RJEŠAVANJE LINEARNO G PROGRAMIRANJA POMOĆU …oliver.efri.hr/zavrsni/969.B.pdf · aplikacijskog modula Linear and Integer Programming koji se nalazi u računalnom programu WinQSB

SVEUČILIŠTE U RIJECI

EKONOMSKI FAKULTET

Marika Puhar

RJEŠAVANJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA POMOĆU

SOFTVERSKE PODRŠKE WinQSB

DIPLOMSKI RAD

Rijeka 2015

SVEUČILIŠTE U RIJECI

EKONOMSKI FAKULTET

RJEŠAVANJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA POMOĆU

SOFTVERSKE PODRŠKE WinQSB

DIPLOMSKI RAD

Predmet: Teorija odlučivanja

Mentor: dr.sc. Alemka Šegota

Student: Ime i prezime Marika Puhar

Studijski smjer: Menadžment

JMBAG: 0081122722

Rijeka, rujan 2015

SADRŽAJ

1. UVOD ................................................................................................................................... 3

1.1. Definicija problema...................................................................................................... 3

1.2. Predmet i cilj istraživanja ............................................................................................. 3

1.3. Metode istraživanja ..................................................................................................... 3

1.4. Struktura rada .............................................................................................................. 4

2. TEORIJSKI PRIKAZ LINEARNOG PROGRAMIRANJA .............................................................. 5

2.1. Definicija linearnog programiranja .............................................................................. 5

2.2. Povijest linearnog programiranja ................................................................................ 5

3. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA .......................................................................... 6

3.1. Karakteristike problema .............................................................................................. 6

3.2. Faze u rješavanju problema linearnog programiranja ................................................ 7

3.3. Tipovi problema linearnog programiranja .................................................................. 8

3.3.1. Standardni problem linearnog programiranja ..................................................... 8

3.3.2. Kanonski problem linearnog programiranja ........................................................ 9

3.3.3. Opći problem linearnog programiranja.............................................................. 10

4. RAČUNALI PROGRAM WinQSB ............................................................................................. 11

4.1. Definicija računalnog programa WinQSB .................................................................. 11

4.2. Modul za linearno programiranje Linear and Integer Programming ........................ 12

4.2.1. Način korištenja modula za linearno programiranje.......................................... 12

4.2.2. Izbornik File i njegove opcije .............................................................................. 13

4.2.3. Izbornik Edit i njegove opcije ............................................................................. 15

4.2.4. Izbornik Format .................................................................................................. 16

4.2.5. Opcija Solve and Analyze .................................................................................... 17

4.2.6. Izbornik Utility i njegove opcije .......................................................................... 19

4.2.7. Izbornik WinQSB i Izbornik Help......................................................................... 20

5. KORIŠTENJE WinQSB-a U PRIMJENI LINEARNOG PROGRAMIRANJA U PROIZVODNJI ..... 21

5.1. Linearno programiranje u proizvodnji ....................................................................... 21

5.2. Primjeri linearnog programiranja u proizvodnji ........................................................ 22

6. ZAKLJUČAK ........................................................................................................................ 49

LITERATURA .............................................................................................................................. 50

POPIS SLIKA .............................................................................................................................. 53

POPIS TABLICA .......................................................................................................................... 54

3

1. UVOD

1.1. Definicija problema

Proizvodnja je najsloženija faza procesa proizvodnim poduzećima. Kako bi proizvodno

poduzeće uspješno poslovalo potrebno je raspolagati određenim vrstama proizvoda koje

planira proizvoditi te posjedovati plan proizvodnje koji utječe na položaj poduzeća na tržištu.

S obzirom na otežane tržišne uvjete, promjenjivost okoline i konkurenciju, potrebno je ulagati

maksimalne napore za povećanje efikasnosti poduzeća, smanjenje troškova i povećanje

prihoda. Jedan od načina za postizanje tih ciljeva kod proizvodnih poduzeća je kroz primjenu

linearnog programiranja. Linearno programiranje može se rješavati na više načina, međutim

cilj svakog poduzeća je minimiziranje troškova proizvodnje, efikasno iskorištavanje resursa te

maksimizacija prihoda. Zahvaljujući napretku suvremene tehnologije, softverski program

WinQSB olakšava proizvodnim poduzećima rješavanje problema i osigurava poduzeću

siguran opstanak na tržištu.

1.2. Predmet i cilj istraživanja

Predmet istraživanja ovog rada je primjena metode linearnog programiranja i jednostavnost

primjene programa WinQSB u rješavanju različitih problema linearnog programiranja u

proizvodnji.

Cilj rada je prikazati u kojim dijelovima proizvodnje je najefikasnija primjena linearnog

programiranja te koji je najednostavniji način rješavanja nastalih problema.

1.3. Metode istraživanja

Kako bi dokazali cilj i svrhu istraživanja korišteno je više vrsta metoda. Za potrebe ovog rada

korištene su sljedeće metode: deskriptivna metoda, metoda obrade sekundarnih podataka,

metoda analize i sinteze, statističke metode i matematičke metode.

4

1.4. Struktura rada

Diplomski rad je strukturiran tako da se uz uvod i zaključak, sadržaj razrađuje kroz pet

poglavlja. U uvodnom djelu navedena je definicija problema, predmet i cilj istraživanja,

metode istraživanja i struktura rada. U nastavku slijedi objašnjenje pojma linearnog

programiranja i kratak povijesni pregled njegovog razvitka. Drugi dio rada navodi koje su

karakteristike problema linearnog planiranja, faze u rješavanju problema i koji su tipovi

problema linearnog programiranja. U četvrtom djelu opisan je softverski program WinQSB i

način njegove primjene. Peti dio rada kroz primjere prikazuje kako se problemi u proizvodnji

rješavaju putem linearnog programiranja pomoću softverskog programa WinQSB nakon čega

slijedi zaključak.

5

2. TEORIJSKI PRIKAZ LINEARNOG PROGRAMIRANJA

2.1. Definicija linearnog programiranja

Linearno programiranje je grana matematike koja se bavi problemom optimizacije sustava

unutar zadanih ograničenja. (Petkovićek, n.d.)

Pomoću linearnog programiranja rješavamo probleme vezane za linearne kombinacije

nezavisnih varijabli kako bi se uz zadovoljenje postavljenih uvjeta ostvario maksimalan ili

minimalan rezultat. Linearno programiranje je kvanitativna metoda koja omogućuje odabir

optimalnog rješenja uz veći broj raznih alternativnih rješenja.

2.2. Povijest linearnog programiranja

Linearno programiranje je relativno mlada naučna disciplina. Pojavljuje se uoči Drugog

svjetskog rata, iako postoje autori koji tvrde da je nastala znatno ranije. Najveći broj naučnika

smatra da se linearno programiranje pojavilo 1939. godine kada je sovjetski naučnik Leonid

V. Kantorovich, profesor Lenjingradskog fakulteta objavio članak: „Matematičke metode u

organizaciji i planiranju proizvodnje“. ( Stanojević, 1996., p. 12)

Za rješavanje problema linearnog programiranja razvio je George B. Dantzig u toku 1947.

godine jednu od najvažnijih kalkulativnih metoda u novijoj matematičkoj povijesti tzv.

simpleks metodu. (Barković, 2002., p.9).

U periodu 1947.-1949. godine počinje u SAD-u intenzivna razrada linearnog programiranja.

Radovi John von Neumanna su omogućili teoretsko formuliranje dualnog problema, kao i

pronalaženje veze između linearnog programiranja i teorije igara.

(Stanojević, 1996., p. 12)

6

3. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Linearno programiranje predstavlja skup metoda koje se primjenjuju za rješavanje različitih

problema ekonomske prirode. Svi ovi problemi moraju ispunjavati određene komponente da

bi mogli biti riješeni određenom metodom linearnog programiranja.

3.1. Karakteristike problema

Zajedničke kvantitativne komponente svih problema linearnog programiranja su:

1. Linearna veza- u svakom problemu linearnog programiranja mora postojati linearna

zavisnost, linearna veza. U izvorima iz literature ova komponenta je izostavljena te se

smatra da problem optimizacije mora imati samo tri komponente; cilj, alternativne

metode i ograničenja.

2. Cilj- mora biti jasno definiran kako bi postigli željene rezultate rješavanjem problema.

Ovisno o tome kakve se problem analizira, kriteriji problema linearnog porgramiranja

mogu se izraziti prema različitim pokazateljima, kao što je u slučaju minimiziranje

troškova kriterij problema trošak i u slučaju maksmiziranja profita kriterij profit.

3. Alternative- razne alternative moraju biti na raspolaganu za rješavanje problema kako

bi se postigao unaprijed određeni cilj.

4. Ograničenja- ukoliko želimo riješiti problem linearnim programiranjem obavezno

trebaju postojati ograničena sredstva, odnosno ograničene mogućnosti.

Da bi se ekonomski problem mogao tretirati kao problem linearnog programiranja, mora

udovoljiti određenim matematičkim uvjetima i to:

· linearnost funkcije kriterija i sustava jednadžbi odnosno nejednadžbi

· direktnost procesa odnosno aktivnosti

· zbrojivost procesa u utrošku resursa i u fukciji kriterija

7

· proizvoljna djeljivost faktora

· ograničenost broja procesa odnosno aktivnosti i ograničenja

(Radić, 2012)

3.2. Faze u rješavanju problema linearnog programiranja

Postupak u rješavanju problema prolazi kroz sljedeće faze:

1. Izvor problema- prvi korak je odabir problema za rješavanje i njegova analiza,

odnosno ispitivanje karakteristika koje ga određuju. Najvažnija je provjera da li

odabrani problem ima li sve odgovarajuće karakteristike za rješavanje metodama

linearnog programiranja.

2. Izbor metode- u odnosu na izabrani problem i njegove karakteristike vrši se izbor

adekvatne metode linearnog programiranja.

3. Prikupljanje podataka- točnost i valjanost optimalnog rješenja zavisi od točnosti i

istinitosti prikupljenih podataka. Metode linearnog programiranja omogućuju i

olakšavaju pronalaženje jednog od mnogobrojnih rješenja, međutim one ne mogu

poboljšati kvalitetu rješavanja više od kvalitetnih podataka koje sadrži model.

4. Formiranje modela- model treba biti najvjerniji predstavnik problema. On treba

reagirati na sve promjene parametra na isti način kao što bi reagirao stvarni

problem pod utjecajem promjene ograničavajućih faktora. Odabir ograničenih

faktora i njihovo kvantitativno izražavanje traži posebne napore od čitavog niza

različitih stručnjaka, kako bi se omogućilo da se stvarni problem rješava kroz

njegov teoretski matametički model.

5. Rješavanje modela- korištenjem odgovarajuće računske tehnike vrši se rješavanje

modela. Model može biti riješen primjenom odgovarajuće metode linearnog

programiranja.

8

6. Analiza rješenja- ovo je posljednja i najznačajnija faza rada. Od prirode problema i

posebnih ciljeva zavisi izbor metoda za analiziranje optimalnog rješenja. Ispitat će

se mogućnosti i mjere koje treba poduzeti da bi se ovakvo rješenje ostvarilo i u

praksi.

3.3. Tipovi problema linearnog programiranja

Linearno programiranje temelji se na načelima koja zahtijevaju poznavanje više matematike,

no upotreba linearnog programiranja u ekonimiji radne organizacije obuhvaća više nego

poznavanje same tehnike. Razlikujemo tri tipa problema linearnog programiranja: standardni,

kanonski i opći problem. (Radić, 2012, p.2012)

3.3.1. Standardni problem linearnog programiranja

Problem linearnog programiranja općenito može biti ili problem maksimuma ili problem

minimuma.

Standardni problem maksimuma linearnog programiranja je problem u kojem su sva

ograničenja (osim uvjeta nenegativnosti) tipa ≤ odnosno, u općenitom slučaju sa n varijabli

oblika:

Max

≤ , i = 1, 2,..., m

≥ 0, j = 1, 2, ..., n

Dakle standardni problem maskimuma linearnog programiranja ima n varijabli i m

ograničenja koju su sva tipa ≤ . (Babić, 2005., p. 71)

Jednostavniji prikaz standardnog problema maksimuma:

9

maksimizirati Max C'X

uz ograničenja AX ≤ B

X ≥ 0

Svakom problemu maksimuma pridružen je i određeni problem minimuma koji se zove dual

originalnog problema. Ukoliko je početni problem bio problem minimuma, tada je njegov

dual odgovarajući problem maksimuma.

Dual standardnog problema maksimuma je standardni problem minimuma i on glasi:

Min

≥ , i = 1, 2,..., n

≥ 0, i = 1, 2, ..., m

U dualu se javlja samo jedan novi vektor, i to je vektor varijabli Y. Dakle original ima m

ograničanja i n varijabli, dok u dualu imamo n ograničenja i m varijabli, odnosno u originalu

je vektor varijabli X , a u dualu Y . (Babić, 20025., p. 73)

3.3.2. Kanonski problem linearnog programiranja

Kanonski problem linearnog programiranja razlikuje se od standardnog problema u tome da

su sva ograničenja (osim uvjeta nenegativnosti) u obliku jendadžbi. Oblik tog problema za

maksimum glasi:

Max (Min)

AX = B

X ≥ 0

(Baibić, 2005., p. 88)

Standardni problem se uvijek može transformirati u drugi, i obrnuto što znači da je svako

rješenje jednog problema rješenje i drugog problema.

10

Da bismo standardni problem transformirali u kanonski, potrebno je samo nejednadžbu

AX ≤ B

zamijeniti s nejednadžbom

AX + U = B

i dodatnim zahtjevom

U ≥ 0

(Babić, 2005., p. 89)

Vektor U ≥ 0 je nenegativna veličina koja je potrebna zbog pretvorbe nejednadžbe u

jednadžbu. Vektor U je vektor dodatnih ili oslabljenih varijabli, za razliku od vektora X koji

se zove strukutrna varijabla.

3.3.3. Opći problem linearnog programiranja

U općem problemu linearnog programiranja koji naravno može biti problem maksimuma ili

problem minimuma, ograničenja mogu biti bilo kojeg tipa. Dakle, za razliku od standardnog

problema, u ovom slučaju mogu se u istom problemu javiti ograničenja ≤, ≥, ali i jednadžbe.

Pored toga neke varijable mogu, a neke ne moraju imati ograničenja nenegativnosti. (Babić,

2005., p. 108)

Opći problem linearnog programiranja:

Max C'X

≤ , i ɛ S

= , i ɛ

≥ 0, j ɛ T

Iz ograničenja ≥ 0, j ɛ T vidi se da ne zahtijeva nenegativnost svih varijabli, već samo

jednog broja.

11

4. RAČUNALI PROGRAM WinQSB

4.1. Definicija računalnog programa WinQSB

WinQSB (Windows based Quantitative Syystem for Business) je programska podrška

napravljena za Windows sučelje. Specifičnost softvrskog programa WinQSB je što ne dovodi

nužno do najpovoljnijeg rješenja, već do jednog iz skupa dobrih rješenja. Ukupno devetnaest

aplikacijskih modula čine WinQSB a to su: Analiza prihvaćanja uzroka, Prognoziranje i

linearna regresija, Markov proces, Kvadratično programiranje, Ukupno planiranje, Planiranje

cilja, Planiranje materijalnih uvjeta, Shema kontrole kvalitete, Analiza odlučivanja, Teorija i

sustav inventara, Mrežno modeliranje, Upitna analiza, Dinamično programiranje, Poslovno

raspoređivanje, Nelinearno programiranje, Simulacijski sustav čekanja u redu, Položaj i izgled

objekta, Linearno i cjelobrojno programiranje i PERT_CPM.

Slika 1. Aplikacijski modul WinQSB-a

U ovom radu, kroz teoriju i i rješavanje odabranih primjera biti će objašnjen modul linearnog

programiranja i cjelobrojnog linearnog programiranja u proizvodnji.

12

4.2. Modul za linearno programiranje Linear and Integer Programming

Linear and Integer Programming je programski modul koji rješava probleme linearnog

programiranja i cjelobrojnog linearnog programiranja. (Losonczi, 2013)

4.2.1. Način korištenja modula za linearno programiranje

Jedan od lakših načina rješavanja problema pomoću linearnog programiranja je pokretanje

aplikacijskog modula Linear and Integer Programming koji se nalazi u računalnom programu

WinQSB.

Slika 2. Aplikacijski modul Linear and Integer Programming

Nakon pokretanja programa Linear and Integer Programming dolazimo do zaslona na kojem

se nalazi alatna traka File i Help kao što je prikazano na slici 3.

Slika 3. Alatna traka Linear and Integer Programminga

13

4.2.2. Izbornik File i njegove opcije

Izbornik File sastoji se od niza naredbi te su jednake kod svih aplikacijskih modula.

(Losonczi, 2013)

Pokretanjem opcije File i opcije New Problem početak je rješavanja bilo kojeg problema koji

se u ovom slučaju rješava pomoću linearnog i cjelobrojnog linearnog programiranja.

Slika 4. Odabir opcije za rješavanje problema

Nakon odabira opcije New Problem dobivamo tablicu koja je prikazana na slici 5, te unutar te

tablice upisujemo podatke.

Slika 5. Tablica za unos podataka

14

Ovisno o problemu upisujemo i biramo sljedeće opcije:

- Problem Title – odrediti naziv problema

- Number of Variables – odrediti ukupan broj nezavisnih varijabli

- Number of Contraints – odrediti ukupan broj uvjeta

- Objective Criterion – odabrati natpis Minimization ako je cilj problema minimizacija

funkcije cilja

- Objective Criterion – odabrati natpis Maximization ako je cilj problema

maksimizacija funkcije cilja

- Data Entry Format - odabrati natpis Spreadsheet Matrix Form ako podatke želimo

unijeti u obliku proširene tablice zapisane u matričnom obliku

- Data Entry Format – odabrati natpis Normal Model Form ako podatke želimo unijeti

u onom obliku u kakvom su postavljeni u matematičkom modelu

- Default Variable Type – odabrati natpis Nonnegative conntinuous ako se u modelu

pojavljuje jedna necjelobrojna varijabla (nenegativni decimalni brojevi, nenegativni

iracionalni brojevi,...)

- Default Variable Type – odabrati natpis Nonnegative integer ako se u modelu

pojavljuju isključivo nenegativni cijeli brojevi

- Default Variable Type – odabrati natpis Binary (0,1) ako se u modelu pojavljuju

varijable odlučivanja (elementi skupa {0, 1})

- Default Variable Type – odabrati natpis Unsigned/ unrestricted ako se u modelu

pojavljuje varijabla čija vrijednost može biti strogo negativna ( pozitivni i negativni

decimalni brojevi, iracionalni brojevi,...

15

Odabirom opcije OK dobivamo tablicu za unos koeficijenta prikazano na slici 6.

Slika 6. Tablica za upis koeficijenata

Nezavisne varijable označene oznakam X1, X2, X3 upisane su u retku Variable, dok oznake

C1, C2, C3 označuju ukupan broj uvjeta.

4.2.3. Izbornik Edit i njegove opcije

Izbornik Edit sastoji se od niza naredbi koji su karakteristične za sve module softwera dok se

ostatak mijenja s obzirom na korišteni modul. (Losonczi, 2013)

Izbornik Edit sastoji se od niza naredbi koje omogućuju kopiranje i brisanje odabranih

područja, preimenovanje naziva problema, dodavanje sadržaja koji je prenesen na odabarano

područje, uklanjanje odabranih područja i brisanju jedne od navedenih naredbi.

16

Slika 7. Izbornik Edit i njegove opcije

4.2.4. Izbornik Format

Izbornik Format nije ključan izbornik za rješavanje problema. On sadrži naredbe za uređenje

postojećih tablica i podataka. Na slici 8 prikazane su njegove naredbe, te svaka naredba ima

svoju svrhu kao što je promjena format brojeva za tablicu, promjena fonta za proračunsku

tablicu, poravnavanje stupaca ili redaka, promjena visine za odabrane redove i promjena

širine za odabrane stupce.

Slika 8. Izbornik Format i njegove opcije

17

4.2.5. Opcija Solve and Analyze

Kao i svi gore navedeni izbornici, izbornik Solve and Analyze također se sastoji od niza naredi

s određenim funkcijama. Pomoću naredbe Solve the Problem rješavamo problem i

prikazujemo rezultat. Solve and Display Steps Network služi za rješavanje i postepeno

prikazivanje mogućnosti, te Select Initial Solution Method uključuje opcije prikazivanja

rezultata i analize rješenja.

Slika 9. Solve and Analyze za rješavanje problema

.

Obavijest na slici 10 prikazuje pronađeno optimalno rješenje.

18

Slika 10. Obavijest da je rješenje nađeno

Slika 11 prikazuje tablicu s optimalnim rješenjem.

Slika 11. Tablica s optimalnim rješenjem

Nazive nezavisnih varijabli upisuju se u prvom stupcu pod nazivom Decision Variable te su

označene s X1, X2, X3. Drugi stupac odnosno Solution Value prikazuje optimalnu vrijednost

nezavisnih varijabli koje su u ovom slučaju 0 jer u ulaznu tablicu nisu upisani podaci.

Optimalnu vrijednost funkcije cilja koja može biti označena maksimizacijom ili

minimizacijom upisuje se u Objective Function. Contsraint označuje oznake uvjeta koje su

19

upisane u tablicu ulaznih podataka i označene su s oznakama C1, C2, C3. U stupcu pored

upisuju se vrijednosti koje se dobiju uvrštavanjem optimalnih vrijednosti nezavisnih varijabli

uz svaki pojedini uvjet, dok se u stupcu Right Hand Side ispisuju se vrijednosti na desnoj

strani svakog pojedinog uvjeta. Razliku između ta dva stupca, odnosno Left Hand Side i Right

High Side označene su u Slack or Surples. Znak jednakosti vrijedi ako je razlika između njih

jednaka 0. Znak ≥ označava postojenje viška, dok znak ≤ postojenje manjka.

4.2.6. Izbornik Utility i njegove opcije

Izbornik Utility sadrži sljedeće naredbe

· Calculator – kalkulator Windows sustava

· Clock – sat Windows sustava

· Graph/Chart – opći graf i grafički dizajn

(Losonczi, 2013)

Slika 12. Izborik Utility i njegove opcije

20

4.2.7. Izbornik WinQSB i Izbornik Help

Izbornik WinQSB uključuje opciju za prebacivanje na drugi modul bez da se isključi trenutni

modul WinQSB-a.

Slika 13. Izbornik WinQSB i njegove opcije

Izbornik Help sastoji se od:

· Contents – prikaz glavne kategorije pomoći u datoteku za pomoć

· Search for Help on – početak potrage za ključnim riječima u datoteku za pomoć

· How to Use Help – za početak Windows uputa za pomoć

· Help on Current Windows – za prikaz pomoći na trenutnom prozoru

· About the Program – za prikaz kratkih informacija o programu

(Losonczi, 2013)

Slika 14. Izbornik Help i njegove opcije

21

5. KORIŠTENJE WinQSB-a U PRIMJENI LINEARNOG PROGRAMIRANJA U

PROIZVODNJI

U proizvodnim organizacijama proizvodnja je osnovna, najvažnija i najsloženija faza procesa

reprodukcije.

Za pripremu i sam proces proizvodnje vezani su određeni problemi među kojima su:

· Određivanje optimalnog proizvodnog programa

· Odabir optimalnih tehnoloških varijanti

· Određivanje najpovoljnije smjese sirovina

· Optimalno krojenje materijala

· Određivanje liste ukupno potrebnih količina pojednih proizvodnih čimbenika za slučaj

poznate strukture i kvantitativnih pokazatelja proizvodnog programa

· Najpovoljnije opterećenje strojeva

· Određivanje optimalnog unutarnjeg transporta

· Najpovoljniji raspored radnika na radnim zadacima i sl.

(Perić, n.d)

Navedene probleme možemo riješiti na različite načine a najčešća metoda je metoda linearnog

programiranja. WinQSB omogućuje što jednostavnije rješavanje tih problema. U ovom

poglavalju prikazat ćemo način funkcioniranja WinQSB u primjeni proizvodnje putem kojeg

rješavamo probleme linearnom metodom.

5.1. Linearno programiranje u proizvodnji

Područje primjene linearnog programiranja je jako široko i obuhvaća proizvodnju, transport i

distribuciju, marketing, telekomunikacije, financijsko ulaganje i planiranje, raspored

zaposlenika,….(Petkovićek, n.d.) U svim tim problemima koji se rješavaju linearnim

programiranjem obično se radi o optimalnom korištenju ili alokaciji sredstava koja su

raspoloživa samo u ograničenim količinama. (Šafarić, 2014)

22

Kod problema proizvodnje najbitnije je da prihodi ili profiti budu maksimalni uz određenu

količinu i vrstu proizvoda uz najpovoljnije korištenje raspoloživih resursa.

Osnovni zadatak planiranja optimalne proizvodnje primjenom linearnog programiranja sastoji

se u određivanju količina raznih artikla koje jedno ili više udruženih poduzeća mogu

proizvesti uz najpovoljnije korištenje raspoloživih ili novih resursa (radna snaga, tehnologija,

sirovina i materijal) pod uvjetom da je osiguran plasman na tržištu cijelog asortimana

proizvoda. (Petrić, 1979., p 112)

5.2. Primjeri linearnog programiranja u proizvodnji

Primjer 1

Lokalni proizvođač domaćeg sirupa od višanja proizvodi dvije vrste i prodaje ih na lokalnoj

tržnici. Pritom ostvaruje dobit od 5 kuna po litri prve vrste i 4 kune po litri druge vrste sirupa

od višanja. Prva vrsta domaćeg sirupa od višanja zahtijeva 3 kilograma višanja, 4 kilograma

šećera i 2 štapića cimeta. Druga vrsta domaćeg sirupa od višanja zahtijeva 4 kilograma

višanja, 2 kilograma šećera i 1 štapić cimeta. Proizvođač posjeduje 20 kilograma višanja, 18

kilograma šećera i 25 štapića cimeta. Treba plan proizvodnje obiju vrsta tako da pripadna

dobit bude makismalna. Proizvedeni obujam svake vrste sirupa mora biti cjelokupan.

(Knežević, 2013)

Max Z = 5x1 + 4x2

3x1 + 4x2 ≤ 20

4x1 + 2x2 ≤ 18

2x1 + x2 ≤ 25

x1, x2 ≥ 0

Prvi korak je odabir softverskog programa WinQSB kako bi se što efikasnije i brže riješio

problem Primjera 1. Sljedeći korak je odabir modula Linear and Integer Programming. Kako

bi počeli s rješavanjem, potrebno je izabrati opciju File te opciju New Problem.

23


. U dobivenu tablicu upisujemo sljedeće podatke:

· naziv problema (Primjer 1)

· broj varijabli (2)

· broj ograničenja (3)

Nakon toga kliknemo na kružiće pored sljedećih natpisa:

· Maximization ( maksimizacija dobiti)

· Nonnegative integer (nenegativni cijeli brojevi)

· Spreadsheet Matrix Form (prikaz u matričnom obliku)

24

Slika 16. Unos podataka za Primjer 1

Nakon odabira opcije OK prikazuje se tablica za upis koeficijenata uz varijable iz modela.

Tablica je prikazana na slici 17.

Slika 17. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 1

25

Koeficijente uz varijable funkcije cilja i uvjete potrebno je unijeti u odgovarajuću tablicu.

U opciju Maximize unose se redom koeficijenti varijable funkcije cilja: 5, 4.

U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u prvom uvjetu: 3, 4, 20.

U redak C2 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u drugom uvjetu: 4, 2, 18.

U redak C3 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u trećem uvjetu: 2, 1, 25.

Slika 18. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 1

Klikom na izbornik Solve and Analyze i odabirom opcije Solve the Problem dobiva se tablica

s rješenjima prikazana na slici 19. te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema,

te optimalnu vrijednost funkcije cilja.

26

Slika 19. Izlazna tablica Primjera 1

Optimalno rješenje ovog problema je X1= 4 i X2= 1. Optimalna vrijednost cilja iznosi 24.

Treba proizvesti 4 litre prve vrste domaćeg soka od višanja i 1 litru druge vrste domaćeg soka

od višanja. Optimalna ukupna vrijednost iznosu 24 kune.

Grafički prikaz Primjera 1

Kako bi dobili odgovarajući graf potrebno je kliknuti na ikonicu prikazanu na slici 20.

Slika 20. Ikonica za grafički prikaz

27

Izbornik na slici 21 prikazuje mogućnost odabira koja varijabla može biti na osi x, a koja na

osi y.

Slika 21. Odabir varijabli na osi x i osi y

Varijabla X1 je na vodoravnoj osi (horiznotal axis), dok varijabla X2 na vertikalnoj osi

(vertical axis).

Klikom na OK dobijemo željeni grafički prikaz.

Slika 22. Rezultat grafa Primjera 1

28

Optimalno rješenje ovog problema je X1= 3,20 i X2= 2,60. Optimalna vrijednost cilja iznosi 26,40.

Treba proizvesti 3,20 litre prve vrste domaćeg soka od višanja i 2,60 litre druge vrste

domaćeg soka od višanja. Optimalna ukupna vrijednost iznosu 26,40 kune.

U grafičkoj metodi vrijednosti varijabli su realni brojevi. Iz tog razloga rezultat je različit od

rezultata dobivenim opcijom Solve the Problem. Rezultati dobiveni opcijom Solve the

Problem su cijeli brojevi, dok rezultati grafičkom metodom su decimalni brojevi. Optimalna

dobit prikazana grafičkom metodom veća je za 10% u odnosu na prethodno rješenje.

Primjer 2

Cedevita d.o.o. proizvodi proizvod A (200 g bočice Cedevita naranče), Proizovd B (flaširana

voda Kala 0,5l) i Proizvod C (Rondo rolica bombona). Za 1000 komada proizvoda A

potrebno je 3.1 sati rada radnika i 0.24 sata rada strojeva u Pogonu 1, za proizvod B potrebno

je 0.6 sati rada radnika i 0.08 sata rada strojeva u Pogonu 2 i za proizvod C potrebo je 1.9 sata

rada radnika i 0.24 sata rada strojeva u Pogonu 1. Proizvod A i C proizvode se u Pogonu 1

koji se sastoji od dvije proizvodne linije za vitaminski napitak i bombone od kojih svaka

dnevno može raditi 16h, dok proizvod B se proizvodi u Pogonu 2 koji se sastoji od jednog

stroja koji dnevno može raditi 8 sati. U Pogonu 1 se dnevno radi u 2 smjene od po 8 sati, a u

Pogonu 2 se zbog ograničenja rada stroja radi u jednoj smjeni po 8 sati. Godišnje se proizvede

3 234 000 komada proizvoda A, 757 000 komada proizvoda B i 2 396 000 komada proizvoda

C. Dobit po jedinici proizvoda A, B, C iznosi 7.49 kuna, 2.69 kuna i 1.79 kuna. Dakle dobit

za 1 000 jedinica proizvoda A,B i C iznosi 7 490 kuna, 2 690kuna i 1 790 kuna. Kojom će se

kombinacijom proizvodnje postići maksimalna dobit? (Šafarić, 2014)

29

Tablica 1. Primjer primjene linearnog programiranja u proizvodnji Cedevite

IZRADA PROIZVODI KAPACITETI(h)

A B C

Rad radnika 3.1 0.6 1.9 8

Rad pogona 1 0.24 0 0.24 16

Rad pogona 2 0 0.08 0 8

Dobit po 1000

proizvoda

7 490 2 690 1 790

Izvor: http://e-lib.efst.hr/2014/1136356.pdf

Max (7490x1 + 2690x2 + 1790x3)

3.1x1 + 0.6x2 + 1.9x3 ≤ 8

0.24x1 + 0.24x3 ≤ 16

0.08x2 ≤ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

Pokretanjem aplikacijskog modula Linear and Integer Programming problem Primjera 2 biti

će riješen linearnim programiranjem. Kako bi se počelo s rješavanjem tog problema potrebno

je kliknuti opciju File te opciju New Problem.


30

U dobivenu tablicu upisujemo sljedeće podatke:





· Maximization (maksimizacija dobiti)

· Nonnegative continuous (nenegativni decimalni brojevi)



Nakon odabira opcije OK prikazuje se tablica za upis koeficijenata uz vaijable iz modela.


31


U opciju Maximize unose se redom koeficijenti varijable funkcije cilja: 7 490, 2 690, 1 790.

U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3 u prvom uvjetu: 3.1, 0.6, 1.9, 8.

U redak C2 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3 u drugom uvjetu: 0.24, 0, 0.24, 16.

U redak C3 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3 u trećem uvjetu: 0, 0.08, 0, 8.


32




Optimalne vrijednosti X1, X2 i X3 očitavamo iz stupca Solution Value, a optimalnu

vrijednost funcije cilja iz retka Objective Function (Max.)=.

Slika 27. Izlazna tablica za Primjer 2

Optimalno rješenje ovog problema je za X1= 0.0645, za X2= 1 ,te za X3= 0, dok je optimalna

vrijednost funkcije cilja 3 173.2260.

Dakle za proizvod A treba 0.0645 sati, za proizvod B 1 sat i za model C 0 sati proizvodnje.

Optimalna dobit iznosi 3 173.2260 novčanih jedinica.

33

Primjer 3

Poduzeće „Faisa“ proizvodi 4 tipa futrola za naočale. Proces stvaranja tih futrola sastoji se od

šivanja, ljepljenja i pakiranja. Za futrolu Tipa 1 potrebno je 10 minuta za šivanje, 4 minute za

ljepljenje i 1 minuta za pakiranje. Dobit futrole Tipa 1 je 3.5 kuna. Za futrolu Tipa 2 potrebno

je 12 minuta šivanja, 7 minuta ljepljenja i 1 minuta pakiranja. Dobit te futrole je 4 kune. Za

futrolu Tipa 3 potrebno je 10 minuta za šivanje, 8 za ljepljenje i 2 minute za pakiranje, te

njezina dobit je 4,5 kuna. Za futrolu Tipa 4 potrebno je 11 minuta šivanja, 3 ljepljenja i 2

minute pakiranja. Dobit futrole Tipa 4 je 4, 5 kuna. Vlasnik poduzeća procjenjuje da godišnje

na raspolaganju ima 200 000 minuta za šivanje, 80 000 za ljepljenje te 10 000 za pakiranje.

Koji plan proizvodnje svih vrsta futrola može ostvariti maksimalnu dobit?

Max (13.5x1 + 4x2 + 4.5x3 + 4.5x4)

10x1 + 12x2 + 10x3+ 11x4 ≤ 200 000

4x1 + 7x2 + 8x3+ 3x4 ≤ 80 000

x1 + x2 + 2x3+ 2x4 ≤ 10 000

x1, x2, x3, X4 ≥ 0





34






· Maximization (maksimizacija dobiti)

· Nonnegative integer (nenegativni decimalni brojevi)

· Spreadsheet Matrix Form ( prikaza u matričnom obliku)




35


U redak Maximize unose se koeficijenti varijable funkcije cilja: 3.5, 4, 4.5, 4.5.

U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3, X4 u prvom uvjetu: 10, 12, 10, 11,

200 000.

U redak C2 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3, X4 u drugom uvjetu: 4, 7, 8, 3,

80 000.

U redak C3 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3 u trećem uvjetu: 1, 1, 2, 2, 10 000.

36



s rješenjima prikazana na slici 32 te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema,


Optimalne vrijednosti X1, X2, X3, X4 prikazane su u stupcu Solution Value, a optimalna

vrijednost funcije cilja u retku Objective Function (Max.)=.

Slika 32. Izlazna tablica za Primjer 3

37

Optimalno rješenje ovog problema je za X1= 0, za X2=10 000, X3= 0 te za X4=0, dok je

optimalna vrijednost funkcije cilja 40 000.

Dakle treba proizvesti samo 10 000 komada futrole Tipa 2, dok futrole Tipa 1, Tipa 3, Tipa 4

ne treba proizvesti. Optimalna ukupna dobit iznosi 40 000 novčanih jedinica.

Primjer 4

Poduzeće „Dinokop“ proizvodi kemijske proizvode. U proizvodnji koriste se 3 vrste sirovina

za dobivanje 2 različita tipa proizvoda. U planiranom razdoblju raspoloživost sirovine S1 je

17 kilograma, sirovine S2 8 kilograma i sirovine S3 19 kilograma. Jedan kilogram proizvoda

P1 dobiva se od 0,7 kilograma sirovine S1 i 0,4 kilograma sirovine S3. Jedan kilogram

proizvoda P2 dobiva se od 0,8 kilograma sirovine S1, 0,2 kilograma sirovine S2 i 0,2

kilograma sirovine S3. Jedan kilogram proizvoda P1 prodaje se po cijeni od 200 kuna, a

proizvoda P2 u iznosu od 300 kuna. Proizvodnja jednog kilograma P1 zahtijeva 180 kuna

varijabilnih troškova, dok proizvodnja jednog kilograma P2 zahtijeva 250 kuna. Koliko treba

proizvesti proizvod P1 i proizvod P2 ako je cilj uz raspoložive količine sirovina minimizirati

ukupne troškove proizvodnje?

Tablica 2. Osnovni podaci Primjera 4

P1 P2 OGRANIČENJA

S1 0,7 0,8 17

S2 0,2 8

S3 0,4 0,2 9

CIJENA 200 300

VARIJABILNI

TROŠKAK

180 250

RAZLIKA

(CIJENA – VT)

20 50

Izvor: Izrada autora

38

Min (20x1 + 50x2)

0,7x1 + 0,8x2 ≥17

0,2x2 ≥ 8

0,4x1 + 0,3x2 ≥19

x1, x2 ≥ 0





. U dobivenu tablicu upisujemo sljedeće podatke:




39


· Minimization (minimizacija troškova)

· Nonnegative integer (nenegativni decimalni brojevi)

· Spreadsheet Matrix Form ( prikaza u matričnom obliku)





U redak Minimize unose se koeficijenti varijable funkcije cilja: 20, 50.

40

U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u prvom uvjetu: 0.7, 0.8, 17.

U redak C2 unose se koeficijenti uz varijablu X2 u drugom uvjetu: 0.2, 8.

U redak C3 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u trećem uvjetu: 0.4, 0.2, 19.



s rješenjima prikazana na slici 37 te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema i

optimalnu vrijednost funkcije cilja.

Optimalne vrijednosti X1, X2 prikazane su u stupcu Solution Value, dok je optimalna

vrijednost funcije cilja prikazana u retku Objective Function (Max.)=.

41


Optimalno rješenje ovog problema je za X1= 27.5, za X2=40, dok je optimalna vrijednost

funkcije cilja 2 550.

Proizvodnja je optimalna ako ima 27.5 proizvoda P1 i 40 porizvoda P2.

Optimalna proizvodnja stvara se pri minimalnom trošku od 2 550 kuna.

Primjer 5

Tvornica mobitela „Mobil d.d.“ može napraviti jedan mobitel Sony u 3 dana, mobitel

Motorola u 4 dana dok mobitel Nokia u 5 dana. Mobitel Sony prosječno troši 4.7 Watta na

sat, mobitel Motorola 5.7 Watta struje i mobitel Nokia 6.1 Watta struje na sat. Propisani

prosjek potrošnje je 4.5 Watta na sat. „Mobil“ ostvaruje gubitak od 500 novčanih jedinica na

svakom Sony-u, te dobit od 1 000 i 3 000 za Motorolu i Nokiu. Koliku maksimalnu dobit

može „Mobil“ ostvariti proizvodnjom svih 3 mobitela u najviše 300 jedinica vremena uz uvjet

da su varijable X1, X2, X3 nenegativni cjeli brojevi?

42

Max (- 500x1 + 1000x2 + 3000x3)

3x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 300

≤ 4.5

4.7x1 + 5.7x2 + 6.1x3 ≤ 4.5 (x1 + x2 + x3)

4.7x1 + 5.7x2 + 6.1x3 ≤ 4.5x1 + 4.5x2 + 4.5x3

4.7x1 + 5.7x2 + 6.1x3 - 4.5x1 - 4.5x2 - 4.5x3 ≤ 0

-0.2x1 + 1.3x2 + 1.6x3 ≤ 0 /( - )

5x1 -3x2 - 4x3 ≥ 0

x1,x2,x3 ɛ





43






· Maximization ( maksimizacija dobiti)

· Nonnegative integer (nenegativni cijeli brojevi)


Slika 39 : Unos podataka za Primjer 5



44


Koeficijente uz varijable funkcije cilja i uvjete potrebno je unijeti u odgovarajuću tablicu.

U opciju Maximize unose se redom koeficijenti varijable funkcije cilja: - 500, 1000, 3000.

U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u prvom uvjetu: 3, 4, 5, 300.

U redak C2 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u drugom uvjetu: 5, -3, -4, 0.


45





Optimalno rješenje ovog problema je X1= 32, X2= 0 i X3= 40. Optimalna vrijednost cilja

iznosi 104 000.

Dakle treba proizvesti 32 mobitela marke Sony i 40 mobitela marke Nokia. Mobitel marke

Motorola ne treba proizvesti. Optimalna ukupna dobit iznosi 104 000 novčanih jedinica.

Primjer 6

Primjer 5 također možemo riješiti bez pretpostavki o cjelobrojnosti broja proizvedenih

mobitela. Primjer 6 je jednako koncipiran kao i Primjer 5 uz jedinu razliku da varijable X1,

X2, X3 mogu biti decimalni brojevi. Usporedimo rješenje Primjera 5 i Primjera 6.

Primjer 5 pohranili smo tako da u izborniku File odabremo opciju Save Problem.

46

Slika 43. Opcija Save the Problem

U izborniku File nalazi se opcija Load the Program koja nam omogućuje mijenjanje tipa

varijabli.

Slika 44. Opcija Load the Program

Kako bi dobili varijablu Nonegative Continuous umjesto Nonnegative integer potrebno je

dvostruko kliknuti na ćeliju Varijable Type.

47






48

Optimalno rješenje ovog problema je X1= 32.4324 X2= 0 i X3= 40.5405 Optimalna

vrijednost cilja iznosi 105 405.40.

Optimalna dobit u Primjeru 6 veća je za 1.35%. U slučaju zaokruživanja varijabli X1, X2, X3

na cijele brojeve ne dobijemo jednako rješenje kao u Primjeru 5. Razlika u rješenjima je

također u stupcu Slack or Surplus. U Primjeru 6 vrijednost je jednaka 0, jer je znak

nejednakosti moguće zamijeniti u svakom uvjetu sa znakom jednakosti a da se rješenje pritom

ne promijeni. U Primjeru 5 vrijednost je jednaka 4 što znači da takvu zamjenu je nemoguće

napraviti.

49

6. ZAKLJUČAK

Linearno programiranje od sredine prošlog stoljeća predstavlja standardni pristup koji je

uštedio stotine tisuća, pa i milijuna kuna velikom broju poduzeća i to ne samo velikih.

Njegova primjena se sve više širi i na druga područja izvan okvira ekonomije. Da bismo

dobili predodžbu o korisnosti i upotrebljivosti spomenute metode dovoljno je reći da se u

današnje vrijeme približno 65% svih svjetskih znanstvenih proračuna na računalima vezuje u

manjoj ili većoj mjeri za linearno programiranje.

Linearno programiranje je od svih metoda matematičkog optimiranja najviše izraženo u

proizvodnji i na tom području postoje mnoge modifikacije i tehnike. Zbog suvremenih

metoda primjena linearnog programiranja u proizvodnji obogaćuje se novim tehnologijama i

tehnikama u rješavanju problema. Zahvaljujući tim suvremenim metodama i sve većem

razvoju moderne tehnologije nastao je softverski program WinQSB.

WinQSB doprinosi razvoju kvanitativnih metoda u menadžmentu i pomaže u rješavanju

problema na području operacijskih istraživanja. Primjena WinQSB značajna je za svako

poduzeće jer smanjuje troškove, olakšava administrativne poslove, povećava produktivnost i

odluke poduzetnika čini bržim, djelotvornijim i uspješnijim. Nažalost, stručnjaci tvrde da

WinQSB nije doživio očekivani „procvat“ . Uvođenje takvog sustava dovodi do

organizacijskih promjena u poduzeća i zahtijeva promjenu u postojećem radu. Također,

WinQSB nije rašireni program, rijetko ga se koristi zbog nedovoljne informiranosti s toga

poduzetnici smtaraju taj program nepovjerljivim.

U ovom radu riješeni su primjeri koji nastoje dati što detaljniji prikaz korištenja WinQSB u

rješavanju problema linearnog programiranja vezanim uz probleme planirane proizvodnje.

Svrha ovog rada je prikazati korisnost, jednostavnost i pouzdanost WinQSB bez obzira na

smanjenu učestalost njegovog korištenja u praksi.

50

LITERATURA

1) KNJIGE

1. Babić, Z 2005, Linearno programiranje, Sveučilište u Splitu, Split.2.

2. Brajdić, I 2006, Matematički modeli i metode poslovnog odlučivanja, Fakultet za

turistički i hoteljerski menadžment u Opatiji, Opatija.3.

3. Barković, D 2002, Operacijska istraživanja, Sveučilište Jurja Strossmayera u

Osijeku, Osijek.

4. Chang, L 1998, WinQSB – Decision Suport Softwere for MS/OM, John Wiley &

Sons, New York.

5. Petrić, J 1979, Operaciona istraživanja, Suvremena administracija, Beograd.

6. Stanojević, R 1966, Linearno programiranje, Institut za ekonomiku industrije,

Beograd.

2) ČLANCI

1. Bastijanović, M, Mataija, M & Rakamarić Šegić, M, 2013, „Matematičke metode

u funkciji analize i ocjene poslovanja“, Zbornik Veleučilišta u Rijeci, Vol 1, no. 1,

pp 200-227.

3) INTERNETSKI IZVORI

1. Galetić, F 2010, Modeliranje – vježbe na računalima, Ekonomski fakultet u

Zagrebu, Zagreb, pogledano 24 ožujka 2015,

<http://web.efzg.hr/dok/EPO/fgaletic//02vjezbe-racunala.pdf >

51

2. Kovačić, M 2013, „Primjena linearnog programiranja u planiranju porizvodnje“,

diplomski rad, Veleučilište u Požegi, Požega, pogledano 11 veljače 2015

<http://bkovacic.weebly.com/uploads/7/4/0/7/7407552/diplomski_rad_-

_monika_knezevic.pdf>

3. Losonczi, L 2013, Applications of WinQSB, pogledano 20 ožujka 2015,

http://riemann.math.klte.hu/~losi/jegyzet/eco/WinQSBappl.pdf

4. Magdić, D 2011, Osnovne primjene metode linearnog programiranja, Sveučilište

Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Osijek, pogledano 16 travnja 2015,

<http://zpi.ptfos.hr/modeli/images/files/skripte/Osnove%20primjene%20metode%

20linearnog%20programiranja_dio%20I.pdf>

5. Palian, M n.d., Problem linearnog programiranja pomoću simpleks metode i

WinQSB programa, pogledano 27 ožujka 2015,

<http://www.scribd.com/doc/57730323/problem-linearnog-programiranja-

simpleks-metoda-i-winqsb>

6. Perić, T n.d., Linearni model proizvodnje, pogledano 11 veljače 2015

<http://web.efzg.hr/dok/mat/svlah/Linearni%20model%20proizvodnje.pdf>

7. Petkovićek, D n.d., Linearno programiranje, pogledano 16 travnja 2015,

<http://matematika.fkit.hr/staro/izborna/referati/Daniela%20Petkovicek%20-

%20Linearno%20programiranje.pdf>

8. Radić, J 2012, „Linearno programiranje i višekriterijalno odlučivanje u proizvodnji

– tvornica stočne hrane“, diplomski rad, Veleučilište u Požegi, Požega, pogledano

28 siječnja 2015, <http://e-lib.efst.hr/2012/2092638.pdf>

9. Scitovski, R, Vazler, I & Briš, M 2013, Kvantitativne metode za poslovno

odlučivanje, pogledano 29 siječnja 2015,

<https://www.mathos.hr/~scitowsk/Kvantitativne/Materijali/LP.pdf >

52

10. Šafarić, B 2014, „Primjena linearnog programiranja u porizvodnji“, diplomski rad,

Sveučilište u Splitu, Split, pogledano 14 veljače 2015, <http://e-

lib.efst.hr/2014/1136356.pdf>

53

POPIS SLIKA

Slika 1. Aplikacijski modul WinQSB-a

Slika 2. Aplikacijski modul Linear and Integer Programming

Slika 3. Alatna traka Linear and Integer Programminga

Slika 4. Odabir opcije za rješavanje problema

Slika 5. Tablica za unos podataka u matematičkom obliku

Slika 6. Tablica za upis koeficijenata

Slika 7. Izbornik Edit i njegove opcije

Slika 8. Izbornik Format i njegove opcije

Slika 9. Solve and Analyze za rješavanje problema

Slika 10. Obavijest da je rješenje nađeno

Slika 11. Tablica s optimalnim rješenjem

Slika 12. Izbornik Utility i njegove opcije

Slika 13. Izbornik WinQSB i njegove opcije

Slika 14. Izbornik Help i njegove opcije






Slika 20. Ikonica za grafički prikaz

Slika 21. Odabir varijabli na os x i os y

Slika 22. Rezultat grafa Primjera 1










Slika 32. Izlazna tablica za Primjera 3

54





Slika 37. Izlazna tablica za Primjera 4






Slika 43. Opcija Save the Problem

Slika 44. Opcija Load the Program



POPIS TABLICA

Tablica 1. Primjer primjene linearnog programiranja u proizvodnji Cedevite

Tablica 2. Osnovni podaci Primjera 5

55

Documents

RJEŠAVANJE LINEARNO G PROGRAMIRANJA POMOĆU …oliver.efri.hr/zavrsni/969.B.pdf · aplikacijskog modula Linear and Integer Programming koji se nalazi u računalnom programu WinQSB