Roberto Frucht, pionero de lasmatemáticas en Chile

Alberto Mercado SaucedoUniversidad Técnica Federico Santa María

Universidad Técnica Federico Santa María.Valparaíso, Chile

Día de las matemáticas 2020.

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ?

Papiro de Rhind (1 700 antes de nuestra era), del escribaAhms.

El problema 50 se traduce a algo así como :

Hallar el área de un campo circular con un diámetro de 9 khet.

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ?

Papiro de Rhind (1 700 antes de nuestra era), del escribaAhms.

El problema 50 se traduce a algo así como :

Hallar el área de un campo circular con un diámetro de 9 khet.

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

¿Por qué es difícil ?

Área del rectángulo = 3 x 5 = 15.

Área del círculo = ? ?

(Hoy sabemos que A = πr2, con π = C2r )

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

¿Por qué es difícil ?

Área del rectángulo = 3 x 5 = 15.

Área del círculo = ? ?

(Hoy sabemos que A = πr2, con π = C2r )

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

¿Por qué es difícil ?

Área del rectángulo = 3 x 5 = 15.

Área del círculo = ? ?

(Hoy sabemos que A = πr2, con π = C2r )

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

¿Por qué es difícil ?

Área del rectángulo = 3 x 5 = 15.

Área del círculo = ? ?

(Hoy sabemos que A = πr2, con π = C2r )

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

¿Cómo lo resolvieron ?

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

¿Cómo lo resolvieron ?

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

Entonces área del círculo ≈ área del octágono

= 92 − 2(32)

= 81 − 18 = 63

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

Entonces área del círculo ≈ área del octágono

= 92 − 2(32)

= 81 − 18 = 63

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

Entonces área del círculo ≈ área del octágono

= 92 − 2(32)

= 81 − 18 = 63

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo

Entonces área del círculo ≈ área del octágono

= 92 − 2(32)

= 81 − 18 = 63

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo = 3 / 16

Entonces área del círculo & área del octágono

= 92 − 2(32)

= 81 − 18 = 63

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo = 3 / 16

Entonces, el área del campo circular de diámetro 9 debe ser

64

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo = 3 / 16

Entonces, el área del campo circular de diámetro 9 debe ser

64

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo = 3 / 16

Entonces :π

(92

)2

= 64

π = 64(

29

)2

=64 × 4

81=

25681

≈ 3,16

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Preámbulo : ¿Por qué hoy ? 16 de marzo = 3 / 16

Entonces :π

(92

)2

= 64

π = 64(

29

)2

=64 × 4

81=

25681

≈ 3,16

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16 de marzo = día de Pi egipcio

Desde entonces :I Babilonios ( -1700)

π ≈ 3,125

I Arquímides ( -250) 223/71 < π < 22/7, i.e.

π ≈ 3,1418

I Zu Chongzhi (China, 500)

π ≈ 355/113 = 3,14159292...

I Siglo XVII : Técnicas analíticas. Newton calcula π con 16cifras decimales (via Teorema del binomio).

I Símbolo π introducido por William Jones en 1706,popularizado por Leonhard Euler (Suiza, 1707).

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16 de marzo = día de Pi egipcio

Desde entonces :I Babilonios ( -1700)

π ≈ 3,125I Arquímides ( -250) 223/71 < π < 22/7, i.e.

π ≈ 3,1418

I Zu Chongzhi (China, 500)

π ≈ 355/113 = 3,14159292...

I Siglo XVII : Técnicas analíticas. Newton calcula π con 16cifras decimales (via Teorema del binomio).

I Símbolo π introducido por William Jones en 1706,popularizado por Leonhard Euler (Suiza, 1707).

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16 de marzo = día de Pi egipcio

Desde entonces :I Babilonios ( -1700)

π ≈ 3,125I Arquímides ( -250) 223/71 < π < 22/7, i.e.

π ≈ 3,1418

I Zu Chongzhi (China, 500)

π ≈ 355/113 = 3,14159292...

I Siglo XVII : Técnicas analíticas. Newton calcula π con 16cifras decimales (via Teorema del binomio).

I Símbolo π introducido por William Jones en 1706,popularizado por Leonhard Euler (Suiza, 1707).

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16 de marzo = día de Pi egipcio

Desde entonces :I Babilonios ( -1700)

π ≈ 3,125I Arquímides ( -250) 223/71 < π < 22/7, i.e.

π ≈ 3,1418

I Zu Chongzhi (China, 500)

π ≈ 355/113 = 3,14159292...

I Siglo XVII : Técnicas analíticas. Newton calcula π con 16cifras decimales (via Teorema del binomio).

I Símbolo π introducido por William Jones en 1706,popularizado por Leonhard Euler (Suiza, 1707).

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16 de marzo = día de Pi egipcio

Desde entonces :I Babilonios ( -1700)

π ≈ 3,125I Arquímides ( -250) 223/71 < π < 22/7, i.e.

π ≈ 3,1418

I Zu Chongzhi (China, 500)

π ≈ 355/113 = 3,14159292...

I Siglo XVII : Técnicas analíticas. Newton calcula π con 16cifras decimales (via Teorema del binomio).

I Símbolo π introducido por William Jones en 1706,popularizado por Leonhard Euler (Suiza, 1707).

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Un conocido matemático : Euler

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Königsberg

¿Es posible recorrer los siete puentes, cruzando una vez cadauno de ellos y terminando por el mismo lugar donde secomenzó ?

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Königsberg

¿Es posible recorrer los siete puentes, cruzando una vez cadauno de ellos y terminando por el mismo lugar donde secomenzó ?

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Problema de los puentes de Königsberg

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Problema de los puentes de Königsberg

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Problema de los puentes de Königsberg

¿Es posible trazar los siete segmentos una vez cada uno deellos, terminando en el mismo punto donde se comenzó ?

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Problema de los puentes de Königsberg

¿Es posible trazar los siete segmentos una vez cada uno deellos, terminando en el mismo punto donde se comenzó ?

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Problema de los puentes de Königsberg

NO :Cada vértice debe tener un número par de segmentosadyacentes : L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situspertinentis, 1736.

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Problema de los puentes de Königsberg

NO :Cada vértice debe tener un número par de segmentosadyacentes : L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situspertinentis, 1736.

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Nace la Teoría de grafos

I El artículo de Euler trata por primera vez de una geometríaen la que no importan las distancias, sino la estructura. Lallama la geometriam situs, y se conoce hoy comotopología.

I Primera noción de un grafo. Los grafos que permiten eltrazo anterior se llaman ciclos eulerianos.

I Leyes de Kirchhoff (1847) : reglas para calcular el voltajede circuitos.

I Cálculo de distintos isómeros de un compuesto químico(Cayley 1857).

I El término grafo fue introducido por Sylvester ( Chemistryand Algebra, Nature 1878).

I Dénes König. Theorie der endlichen und unendlichenGraphen 1936. Primer texto sobre Teoría de Grafos.

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Nace la Teoría de grafos

I El artículo de Euler trata por primera vez de una geometríaen la que no importan las distancias, sino la estructura. Lallama la geometriam situs, y se conoce hoy comotopología.

I Primera noción de un grafo. Los grafos que permiten eltrazo anterior se llaman ciclos eulerianos.

I Leyes de Kirchhoff (1847) : reglas para calcular el voltajede circuitos.

I Cálculo de distintos isómeros de un compuesto químico(Cayley 1857).

I El término grafo fue introducido por Sylvester ( Chemistryand Algebra, Nature 1878).

I Dénes König. Theorie der endlichen und unendlichenGraphen 1936. Primer texto sobre Teoría de Grafos.

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Nace la Teoría de grafos

I El artículo de Euler trata por primera vez de una geometríaen la que no importan las distancias, sino la estructura. Lallama la geometriam situs, y se conoce hoy comotopología.

I Primera noción de un grafo. Los grafos que permiten eltrazo anterior se llaman ciclos eulerianos.

I Leyes de Kirchhoff (1847) : reglas para calcular el voltajede circuitos.

I Cálculo de distintos isómeros de un compuesto químico(Cayley 1857).

I El término grafo fue introducido por Sylvester ( Chemistryand Algebra, Nature 1878).

I Dénes König. Theorie der endlichen und unendlichenGraphen 1936. Primer texto sobre Teoría de Grafos.

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Nace la Teoría de grafos

I El artículo de Euler trata por primera vez de una geometríaen la que no importan las distancias, sino la estructura. Lallama la geometriam situs, y se conoce hoy comotopología.

I Primera noción de un grafo. Los grafos que permiten eltrazo anterior se llaman ciclos eulerianos.

I Leyes de Kirchhoff (1847) : reglas para calcular el voltajede circuitos.

I Cálculo de distintos isómeros de un compuesto químico(Cayley 1857).

I El término grafo fue introducido por Sylvester ( Chemistryand Algebra, Nature 1878).

I Dénes König. Theorie der endlichen und unendlichenGraphen 1936. Primer texto sobre Teoría de Grafos.

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Nace la Teoría de grafos

I El artículo de Euler trata por primera vez de una geometríaen la que no importan las distancias, sino la estructura. Lallama la geometriam situs, y se conoce hoy comotopología.

I Primera noción de un grafo. Los grafos que permiten eltrazo anterior se llaman ciclos eulerianos.

I Leyes de Kirchhoff (1847) : reglas para calcular el voltajede circuitos.

I Cálculo de distintos isómeros de un compuesto químico(Cayley 1857).

I El término grafo fue introducido por Sylvester ( Chemistryand Algebra, Nature 1878).

I Dénes König. Theorie der endlichen und unendlichenGraphen 1936. Primer texto sobre Teoría de Grafos.

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Nace la Teoría de grafos

I El artículo de Euler trata por primera vez de una geometríaen la que no importan las distancias, sino la estructura. Lallama la geometriam situs, y se conoce hoy comotopología.

I Primera noción de un grafo. Los grafos que permiten eltrazo anterior se llaman ciclos eulerianos.

I Leyes de Kirchhoff (1847) : reglas para calcular el voltajede circuitos.

I Cálculo de distintos isómeros de un compuesto químico(Cayley 1857).

I El término grafo fue introducido por Sylvester ( Chemistryand Algebra, Nature 1878).

I Dénes König. Theorie der endlichen und unendlichenGraphen 1936. Primer texto sobre Teoría de Grafos.

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Nace la Teoría de grafos

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Trieste

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Roberto Frucht

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Roberto Frucht

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Roberto Frucht

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Roberto Frucht

I Nace en 1906 en Brno (Imperio Austro-Húngaro).I Vive en Berlin, donde estudia matemáticas. Su primer

interés : cálculo tensorial.I Doctorado bajo la dirección de Issai Schur en Teoría de

grupos 1930.I Trabajo en Trieste, compan̈ía de seguros (1930-1938).I Tras recibir un catálogo sobre el libro de Teoría de grafos,

lo ordena y se convierte en entusiasta del tema (capítuloVIII).

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Las matemáticas de Roberto Frucht

Los problemas estudiados por Frucht :El grupo de automorfismos de un grafo.

I Son las simetrías de la estructura de un grafo(biyecciones en él mismo que dejan su estructurainvariante).

I Ejemplos :

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Las matemáticas de Roberto Frucht

Frucht calculó el grupo de automorfismos de varios grafos.

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Las matemáticas de Roberto Frucht

Roberto Frucht respondió afirmativamente a la pregunta : dadoun grupo, ¿existe un grafo tal que éste sea su grupo deautomorfismos ?

Teorema de FruchtPara todo grupo finito A, existe un grafo G tal que A es el grupode automorfismos del grafo G.

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Teoría de grafos : un área muy activa

I Problemas combinatoriales.I Aplicaciones :I Ejemplos :

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