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I. CONTEO DE FIGURASMétodos de conteo:

A) Conteo Directo (método de Schoen)

Consiste en calcular la cantidad de fguras del tipo deseado procedido a la numeración de todas las fgurassimples mediante dígitos y/o letras, posteriormente al conteo ordenado de las fguras de 1 número; al unir 2números al unir 3 números y así sucesivamente.

E!em"#o:Hallar el número de tringulos en la fgura ad!unta

a" 12 #" 13 c" 1$d" 1% e" 1&

So#$ci%n:

1

2

3

4 5

6 7

'e 1( ) * tringulos'e 2( ) 12, 23, $%, &*, $&, %*'e 3( ) 1$%, $%3

 +otal 1% +ringulos

R"t&.: D

') Medi&nte F%rm$#&s (Método Ind$ctio)

Cont&r n*$#os

-e cuentan sólo ngulos conveos

θ 0 1"

1

2

1 ngulo 2

12

1

2

3

3 ngulo 2

23

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2/53

1

2

3

4

& ngulos 2

3$

4n general)

1

2

3

n

2

"1n/n-

  −=

n) 5 de rayos

E!em"#o:6Cuntos ngulos eisten en la fgura

a" 21 #" 1 c" 2$d" 2 e" 1&

So#$ci%n

1

2

3

4

5

6

7

n * →  212

"1**-   =

−=

R"t&.: A

Cont&r Se*mentos

1 segmento

1 2

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3/53

1 segmento 2

12

3 segmentos

1 32

3 segmentos   2

23

6 segmentos

1 42 3

& segmentos 2

3$

4n general)

1 42 3 . . . . n

2

"1n/n-

  −=  n) n de puntos

E!em"#o:Hallar el total de segmentos

C U A D R A D O

a" 2$ #" 2& c" 2d" 3 e" 32

n →  22

"1-   =

−=

- 2

R"t&: C

Cont&r Tri,n*$#os

1 2

1 tringulo 2

12

1 2 3

3 tringulos 2

23

1 2 3 4

& tringulos 2

3$

4n general)

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4/53

1 2 3 n. . . . .

2

"1n/n-   −=   n) n de puntos en la #ase

E!em"#o:

Calcular el total de tringulos

a" 21 #" 1 c" 2d" 1& e" 2$

So#$ci%n:

1 2 3 4 5 6 7

n * →  212

"1**-   =

−=

R"t&.: A

Cont&r C$&dri#,teros

1 2 3 4

2

3

. . . n

m

2

"1m/m

2

"1n/n-

  −−=

E!em"#o:

Calcular el total de cuadrilteros

a" 11 #" 112 c" 12d" 13 e" 12&

So#$ci%n:

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5/53

1 2 3 4 5 6 7

2

3

4

2"1$/$

2"1*/*-   −−=

- 21 & 12&

R"t&.: E

Cont&r C$&dr&dos7rocediendo inductivamente)

1 1= 12

1 5 = 122

2

+ 22

1

14= 12

2

2 + 22

3

3

+ 32

4n general)

1 2

2

3

3

... n

n

- 12 8 22 8 32 8 . . . 8 n2

&

"1n2"/1n/n-

  ++=

E!em"#o:

Hallar el total de cuadrados en la fgura)

a" $ #" % c" %%d" $2 e" %2So#$ci%n.

1 2 3 4 5

23

4

5

n % →  %%&

"11"1%%-   =

++=

R"t&.: C

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Conteo de c&minos o R$t&s

E!em"#o -:

'e cuntas 9ormas se puede leer la pala#ra :5?

N

U U

M M ME E E E

R

O

R R R R

O O O O O

So#$ci%n:

7or el tringulo de 7ascal)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1

1

4 6 4 1

5 10 5 110

Suma e !a "#!a$

1 "o%ma

2 "o%mas

3 "o%mas

4 "o%mas

16 "o%mas

32 "o%mas

32 9ormas

E!em"#o :'e cuntas maneras se puede leer la pala#ra :@>ABBD?

& O ' (

O ' ( )

' ( ) (

( ) (  A

So#$ci%n:

7or el :+ringulo de 7ascal?

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6 10

1 4 10 20

2 maneras

E!em"#o:'e cuntas 9ormas se pueden ir de D a @ por el camino ms corto

 A

&

So#$ci%n:

7or el :+ringulo de 7ascal?

1 1 1 1 1

21

1

1

3 45

15

35

70351551

4 10 20

63 10

* 9ormasE!em"#o /:'e cuntas 9ormas se puede ir de :

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7/53

M

N

So#$ci%n:7or el :+ringulo de 7ascal?

M

N

1 1 1

33

3

3

1

1 6 * *

*

*

1

27 54

2

27

%$ 9ormas

E!em"#o 0:'e cuntas 9ormas se puede ir de :D? a :@? por el camino ms corto

 A

&

So#$ci%n:

7or el :+ringulo de 7ascal?

 A

&

1 1

1

1 1

1

1

2

3

3 4

14

4

34

6 10

10 204

144 34 6

& 9ormasE!em"#o:6Cuntos caminos di9erentes puede seguir la Eormiga Fue se indica en la fgura para llegar a :

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8/53

a" 1% #" 1& c" 1d" 1$ e" 12

3. Cuntos tringulos eisten

a" #" * c" Gd" & e" 1

34. Cuntos tringulos tiene la fgura

a" #" G c" 1d" 12 e" 1$

3/. Cuntos tringulos Eay en la fgura

a" 1& #" 1 c" 2d" 22 e" 2$

30. Cuntos cuadrilteros eisten en la fgura

a" 1 #" 12 c" 13d" 1$ e" 1&

35. Hallar el total de cuadrilteros

a" $ #" % c" &d" * e"

36. Hallar el total de cuadrilteros

a" 1 #" 12 c" 1$d" G e" 13

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37. Cuntos egonos Eay en total)

a" 1$ #" 1& c" 1d" 2 e" 1%

38. Hallar el total de ngulos en fgura

a" 22 #" 1& c" 2$d" 1 e" 2

-3. Hallar el total de ngulos en la fgura

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

a" 1 #" 22 c" 2$d" 2% e" 3

--. Calcular el total de segmentos

-

E

NR  A O  A R

S

 A

R

a" 3& #" 32 c" $

d" 2 e" $2-. Cuntos segmentos eisten en total en la fgura

a" 2$ #" 2& c" 2

d" 3 e" 32

-4. Calcular el total de segmentos Fue Eay en la fgura

a" $ #" 3& c" $%d" $G e" %2

-/. Hallar el total de tringulos en la fgura

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a" G #" G& c" 12

d" 1 e" 112

-0. Cuntos tringulos Eay en la fgura

a" 1& #" 1 c" 1Gd" 2 e" 1%

-5. Hallar el total de tringulos en la fgura

a" 3$ #" 32 c" 3&d" $ e" 2

-6. Calcular el total de tringulos en la fgura

a" 32 #" 3& c" 3%d" 3 e" $

-7. Hallar el total de paralelogramos

a" 12 #" 11 c" G&d" 1 e" G

-8. Cuntos sectores circulares Eay

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a" #" *& c" $d" &$ e"

3. Cuntos semicírculos eisten en la fgura

a" 2 #" 2$ c" 2*d" 21 e" 2&

-. Cuntas diagonales se pueden traar

a" G& #" 1 c" 11d" 12 e" 112

. calcular el total de tringulos en la fgura

a" $ #" % c" $2d" %2 e" $&

4. Hallar el número de tringulos

1 2 ...... 20

.......

a" 3& #" 3 c" $d" $2 e" 3G

/. Cuntos :♥? Eay en el rectngulo y círculo pero no en el tringulo

♥   ♥♥

♥   ♥♥♥

♥ ♥

♥   ♥♥

a" 1 #" 3 c" 2

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d" $ e"

0. Cuntos tringulos tienen por lo menos una :I?

I

II

a" #" G c" 1d" 12 e" *

5. Cuntos cuadrilteros no contienen a la I

I

I

a" 11 #" G c" d" 12 e" 1

6. Cuntas rectas se de#e aJadir para 9ormar 1 tringulos

a" 1 #" 2 c" 3d" $ e" %

. CONTEO DE N9MEROS

1RCTICA DE C2ASE

3-. 4n la serie natural) 1, 2, 3, $, ...... , $$$$

6Cuntas ci9ras Eay escritasKa" 1& %&G #" 1& &&G c" 1* &&Gd" 1& %G e" 5.D.

3. -i en la serie natural de los números se Ean empleado 13$1 ci9ras. Hallar el último númeroescrito.

a" %1& #" $3 c" %1%d" $2 e" 5.D.

34. -e escri#e la serie natural de los números desde 1 Easta el 2$G3. 6Cuntas ci9ras sernnecesarias usar para escri#ir los 2 últimos númerosK

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a" * $$$ #" * $G$ c" & $$d" $G$ e" * $$

3/. Dl escri#ir la serie natural de los números a partir del número *1. 6Cul es la ci9ra Fue ocupa ellugar $1K

a" 3 #" $ c" %d" & e" 5.D.

30. 6Cuntas ci9ras se emplean en la escritura de todos los números enteros desde el mimonúmero de dos ci9ras distintas Easta el menor número de $ ci9ras distintasK

a" 2 * #" 2 *% c" 2 d" 2 G e" 5.D.

35. 7ara numerar las 22 últimas pginas de un li#ro se utiliarn *1 tipos. 6Cuntos tipos en total seutiliaronK

a" 2G #" 2*G c" 2GGd" 3G e" 5.D.

36. -i en la numeración de las pginas impares de un li#ro se Ean utiliado $$ tipos. 6CuntasEo!as tendr dicEo li#roK

a" 33 #" 3& c" 1&%d" 1 e" 5.D.

37. 6Cuntos tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente secuencia)

3*G*** 1 ....,1 ,1 ,1

a" G$1 #" 1321 c" 1$2&d" 1%$ e" 2$3

38. 4n la numeración de las 1 mnp pginas de un li#ro se Ean empleado $mnp ci9ras de imprenta.Hallar m8n8p.

a" 1$ #" 1% c" 1d" 1* e" 2

-3. -e Ean arrancado las % últimas Eo!as de un li#ro, notndose Fue el número de tipos deimprenta Fue se Ean utiliado en la numeración Ea disminuido en 3&1. 6Cuntos tipos de imprenta se Eanutiliado en la numeración de las Eo!as Fue FuedanK

a" 2* #" 2*2 c" 2*$&d" 2**2 e" 2*

--. 6Cuntos números enteros se epresan con 3 ci9ras signifcativas distintas en el sistema decimalK

a" G #" *2G c" &$d" %$ e" 5.D.

-. 6Cuntos números de 3 ci9ras en el sistema Fuinario se epresan con numerales Fue tienen porlo menos una ci9ra o dosK

a" $ #" *2G c" &$d" %$ e" 5.D.

-4. 6Cuntos números de ci9ras poseen * ci9ras sieteK

a" * #" *2 c" *1d" e" 5.D.

-/. 6Cuntos números de 3 ci9ras del sistema decimal utilian al menos una ci9ra 2 o al menos unaci9ra 3 en su escrituraK

a" $2 #" $$ c" $%d" $%2 e" $%$

-0. 64n FuL sistema de numeración eisten &$ números de la 9orma)

"1c"/1c/c"2#/#"2a/a   −+−+

a" 12 #" 1& c" 1d" 11 e" G

-5. 6Cuntos números de 3 ci9ras tienen por lo menos una ci9ra 3 y una ci9ra % en su estructuraK

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a" $$ #" $ c" %2d" $ e" 12

1RO'2EMAS 1RO1UESTOS 3-

3-. 'etermine el número de tLrminos en cada serie .

I 2; 22; 2$; ... $=pta ) .............

I 2$2; 2$1&; 2$12; ...... ; 12=pta )...........

I 1$; 11; 11&; ........; 3$22=pta )............

I 3$*; 3$**; 3$&*; ....; %$*=pta ) ............

3. 'etermine el tLrmino Fue seJala en cada serie)

I *; 2*; $*; ................t%=pta) .............

I 21; 33; $%; ...........t&=pta) .............

I 3*; $; $3; ............t121=pta) ............

I G3; 1&; 11G; .......tG1=pta).............

34. 6 Cuntos números pares capicúas de $ ci9ras eisten en el sistema decimal K

a" 1& #" % c" $d" $% e" 3&

3/. 6 Cuntos números de $ ci9ras no usan las ci9ras %; $ y * en su escritura K

a" 21 #" 212& c" 2%d" 23$2 e" 1GG

30. Calcular el mayor valor posi#le del número de tLrminos de la siguiente progresión aritmLtica de númerosnaturales )

3G1; 3%; 3*G; 3*3; ..........

a" && #" &$ c" &

d" &* e" &%35. -i de una progresión aritmLtica se sa#e Fue el tLrmino de lugar $ es 1G y el tLrmino de lugar G es

$$. Hallar el valor del tLrmino de lugar 111

a" %% #" %%3 c" %3d" % e" %%

36. 4n una progresión aritmLtica se sa#e Fue la relación del vigLsimo primer tLrmino y el Fue ocupa el lugar*1 es como 11 a 3&.Ddems el tLrmino onceavo es *2.6Cul ser la suma del primer tLrmino y la raónK

a" 12 #" 1& c" 1

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d" 2 e" 22

37. 4n una progresión aritmLtica de $2 tLrminos el primer tLrmino es 2G y el último tLrmino es 31&. Hallar eltLrmino vigLsimo.

a" 1%2 #" 1%* c" 1&2d" 1&* e" 12

38. 'ada la siguiente 7.D.a281; *a; GaM1; .............

Hallar el primer tLrmino Fue tenga 3 ci9ras

a" 11 #" 1 c" 1%d" 1& e" 1*

-3. 6 Cuntos números de 3 ci9ras tienen en su escritura por lo menos una ci9ra * K

a" 2%2 #" 2%3 c" 2%$d" 2 e" 1G

--. 6 Cuntos números capicúas de $ ci9ras en #ase terminan en ci9ra parK

a" %*& #" 2$ c" 32d" 21 e" 2

-. 6Cuntos números de tres ci9ras se escri#e con un ó G y alguna otra ci9ra di9erente de las anterioresK

a" &$ #" $& c" 32d" $$ e" 3

-4. 6 Cuntos números de tres ci9ras del sistema decimal utilian al menos una ci9ra 2 , o al menos una ci9ra3 en su escritura K

a" $2 #" $$ c" $%d" $%2 e" $%1

-/. 6 Cuntos números de la 9orma )

c"2#/#"/1a/a   −+ eisten K

a" #" %& c" &3d" %*& e" &$

-0. 6 Cuntos números de la 9orma )

#c"a2"/3#/a   +

eisten tales Fue sean impares K

a" 12 #" 1$ c" 1$d" % e" %$

-5. -i consideremos el segmento como la unión de dos puntos . 'ecir cuntos segmentos Eay en total en lafgura.

 

a" $ #" %3 c" %%d" $% e" 3&

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-6. 4n la fgura mostrada el cuadrado de la di9erencia entre el número de cuadrilteros y el número detringulos es )

a" $ #" G c" 2%d" 3& e" $G

-7. 6Cuntos cuadrilteros Fue contengan un   eisten en la siguiente fgura K

a" * #" c" Gd" 1 e" 11

-8. 6'ecir cuntos cuadrados Eay en la siguiente fguraK

a" 12 #" 1$ c" 1%d" 1 e" 1G

3. 4n el grfco mostrado se tienen N nN flas y N nN columnas de circun9erencias. Hallar el número total depuntos de intersección

1 2 3 4 n

1

2

3

n

a" nnM1" #" 2nnM1" c" $nnM1"d" 3nnM1" e" &nnM1"

-. 4n la fgura se tiene N nN cuadrados dispuestos como se muestra, si el mimo número de tringulos Fuese determinan es $G. Hallar N nN

a" 122 #" c" 212d" 123 e" 121

. 4n la fgura Fue se muestra, el mimo número de tringulos es 2*2. Hallar N nN

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1

2

n

...

a" 2$ #" 1$ c"13d" 1* e" 21

4. 6Cuntos ngulos agudos Eay en la fguraK

&

M

 A

N

C

a" %$ #" 2* c" &3d" *1 e" G

/. Dl 9ormar una pirmide regular de #ase cuadrada se o#serva Fue en la #ase se usaron $ #olas.6Cuntas #olas usaron en totalK

a" 2* #" %*$ c" 1$3%d" 1& e" 5.a.

0. 6Cul es el mínimo tiempo Fue utiliar un niJo para recorrer todos los lados y las dos diagonales de unparFue rectangular de $ m de largo y 3m de ancEo corriendo con una rapide uni9orme de 2* m/min.K

a" 1 min. #" 12 min. c" 1$. min.

d" 1% min. e" 13 min. TAREA DOMICI2IARIA

3-. =especto al traado de la fgura de un solo trao sin levantar el lapicero

& C

 A E

D

/

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a" $ cm/min #" 3 cm/min c" 2 cm/ mind" 1 cm/min e" % cm/min

30. 'ecir cuntos tringulos Eay en la fgura )

a" 1* #" 1G c" 21d" 23 e" 1&

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S# tengo 3 es"e%#tas #"e%entes

e untas mane%as #st#ntas

ueen a!#nea%.

6 mane%as

S# tenemos a !os a!umnos A8

& 9 C8 e untas mane%as

#st#ntas se uee "o%ma% una

3 mane%as

a%e:a .

 A & C

 A C  A & & C

-. 1RINCI1IOS FUNDAMENTA2ES DE CONTEO.

4n los e!emplos anteriores, nos damos cuenta Fue dado un evento particular alinear las 3 es9eras o 9ormaruna pare!a ", estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en Fue puede ocurrir. 7aradeterminar las veces Fue ocurre un determinado evento, Earemos uso de las tLcnicas de conteo , Fue sernde gran ayuda en estos casos.

-. 1rinci"io de m$#ti"#ic&ci%n.+eorema 9undamental del anlisis com#inatorio ".-i un evento :D? ocurre de :m? maneras y para cada una de estas, otro evento :@? ocurre de :n? maneras,entonces el evento :D? seguido de :@?, ocurre de:m n? maneras.

Oser&ciones :

I 4n este principio la ocurrencia es uno a continuación del otro, es decir, ocurre el evento :D? y luego ocurreel evento :@?.

I 4ste principio se puede generaliar para ms de dos eventos.

E!em"#os:

&. Pna persona puede via!ar de :D? a :@? de 3 9ormas y de :@? a :C? de 2 9ormas. 6'e cuntas manerasdistintas puede ir de :D? a :C? pasando por :@? y sin retroceder.-olución

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. 6Cuntos resultados di9erentes se pueden o#tener al lanar una moneda y un dado simultneamente K.-olución

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c. Dna tiene 3 #lusas di9erentes y $ 9aldas tam#iLn di9erentes. 6'e cuntas maneras se puede vestir DnaK.-olución

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d. Pn producir se arma en 3 etapas) para la primera etapa se tienen disponi#les % líneas de armado, para lasegunda $ y para la tercera & líneas de armado. 6'e cuntas maneras distintas puede moverse el productoen el proceso de armado K.-olución

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QQQQQQQQQQQQQQQQQQe. 6Cuntos números pares de 3 dígitos se puede 9ormar con los dígitos 1, 2, %, &, *, y G, si cada dígito puede

emplearse una sola ve K.-olución.

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. 1RINCI1IO DE ADICION.

-i un evento ;A? ocurre de :m? maneras y otro evento :'? ocurre de ;n< m&ner&s, entonces el eento A %', es decir, no simultneamente, ocurre de ;m=n< m&ner&.

Oser&ciones

I 4n este principio la ocurrencia no es simultneamente, es decir, ocurre el evento :D? o el evento :@?, perono am#os a la ve.

I 4ste principio se puede generaliar para mas de 2 eventos.

E!em"#os:

&. Pna persona puede via!ar de :D? a :@? por vía aLrea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneasaLreas y % líneas terrestres. 6'e cuntas maneras distintas puede realiar el via!e K.-olución)

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. 6Cunto resultados di9erentes se puede o#tener al lanar un dado o una moneda K-olución

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QQQQQQQQQQQQQQQQQQc. Pn producto se vende en 3 mercados, en el 1ro. -e tiene disponi#le en & tiendas en el 2do. en % tiendas y en

el 3er. mercado en $ tiendas.6'e cuntas maneras distintas puede adFuirir una persona un artículo de dicEo producto K.-olución

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II. FACTORIA2 DE UN NUMERO.

-ea :n? un número entero positivo, el 9actorial de :n?, se denota por :nR? o : n? y se defne como el productode todos los enteros consecutivos de 1 Easta n inclusive, es decir )

  n R n 1 2 3 $ Q. nM1" n

4!emplos)•  1 R 1•  2 R 1 2 2•  3 R 1 2 3 &•  $ R 1 2 3 $ 2$•  % R 1 2 3 $ % 12•  & R 1 2 3 $ % & *2•  * R 1 2 3 $ % & * %$•  R 1 2 3 $ % & * $32•  G R 1 2 3 $ % & * G 3&2•  1 R 1 2 3 $ % & * G 1 3&2

-e o#serva )  R

1 R 1 2 3 $ % & * G 1

  G R

1 R GR S 11 R R G 11 R R G 11 R *R G 1

Entonces:

  n > ? (n @ -)> n

'e aFuí o#tenemos para n 1 )1R 1 M 1" R 1 R 1 R

Auego defnimos convencionalmente)

1R R 1

A12ICACIBN

&. Calcular )1*R1%

R1*R1&R1%4

  ++=

% -olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

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QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

. =educir) 4  n n n

n n=

  + +−

( )! ! ( )!

( ! )! !1-olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

III.COFACTORIA2 O SEMI@FACTORIA2-ea :n? un número entero positivo, el co9actorial o semi9actorial de?n? se denota por :n? y se defne)

&. 7ara :n? par )

RR 2 $ & 2 RR QQQQQQQ

 . 7ara :n? impar )

*RR 1 3 % *

1G RR QQQQQQQ.

A12ICACIBN4presar los siguientes co9actoriales en tLrminos de 9actoriales.a. $ RR#. $1 RR

-olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

Oser&ciones:•  3 R & 9actorial de 3•  3 RR 3  co9actorial de 3•  3 RRR  no eiste defnición•  3 R"R & R *2•  3 R"R"R &R"R *2R•  3 RRR ≠  3R "R"R

I.1ERMUTACION.4s un arreglo u ordenación Fue se puede 9ormar con una parte o con todos los elementos disponi#les de uncon!unto.En una permutación si interesa el orden de sus elementos. -e pueden presentar en tres casos.

-. 1ERMUTACION 2INEA2.4s un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. -i tenemos un con!unto de cuatro elementos,DTa,#,c,dU , los posi#les arreglos o permutaciones de este con!unto tomados de 2 en 2 son)

a QQ, #QQ.., cQQ, dQQ..a QQ, #QQ.., cQQ, dQQ..a QQ, #QQ.., cQQ, dQQ..

emos Fue Eay 12 permutaciones distintas.-e puede llegar a la misma respuesta sin tener Fue escri#ir todas las ordenaciones posi#les, si aplicamos elprincipio de multiplicación)

 A = ; a8 8 8 <

4 3O%ena#n

e 2 en 2

7or lo tanto) 5úmero de permutaciones posi#les es)

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$ 3 12

'el e!emplo anterior o#tenemos las siguientes conclusiones)

• 4l número de permutaciones de $ elementos tomados de 2 en 2 se denota como ) 72$

•   72$ 12 $ 3

$ 3 2 1

2 1

72$ $

2

$

$ 2= = −!

!

!

( )!

En Gener

4l número de permutaciones de :n? elementos di9erentes tomados de :V? en :V?, se calcula como)

7  n

n V V n =

−!

( )!  0 V ≤ n

Oser&ci%n:

I Cuando se toman todos los elementos del con!unto para ordenarlos o permutarlos es decir Vn", se diceFue es una permutación de :n? elementos y se denota por 1n 

7n

n n

n nnn =

−  = =

!

( )!

!

!

!

1

7 7 nnn

n= =   !

A12ICACIBN:

&. 4n una carrera participa $ atletas. 6'e cuntas maneras distintas pueden llegar a la meta, si llegan uno acontinuación del otro K.-olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

. Pn grupo esta 9ormado por & persona y desean 9ormar una comisión integrada por un presidente y unsecretario. 6'e cuntas maneras puede 9ormarse dicEa comisión K.-olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

c. 'os varones y tres cEicas van al cine y encuentran asientos !untos en una misma fla, donde deseanacomodarse. 6'e cuntas maneras di9erentes pueden sentarse, si las tres cEicas no Fuieren estar una allado de la otra K.-olución)QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

d. 6'e cuntas maneras se pueden colocar 1 cEicas en una fla, de manera Fue dos cEicas, en particular, noFueden !untas K.-olución)QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

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QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

e. 6'e cuntas maneras se pueden colocar 12 niJos en una fla, de manera Fue cuatro niJos, en particular

Fueden !untos K.-olución)QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ. . 4ncontrar el número total de enteros positivos Fue pueden 9ormarse utiliando los dígitos 1, 2, 3 y $, si

ningún dígito Ea de repetirse cuando se 9orma un número.-oluciónQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.. 1ERMUTACION CIRCU2AR.

4s un arreglo u ordenación de elementos di9erentes alrededor de un o#!eto; en estas ordenaciones no Eayprimer ni último elemento, por Eallarse todos los línea cerrada.

Ejemplo:I 7ermutar :D? y :@? y :C? en 9orma circular.

-olución)QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

7ara determinar el número de permutaciones circulares de :n? elementos distintos, denotado por 7 cn"  #astaf!ar la posición de uno de ellos y los :nM1? restantes podrn ordenarse de nM1" maneras. -i se toma otroelemento como f!o, las ordenaciones de los restantes sern seguro uno de los ya considerados.Auego)

7 nc n( )   ( )!= − 1

Oser&ci%n:I 7ara di9erenciar una permutación circular de otra, se toma uno de los elementos como elemento de

re9erencia, y se recorre en sentido Eorario o antiEorario, si se encuentran los elementos en el mismo orden,entonces am#as permutaciones sern iguales y en caso contrario, di9erentes.

E!em"#os:

I 7ara el e!emplo anterior )

 A C

&

>1?

&  A

C

>2?

C &

 A

>3?

 A &

C

>4?

-ea :D? el elemento de re9erencia; recorremos a partir de :D? en sentido Eorario, como indican las WecEas.4n )1" D, C y @ 2" D, C y @ 3" D, @ y C

sólo $" es una permutación di9erente a las otras tres Fue representan una misma permutación circular.

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A12ICACIBN:

&. 6'e cuntas maneras di9erentes pueden sentarse alrededor de una mesa Xuan y sus cinco amigas K.-olución)QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

. 4n una mesa circular se encuentran servidos % vasos con gaseosa, entre ellos Eay uno con gaseosa marca:Coca Cola? . 6'e cuntas maneras di9erentes pueden u#icarse & personas en sus asientos, si entre ello Eay$ personas Fue no les gusta la gaseosa marca :Coca Cola?K.-olución)QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

c. Cuatro pare!as de enamorados, 6de cuntas maneras di9erentes pueden u#icarse alrededor de una 9ogataK.'e modo )i. Aos Eom#res y mu!eres Fueden alternadosii. Cada pare!a no se separe.-olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

4. 1ERMUTACION CON E2EMENTOS RE1ETIDOS.4s un arreglo u ordenación de elementos no todos di9erentes elementos repetidos ".-i se tienen :n? elementos donde Eay )V 1 elementos repetidos de una 1ra. Clase.V 2 elementos repetidos de una 2da. Clase.• •

• •

• •

V 1 elementos repetidos de una rMLsima clase4l número de permutaciones di9erentes con :n? elementos los cuales tienen elementos Fue se repiten, secalcula como sigue)

7  n

V V V  V V V n

rr1 2

1 2, ,...,

!

! ! .... !=

'onde )V 1 8 V 2 8 Q8 V r ≤ n

A12ICACIBN

&. Pn estante tiene capacidad para % li#ros de =.

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QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

c. 6'e cuntas maneras se pueden ordenar las letras de la pala#ra 'BB-B@BAB'D' K.

-olución)QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

. COM'INACION.4s una selección o grupo Fue se puede 9ormar con una parte o con todos los elementos disponi#les de uncon!unto. En $n& comin&ci%n no interes& e# orden de s$s e#ementos.D travLs de un e!emplo nos daremos cuenta Fue Eay una estrecEa relación entre las permutaciones y lascom#inaciones.

'ado el con!unto D T a,#,c,d U calcular el número de permutaciones y el número de com#inaciones de loselementos de :D? tomados de 3 en 3.

 

-e%muta#ones Com#na#ones

a8 a8 a8 a8 a8 a

a8 a8 a8 a8 a8 a

a8 a8 a8 a8 a8 a

8 8 8 8 8

@ota! $ 24 = -43

@ota!$ 4 = C43

6

6

6

6

a

a

a

1

1

1

1

'el e!emplo anterior o#tenemos las siguientes conclusiones)

I 4l número de com#inaciones de $ elementos tomados de 3 en 3 se denota por C3

$

I Cada com#inación tiene & perrmutaciones es decir ) 3 R.

I C7

3$ 3

$

$2$

& 3= = =

!

IC3

$

$

$ 3

3

$

3 $ 3=

  −=

−

!

( )!

!

!

!( )!

En *ener:

4l número de com#inaciones de :n? elementos di9erentes tomados de :V? en :V? se calcula como)

C  n

V n V V n =

−!

!( )!  ; 0 V ≤ n

Oser&ciones:

I Cuando se toman todos los elementos del con!unto para agruparlos o com#inarlos es decir , Vn", se diceFue es una com#inación de :n? elementos y )

Cn

n n n

n

n nn =

−  = =

!

!( )!

!

! !1

Cnn = 1

• C C n Cn n

nn

11 1= = =; ;

•   C CV n

n V n=   −

• C C C Cn n n nn n

1 2 2+ + + + =...

• Cn nn

2

1

2=

  −( )

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• 4n el tringulo de 7ascal podemos o#servar lo siguiente )

11 1

21 1

3 31 1

4 6 4 11

10 10 551 1

61 15 20 15 6 1 C6

C

C

C

C

C1

2

3

4

5

C40 =1

C42 =6 C43 =4

C61 =6

C64 =15 C

65 =6

A12ICACIBN

&. 6Cuntos grupos de $ personas se pueden 9ormar con & personas K.-olución)QQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQ.....

QQQQQQQQQQQQQQQQ.....

QQQQQQQQQQQQQQQQ.Q

. -e etrae dos cartas de una #ara!a de %2 cartas. 6'e cuntas maneras se puede Eacer eso K.-olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQ.QQQQ

c. 4n una reunión Eay 1 Eom#res y & mu!eres. -e van a 9ormar grupos de % personas. 6Cuntos gruposdi9erentes se 9ormarn si siempre de#en Ea#er 3 Eom#res en el grupo K.-olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

d. Pn estudiante tiene Fue contestar de 1 preguntas en un eamen)i. 6'e cuntas maneras puede el estudiante escoger las preguntas K.ii. -i las tres primeras son o#ligatorias. 6de cuntas maneras puede escoger las preguntas K.iii. -i tiene Fue contestar $ de las % primeras. 6de cuntas 9ormas puede escoger las preguntasK.

-olución)

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

QQQQQQQQQQQQQQQQQQ

CONC2USION:

I Aa di9erencia ms importante entre las permutaciones y las com#inaciones radica en el orden.

7ermutaciones 0 Y ordenamientosIm"ort& e# orden

Com#inaciones 0Y DgrupamientosNo im"ort& e# orden

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1RACTICA DE C2ASE

3-. Hallar :? en)

1R 22 8 2R 32 8 3R $28Q.82R 212  R M 2R

=pta)QQQQQQ.

3. Pna compaJía aLrea de#e realiar diariamente % via!es al Cusco, 3 a +ru!illo y 2 a BFuitos. 6'e cuntas

maneras distintas puede realiar dicEo itinerario K.

=pta) QQQQQQ..

34. -e dispone de % colores di9erentes para pintar la siguiente fgura de modo Fue cuadrados vecinos tengancolores di9erentes. 6'e cuantas maneras puede cumplirse dicEo o#!etivo, si el número de colores utiliadosen cada caso es mínimoK.

=pta) QQQQQ..

3/. Caito, !ugador estrella del Cantalao, de#e recorrer la cancEa del 5acional de :D? a :@? , según losmovimientos indicados por la WecEa. 6'e cuntas maneras es posi#le Fue Caito Eaga dicEo recorrido K.

 A

&

=pta) QQQQQ..

30. 4n la fgura D, @, C y ' son ciudades y cada línea es un camino. -i una persona desea via!ar. 6'e cuntamanera puede elegir su recorrido K. si )a. -ale de D Eacia ' pasando por @ y C"

#. -ale de D Eacia ' y luego regresa Eacia D

c. -ale de D Eacia ' y luego regresa Eacia D sin pasar de nuevo por el mismo recorrido.

 A & C D

=pta)QQQQQ

35. 6Cuntas números de 3 ci9ras utilian al menos una ci9ra par o cero en su escritura K.

=pta)QQQQQ..

36. Pn grupo de 3 mu!eres y % Eom#res se 9orman en 2 flas iguales. 6'e cuntas 9ormas se podrn u#icar, sien cada fla de#e Eacer por lo menos 1 mu!er K.

=pta)QQQQQ

37. Hay dos o#ras de 3 volúmenes cada una y otras dos de dos volúmenes cada una. 6'e cuntas maneraspuede colocarse los 1 li#ros en un estante, si de#en Fuedar de tal manera Fue no se separen losvolúmenes de la misma o#ra K.

=pta) QQQQQ..

38. 4n un semestre acadLmico en la Pniversidad, se enseJa el curso de

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--. Dlrededor de una mesa circular de & asientos se u#ican 2 niJas y 3 niJos. 6'e cuntas 9ormas podrnEacerlo, si el asiento vacío de#e Fuedar entre las niJasK.

=pta) QQQQQQ.

-. 4n una ca!a se tiene 2 fcEas ro!as, $ fcEas #lancas, 3 aules, 1 verde y 1 negra. 6'e cuntas manerasdi9erentes se les puede ordenar si se colocan una continuación de otra.

a. en 9orma de línea recta

#. en 9orma de círculo.

=pta) QQQQQQ..

-4. Calcular el número total de pala#ras di9erentes Fue se pueden 9ormar con todas las letras a la ve de lapala#ra VD++BB, de manera Fue, vocales iguales estLn !untas.

=pta)QQQQQ..

-/. 6Cuntos partidos de 9út#ol se !uegan en total en un campeonato Fue se !uega a dos ruedas K.-upongamos Fue participan 2 eFuipos.

=pta)QQQQQQ.

-0. 4n un tienda Eay & camisas y % pantalones Fue me gustan. -i decido comprar 3 camisas y 2 pantalones,6de cuntas maneras di9erentes puedo escoger las prendas Fue me gustanK.

=pta) QQQQQQQ.

-5. 'e un grupo de 1% personas, % son mucEacEos, & son mucEacEas y $ son adultos. -e desea 9ormar uncomitL de & personas. 6'e cuntas maneras se pueden agrupar, si en el comitL de#e Eacer por lo menos 2adultos, 2 mucEacEas y 1 mucEacEo K.

=pta)QQQQQQQ

-6. -e tiene & números positivos y números negativos. -e eligen $ números ar#itrariamente sin sustitución yse multiplican. 6'e cuntas 9ormas el producto es un número positivo K.

=pta) QQQQQQ..-7. 4n un torneo de a!edre !ugaron en total %2$ partidas, y se sa#e adems Fue Eu#ieron 2 ruedas. 4n la

primera !ugaron todos contra todos y en la segunda !ugaron los me!ores. 6Cuntas personasparticiparon K.

=pta)QQQQQQ

-8. Pn #ote de remos va a ser tripulado por un grupo seleccionado de 11 Eom#res, de los cuales 3 puedenllevar el timón. 6'e cuntas maneras puede ordenarse el grupo si dos de los Eom#res de#en estar en el#ote y solo pueden remar en uno de los lados K. 4l #ote tiene la misma cantidad de remos a sus lados ".

=pta) QQQQQQ.

3.-e Fuiere tomar una 9oto a un grupo de alumnos, pero en la 9oto solo pueden aparecer % alumnos

sentados en línea recta. 6'e cuntas maneras di9erentes se puede tomar dicEa 9oto K.

=pta) QQQQQQ..

1RO'2EMAS 1RO1UESTOS 3

3-. -eis compaJeros de la universidad se encuentran en un evento tecnológico. 'eterminar6cuntos saludos intercam#ian como mínimo, si 2 de ellas estn reunidasK

a" & #" 3 c" 1%d" 12 e" 1$

3. 4n un simposio organiado por la

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3/. 4n una reunión 1 amigos desearon ordenarse para tomarse un 9oto. -i entre ellos Eay unapare!a de enamorados Fue no desea separarse. 6'e cuntas maneras pueden ordenarseK

a" GR @" R C" 2.GRd" 3.R e" 3.GR

30. 'e un congreso de estudiantes de Bngeniería a nivel del 7erú, a la Eora del almuero, en una delas salas se encuentran un grupo de 1% participantes donde 1 son del interior y % de la capital. 6'e cuntas9ormas se puede seleccionar los alumnos para almorar si en cada grupo de#e Ea#er tres estudiantes del

interior y 2 de la capitalK

a" 12 #" 132 c" 12d" 123 e" 13

35. Hallar el número de personas Fue asistieron a una reunión si al despedirse se contaron *apretones de mano.

a" 1 #" 12 c" 13d" 11 e" 1$

36. Calcular el valor de :? Fue satis9ace la igualdad)

$%C.   22   =

a" 1& #" & c" 1%d" 1 e" %

37. Calcular e y de las siguientes epresiones)

2y

y

y

1y

C%C$

CC

−

−

=

=

a" G; y1* #" 1*; yGc" 12; y d" 1*; y%e" 1; yG

38. Calcular :n?)

( )( )   R&R3n3n...R%%R$$R33R222   =+++++++

a" % #" & c" *d" e" G

-3. Dveriguar el valor de :n? Fue !ustifFue a la igualdad)

( )   n&n11n&nR3n   23$ +++=+

a" % #" 1 c" 3d" 2 e" $

--. Dl simplifca)

o#tienseCCCC

CC

2

1G12

112

1&

2113

21

+++

+

a"2

1− #"

2

1c"

$

1

d" 2 e" $

-. Aa epresión)

3n

3

n

2

n

1

n3

n2

n1

n

&C&C

&C12C*C

++

+++

a"n

11+ #"

n

11− c"

n

21+

d"n

1e" n

-4. 4l valor de la suma

m21m2

3m2m

2m1m

1mm   C....CCC   −

++

++

+ ++++

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-er)

a" ( )1m22

1+ #" ( )1m2

2

m+

c" ( )1m2

m+ d" ( )1m3

2

m+

e" 2m

-/. Calcular :n? en)

%

*

C

CC

2n$

1n3

n2 =

++

+

a" 2 #" % c" Gd" & e" 3

-0. Pn coleccionista de artículos precolom#inos Ea sido invitado a eponer sus me!ores cermicas.'icEo coleccionista Ea decidido presentar ceramios de los 1 de su colección. 6'e cuntas maneras puedeseleccionarlos si 3 de ellos no pueden 9altar en la eposición.

a" * #" 3 c" 21

d" e" 1

-5. =esolver la ecuación epresado como)

( ) ( )

( ) ( )  12

R$nR3n

R%nR3n=

++

++

a" M1 #" 1 c" M1d" 1 e" 5.a.

-6. -i se dispone de :m? o#!etos iguales, otros :n? o#!etos iguales y fnalmente :p? o#!etosdi9erentes. 6'e cuntas maneras puede Pd. seleccionar por los menos al de ellosK

a" mnp#" m81"n81" pM1c" m81" n81" 27 M1d" mn27

e" mn2781 M 1

-7. 6'e cuntas maneras pueden 9ormar & soldados en un flaK

a" 12 #" *2 c" 2$d" 2 e" 5.a.

-8. 6Cuntas pala#ras de & letras, sin importar su signifcado se pueden 9ormar con las letrasde la pala#ra 7B4==4K

a" 1% #" 12 c" 1

d" 2$ e" 5.a.

3. 6'e cuntas 9ormas di9erentes pueden sentarse alrededor de una mesa circular, dos esposos y% Ei!osK

a" 12 #" *2 c" %$d" 2%2 e" 5.a.

TAREA DOMICI2IARIA

3-. 6'e cuntas 9ormas se pueden ordenar las siguientes pelotas de diversos colores de un !uego)3 ro!os, 2 aules y 2 #lancasK

3. Hallar el número de maneras como pueden colocar en un estante $ li#ros grandes, 3 medianos

y 2 peFueJos, de modo Fue los li#ros de igual tamaJo estn siempre !untosK34.  Dlumnos llegan a matricularse a la Dcademia Fue dispone de aulas 6'e cuntas maneras se

les puede distri#uir de modo Fue siempre ocupen aulas di9erentesK

3/. 6Cuntos números de9erentes de % ci9ras pueden tomarse con los dígitos ) 1, 2, ,...K

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Bmagina la siguiente situación)Aanamos so#re una mesa tres monedas e intentamos contestar a las siguientes preguntas)

1" 6-e o#tendr al menos un selloK2"64s muy posi#le Fue se o#tenga dos carasK

4l lanamiento de las tres monedas es un e"erimento e&torio.Dl responder preguntas como 1" y 2" damos lugar a s$cesos los cuales pueden tener uno o varios resultados.-i un suceso tiene un solo resultado se le llama s$ceso e#ement.eamos otro e!emplo)Aancemos un dado so#re una mesa. DFuí nos podremos preguntar 6saldr el resultado menor Fue $K 6saldrimparK 'e cada una de estas preguntas surge un suceso.

-PC4->- =4-PA+D'>-

:menor Fue $?:o#tenerimpar?

:sacar 3?:tres o ms?

T1; 2; 3UT1; 3; %U

T3UT3; $; %; &U

 +a#la 5 %

4n acción ..

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33/53

Con9ecciona una ta#la similar ala +a#la 5 % respondiendo a lassiguientes preguntas) 6saldrmayor o igual Fue 3K, 6saldr$K

3-. E1ERIMENTO A2EATORIO:

4s un eperimento en el Fue no se puede predecir el resultado. 'ecimos entonces Fue el eperimento estsu!eto al aar.

4!emplo)

Z tirar un dado

Z lanar una moneda al aire

Z etraer al aar una #ola de una urna donde Eay #olas de igual tamaJo pero de distintos colores.

3. ES1ACIO MUESTRA2: (E)

4s el con!unto de todos los resultados Fue se o#tiene al realiar un eperimento.

Cada su#con!unto del espacio muestral se llama s$ceso.

-i este ultimo consta de un solo elemento se llama s$ceso e#ement.

4!emplo)

Cuando lanamos un dado, el espacio muestral 4 es)

{ }&;%;$;3;2;14 =

4ste espacio muestral tiene seis sucesos elementales.

:>#tener par? es un suceso cuyo resultado es el su#con!unto T 2; $; & U

1RO1IEDADES DE 2A FRECUENCIA DE 2A 1RO'A'I2IDAD

FRECUENCIA A'SO2UTA FRECUENCIA RE2ATIA DE UN SUCESO

'igamos Fue tenemos un eperimento aleatorio realiado N veces.-i el suceso D aparece n veces, decimos Fue)

nDdea#soluta9recuenciaOD   ==

5

nDderelativa9recuencia9 D   ==

1RO1IEDAD FUNDAMENTA2-i 9s" es la 9recuencia relativa de un suceso S se comprue#a Fue)

( )   129    ≤≤'emostración)'e la defnición de 9recuencia resulta Fue el número n de veces Fue se presenta el suceso S  en N  prue#ascumple con)

5n   ≤≤ ; dividiendo todo por 5)

( )   1s9 ó55

5n

5 ≤≤≤≤

1RO'A'I2IDAD DE UN SUCESO (")-igamos con el dado. 4l suceso :salir impar? se verifca al o#tener 1 ó 3 ó %.

=esultados 9avora#les 3=esultados posi#les &

4ntonces esperamos Fue salga impar 3 de cada & veces, es decir)

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7ro#a#ilidad de Fue salga impar %.&

3=

o tam#iLn 7 T1; 3; %U .%

7=>@D@BAB'D':menor Fue $R

ó T1; 2; 3U

:o#tener impar?

ó T1; 3; %U

:sacar 3?

ó T 3U

:tres o ms?

ó T 3; $; %; &U

3/& ,% %[

3/& ,%, %[

1/& ,1* 1*[

$/& ,&* &*[

SUCESOS EUI1RO'A'2ES-on aFuellos Fue tienen la misma pro#a#ilidad de ocurrencia.Dl tirar el dado eisten & posi#ilidades de resultado; cada una con p 1/&

REG2A DE 2A12ACECuando los resultados son eFuipro#a#les)

> A ? =%oa#!#a eun sueso A

=N e %esu!taos "aBo%a!es a A

N e %esu!taos os#!es

4!emplo)4n una urna se tienen #olas numeradas del 1 al . todas del mismo peso, tamaJo y color. 6cul es lapro#a#ilidad de etraer al aar #olas numeradas menores Fue &K

-PC4->) :menor Fue &? ó T1; 2; 3; $; %U

5 de resultados 9avora#les %5 de resultados posi#les 7ro#a#ilidad p %/

ó p ,&2%

-i p suceso imposi#le; si p1 suceso seguro

DIAGRAMA DE2 R'O2eamos un caso) lanamos 2 monedas al aire.-e nos pide calcular la pro#a#ilidad de o#tener alguna cara.

MONEDA 1 MONEDA 2

C

C

S

CC

CS

S

C

S

SC

SS

a!gunaa%a

5 de resultados 9avora#les 35 de resultados posi#les $

4ntonces p alguna cara" $

3

7=DC+BCD '4 CAD-4

3-. -e lanan dos lados so#re una mesa y se anota el resultado o#tenido. 4scri#ir el espaciomuestral de este eperimento. Ddems escri#ir los sucesos :o#tenidos al menos un 2? y :o#tener * al sumarlos números o#tenidos?. 6Cul es la suma de los elementos de estos dos últimos su#con!untosK

3. 4n una #olsa Eay dos #olas ro!as y cuatro #olas aules. -i etraemos al aar tres #olas, escri#irlos sucesos :o#tener 3 #olas de igual color? y :o#tener una #ola aul?. 6cul es la suma de los elementos deestos dos con!untosK

34. Cuando lanamos * veces un dado se o#tuvo seis veces el número 3, cinco veces el número%, cuatro veces el número 2, trece veces el número 1, dos veces el número & y tres veces el número $.a" 6Cul es la 9recuencia a#soluta del suceso :o#tener par?K

Aa pro#a#ilidad de un sucesoes un número comprendido

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35/53

#" 6Cul es la 9recuencia relativa del suceso :o#tener número impar?c" 6Cul es la 9recuencia relativa del suceso :o#tener número primo?K

3/. -i en un salón de clase Eay 2 alumnos y 3 alumnas, 6cul es la pro#a#ilidad de Fue al salirun alumno del aula este seas mu!erK

30. 6Cul es la pro#a#ilidad de o#tener dos sellos en el lanamiento de tres monedasK

35. 6Cul es la pro#a#ilidad de o#tener al sumar los puntos de las caras superiores al lanar dosdadosK

S$*erenci&:

Pna ta#la de do#le entrada numeración del 1 al & en am#os lados" permitir conocer el número de casosposi#les.

36. -e lanan dos dados. 6cul es la pro#a#ilidad de o#tener por los menos 1 en la suma de lospuntos de las caras superioresK

37. -e lanan dos dados. 6cul es la pro#a#ilidad de o#tener a lo ms 1 al multiplicar los puntosde las caras superioresK

38. 6cul es la pro#a#ilidad Fue al lanar una moneda al aire se o#tenga caraK

-3. -e lana un dado al aire 6FuL pro#a#ilidad Eay Fue se o#tenga tresK

EHERCICIOS 1RO1UESTOS N 34

3-.Cul es la pro#a#ilidad Fue al lanar un dado so#re una mesa resulte un número parK

a" ,% #" % c" %d" ,% e" 5.a.

3. 6Cul es la pro#a#ilidad de Fue en una #ara!a de cartas, al etraer una de ellas se o#tenga unasK

a" 1/%2 #" 1/1% c" 1/1d" 1/$ e" 1/13

34. 4n una ca!a se tienen 12 #olas negras y 1 aules. 6cul es la pro#a#ilidad de Fue al etraeruna al aar resulte aulK

a" 2 #" ,& c" &,2d" ,2 e" ,2

3/. Pna tienda vende únicamente $ #e#idas. 6cul es la pro#a#ilidad Fue el próimo compradoreli!a una de estas $ #e#idasK

a" 1/$ #" 1/2 2/$d" $ e" 2

30. 4n un salón de clase Eay 3% alumnos, de los cuales 2 son limeJos. 6cul es la pro#a#ilidadFue al elegir uno al aar resulte no limeJoK

a" */3 #" */12 c" 3/*

d" 12/* e" +.a.

35. 6Cul es la pro#a#ilidad de o#tener un número primo al lanar un dadoK

a" ,2 #" , c" 2,d" 2, 3 e" 5.a.

36. 6Cul es la pro#a#ilidad de o#tener dos caras al lanar aire dos monedasKa" %/ #" G/% c" 1/2d" $/3 e" 1/$

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37. -e lanan dos dados so#re una mesa. 6cul es la pro#a#ilidad Fue la di9erencia de los puntossea menor Fue 3K

a" 3/2 #" 1/2 c" 1/$d" 2/3 e" 2

38. 4n una festa por cada 3 varones Ea#ían 2 mu!eres. D la media nocEe se retira una persona.6cul es la pro#a#ilidad Fue sea una mu!erK

a" %/2 #" 2/% c" 2/%d" %/2 e" 5.a.

-3. 4n una urna colocamos 1% #olas, de las cuales * son ro!as. 6cul es la pro#a#ilidad de o#teneruna #ola Fue no sea ro!a al etraer una #ola de la urnaK

a" 1%/ #" /1 c" /1%d" 1%/1 e" 5.a.

--. -e lana un dado y se desea sa#er. 6cul es la pro#a#ilidad Fue el número sea compuestoK

a" 1/2 #" 2/$ c" 1/&d" 1/3 e" 1/$

-. -e lanan tres monedas. 6cul es la pro#a#ilidad de o#tener 3 sellosK

a" 1/$ #" 3/ c" 1/d" 2/ e" 5.a.

-4. 'el pro#lema anterior. 6cul es la pro#a#ilidad de o#tener solo dos carasK

a" 1/$ #" 3/ c" 1/d" 2/ e" 5.a.

-/. -i lanamos 2 dado 6cul es la pro#a#ilidad Fue el producto de puntos sea mayor Fue 12K

a" 1%/3% #" 1$/3$ c" 13/3&d" 3&/1& e" 1/23

-0. -i lanamos 2 dados 6cul es la pro#a#ilidad Fue el número de puntos de uno sea divisor delnúmero de puntos del otroK

a" 12/1% #" 12/1$ c" 11/1d" 11/2 e" 11/12

 +D=4D '>

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Aa importancia de su conocimiento es realmente grande, se les usa en todas las ramas del FueEacer Eumanopara grafcar de modo #astante simple una gran diversidad de EecEos, Pd. incluso, ya se Ea acostum#rado averlos en di9erentes oportunidades.eamos aEora cules son los conceptos 9undamentales)4mpearemos viendo los Fue es un 7D= >='45D'>.

1AR ORDENADO:Alamamos así a dos números o tLrminos cualesFuiera, pareados de tal manera Fue uno puede ser consideradocomo el primo del par primera componente" y el otro como el segundo segundo componente"4!emplos de pares ordenados)

IGUA2DAD DE 1ARES ORDENADOS:2 pares ordenados son iguales entre sí, sí y solamente sí, lasprimeras componentes son iguales entre sí y las segundascomponentes tam#iLn son iguales entre sí.

4s decir) a , # " I c , d "

-í y solamente sí) a c# d

7odemos pues notar, aEora, Fue no es lo mismo escri#ir , y" Fue y, " en el caso de Fue sea di9erente de y"

eamos una aplicación prctica)Z Hallar e y si se sa#e Fue el par ordenado) 3 8 %, 2y M3" es igual al par , %"

Como nos dicen Fue am#os pares son iguales escri#iremos)

3 8 %, 2y M 3" , %"

de donde por la igualdad de 2 pares ordenado, podemos escri#ir)

3 8 % y; 2y M 3 %3 3 y; 2y

> 5 8 ?

1a. om. 2a. om.

> a 8 * ?

1a. om. 2a. om.

> sen 8 os 9 ?

1a. om. 2a. om.

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1 y; y $

>='45D'D- del punto,cuya primera componente se llama D@CB-D y al segunda se llama >='45D'D.

C>>='45D'D- ) D@CB-D, >='45D'D"

D@CB-D S") -e mide en el e!e S o e!e de las a#cisas. Bndica la posición Eoriontal del punto, o es tam#iLndistancia Eacia la derecEa o la iFuierda del origen.

>='45D'D- \") -e mide en el e!e \ o e!e de las ordenadas . Bndica la u#icación vertical del punto o es tam#iLndistancia Eacia arri#a o Eacia a#a!o del origen.

eamos algunos e!emplos de u#icación de puntos)Z P#icar el punto a 2, 3"

-. Aa a#cisa es le primer número, en este caso igual a 2.Contamos 2 unidades, a partir del origen, en el semie!e positivo de las S, desde allí traamos una paralela a le!e \.

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2 3 410

F

F

+

+

. Aa ordenada es igual a 3.Contamos 3 unidades, a partir del origen, el semie!e positivo de las \ y de allí traamos una paralela al e!e S.

2 3 410

F

F

+

+

1

3

2

 A >28 3?

4n donde se cruan am#as líneas, est u#icada el punto D 2, 3"Z P#icar el punto @ M&, %"

7rocedamos de otro modo)

D partir del origen y Eacia la iFuierda contamos & unidades, desde allí traamos una paralela al e!e y contamosen dicEa paralela % unidades verticales.4n el punto en Fue aca#emos el conteo, allí se u#ica el punto @.

23456 1

2

3

4

5

1

& >68 5?

F

F +

+

Como Pd. puede Ea#er notado, la u#icación de un punto conociendo sus coordenadas es algo sumamentesimple.

DEora, practiFue Pd. en los siguientes casos)

I.

Ubique Ud. En cada caso siguiente los puntos señalados:C = ( 8 , 3 ) D = ( -6 , - )

F+

F +

 

F+

F

+

! = ( -" , #8 ) $ = ( " , -a )

F+

F+  

F+

F

+

Debe nota%se ta&bi'n que cada una de las cuat%o %egiones que se dete%&inan al co%ta%se los ees, se deno&inanCUD*+E en ellos las co&ponentes de las C//*DE+D, tienen signos di0e%entes:

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40/53

F+

F

+

BB CPD'=D5+4/ M , 8 "

Ber CPD'=D5+4/ 8 , 8 "

BBerB CPD'=D5+4/ M , M "

Bto CPD'=D5+4/ 8 , M "

II. En el siguiente caso 12 4 15 estn %elacionados a t%a7's de: 5 = 2 # . Cada 7alo% de 15 se 9a obtenido al %ee&plaa%el %especti7o 7alo% de 2 en la e;p%esi4n dada.

Ubique Ud. Cada pa% de puntos que se le dan en la tabla adunta .....................................................En e0ecto, 9a obtenido l@neas %ectas.

En gene%al una igualdad de p%i&e% g%ado con 7a%iables AEB!*E de luga% a una %ecta, o es la ecuaci4n de una %ecta, ella

entonces tend% en gene%al la 0o%&a:5 = a; # b

%a0ique a9o%a los dos casos siguientes:

5 = 3; # ; #

F+

+

 YX

2*120116217334

5 =2 #

 YX

012

12

$u' 9a obtenido> ...............................

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41/53

s@ se, 9a obtenido l@neas cu%7as. En gene%al toda ecuaci4n de g%ado igual o &ao% a es la %ep%esentaci4n de una A+ECU*.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

a distancia geo&'t%ica ent%e dos puntos situados en un plano cuas coo%denadas son = (2, 5) F = (;, ) est dada po% la e;p%esi4n:

D,y"

, y2 1

D@D@

S M S" 8 \ M \"1 12 2

E;p%esi4n que puede se% &u 0cil&ente &ost%ada utiliando el teo%e&a de !itgo%as.ea&os a9o%a unas aplicaciones:

Ee&plo: Galla% la distancia ent%e los puntos =( 3,8 ) F = ( 6, )

plicando la 04%&ula dada:  22

21   "/"/   Y  X  X  X  AB   −+−=

  22 "12/"3&/   −+−= AB

  22 $3   += AB   AB="

Ee&plo: Galla% la distancia ent%e los puntos !=( 3 , H ) C = ( 8 , ) aplicando la 04%&ula dada:

Co&o puede 7e%, 9alla% la distancia ent%e puntos es &u si&ple. ............................... +o lo c%eeUd.> .......................................

Galle Ud. a distancia ent%e los siguientes pa%es de puntos:

a) =(",) F=(H,")

 b) p=(-,-") $=(-6, -H)

c) $=(;, 5) *=(I2, -35)

d) =($

32, 2) =(;, -"2)

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO ENTRE 2 PUNTOS:

ean los puntos =(2, 5), F=(2, 5), las coo%denadas del punto &edio del seg&ento que une a a&bos puntos son:

B =    

  

    ++2

,2

11   Y Y  X  X 

Ee&plo: as coo%denadas del punto &edio del seg&ento que une los puntos =( 8 , 6 ) F = ( I , I ) se%n:

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42/53

D

<

@

< 8 1$

2

1& 8 2$

2 "

< 1& , 2 "

Ee&plo: as coo%denadas del punto &edio del seg&ento que une los puntos =(-6,-I) F=(6,) se%n :

  B =   

  

    +−+−

2

121$,

2

1&&

  B = (", - )

9o%a calcule Ud., en cada caso las coo%denadas del punto &edio:

= ( 8, 6 ) F = ( I, 6 )

  B =

F=(-", - ) C=(-6, 3)

  B =

D=(-I2 # , 62 # 6)E=(2 ? , 62 # 6)

  B=

Estando cla%os los conceptos ante%io%es, 7ea&os su aplicaci4n a algunos p%oble&as:

. En los siguientes g%0icos, se &uest%an los ing%esos po% 7entas de dos e&p%esas du%ante los años HJ" ? H8.

*& ** * *G 1 2

3]

$]

%]

&]

*]

]

G]

1]

11]

12]

I (m

i##ones)

60

T (&Jos)

*& ** * *G 1 2

3]

$]

%]

&]

*]

]

G]

1]

11]

12]

I (mi##ones)

60

T (&Jos)

a) En qu' año la e&p%esa &antu7o un ni7el de ing%esos> b) $u' e&p%esa du%ante cuntos años obtu7o &ao%es ing%esos>c) En qu' año cada e&p%esa lleg4 a 7ende% H" &illones de d4la%es>

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/UCA/+Buc9as 7eces 9ab% de encont%a%se con que 7a a tene% que saca% conclusiones a t%a7's del anlisis de un g%0ico estad@stico,co&o en este casoK p%ocede&os a su inte%p%etaci4n:a) /bse%7ando el g%0ico de la E&p%esa , 7e&os que todos los años est au&entando su ing%eso, con e;cepci4n del año

HJJ en que su ing%eso 0ue constante e igual a 6L &illones de d4la%es. b) !a%a contesta% a estas p%eguntas dado que a&bos g%0icos estn en las &is&as unidades escala, lo &eo% &s

%pido es uni%los en uno solo, tend%e&os as@:

*%*& ** * *G 1

3

$

%

&

*

G

1

11

12

I (mi##ones)

T (&Jos)

2

!ode&os 7e% que 9asta el año MJH en que a&bos g%0icos se c%uan, la e&p%esa F ten@a &ao% ni7el de ing%esosK que a

 pa%ti% de ese año 9asta H8 es la E&p%esa la que pas4 a tene% &ao% ni7el de ing%esos.c) !a%a sabe% en qu' año cada e&p%esa lleg4 a 7ende% H" &illones de d4la%es, p%ocede&os as@: Ubica&os H" en el ee 5, donde se %egist%an los ing%esos. Desde all@ t%aa&os una pa%alela al ee ; que co%te

a a&bas g%0icas. Desde el punto de co%te de dic9a pa%alela con cada g%0ica, t%aa&os pa%alelas al ee 9asta que se co%ten con

el ee ; donde se &iden los años. end%e&os entonces pa%a cada punto de co%te, sus coo%denadas una de ellas nos da el año la ot%a el ing%eso

en ese año.

e&oslo:

*% *& ** * *G 1

3]

$]

%]

&]

*]

]

G]

1]

11]

12]

2

G%

@

e puede 7e% entonces que la e&p%esa a lleg4 a los H" &illones en H8L la e&p%esa F lo 9io en H8.. Calcula% el pe%@&et%o de la 0igu%a que se obtiene al uni% los puntos:

=(,) , F=(",") , C=(8,") , D=(,)

/UCAN+!a%a tene% una &eo% idea de la soluci4n, pode&os p%ocede% a g%a0ica% los puntos:

1 2 3 $ % & *

1

2

3

$

%

G 11112

@%,%" C,%"

'12,1"2,1"

A

El pe%@&et%o se% igual a:  !e%@&et%o = DACDBC AB   +++

Galle&os cada lado en base a la 04%&ula de la distancia ent%e puntos:

%$3"1%/"2%/   2222 =+=−+−= AB

33"%%/"%/   2222 =+=−+−=BC

2$32"$/$"%1/"12/   2222 ==−+=−+−=CD

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44/53

11"11/"212/   2222 =+=−+−=DA

Entonces tend%e&os:

!e%@&et%o = " # 3 I   2 #L

  = 8 # I   2

3. Dete%&ina% el punto de equ@dista de los puntos

( J,- ) , F ( -8 , ) C ( 3 , I )/UCAN+Diga&os que el punto buscado sea el punto !(;,) ............................ qu' >igni0ica% que equidiste de los ot%os puntos>..................................................igni0ica% que su distancia a cada uno de ellos es igual en cada caso, po% lo tanto pode&os esc%ibi% que:

PCPBPA   ==

Entonces p%ocede&os a calcula% las %especti7as distancias:

22""2//"*/   −−+−=   y  x PA

22 "1/""//   −+−−=   y  x PB

22 "$/"3/   −+−=   y  x PC

9o%a iguala&os dic9as distancias tend%e&os:PBPA =

2222"1/""//""2//"*/   −+−−=−−+−   y  x  y  x 

!%ocede&os a desa%%olla%:

Ele7a&os al cuad%ado a&bos &ie&b%os queda%:

(;, - J) # ( # ) = (; # 8 ) # ( # )

Desa%%olla&os si&pli0ica&os al &;i&o:2-I;#IH##I#I=;#6;#6I#-#  - 3L; #6 =  - "; # = ......................... ()

9o%a iguale&os: PCPB =   %epita&os el p%oceso:

2222"$/"3/"1/""//   −+−=−+−−   y  x  y  x 

  (;#8)  # (-)  = (; - 3)#(-I)

;#6;#6I#-# = ;-6;#H#-8#6

$ueda%: ; # 6 = - IL  ; # 3 = -L ............. ()

*esol7iendo el siste&a () ():  ; # 3 = -L  -"; # =   ; = -  = -3

Entonces el punto buscado es: !=(-, -3)I. os puntos !=(-I,L), $=(", 3   3 ) *=(;,L) son 7'%tices de un t%ingulo %ectngulo en $.

) Galla% el pe%@&et%o.) Galla% el %ea.

/UCA/+- Anicial&ente g%a0ica%e&os teniendo en cuenta que el punto *=(;,L), cua o%denada es ce%o, esta% ubicado en el ee ;

donde todas las o%denadas son de 7alo% ce%o.

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45/53

1 2 3 $ % & *

R(K3)

M$ M3 M2 M1

G (0K4 )44 4

1(@/K3)

- !a%a 9alla% el pe%@&et%o, debe&os de conoce% el 7alo% de cada lado , co&o a 9e&os 7isto, cada lado se puede conoce%calculando la distancia ent%e sus puntos e;t%e&os. 9o%a bien, en este caso s4lo conoce&os las coo%denadas de

 puntos, po% lo tanto s4lo pode&os ? in&ediata&ente ? calcula% el 7alo% de un lado, ............... C4&o 9a%e&os entonces pa%a conoce% el 7alo% de los ot%os dos> .............. $u' %elaci4n e;iste ent%e los 3 lados> ...................... se cu&ple alg .......... s@ es, po% el 9ec9o de se% lados de un t%ingulo %ectngulo se cu&ple ent%e ellos el teo%e&ade !itgo%as, entonces tend%e&os.

222 PRQRPQ   =+

222222222 ""/""$////""33/"%//""33/"%$//   −+−−−=+−+−+−−   x  x 

Co&o pode&os 7e% tene&os una sola ecuaci4n con una sola 7a%iable: ;, entonces desa%%olla&os:

  (-H)#(-3   3 )#("-;)#(3   3 )

= (;#I)

  8 # J # ("-;) # J = (;#I)

  ("-;) ? (;#I)#3" = L  " ? L; # ; ? ; ? 8; ? 6 # 3" = L  II = 8;

 1

1$$= ;

  8 = ;

uego el %ea del t%ingulo se% &u 0cil de calcula% ........................ !uede 9ace%lo Ud.>

". Calcula% el %ea del cuad%ilte%o FCD si  =(,) , F=(I,6) , C=( J,3 ) D=( ",L )

/UCA/+- Ubique&os cuidadosa&ente cada punto luego un&oslos pa%a 0o%&a% el cuad%ilte%o dado:

1 2 3 $ % & *

D (0K3)

$

3

2

1

%

&

C (6K4)

' (/K5)

A (.K-)

os pasos a segui% a9o%a son:

- !%olonga%e&os las o%denadas de C 9acia a%%iba 9acia abao 9asta que se co%ten con la p%olongaci4n de la abcisa de F con ee de las ;, pone&os entonces let%as a los puntos de co%te:

1 2 3 $ % & *

1

$

3

2

1

%

&'

A

D

L

3

$u' 9e&os conseguido> ................Ge&os log%ado 0o%&a% el %ectngulo B+!$ que encie%%a e;acta&ente al cuad%ilte%o-cua %ea busca&os- a ot%os It%ingulos %ectngulos cuas %eas pode&os calcula%.

Ese 0ue el obeti7o de p%olonga% abcisas o%denadas: busca% que 0o%&a% un cuad%ilte%o dent%o del cual est'n ade&s del %ea buscada, ot%as %eas ? que con los datos poda&os calcula%.

$u' le pa%ece>....... Es co&p%endido>...........

9o%a %eco%de&os los ap%endido en el cap@tulo de O%eas so&b%eadas:

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46/53

C4&o 9alla% el %ea so&b%eada> ...............Bu si&ple, di%e&os:

" DAQCPDBNCMBAMNPQ ABCDsombreado   A A A A A A A   +++−==

*ee&plaando:

  

 

 

 

    ×+

×+

×+

×−=

2222

QDQAPDCPNCBNMQMBNP x MN A ABCD

os %especti7os 7alo%es de cada seg&ento pueden se% &u 0cil&ente 9allados a t%a7's de su&as %estas de abcisas o deo%denadas %especti7a&ente.

En nuest%o caso tend%e&os:

  

  

    ×+

×+

×+

×−×=

2

31

2

23

2

33

2

%2&% ABCD A FCD  = 3L - (". # I." # 3 # .")

FCD  = 3L - IFCD  = 6u

*epase nue7a&ente el p%oble&a nota% que el paso 0unda&ental 9a sido la p%olongaci4n de las coo%denadas %especti7as 9astalog%a% ence%%a% la 0igu%a dada en un cuad%ilte%o (cua %ea sea 0cil calcula%) luego %esta&os %eas, calculando cada ladonecesa%io a t%a7's de la su&a de las %especti7as coo%denadas.

ea&os ot%o ee&plo:

6. Galla% el %ea del cuad%ilte%o: =(,), F=(I,6) C=(J,J), D=(H,3).

/UCAN+- Ubique&os los puntos:

1 2 3 $ % & *

$

3

2

1

%

& '

A

D

C*

G

- !%olonga&os adecuada&ente:

1 2 3 $ % & *

$

3

2

1

%

&

A

D

C*

G

'

R

ST

1 G

Entonces di%e&os:

" IIDSTACRDQCBPQBAPRST  ABCDsombreada

  A A A A A A A   +++−==

*ee&plaando di%ecta&ente los 7alo%es de sus lados %especti7os:

FCD= 8;J ?    

  

   

  

   ++

×+

×+

+

2

31

2

$2

2

13

2

3"&1

FCD= "6 ? ( L." # ." # I # 6)FCD= "6 ? 3FCD= 24u2

*ecu'%dese que el %ea de un t%apecio es igual a:

O%ea t%apecio=     

  

    +2

menor Basemayor Basealtu%a

J. Calcula% el %ea del t%ingulo =(,3), F=(3,") C=(6,)

/UCA/+o i&po%tante de los casos ante%io%es es que nos 9a pe%&itido conoce% un &'todo de soluci4n pa%a el clculo de %eas enun siste&a de coo%denadas ca%tesianas.

o aplica%e&os ta&bi'n a este caso.

) %a0ique&os:

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1 2 3 $ % & *

$

3

2

1

%

) !%olonga&os

1 2 3 $ % & *

$

3

2

1

%7 @ ^

C

=-

3) uego el O%ea buscada se%:" CPSABQCPBAPQRS ABCbusada   A A A A A A   ++−==

  = I ; " ?

 

 

 

 

 

  

 

 

 

    ++

×+

×$

2

32

2

33

2

12

  = L ? ( # I." # L )  = I." u

1RACTICA DE C2ASE

3-. Calcular la longitud del segmento cuyos etremos son los puntos %; 3" y 1; 1%

a" 13 u #" u1%2 c" 1$G u

d" 1* u e" u&13

3. 6^uL punto so#re la recta D@ eFuidista de D M 2; 1&" y @ 2$; M 3"

a" 13; 2*" #" 2; 2"c" 11; 11"d" M 2; 2" e" M 13; M 2*"

34. Hallar el punto medio de la línea Fue une M%; M&" y *; 2"

a" 1; M 2" #" 1; M $" c" &; $"d" &; M $" e" 2; M $"

3/. Aos vLrtices de un tringulo son) D $, &", @ 1; &", C M $; 2". Hallar la longitud de lamediana de @ a DC.

a" 21 #" 2G c" 2

d" 2* e" 2&

30. Hallar el rea del cuadriltero cuyos vLrtices son ; 1" ; 12; " ; 2; %" y $; 1"

a" % u2 #" %% u2 c" & u2

d" &% u2 e" * u2

35. 6^uL tipo de cuadriltero se 9orma uniendo los siguientes puntos ; 1"; 3; %" ; *; 2" y $; M2"K

1. =ectngulo2. Cuadrado3. 7aralelogramo

a" 1 #" 2 c" 3d" 1 y 2 e" +.a.

36. Aos etremos del dimetro de un círculo son M 2; $" y &; M 2". Hallar la distancia del centro delcírculo al origen.

a" % #" 2 c" 3d" %/2 e" 5.a.

37. 6^uL tipo de tringulo se 9orma con los siguientes puntos D $; 2"; @; $" y C&; "

1. =ectngulo 2. Bsósceles3. 4scaleno $. 4Fuiltero

a" 1 #" 2 c" 3

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48/53

d" 3 y $ e" 1 y 2

38. Hallar el rea del tringulo anterior.

a" u2 #" 1 u2 c" 12 u2

d" 1$ u2 e" 1& u2

-3. Aos vLrtices de un tringulo son M 3; 3" ; *; 3" y M 1; *". Hallar la longitud de la mediana mscorta.

a" $ u #" % u c" 3 ud" 1* u e" % u

--. D@C es un tringulo eFuiltero. Aas coordenadas de @ y C son respectivamente) ; %" y 1$; %".'eterminar las coordenadas de D sa#iendo Fue est Eacia a#a!o del lado @C.

a" 11; 1,1" #" 11; M ,1"c" 11; " d" 11; 2"e" 5.a.

-. 'eterminar la longitud de la diagonal mayor del trapecio

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49/53

*G 1 2 3 $ %

11

12

13

1$

1%

1&

1*

C

67T

&

1

-e presenta el índice de nacimiento 5" en cierto país, + est en aJos y 5 en miles. =esponda Pd. a lassiguientes preguntas)

3-. 64n FuL aJo nacieron 1&2, niJosK

a" 1G*G #" 1G2 c" 1G3d" 1G e" O. datos

3. -i estimamos Fue una política de control de la natalidad inWuye directamente en la disminución delnúmero de nacimientos, 64n Fue aJo podemos decir Fue dicEa política tuvo mayor LitoK

a" 1G* #" 1G2 c" 1G%d" 1G*G e" 1G

34. Aa ley de CEarles, en ^uímica, esta#lece Fue) sí la presión de un gas se mantiene constante, entoncessu volumen es directamente proporcional a su temperatura, es decir) V+ donde _ es la constante deproporcionalidad, tal relación se Ealla grafcada a continuación.

3 $%

*a

T

V+

Hallar el volumen cuando +$%

a" 11% #" 21* c" 11*

d" 12% e" 5.a3/. Hallar las reas de la fgura som#reada sa#iendo Fue cada cuadriltero tiene su lado.

a" $u2 #" 33.%u2 c" 13.%u2

d" 1$.%u2 e" 5.a

30.

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50/53

a" 22u2 #" u2 c" 2&u2

d" 1u2 e" O. datos

35. 4n el siguiente caso, tome π3.1$ y como centro del semicírculo.

de lado.

1 unidad 1u"

Cada cuadradito

a" &2.&&u2 #" &&.2&u2 c" 2.&&u2d" $3u2 e" 32.1$u2

36. Hallar el perímetro del tringulo D@C, si se sa#e Fue D2,3", @3,%", C&,2"

a"   1*1%   ++

#" 121*%   ++

c" 1*1%   ++

d" %1*3   ++e" 5.a.

37. Hallar el rea del tringulo cuyos vLrtices son) D2,3" @%,", C1,%"

a" 1&.&&u2 #" 1*.2&u2 c" 1$u2

d" 1*u2 e" 1&u2

38. Hallar el rea del tringulo cuyos vLrtices son) D1,1" @%,*", CM1,3"

a" 1&u2 #" 1&.&&u2 c" 1*.2&u2

d" 1$u2 e" 1*u2

-3. Aos vLrtices consecutivos del lado de un rom#o son 1,3" y 2,"; si el punto donde se cortanperpendicularmente las diagonales en el punto 2,3". Hallar el rea del rom#o.

a" 3u2 #" u2 c" %u2

d" 13u2

e" O.datos--. 6Cómo podemos recordar una relación del tipo ya8#, de origen en un grfco a una línea rectaK

4n el caso siguiente Eallar y cuando 1

8 \

8S

M \

MS %

 ` 

%  \ a 8 #

a" 21 #" M% c" 12d" % e" O. datos

-. 4l siguiente grfco muestra la relación eistente entre el precio de un artículo y la cantidad de artículoscomprados a ese precio. Cuntos artículos se comprarn cuando cada uno de ellos cueste

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51/53

2 3%

3%

12

7 precio ensoles.

C cantidadcomparada enmillares

a" 1G, #" 2 c" 2,d" 21,% e" O. datos

-4. Aos puntos medios de los lados de un tringulo son

8/18/2019 rm 4 bim

52/53

2 $

2

&

&  + Eoras"

_m/Er"

a" 22.%Ers. #" 22Ers. c" 2$.%Ers.d" 2%Ers. e" Oaltan datos

-6. 6Cul de los siguientes grfcos es el Fue muestra el tiempo t1" luego del cual se encuentran 2 móvilesFue parten simultneamente en sentidos contrarios y con velocidades constantes.K

a" #"

 +1

1

 + Er"

_m/Er"

   +1

 + Eoras"

_m/Er"

c" d"

 +1

 + Er"

_m"

1

   +1

1/2

 + Er"

_m"

1

e" 5.a

-7. 4n el siguiente grfco se muestran las relaciones entre la velocidad y el tiempo de 2 móviles Fue partensimultneamente en el mismo sentido.

1 2 3 $ % &

$

%

&

*

G

 + Eoras"

_m/Er"

Moi# 'Moi# A

^uiLn Ea#r recorrido una mayor distancia % Eoras despuLs de la partida

a"

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53/53

a" D#" @c" Dm#os llegan al mismo tiempod" Oaltan datose" 5. a

3. 6D FuL Eora pasar el móvil @ por Aima, Fue se encuentra a 2_m. 'el punto de partidaK

a" 4ntre 3 y $ #" 4ntre & y * c" 4ntre % y &d) Ent%e 3 e) Ent%e I "

TAREA DOMICI2IARIA

3-. Hallar la pendiente de una recta Fue pasa por los puntos 3; %" y M 2; M $"

3. 4scri#ir la ecuación de la recta Fue pasa por los puntos 7*; 2G" y ^1; %"

34. Hallar la ecuación de una recta con pendiente 2 y Fue pasa por el punto 3; M *"

3/. Hallar la ecuación de la circun9erencia cuyo centro es el origen de coordenadas y pasa por %;

12"30. 'ados tres vLrtices de un paralelogramo D@C') D3; %"; @%; M3" y CM 1; 3". 'etermine las

coordenadas del vLrtice ', opuesto a @.

35. Aa mayor #ase de un trapecio isósceles une los puntos M 2; " y M 2; M $". Pno de los etremosde la otra #ase tiene coordenadas 3; 2". Aa longitud de la #ase menor es.

36. 4l rea de un tringulo es $ u2; dos de sus vLrtices son los puntos) D2; 1" y @3; M 2", el tercervLrtice C est situado en el e!e S.