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Tensor de DeformacionesDr. Ing. J. E. Ortiz

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L1

LL2

L

L1 L

L2 L

Deformacin normal unitaria

L

Lx

L

Ly

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3/36

Deformacin cortante unitaria

xy

xy: distorsin angular

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Ensayo de traccin. Norma E8-ASTM

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L

L

A

P

Ensayo de traccin. Norma E8-ASTM

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0.25

Relaciones tensiones-deformaciones unitarias

L

u

A

P

=E

E: Mdulo elstico o Mdulo de Young

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Diferentes materiales:

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8/36

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Material rgido

Material linealmente

elstico

Material perfectamente

plstico

Material rgidoplstico

Mat. elsticoperfectamente plstico

Material elastico-plstico.

Comportamientos idealizados

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Donde E es el mdulo deYoung mdulo de elasticidad delmaterial. Este comportamientoelstico se cumple hasta el lmite de

elasticidad (E), el cual es un valorde esfuerzo bastante difcil deconseguir, y es apenas un pocosuperior al lmite de proporcionalidaddel material.

Zona Elstica: Ley de Hooke

Como se mencion anteriormente, las deformaciones producidas en estazona son elsticas, es decir: desaparecen si se retira la carga. Durante elprimer tramo, esta zona exhibe un comportamiento lineal hasta el lmite deproporcionalidad (P), a partir del cual cambia su tendencia. Se cumpleentonces hasta el valor de esfuerzo mencionado anteriormente la ley deHooke:

E

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Relacin de Alargamiento debido a carga axial:

: Alargamiento normalP: Carga axialE: Mdulo de Elasticidad de YoungL: Longitud del elemento

A: rea de seccin tranversal

AE

LP

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La Tenacidad (T0) es la capacidad del material de absorberenerga de deformacin plstica antes de romperse, y retener esaenerga an despus que ha cesado la carga que le ha producido la

deformacin plstica.Para calcularla de la forma ms precisa posible, se utilizara laexpresin:

Donde la Tenacidad queda expresada como energa porunidad de volumen.

MAX

dT

0

0

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La Resiliencia (U0) es la capacidad del material para absorber energacuando es deformado elsticamente, y luego devolver esa energa al serdescargado. Se calcula mediante la relacin:

Donde el esfuerzo y la deformacin son los valores mximos de lazona elstica. Al igual que la Tenacidad, la Resiliencia est expresada entrminos de energa por unidad de volumen.

EEU 2

10

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Cuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal detraccin, sufre una deformacin normal positiva ( estiramiento) en ladireccin en que se produce dicho esfuerzo, y una contraccin en ladireccin perpendicular a la que ocurre el mismo.

Relacin entre Esfuerzo y Deformacinplana

Si por el contrario,el esfuerzo normal es decompresin, el elemento seacortar en la direccin del

mismo y se estirar en ladireccin perpendicular.

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El alargamiento acortamiento que experimenta un elemento diferencial enla direccin perpendicular al esfuerzo, se puede hallar utilizando el mdulode Poisson (). En caso de que el esfuerzo se produzca en la direccin x, la

deformacin que sufrira el elemento en la direccin perpendicular (y/x) sepuede determinar mediante la relacin:

El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen sentidoscontrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la direccin y, sepodra determinar anlogamente la deformacin en la direccin x:

E

xx

xy

Ey

yy

yx

Efecto Poisson

Efecto Poisson

Efecto Poisson

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Entonces, la deformacin unitario normal resultante en unadireccin depende no slo del esfuerzo normal en la misma direccin, sinotambin del esfuerzo normal que acta perpendicularmente al anterior.

Podemos entonces plantear una expresin para la deformacinresultante en la direccin x, dado un elemento diferencial sometido aesfuerzos normales en las direcciones x e y:

Al desarrollar esto, nos queda:

Anlogamente, podemos establecer una expresin para y:

yx

xxx

)(1

yxxE

)(1

xyyE

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Las expresiones anteriores nos permiten determinar lasdeformaciones unitarias en las direcciones x e y, conocidos los esfuerzosnormales en estas direcciones. Tambin podemos expresar estasecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en funcin delas deformaciones. Para el esfuerzo normal en la direccin x, tendramos:

Y para el esfuerzo normal en la direccin y:

Note que el esfuerzo normal tambin depende de lasdeformaciones que ocurren en su direccin paralela y perpendicular.

)()1( 2

yxx

E

)()1( 2

xyx

E

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Para un elemento en esfuerzo sobre x, y y zsimultneamente. Las deformaciones normales estndadas:

)(1

)(1

)(1

yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

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xyxy G

xy: deformacin cortante

xzxz

G

yzyz G

Relacin entre Esfuerzo y Deformacin cortante

G: modulo de corte

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)1(2 vEG

Relacin entre las tres constantes elsticas

E: mdulo elsticoG: modulo de corte

v: coeficiente de Poisson

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Problema 1:

Una muestra de un cierto mater ial se somete a un esfuerzo uniforme segnlos tres ejes coordenados. Determinar el mximo valor terico que puedealcanzar la relacin de Poisson.

)(21

zyxzyxE

zyxzyx

Para un esfuerzo uniforme:

)(21

E

La tensin y deformacin deben tener el mismo signo (1-2) ha se derpositivo.

021

Donde: 2/1

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Constantes elsticas de materiales istropos a T. amb.

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Estructuras estticamenteindeterminadas o hiperestticoAl plantear las condiciones de equilibrio para la barra doblemente

empotrada que se muestra en la figura, despreciando su peso, nos queda:

Notemos que las condiciones de esttica no son suficientes para resolvereste sistema. Tenemos dos incgnitas (la carga F es conocida), y apenas

una ecuacin que las relaciona.

0 CA RFR

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SISTEMAS HIPERESTTICOS. GRADO DE HIPERESTATICIDAD

Si R > E SistemaHIPERESTTICO

El nmero de ecuaciones no essuficiente.

GH = R-EGRADO DE

HIPERESTATICIDAD

Hay que aadir tantas ecuaciones decompatibil idad de deformacionescomo GH tenga el sistema

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Problema 2:

Una varilla de cobre se introduce en uncilindro hueco de aluminio. La varillasobresale 0.130. Determinar la carga

mxima P que se puede aplicar al conjuntopor intermedio de la placa de apoyo. Losdatos que se especifican seguidamente.

Cobre (Cu) Aluminio (Al)

rea (mm2) 1200 1800

E (GPa) 120 70Esfuerzo adm. (MPa) 140 70

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La deformacin de origen trmico en un cuerpo sin restricciones:

Efecto de la temperatura sobre las

deformaciones

Tt

Deformacin total

te

: coeficiente de dilatacin trmicat: deformacin trmica

: deformacin totale: deformacin elsticat: deformacin trmica

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Resumen de ecuaciones

Esfuerzo normal promedio debido a carga axial:

: Esfuerzo normal promedio en la seccin transversalP: Carga axial sobre la seccin (perpendicular a la seccin)

A: rea de seccin transversal

A

P

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Alargamiento normal en un elemento:

: Alargamiento normal en un elementoLf: Longitud final del elementoLi: Longitud inicial del elemento

0LLL f

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Deformacin unitaria normal en un elemento:

: Deformacin unitaria normal: Alargamiento normal en un elementoLf: Longitud final del elementoLi: Longitud inicial del elemento

0

0

0 L

LL

L

f

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Alargamiento normal en un elemento:

: Alargamiento normal en un elementoLf: Longitud final del elementoLi: Longitud inicial del elemento

0LLL f

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Ley de Hooke:

: Esfuerzo normalE: Mdulo de Elasticidad de Young: Deformacin unitaria normal

E

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Relacin de Alargamiento debido a carga axial:

: Alargamiento normalP: Carga axialE: Mdulo de Elasticidad de YoungL: Longitud del elemento

A: rea de seccin tranversal

AE

LP

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Relacin de Alargamiento debido a cambios trmicos:

: Alargamiento normal: Coeficiente de dilatacin trmicaL: Longitud del elementoT: Variacin de temperatura

TL

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Resil iencia de un material:

U0: Resiliencia: Esfuerzo normal mximo de la zona elsticaE: Deformacin unitaria normal mxima de la zona elstica

EEU 2

10

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Tenacidad de un material:

T0: Tenacidadu, y: Esfuerzos normales ltimo y de fluencia, respectivamenteMAX: Deformacin unitaria normal mxima

MAX

dT

0

0