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ROBlEMA~ DE '

CIRCUITO~ ElECTRICO~

C. Garrido Suárez J. Cidrás Pidré

Departamento de Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingenieros

Industriales de Vigo

EDITORIAL REVERT~

Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-México

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 E-mail: [email protected] Internet: http://www.reverte.com

Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento in-formático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo pú-blicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

Edición en español

© EDITORIAL REVERTÉ, S. A., 1992

© C. Garrido Suárez, J. Cidrás Pidré

ISBN: 978-84-291-3459-9Edición en papel:

Edición e-book (PDF):

ISBN 978-84-291-9033-5

PRÓLOGO

En este libro presentamos una colección de problemas y sus soluciones con el objeto de ayudar a los alumnos en la preparación de la asignatura de Teoría de Circuitos (también denominada Electrotecnia) de las diferentes Escuelas Superiores de Ingeniería, así como de las Escuelas Universitarias de Ingeniería Técnica. La publicación de colecciones de problemas en ingeniería son más bien escasas, debido principalmente a la labor ingente que supone la elaboración, solución y corrección de problemas, así como a la confección de gráficos como soporte de esos ejercicios. Sin embargo, la resolución de problemas, por parte del alumno de las escuelas de ingeniería, es de enorme trascendencia ya que supone la plasmación de los conceptos aprehendidos en teoría a la vez que le pone en contacto, en muchos casos, con problemas que se le van a presentar en el desarrollo futuro de su profesión.

Los modernos programas de tratamiento de textos así como los de elaboración de gráficos, presentan una ayuda inestimable para aquellos que como nosotros sientan la necesidad de colaborar un poco en la formación de ingenieros e ingeneiros técnicos. El texto de este libro se procesó mediante el programa Word Star (versión 5.0), mientras que los dibujos se elaboraron con el programa Oread.

No hemos considerado necesario la presentación en cada capítulo de un pequeño resumen teórico introductorio puesto que existe una extensa bibliografía sobre el tema. No obstante, al final del libro se presenta la bibliografía que creemos más adecuada para que el alumno consulte en caso de dudas.

El libro se ha divido en seis grandes capítulos. En el primero se resuelven problemas referentes a las dos leyes de Kirchhoff, la ley de Ohm, conceptos básicos de potencia y energía, asociación de elementos, formas de onda, dualidad y de ecuaciones de definición de los elementos básicos de los circuitos eléctricos. El análisis de circuitos ~ediante ecuaciones circulares, nodales y en variables de e~tado se trata con profundidad en los problemas resueltos en el capítulo segundo. Este capítulo comienza

V

VI Prólogo

c?n el planteamiento general de cada método de análisis, hasta llegar a la escritura directa de las ecuaciones de los circuitos. El capítulo tercero resuelve problemas de circuitos eléctricos utilizando los teoremas fundamentales en el análisis de circuitos: reciprocidad, linealidad, Thevenin y Norton, compensación, superposición, sustitución, Tellegen, Millman, Miller y Rosen. El estudio de los fenómenos transitorios en los circuitos eléctricos se estudia a lo largo del capítulo cuarto, en que se resuelven diversos tipos de problemas bien por el método de resolución de ecuaciones diferenciales, bien por el método de la transformada de Laplace. En el capítulo quinto se analiza el comportamiento de los circuitos eléctricos en el régimen estacionario senoidal. Así mismo, se resuelven algunos problemas de teoremas particularizados para este régimen. El estudio de potencias y la compensación de energía reactiva se aborda en varios problemas y se resuelve por diferentes métodos de cálculo. Finalmente, en el capítulo sexto se plantean y resuelven problemas de sistemas trifásicos. La compensación de energía reactiva en trifásica así como el estudio de componentes simétricas también son abordados en este capítulo.

Como complemento a este libro se presenta un disco flexible 5v4 con dos programas para PC-compatible con su manual de utilización. Los programas han sido desarrollados para ayudar al alumno en el análisis nodal y circular de circuitos (capítulos 2 y 5). Cada programa presenta dos alternativas: resolución paso a paso mediante análisis topológico, y resolución completa*. Para los restantes capítulos no se ha considerado necesario el desarrollo de programas específicos, dado que existen en el mercado varios paquetes informáticos de gran potencia: Matlab, Control C, Spice, etc.

En la notación se han utilizado generalmente letras minúsculas para la tensión y la intensidad instantáneas. Ambas aparecen designadas respectivamente por las letras «u» e «i», caracterizando el valor de la f.e.m. de los generadores por la letra «e» y la polaridad positiva con el signo « + ». En corriente alterna y en trifásica, las letras mayúsculas representan los valores eficaces (U, I y E), mientras que la notación simbólica es representada por las letras cursivas U, l y E, respectivamente para tensión, intensidad y f.e.m. de los generadores.

Por último, sólo nos resta recomendar al alumno la lectura del enunciado intentando a continuación la resolución del ejercicio. La simple lectura del enunciado y de la solución, no genera ningún contraste de resultados ni hace asimilable conceptos. Hemos comprobado en la docencia de la asignatura que a aquellos alumnos que tienen como norma la simple «lectura» de los problemas con sus soluciones suele series difícil la superación de la asignatura.

Vigo, Marzo de 1991 LOS AUTORES

* El disco con los programas puede obtenerse dirigiéndose a los autores: Departamento de Ingeniería Eléctrica- Universidad de Vigo- Apartado de Correos n? 62- 36280- VIGO

ÍNDICE ANALÍTICO

CAPÍTULO 1: AXIOMAS, ELEMENTOS, POTENCIA Y ENERGÍA FUNCIONES DE ONDA, ASOCIACIÓN DE ELEMEN-TOS, ETC .......................................... .

CAPÍTULO 2: ANÁLISIS CIRCULAR, NODAL Y EN VARIABLES DE ESTADO............................................ 91

CAPÍULO 3: TEOREMAS......................................... 151

CAPÍTULO 4: TRANSITORIO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

CAPÍTULO 5: CORRIENTE ALTERNA............................. 291

CAPÍTULO 6: TRIFÁSICA......................................... 361

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

VII

CAPÍTULO 1

AXIOMAS, ELEMENTOS, POTENCIA Y ENERGÍA, FUNCIONES DE ONDA, ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS, ETC.

PROBLEMA 1:

Calcular ix en el instante t = 1/2 siendo i1 = - 2sen1rt, i2 = 4cos27rt e i3 = 3sen37rt.

SOLUCIÓN:

Aplicando la 1 ~ ley generalizada de Kirchhoff a la región 1 => i1 - i4 =O => i4 = i 1 = - 2 sen 7rt

2 Problemas de Circuitos Eléctricos

Aplicando la 1 ~ ley de Kirchhoff al nudo A => i2 = i3 + i4 + ix => ix = i2

- i3

- i4

=> i, = 4cos27rt + 2sen1rt- 3sen7rt = 4cos27rt- sen1rt

para t= 1/2 tenemos: ix=4COS7r-Sen7r/2= -4-1 = -5 A

PROBLEMA 2:

En el circuito de la figura se conocen las intensidades cuyos valores se indican, calcular las restantes.

SOLUCIÓN:

Aplicando la 1 ~ ley generalizada de Kirchhoff a la Zona 1: 1 + i1 =O => i1 = - 1 A. Aplicando la 1:' ley de Kirchhoff al nudos A, B, C, D, E y F tendremos:

Nudo A: 1=2+i2 => i2 = -1 A Nudo B: i3 =2+i1 =2-1=1 A Nudo C: -i5 +i2 =3 => i5 = -3-1= -4 A Nudo D: i4 = i3 + i5 = 1-4 = -3 A Nudo F: i4 +i6 =4 =>i6 =4-i4 =7 A Nudo E: 3 = i 6 + i 7 ~ i7 = 3- i6 = 3 -7 = - 4 A

Comprobación, Zona 2 : i7 - 4 =O => i7 = - 4 A

PROBLEMA 3:

En el circuito de la figura tenemos los siguientes valores de tensiones expresados en voltios: v1 = 10, v2 = 5, v4 = -3, v6 = 2, v7 = - 3, v12 = 8. Determinar, si es posible, las restantes ten~ones.

Axiomas, elementos. potencia y energía funciones de onda, asociación de elementos, etc. 3

SOLUCIÓN:

+ v7 .-------~ r-----------,

+ V 10

Aplicando la 2~ ley de Kirchhoff a cada una de las mallas del circuito, obtenemos: v7 -v6 -v5 =0 => v5 =v7 -v6 = -3-2= -5 V

V 5 + V 2 + V ll - V¡ = 0 => V ll = V¡ - V 2 - V 5 = 10 - 5 + 5 = 10 V v6 -v12 +v4 -v10 -v2 =0 => v10 =v6 -v12 +v4 -v2 =2-8-3-5= -14 V

v6 +v3 -v8 -v2 =0 => v3 -v8 =v2 -v6 = 5-2= 3 V => v3 -v8 = 3 v4 -v9 -v3 -v12 =0 => v3 +v9 =v4 -v12 = -3-8= -11 V=> v3 +v9 = -11

v8 +v9 -v10 =0 => v8 +v9 =v10 = -14 V=> v8 +v9 = -14 v3, v8, v9 no se pueden determinar.

PROBLEMA 4:

Determinar los valores que toman la tensión «U» y la intensidad «i» en el circuito de la figura.

F e

10 V

+ 7 V

3 V

E o


SOLUCIÓN:

Aplicando la 1 ~ ley de Kirchhoff a los nudos B y C:

2+i1=3=>i1 =1A

i = i 1 - 5 = 1 - 5 => i = - 4 A

Aplicando la 2~ ley de Kirchhoff al camino cerrado E- F- C- B- A-D-E:

7+10-u-3=0 => u=O V.

PROBLEMA 5:

La intensidad en una bobina de 5 H. viene dada por la gráfica de la figura. Hallar la gráfica de la tensión.

:~. 1 2 3 t

SOLUCIÓN:

O oo<t<O

i(t) = o ::'5 t <

(3-t)/2 ::'5 t <

o t ;;:::

Tomando la misma referencia para la tensión y la intensidad en la bobina, la ecuación que rige el comportamiento de la misma viene dada por:

di di u(t)=L -- = 5-- =>

dt dt

Axiomas, elementos, potencia y energía funciones de onda, asociación de elementos, etc. 5

o -oo<t<O

u(t)= 5 o~ t < u (V)

5

-512 ~ t < 3

o t ;;;:: 3

2 1 t(s)

-5/2

PROBLEMA 6:

Dado el circuito de la figura, calcular las intensidades que circulan por cada rama, así como las correspondientes tensiones sabiendo que i(t) = 5 · e3

t si t >O, i(t)=O si t~O y Vab= 1/3 · e31 si t>O y Vab=O si t:50. Calcular la resistencia R.

it

R l..2•3 H

e o

SOLUCIÓN:

Aplicando Kirchhoff y las ecuaciones de los elementos, tenemos:

L di3 L di4 L . L . . 3 . (1) U Be= U u= U u= ¡-- = z-- => ¡13 = z14 => 13 = --14 ili ili 2

i¡(t)=C __ d_u-""AB"---- = 2 • 10-l_d_ ( _1_ e3t) = 2. 10-l • e3t ili ili 3

Nudo A: i2(t)= i(t)-i 1(t) 5 · e31 - 0.2 · e31 =4.8 • e31

N d B "() "() "() 3 . . 5 . u o : 1¡ t = 13 t + 14 t = -- 14 + 14 = -- 14 => 2 2

. (t) _2_ 0.2 . e3t = ~ e3t 14 = 5 5


. d 1 . 3 . y a partir e a ec.(1): 1, = -- 14 - 2

por lo tanto, la tensión en las bobinas será:

y la tensión UAC:

2~ Uu = UL2 = dt 2 · ~ e31 =0.72 · e31

10

1 3! o 2 3t 3 .16 3t UAc=UAR+Uu =--e + .7 • e =---e

3 3

El valor de la resistencia R viene dado por la relación entre la tensión que hay entre sus bornes y la intensidad que la recorre:

PROBLEMA 7:

R= __ u~A=ciz

(3.16/3) · e31

4.8 · e31 0.22 n

Calcular las intensidades de los elementos pasivos de la figura sabiendo que la tensión viene dada por la gráfica.

a <V> 9

6

3

O 3 6 9 12 15 t (s)


SOLUCIÓN:

La tensión de la fuente viene dada por:

3 Os;t<3

e(t) = 2t- 3 3 s; t s; 6

15-t6s;tsl5

Teniendo en cuenta que los elementos están en paralelo con la fuente de tensión (tensión en los elementos igual a la de la fuente), tendremos:

3/5 0 < t S 3

iR(t) = e(t)/R = 2t- 3/5 3 < t s; 6

15- t/5 6 < t s; 15

0 0< t S 3

ic(t)=C de(t)/dt= 6 3 < t s 6

-3 6 < t S 15

Para la intensidad de la bobina, tendremos: en el intervalo O < t s 3:

IL(t) = IL(O) + -- 3 t = -- t = -- t . . 1 ft d 1 3 3 2 o 2 2

=> iL(3) = 9/2 A

Para 3 < t s 6:

iL(t) = iL(3) + -1-ft (2t- 3)dt = -

9- + -

1- [ t2

- 3t]1

= 2 3 2 2 3

9 1 1 2 = -- + -- (t2 - 3t - 9 + 9) = -- (t - 3t + 9)

2 2 2

=> i1 (6) = 27/2 A

Para 6 < t :s 15:

iL(t) = il(6) +-1-ft (15-t)dt = __'!.:]__ + _J_ [ 15t-t2/2lt 2 6 2 2 6

27 1 ( t2

) 1 ( t2

= -2- + -2- 15t- -2- + 18 - 90 = -2- - -2- +

=> iL(15) = 135/4 A

15t- 45)


PROBLEMA 8:

La figura representa tres bobinas acopladas magneticamente devanadas sobre un núcleo. Determinar los terminales éorrespondientes. Hacer una representación plana de la mismas y hallar las ecuaciones de las bobinas.

SOLUCIÓN:

Para calcular los terminales que son correspondientes, supongamos las intensidades entrando por los terminales 1, 2 y 3, tal como se muestra en la figura. En la misma se muestran también los flujos creados por dichas intensidades: 1> 1 , 1> 2 y rjJ 1 resrectivamente.

Veamos los terminales que son correspondientes con el l. Tal como se observa en la figura, sobre la bobina 2, los flujos creados por i1 e i2 tienen el mismo sentido, por lo tanto, los terminales por donde entran las intensidades son correspondientes. => 1 correspondiente con 2.

Sobre la bobina 3, los flujos creados por i1 e i3 tienen distinto sentido. Por lo tanto, concluimos que los terminales 1 y 3 (por donde entran las intensidades i1 e i3, respectivamente) no son correspondientes. De ello se deduce que el terminal 1 es correspondiente con el 3', tal como puede verse fácilmente haciendo entrar la intensidad i3 por el terminal 3' y comprobar el sentido de los flujos. => 1 correspondiente con 3'.

Así mismo, sobre la bobina 3, los flujos creados por las intensidades i2 e i3 tienen el mismo sentido. Por tanto, concluimos que los terminales 2 y 3 son correspodientes. =>2 correspondiente con 3.


La representación plana del circuito se muestra en la figura siguiente:

Teniendo en cuenta los terminales correspondientes, la tensión en bornes de cada bobina en función de las intensidades vienen dadas por:

U¡

M di 1 di2 M ~ Uz = 12 --- - Lz --- - 23

dt dt dt

-M di1 M di2 L ~ 13~- 23~- 3 dt

PROBLEMA 9:

Al secundario de un transformador ideal se conecta una bobina de autoinducción de L = 3H. Determinar la relación de transformación para que la inductancia ficticia vista desde los terminales 1 y 2' sea de 12 H.


SOLUCIÓN:

La inductancia ficticia vista desde los terminales 1 y 1 ', relaciona, mediante la ecuación de una bobina, la tensión u 1 y la intensidad i 1, es decir:

Considerando las ecuaciones del transformador y la ecuación de la bobina:

U¡ a u2 i 1

L _____c!L => _____c!L dt dt

di2 Leq --"'----- => au2 a· dt

Por lo tanto: a (12/3)-112 2

PROBLEMA 10:

Leq~ => dt

Leq __ u_,2'--- => L·a

a = (Leq/L) Yc

Escribir las ecuaciones correspondientes a las cuatro bobinas acopladas magnéticamente.


SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta los terminales correspondientes y las referencias de las intensidades, obtenemos:

L ili1 M dG M dG M d~ U¡ = 1 --- + 12 --- + 13 --- + 14 ---

dt dt dt dt

M di 1 L di2 M di3 + M di4 - 12~- 2~- 23~ 24~

di 1 M di2 di3 di -Mn --- - 23 --- - L 3 --- + M 4

dt dt dt 34~

M di1 M di2 M di3 L di4 14 --- - 24 --- - 34 --- + 4 ---

dt dt dt dt

PROBLEMA 11:

Determinar las restantes intensidades sabiendo que i1 = 2 A, i3 = 1 A, i7 = 2 A, e i 8 = 3 A.

SOLUCIÓN:

Aplicando la 1 ~ ley de Kirchhoff a los diferentes nudos, se obtiene:

nudo A: i1 + i2 =O => i2 = -2 A nudo C: i6 = i7 - i 2 - i3 = 2 + 2 - 1 3 A


nudo F: i7 + i9 =O => i9 = -2 A nudo E: i5 = -i8 - i9 - i6 = -3 + 2- 3 = -4 A nudo B: i4 = i3 - i5 - i1 = 1 + 4 - 2 = 3 A nudo D: i4 -i8 = O => i4 = 3 A

PROBLEMA 12:

Determinar la tensión u en cada una de la figuras que se indican.

3n

(l) (2)

3n

(3)

SOLUCIÓN:

Para el circuito 1, teniendo en cuenta que la resistencia está en paralelo con la fuente de tensión, se obtiene:

u=2V

En el circuito 2, teniendo en cuenta la intensidad suministrada por la fuente de intensidad y las referencias de tensión e intensidad, aP,licando la ley de Ohm:

u = - R · i = -3 · 1 = -3 V

En el circuito 3 la resistencia de 1 !) está en paralelo con la fuente de tensión, mientras que en la de 3 !) se puede aplicar la ley de Ohm:

U¡ 2 V

-R · i = -3 · 1 -3V


PROBLEMA 13:

En la figura la tensión y la intensidad son: e,= A.coswt, i, = B ·e- "t. Calcular uL e ic sabiendo que A, B, w y a son constantes.

R

SOLUCIÓN:

Aplicando las ecuaciones de los elementos y teniendo en cuenta las referencias de tensión e intensidad:

d L1 --- (B · e-"1)= -a· L 1 • B · e-"1

dt

duc ic = -e --~-, uc = e, = A · coswt, por estar el condensador en paralelo

dt con la fuente de tensión.

=> ic= -e

PROBLEMA 14:

d(A · coswt) dt

e · A · w · senwt

La intensidad en un condensador de 1/2 F viene dada por la gráfica de la figura. Determinar la gráfica de la tensión.

(/\)


SOLUCIÓN:

La expresión analítica de la intensidad se expresa como:

1

t O~t~1s

j (t) = + (3 -t) 1 ~ t ~ 3 S

Para e = 112 F, aplicando la ecuación de definición del condensador, obtenemos:

para O<t~ 1 s:

Uc=U(Ü) + -- 1 dt 1 Jt . - e o

La tensión para t= 1 es: uc(l)= 1 V.

Para 1 ~ t ~ 3, se obtiene:

uc = u(1) + 2f1

-1- (3-t) dt

1 2

1 3t - l-3t 1 + + -- =

2 2

para t = 3 s la tensión es: uc(3) = 3 V

u e <V>

3

2

o 2

PROBLEMA 15:

3t - l ___ 2 2

3 4 t(s)

La figura muestra dos bobinas conectadas en serie. Determinar la inductancia vista desde los terminales 1 y 2'.


SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta los flujos producidos por las intensidades, se concluye que los terminales 1 y 2 son correspondientes, por presentar los flujos el mismo sentido al entrar las intensidades por los terminales citados.

Considerando la relación entre flujos e intensidades se obtiene:

e/:>¡ rP¡¡ + rjJ12 L1i1 + Mi2 Si1 + 3i2

rPz rjJ21 + 1>n Mi1 + Lziz 3i¡ + 2i2

Teniendo en cuenta que:

e/:>¡ Si

i¡ iz => => cP e/:>¡ + cPz 13i

<P2 = Si

La inductancia equivalente vista desde 1 y 2' relaciona la tensión u (y por lo tanto el flujo total) con la intensidad i, es decir: '

cjJ = Leq · i = 13i => Leq 13 H

Otro método:

Escribiendo la ecuación de las tensiones en función de las intensidades, y conside-rando que i = i1 = i2 , tendremos:

U¡ L di1 + M ___<!L U¡ 8~ ¡---

dt dt dt =>

Uz M~ + L ___<!L u2 S~ dt

2 dt dt


Considerando que:

di u = u 1 +u2 =Leq ---=>u

dt

PROBLEMA 16:

(8+5) ~ => Leq dt

13 H

Determinar la inductancia vista desde los terminales 1 y 2 de la figura.

SOLUCIÓN:

Al igual que en el problema anterior, los terminales correspondientes son el 1 y 2. Considerando la relación de intensidades y tensiones, y entre éstas y los flujos:

i = i1 = - i2 ; U = U¡ - u2 ; U¡ = ~; Uz = ~ dt dt

La tensión u entre los terminales 1 y 2 estará relacionada con un flujo c/J:

dcP dc/J1 dc/J2 dc/J U=U1-u2 = ---=>U=-------=---=> cP = c/J 1 - c/J2 ili ili ili ili

Si consideramos que la relación buscada es de la forma:

c/J = Leq · i

y tenemos en cuenta la relación entre los flujos y las intensidades:

c/J 1 = c/J 11 + c/J 12 = L1i1 + Mi2 = 5i1 + 3i2 = 2i1

c/J2 = c/J21 + c/J 22 = Mi 1 + L2i2 = 3i1 + 2i2 ~ i1

=> c/J = c/J 1 - c/J2 = 2i1 - i1 = i1 = i => Leq = lH


otro método:

Considerando la relación entre tensiones e intensidades y que i1

dremos: - i2, ten-

u 1 =L 1~ +M~=> u1=5~ + 3~ => u1 dt dt dt dt

M di¡ di2 3 di¡ di2 ~ Uz = dt + L2 dt => u2 = dt + 2 dt => Uz = -dt -

=>u u1 - u2 = (2-1) ~ = Leq · i => Leq dt

PROBLEMA 17:

lH

Determinar la inductancia equivalente entre los terminales 1 y 2 de la figura.

SOLUCIÓN:

Debemos encontrar una relación entre la tensión u la intensidad i y el flujo , de tal forma que:

di d<P . u = Leq --- => u = --- => <P = Leq · 1

dt dt

Considerando la relación entre flujos e intensidades, obtenemos:

(1) 3i¡


Dada la conexión de los terminales, se cumple que:

Por otra parte, se tiene que:

U¡= ~YUz dt

~. Considerando la ec.(2): dt

=>u = u1 = u2 = dcp

dt ~

dt ~=>cp

dt

Teniendo en cuenta la ec.(3) y la ec.(l), obtenemos:

y de la ec.(2) deducimos que:

i1 = ~ i y i2 = 2i => cp = cp1 ~Si + 6i => Leq

otro método:

Considerando las relaciones ya vistas:

U¡ = u2 = U i = i1 + i2 U di

Leq--dt

se obtiene para las tensiones en función de las intensidades:

U¡ 5~ + 3~ dt dt 2~ di2

=> dt ~

Uz 3~ + 2~ dt dt

Por otro lado, dada la relación entre intensidades, se cumple que:

di

dt ~+~=>~

dt dt dt

di di2 --y--dt dt

(2)

(3)

lH

2~ dt

Tomando una ecuación cualquiera de las tensiones (u 1, por ejemplo), obtenemos finalmente:

u U¡ (~5 + 6)~ dt

di

dt => Leq 1 H


PROBLEMA 18:

En el transformador de la figura determinar las ecuaciones que relacionan las tensiones e intensidades de entrada y salida.

Íl La i2

"11 Lb

1' "1 .. "2

SOLUCIÓN:

Planteando las ecuaciones del transformador, tendremos:

__ e_J__ = __ e_z__ = ~ => n¡ e1 = ----- u2 nz

i1 • n 1 = - i' 2 • n2 => i1 nz .,

-----lz n¡

Aplicando la 2~ ley de Kirchhoff al devanado primario:

di¡ di¡ n¡ U¡ = La----- + e¡ = La----- + ----- Uz

dt dt n2

y planteando la ecuación para la bobina Lb, obtenemos:

L di2 h -----dt

di2 __ 1_11 __ Lb _di1 Uz = Lb ----- + dt n2 dt

2

1 "' 2'

Llevando el valor anterior de u2 a la ecuación de u 1, obtenemos:

L di¡ n¡ [ L diz n¡ L di¡ l U¡ = a ----- + ----- b ----- + ----- b ----- => dt n2 dt n2 dt


PROBLEMA 19:

Calcular las ecuaciones de las tensiones en función de las intensidades en el circuito de la figura.

SOLUCIÓN:

Considerando las referencias que se muestran en la figura, se obtiene para el transformador ideal las ecuaciones:

nz . ---lz

n¡

Planteando la 2~ ley de Kirchhoff para el primer devanado (tomando la misma referencia para la tensión y la intensidad en la bobina Lb), tendremos:

U¡= L ~+Lb [--d_i.!_¡_ a dt dt

A partir de la ecuación de tensiones del transformador y la relación (por Kirchhoff): e1 = u1 - uLa' obtenemos:

~[(La + L) di¡ nz L diz l nz L di¡ -b --- + -- b --- - -- a--- ~> n¡ dt n¡ dt n¡ dt


PROBLEMA 20:

Sean dos bobinas acopladas magnéticamente. a) Determinar los terminales correspondientes. b) Calcular la inductancia equivalente entre 1' y 2' si 1 y 2 están en cortocircuito. e) Calcular la inductancia equivalente entre 1' y 2 si 1 y 2' están en cortocircuito.

'<1

-1.--L ~ 2

l Lt L2 lu 2

1' 2' l.l"'

SOLUCIÓN:

a) Si tomamos para las intensidades i1 e i2 las referencias que se muestran en la figura, se obtienen los flujos rf> 1 y rf>2, creados por ambas intensidades, respectivamente. Dado que ambos presentan el mismo sentido sobre ambos devanados, se concluye que los terminales 1 y 2 son correspondientes.

b) Si los terminales 1 y 2 están cortocircuitados, obtenemos el circuito siguiente:

1'

u

Según el enunciado, debemos buscar una relación inductiva entre la tensión u y la intensidad i, es decir:

di u= Leq---

dt


Planteando las ecuaciones para las dos bobinas, tendremos:

L di¡ di2

U¡ = 1 --- + M ---dt dt '

teniendo en cuenta que:

di ----

dt

obtenemos:

U¡ (M-L)~ 1 dt '

u di2 _ _ di

(L1 + L 2 - 2M) -- ~> u - (L1 + L 2 - 2M) --dt dt

=> Leq = L1 + L 2 - 2M

e) Si los terminales cortocircuitados son el 1 y el 2', el circuito es el siguiente:

1,

u

Planteando las ecuaciones de las bobinas y considerando que: u = -i 1 = -i2 , obtenemos:

- u 1 - u2 y

U¡

Uz

=>u

u

di1 di2 di 1 L +M--=> U¡=(L¡+M)--1~ dt dt

M~+ L2~ => u2 =(M+L2)~ dt dt dt

- (L 1 + L2 + 2 M) (- :~ ) =>

( L 1 + L2 + 2 M ) ~ => Leq dt

L 1 + L 2 +2M

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