Upload
mrmskyman
View
83
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
١
WWW.ESUD83.MIHANBLOG.COM
:فرانسيل و مشتقات جزئييمعريف معادالت د
اگر معادله اي شامل جند متغري و مشتقات آا باشد، آن معادله يك معادله ديفرانسيل ناميده مـي معادله ديفراسيل با مشتقات جزئي معادله اي است كه شامل يك تابع و مـتغري هـاي آن و .شود
فرم كلي معادالت ديفرانسيل با مشتقات جزئي به صورت رابطه .جزئي مربوط مي باشدمشتقات
:مي باشد)١( ):١(رابطه
كه در آن
:مثال
كي چازبني اين جمموعه تنها خبش كو.يك جمموعه معادالت ناحمدود مي باشد PDEجمموعه معادالت .داراي كاربردهاي خاص مي باشد
))٢(رابطه (فرمهاي حماسبايت مطرح مي شوند داراي PDEربردهاي غالب مسائلي كه در كا
0,......),,......,,,,.......,,,( )()()( =+ jixy
myyyy
nxxxx uuuuuuuuG
yxuuu
yu
xyu xyyx ∂∂
∂==
∂∂
∂∂
=2
⎪⎩
⎪⎨⎧
=∂∂
+∂∂
=+
0
0),(),(
3
3
3
3
yu
xu
yxuyxu yyyxxx
٢
.هستند PDEضرايب معادله A , B , ….., Gكه در آن .مي باشند :)٢(رابطه
.از مشتقات جزئي مي نامند ٢اين معادله را فرم استاندارد معادله درجه خطي ناميده مي شود ويل چنانچه ٢ه باشند، معادله ي درج x , yتوابعي از A , B , ….., Gچنانچه
A , B , ….., G تابعي ازU معادله ي غري خطي ناميده مي شود ، باشد. دومعادله غري خطي درجه : مثال
دو معادله خطي درجه: مثال
در حوزه ي ٢معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي خطي درجه در بسياري .صفحه و يا فضا تعريف مي شوند ديفرانسيل با مشتقات جزئي روي خط ، تمعادال
در برخي كاربردها نيز.معلوم مي باشد يا روي خطر در مرز ناحيه يا فضاUاز كاربردها ،مقادميتغري Boundary valueمسـائل گـروه اول .معلوم مي باشد زمان و مكان در نقطه شروع U ر تابعادمق
Problems )وم را و مسائل گروه د) مسائل با مقادر مرزيInitional Value Problems حالـت .ميناميميك معادله ديفرانسيل،خطي ناميده مي شود وقـيت .تركييب از مقادير مرزي و اوليه نيز وجود دارد
.مرزي آن خطي باشدمقاديركه معادله و شرايط اوليه يا آن مهگن باشند ناميده مي شود وقيت معادله و شرايط Homogenusمهگن يا PDEمعادله ديفرانسيل
در وجـود , يك معادلـه براي روش هايي كه در اين درس ارائه مي شود ،خطي و مهگن بودن ه دليل به حل معادالت مشتقات جزئـي چبراي توضيح اينكه به .نقش اساسي دارد جواب معادله
نيازمند PDEا به حل يك معادله آائي را در فيزيك مطرح مي كنيم كه حل دقيق مثاهل .نيازمندمي ن آر بيشتر كاربرد اين درس براي حل مسائلي است كه در زير منونه هائي ازگبه عبارت دي.است . ورده شده استآ
:حل مساَله سيم نوسان كننده ايل جرم چگو داراي سيم را باريك.شده باشد Fixدر دو نقطه Lفرض مي كنيم سيمي به طول . طويل يكنواخت فرض مي كنيم
. با سرعت است yداراي حركت در راستاي سيم
:حركت ندارمي بنابراين xاز آجنا كه در راستاي
0),(),(),(),(),( =++++++ GyxFuyxEuyxDuyxCuBuyxAu yxyyxyxx
0)(sin =+ uyxx uu
10),(),(),( 2 =++ yxueyxuxyyxzu xyyxx
),,( zyxu
( )txxv .∆+
( ) ( ) ( ) lxtctetxHtxxHtvH <<∀=→∆+= 0,,,
( ) ( )H
txvH
txxv−
−=
∆+=
,tan,tan βα
٣
دارميyبراي يك املان طول سيم و در راستاي نريوباقرار دادن معادله
رفته شده مي باشد و در صوريت كه گكمان اجياد شده توسط املان در نظر ∆sكه در ان
):٤(رابطه .كشش سيم مي باشدHو مقادير ثابيت هستند جرم واحد طول سيم
:ديفرانسيل حاكم بر سيم نوسان كننده به فرم كه معادلهادمي نشان د
باشد چناجنه نريويي بر سيم tو زمان xدر نقطه و yي در راستا سيم احنراف y(x,t) كه در آن
: خواهد بود )٥(رابطه وارد منائيم معادله نريو بصورت ):٥(رابطه
. يدآبدست مي )٣(زين كردن رابطه گاين رابطه از جاي
:بنابراين
:بنابراين
:با در نظر گرفنت مساَله وزن خواهيم داشت
مي دانيم كه نريوي اصطكاك اجسام متحـرك ;باشد م در حميط داراي اصطكاكبراي حاليت كه سي )٦(رابطه.متناسب است هم در هوا، گازها و سياالت با سرعت حركت
( ) ( )txytxxy xx −=∆+= ,tan,tan βαmaF =∆
( ) ( ) ( )txystxvtxxv tt ,..,, ∆=−∆+⇒ δ
( ) ( ) ( )txyx
txvtxxvsx tt ,,, δ=∆
−∆+⇒∆=∆
( ) ( ) ( )txyx
txytxxyH tt
xx ,,,
δ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∆
−∆+
( ) ( ) ( ) ( )txytxyHtxytxHy ttxxttXX ,,,, =⇒= δδH,δδ:
( ) ( )txyHtxy xxtt ,, δ=
( ) ( )( ) ( ) xFtxytxxyHtxxy xxtt ∆+−∆+=∆ ,,,δ
( ) ( ) ( )δδ
fx
txytxxyHtxy xxtt +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∆−∆+
=,,,
( ) ( ) δδftxyHyxy XXtt += ,,
( ) ( ) ( )( ) xgtxytxxyHtxxy xxtt ∆−−∆+=∆ ,,,δ
( ) ( ) gtxyHyxy xxtt −= ,, δ
٤
ضريب اصطكاك : b): ٦(رابطه :بنابراين
شرايط اوليه يا مرزي به صورت كامل قابل حل نيستند بنابراين وقـيت معادالت ديفرانسيل بدون .ن نيز مشخص باشدآكامل است كه شرايط اوليه يا مرزي
:شرايط مرزي سيم نوسان كننده . حاليت كه سيم داراي احنراف اوليه است و حتت احنراف اوليه رها مي شود
:اه دارميگنآ
.يه استمنحين احنراف اول f(x)ن آكه در
وقيت كه سيم حتت يك ضربه داراي سرعت اوليه:شرايط مرزي سري دوم :مي شود
.در حلظه صفر مي باشد xسرعت نقطه g(x)كه در ان
.مدلسازيهاي مربوط به مسايل نوسان با يكي از دو صورت فوق اجنام مي شود مساَله ميله نوسان كننده
گرييدكه را تابعي در نظربy(x,t).رييدگنريو قرار دارد در نظر ب يك ميله قابل ارجتاع كه حتت يكميزان جاجبايي .نسبت به مكان اوليه حماسبه مي كند tرا در زمان Xه نقط ميزان جاجبايي
XXنقطه XXبرابر با مكان اوليه نقطه +∆ نريوي وارده بر ميله.مي باشد+∆F(X,t) ريمي كه نريوي وارد بر واحد طول مي باشدگمد نظر مي .
( )txbyf t ,−==
( ) ( ) ( )txbytxyHtxy txxtt ,,, −= δ
( )( )
( ) ( ) l<<===
xxfxytlyty
00,0,0,0
( ) 0,0 =ty( ) 0, =ty l
( ) 00, =xy
( ) ( )xgxyt =0,
٥
مشخص مـي شـود )v(و با توجه به روابط تنش ميزان تغيري طول با رابطه از روي قانون هوك : بدست مي آيد
A : سطح مقطع ميله B:(رابطه )گيان(مدول االستيسيتهv(
.ه از حالت االستيك خارج نشودمقدار نريو به صوريت است كه ميل :پس
دارمي xبراي نقطه
:است ) ٨(يك املان طويل ازميله به صورت رابطه معادله نريو برايA: ٨(رابطه سطح مقطع( طول: طولجرم واحد
معادله ميله نوسان كننده):٩(رابطه
:براي يك صفحه نوسان كننده دارمي .ميباشدt در حلظه yوxاف نقطه ميزان احنر Zttكه در آن
:مساَله انتقال حرارتمي خواهيم بـا .بگرييددر نظر tدر حلظه x,yرا در دماي نقطه R u(x,y,z,t)براي يك حجم
استفاده از قوانني ترمو ديناميك معادله ديفرانسيل براي هر نقطه را به صورت تابعي اززمان بدست .اورمي
صفحه عبور مي كند با رابطه زير مشخص مـي املانيت كه از يك شار حرارمهانطور كه ميدانيم بردار عمود بر سطح املان صفحه مورد نظر مي باشدnكه .شود بردار عمود بر سطح:nرسانايي :kشار :
: بدست مي ايد) ١٠(به صورت روابط zوyوx حمورهاي مثالً حرارت انتقايل در راستاي
( ) ( )txyxxyF ,−∆+=
( ) ( ) ( )( )txytxxyx
EtxF ,,, −∆+∆
=
( ) ( )txAEytxF x ,, =
( ) ( )txEytxF x ,, −=
( ) ( )txxAEytxxF x ., ∆+=∆+
( ) ( ) ( )txxyAtxFtxxF tt ,,, ∆=−∆+ δ
∆
δ
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∆−∆+
=⇒x
txytxxyA
AEtxytt,,,
δ
( ) ( )txyEtxy xxtt ,,δ
=
( ) ( ) ( )( )tyxZtyxZHtyxZ yyxxtt ,,,,,, += δ
φdnduK−=φ
dxduK−=1φ
٦
)١٠(روابط :yايل در راستاي حمور و حرارت انتق
.را به به صورت مجع شارها معريف مي كنيم yجريان حراريت
nJدر هر راستا به صورت φبه اين صورت .=φ بدست مي ايد .: yzصفحه شار عبوري از:مثال
:ت حراريت جسم مورد نظر بگريمي، با رابطه زير مشخص مي شوداگر برابر كل تغيريا
)و يب حراريت(شار حراريت .ث تغيري انرژي حراريت ناحيه ميگرددعاز طريف شاري كه از سطح ناحيه خارج مي شود با
:كل شار حراريت خارج شده ازناحيه انتگرال زير مشخص مي شود
):دارمي از رياضيات:(ابراينبن
از آجنايي كه اين روابط براي هر حجم برقرار مي باشد بنابراين ) :وقيت در داخل ناحيه منبع حراريت ندارمي(بامالحظه فيزيك مساَله دارمي
.كمييت پيوسته است ، بنابراين الزم است Uبرقرار است و Rچون اين معادله براي هر ناحيه ي
dyduK−=2φ
dtduK−=3φ
∧∧∧
++= KJIJ 321 φφφ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∧∧∧
KzuJ
yuI
xukJ
( )ukJ ∆−=
dxdukjj −==φ
udvI R δ01 ∫∫∫=
1I1I
dAJI R .1 ∫∫=
( ) ∫∫∫∇=∫∫∫=R
R dVJdvdivjI )(2
∫∫∫ ∇−=∇−∫∫∫= udVkJdvkI R2
2 .
21 II =
( ) ( )( ) 0021 =−∫∫∫⇒=− dvvukuuII tR δ
( ) ukUvkuu tut20 ∇=∆⇒==δ
( ) ∧∧∧
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kzuj
yui
xuuztyxu ν,,,
٧
:ميربا تركيب موارد فوق دا
:پس
معادله انتقال حرارت
ن دهيم مسائل و رفتارهايي در فيزيك و واقعيـت ائه شده اين است كه نشاهدف از حبث هاي ار PDEا احتياج به روشهاي آمنايش دادو حل PDEوجود دارند كه مي توان آا را به فرم معادالت
E دارد P D E مساًله انتقال حرارت ديدمي كه رابطه كلي انتقال حرارت در هر ناحيه بوسيله رابطه در
.زير مشخص مي شد
:بررسي شرايط مرزي در معادله انتقال حرارت :چنانچه از يك مرز ناحيه شار ثابت حراريت وارد شود، در اين صورت
:زير است كه صورت به اگر مز عايق باشد داراي شرايط مرزي اگر عايق باشد شرط مرزي صفر است
:چنانچه مرز به يك دماي ثابت متصل باشد آنگاه انتقال رارت بصورت زير مي باشد
ر حميط رسانا باشد انتقال حرارت به صورت رسانايي مي باشد و دارميگا
∧∧∧
++= kMjMiMu 3211
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∧∧∧∧∧∧
kMjMiMkz
jy
ix
U M 321. zM
yM
xM
∂∂
+∂∂
+∂∂
= 321
Uu=µ
( )tzyxuzu
yu
xuK t ,,,2
2
2
2
2
2
δ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
( ) ( ) ( )2
2
2
2
2
2 ,,,,,,,,,z
tztxuy
tzyxx
tzyxu∂
∂+
∂∂
+∂
∂ ( )tzyxtu
k,,,
∂∂∂
=
tzzyyxx uk
uuu δ=++
tuk
u ∂=∇ 2? 222
2
xyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
0φ=dnduk
0=dxdu
( )uThdnduk −= 0
٨
الت انتقال حراريت روي هر مطلوب است معاد.يك ورق فلزي به صورت زير در نظر مي گريمي -
: نقطه از ورق
معادله براي هر نقطه از نوار فلزي
) روي ورق.(براي حل معادله نياز به شرايط مرزي دارمي.حال بايد شرايط مرزي را اعمال كنيم ١( ١مرز
٢( ٢مرز
٣( ٣مرز
ريمي گدر نظر مي u(x,y,0)=f(x)دماي اوليه صفحه را نيز بصورت 222معاىله نوسان tuu ∂∂=∇
را السـني پتابع حتت الuمعادالت بر فرم را معادالت الپالس مي گوئيم و تابع هارمونيك
كاربرد اين معادالت در مباحث سياالت ، ترموديناميك ، الكترو مغناطيس ،موج ،.مي نامند ..بيولوژي و ارتعاشات ، خبوم ،آكوستيك ،
باشند ، آنگاه را تركيب خطي Rاگر دو تابع و دو ضريب در .مي ناميم
-e را يك اپراتور خطي مي ناميم وقيت :براي مثال انتگرال گري يك اپراتور خطي است
tu
kyu
xu
tu
ku
∂∂
=∂∂
+∂∂
⇒∂∂
=∇δδ
2
2
2
22
( ) lxtoxuodxduk x <<== 00,,
( ) 0,, 00 >== ytyoKudxduk x φφ
( ) ( )( )oyuhtyKUxuohdxduk >−== ,,0),
0, =<< ylxo
0,0 >= yx
0, >= yex
( )tzyxuu ,,,,2 δ=∇
12 ,uu12 , cc2211 ucuc −
12 uوu{ } { } { }22112211 uecuecucuce +=+
{ } { } ( ) =+∫=+→∫= duucucucuceudtue 22112211
٩
:خواص اپراتور خطي
:نيز يك اپراتور خطي باشد، در اين صورت Mاگر
:مهانطور كه قبالً حبث شد، معادالت مورد توجه فرم
.مي باشد eحال اپراتور .است ، مباين حل معادالت مي باشد G=0اين معادالت مهگن كه در آن از بني ،
:را بصورت زير تعريف مي كنيم
بصورت eتور حال بيان معادله مهگن با اپرا ) برابر است با والتاژ، دما،مكان ،پتانسيل،فشار يك سيالu .(مي باشد
خواهد بودو مي توان نشان حال مي توان نشان داد كه معادله غري مهگن به صورت يعين:داد چنانچه جواا معادله مهگن باشد
در اين صورت كا.معادله مهگن باشند،هر تركيب خطي آا جواب معادله مهگن است اگر جوااي:نتيجه
.يب ايت جواب بدست خواهد آمد.يف آن در يك ضرب شود- .اگر جواب معادله مهگن باشد و جواب معادله نامهگن ، در اين صورت
.واهد بود مهگن خريكه جواب معادله غ uدر اين صورت هر تابع
زير را در نظر بگرييد سيم مرتعشمساًله :مثال
duucduucduucduuc 22112211 ∫+∫=∫+∫
{ } 00 =e
{ }kk
n
kkk
n
kuecuce
11 ==∑=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∑
{ }{ } { }{ } { }ueMueMuMe ==
( ){ } { } { }uMueuMe +=+
( ) ( )yxGyxFuyuE
xuD
yuc
xyuB
xuA ,,2
22
2
2
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
Fy
Ex
DyuC
xyB
xAe +
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= 2
22
2
2
{ } 0=ue
{ } Gue =
21 ,uu{ } { } 00 21 == ueue
{ } { } { } 022112211 =+=+ ucuceuecuec21 ,uu
1u2u{ } { } Gueue == 21 0
21 ucuu +={ } { } { } Gueuceucue =+=+ 2121
( ) ( )txKutxu xxt ,, =
١٠
:شرايط مرزي اين است
در اين صورت جواب معادله مهگن به فرم
tمشتق تابع نسبت به
است kتفاوتشان در
سپس مي توان نتيجه گرفت كه
.نيز جواب معادله فوق خواهد بود معادالت به فرم
باشند x , y , tتابعي از Fتا Aهستند وقيت ٢خطي درجه .با ضريب ثابت مي ناميم٢عدد ثابيت باشند،معادله را معادله خطي درجه F-Aچنانچه ضرايب
گوئيم و اگر باشد معادله H yperbolicحال اگر معادله هذلويل يا ).Parabolic.(واگر باشد سهمي گوئيمگويند Ecllipite را بيضوي يا
:انواع معادالت الپالسروي مرز دانسه uمساَله الپالس را مساَله ديريشله يا نوع اول گويند اگر در شرايط مرزي مفدار
.شود .روي خبشي از مرز داده شده باشد uمساَله الپالس نوع را نيومن گوينداگر مقدار مشتق
.شده باشد دادهمساًله ي الپالس را نوع سوم گويند اگر روي مرز مقدار گويند اگر معادله الپالس شامل ترمهاي باشد و) كوشي(مساَله الپالس را نوع چهارم
.يا در حلظه صفر دانسته شده باشد uمقدار
:بيان خمتصاا كارترين به استوانه اي
( ) 0, =toux
( ) 0, =tcux
( ) ( ) ,......2,1cosexp,21, 2
22
0 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−== n
cxnt
ckntxUtxu n
ππ
( )cxnt
ckn
ckntxut
πππ cosexp, 2
22
2
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
cxnkt
cn
cnu xx
πππ cosexp 2
22
2
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
( )txukuxx ,=
nnoo ucucucu +++= .....11
GFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx =+++++
042 >− AcB042 =− AcB
042 >− AcB
dnduKu +
ttt uu ,
tu
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
zzpypx
φφ
sincos
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
+=
zzx
yArc
yxp
tan
22
φ
١١
كروي انه اي استو
دكاريت كروي
استوانه اي كروي
كروي كارتزين
:بيان معادله الپالس در خمتصات استوانه اي
.بصورت خواهد بود uدر اينصورت تابع :حل
:قرار مي دهيم* در عبارت uبه جاي
zpr += 2
φφ =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= z
pArc tanθ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
θφθφθ
rCoszSinrSinyCosrSinx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
θφφ
θ
rCosz
rSinp
222 zyxr ++=
xyArcTan=φ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +=
zyx
ArcTanz22
00 2
2
2
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇zu
yu
xuu
( )zpu ,,φ
xz
zu
xu
xp
pu
xu
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ ... φ
φ
∗∂∂
−∂∂
=∂∂
−∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
∂∂
++∂
∂=
φφφ
φφ
φu
pSin
puCosu
pSin
px
pu
yxyu
yxx
pu .. 2222
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
xu
xxu2
2
١٢
:حماسبه ي
:در ايت
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
xu
pSin
xu
pCos
xu
φφφ
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
φφ
φφ
φφ
φφφ u
pSinuCos
pSinu
pSin
puCoc
pCos
xu2
2 `
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂ℑ−
∂∂
+∂∂
=∂∂
⇒pu
pSinu
pSin
puCosCos
xu
φφφφφ
2
22
2
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−∂∂
∂+
∂∂
− 2
22
φφ
φφ
φφφφ u
pSinu
pCos
uuCos
puSin
pSin
−∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
+∂∂
=pu
pSin
pu
pSinCosu
pSinCos
puCos
u φφ
φφφ
φφφ2
2
22
⇒∂∂
+∂∂
+∂∂
∂2
22
2
2
φφ
φφφ
φφφ u
pSinu
pCosSin
pu
pCosSin
2
2
2
222
22
22 22
φφφ
φφφ
φφφφ
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
+∂∂ u
pSin
pu
pSin
pu
pSinCosu
pCosSin
ppCos
2
2
yu
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂=
∂∂
⇒∂∂
+∂∂
=∂∂
yu
pCos
yu
pSinyuu
pCos
puSin
yu
φφφ
φφφ 2
2
pu
pCosu
pCos
pu
pCosSin
puSin
yu
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=∂∂ φ
φφ
φφφφ
2
2
2
2
22
2
22
2
2 2
φφφ∂∂
−u
pCos2
sin2
( ) 0,, 22
2
2
2
=∇∂
∂=
∂∂ u
zzyx
zu
⇒=∂∂
+∂∂
+∂∂
→=∇ 00 2
2
2
2
2
22
zu
yu
xuu
0112
2
2
2
22
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zuu
ppu
ppu
φ
١٣
:بيان معادله الپالس در خمتصات استوانه اي
:ثابت باشد Zاگر مساَله در راستاي
:معادله زير يك معادله الپالس درخمتصات استوانه اي است
)معادله الپالس در فرم كروي.(معادله الپالس را به معادله كروي تبديل منائيد:مترين
:در ايت
:روش ديگر منايش
:روش ديگر منايش
:اگر مساَله مستقل از باشد
حل معادله :فصل دومروش حل معادله به وسيله معادله مهگن و بدست آوردن يك جواب اختصاصي براي مساله مـي
Sepration).ي براي حل معادالت الپالس ،روش جداسازي متغريها ميباشدرديك روش كارب.باشد
of Vauiable)
02
22
2
2
2
22 =
∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
zupp
pup
puP
φ
02
22
2
2
2
22 =
∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
zupp
pup
puP
φ02
2
=∂∂zup
02
2
22 =
∂∂
+∂∂
+∂∂
+ yu
xux
xux π20 <<
∞<<yxo
01120 22
2
22
2
222
22 =
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
⇒=∇θ
θφφθ
ur
Cosur
uSinrr
urr
uu
( ) ( )θφφ θθθθ
SinuSinr
uSinr
ruru rr 2222 111 ++=∇
( ) ( )rrrrr ruuuruu ++→+
φ( ) ( )θθφφ θ
θθSinu
Sinru
Sinrurr
ru r 222
22
2 111++=∇
( ) ( ) uSinuSinr
urr
r rr2
22
2
11∇=+ θθ θ
θ
Gu =∇ 2
١٤
:بري توضيح اين روش از يك مثال استفاده مي كنيم
شرايط مرزي
.خواهيم رسيد f(x)در ايت به متوسط يعين اگر جواب هاي معادله فوق باشند نيز جوايب بـراي ):١قضيه
.مساَله است .گراي يكنواخت باشد سري جواب به ازاي مهگرا واهد بودپيوسته و مه uاگر ):٢قضيه .جوايب كه در حالت كلي بدست مي آيد يكتاست):٣قضيه
.را مي خواهيم
روش جداسازي متغريها
تابعي از زمان=تابعي از كان
.اين تساوي در صوريت برقرار است كه نسبت كسرها ثابت باشد
عدد ثابت
1 معادله
٢معادله .معادالت اشتروم ليوويل گويند ١،٢به معادالت .جواب بدست خواهد آمد ٢و١با حل معادالت
:حنوي اعمال شرايط مرزي
),(),( txutxKu txx = 00 ><< tcx
)()0,( xfxu =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===
=
)()0,(0),(0),0(
),(),(
xfxutcutu
txutxKu
x
x
txx
1......... uu n∑= kk ucu
∞=n
),( txu( ) ( ) ( )tTxXtxu =,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )tTtT
xXxXKtTxXtTxXK
′=
′′→′=′′
( )( )
( )( ) →=′
=′′
λtTtT
KxXxX 1
( ) ( ) 0=−′′ xXxX λ
( ) ( ) 0=−′ tKTtT λ
( )( )
( )( ) λλ =′
=′
tKTtT
xXxX
١٥
:سه حالت در نظر مي گريمي: حنوي حل معادله
.صفر است پس جوايب اجياد مني كند u (x,t)صفر باشد X(x)گر ا
در اين حالت
.واضح است ثابت باشد در اين صورت f (x )پس اگر
( ) ( ) ( ) ( ) 01 =′=′ tTcXtToX
( ) ( ) ( ) 0,0 1 =′=′≠⇒ cXooXtT
( ) ( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
=′=
=−′
00
0
cXoX
xxxX λ ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) tktk AetTeAtTtk
AtTCos
CosAtktCosTktTtTttktT
λλλ
λλλ
=⇒=⇒=⇒
+=⇒=′
⇒=−′ 0
( ) ( ) 00)(0)1 21 >+=⇒=−′′> − λλλ λλ xx eaeaxXxXxX
( ) ( ) ( ) axax BeAexXxaxXaفرض −+=⇒×=′′⇒= 22λ
( ) axax BaeAaexX −−=
( )( ) 0,0
0000
==⇒⎩⎨⎧
=−⇒=′=−⇒=′− BA
BeAecXBAoX
acac
0>λ
( ) ( ) BAxxXxX +=⇒=′′= 00)2 λ
( ) 00 =⇒=′ AoX
( ) 00 =⇒=′ AcX
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BAtTxXtxuAtTBxX ., −===
( ) ( ) ( )xfABxfoxu =⇒=,
( ) ftxu =,
0)3 <λ2a−=λ
( ) ( ) ( ) BSinaxACosaxxXxXaxX +=⇒−=′′ 2
( ) 00
00 ==
=+−⇒=′ Bx
aBCosaxAaSinacoX
١٦
پس سري زيـر نيـز در .متامي ها در معادله ي و شرايط مرزي اش صدق مي كند :ه ي شرايط مرزي صدق مي كندمعادل
:پس نقط كايف ضرايب را بدست آوريد حماسبه ضرايب با استفاده از شرط مرزي
.مهگرا باشد f (x)سري بايسيت به :براي حماسبه به موارد زير توجه بشود
طبيعي اند n,mn,mفرض كنيم
( )c
nanacSinacAaSinacoX ππ =⇒=→=⇒=−⇒=′ 000
( ) ,......1,0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= nx
cnCosxX π
( ) ,...1,02
222
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== −− nt
cneeetT ktkatk πλ
( ) ( ) ( )
( ) ,.....1,0,
,
2
22
2
22
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
+== −
ncxnCos
cknetxu
cxnCos
cnetTxXtxu
n
k
ππ
ππ
nutxx uku =
na
( ) ( )xfxu =0,
∑ cxnCosan
η
na
( )txuau nn
n ,1∑∞
=
=
( )cxnCoseatxu
ktcn
nn
ππ2
22
1,
−∞
=∑=
⎩⎨⎧
==
==∫ 0,........2.1
00 nc
nocxnSin
ncdx
cxnCos
c ππ
π
( ) ( )∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++=
cc
dxc
nmnCoscxmnCosdx
cxmCos
cxnCos
002
1 ππππ
( ) ( )xfcxnCosaxu
nn == ∑
∞
=
π1
0,
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠∀
==
02
,0,.....2,1,......2,1
ncnmnm
mn
( ) ( )∑∞
=
=++++==0
210 .........2n
nn xfcxnCosa
cxCosa
cxnCosaaxf
cxnCosa ππππ
١٧
:دراينصورت.بگريمي cتا 0براي حماسبه كايف از دو طرف انتگرال از
.ضرب كرده و انتگرال مي گريمي)ضريب خودش(براي حماسبه
:ترتيببه مهني
مسَآله انتقال حرارت :دماي اوليه نقطه
.تابعي بصورت زير باشد f ( x )فرض كنيد كه :مثال .جواب هر معادله را بدست آوريد
( )∫ ∫ ∫=+++c c c
dxxfdxcnxCosadxa
0 0 010 ..............
( ) ( )∫∫ =⇒=cc
dxxfcadxxfca0
00
01
∫ ∫ ++c c
dxcnxCos
cnxCosadx
cnxCosa
0 010 ...........
( ) ( )∫ ∫=== dxcxcCosxfcadxxf
cnxCos i
η2
( )∫=c
dxcxCosxfca
01
22 η
( )∫ =∀=c
n ndxc
xnCosxfca0
,........2,12 η
txx uKu = ( ) ( ) 0,0,0 == tcutu xx
( ) ?0, =xu
( ) xcxxf 1010 ==
( )c
xnCoseatxukt
cn
nn
ηπ2
22
0,
−∞
=∑=
حجمواحدجرمحجمواحدحرارتيظرفيت
k =
( )∫ ∫==C c
n dxcxnCosxfadxxa
0 00 10
210101 π
dxcxnCosxaمتوسطa nπ
∫==10
00 1010
250
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−== ∫∫ dx
cxnSin
ncxnSin
nudxxnCosxa
c
nπ
ππ
ππ 10
0
100
0
101010
21010
2
( )( )112004000
2222
−−=⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=n
nn
n
naيا
naفرد
aزوج
ππ
1aدرcnxCos
١٨
f ( x )شرايط اوليه جواب مساَله انتقايل حرارت با
.ترين روش براي حل معادالت با مشتقات جزئي مي باشد Sepration od Voualleyروش سوايل كه مطرح است اين است كه .با روش فوق الذكر ، جوايب براي معدال الپالس ارائه منودمي
آيا جواب بدست آمده يكتاست يا خري ؟ .واب پيشنهادي به اين روش استكتاب چرچيل ،اثبات يكتايي ج ١٥فصل
:P D Eروش هاي ديگر حل معادالت اين روش ها صرفاً براي حـاال .را مي توان با روش هاي مبتكرانه حل منود PDEبرخي از مسائل
.خاص برقرارند :مثال
ويل ممكن است ثابت باشد
روش ديگر
:براي مثال
:براي حل معادله از تبديل زير استفاده مي كنيم:لح
( )120010
1010
222
100
2
−=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= π
ππ
πCosn
naxnCos
na nn
( ) ( )( )1010
1120050,22
122
xnCostknen
txu n
n
πππ
−−−+= ∑
∞
=
( ) ( ) ( ) 1,1,00, 2 === yuyyuyxuxx
∞<<∞−<< yx 10
( ) ( ) ( )yyxuyxu xxx φ=⇒= ,0, ( ) ( ) yhxyyxu +=⇒ φ,
( ) ( ) ( )( )0,0 22 ×=⇒= yyyhyyu φ
( ) ( ) ( ) ( ) 211,1 yyyhyyu −=⇒=+= φφ
( ) ( ) 221, yxyyxu +−=
( ) ( )txytxya ttxx ,,2 =
( ) ( ) ∞<<∞−= xxhxy 0,
( ) 00, >= toxyt
⎩⎨⎧
−=+=
atxvatxu
١٩
نوشت ( x , t )يا ( v , u )يعين مغريها را مي توان برحسب
PDEبا جاگذاري در معادله
:يك تابع پيشنهادي بصورت زير است
پس جواب به صورت
( ) ( )vuytxytu
vy
tu
uy
ty ,,.. →
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
vya
uya
va
vya
uya
ua
ty
ty
tty
2
2
2
2
.
( )vya
uyaa
vua
uy
∂∂
−∂∂
=−∂∂
+∂∂ ..
2
22
22
22
2
22
2
2
uya
vuya
vuya
uya
ty
∂∂
+∂∂
∂−
∂∂∂
−∂∂
=∂∂
⇒
2
22
22
2
22 2
vya
vua
uya
∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
⇒
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
xy
xxy2
2
vy
uy
xv
vy
xu
uy
xy
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ ..
2
22
2
2
2
2
2u
yvuy
uy
vy
uy
uvy
xy
xxy
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
22
2
22
2
22 2
uy
vuy
uya
uy
vuy
uya
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
==
⇒=∂∂
∂⇒=
∂∂∂
vqvuyuhvuy
vuy
vuy
v
n
,,
00422
( ) ( ) ( ) ( ) 0, →′+= ufvgufvug
( ) ( ) ( )vgufvuy +=,
٢٠
است و جايگذاري
: از شرايط مرزي دارمي
:ساير روش هاي مورد استفده عبارتند از
تبديل انتگرايل فوريه)٣تبديل الپالس )١ نگاشت كانتورمال)٤تبديل فوريه )٢
معادله الپالس زير را حل كنيد؟:مثال
ضرييب است كه به a , cطول تار .تامسر نقش است مهانطور كه مي دانيم اين معادله نوسان .جنس تار و جرم واحد طول بستگي دارد
جداساري متغريها:روش حل
vatxuatx
=−=+
( ) ( ) ( )atxgatxftxy −+= ,,
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxagxfa ′=′⇒=−′ 0
( ) ( ) cياkxgxf +=
( ) ( ) ( ) ( )( )cxhxfcxhxf +=⇒+= 212
( ) ( ) ( ) ( )( )cxhxgcxhxg −=⇒−= 212
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )atxhatahatxgatxftxyپس −++=−+= 21,,
( ) ( )txyatxy xxtt ,, 2=
( ) ( ) 10,, == tcytoy
( ) ( ) ( ) 300,0, == xyxfxy t
( ) ( ) ( )tTxXtxy =,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−=
′′=
′′⇒′′=′′
2
2
22 01
λ
λ
tTtT
axXxXtTxXatTxX
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )tTatTtTtT
XXXxxXxX
الف222
22
λλ
λλ
=′′→=′′
=′′⇒=′′
٢١
:پس يب ايت جواب دارمي
بايد صفرباشد
.اين تركيب خطي جواب است فقط بايد را بدست آورمياز شـرط اوليـه .الزم است كه ضـرايب حماسـبه شـوند y(x,t)برنامه اي حماسبه اي دقيق
g(x,0)=f(x) كه .اسنفاده مي كنيمf(x) به جاي .(احنراف اوليه تاراستt ارميصفر مي گز(
( )( )⎩
⎨⎧
=⇒==⇒=
00000
AcXBX
مرزيشرايط
( )( )⎩
⎨⎧
+=+=
−
−
tata
xx
DeCetTBeAetX
λλ
λλ
( ) 0001 =+⇒=⇒ BAX
( ) 00 =+⇒= − tc BeAecX λλ
0,0 ==⇒ BA
ققغ ..( )( )
( )( )⎩
⎨⎧
+=+=
=′′=′′
⇒=DCttTBAxxX
tTxX
ب00
0)λ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩
⎨⎧
++=⇒−=′′+=⇒−=′′
<tCosDSinaCtTtTatT
xCosAxSinBxXxXxXجλλλλλλ
λ 22
2
0)
( ) 0001 =⇒=→ AX
( ) ,.....1,000 =∀=⇒=⇒=⇒= ncnnccBSincX πλπλλ
( ) xc
nSinxX nλ
=
( ) ∗+++=c
anDCosc
anCSintTnππ
( ) ( ) 00:3 =′TxX
( ) CTn ⇒=′⇒=∗ 000
( )T
CanCostTn π=
( ) ( ) tcxaCostT
cxnSinxXبنابراين nn
ππ== ,:
( ) tcxaCos
cxnSintxYپس n
ππ=,
( ) tcxaCos
cxnSinbtxyپس
nn
ππ∑∞
=
=1
,
nb
( ) ( )∑∞
=
==1
0,n
n xfcxnSinbxy π
( )∫∫ −−=−=cc
Cosnnc
cxnCos
ncdx
cxnSin
00
1ππ
ππ
π ( )( ) ( )( )nn
nc
nc 1111 1 −−=+−= +
ππ
∑∞
=1nn c
xnCosb π
٢٢
:با ضرب رابطه در و گرفنت انتگرال دارمي
:تابع روبرو باشد f(x)مثال
:فصل سوم سري هاي فوريه :معريف توابع قطعه اي پيوسته
طه اي حمدود قابل مشارش پيوسته باشد،به آن تابع ،به جز چند نق [a,b] در فاصله f(x)اگر تابع
( )∑ ∫ ∫∞
=
=1 0n
c
o
c
n dxc
xmSinxfdxc
xmSinc
xnSinb πππ
( )∑ = xfcxnSinbn
π
cxnSin π
⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
=∫ mncmn
dxc
xmSincxnSin
c
2
0
0
ππ
( ) ( )∫∫ =⇒=c
m
c
m dxc
xmSinxfcbc
xmSinxfbc00
22
ππ
( )( )⎩
⎨⎧
<<+−=<<=
201042.01002.0xxxf
xxxf
( ) ( )∫ ∫ ∫⎢⎣
⎡+−+==
20
0
10 20
10 20420
22010
220
22020
2o
n dxxnSindxxnSinxdxxnSinxfb πππ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∫ dxxnCos
nxnCos
nx
2020
2020
102
202
10
0
100
ππ
ππ
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−+−+ ∫
20
10
200 10
22020
204202 dx
cxnCos
nxcCos
nx π
ππ
π
∫∫ +−
+20
10
20
10 204
20202........ dxxnSindxxnxSin ππ
.........20
2042020
2 2010
20
10
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
×+= ∫
xnCosn
dxxnxSin ππ
π
٢٣
.تابع قطعه اي پيوسته مي گويند نقاط ناپيوستگي كه
نيز الزم است تا حدود زير موجود باشند
:مثال
),(),(كه (c,d)انتگرال تابع قطعه اي پيوسته را در فاصله badc مـي بصورت زير تعريـف ⊃ :شود
.توابع پيوسته حالت خاصي از توابع قطعه اي پيوسته اندفوريه براي تقريب توابع در يك بازه از سري هاي سينوسي و كسينوسي استفاده كرد كه مي توان
اي را كـه قطعـه پيوسـته f (x) با تقريب مناسب از هر دقت دخلواه كه خبواهيم تـابع هاي سينوسي و كسينوسي تقريب زد و دو سري ارائه ،توسط سري [a,b]در فاصله (است،
.كرد كه به سري هاي سينوسي فوريه و كوسينوسي فوريه معروف هستند يشنهاد فوريه براي بسط كسينوسي بصورت روبرو استپ :سري كسينوسي فوريه
.استفاده مي شود Cتا 0قطه اي پيوسته در فاصله f(x) از اين سري براي تقريب توابع .را توسط سري كسينوسي تقريب بزنيد كه f(x)تابع :مثال
:براي حماسبه ضريب دارمي
nxxx ,........., 21
bxxxa n <<<< ...................21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−+−+−nn xfxfxfxfxfxf ,,........,,, 2211
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
<≤<<−−<−−
=15.01
5.05.05.011
xxa
Mxxf
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫+
−
+++=d
c
x
c
x
x
d
x
M M
M r
dxxfdxxfdxxfdxxf1
1
.........
∑∞
=
+=1
2)(n
no
cxnCosaaxf π
η<< x0
na
( ) ∑∞
=
+≈1
2n
no xnCosaaxf
ππ
( ) ( )∑ ∫ ∑ ∫ ∫∞
=
∞
=
=+⇒=+1 0 1 0 0
22n n
no
no dxxfdxnxCosadxaxfCosnxaa
η η η
٢٤
بنابراين در كل
:بسط سري سينوسي را توسط f(x)مي توان .باشد و بصورت قطعه اي پيوسته باشد [c,0 ]يك تابع در فاصله f(x)اگر
.وريه تقريب زديك سري سينوسي ف
.به يب ايت ميل كند ،تقريب تا حدود دخلواه دقيق مي شود nچنانچه
:مطلوب است ها :توجه شود كه f(x)براي حماسبه
پس با ضريب طرفني در سينوس و انتگرال جواهيم داشت
:ثقريب بزنيد با بسط سينوسي فوريه را در فاصله f(x)=xتابع :مثال
( ) ( )( ) ( )∑ ∫ ∫∞
= ⎢⎢⎣
⎡=+−−
12
1n o o
n dxmxCosxfdxxmnnCosxmnCosaη η
( )∫=η
πo
n dxnxCosxfa 2
( ) ∑∞
=
≅1n
n cxnSinbxf π
( )∫ ∫=c
o
c
o
dxc
xmSinxfdxc
xmSincxnSin πππ
( ) ∑∞
=
≅1n
n cxnSinbxf π
nb
cxmπ
( )∑ ∫ ∫∞
=
=1n
c
o
c
on dx
cxmSinxfdx
cxbSin
cxnSinb πππ
( )π,o
( ) ( )∫ ∫=⇒=c
o
c
om dx
cxmSinxfcbmdx
cxmSinxfcb ππ 2
2
( ) ( ) ∑∑∞
=
∞
=
=⇒≅11 n
nn
n xSinbxfcxnSinbxf ππ
∫ ∫ ∫+−
==π π π
πo o o
n dxnxCosnnxCosnxdxnxxSinb 12
( ) ( ) ( )nn
Sinxnon
nn
o
n11
21 1221112
+++ −
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−= ∫ π
πππ
π
( ) ( )∑∞
=
+
+−=×−
=1
1
............3322221
n
n
xSinxSinSinXnxSinn
xf
( ) ( )∫ ∫=⇒=+×=η η
ππo o
oo dxxfadxxfoa 2
2
∫ ∑ ∫∞
=
=+η η
o n on
o dxmxCosnxCosadxmxCosa1
2 ( )∫η
o
dxmxCosxf
( ) ( )( ) ( )∑ ∫ ∫∞
= ⎢⎢⎣
⎡=+−−
12
1n o o
n dxmxCosxfdxxmnnCosxmnCosaη η
٢٥
و نيز به دليل .در خارج ازاين فاصه بسط سينوسي اوالً داراي پريور است
.اينكه فرد است بنابراين هم فرد است .شكل روبرو بسط تابع و خود تابع را مشخص مي كند
ني تابع را توسط كسينوسي فوريه بيان مي كردمي داراي خواص زير بودالبته اگر مه
)ك،م،م(بسط داراي پريور -١:خواص .بسط به دليل اينكه از مجالت كسينوسي تشكيل شده زوج است-٢
. تواند باشد ييك تابع ثابت هر عددي م دپريو:نكته
مهانطور كه مي دانيم هر تابع )-c،c(در فاصله ي فرض كنيد كه يك تابع قطعه اي پيوسته
.را مي توان بصورت مجع در تابع زوج و فرد نوشت
با بسط كسينوسي تقريب ) ٠،c(تابع يك تابع زوج است بنابراين چنانچه را درفاصله
.تقريب زده خواهد شد) -c،c(بزنيم ،تابع در ناحيه
پس
. حال بايد ضرايب را پيدا منائيم.مي باشد) -c،c(كه اين بسط تابع فوريه در فاصله
∑ nxSinbn
nxSin∑∞
=1nn nxSinb
( )xfπ2
π2
( )xf
( )xh( )xh
( )xh
( )xf
( ) [ ]π,0xxf =
( ) ∑+= Cosnxanaxf o2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxhxgxgآهxgxhxf =−−=−+= ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
xfxfxgxfxfxh −−=
−+=
( ) ∑∞
=
+=1
2n
no
cxnCosaaxh π ( )∫=
c
on dx
cxnCosxhca π2
( ) ( ) ( ) ( )ccxgxhxf ,−+=
( ) ( )ccxآهcxnSinb
cxnCosaaxf
n nnn
o ,21 1
−∈++= ∑ ∑∞
=
∞
=
ππ
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−+=
c
o
c
o
c
on dx
cxnCosxfdxt
cxnCosxfcdx
cxnCosxfxf
ca πππ 12
2
( ) ( ) ( )∫∫ ∫−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
c
c
c
o
o
c
dxcxnCosxfcdx
cxnCosxfdx
cxnCosxfc
πππ 11
٢٦
.بنابراين در فاصله با بسط زير مشخص مي شود
:تابع زير را بسط فوريه بدهيد: مثال
بنابراين را حماسبه مي كنيم
=يا مقدار متوسط
اگر تابع يك تابع قطعه اي پيوسته در فاصله ي باشد و بسط :قضيه .فوريه باشد،خواهيم داشت
( )xf( )cc ,−
( )ππ,−←x
( ) ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
1
02
nnn c
xnSinbc
xnCosaaxf ππ
( ) ( )∫ ∫− −
==c
c
c
cnn dx
cxnSinxfcbdx
cxnCosxfca ππ 11
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<
<<−
−<<−
ππ
ππ
ππ
x
x
x
xf
2022120
( ) ( )∑=
++=N
nnn nxSinbnxCosaaxf
1
02
( ) ( )∫ ∫− −
==π
π
π
π ππ
ππ dxxnSinxfbdxnxCosxfa nn11
∫ ∫− −
×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +==×
π
π
π
π
ππ
πππππ
2
2
2221
221111 nSinn
nSinnSinn
nxSinndxnxCos
∫−
=2
2
01:π
ππ dxnxSinbحال n
( )xf
( )xf( )xf
( ) ∑∞
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+=
12
21n
nxCosnSinnxf ηπ oa∫
−
=2
2
11π
π
dx
( )ππ ,−
( ) ( )∑∞
=
++=1
0
2 nnn nxSinbdxnxCosa
axf
( ) ( )∫∫−−
==π
π
π
π ππdxnxSinxfbdxCosnxxfa nn
1,1
٢٧
.قطه ناپيوستگي تابع باشد و با توجه به اين كه تابع پيوسته استحال چنانچه يك ن :مقدار بوسيله رابط زير مشخص مي شود
.كه به قضيه متوسط جام موسوم است .اين قضيه دومل رياضي اثبات مي شود
.را تست كنيد تابع در فاصله بسط داده و قضيه متوسط آن:مثال
:يك تابع فرد است پس
پس
پس
باشد در غري اينصورت در نقطه ناپيوستگي متوسط تابع fنقطه پيوستگي xوقيت
f مي شود. نقاط ناپيوستگي
.كه اين با متوسط مقادير جام برابر است
( )xf( )xf( )oxf
( ) xxf =( )ππ ,
( )xf
( ) ( )xfxf =
f:,ππ−
( ) ( )∑∞
=
+−=
1
112n
n
nxSinn
xf
( ) ( ) ++1== SinnxbCosnxaaxfxxf nno
( )∫−
=π
ππ dxnxCosxfa n
1 ( )∫−
=π
ππ dxnxCosxfbn
1
0=na
∫ ∫ ∫−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−===
π
π
π π
ππππo o
n CosxxdxnxSindxxSinxb 221
( ) ( )∫ ∫
+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−−=+
π ππ
πηπ
o
nn
nonxSinnodxnxCos
1
2121121
( ) ( )∑∞
=
+−≅
1
112n
n
nxSinn
xf
( ) ( )∑∞
=
+−=
1
112n
n
nxSinn
xf
( ).........44133
12212 +−+−= xSinxSinxSinSinx
( ) ( ) 00 ==− ππ FF
٢٨
:خواص ضرايب سري فوريه
:اگر آنگاه دارمي
:ر حماسبه مي شودنيز انتگرال به صورت زي
:حال براي حالت سينوسي دارمي
دارمي
لذا
:براي هر دو حالت دارمي
به اين صورت مي نويسيم تابعي قطعه اي پيوسه است كه به صورت سنوسي يا fاز آجنا كه
كسينوسي بسط فوريه داده مي شود و با توجه به اينكه تابع در فاصله حمدود :است ، لذا عبارت از
:حماسبه مقدار عبارت )قطعه اي است حمدود(
( ) ∑=
+=N
nn
oN nxCosaaxS
12
( )∫ =π
πo
nN anxCosxS2
( )( )∫π
πo
N dxxS 22
( ) ( ) ( )∑ ∫∫∫ ∑ +=+πππ
πππo
Nno
NNo
no dxnxCosxSadxxSadxxSCodnxaa 2
22)2(2 0
∑ ∑∫= =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=×+=
N
n
N
nn
on
o
o aaadxa1 1
22
22
222
42 π
ππ
π
( ) ∑∞
=
=1n
nN nxSinbxS
( ) ∑=
+=N
nnN CosnxaaxS
1
02
∑ ∫ ∑= =
=×=N
n
N
nnNn bSinnxdxXSb
1 0 1
2)()(2π
π
∫ ≥−=π
π0
2 0))()((2 dxXSxfE N
( ) ( ) ( ) ( )( )2
00
2
0
242 dxxSxSxfdxxf NN ∫∫∫ +πππ
ηηπ
( )2
0
dxxf∫π
( ) ( )0
2 dxxSxf N∫π
π
( )xf( )π,0ηتا0
∫ =π
π0
)(2mN bSinmxdxXS
∫ ∑ ∫=
=π π
ππ0 1 0
2 )(2)]([2N
nnNN SinnxdxbXSdxXS
٢٩
:براي حالت كسينوسي دارمي
:براي حالت سينوسي دارمي
قضيه پارسوال :در حالت كسينوسي براي حالت نامساوي دارمي
)به يب ايت ميل كند Nمن مجله زماين كه (قرار استبر Nاين نامساوي به ازاء هر :پس
:سري يك سري با مجالت مثبت و مقدار حمدود است پس :براي حالت سينوسي دارمي
.پس مهواره دنباله هاي در سري فوريه به مست ميل خواهند كرد :بع كه در بازي تعريف شده بود بصورتقبالً گفتيم كه بسط فوريه تا
:بود و با ضرايب زير تعريف مي شد
( ) ( ) ( )1 010
0
0
22
22
2 Cosnxdxfadxxfa
dxCosnxaa
xf n
N
nn
o ∫∑∫∫=
+×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +πππ
πππ
2
1
20
2 n
N
naa ∑
=
+=
( ) ( ) 2
10100
22n
N
n
N
nn bSinnxdxxfbndxSinnxbxf ∑∫∑∫∫
==
=×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ πππ
ππ
( ) ( )22
1
22
0 22
nnn
o baadxxf ++= ∑∫=
ππ
π
( ) 2
1
2
02
2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≥ ∑∫
=n
N
n
o aadxxfπ
π
∫∑=
≥+π
π0
2
1
20 )(22 dxxfaa N
nn
∫∑ ≤=
π
π0
2
1
2 )(2 dxxfbN
nn
1=
22
+2 n
oo aa
0n
aLim n =
0)(2)(21
2
0 1
2 ≥+×≥ ∑∫ ∑==
N
nn
N
nn abxf
π
π
∫∑=
≤π
π0
2
1
2 )(2 dxxfbN
nn
0n
bLim n =
nn ba ,
( )xf( )nn,−
( )∑∞
=
++=1
02)(
nxnm SinnbCosxaaxf
٣٠
و گفتيم كه تابع بايسيت قطعه اي پيوسته باشد در اين صورت بسط فوريه تابع كه در ناپيوسته است نقاطي كه پيوسته است به مهگرا است و در نقاطي كه
.پس مهواره بسط فوريه مهگراست.با متوسط جام برابر است :طبق قضيه نشان دارمي كه
:و نيز نشان دارمي كه
:گرا استمهنشان دهيد كه سري :قضيه :اگر ضرايب بسط فوريه ي باشند دارمي:اثبات
:را به صورت زير تعريف مي كنم حال ضرايب
:با انتگرال گريي جزء به جزء دارمي
حال براي نشان دادن مهگرايي مقدار را بصورت زير تعريف .مي كنيم
:مهگراست Nنشان مي دهيم كه به ازاء هر مقدار
.حال بايد اين نامساوي توجيه شود
( )xf( )xf
( )xf( )xf( )xf
( )∫−=n
nn Cosdxxfn
a 1 ( )∫ −=n
nn Sinnxdxxfn
b 1
0lim,0lim == bxax
∑ ∫= −
≥≤+N
n
R
Rn dxCosxfRaa
1
220 1)(12
2
∑ ∫= −
≤N
n
R
Rn dxxCosfRb
1
22 )(1
∑∞
=
+1
22
nbxax
nn ab ,( )xf
( ) ( )∫ ∫− −
==π
π
π
π
βπβπ nxdxxbCosnxxa nn sin1,1
nn αβ ,
( ) ( )∫∫−−
′=′=π
π
π
ππβπα Sinnxdxxfnxdxxf nn
1,cos1
nnnn nbna =×= βα ,
2
1
22 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+= ∑
=
N
nnnN baS
NS ∑∞
=
+1
22n
nm ba
NS
( ) =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑∑
==
2
1
21
2
2
2
22
1
21
22N
n
nnN
nnnN nn
baSβα
( ) ( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑∑∑
===
N
nnn
N
n
N
nnnN nbanS
1
22
12
2
1
21
222
1)1( βα
∑=
N
n n12
1( )∑=
+N
nnn
1
22 βα
٣١
البته تر است بگوئيم.مهگرا هستند ٢و١اما مهگراست و هم طبق
.سپس سري مهگراست.بنابراين نز حمدود مي باشد.حمدود هستند
طبق اين قضيه انرژي متوسط در فاصله بر حسب ضرايب بسط:قضيه پارسوال
.يه قابل حماسبه استفور
پس) از خواص بسط فوريه(
:مشتق پذيري و انتگرال بسط فوريه :تابع قطعه اي پيوسته در فاصله باشد و داراي بسط فوريه زير باشد f(x)اگر
:بصورت زير حماسبه مي شود f (x)آنگاه انتگرال تابع
.يعين انتگرال بسط فوريه مهواره قابل حماسبه است :اشته باشيمدر فاصله تعريف شده باشد و د f (x)براي مشتق پذيري بسل الزم است كه
:آنگاه در نقاطي كه موجود است با مشق بسط فوريه برابر خواهد بود
( ) 21
1
22∑=
+N
nnn βα
( )ππ ,− ( )xf
( ) ( ) dxnxbnCosbxamaxfdxxfn
o
1
2 sin211
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ∑∫∫
=−−
π
π
π
πππ
( ) ( ) ( )1 1
0 112
1η
η
η
η
η
ηηηη
= =
++=n n
nn SinnxdxxfbCosnxdxtxfadxxfa
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++×= ∫∑∫∫ ∑
−
∞
=−
η
η
η
ηηηη dxcxSinxfbdxnxCosxfandxxfa
nn
1)1(12
1
0
∑ ∑∞
=
∞
=
++=1 1
222
2 n n
o bnana
( ) ( )∑∫∞
=−
++=1
222
2
21
n
o bnana
dxxfη
ηη
( )ηη,−
∑ ∑∞
=
∞
=
++1 1
02
n nnn nxSinbnxCosaa
( ) ( ) dxnxSinxfbdxnxCosxfa nn ∫∫−−
==π
π
π
πππ
1,1
[ ]ππ ,−
( ) ( ) ( )( )( )1
1
0 112
+∞
=−
−−++= ∑∫ nnn
nnxtCosbnxSinaxaduxf ππ
π
π
( ) ( )xfxf =′
( )xf ′′ ( )xf ′
( ) ( )∑ +−=′ nxCosnbnxSinanxf nn
٣٢
در فصل قبل حل معادالت الپالس به روش جداسازي متغريها آورده شد
:معادالت به فرم زير را به راحيت مي توان حل كرد
:ي گريميرا بصورت زير در نظر مf (x) براي حل معادالت
)نوسان صفحه(حل معادله الپالس در صفحه
:شرايط مرزي
:جدا سازي متغريها:روش
:بنابراين دارمي :مهانطور كه قبالً گفتيم اين معادله صرفاً براي برقرار است
0<λ
( ) ( )( ) ( )][2+++= xyZxyZaxytU yyxxtt
0,00 >+<<<< byax
( ) ( ) ( ) 0,0,0,,0,,0 === txZtyaZtyZ
( ) ( ) ( )yxfyxZtbxZ ,0,,0,, ==
( ) )().().(,, tTyYxXtyxZ =
( )yy
xx
TaTTYXytxaTXY
′′+
′′=
′′⇒′′+′′=′′ 2
2
22 λ−=′′Ta
T
TaT 22λ−=′′
( )( ) ⎪⎩
⎪⎨⎧
−
+=−
′′−=
′′→−=
′′+
′′
2
2
22 0η
ηλλ
yy
XX
yy
xxxX
( )txyay xxt ,2=
( ) ( ) ( ) ( )xfoxytcytay ==→= ,0,0,
( ) ( )txuatxy xxt ,, 2=
( ) ( ) ( )xhaxhxa 22 10 −=′′→=+′′ φφ
( ) ( )txuatxu xxt ,, 2=
( ) ( ) ( )xtzutxU φ+= ,,
( ) ( ) ( )xhtxuatxU xxt += ,, 2
( ) ( ) ( )( ) ( )xhxtxuatxu xxt +′′+ φ,, 2
( ) ( ) ( ) ( )txuatxudtdvtha
x xxt ,,1 22 =
−= ∫∫φ
٣٣
:پس دارمي
مرزيشرايط : حل
.پس براي اينكه اين رابطه جواب داشته باشد ،مطابق باال بايد ضرايب منفي باشد
.پس بدست مي آيند :مطلوب است اگر -١
)ج) ب) الف :فرم قطيب اعداد خمتصات زير را نشان دهيد-٢
λλλ 2123 123 =−=−= zZZ
i+−1i31+i3
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
====
000000
byyaxx
( ) xACosxBSinXXxXXX ηηηη +=⇒−=′′⇒−=′′ 22
22 ηλ −
λη,
( ) 00 =→= AaX
( )a
nxaaBSinoaX ηηηηη =⇒=⇒=→= 0
( ) xa
nSinX xn )( η
==⇒
( )yyyy
yy 222222 ηληληλ −=′′⇒−=
′′⇒−=−
′′
( )( ) 0
00==
byy
( )yny 22λ−=′′
yDSinyncy 2222 ληλ −+−=
222
22222 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−⇒=−
bm
an
bm
bm ηηληληηλη
2
2
2
2
bm
an
−=⇒ ηλ
yb
mSinm ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ηγ
٣٤
)ج) ب) الف :مطلوب است اگر -٣
)ج) ب) الف را بيابيد مقدار ود با استفاده از قانون-٤ :نشان دهيد روابط زير برقرار است-٥
)ب) الف )د )ج :جمموعه نقاطي را پيدا كنيد كه در شرايط زير صدق كنند-٦
الف( ب(
.از آا صفر است يكياگر ثابت كنيد حداقل -٧ :ريشه معادالت زير را پيدا كنيد-٨
) ج) ب) الف .نوشت نشان دهيد هذلوي را مي توان بصوت -٩ فرمول چند مجله اي متقابلبا استقراء -١٠
.عددي صحيح و مثبت است بيابيد nرا كه در آن را به طريق برداري
.مشخص كنيد الف(
ب( :نشان دهيد-١٢ :ثابت كنيد-١٣ :را بيابيدهرگاه argzيك مقدار از -١٤
ππ
iui
eZeZseZ 2,2, 13
23 ===
3
1
ZZ
21ZZ
i+−1i31+i3
θθ 3,3 SinCos
( ) ziz ImRe −=( ) ziz ReIm =
ziiz −=iziZ 33 −=+
( ) ziz =−Re
iziz +=−
021 =ZZ
042 =+Z0332
=+ iZ
042 24 =+− zZ
( ) ( ) ( )( ) ( ) nxn zzki
knnnnzi
nnzinz ++
+−+−−+
−++=+ .....1.....21.....
2111 2
122 =− yx222 =+ −zz
2121 , zzzz +−
( ) ( )4,11,3 21 =−== zz
112111 iyxziyxz −= =+=
( )( ) 523252 +=−+ ziz
zzz 2ImRe <+
iZ
312
+−
=i
iZ22 −−
=
٣٥
)ب) الف
ردار بصورت زير باشنددو ب : g , fاز خواص مربوط به فضاي برداري داشتيم كه اگر
:در اين صورت خواص زير را دارمي
:اگر جمموعه برداري ارتوگونال باشند يعين
.جمموعه بردارهاي ارتونرمال هستند در اين صورت بردارهاي چون در غري اين صورت يكي .ستقل باشند اً الزم است كه بردارهاي از هم ميجتر
.را بر حسب ديگري مي توان نوشت و صفر داخلي آا صفر خنواهد شدمي توان با تركيب خطي از اين بردارها بدست را هر بردار در فضاي اجياد شده بوسيله اين بردار
.آورد
:حنوي حماسبه ضرايب بصورت زير است
:استنتاج براي فضاي توابع ،چنانچه فاصله را به) pwc(پيوسته باشد–و به فرم قطعه اي ) a,b(توابعي در فاصله f , gگر ا
:هاي كوچك تقسيم كنيم ،خواهيم داشت
( ) ( )321321 ,,:,, bbbgaaaf→→
=
23
22
21
2332211 .. aaafffbababagf ++==++=
→→
( ) ( ) ( )( ) 21
332
222
11... bababagfCosgfgf −+−+−=−=→→→→→→
θ
ffgfgfبردارنرمال =⇒==⇒+→→
10.
12 ,,........, φφφn
2,0, iiiJi φφφφφ >=<>=<
1
1
2
2 ,.,,.........φφ
φφ
φφ
n
n
1,........,φφn
nncccf φφφ ,,.........2211 +=
><=>⇒>=<< kk
kkkkK fCfC φφ
φφφ ,1.
x∆
( )( )n
n
ggggffff
,........,,,........,,
21
21
==
٣٦
: f , gضرب برداري را بصورت زير تعريف مي كنيم كه
.كه اين تعريف ضرب داخلي براي توابع مي باشد يا بازه ي اساسي Fundamental intervalمي شودرا ضرب داخلي روي آن تعريف a ,bناحيه .مينامند
:خواص زير براي ضرب داخلي توابع برقرار است
:مثال
:نرمال هستند زيراارتوحال دسته توابع دسته توابعي از
نرمال ارتودسته توابع دسته توابع :مثال .هستند دسته توابع :مثال
.هستند (C,C-)ونرمال درارتدسته توابع از : روش كلي فوريه براي بسط توسط توابع ارتونرمال
( ) ∑ ∆= KKK xgfgf ,
( ) ( ) ( )dxxgxfgfLimb
ax ∫ −=→∆
,0
( ) ( )fggf ,, =
( ) ( ) ( )gfgfhgf ,,, +=+
( ) ( )gfcgcf ,, =
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=→≥= ∫
b
a
dxxfffff 220,
( )∫ −=−b
a
dxgfgf 22
( ) gfgf +⇒= 0,
( ) ⇒=1, gf
( )cxnSinxcx nπ
=Ψ<<0( )( ) ( )jicxx jiji ,2, δ>=ΨΨ<>=ΨΨ<
cxnSin
ciπφ 2
=
( )cc
xnCoscc
xnSinc
xn 2
1,1,1020 1===
−φπφπφ
cx <<0
( ) ( )cxnCos
cx
cx n
πφφ 2,10 ==
nnkk ccccf φφφφ +++++= ................1100
( ) ( )∫==>=<b
akkkk dxxxfCkfCآه φφ ,.....,1,0.
f نرمال مي باشد
٣٧
:حماسبه ضرايبمثال از
.كه مهان ضرايب سري فوريه است
:نرمال باشد،يعينارتوقضيه اگر توابع از
و يك تركيب خطي از توابع ارتوگونال باشد،
يك تابع در مهان بازه ي توابع ارتوگونال باشد، آنگاه تعريف مي كنيم ترين f (x)ر و نيز اگ باشد ،تابعي مهانند است به طوري كه k=1,2,……..nتوسط ها كه f (x)ختمني تابع
. ضرايب مهان ضرايب فوريه باشدباشـد الزم f f (x)دخلواهي باشد و تابع ختمني اگر فرض كنيم اعداد:اثبات
مينيمم شود خطا است تا اندازه .اين مقدرا بانام خطا يعين ناميده مي شود
پس
يعـين .انچه متغيري است است .شود Minكردن بايد مست راست تابع Minبراي
ساخته شده با ضرايب وقيت ترين ختمني است كه ضرايب مهان ضرايب فوريه
( ) ..........2
12
121
210 +++=cxnSinC
cxnCosC
cCxf ππ
( ) ( ) dxcxnCosxf
ccxnCos
cxfC
c
ck
ππ∫−
>==<11.
( )∫−
==c
ck dx
cxnCosxfcc
cka π1
( ) ( ) ( )xxxn 12 ,,....., φφφ
( ) ( ) ,.....2,1,1
0. 2 =
⎩⎨⎧
==≠
>=< mkmkcmk
xxk
km φφ
( )xφ( ) ( )xxn 1,.......φφ
( ) ( ) ( )xxx nnφδφδφ ++= .......11
kφ( )xφ
( ) ( )xxf φ−
12 ,,....... δδδ n( )xφ
( ) ( )xxf φ−
( ) ( ) ( ) ( )2
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−= ∫
b
a
dxxxfxxfE φφ
( ) ( ) ( )( ) ( )∫ −=−= dxxxfxxfE 222 φφ
( ) ( ) ( )∫∫∫ +−b
a
b
a
b
a
dxxdxxfdxxf 22 2 φ
( ) ( ) ( ) ( ) dxxdxxxfxfb
a
n
k
b
a
n
kkkkk
2
1 1
2 2∫ ∑ ∫ ∑= =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−= φδφδ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑∑∫∑= ==
+−=b
a
n
k
n
kkkk
b
a
n
kk dxxxdxxxfxf
1 11
2 2 llφδφδφδ
( )∑ ∑ ∑= =
−+−+=−+n
k
n
kkkkkkkkk cccfcf
1 1
222222 22 δδδδ ( )∑ ∑= =
−−+=⇒n
k
n
kkkk CcfE
1 1
2222 δ
2Ekδ
( )xφxδkδ
٣٨
.باشند
پس
:پس)انتگرال از يك تابع مثبت( و چون
.به نامساوي فوق نامساوي بسل گويند به عباريت سري به ازاء به مست lim Cn=0 وقيت مي توان نشان داد كه
:يعين. مهگرا مي شود
:داشته باشيم (a,b)با دامنه fرا كامل گوئيم اگر براي هر تابع ) a,b(جمموعه روي
=0يعين خطا .ونرمال كامل به خطاي صفر مي اجنامدارتبنابراين ختمني با جمموعه اي از
:جمموعه اي توابع ارتونرمال هندسي:مثال
.اين توابع روي كامل هستند
C ضرايب :جهاي زو C ضرايب:هاي فرد
:انواع ديگر ارتوگوناليسيت ارتوگونال است اگر p(x)با وزن (a , b)گوئيم توابع در
( ) ( )∑ ∑= =
+−=n
k
n
kkkKcxf
1 1
22 12 δδ
ckk =δ
( ) ( ) >=< xxfc kk φ
∑=
−=⇒=n
kkkk CfEc
1
222δ
02 >E
( ) NCxf n
n
kk ∈∀≥∑
=1
22
∞→n∑=
n
kck
1
2∞→n
( ) 2xf( ) ∑
=
=n
kkCxf
1
22
( ){ }xkφ
∑=
=n
kk fC
1
22
( ) ( ) nxSinxnxCosx nn πφ
πφ
πφ 1,1,
21
2120 === −
( )ππ ,−
nb
na
( )xkφ
( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
=≠
=∫ kmctekm
dxxxxP mk
b
a
0φφ
)=n∞لذا وقيت كه(
٣٩
به مثالً توابع بسل .اين ارتوگونايسيت را مي توان معادل با ارتوگوناليسيت توابع گرفت اراي دومتغيري هستند نيز مي توان حتت توابع پايه اين صورت تعريف مي شوند و توابعي كه د
.بسط داد به گونه اي كه ضرب داخلي مربوط به صورت سطحي زير تعريف شود
.بسط داد حال هر تابع را مي توان بر حسب توابع .ختمني وقيت ينه است كه ضرايب مهان فوريه باشند
.تلف نيز مي توان ارتوگوناليسيت تعريف منودبراي توابع خم
:حال ضرب داخلي را بصورت زير تعريف مي كنيم
.گويند داخلي هرمتيككه آن را ضرب
صحبت (2,2-)تاحبال در مورد بسط فوريه براي توابع پريوديك در فاصله :انتگرال فوريه .در فضاي هندسي موچود است نشان دادمي كه ختمني ينه اي براي توابع.اميكرده
:با جايگذاري دارمي كه
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++ ∫∫∑∫
−−
∞
=−
dscxn
csnsfds
cxn
csnsf
cdssf
c
c
c
c
cn
c
c
ππππ sinsin)(coscos)(1)(21
1
( ) ( )xxp kφ
( )yxmn ,φ
( ) ( )∫ ∫⎩⎨⎧
==≠≠
=R
mnekmn knemc
knemdxdyyxyx
,,0
,, 2φφ
( )yxmn ,φ
ivu +=ω
( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b
a
b
a
b
a
dxtvidttudttω
( ) ( ) ( )tivtut −=ω
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
≠=>=<
b
a mmkmkm dttvtu
kmdttttt 22
0., ωωωω
( )c
xnSinbc
xnCosaaxf nn
nηη
++= ∑∞
=1
02
( ) ( )∫∫ ==−
dxc
xnCosxfcadxxfca n
c
c
η110
( ) dxc
xnSinxfcbc
cn
η∫−
= 1
٤٠
.سري فوريه است ايكه منايش جديدي بر :يك تابع از باشد و مطلقاً انتگرال پذير باشد يعين f(x)حال چنانچه
:حمدود باشد
.مي خواهيم ببينيم در شرايط فوق ،بسط فوريه به چه فرم جديدي تبديل مي شود :براي اين منظور تعريف مي كنيم
:حتت شرايط آورده شده ،بسط فوريه به صورت زير تبديل مي شود
بنابراين در حاليت كه بسط فوريه به فرم فوق كه با نام انتگرال فوريه ناميده مي شود ميل
:مي كند
مطلوب است حماسبه ضرايب : مثال
( ) ( ) ( )∫ ∑ ∫−
∞
= −
−+=c
c n
c
c
dxxsc
nCossfcdssfc1
12
1 η
( )∞∞− ,
( )∫∞
∞−
dssf
cηα =∆
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑ ∫∑ ∫∞
=
+∞
∞−=
+∞
∞−
−∆∆=−∆11
11n
n
n
dssxnCossfdssxnCossfc ααηα
( )∑∞
=
∆∆1
1n
xnf αη
( ) ( )∑ ∫∞
=
==∆∆1n
x
o
dxxfxnf α
( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫∞ ∞
∞−
∞
−==0
1,11 ααηααη dsdsxCossfdxFo
∞→c
( ) ( ) ( ) ∞<<∞−−= ∫ ∫∞ ∞
∞−
xdsdxxsCossfxf αη0
1
( ) ( ) ( )( )∫∞
+=0
xSinBxCosAxf αααα
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
== sdsSinsfBsdsCossfA αηααηα 11
( ) xexf 2−=( ) ( )αα AB ,
nn bc
xnSinbc
xnSinbnMnbn ≤→→<ηη44
∑ ∑∞
=
=≤≤1
44
1n
n nM
nMb
∫∞+
∞−= uduufA απ
α cos)(1)( ∫∞+
∞−= uduB απ
α sin1)(
٤١
:انتگرال فوريه را بنويسيد روش حل دوم:
.مقدار انتگرال را بدست آوريد:مترين :براي اين منظور است كه
:مساَله انتقال حرارت زير را حل كنيد
∫ −=+
52 21
52 eRdxx
xCosR
xeRdxx
xCosR =→=
+∫ − α52 21
52
∫∞
+021
2 dxx
xSin π
( ) ππ 2
200 −
−
−
=⎩⎨⎧
<−>−
= eجوابxexe
xf x
x
( ) ( ) ( )∫∞
+=0
000 ααααα dxSinBxCosAxf
∫ =→=+
− xedCos απααα 52 21
5
xe−
( ) ( ) ( )( )∫ += dxxSinBCosxAxf ααα
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
== xdxSinxfBdxxCosxfA αηααηα 1,1
( ) ∞<<∞−= − xexf x
( ) ( ) ( )( )∫∞
+=0
dxxSinBxCosAxf αααα
( ) dxxCoseA x αηα ∫ −= 1
( ) ∫∞
∞−
−= dxxSineB x αηα 1
( ) ( ) ∫∞
−==0
2,0 xdxCoseAB x αηαα∫∞
−
o
xixee αRe
( )[ ]21112 ηαααηη ×−×= A
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 212
1122
2ηααηαααηα AAAA −=⇒−=⇒
( ) ( )122 +
=⇒αη
αA
( )∫∞
− ⇒+
=0
2 12 dxxCose x α
αη
٤٢
ين روش حل از تبديل در بنابرا. ايت استيبتا x مهانطور كه مشاهده مي شود حوزه تغيريات .شد بدست خواهد آمدمي باسري فوريه كه مهان انتگرال فوريه
انتگرال فوريه
:معريف توابع بسل و كاربردهاي آهنا :درفرم معادله اي استوانه اي معادله الپالس دارمي
:دهيم دارميچنان چه در اين معادله به جاي تغيري متغيري
:اين معادله را معادله ديفرانسيل به نام معادله بسل مي شناسيم
( ) ( )txkutxu xxt ,, =
( ) ( ) ( ) 00,0,0 >>== txxFoxutu
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
⇒−
=′′
=′
→ ققغx
xXxX
tkttTtTxXtxu ..0,
2
2
λ
( ) ( ) 0001 =→= XxU
( ) )sin()cos( xBxAxX λλ +=
( ) xxX λsin=
( ) zktetT λ−=
( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞
∞−
+− =⇒=
0
, sin)(, xfxdBdxxSineBtxU k λλλλλ λ
( ) ( )∫∞
∞−
= xdxxfRB λλ sin2
( ) 0222
222 =−++=∆ yvp
dpdup
dpdupu λ
px λ=
2
2
2
2
.px
pux
∂∂
∂∂
×λ
epex
px
xu
ppu
ppu ..2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=∂∂
⇒
2
2
xu
xu
x ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
= λλλ
( ) 0.. 222
22
=−++⇒ yvxdxdyx
dxydx λ
λλ
λ
٤٣
.روش حل اين گونه معادالت با استفاده از سريها بود :سري پيشنهادي بصورت زير است
يك نقطه تكني منظم است x = 0علت پيشنهاد اين اين جواب اين است كه در معادله نقطه ي
:چون
.يك نقطه تكني است x=0مي شود نقطه كه مشاهده
در حاليت كه
در ايت
مي توان متام روابط در نتيجه توسط رابطه بازگشيت :چون.سري را بدست آورد
( )( ) 21−
+++−−
=⇒∗ kk aknrknr
a
( )( ) 21−
+++−−
=⇒∗ kk aknrknr
a
( )( ) 21−
+++−−
=⇒= kk aknrknr
anr
( ) 0222
22 =−++⇒ yvx
dxdyx
dxydx( ) ∑
∞
=
=0k
kk
r xaxxy
( ) 010 2
22222 =
−+′+′′−−+′+′′ y
xvxyxyyvxyxyx
( ) ( )( )∑∞
=
+ =−+++0
22 01k
krk xakrkrvxt
( )( ) ( ) ( )∑ ∑∞
=
∞
=
−+−+ ++−++0 0
122 1k k
krk
krk xakrxxakrkrx
nvn == ,.......,2,1
( )( ) ( )( )∑ ∑ =+−++−++ +++++ 01 22 krkrkrkr akxakxnakxkrxavkrkr
( )( ) ( )( ) 01 22
0
=+−++−++∑∞
=
+ akxaknkrkrkrxk
kr
( )( ) ( )( ) ( )( )( )∑ =−++++−++++−++− 0211: 10k
kk xaaknrknrxanrnranrnr
( )( ) 0011 1 ==+−+− a ياnrnr
( )( ) 00 =++⇒ nrnrياa
٤٤
.هاي زوج عدد غري صفر مي باشد kكه براي
اما و :در ايت فرم كلي جواب
براي اينكه بتوان فرم ساده شده اي براي جواب پيشنهاد كرد ،مقدار را به صورت زير :انتخاب مي كنيم
:فرم زير است پس جواب به
.به مقدار اين جواب گويند
. ام بسل مي نامند nرا تابع مرتبه
.مي باشد nاين تابع حل معادله ديفرانسيل مرتبه
:حل معادله بسل مرتبه صفر:براي مثال
:شكل به صورت زير مي باشد .انداخنت در آب مناد است
.جواب معادله مهگن در هرنقطه تابع استقضيه
:خاصيت تابع بسل
00 ≠a
0a
( )xyn
01, 2,31 =+maaa
( ) ( )( )( )2222241,
2221
402 ++=
+−
=nn
aan
a
( )( )( )( ) k
k
k knnnkia 22 221
1+++
−=
nna
2!1
0 =( )
( ) kn
k
k knka 22 2!!
1++
−=
( )( ) ( )∑
∞
=
+
+−
0
2
2!!1
k
knkx
knk
( ) ( )( ) ( )∑
∞
=
+
+−
=0
2
2!!1
k
knk
nx
knkxy
( ) ( )xyyynxyxyx n=→=−+′+′′ 0222
( )xyn
( ) ( )( )
( )∑∞
=
−==→=+′+′′
0
2
2022
2!10
k
kkx
kxyyyxyxyx
( )xy 0
0y( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ...........2!3
12!2
121
624
2
2
0xxxxy ++−=
٤٥
:خواص توابع بسل
پس دارمي
٣(در حالت كلي با توجه به اينكه
.به صورت زير مي باشد y0(x)تابع
....)31
211(
64)
211(
4)]()
3[(log2)( 222
6
22
4
2
4
00 +++++−+−=x
xxx
xxxJxxY ν
π
:خواص توابع بسل
( ) ( )
tt VVv
vRVR
11
1
−→−→
+=
( ) min223 == nV
( ) ( ) ( )( ) ( )∑∞
=
−++=1
11)1n
nn
o CosxyxyxSinCos φθ
( ) ( )( ) ( )∑∞
=
−−=1
11)2n
nn SinxyxSinSin φθ
( ) ( ) ( )( ) ( )∑∞
=
−++=1
11)1n
nn
o CosxyxyxSinCos φθ
( ) ( )( ) ( )∑∞
=
−−=1
11)2n
nn SinxyxSinSin φθ
( ) ( ) ( )∫ −=R
n dxSinxSinSinRxy0
1212 φφφ
( ) ( )∫ −=R
n dxSinnCosRxy0
1 φφφ
( ) ( ) ( )∑∞
=
+
+−
=0
2
2!!1
k
knk
nx
kxKxy
( ) ( ) ( )∑∞
=
−
+−
=0
2
2!!1
21
k
kk
nnn x
knkxyx
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )∑∞
=
−−−−−− ++
−+−=
0
121
2.22
!!1)4
k
knkn
nn
nn xxn
knkxxynxxyxdx
d
( ) ( ) ( )xyyپسxyx nn
11 0 −=′− +−
٤٦
پس دارمي
٣(در حالت كلي
با توجه به اينكه
:روابط زير از خواص توابع بسل مي باشند
:صفرهاي تابع بسل بررسي .كه در مكان هاي مشخص هستند)از نظر تعداد(تابع داراي ريشه هاي ناحمدود است
},....,,{ }10 Ann ααα=ريشه ها
.ديدمي كه شكل تابع از انداخنت سنگ در آب ناشي مي شد
( ) ( ) ( )∫ −=R
n dxSinxSinSinRxy0
1212 φφφ
( ) ( )∫ −=R
n dxSinnCosRxy0
1 φφφ
( ) ( ) ( )∑∞
=
+
+−
=0
2
2!!1
k
knk
nx
kxKxy
( ) ( ) ( )∑∞
=
−
+−
=0
2
2!!1
21
k
kk
nnn x
knkxyx
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )∑∞
=
−−−−−− ++
−+−=
0
121
2.22
!!1)4
k
knkn
nn
nn xxn
knkxxynxxyxdx
d
( )xyn
( ) →= 0xyn
( ) 0=→ niyaه n αφ
( ) ( ) ( )xxyxnyxxy nnn 1)1 +−=
( ) ( ) ( )xxyxnyxxy nnn 1)2 −+−=
( ) ( ) 11 2 ++ −= nnn xyxnyxxy
oy
( ) ( ) ( )xyyپسxyx nn
11 0 −=′− +−
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−−=
c
o
c
o
c
on dx
cxNSinxfdx
cxNSinxfcdx
cxNSinxfxf
cb ηηη 12
2
dxdxxx −=−=
( ) ( )∫ −c
o
dxc
xNSinxf η
٤٧
و فرض كنيد كه .استπ2 ددر خارج ازاين فاصه بسط سينوسي اوالً داراي پريو
مهانطور كه مي دانيم هر تابع را مـي تـوان )-٢،٢(يك تابع قطعه اي پيوسته در فاصله ي .بصورت مجع در تابع زوج و فرد نوشت
با بسط كسينوسي تقريب ) ٢،٠(است بنابراين چنانچه را در فاصله تابع يك تابع زوج
).و كينوس هر دو زوج اند.( تقريب زده خواهد شد) -٢،٢(بزنيم ،تابع در ناحيه س پ
. حال بايد ضرايب را پيدا منائيم.مي باشد) -٢،٢(كه اين بسط تابع فوريه در فاصله
از نواحي مشخص ناحيه اي بصورت زير باشد و بغري Cفرض كنيد ناحيه شده حتليلي باشد آنگاه انتگرال
.فوق برابر صفر است Dروي ناحيه
گوئيم انتگرال مستقل از ميسر است اگر
( )Zβ
( )Zβ
( )∫ =+C qZZ
Zd φ22
( )∫ =B
ZdZ 0β
( )∫ ZdZβ
( ) ( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫ −==C
b
a
aZFbZFZdZZdZ ββ
( )0
=`2η
bmSinmxdxxSNη
∑ nxSinbn
( )xh( )xh
( )xh( )xh
( )xf
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxhxgxgآهxgxhxf =−−=−+= ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
xfxfxgxfxfxh −−=
−+=
( ) ∑∞
=
+=1n
no
cxnCosaaxh η
η ( )∫=c
on dx
cxnCosxhca η2
( ) ( ) ( ) ( )ccxgxhxf ,−+=
( ) ( )ccxآهc
xnSinbc
xnCosaaxfn n
nno ,2
1 1−∈++= ∑ ∑
∞
=
∞
=
ηη
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−+=
c
o
c
o
c
on dx
cxnCosxfdx
cxnCosxfcdx
cxnCosxfxf
ca ηηη 12
2
( )xf
٤٨
است اگر بنام ولداي تابع اوليه رياز مسالبته مي توان گفت يك نام ولداي انتگرال مستقل :مثال. باشد
انتگرال كوشي
جتليلي نباشد آنگاه Cباشد و تنها در نقطه در Cاگر يك تابع حتليلي در
:مثال
:مثال بصورت هاي زير تا ازانتگرال ؟
( )Zβ
( ) ( )3
32 ZcZFZcZ →β
( )∫+
++=i
iZZ1
0
32 131
( )∫ ∫− −
=−−==i
i
i
i
tuiiizZZd2
2
2
2
2log2loglog
( ) ( )00
2 ZZZ
izdZ
c
βπβ∫ −
=
( )Zβ
( )( )∫−
=+
=−−c q
iiiZZq
zdZ102
12 ππ
( ) ( )∫ ∫=c c
ZdZZZdZz ββ 00
( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+=+c c c
ZdZgZaZZdtgZ ββ
( ) ( )( )dtZtZdxZac
′≤ ∫∫ ββ
∫1
2
C
ZdZIc
iI3
1132
1 +=
iI3
1132
2 +=
( ) ( )00
2 ZiZZ
zdZ
c
βπβ∫ =
−
٤٩
ي طبق قضيه كوش
ناحيه بسته باشد و حتليلي باشد Cبا توجه به اينكه اگر حـد رو و حـد اي كه Cقضيه اگر حتليلي باشد انتگرال آن روي هر ناحيه طبق لذا
Cدرون حتليلي باشد برابر با صفر است
:مفهوم انتگرال
:مثال
:خواص
؟!
( )Zβ
( )Zβ
( )Zβ
∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=+C R
dxdyyR
XQQdyPdx
∫C
ZdZIc 2
( )∫ ∫ ∫ ++−=C C
udyXdxiVdyNdxdZ δβ
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂−
=R R
dxdyyx
yuidxdy
xn
yu
X
yx
VXyvu−==
( ) ( ) ( )tiytXt +=ω
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫++b
a
b
a
b
a
dttyodttXdtω
∫ += 4232 idttiθ
( ) ( )∫∫ ∫ =b
a
b
a
dttZdtt ReRe ω
( ) ( )∫ ∫=b
a
tZdttZ ωω
( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫ ∫ −−⇒= dttecrياdttedtter ou ωωω θθθ 000 1
0 Re
( ) ( )∫∫ ≤b
a
b
a
dttdttX ω
٥٠
Line Integral) ١انواع انتگرال
.با فرض اينكه روي يك خط حركت مي منايد
:اندرلژحل معادله . معادله را با نام معادله ثراندر مي شناسيم
اين بنام حد فاصله تعريف مي شود .با حل معادله فوق با روش سري ها دارمي توااي معادله به صورت زير هستند
ورت تعريف مي كنيم كه در آن را به ص nبنام ثراندر از مرتبه
( ) ( )∫ ∫C
z
Z
dttياdtt2
1
ββ
Z
( )tZZ =
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )∫ ∫ ′+′+=b
a
Z
Z
dtydXdtytxivtxudtZ1
1
1,/β
( ) ( )dtxVyuiyVxUtZ
tZ∫ ′+′+′−′=
1
0
/
/
( ) ( )∫ ∫ ′+′+′+′=1
0
1
0
t
t
t
t
dtxVyUdtyVxU
( ) ( )∫ ∫−
−C C
ZdZZdZ ββ
( ) 021 2 =+′−′′− yyxyx
∑∞
−
×+=1
201 2h
hhaay
∑∞
−+ +×+=
11212 12
hh haxay
( )xP n( )1+= nnλ
( ) ( ) ( )( ) ( )∑ =
+−−−
− −
•
,....1,02!
!22121 2 nX
xnhhnhhnxP hn
x
nn
( ) 10 =xP( ) XxP =1
( ) ( )1321 2
2 −= xxP
٥١
خواص دارمي كه جواا به صورت اگر حل معادله؟!
.مي باشد اندرلژتوابع
.مشتقات جزئي در خمتصات كروي مي باشدكاربرد ثراندر درحل مسائل معادالت با
باجداسازي به معادله .ثراندر مي رسيم
( ) ( )3321
3 −= SxP
( ) ( )3304321 2
4 +−×= xsxP
( ) ( ) ( )xPxP nn 1−=−( ) ( ) 013 ==+′×−− ynnyyxi ng
( ) ( ) nmmndxPxP nm ≠=×+∫ ∫−
1
1
( ) ( )( ) ( ){ }x
xPxP
x nn
nn φφ →=
1
( ) ( )nn
nn xnd
dn
xP 1121 2
1 −×
=
( ) ( )1,!2
211 −==− −
+ xuuDn
nxpxP nnnnn
( ) ( ) ( ) ( )xPnxnPxP nn 1211 +=−′−′+
( ) ( ) ( )xPnxn
xP nnn 212
12211 +
=→+
= φ
( ) πθ
θθθ
<∂<<<=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂ 0,001
2
2
crvSinSin
rur
r
( ) ( )θFcV =∂,
( ) ( )∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
0
,n
n
n
n CosPcrArV θθ
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
= −
+=⇒=
0
1
1212
nnnnn dxxPxnAxPAx ββ
( ) ( ) ( )∫∫ ∫−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+==
c
c
c
o
o
c
dxc
xnCosxfcdxc
xnCosxfdxc
xnCosxfcηηη 11