université de Montréal), Bernard Mourrain (INRIA Sophia Antipolis),Giorgio Ottaviani (Università di Firenze), Kristian Ranestad (Universitetet iOslo), Bernd Sturmfels (University of California, Berkeley), and Jerzy Wey-man (University of Connecticut).

B.1 Wst¦p

W naukach ±cisªych i in»ynierii naukowcy analizuj¡ skomplikowane dane,aby wyizolowa¢ stosunkowo proste zjawiska, które maj¡ kluczowe znaczeniew badanej sytuacji.

Jako przykªad wyobra¹my sobie kilka osób rozmwi¡zj¡cy przez telefonkomórkowy w tym samym momencie. Stacja-odbiornik musi rozªo»y¢ skom-plikowan¡ fal¦ elektromagnetyczn¡ na proste pojedyncze sygnaªy, z którychka»dy przenosi jedn¡ rozmow¦.

Nast¦pny przykªad pochodzi ze spektroskopii �uorescencyjnej. Jest tometoda sªu»¡ca do analizowania st¦»enia zwi¡zków chemicznych w prób-kach roztworu. Ka»da próbka jest prze±wietlana ±wiatªem o ró»nych dªugo-±ciach fali i badane s¡ dªugo±ci fal ±wiatªa emitowanego. Zebrane dane mog¡by¢ skomplikowane i poszukiwany jest sposób rozªo»enia danych na prosteskªadniki pochodz¡ce od pojedynczych zwi¡zków chemicznych wchodz¡cychw skªad roztworu.

Problemy tego rodzaju s¡ wszechobecne w nauce i stanowi¡ motywacj¦dla naszych bada« nad rozmaito±ciami siecznych oraz nad powi¡zanymi po-j¦ciami: rang¡, rang¡ brzegow¡ i rozkªadem minimalnym.

Rozwa»my sko«czenie wymiarow¡ przestrze« wektorow¡ W nad ciaªemliczb zespolonych C oraz podzbiór X ⊂ W rozpinaj¡cy W , jako przestrze«liniow¡. Niech p ∈ W . De�niujemy X-rang¦ p jako najmniejsz¡ liczb¦caªkowit¡ r = rX(p), tak¡, »e

p = λ1x1 + λ2x2 + · · ·+ λrxr dla pewnych xi ∈ X i λi ∈ C.Równowa»nie r jest minimaln¡ liczb¡ caªkowit¡ tak¡, »e p ∈ 〈x1, x2, . . . , xr〉,gdzie 〈R〉 oznacza przestrze« liniow¡ rozpi¦t¡ przez zbiór R.

5

My±limy o V jak o zbiorze wszystkich mo»liwych stanów, za± o X jak ozbiorze prostych stanów, oraz o p jak o skomplikowanym przypadku, którychcemy rozªo»y¢. Wobec tego ranga powinna by¢ liczb¡ prostych skªadników,na które mo»na rozªo»y¢ nasz wybrany skomplkowany stan.

W powy»szych przykªadach, w optymalnych warunkach, ranga jest liczb¡rozmów przez komórk¦, lub liczb¡ substacji chemicznych w roztworze. Oczy-wi±cie kilka wa»nych problemów mo»e stanowi¢ przeszkod¦: je±li skªadni-ków/rozmów jest du»o ranga mo»e nie by¢ pomocna. Nietrudno wyobrazi¢sobie, »e gdy prowadzonych jest zbyt wiele rozmów jednocze±nie na jednymodbiorniku, to nie jest mo»liwe oddzielenie pojedynczej rozmowy. Podob-nie gdy mamy niewiele pomiarów ±wiatªa w porównaniu z liczb¡ skªadnikówroztworu, to nie b¦dziemy potra�li ich zidenty�kowa¢. Inny wa»ny problemto zakªócenia, (dane z odbiornika s¡ nieco znieksztaªcone). Istniej¡ metodyradzenia sobie z zakªóceniami, nie jest to jednak przedmiotem tej rozprawy.

Rozwa»my teraz kilka bardziej matematycznych przykªadów.

B.1.1 Mno»enie macierzy

Mno»enie macierzy jest dwuliniowym odwzorowaniem Cfg × Cgh → Cfh.Mo»na wi¦c my±le¢ o nim jako tensorze

Mf,g,h ∈ (Cfg)∗ ⊗ (Cgh)∗ ⊗ Cfh = A⊗B ⊗ C = W.

Najprostszy, naiwny algorytm tego mno»enia potrzebuje fgh mno»e« liczbzespolonych i zapisuje si¦ w postaci tensorowej jako:

Mf,g,h =∑i,j,k

aij ⊗ bjk ⊗ cik.

Jest to rozkªad na sum¦ fgh prostych tensorów postaci a⊗ b⊗ c.Niech X := Seg(A × B × C) ⊂ W b¦dzie zbiorem tensorów prostych.

Wypisany powy»ej rozkªad daje oszacowanie na rang¦ rX(Mf,g,h) ≤ fgh.Strassen udowoniª, »e dwie macierze 2 × 2 mo»na pomno»y¢ u»ywaj¡c

jedynie 7 mno»e« liczb zespolonych (zamiast 2 · 2 · 2 = 8 mno»e«) [Stra69]:(a1 a2a3 a4

)·(b1 b2b3 b4

)=

(a1b1 + a2b3 a1b2 + a2b4a3b1 + a4b3 a3b2 + a4b4

)=

(I + IV − V + V II III + V

II + IV I + III − II + V I

)

6

gdzie:

I :=(a1 + a4)(b1 + b4) II :=(a3 + a4)b1

III :=a1(b2 − b4) IV :=a4(−b1 + b3)

V :=(a1 + a2)b4 V I :=(−a1 + a3)(b1 + b2)

V II :=(a2 − a4)(b3 + b4)

co w zapisie tensorowym przekªada si¦ na:

M2,2,2 =(a1 + a4)⊗ (b1 + b4)⊗ (c1 + c4)

+(a3 + a4)⊗ b1 ⊗ (c3 − c4)+a1 ⊗ (b2 − b4)⊗ (c2 + c4)

+a4 ⊗ (−b1 + b3)⊗ (c1 + c3)

+(a1 + a2)⊗ b4 ⊗ (−c1 + c2)

+(−a1 + a3)⊗ (b1 + b2)⊗ c4+(a2 − a4)⊗ (b3 + b4)⊗ c1

Zatem rX(M2,2,2) ≤ 7 (a tak naprawd¦ X-ranga jest równa 7). Je±li zasto-sujemy ten algorym wielokrotnie do macierzy blokowych, dostaniemy nowysposób na pomno»enie dwóch f × f macierzy kwadratowych u»ywaj¡c okoªof log2 7 ' f 2.81 mno»e« liczb zespolonych. T¦ dyskusj¦ mo»na podsumowa¢ wnast¦puj¡cym zdaniem: Ranga mno»enia maªych macierzy mo»e da-

wa¢ asymptotyczne ograniczenie górne na zªo»ono±¢ obliczeniow¡

mno»enia du»ych macierzy.

Mno»enie macierzy jest tylko przykªadem odwzorowania wieloliniowego,istniej¡ te» inne bardzo wa»ne tego typu odwzorownia, które mo»emy bada¢w analogiczny sposób.

B.1.2 Ewaluacja wielomianów

Niech W := SdCn b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ wielomianów jednorodnychstopnia d w n zmiennych. Oznaczmy przez X := vd(Cn) ⊂ W zbiór ld powszystkich l ∈ Cn, czyli zbiór d-tych pot¦g form linowych. Zauwa»my, »eewaluacja formy linowej w punkcie jest operacj¡ do±¢ tani¡. Maj¡c dan¡p = ld oraz n-tk¦ liczb zespolonych a = (a1, . . . , an), mo»emy podstawi¢ l(a)i kolejno wyliczy¢ l(a)d = l(a)bd/2c · l(a)dd/2e. To oznacza, »e stopie« skom-plikowania ewaluacji jest co najwy»ej ∼ n log2 d w tym przypadku. Zatemzªo»no±¢ ewaluacji wielomianu p wynosi co najwy»ej ∼ rX(p) · n log2 d.

W tym duchu, ranga wielomianu mierzy obliczeniow¡ zªo»ono±¢

ewaluacji wielomianów.

7

Warto wspomnie¢, »e w przypadku wielomianów jednorodnych ranga jestrównie» nazywana rang¡ Waringa w hoªdzie matematykowi E. Waringowi,który w XVIII wieku zajmowaª si¦ przedstawianiem liczb caªkowitych jakosumy pot¦g, zobacz prac¦ przegl¡dow¡ [VW02].

B.1.3 Rozmaito±ci siecznych i ranga brzegowa

We wszystkich zastowaniach wymienionych wy»ej zbiór X jest niezmienniczyze wzgl¦du na przeskalowania i jest rozmaito±ci¡ a�niczn¡, czyli zbioremdomkni¦tym w W , który mo»na opisa¢ równaniami wielomianowymi.

Z tych dwóch zaªo»e« wynika, »e X jest sto»kiem a�niczym rzutowejrozmaito±ci X ⊂ PW , z któr¡ jest znacznie wygodniej pracowa¢, gdy» mawªasno±ci zwartej przestrzeni topologicznej.

Od tej pory b¦dziemy rozwa»a¢ rozmaito±¢ rzutow¡ X ⊂ PW , a notacjai sformuªowania twierdze« b¦d¡ w wersji rzutowej. Czytelnik nie przyzwy-czajony do geometrii algebraicznej mo»e mie¢ na uwadze wy»ej opisane przy-kªady: zbiór tensorów prostych oraz zbiór pot¦g form liniowych lub podobnepodprzestrzenie przestrzeni tensorów.

Mo»emy zastosowa¢ de�nicj¦ X-rangi równie» do p ∈ PW , a wi¦c rX(p)jest minimaln¡ liczb¡ caªkowit¡ r, tak¡, »e p ∈ 〈x1, . . . , xr〉 dla pewnychxi ∈ X. Tu 〈R〉 oznacza rozpi¦cie rzutowej przestrzeni liniowej, czyli naj-mniejszej podprzestrzeni Pk ⊂ PW zawieraj¡cej R. Na razie R ⊂ PW jestsko«czonym zbiorem, lecz mo»e by¢ równie» rozmaito±ci¡ rzutow¡ lub pod-schematem przestrzeni rzutowej.

De�niujemy r-t¡ rozmaito±¢ siecznych rozmaito±ci X jako domkni¦ciesumy wszystkich podprzestrzeni linowych rozpi¦tych przez r punktów z X:

σr(X) :=⋃{〈x1, . . . , xr〉 : xi ∈ X} ⊂ PW.

Rozmaito±¢ siecznych jest wi¦c domkni¦ciem zbioru punktów rangi co najwy-»ej r. W szczególno±ci proste styczne do X s¡ granicami prostych siecznych,zatem punkty zanurzonej przestrzeni stycznej do X w gªadkim punkcie za-wieraj¡ si¦ w σ2(X), jednak zwykle punkty tam»e maj¡ rang¦ wy»sz¡ ni»2.

Wobec tego straty�kacjaW przez rang¦ mo»e by¢ bardzo skomplikowana.Jest to motywacj¡ dla przyj¦cia nast¦puj¡cej de�nicji. Niech p ∈ PW (lub p ∈W ). De�niujemy rX(p) jako X-rang¦ brzegow¡ punktu p, czyli minimaln¡liczb¦ naturalna r, taka, »e p ∈ σr(X) (lub [p] ∈ σr(X), gdzie [p] ∈ PW jestklas¡ p ∈ W w przestrzeni rzutowej; przyjmujemy, »e rX(p) = rX(p) = 0, gdyp = 0, lecz nie b¦dziemy tego u»ywa¢ w niniejszej rozprawie). Innymi sªowy,X-ranga brzegowa punktu p to najmniejsza liczba natularna r taka, »e p

8

przybli»a si¦ przez kombinacje liniowe r punktów zX. Zawsze rX(p) ≤ rX(p).W wielu zastosowaniach wystarczaj¡cy jest przybli»ony wynik, wi¦c rangabrzegowa jest interesuj¡c¡ i wa»n¡ wielko±ci¡. Jako przykªad wró¢my domno»enia macierzy: dobre ograniczenie na rang¦ brzegow¡ mo»e posªu»y¢ doszybkiego pomno»enia macierzy z dowolnie zadan¡ dokªadno±ci¡.

W mojej pracy zajmowaªem si¦ szczególnymi przypadkami czterech pro-blemów:

(i) Wyznaczy¢ X-rang¦ i X-rang¦ brzegow¡ punktów.

(ii) Znale¹¢ rozkªad minimalny.

(iii) Znale¹¢ równania opisuj¡ce rozmaito±ci siecznych.

(iv) Policzy¢ wymiary rozmaito±ci siecznych.

B.2 Przegl¡d wyników rozprawy

B.2.1 Równania de�niuj¡ce rozmaito±ci siecznych do zanurze« Ve-

ronese

Niech X ⊂ PV b¦dzie rozmaito±ci¡ rzutow¡. Niech vd : PV → P(SdV ) b¦dzieodwzorowaniem Veronese zde�niowanym nast¦puj¡cym wzorem:

vd([`]) := [`d].

Rozwa»my vd(X) ⊂ P(SdV ), czyli zanurzenie VeroneseX. Badamy równaniade�niuj¡ce rozmaito±¢ siecznych σr(vd(X)), gdy d jest wystarczaj¡co du»e,wzgl¦dem r oraz niezmienników X. Wa»nym, interesuj¡cym nas szczególnymprzypadkiem jest X = PV � wtedy przedmiotem bada« jest rozmaito±¢siecznych rozmaito±ci Veronese.

By rozwi¡za¢ ten problem w ogólno±ci potrzebujemy metod otrzymywaniarówna« rozmaito±ci siecznych u»ywaj¡c wªasno±ci X. Wspomnijmy trzy znich:

{0} Je±li rozmaito±¢ Y ⊂ PW jest zawarta w podprzestrzeni liniowej PW ′,to σr(Y ) ⊂ PW ′ dla wszystkich r. Innymi sªowy, je±li w ideale rozma-ito±ci Y jest równanie liniowe, to to samo równanie nale»y te» do ideaªuσr(Y ).

{1} Je±li X ⊂ Y ⊂ PW , to σr(X) ⊂ σr(Y ).

{2} Przypu±cmy, »e istnieje macierzM , której wyrazy s¡ formami liniowymiz W , oraz wszystkie 2 × 2 minory M zeruj¡ si¦ na Y (czyli dowolny

9

punkt y ∈ Y ma rang¦ co najwy»ej 1: rk(M(y)) ≤ 1) , wtedy wszystkie(r + 1) × (r + 1) minory macierzy M zeruj¡ si¦ σr(Y ) (czyli dowolnypunkt p ∈ σr(Y ) ma rang¦ co najwy»ej r: rk(M(p)) ≤ r).

Niech X 6= PV . Dla du»ych d rozmaito±¢ vd(X) jest zawarta w pewnejpodprzestrzeni linowej 〈vd(X)〉 ⊂ P(SdV ), równej zbiorowi zer wielomianówstopnia d zeruj¡cych si¦ na X.

U»ywamy tutaj naturalnego izomor�zmu Sd(V ∗) ' (SdV )∗ = S1(SdV )∗,a wi¦c faktu, »e formy stopnia d na przestrzeni otaczaj¡cej X s¡ formamiliniowymi na przestrzeni otaczaj¡cej vd(X). Oprócz tego, vd(X) ⊂ vd(PV ),wi¦c ka»de równanie σr(vd(PV )) prowadzi do równania σr(vd(X)). Ideaªwielomianów zeruj¡cych si¦ na vd(PV ) jest generowany przez 2 × 2 minoryi-tej macierzy katalektycznej Mi, dla dowolnego i ∈ 1, . . . , d − 1. Macierzekatalektyczne s¡ macierzami form liniowych, wi¦c mo»na stosowa¢ {2}. Wefekcie stosuj¡c {0}, {1}, i {2} otrzymujemy:

σr(vd(X)) ⊂ Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi)) ∩ 〈vd(X)〉. (B.1)

Tu Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi)) oznacza zbiór zer (r+1)× (r+1) minorówMi,czyli macierzy katalektycznej.

David Eisenbud zastanawiaª si¦ czy zawieranie (B.1) jest równo±ci¡:

Pytanie B.2 (Eisenbud). Czy dla ustalonego X i r, o ile d � 0, powy»-sze równania wystarczaj¡ do wyznaczenia rozmaito±ci siecznych σr(vd(X))?Czyli czy zawieranie (B.1) jest równo±ci¡?

W artykule [BGL13, �1.2] znajdziemy histori¦ i motywacj¦ problemu orazjego oryginaln¡ (mocniejsz¡) wersj¦. Hipoteza autorstwa Eisenbuda, Kohai Stillmana postawiona w artykule [EKS88] dotyczy przypadku krzywychrzutowych i postuluje odpowied¹ pozytywn¡ w tym przypadku. W pracach[BGL13] i [BB14] udaªo nam si¦ otrzyma¢ peªn¡ odpowied¹, jednak z ogra-niczeniem do równa« teorio-zbiorowych. W szczególno±ci udowodnili±my

Twierdzenie B.3 ([BB14, Cor. 1.9]). Niech X ⊂ PV b¦dzie rozmaito±ci¡rzutow¡, a r ≥ 1 liczb¡ naturaln¡. Mówimy, »e (?) zachodzi je±li

(?) ka»dy zerowymiarowy podschemat Gorensteina w X dªugo±ci co najwy-»ej r, jest wygªadzalny w X.

Zaªó»my, »e (?) zachodzi. Wtedy istnieje liczba caªkowita d0 = d0(r,X), taka,»e dla dowolnego d ≥ d0 oraz r ≤ i ≤ d − r zachodzi nast¦puj¡ca równo±¢zbiorów:

σr(vd(X)) = Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi)) ∩ 〈vd(X)〉.

10

I odwrotnie: je±li (?) nie zachodzi, to dla dowolnego d ≥ 2r−1 mamy teorio-zbiorowo

σr(vd(X)) 〈vd(X)〉 ∩d−1⋂i=1

Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi)).

Liczb¦ d0 w tym twierdzeniu mo»na wyznaczy¢ znaj¡c r oraz wielomianHilberta X. Jest ona równa max {2r,Got(hX) + r − 1}, gdzie Got(hX) jestliczb¡ Gotzmanna wielomianu Hilberta X (patrz [BGL13, Prop. 2.1.2]). Wa-runek (?) zale»y jedynie od wewn¦trznej geomtriiX i nie zale»y od wybranegozanurzenia X ⊂ PV . Dokªadniej, zale»y jedynie od r, dimX oraz osobliwo-±ci X. Je±li X jest gªadkie (na przykªad X = PV ), to (?) zachodzi je±lidimX ≤ 3 lub r ≤ 10 (a wªa±ciwie r ≤ 13, wobec ostatnich wyników autor-stwa Gianfranco Casnati, Joachima Jelisiejewa i Roberto Notari, [CJN14]).Z drugiej strony, je±li dimX ≥ 4 i r jest dostatecznie du»e (r ≥ 14 wystarczyo ile dimX ≥ 6), wtedy (?) nie zachodzi. Podobnie, gdy X jest osobliwe towarunek ten cz¦sto nie zachodzi.

W szczególno±ci, w pracy [BGL13] konstruujemy przykªady osobliwychkrzywch nie speªniaj¡cych (?) dla »adnego r ≥ 2.

Powinni±my tu zwróci¢ uwag¦, »e szczególne przypadki Twierdzenia B.3byªy znane wcze±niej, oraz w niektórych przypadkach mo»na powiedzie¢znacznie wi¦cej. Przypadek r = 1 (gdy rozwa»amy po prostu zanurzenieVeronese lub bardziej ogólnie zanurzenie przez dostatecznie szeroki system li-niowy) jest obiektem intensywnych bada« od czasów Mumforda, patrz [SS09],gdzie znajduj¡ si¦ wspóªczesne wyniki na ten temat. Przypadek krzywychdimX = 1 stanowi hipotez¦ autorstwa Eisenbud, Koh i Stillman [EKS88],a dowód przypadku gªadkiego mo»na znale¹¢ w [Ravi94] i jego wzmocnieniew [Gine10]. Wcze±niej rozwi¡zany problem w przypadku r = 2 i X = PWzostaª wzmocniony do wesji ideaªowej w [Raic10].

W ksi¡»ce [IK99], znajdziemy negatywn¡ odpowied¹ na pytanie B.2, (wy-nika ona równie» z naszego twierdzenia B.3) lecz dowód opiera si¦ na pracy[CI12], która zostaªa opublikowana na serwerze arxiv dopiero po interne-towym udost¦pnieniu prac [BGL13] i [BB14]. We wst¦pie pracy [BGL13]omawiamy t¦ tematyk¦ dokªadniej.

Nasze podej±cie do pytania B.2 dzieli si¦ na dwa nast¦puj¡ce zgadnienia.

Pytanie B.4. Czy dla ustalonego podzbioru X ⊂ PW oraz r, je±li d � 0,zachodzi równo±¢ zbiorów

σr(vd(X)) = 〈vd(X)〉 ∩ σr(vd(PW ))?

11

Pytanie B.5. Czy dla ustalonych n,r oraz d� 0, zachodzi równo±¢ zbiorówprzy pewnym i:

σr(vd(Pn)) = Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi))?

Je±li odpowied¹ na pytania B.4 i B.5 jest pozytywna, to w rezultacieotrzymujemy pozytywn¡ odpowied¹ na B.2. Z drugiej strony, je±li którakol-wiek z nich ma negatywn¡ odpowied¹, to równie» negatywna jest odpowied¹na B.2. Pytanie B.4 jest gªównym tematem [BGL13], podczas gdy B.5 roz-wa»amy w [BB14]. Twierdzenie B.3 zostaªo otrzymane jako wynik prac natymi dwoma pytaniami. Omówimy teraz krótko u»yte przez nas metody.

W [BGL13, Thm 1.1] dowodzimy, »e odpowied¹ na B.4 jest pozytywna,o ile X jest gªadkie.

Twierdzenie B.6. Niech X ⊂ Pn b¦dzie gªadk¡ podrozmaito±ci¡ i niechr ∈ N. Dla dowolnego d ≥ r − 1 +Got(hX), prawdziwa jest równo±¢ zbiorów

σr(vd(X)) =(σr(vd(Pn)) ∩ 〈vd(X)〉

)red,

gdzie (·)red oznacza zredukowanie schematu.

Najwa»niejszym pomysªem w dowodzie jest poni»szy lemat.

Lemat B.7 ([BGL13, Lem. 1.2]). Niech X ⊂ Pn b¦dzie podschematem, d ≥r−1+Got(hX), za± R ⊂ Pn zerowymiarowym schematem dªugo±ci co najwy»ejr. Wtedy 〈vd(R)〉 ∩ 〈vd(X)〉 = 〈vd(R ∩X)〉.

Stosujemy powy»szy lemat do dowodu twierdzenia B.6 w nast¦puj¡cysposób. Niech p ∈

(σr(vd(Pn)) ∩ 〈vd(X)〉

)nale»y do siecznej Pr−1 rozpi¦-

tej przez r ró»nych punktów z vd(Pn). Oznaczmy przez R zerowymiarowyschemat skªadaj¡cy si¦ z r punktów rozwa»anych w Pn, a wi¦c p ∈ 〈vd(R)〉.Wtedy z lematu B.7, mamy p ∈ 〈vd(R ∩X)〉, czyli p jest na siecznej Pt−1 dovd(X), gdzie t = #(R ∩X) ≤ r.

Wi¦cej pracy wymaga przypadek, gdy p nie le»y na wªa±ciwej siecznejPr−1, lecz pomysª w swojej naturze jest ten sam. Pojawiaj¡ si¦ problemyzwi¡zane z wygªadzalno±ci¡ schematów sko«czonych, i pokazujemy, »e wtwierdzeniu B.6 potrzebujemy zaªo»enia o gªadko±ci X.

Twierdzenie B.8 ([BGL13, Thm 1.3]). Dla dowolnego q oraz r ≥ 2, istniejenieprzywiedlna, osobliwa rozmaito±¢ X ⊂ PV taka, »e

σr(vd(X)) 6=(σr(vd(Pn)) ∩ 〈vd(X)〉

)red

jako zbiory, za± σr(vd(X)) nie jest zde�niowane przez równania stopnia conajwy»ej q jako zbiór, dla wszystkich d ≥ 2r − 1.

12

W pracy [BGL13] podali±my konkretne przykªady osobliwych krzywychspeªniaj¡cych tez¦ Twierdzenia B.8, tym samym dowodzimy, »e hipotezaEisenbuda-Koha-Stillmana jest nieprawdziwa dla krzywych osobliwych.

Celem znalezienia odpowiedzi na pytanie B.5, w pracy [BB14] wprowa-dzili±my r-t¡ rozmaito±¢ kaktusow¡ rozmaito±ci X ⊂ PW , oznaczan¡ Kr (X).Rozmaito±¢ kaktusowa Kr (X) jest domkni¦ciem sumy przestrzeni liniowychrozpinanych na R w sposób schemato-teoretyczny, gdzie R przebiega wszyst-kie zerowymiarowe podschematy X dªugo±ci co najwy»ej r.

Ta rozmaito±¢ zawiera rozmaito±¢ siecznych i jest zawarta zbiorze zerminorów:

σr(vd(PV )

)⊂ Kr (vd(PV )) ⊂ Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi)).

Zatem w naturalny sposób badanie zawierania (B.1) dla X = PV mo»napodzieli¢ na dwa kroki. Nast¦puj¡ce twierdzenie wyja±nia jaka jest zale»no±¢pomi¦dzy równo±ci¡ σr

(vd(X)

)= Kr (vd(X)) a wygªadzalno±ci¡ zerowymia-

rowych schematów Gorensteina

Twierdzenie B.9 ([BB14, Thm 1.4]). We¹my X ⊂ PV rozmaito±¢ rzutow¡oraz r ≥ 1 pewna liczba naturalna. Niech warunek (?) b¦dzie taki jak wtwierdzeniu B.3. Wtedy

(i) Je±li (?) zachodzi, to σr(X) = Kr (X).

(ii) Je±li σr(vd(X)

)= Kr (vd(X)) zachodzi dla pewnego d ≥ 2r − 1, to (?)

jest prawdziwe.

Skoro (?) nie zale»y od zanurzeniaX, to w sytuacji (i), równie» σr(vd(X)

)=

Kr (vd(X)) dla dowolnego d.Nast¦pnym krokiem jest zrozumienie, kiedy

Kr (vd(PV )) = Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi))

jako zbiory. Twierdzimy, »e dla wystarczaj¡co du»ych d, ta równo±¢ jestzawsze prawdziwa.

Twierdzenie B.10 ([BB14, Thm 1.5]). Niech d ≥ 2r i r ≤ i ≤ d−r. WtedyKr (vd(PV )) = Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi)) jako zbiory.

Dowód tego twierdzenia jest efektywny w tym sensie, »e maj¡c danypunkt [p] ∈ Z(Minors(r+1)×(r+1)(Mi)), mo»emy wyznaczy¢ jedyny, najmniej-szy schemat R ⊂ PV , taki, »e [p] ∈ 〈vd(R)〉. Patrz [BB14, Thm 1.6].

13

B.2.2 Ranga i ranga brzegowa

W tym rozdziale streszcz¦ dwa artykuªy napisane wspólnie z Josephem Lands-bergiem. Du»a cz¦±¢ pierwszej pracy [BL13] ma charakter przegl¡dowy,nale»y zauwa»y¢, »e zestawia wyniki wielu ró»nych zespoªów badawczych.Przedstawimy krótko zawarto±¢ pracy [BL13], nast¦pnie dokªadniej omówimywyniki z [BL14].

W artykule [BL13] podajemy nowe ograniczenie górne na maksymaln¡rang¦ tensora. Jako wniosek otrzymujemy nowe ograniczenie górne na X-rang¦ w ogólno±ci, patrz [BL13, Prop. 3.3 and Cor. 3.5].

Pokazujemy na przykªad, »e maksymalna ranga tensora w Cn ⊗Cn ⊗Cn

jest nie wi¦ksza ni» n2−n+1. (Niestety przez literówk¦ w [BL13] podali±my,»e ograniczenie wynosi n2 − n− 1, lecz jest ono zbyt mocne). Do tego czasunajlepszym znanym ograniczeniem byªo n2. Oprócz tego udaªo nam si¦ udo-wodni¢, »e hipoteza Comona w wersji dla cz¦±ciowo symetrycznych tensorówzachodzi w C2 ⊗ Cb ⊗ Cb.

Dla tensorów w C2 ⊗ Cb ⊗ Cc, gdy b ≤ 3, dziaªanie GL2 × GLb × GLc

ma tylko sko«czenie wiele orbit. Dla punktów w ka»dej orbicie podajemygeometryczn¡ interpretacj¦, wyznacamy jego rang¦ i rang¦ brzegow¡.

Ju» Terracini wprowadziª poj¦cie rangi brzegowej podprzestrzeni. Zde-�niowali±my analogiczne poj¦cie rangi podprzestrzeni, wymieniamy znanewyniki z ni¡ powi¡zane i dowodzimy podstawowych wªasno±ci. Kluczemdo badania tensorów w C2 ⊗ Cb ⊗ Cc jest posta¢ normalna Kroneckera dlap¦ku macierzy, któr¡ omawiamy jak wst¦p do dowodu twierdzenia Grigoriev-Ja'Ja'-Teicherta dotycz¡cego rangi p¦ków. To twierdzenie uogólnili±my naprzypadek p¦ków macierzy symetrycznych [BL13, Thm 7.1].

W pracy [BL14] badamy szczegóªowo trzeci¡ rozmaito±¢ siecznych pro-duktu Segre przestrzeni rzutowych i innych rozmaito±ci jednorodnych. Jakomotywacj¦ przytoczmy nast¦puj¡cy fakt.

Stwierdzenie B.11 ([BL14, Prop. 1.1]). Niech X = Seg(PA1×· · ·×PAn) ⊂P(A1 ⊗ · · · ⊗ An) b¦dzie rozmaito±ci¡ Segre. Postaci normalne dla punktówx ∈ σ2(X) s¡ nast¦puj¡ce

(a) x = a11 ⊗ · · · ⊗ an1 dla punktu z X, który ma rang¦ 1,

(b) x = a11⊗· · ·⊗an1+a12⊗· · ·⊗an2 dla punktu na prostej siecznej X (wyma-gamy by co najmniej dwa ai2 byªy liniowo niezale»ne od odpowiadaj¡cychim ai1), który ma rang¦ 2,

(c) oraz dla ka»dego J ⊆ {1, . . . , n}, |J | > 2, posta¢ normalna

x =∑j∈J

a11 ⊗ · · · ⊗ aj−11 ⊗ aj2 ⊗ a

j+11 ⊗ · · · ⊗ an1 (B.12)

14

gdzie ka»dy aj2 nie jest zale»ny od odpowiadaj¡cych aj1. W tym przypadku

ranga wynosi |J |.

W szczególno±ci, wszystkie liczby od 1 to n wyst¦puj¡ jako rangi elementówσ2(X).

Gªównym wynikiem pracy [BL14] jest analogiczna klasy�kacja punktówna trzeciej rozmaito±ci siecznych do produktu Segre.

Twierdzenie B.13 ([BL14, Thm 1.2]). Zaªó»my n ≥ 3 i niech X := Seg(PA1×· · · × PAn). Przyjmijmy p = [v] ∈ σ3(X) \ σ2(X). Wtedy v jest wektoremjednej z nast¦puj¡cych postaci:

(i) v = x+ y + z, gdzie [x], [y], [z] ∈ X,

(ii) v = x′ + y, gdzie [x], [y] ∈ X oraz x′ ∈ T[x]X, zanurzonej przestrzenistycznej [x],

(iii) v = x′ + x′′, gdzie [x(t)] ⊂ X jest krzyw¡ oraz x′ = x′(0), x′′ = x′′(0),lub

(iv) v = x′ + y′, gdzie [x], [y] ∈ X s¡ ró»nymi punktami le»¡cymi na jednejprostej zawartej w X, a x′ ∈ T[x]X oraz y′ ∈ T[y]X.

Punkty typu (i) zawieraj¡ otwarty podzbiór Zariskiego w σ3(X)\σ2(X). Je±lidimAi ≥ 3, to punkty typu (ii) maj¡ kowymiar jeden w σ3(X), te typu (iii)s¡ zawarte w domkni¦ciu tych o typie (ii) i maj¡ kowymiar dwa w σ3(X),natomiast punkty typu (iv) zawieraj¡ si¦ w domkni¦ciu zbioru punktów typu(iii) i maj¡ kowymiar cztery w σ3(X). Istnieje n ró»nych skªadowych punktówtypu (iv). Ogólny punkt dowolnego typu nie jest punktem »adnego innegotypu.

Gdy n = 2, wszystkie punkty w σ3(Seg(PA1×PA2))\σ2(Seg(PA1×PA2))s¡ typu (i).

Nast¦pnie ograniczamy zbiór osobliwy trzeciej rozmaito±ci siecznych. Jestto umotywowane nast¦puj¡cym wynikiem dla drugiej rozmaito±ci siecznych:

Twierdzenie B.14 ([BL14, Thm 1.3]). Ogólny punkt τ(Seg(PA×PB×PC)),tzn. punkt o normalnej postaci (B.12), jest gªadkim punktem σ2(Seg(PA ×PB × PC)). W szczególno±ci

codim(σ2(Seg(PA× PB × PC))sing, σ2(Seg(PA× PB × PC))) ≥ 2.

Dla trzeciej rozmaito±ci siecznych mamy:

15

Twierdzenie B.15 ([BL14, Thm 1.4]). Niech p ∈ σ3(Seg(PA × PB ×PC)). Jesli p jest ogólnym punktem typu (ii) lub (iii), lub ogólnym punk-tem którejkolwiek skªadowej punktów postaci (iv), to p jest gªadkim punktemσ3(Seg(PA × PB × PC)). Co wi¦cej, je±li dimA, dimB, dimC ≥ 3, oraz pjest ogólnym punktem w zbiorze punktów zawartych w jakiej± P(C2⊗C3⊗C3),to p jest gªadkim punktem σ3(Seg(PA×PB×PC)) i podobnie dla zmienionejkolejno±ci A, B, C.

W szczególno±ci codim(σ3(Seg(PA × PB × PC))sing, σ3(Seg(PA × PB ×PC))) ≥ 2.

Formy normalne dla Twierdzenia B.13, gdy n = 3, s¡ nast¦puj¡ce:

(i) a1 ⊗ b1 ⊗ c1 + a2 ⊗ b2 ⊗ c2 + a3 ⊗ b3 ⊗ c3

(ii) a1 ⊗ b1 ⊗ c2 + a1 ⊗ b2 ⊗ c1 + a2 ⊗ b1 ⊗ c1 + a3 ⊗ b3 ⊗ c3

(iii) a1⊗b2⊗c2+a2⊗b1⊗c2+a2⊗b2⊗c1+a1⊗b1⊗c3+a1⊗b3⊗c1+a3⊗b1⊗c1

(iv) a2 ⊗ b1 ⊗ c2 + a2 ⊗ b2 ⊗ c1 + a1 ⊗ b1 ⊗ c3 + a1 ⊗ b3 ⊗ c1 + a3 ⊗ b1 ⊗ c1.

Dla typu (iv) s¡ dwie inne formy normalne, w których rola a jest zast¡-piona przez rol¦ b i c. Tutaj aj, bj, cj nie musz¡ by¢ niezale»nymi wektorami.W [BL14, (1.2)�(1.5)] wypisujemy równie» formy normalne dla wszystkichwarto±ci n. Z tych form normalnych wynika:

Wniosek B.16 ([BL14, Cor. 1.6]). Istnieje wyª¡cznie sko«czenie wiele orbitdziaªania GL(A1)× · · · ×GL(An) na σ3(Seg(PA1 × · · · × PAn)).

W przypadku o trzech czynnikach jest dokªadnie 39 orbit, które wypisu-jemy i opisujemy dokªadnie w [BL14, �6]. Tam równie» wyznaczamy rangipunktów na σ3(Seg(PA× PB × PC)).

Dodatkowo, w [BL14, Thm 1.11] pokazujemy analog Twierdzenia B.13dla trzeciej rozmaito±ci siecznych pewnej klasy rozmaito±ci jednorodnych,tzw. �generalized cominuscule varieties�. Klasa ta zawiera Grassmanniany irozmaito±ci spinorowe.

B.2.3 Rozkªady jednomianów

Niech F ∈ C[x0, . . . , xn] b¦dzie jednorodnym wielomianem stopnia d. Do-wolne wyra»enie F = `1

d + · · · + `rd takie, »e r = rvd(Pn)(F ) nazywamy

rozkªadem Waringa.Na przykªad, xy = 1

4(x + y)2 − 1

4(x − y)2 oraz xyz = 1

24(x + y + z)3 −

124(x + y − z)3 − 1

24(x − y + z)3 + 1

24(x − y − z)3. Podobne rozkªady mo»na

wskaza¢ dla dowolnego jednomianu. Nie s¡ one jednoznaczne, gdy» mo»na

16

pozamienia¢ zmienne oraz przeskalowa¢ je: dla xy, podstawmy za (x, y) wy-ra»enie (sx, 1

sy) a dla xyz, podstawmy za (x, y, z) wyra»enie (sx, ty, 1

stz).

Dla dowolnego jednomianu F = xd00 · · ·xdnn , mo»na przeskalowa¢ zmienne xiu»ywaj¡c λi takich, »e

∏λdii = 1. Nie zmienia to jednomianu, ale wpªywa

na rozkªad Waringa. St¡d pojawia si¦ naturalne pytanie, czy wszystkie roz-kªady Waringa powstaj¡ w ten sposób. Innymi sªowy, czy rozkªad Waringajednomianu jest jednoznaczny z dokªadno±ci¡ do przeskalowania zmiennych.

Wcze±niejsze badania rozkªadów Waringa rozwa»aªy problem jednoznacz-no±ci, w szczególno±ci XIX wieczne Twierdzenie Sylvestera o Pi¦ciok¡cie, orazbardziej wspóªcze±nie [RS00], [Mell09]. Gªównie koncentrowaªy si¦ na wªa-±ciwej jednoznaczno±ci (a nie z dokªadno±ci¡ do przeskalowa«) rozkªadówWaringa ogólnej formy. W wi¦kszej ogólno±ci, dla F ∈ C[x0, . . . , xn] jed-norodnego wielomiany stopnia d oraz r = rvd(X)(F ), rozmaito±¢ sum pot¦gVSP(F ) jest domkni¦ciem w Hilbr(Pn) zbioru VSP◦ zredukowanych schema-tów sko«czonych {[`1], . . . , [`r]} takich, »e F = `d1 + · · ·+ `dr . Okazuje si¦, »es¡ to interesuj¡ce rozmaito±ci, zobacz [Muka92], [RS00], [IR01].

W pracy [BBT13] opisujemy VSP(F ) i wyznaczamy jej wymiar, gdyF = xd00 · · ·xdnn jest jednomianem. Odpowiadamy na pytanie o jednoznacz-no±¢ rozkªadu Waringa z dokªadno±ci¡ do przeskalowa« zmiennych, któresprowadza si¦ do wyznaczenia czy dziaªanie torusa na VSP◦(F ) jest transy-tywne.

Zarówno [RS11] jak i [CCG12] zauwa»yli, »e rozkªad Waringa F = `d1 +· · · + `dr mo»na otrzyma¢ z {[`1], . . . , [`r]}, które jest zupeªnym przeci¦ciem.Pokazali±my, »e w rzeczy samej ka»dy rozkªad Waringa F jest zupeªnymprzeci¦ciem pewnej postaci.

Twierdzenie B.17 ([BBT13, Thm 1]). Zaªó»my, »e F ∈ C[x0, . . . , xn] jestjednomianem F = xd00 · · · xdnn , gdzie 0 < d0 ≤ · · · ≤ dn, d = d0 + · · · + dn,oraz F = `1

d + · · · + `rd dla r = rvd(X)(F ). Niech I ⊂ C[α0, . . . , αn] b¦dzie

jednorodnym ideaªem funkcji znikaj¡cych na Q = {[`1], . . . , [`r]} ⊂ Pn. WtedyI jest zupeªnym przeci¦ciem stopni d1 + 1, . . . , dn + 1, generowanym przez:

α1d1+1 − φ1α0

d0+1, . . . , αndn+1 − φnα0

d0+1

dla pewnych jednorodnych wielomianów φi ∈ C[α0, . . . , αn] stopni di − d0.

Z tego twierdzenia i z pewnych dodatkowych wªasno±ci wielomianów φi

wyliczamy wymiar rozmaito±ci sum pot¦g dla jednomianu.

Twierdzenie B.18 ([BBT13, Thm 2]). Zaªó»my, »e F ∈ C[x0, . . . , xn] jestjednomianem F = xd00 · · ·xdnn , dla którego 0 < d0 ≤ · · · ≤ dn. Niech hb¦dzie funkcj¡ Hilberta C[x0, . . . , xn]/(xd1+1

1 , . . . , xdn+1n ). Wtedy VSP(F ) jest

nieprzywiedlne oraz dimVSP(F ) = h(d1 − d0) + · · ·+ h(dn − d0).

17

Ostatecznie odpowiadamy na pytanie o jednoznaczno±¢.

Twierdzenie B.19 ([BBT13, Thm 4]). Zaªó»my, »e F ∈ C[x0, . . . , xn] jestjednomianem F = xd00 · · ·xdnn , dla którego 0 < d0 ≤ · · · ≤ dn. Niech(C∗)n+1 dziaªa na C[x0, . . . , xn] przez skalowanie zmiennych. Dziaªanie n-wymiarowego podtorusa T = {(λ0, . . . , λn) |

∏λdii = 1} na VSP◦(F ) jest

tranzytywne wtedy i tylko wtedy, gdy d0 = · · · = dn.

B.2.4 Wymiary rozmaito±ci siecznych do Grassmannianów Lagran-

»owskich

Od dawna matematycy staraj¡ si¦ zrozumie¢ i wyliczy¢ wªasno±ci siecznychdo pewnych rozmaito±ci, w szczególno±ci do rozmaito±ci jednorodnych w ichjednorodnych zanurzeniach. Wymiar jest bodaj najprostsz¡ z tych bada-nych wªasno±ci, jednak»e nawet dla najprostszych przestrzeni jednorodnychwyliczenie wymiaru rozmaito±ci siecznych jest trudne i powi¡zana z tym lite-ratura jest bardzo obszerna. Sªynna klasy�kacja defektywnych siecznych dozanurze« Veronese Pn zostaªa uko«czona w serii prac Alexandera i Hirscho-witza [AH95]. Istniej¡ hipotetycznie peªne listy defektywnych siecznych doproduktów Segre Pn1×· · ·×Pnk [AOP09] oraz do zwykªych GrassmannianówG(k, n) (zobacz [AOP12], [CGG05] i [BDdG07]), natomiast dla rozmaito±ciSegre-Veronese nie istnieje nawet hipotetyczna klasy�kacja (zobacz [AB09] iliczne odno±niki tam»e).

W pracy [BB11] podj¦li±my badania wymiarów rozmaito±ci siecznych doGrassmannianów Lagran»owskich LG(n, 2n) w ich najmniejszych zanurze-niach jednorodnych. S¡ to rozmaito±ci rzutowe parametryzuj¡ce izotropowepodprzestrzenie wymiaru n w symplektycznej przestrzeni wektorowej V wy-miaru 2n.

Twierdzenie B.20. Przypu±¢my, »e n ≥ 4 oraz r = 3 or r = 4. Wtedy:

• Je±li n = 4, r = 3, to dimσ3(LG(4, 8)) = 31 = (3 ∗ 11− 1)− 1.

• Je±li n = 4, r = 4, to dimσ4(LG(4, 8)) = 39 = (4 ∗ 11− 1)− 4.

• Je±li n ≥ 5, to σ3(LG(n, 2n)) i σ4(LG(n, 2n)) zawsze maj¡ spodziewanywymiar, a konkretnie r(d+ 1)− 1, gdzie d = dimLG(n, 2n) =

(n+12

)Przypadki, gdy n ≤ 3 lub r = 2, równie» s¡ przedstawione w [BB11],

jednak»e byªy one znane wcze±niej.

18

B.3 Zastosowania i dalsze prace nad rozmaito±ciami siecz-

nych

Habilitant i jego wspóªpracownicy kontynuuj¡ prace w tematyce rozmaito±cisiecznych i rang. Dwa kolejne artykuªy s¡ ju» gotowe [BB13b], [BBKT13], akilka projektów jest w trakcie realizacji.

Zastosowania rozprawy habilitacyjnej obejmuj¡ mi¦dzy innymi geome-tri¦ algebraiczn¡, algebr¦ i �zyk¦ teoretyczn¡. Artykuªy [BGL13] i [BB14]zainspirowaªy wiele bada« innych grup naukowców. Gªówny sukces tych ar-tykuªów bierze si¦ z wprowadzenia i podkre±lenia roli metod teorii schematówsko«czonych i ich wygªadzalno±ci w pracach nad rozmaito±ciami siecznych irozkªadami wielomianów. Prowadzi to naturalnie do poj¦¢ rozmaito±ci kak-tusowej and rangi kaktusowej, które s¡ obecnie s¡ intensywnie badane i wy-korzystywane � zobacz na przykªad [BR13], [RS11], [BJMR12], [BBM12],[CI12]. Jako przewag¦ rangi kaktusowej (a tak»e jej wygªadzalnego analogu)wymienimy wzgl¦dn¡ ªatwo±¢ jej badania, oraz to, »e zadaje ona ograniczeniana rang¦ i rang¦ brzegow¡. Równie» artykuª badawczy [BL14] oraz opracowa-nie [BL13] wpªyn¦ªy na wspóªczesne badania w tej tematyce. Poza zastosowa-niami w geometrii algebraicznej, zainspirowaªy one wspóªprace matematykai �zyka [ST13] oraz nowe pomysªy w Fizyce Matematycznej [HLT14].

C Badania naukowe Buczy«skiego nie zawarte

w habilitacji

Pozostaªe badania naukowe Buczy«skiego dotycz¡ dwóch tematów: rozma-ito±ci kontaktowych i geometrii torycznej.

W [Bucz10] konstruujemy dywizory na rozmaito±ciach kontaktowych Fano,które mog¡ si¦ przyczyni¢ do klasy�kacji tych rozmaito±ci. Wedle hipotezyLeBruna-Salamona rozmaito±ci kontaktowe Fano s¡ zawsze przestrzeniamijednorodnymi. U»ywaj¡c tych dywizorów budujemy fragmenty strukturyprzestrzeni jednorodnej na tych rozmaito±ciach. W [BP12] robimy krok wkierunku klasy�kacji kontaktowych rozmaito±ci Moishezona wymiaru 3. Po-kazujemy, »e takie rozmaito±ci o drugiej liczbie Bettiego równej 1 s¡ zawszeizomor�czne z P3.

W [BB13a] pokazujemy jak opisa¢ odwzorowania wymierne mi¦dzy dwomarozmaito±ciami torycznymi w terminach wspóªrz¦dnych Coxa. Metoda ta zo-staªa zaimplementowana w ramach pakietu do oblicze« w geomterii torycz-nej [BBKa, BBKb] w systemie Magma [BCP97]. W [BBKM13] opisujemystopnie generatorów pewnych póªgrup z gradacj¡, które s¡ wa»ne dla �loge-netyki i teorii bloków konforemnych.

19

Literatura

[AB09] Hirotachi Abo and Maria Chiara Brambilla. Secant varieties ofSegre-Veronese varieties Pm × Pn embedded by O(1, 2). Experi-ment. Math., 18(3):369�384, 2009.

[AH95] J. Alexander and A. Hirschowitz. Polynomial interpolation inseveral variables. J. Algebraic Geom., 4(2):201�222, 1995.

[AOP09] Hirotachi Abo, Giorgio Ottaviani, and Chris Peterson. Inductionfor secant varieties of Segre varieties. Trans. Amer. Math. Soc.,361(2):767�792, 2009.

[AOP12] Hirotachi Abo, Giorgio Ottaviani, and Chris Peterson. Non-defectivity of Grassmannians of planes. J. Algebraic Geom.,21(1):1�20, 2012.

[BB11] Ada Boralevi and Jarosªaw Buczy«ski. Secants of LagrangianGrassmannians. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 190(4):725�739, 2011.

[BB13a] Gavin Brown and Jarosªaw Buczy«ski. Maps of toric varieties inCox coordinates. Fund. Math., 222:213�267, 2013.

[BB13b] Weronika Buczy«ska and Jarosªaw Buczy«ski. On di�erences be-tween the border rank and the smoothable rank of a polynomial.arXiv:1305.1726, to appear in Glasgow Mathematical Journal,2013.

[BB14] Weronika Buczy«ska and Jarosªaw Buczy«ski. Secant varieties tohigh degree Veronese reembeddings, catalecticant matrices andsmoothable Gorenstein schemes. J. Algebraic Geom., 23:63�90,2014.

[BBKa] Gavin Brown, Jarosªaw Buczy«ski, and Alexander Kasprzyk.Chapter 111: Toric Geometry. In The Magma Hand-book, page 3513�3584. University of Sydney. Available fromhttp://magma.maths.usyd.edu.au/.

[BBKb] Gavin Brown, Jarosªaw Buczy«ski, and Alexander Ka-sprzyk. Chapter: Convex polytopes and polyhedra. InThe Magma Handbook. University of Sydney. Available fromhttp://magma.maths.usyd.edu.au/.

20

[BBKM13] Weronika Buczy«ska, Jarosªaw Buczy«ski, Kaie Kubjas, and Ma-teusz Michaªek. On the graph labellings arising from phylogene-tics. Cent. Eur. J. Math., 11(9):1577�1592, 2013.

[BBKT13] Weronika Buczy«ska, Jarosªaw Buczy«ski, Johannes Kleppe, andZach Teitler. Apolarity and direct sum decomposability of poly-nomials. arXiv:1307.3314, 2013.

[BBM12] Alessandra Bernardi, Jérôme Brachat, and Bernard Mourrain.A comparison of di�erent notions of ranks of symmetric tensors.arXiv: 1210.8169, 2012.

[BBT13] Weronika Buczy«ska, Jarosªaw Buczy«ski, and Zach Teitler. Wa-ring decompositions of monomials. J. Algebra, 378:45�57, 2013.

[BCP97] Wieb Bosma, John Cannon, and Catherine Playoust. TheMagma algebra system. I. The user language. J. SymbolicComput., 24(3-4):235�265, 1997. Computational algebra andnumber theory (London, 1993). Available for use on-line athttp://magma.maths.usyd.edu.au/calc/.

[BDdG07] Karin Baur, Jan Draisma, and Willem A. de Graaf. Secant di-mensions of minimal orbits: computations and conjectures. Expe-riment. Math., 16(2):239�250, 2007.

[BGL13] Jarosªaw Buczy«ski, Adam Ginensky, and J. M. Landsberg. De-terminantal equations for secant varieties and the Eisenbud-Koh-Stillman conjecture. J. Lond. Math. Soc. (2), 88(1):1�24, 2013.

[BJMR12] Alessandra Bernardi, Joachim Jelisiejew, Pedro Macias Marques,and Kristian Ranestad. Computing the cactus rank of a generalform. arXiv: 1211.7306, 2012.

[BL13] Jarosªaw Buczy«ski and J.M. Landsberg. Ranks of tensorsand a generalization of secant varieties. Linear Algebra Appl.,438(2):668�689, 2013.

[BL14] Jarosªaw Buczy«ski and J.M. Landsberg. On the third secantvariety. J Algebr Comb, 40:475�502, 2014.

[BP12] Jarosªaw Buczy«ski and Thomas Peternell. Contact Moishezonthreefolds with second Betti number one. Arch. Math. (Basel),98(5):427�431, 2012.

21

[BR13] Alessandra Bernardi and Kristian Ranestad. On the cactus rankof cubics forms. J. Symbolic Comput., 50:291�297, 2013.

[Bucz10] Jarosªaw Buczy«ski. Duality and integrability on contact Fanomanifolds. Doc. Math., 15:821�841, 2010.

[CCG12] Enrico Carlini, Maria Virginia Catalisano, and Anthony V. Ge-ramita. The solution to the Waring problem for monomials andthe sum of coprime monomials. J. Algebra, 370:5�14, 2012.

[CGG05] M. V. Catalisano, A. V. Geramita, and A. Gimigliano. Se-cant varieties of Grassmann varieties. Proc. Amer. Math. Soc.,133(3):633�642 (electronic), 2005.

[CI12] Young Hyun Cho and Anthony Iarrobino. Inverse systems ofzero-dimensional schemes in Pn. J. Algebra, 366:42�77, 2012.

[CJN14] Gianfranco Casnati, Joachim Jelisiejew, and Roberto Notari. Ir-reducibility of the Gorenstein loci of Hilbert schemes via ray fa-milies. arXiv:1405.7678, 2014.

[EKS88] David Eisenbud, Jee Koh, and Michael Stillman. Determinantalequations for curves of high degree. Amer. J. Math., 110(3):513�539, 1988.

[Gine10] Adam Ginensky. A generalization of the Cli�ord index anddeterminantal equations for curves and their secant varieties.arXiv:1002.2023, 2010.

[HLT14] Frédéric Holweck, Jean-Gabriel Luque, and Jean-Yves Thibon.Entanglement of four qubit systems: A geometric atlas with po-lynomial compass i (the �nite world). Journal of MathematicalPhysics, 55(1), 2014.

[IK99] Anthony Iarrobino and Vassil Kanev. Power sums, Gorensteinalgebras, and determinantal loci, volume 1721 of Lecture Notesin Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1999. Appendix C byIarrobino and Steven L. Kleiman.

[IR01] Atanas Iliev and Kristian Ranestad. K3 surfaces of genus 8 andvarieties of sums of powers of cubic fourfolds. Trans. Amer. Math.Soc., 353(4):1455�1468, 2001.

[Mell09] Massimiliano Mella. Base loci of linear systems and the Waringproblem. Proc. Amer. Math. Soc., 137(1):91�98, 2009.

22

[Muka92] Shigeru Mukai. Fano 3-folds. In Complex projective geometry(Trieste, 1989/Bergen, 1989), volume 179 of London Math. Soc.Lecture Note Ser., pages 255�263. Cambridge Univ. Press, Cam-bridge, 1992.

[Raic10] Claudiu Raicu. 3× 3 minors of catalecticants. arXiv:1011.1564,2010.

[Ravi94] M. S. Ravi. Determinantal equations for secant varieties of cu-rves. Comm. Algebra, 22(8):3103�3106, 1994.

[RS00] Kristian Ranestad and Frank-Olaf Schreyer. Varieties of sums ofpowers. J. Reine Angew. Math., 525:147�181, 2000.

[RS11] Kristian Ranestad and Frank-Olaf Schreyer. On the rank of asymmetric form. J. Algebra, 346:340�342, 2011.

[SS09] Jessica Sidman and Gregory G. Smith. Linear determinantalequations for all projective schemes. arXiv:0910.2424v3, 2009.

[ST13] A. Sawicki and V. V. Tsanov. A link between quantum entangle-ment, secant varieties and sphericity. J. Phys. A, 46(26):265301,20, 2013.

[Stra69] Volker Strassen. Gaussian elimination is not optimal. Numer.Math., 13:354�356, 1969.

[VW02] R. C. Vaughan and T. D. Wooley. Waring's problem: a survey.In Number theory for the millennium, III (Urbana, IL, 2000),pages 301�340. A K Peters, Natick, MA, 2002.

23