RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO - … in figura 1. Il circuito è costituito da un generatore, ad esempio, un generatore di tensione e=e(t), resistori, induttori, condensatori,

CAPITOLO 10

RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO

10.1 Funzione risposta in frequenza

Si consideri un circuito lineare tempo-invariante in evoluzione forzata da t = −∞ , del tipo

ill ustrato in figura 1. Il circuito è costituito da un generatore, ad esempio, un generatore di tensione

e=e(t), resistori, induttori, condensatori, trasformatori ideali , generatori controllati, ampli ficatori

operazionali (modello lineare), giratori e induttori accoppiati. Il generatore di tensione rappresenta

l'ingresso, ad esempio, un segnale da elaborare e v(t) è la grandezza di interesse - la cosiddetta

“uscita”-, cioè il segnale elaborato. Sia h=h(t) la risposta all 'impulso e si assuma che il circuito sia

dissipativo. Allora il circuito è asintoticamente stabile, e quindi la regione di convergenza della

funzione di trasferimento H(s) = LIIh(t) contiene l'asse immaginario.

Figura 1 Circuito in esame (a) e schema a blocchi (b).

Si consideri il “segnale” rappresentato dalla somma discreta (e finita)

e(t ) = E1cos(ω1t + ϕ1)+.. .+Eh cos(ω ht + ϕ1)+. ..= Eh cos(ωht + ϕhh∑ ) , (1)

di funzioni sinusoidali con pulsazioni ωh e definito per −∞ < t < +∞ ; Eh e ϕh sono,

rispettivamente, l'ampiezza e la fase delle singole armoniche che costituiscono il segnale. Il generico

termine della (1) può essere espresso come

cos(ωht + ϕh) = 1

2[e

i(ω ht+ϕ h ) + e− i (ω ht+ϕh )

] , (2)

e di conseguenza la (1) può essere così riscritta:

384 Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

e(t ) = chei ω ht +h∑ c.c. , con ch =1

2Ehei ϕh (3)

dove “c.c.” sta a indicare il complesso coniugato del termine ch ei ω hth∑ . In particolare, se

ωh = hω0, con h intero, (4)

e(t) è una funzione periodica di periodo

T =2πω0

, (5)

cioè e(t)=e(t+T) per ogni valore di t.

La somma data dalla (1) (oppure dalla (3)) può essere costituita da un numero finito o infinito di

termini. Quando il numero di termini è infinito ed è verificata la (4), la (1) (oppure la (3)) è una serie

di Fourier.

Una funzione periodica con periodo T può essere rappresentata attraverso la serie di Fourier

dttfT

cteT

T

tntn

nn ∫∑

−

−+∞

−∞===

2/

2/

in

i 00 e)(1

c dove ,e)( ωω(6)

se esiste l'integrale definito f ( t)− T /2

T /2∫ dt ( cioè se la funzione periodica f=f(t) è assolutamente

integrabile). I coeff icienti cn sono complessi e verificano la condizione cn = c−n∗ perché f=f(t) è

una funzione reale di variabile reale.

Ci sono funzioni che possono essere rappresentate solo tramite una somma continua di funzioni

sinusoidali , cioè attraverso l'integrale di Fourier

e(t ) =1

2πE(ω)ei ωt

−∞

+∞∫ dω , (7)

dove E=E(ω) è la trasformata di Fourier della funzione e(t)

E(ω) = e(t)e− i ωt

−∞

+∞∫ dt . (8)

La trasformata di Fourier esiste se l'integrale definito e(t)− ∞

+ ∞∫ dt esiste, cioè se la funzione e=e(t) è

assolutamente integrabile. La trasformata di Fourier E(ω) è una funzione complessa della variabile

reale ω e verifica la condizione E(−ω) = E* (ω) perché e=e(t) è una funzione reale di variabile

reale. (In queste lezioni non ci soffermeremo su tutta la problematica connessa con la convergenza

della serie e dell 'integrale di Fourier).

Il circuito in esame è lineare, e quindi vale la sovrapposizione degli effetti. Pertanto per

determinare la “risposta forzata” del circuito a un ingresso espresso attraverso la somma (discreta o

continua) di funzioni sinusoidali , basta conoscere la risposta all 'ingresso “elementare”, non

fisicamente realizzabile,

˜ e (t ) = eiωt . (9)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 385

La risposta ˜ v (t) all 'ingresso elementare ˜ e (t ) , può essere calcolata utili zzando l'integrale di

convoluzione,

∫+∞

∞−

−= d22Hh(t(t)v~ i τ. (10)

Operando il cambiamento di variabili

λ = t − τ, (11)

si ottiene

h(t − τ)e− iωτ dτ− ∞

+ ∞∫ = h(λ)eiω(t−λ) dτ

−∞

+∞∫ = eiωt h(λ)e−iωλ dλ

−∞

+∞∫ . (12)

Siccome la regione di convergenza della funzione di trasferimento H(s) = LII h(t) contiene l'asse

immaginario, il terzo integrale nella (12), (a partire da sinistra), è la trasformata di Laplace bilatera

della risposta all 'impulso h(t) valutata per s = iω , e quindi è la trasformata di Fourier della risposta

impulsiva,

H(i ω) = h( t)e−i ωt

−∞

+∞∫ dt = h(t)e− i ωt

0−

+∞∫ dt . (13)

Pertanto si ha

h(t − τ)e− i ωτ dτ− ∞

+ ∞∫ = H( iω)e− i ωτ , (14)

e, quindi, la risposta all 'ingresso elementare e (t ) vale

˜ v (t) = H(i ω)ei ωt . (15)

Osservazione

L'equazione (14) sta indicare che ei ωt è un'autofunzione 1 del sistema ingresso-uscita in esame

(rappresentato schematicamente in figura 2), quando è in evoluzione forzata da −∞ e H(i ω) è il

corrispondente autovalore. È immediato verificare che, in generale, est è l'autofunzione e H(s) il

corrispondente autovalore, purché s appartenga alla regione di convergenza della funzione di

trasferimento.

Figura 2

1 L'integrale di convoluzione h( t − τ)x( τ) dτ−∞

+∞∫ = l x( t) è un operatore lineare l⋅ che opera sulle

funzioni x=x(t). L'autofunzione di un operatore lineare l⋅ è una funzione u=u(t) tale che lu(t ) = λu(t) , doveλ è una costante opportuna che prende il nome di autovalore dell 'operatore.


La funzione H = H(i ω) prende il nome di funzione risposta in frequenza o risposta armonica

del circuito. Essa è una funzione a valori complessi e di solito viene rappresentata attraverso la

rappresentazione polare

H(i ω) = A(ω)ei φ(ω) , (16)

dove:- A(ω) è il modulo della funzione complessa H(i ω) , A(ω) = H(iω) ;

- φ(ω) è la fase della funzione complessa H(i ω) , (il valore principale, definito nell 'intervallo

(−π,π)), φ(ω) = arg[ H(i ω)] .

Alla funzione A(ω) si dà il nome di risposta in ampiezza e alla funzione φ(ω) il nome di risposta

in fase del circuito. La funzione risposta in ampiezza A(ω) è, per costruzione, definita positi va.

La risposta in frequenza può essere descritta anche attraverso la rappresentazione cartesiana:

H(i ω) = R(ω) + i X(ω) , (17)

dove

R(ω) = A(ω)cosφ(ω),

X(ω) = A(ω) sinφ(ω).(18)

(La scelta dei simboli per rappresentare la parte reale e la parte immaginaria della risposta in

frequenza è del tutto casuale; in generale esse non sono dimensionalmente omogenee a una

resistenza).

Osservazione

La regione di convergenza di H(s) include l'asse immaginario. Pertanto H(s) è analiti ca nell 'intorno

dell 'asse immaginario, e quindi la parte reale R(ω) e la parte immaginaria I(ω) di H(i ω) devono

essere funzioni continue per −∞ < ω < +∞ ; anche la risposta in ampiezza deve essere una funzione

continua di ω, essendo A(ω) = R2(ω) + X2(ω) . Invece, la risposta in fase può presentare

discontinuità di prima specie, con salti pari a multipli i nteri di 2π.

- Diagrammi di Bode

Spesso la risposta in ampiezza A(ω) e la risposta in fase φ(ω) vengono rappresentate

graficamente usando come variabile indipendente la grandezza adimensionale

x = log(ω / Ωc) , (19)

dove log(⋅) è il l ogaritmo in base 10 e Ωc è una pulsazione caratteristica (può essere introdotta soloper rendere adimensionale l'argomento della funzione log(⋅) ). Spesso x viene espresso in decadi:una decade corrisponde all 'intervallo di frequenze (ω, 10ω) ; infatti si ha

log(10ω / Ωc) − log(ω / Ωc) = log(10) =1. (20)


La grandezza x può essere espressa anche in ottave 2. Un ottava (oct) é la lunghezza dell 'intervallo

(ω, 2ω) . Siccome

log(2ω / Ωc)− log(ω / Ωc) = log(2) ≅ 0.3, (21)

si ha che

1 ottava ≅ 0.3 decadi. (22)

Nel diagramma di Bode il grafico della risposta in ampiezza è costruito riportando in ordinata la

grandezza

y = 20logA(ω) = 10logA2(ω) . (23)

L'unità di misura di y è il decibel (dB): A(ω2 ) e A(ω1) differiscono di un decibel se

20logA(ω2 ) − 20logA(ω1) = 1, cioè se A 2(ω2) = 100.1A2 (ω1) ≅1.26A 2(ω1) e quindi se

A(ω2 ) ≅1.12 A(ω1) . (24)

Nel diagramma di Bode la fase φ(ω) viene espressa sia radianti che in gradi.

Esempio

Si consideri il circuito del primo ordine ill ustrato in figura 3. Si determini la risposta in frequenza

considerando la tensione v(t) del resistore come grandezza di “uscita”.

Figura 3 Circuito dinamico in esame (a), circuito di impedenze operatoriali corrispondente (b) ecircuito nel dominio della frequenza (c).

La funzione di trasferimento del circuito in esame è uguale a (il resistore è in serie all 'induttore)

H(s) = R

R +sL, (25)

e quindi la risposta in frequenza vale

H(i ω) =α

α + iω, (26)

dove α = R / L è l'opposto della pulsazione naturale del circuito. L'ampiezza e la fase sono date da

A(ω) =α

ω2 + α2, φ(ω) = −arctan(ω / α ). (27)

2 L'ottava è l'unità di misura adottata in musica: due note distano di un'ottava se il rapporto delle loro

frequenze è uguale a due.


In figura 4 è rappresentata graficamente la risposta in frequenza (26), usando in figura 4a la

descrizione cartesiana, in figura 4b quella polare e in figura 4c la descrizione di Bode. La riposta in

ampiezza assume il valore massimo per ω=0, A(0)=1. Per ω=α si ha A(α) =1 / 2 ; in decibel,

A(α) =1 / 2 vale 20logA(α ) = 20log(1 / 2) ≅ −3: in corrispondenza della pulsazione

caratteristica α si ha una attenuazione di 3dB dell 'ampiezza. Per questo motivo α prende il nome di

pulsazione di taglio a 3dB del circuito.

0

-2 α - α 0 α 2α

D

ω

R(ω)

X( ω)

−0.5

1

(a)

0

−2α −α 0 α 2αω

A(ω)

φ(ω)

0.707

1

−π/4

−π/2

π/2

(b)

0

-40

-30

-20

-10

0

10

−π/2

1 10 100ω/α

log(ω/α)10 2

−π/4

φ(ω)

20logA(ω)

dB rad

(c)

Figura 4 Descrizione cartesiana (a), descrizione polare (b) e diagramma di Bode (c).

10.2 Propr ietà della funzione risposta in frequenza

- Proprietà 1.

La funzione risposta in frequenza H(i ω) verifica la proprietà

H* (iω) = H(− i ω) . (28)

Pertanto la risposta in ampiezza A(ω) è una funzione pari di ω,

A(ω) = A(−ω) , (29)

e la fase φ(ω) è una funzione dispari di ω,

φ(ω) = −φ(−ω) . (30)


Dimostrazione.

Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che la risposta all 'impulso di Dirac di un

circuito è una funzione reale. Essendo h(t) una funzione reale, segue che

H* (iω) = h( t)eiωt

−∞

+∞∫ dt = h( t)e− i (−ω)t

−∞

+∞∫ dt = H(−i ω) , (31)

e quindi

H* (iω) = H(− i ω) . (32)

Dalle (16) e (32) si ha anche

H* (iω) = A(ω)e− i φ(ω ) = H(− i ω) = A(−ω)eiφ(−ω ) . (33)

e quindi dalle equazioni (33) seguono immediatamente le (29) e (30).

Dalle (18), (29) e (30) si ottiene anche che la parte reale di H(i ω) è una funzione pari della

pulsazione, mentre la parte immaginaria è una funzione dispari,

R(ω) = R(−ω),

X(ω) = −X(−ω).(34)

- Proprietà 2

Si assuma che l'ingresso sia il segnale sinusoidale

e(t ) = cos(ωt) ; (35)

allora il segnale di uscita vale

v(t) = A(ω)cos[ ωt + φ(ω)] . (36)

Dimostrazione.

Essendo

cos(ωt) =1

2(eiωt + e− iωt ) , (37)

utili zzando la sovrapposizione degli effetti e la proprietà (17), si ottiene

v(t) =1

2[ H(iω)ei ωt + H(− iω)e− i ωt ]

=1

2[ H(iω)eiω t + H* ( iω)e− i ωt ] =

1

2A(ω)ei [ ωt+φ(ω) ] + c.c.

(38)

Dalla (38) segue immediatamente la (36).

Osservazioni

(i) La risposta in frequenza di un circuito può essere interpretata come il rapporto tra il fasore

rappresentativo della grandezza sinusoidale in uscita e il fasore rappresentativo della grandezza


sinusoidale in ingresso, al variare della pulsazione ω. Quindi essa può essere determinata anche

attraverso il metodo fasoriale: si consideri il circuito di impedenze corrispondente nel dominio

simbolico (basta porre s= iω nelle impedenze operatoriali ) e si assuma come ingresso il fasore (di

tensione o di corrente, a seconda del tipo di segnale) di modulo unitario e fase nulla. Il fasore

corrispondente alla grandezza di uscita dà la risposta in frequenza. Ad esempio, la risposta in

frequenza (26) del circuito di figura 3 può essere ottenuta risolvendo il circuito di impedenze nel

dominio simbolico ill ustrato in figura 3c.

(ii ) È possibile misurare la risposta in frequenza di un circuito (dissipativo) applicando in ingresso

un generatore sinusoidale, misurando la grandezza di uscita quando il circuito è in regime

sinusoidale, cioè dopo che il transitorio si è esaurito, e ripetendo le misure per diversi valori delle

frequenze del generatore.

- Proprietà 3.

Il quadrato della risposta in ampiezza A 2(ω) = H( iω) 2di un circuito (a parametri

concentrati) è una funzione razionale di ω2 ,

A 2(ω) =x(ω2 )

y(ω2 ), (39)

dove x(ω2) e y(ω2) sono due polinomi in ω2 .

Dimostrazione.

Nel precedente capitolo è stato mostrato che la funzione di trasferimento di un circuito a parametri

concentrati è una funzione razionale di s del tipo:

H(s) = N(s)

D(s)= k

(s− zh)h=1m∏

(s− ph )h=1n∏

. (40)

I polinomi N(s) e D(s) sono a coeff icienti reali e quindi gli zeri z1,...,zm e i poli p1,..., pn sono reali

e/o complessi coniugati.

Usando la proprietà (28), il quadrato della risposta in ampiezza può essere espresso nel modo

seguente:

A 2(ω) ≡ H(i ω)H* (i ω) = H( iω)H(− i ω) . (41)

Usando la (40), si ottiene

A 2(ω) = k2 (i ω − zh)h=1m∏

(i ω − ph)h=1n∏

(− iω − zh )h=1m∏

(− i ω − ph)h=1n∏

= k2 (ω2 + zh2)h=1

m∏(ω2 + ph

2 )h=1n∏

=x(ω2)

y(ω2). (42)

- Proprietà 4

Il quadrato della risposta in ampiezza verifica la relazione

1

2πA2

−∞

+∞∫ (ω)dω = h2(t )

0

∞∫ dt . (43)


La (43) si ottiene applicando il teorema di Parseval. La funzione A 2(ω) prende il nome di densità

spettrale di energia. La risposta in frequenza H(i ω) si dice a energia finita se

A2

−∞

+∞∫ (ω)dω < ∞ . (44)

Un circuito dissipativo ha una risposta armonica a energia finita se l'uscita è una grandezza di stato;

questa proprietà è diretta conseguenza della (43) e del fatto che la risposta all 'impulso, in questo caso,

è limitata ovunque e tende a zero con legge esponenziale per t∅ .

- Propr ietà 5

La risposta in ampiezza deve verificare la condizione

lnA(ω)

1+ ω2−∞

+∞∫ dω < ∞ . (45)

La (45) è una conseguenza di una proprietà notevole delle funzioni analiti che, nota con il nome di

condizione di Paley-Wiener.

- Condizione di Paley-Wiener

Tutte le funzioni F(s) analiti che nel semipiano immediatamente a destra dell 'asse immaginario e a

energia finita sull 'asse immaginario, verificano la condizione

ln F(iω)

1+ ω2−∞

+∞∫ dω < ∞ . (46)

La funzione di trasferimento di un circuito dissipativo è analiti ca nel semipiano immediatamente a

destra dell 'asse immaginario ed è a energia finita sull 'asse immaginario.

La condizione 3 (45) oltre a essere la condizione necessaria aff inché una data funzione sia

l'ampiezza della risposta in frequenza di un circuito asintoticamente stabile è anche una condizione

suff iciente aff inché, per una assegnata funzione reale A(ω), esista almeno una funzione H(s) analiti ca

nel semipiano a destra dell 'asse immaginario e a energia finita sull 'asse immaginario di cui A(ω) è il

modulo per s= i ω .

Infine tra la parte reale R(ω) e la parte immaginaria X(ω) della risposta in frequenza, così come

tra il modulo A(ω) e la fase φ(ω) , esistono legami molto stretti dovuti alla natura razionale a

coeff icienti reali della funzione di trasferimento.

10.3 Analisi dei circuiti att raverso la r isposta in frequenza

3 In queste Lezioni non viene dimostrata la condizione di Paley-Wiener (per ulteriori

approfondimenti si consulti A. Papoulis, Signal Analysis, McGraw-Hill ).


La risposta in frequenza è uno strumento di analisi molto potente. Come poi si vedrà, essa è anche

un potente strumento di sintesi.

Innanzi tutto la risposta in frequenza di un circuito può essere usata per determinare la risposta di

un circuito quando l'ingresso è rappresentabile tramite una somma (discreta o continua) di armoniche.

Si supponga, ad esempio, che

e(t ) = cheiω ht +h=1n∑ c.c. (47)

È già noto che la risposta al generico termine eiωht è H(i ωh)eiωht . Pertanto, utili zzando la

sovrapposizione degli effetti, si ha

v(t) = chH(i ωh)eiω ht +h=1n∑ c.c. (48)

Una somma di funzioni del tipo (47) e (48) può essere rappresentata graficamente attraverso una

sequenza di segmenti verticali , dove la lunghezza di ciascun segmento è uguale all 'ampiezza

dell 'armonica corrispondente, figura 5.

|ci| Ingresso

ω 1 ω2

ω3

ωn ω

A( ω) Risposta in frequenza

ω 1 ω2

ω3

ωn ω

|ci|Α(ω

i) Uscita

ω 1 ω2

ω3

ωn ω

Figura 5

Esempio

Si consideri il circuito di figura 6. I parametri circuitali sono R = 8kΩ, C= 0.1µF . La tensione in

ingresso vale e(t ) = 10 +8cosω0t e ω0 = 104. La funzione di trasferimento del circuito è

H(s) =V(s)

E(s)=

R / sC

R +1 / sC

R + R / sCR +1 /sC

=1 /RC

(2 / RC+ s), (49)

e quindi la risposta in frequenza nel caso in esame vale:

H(i ω) =α2

1

(i ω + α), (50)

dove α = 2 / RC = 2.5 ⋅103. Ancora una volta osserviamo che, la risposta in frequenza (50) può

essere ottenuta direttamente considerando il circuito di impedenze nel dominio simbolico con un

fasore di ampiezza unitaria e fase zero in ingresso.

La risposta in ampiezza vale:

A(ω) =α2

1

ω2 + α2, (51)

e la risposta in fase vale:


φ(ω) = − arctan(ω / α). (52)

In questo caso la pulsazione di taglio a 3dB è α = 2 / RC = 2500.L'ingresso è costituito da due termini, uno costante e l'altro sinusoidale a pulsazione ω0 . Per

determinare l'uscita corrispondente bisogna calcolare H(0) e H(iω0 ) ; essi valgono:

H(0) =1

2, H(i104 ) =

1

2 + i8=

1

68e− i 1.32...

. (53)

La risposta del circuito vale:

v(t) = 5+ 8

68cos(ω0t −1.32...) . (54)

È interessante notare che la risposta in ampiezza introduce alla pulsazione ω = ω0 una

attenuazione molto più forte di quella introdotta a pulsazione zero; ciò è dovuto al fatto che la

pulsazione del termine sinusoidale è otto volte la pulsazione a 3dB α. Questo è l'esempio più

semplice di filt ro. Il circuito introduce un ritardo temporale nel termine sinusoidale in uscita dato daτr = −φ(ω0) / ω0 ≅ 0.13ms.

0

5

10

15

20

-0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

e(t) [V]

t [s]

r

Re(t)+

R

R Cv(t)

0

2

4

6

8

10

-0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

v(t) [V]

t [s]

-2 10 4 -10 4 0 10 4 2 10 4

ω [rad/s]

10

88

[V]

-2 10 4 -10 4 0 10 4 2 10 4

A( ω )0.5

ω [rad/s]

α

-2 10 4 -10 4 0 10 4 2 10 4

ω [rad/s]0.97

[V]

5

0.97

(a) (b) (c)

Figura 6 Segnale di ingresso e corrispondente contenuto armonico (a); circuito in esame e rispostain ampiezza (b); segnale in uscita e contenuto spettrale (c).

Lo studio del comportamento quali tativo della risposta in ampiezza e della risposta in fase, al

variare della pulsazione, può essere facilit ata se H(i ω) è espressa attraverso la forma fattorizzata:

H( iω) = k( iω − z1)(i ω − z2)...(i ω − zm )

(i ω − p1)( iω − p2)...(i ω − pn). (55)

L'ampiezza A(ω) è data da:


A(ω) = ki ω − z1 i ω − z2 ... i ω − zm

i ω − p1 i ω − p2 ... iω − pn= k

(M1L )(M2L )...(M mL )

(N1L )(N2L )...(NnL ), (56)

e la fase φ(ω) è data da:

φ(ω) = [ arg(iω − z1 ) + arg(iω − z2)+...+arg(i ω − zm)]

− [ arg(i ω − p1) + arg(iω − p2)+...+arg(i ω − pn)]

= [ϑ1(ω) + ϑ2(ω)+...+ϑm (ω)] − [θ1(ω) + θ2(ω)+...+θn(ω)]

. (57)

Nella (56) (M iL ) rappresenta la lunghezza del segmento orientato applicato nello zero zi e che

termina nel punto L dell 'asse immaginario corrispondente a i ω , e (NiL ) rappresenta la lunghezza

del segmento orientato applicato nel polo pi e che termina nel punto L dell 'asse immaginario

corrispondente a i ω , Figura 7. Nella (57) arg(a) rappresenta l'argomento principale (definito

nell 'intervallo (−π,π)), del numero complesso a , e ϑ i , θi sono, rispettivamente, gli angoli che i

segmenti orientati e formano con l'asse reale. Pertanto, per determinare la risposta in

ampiezza basta fare il prodotto delle lunghezze dei segmenti orientati a numeratore e dividere per il

prodotto delle lunghezze dei segmenti orientati a denominatore. La risposta in fase è eguale alla

somma degli angoli dei segmenti orientati meno la somma degli angoli dei segmenti orientati

.

Figura 7

10.3.1 Risposta in frequenza di circuiti del primo ordine: filtro passa-basso e filtro passa-alto

Si consideri un circuito del primo ordine (cioè con un solo bipolo dinamico) e si supponga che la

funzione di trasferimento H(s) non abbia zeri (per esempio, i due circuiti di figura 8 in cui l 'uscita è la

tensione sul condensatore nel circuito RC e la tensione sul resistore nel circuito RL). In questi casi

H(s) ha un solo polo ed è del tipo

H(s) =k

s+ α e quindi H(iω) =

k

i ω + α. (58)

L'ampiezza e la fase valgono, rispettivamente:

A(ω) =A(0)

ω2 + α2=

A(0)

(NL ), (59)

φ(ω) = − arctan(ω / α) = −θ(ω) . (60)


In questo caso la distanza tra il polo s1 = −α e il punto s= i ω cresce con legge monotona

allorché ω cresce da zero all 'infinito, figura 9a. Di conseguenza, A(ω) assume il valore massimo per

ω=0 e decresce con legge monotona al crescere della pulsazione, in valore assoluto. Si noti che per

ω = α , (NL) = α 2 . In corrispondenza di questa pulsazione si ha

A 2(α) = A 2(0) /2 , (61)

e quindi α è la pulsazione di taglio a 3dB nel diagramma di Bode: la differenza, in decibel, tra il

valore dell 'ampiezza per ω=0 e quello per ω=α è uguale a 3dB. In figura 10 è rappresentata la fase.

La spiegazione dell 'andamento qualitativo della risposta in ampiezza dei circuiti rappresentati in

figura 3 è molto semplice. Nel circuito RC in figura 3b per ω → 0 l'impedenza del condensatore

tende all 'infinito e quindi la tensione in uscita è proprio quella impressa dal generatore e per ω → ∞l'impedenza del condensatore tende a zero e quindi l 'uscita tende anche essa a zero. Nel circuito RL in

figura 3b per ω → 0 l'impedenza dell 'induttore tende a zero e quindi la tensione in uscita è proprio

quella impressa dal generatore, mentre per ω → ∞ l'impedenza tende all 'infinito e quindi la tensione

sul resistore tende a zero.

Figura 8 Nel circuito RC è α =1 / RCe nel circuito RL è α = R / L (a); circuiti di impedenzecorrispondenti nel dominio simbolico (b).

ω)/A

(0)

ω

α

1/√2 1

2α

s1= −α

N

L

(a)

0

−π/2

π/2s1=−αN

1

L=i ω

ω

φ(ω)θ

Figura 9 Diagramma dell 'ampiezza e della fase della risposta armonica (58).

- Filtro passa-basso


Un circuito con una risposta in ampiezza del tipo (58) è l'esempio più semplice di filtro passa-

basso. La sua funzione è quella di sopprimere tutte le componenti ad alta frequenza di un segnale,

cioè tutti i termini sinusoidali con pulsazioni al di sopra di una pulsazione di taglio caratteristica Ω(ω > Ω è la banda oscura del filt ro passa-basso), consentendo il passaggio di tutte le armoniche con

pulsazioni inferiori ( 0 ≤ ω < Ω è la banda passante del filt ro passa-basso); ad esempio, Ω potrebbe

essere due o tre volte la pulsazione di taglio a 3dB α.

Osservazione

Si consideri il circuito del secondo ordine con due condensatori ill ustrato in figura 10 e si assuma

come grandezza di uscita la tensione V(s) sul condensatore di capacità C2 .

Figura 10 Circuito RC del secondo ordine.

In questo caso la funzione di trasferimento è

H(s) =k

(s+ α1)(s+ α2 ), (62)

dove α1 e α2sono grandezze reali e positi ve (il l ettore calcoli α1, α 2 e k). La risposta in frequenza

ha un andamento simile a quella che si ha per un circuito del tipo ill ustrato in figura 9. In particolare

la risposta in ampiezza vale

A(ω) =k

(ω2 + α12 )(ω2 + α 2

2)=

k

( N1L)(N2L). (63)

ω)/A

(0)

ω

1

s2

=−α

2

N2

L

(b)

0

N1

s1=−α 1

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-10 -5 0 5 10

(s+1)

(s+1)(s+5)

1

ω

A(ω)/A(0)

11

1


Figura 11 A(ω) = 1 / [ (NL1)(NL 2)] e confronto tra la risposta in ampiezza di un circuito RCdel primo ordine e un circuito RC del secondo ordine.

Siccome (N1L) e (N2L) crescono con legge monotona al crescere di ω, in valore assoluto, essi

assumono il valore minimo in ω=0, vedi figura 11. Pertanto A(ω) ha il massimo in ω=0 e decresce

con andamento monotono al crescere del valore assoluto della pulsazione. Il grafico della risposta in

ampiezza ha una forma a “campana”, simile a quella ottenuta considerando il circuito RC del primo

ordine. L'unica differenza sostanziale è che, l'introduzione di un altro polo può rendere più rapida la

transizione dalla regione in cui la risposta in ampiezza è massima a quella in cui è praticamente

uguale a zero, figura 11.

Il circuito RC di figura (10) si comporta anche esso da filt ro passa-basso: la regione di transizione

tra la “banda passante” e la “banda oscura” è più netta. Infatti per ω → 0 le impedenze di entrambi i

condensatori tendono all 'infinito e quindi la tensione in uscita è uguale a quella del generatore. Invece

per ω → ∞ le impedenze di entrambi i condensatori tendono a zero e quindi la tensione in uscita

tende a zero; la tensione in uscita tende a zero per ω → ∞ più velocemente della tensione in uscita

che si ha nel circuito di figura (8).

Figura 12 L'uscita è la corrente I(s); α =1 / RC.

Se nel circuito RC di figura 8a si assume la corrente nel condensatore come grandezza di uscita

(figura 12), si ha la funzione di trasferimento:

H(s) = αCs

s+ α e quindi H( iω) = αC

i ωiω + α

. (64)

La funzione di trasferimento (64) ha gli stessi poli della (58) (in generale i poli non dipendono da

quali grandezze sono considerate come uscita), ma, a differenza della (58), ha uno zero nell 'origine.

A causa di ciò la risposta in frequenza ha un andamento completamente diverso da quello appena

descritto.

La risposta in ampiezza è data da

A(ω) = αCω

ω2 + α2= αC

(M1L )

(N1L ), (65)

e la risposta in fase vale:

φ(ω) =π2

sgn(ω) − arctan(ω / τ) = ϑ(ω) − θ(ω) . (66)


In questo caso, a causa della presenza dello zero nell 'origine, la risposta in ampiezza è uguale a

zero per ω=0 (questo è anche il valore minimo); A(ω) cresce con legge monotona al crescere della

pulsazione (in valore assoluto). Il valore massimo della risposta in ampiezza è A(∞) = αC. Si noti

che per ω = α , è

A 2(α) = A 2(∞) / 2 . (67)

Anche in questo caso ω = α è la pulsazione di taglio a 3dB nel diagramma di Bode, perché la

differenza, in decibel, tra il valore massimo dell 'ampiezza (che si ha per ω → ±∞ ) e quello per ω=α

è uguale a 3dB, figura 13a. La fase è discontinua in ω=0, figura 13b.

A(ω)/A( ∞)

1

ω

α

1/√2s1=−α

N1

L

z1=0

M1

(a)

ω

−π/2 π/2 φ(ω)

N1

s1=−α M

1

z1=0

L

ϑθ

(b)

Figura 13 Risposta in ampiezza (65) (a) e risposta in fase (66) (b).

L'andamento qualitativo della risposta in ampiezza si spiega facilmente in questo modo: per

ω → 0 l'impedenza del condensatore tende all 'infinito e quindi la corrente tende a zero mentre per

ω → ∞ l'impedenza tende a zero e l'ampiezza della corrente tende ad assumere il massimo valore.

- Filtro passa-alto

Un circuito con una risposta in ampiezza del tipo (65) è l'esempio più semplice di filtro passa-

alto. La sua funzione è quella di sopprimere tutte le componenti a bassa frequenza di un segnale, cioè

tutti i termini sinusoidali con pulsazioni al di sotto di una pulsazione di taglio caratteristica Ω , (ad

esempio, Ω potrebbe essere uguale a un terzo della pulsazione di taglio a 3dB), consentendo il

passaggio di tutte le armoniche con pulsazioni superiori. In questo caso, l'insieme dei valori di ω, tali


che0 ≤ ω < Ω , è la banda oscura del filt ro passa-alto, mentre l'insieme complementare è la banda

passante.

Possiamo concludere che, il circuito RC ill ustrato in figura 8 si comporta come un filt ro passa-

basso quando la grandezza di uscita è la tensione del condensatore, invece si comporta come filt ro

passa alto quando la grandezza di uscita è la corrente nel condensatore, ovvero la tensione del

resistore. Il circuito RL, ill ustrato sempre in figura, si comporta come un filt ro passa-basso se l'uscita

è la tensione del resistore (ovvero la corrente nell 'induttore) e come un filt ro passa-alto se la

grandezza di uscita è la tensione dell 'induttore (il circuito RC e il circuito RL hanno comportamenti

duali ). Il filt ro passa-alto è caratterizzato da uno zero nell 'origine mentre il filt ro passa-basso ha uno

“zero all 'infinito” .

10.3.2 Risposta in frequenza di un circuito RLC del secondo ordine: filtro passa-banda e

filtro taglia-banda

Si consideri ora un circuito RLC del secondo ordine (cioè con un condensatore e un induttore) e si

assuma che la funzione di trasferimento non abbia zeri, cioè sia del tipo

H(s) =1

(s− λ+ )(s− λ− )=

1

(s2 + 2αs+ ω02 )

. (68)

dove λ ± = −α ± α2 −ω02 . La (68) è, a meno di un fattore costante, la funzione di trasferimento del

circuito ill ustrato in figura 14, dove la grandezza di uscita è la tensione del condensatore. Infatti

applicando il partitore di tensione si ottiene:

V(s)

E(s)=

1

LC

1

s2 + RL

s+ 1LC

. (69)

In questo caso i parametri α e ω0 valgono α = R / (2L), ω0 =1 / LC .

Figura 14 Circuito RLC serie.

Se α > ω0 > 0 , la funzione di trasferimento ha due poli reali e negativi, p1 = −α1 e p2 = −α2 ,

dove α1 e α 2 sono numeri reali positi vi, come nel circuito RC del secondo ordine descritto in

precedenza. In questo caso il circuito RLC di figura (14) si comporta da filt ro passa-basso; la regione

di transizione tra la “banda passante” e la “banda oscura” è più netta rispetto a quella che si ha in un

circuito RC del primo ordine.Per ω0 > α > 0 i poli sono complessi coniugati. Posto ω0

2 = α2 + β2 , la funzione di

trasferimento può essere così riscritta:


H(s) =1

(s+ α)2 + β2 =1

(s+ α + iβ)(s+ α − iβ), (70)

e la risposta in ampiezza vale:

A(ω) =1

(ω2 − ω02)2 + 4α2ω2

=1

(N1L)(N2L). (71)

La risposta in ampiezza è rappresentata in figura 15 per diversi valori di

βα

=ω0

2

α2 −1. (72)

Il comportamento di A(ω) dipende da come varia (N1L)(N2L) quando il punto L si sposta lungo

l'asse immaginario.

- Se β ≤ α, (N1L)(N2L) cresce con legge monotona e quindi A(ω) decresce con legge

monotona per ω → ±∞ , figure 15a e 15b.

- Se β > α, allora (N1L)(N2L) prima decresce, raggiunge un minimo in corrispondenza di

ωm = β2 − α2 = ω02 − 2α2 , (73)

e poi cresce con andamento monotono per ω → ±∞ , figure 15c e 15d. In questo caso A(ω) ha

un minimo per ω=0, il massimo per ω = ±ωm e poi tende asintoticamente a zero per

ω → ±∞ . L'ampiezza massima vale

A(ωm) =1

2αβ,

A(ωm )

A(0)=

1

2(βα

+αβ

) . (74)

0

ω)/A

(0)

1

ω

N1

N2

β=0.5α

−αβ

0

N1

N2

A( ω

)/A(0)

1

ω β=α

−α

β

(a) (b)

0

N1

N2

A( ω

)/A(0)

1

ω β=2α

−α

ωm

1.25

β

0

N1

N2

A(ω

)/A(0)

1

ω β=20α

−α10

β≅ω m

(c) (d)

Figura 15 Risposta in ampiezza (71) per diversi valori di β.


Gli andamenti ill ustrati in figura 15 possono essere dedotti, almeno per quanto concerne l'aspetto

qualitativo, nel modo di seguito riportato. L'ampiezza A(ω) può essere rappresentata come

A (ω ) = A1(ω) ⋅A 2(ω) , (75)

dove

A1(ω) = 1i ω − λ+

= 1

(ω − β)2 + α2, (76)

A 2(ω) = 1i ω − λ−

= 1

(ω +β)2 + α2. (77)

La funzione A1(ω) assume il valore massimo in corrispondenza di ω = β , e la funzione A 2(ω)

assume il valore massimo in corrispondenza di ω = −β , (se i due poli fossero reali , il massimo si

troverebbe nell 'origine per entrambe le funzioni), figura 16.

A2(ω) A

1(ω)

A (ω)

0−β β

−ωm

ωm

ω

Figura 16

Per β − α ≤ ω ≤ β + α , si ha

1

2≤ A1(ω)

A1(β)≤ 1. (78)

Pertanto, si può assumere che, 2α rappresenti, in qualche modo, l'ampiezza dell 'intervallo delle

pulsazioni, centrato in ω = β , in cui A1(ω) assume valori “significativamente ” diversi da zero:

questo intervallo potrebbe essere definito come la “banda passante” di A1(ω) ; analogamente per

A 2(ω) , solo che, ora, la banda passante è −β − α ≤ ω ≤ −β + α ed è centrata in ω = −β . Quando

β ≤ α , gli i ntervalli (−β,−β + α) e (β − α,β) contengono l'origine, si sovrappongono

completamente e il grafico di A(ω) ha le forme descritta in figura 15a e 15b. In questi casi A(ω) ha il

massimo nell 'origine. Invece per β > α gli i ntervalli (−β,−β + α) e (β − α,β) non contengono

l'origine, non si sovrappongono e il massimo di A(ω) si trova a ω = ωm (ωm = 0 quando β = α ).

- Filtro passa-banda


Il circuito del secondo ordine in esame si comporta come un filt ro anche quando le frequenze

naturali sono complesse. Se β ≈ α il circuito si comporta ancora da filt ro passa basso, vedi le figure

15a, 15b e 15c. Invece se è (β / α) >>1 il circuito si comporta come un filtro passa-banda. Si ha:

ωm = β2 − α2 ≅ β = ω02 − α2 ≅ ω0, (79)

cioèωm ≅ β ≅ ω0. (80)

Nell 'intorno di ωm , i ω − p2 = i(ω +β) + α è circa uguale a 2i β , e quindi la risposta in frequenza

può essere approssimata nel modo seguente:

H( iω) =1

(i ω − p1)( iω − p2)≅

1

2iβ[ α + i(ω − β)]. (81)

Pertanto, la risposta in frequenza, nell 'intorno della pulsazione ωm ≅ ω0 , coincide, a meno di un

fattore di scala, con quella di un circuito con un solo polo, traslata in frequenza della pulsazione ω0 .

La risposta in ampiezza nell 'intorno di ωm ≅ ω0 vale, quindi,

A(ω) ≅ 1

2β1

(ω − β)2 + α2, (82)

e le frequenze di taglio inferiore e superiore a 3dB sono, rispettivamente,ω− = ω0 − α e ω+ = ω0 + α (per β > α le pulsazioni di taglio a 3dB del circuito sono due, perché

il massimo di A(ω) si trova in corrispondenza di ωm ≠ 0 ); nel limit e(β / α) >>1 si ha

ω± ≅ ω0 ± α . La riposta in ampiezza normalizzata al valore massimo A(ω) / A(ωm ) è circa uguale

a 1 nell 'intorno di ω0 di ampiezza 2α, ed è uguale all 'incirca a 2α / β all 'esterno di questo intorno.

Un filt ro passa-banda ha la funzione di sopprimere tutte le componenti armoniche di un segnale

con pulsazioni all 'esterno di una banda baricentrata nell 'intorno di una frequenza diversa da zero,

lasciando praticamente inalterate le ampiezze delle armoniche con pulsazioni all 'interno di quella

banda. Nel caso in esame le ampiezze delle armoniche con pulsazioni esterne alla banda(ω0 − Ω, ω0 + Ω) centrata in ω0 (banda oscura del filt ro passa-banda), vengono notevolmente

attenuate, rispetto alle ampiezze delle armoniche con pulsazioni appartenenti a (ω0 − Ω, ω0 + Ω) ,

(banda passante del filt ro passa-banda); 2Ω è la larghezza della banda passante del filt ro.

Generalmente si sceglie Ω uguale a due o tre volte α; 2α prende il nome di larghezza di banda a

3dB del filt ro passa banda. La larghezza di banda a 3dB tende a zero per (β / α) → ∞ .

Un circuito con una risposta in ampiezza di questo tipo è un circuito risonante alla pulsazioneω0 ; la pulsazione ω0 è la pulsazione di risonanza del circuito (ω0 / 2π è la frequenza di

risonanza del circuito). In corrispondenza della pulsazione di risonanza l'impedenza equivalente

della serie costituita dall 'induttore e dal condensatore è nulla e quindi il modulo dell 'impedenza

equivalente vista dal generatore è minima (il fenomeno della risonanza in un circuito RLC serie è

stato descritto nel Capitolo 8).

Il fattore di merito del circuito risonante è dato da

Q =ω0

2α=

ω0

RL , (83)


e quindi per β / α >>1 si ha

Q ≅β2α

≅λ +

2Re λ+ . (84)

Il circuito risonante serie funziona da filt ro passa-banda se il fattore di merito è molto più grande di

uno, cioè se i due poli complessi coniugati sono molto vicini all 'asse immaginario e molto distanti

dall 'asse reale. Al crescere del fattore di merito diventa sempre più stretta la regione in cui la risposta,

(normalizzata in ampiezza) è all 'incirca uguale a 1 e quindi diminuisce la banda passante.

In figura 17 sono riportati due esempi di risposta in fase.

ω

φ(ω)

α=1

α=20

0 ω0

−ω0

π/2

−π/2

Figura 17 Risposta in fase per ω0 =10(in unità arbitrarie) del circuito RLC di figura 13 per due

diversi valori di α.

Si consideri, ora, la corrente I(s) come grandezza di uscita del circuito RLC descritto in figura 13.

In questo caso la funzione di trasferimento vale:

H I (s) = I (s)

E(s)= 1

Zeq(s)= 1

L

s

s2 + RL

s+ 1LC

, (85)

−ω0

ω0

0

1

Q=10

Q=5

Q=1

1/√2

ω )/A

(ω 0)

ω

Figura 18


La funzione di trasferimento (85) ha, ovviamente, gli stessi poli di quella ottenuta considerando

come uscita la tensione del condensatore e in più ha uno zero nell 'origine. La risposta in ampiezza

vale:

A I (ω) =1

R2 + ω2L2 1−ω0

2

ω2

2, (86)

dove ω0 =1 / LC . In questo caso la risposta in ampiezza assume il valore massimo per ω = ω0 ,

ed è uguale a zero per ω=0 (a causa dello zero nell 'origine) e tende asintoticamente a zero per

ω → ±∞ , figura 18, e quindi il circuito si comporta, per qualsiasi valore di ω, da filt ro passa-banda.La frequenze di taglio a 3dB valgono ω± ≅ (1±1 /2Q)ω0 nel limit e Q>>1 (la larghezza della banda

passante a 3dB è inversamente proporzionale al fattore di merito del circuito).

Se si assume come uscita la tensione dell 'induttore, la funzione di trasferimento è data da

H L (s) =V L (s)

E(s)=

s2

s2 + RL

s+ 1LC

. (87)

In questo caso la funzione di trasferimento ha uno zero doppio nell 'origine e la risposta in ampiezza

tende asintoticamente a 1 per ω → ±∞ : il circuito può funzionare da filt ro passa-alto se β < α e da

filt ro passa banda se β >> α

Infine si consideri il circuito del secondo ordine descritto in figura 19. Si assuma come uscita la

tensione del resistore. In questo caso la funzione di trasferimento è

H(s) =V(s)

E(s)= R

s2 + ω02

s2 + 2αs+ ω02 , (88)

e la risposta in ampiezza vale:

A(ω) = Rω2 − ω0

2

(ω2 − ω02)2 + 4α2ω2

, (89)

dove ω02 =1 / LC e 2α = 1/ RC. La funzione di trasferimento possiede due zeri sull 'asse

immaginario, z± = ± i ω0 , e quindi la risposta in ampiezza è uguale a zero per ω = ±ω0 ; inoltre

A(0)=R e A(ω) → R per ω → ±∞ .

- Filtro taglia-banda

Questo circuito si comporta come un filtro taglia-banda. Un filt ro taglia-banda ha la funzione di

sopprimere tutte le componenti armoniche di un segnale con pulsazioni all 'interno di una certa banda

e lasciare inalterate le ampiezze di tutte le armoniche con pulsazioni all 'esterno di quella banda. Nelcaso in esame le ampiezze delle armoniche con pulsazioni interne a un intorno (ω0 − Ω,ω0 + Ω) di

ω0 (banda oscura del filt ro taglia-banda), vengono notevolmente ridotte, rispetto alle ampiezze delle

armoniche con pulsazioni esterne a (ω0 − Ω,ω0 + Ω) , (banda passante del filt ro taglia-banda); 2Ω è

la larghezza della banda oscura del filt ro. La larghezza della banda oscura a 3dB vale all 'incirca 2α


per ω0 >> α . La risposta in ampiezza normalizzata al valore massimo A(ω) / A(0) è circa uguale a

0 nell 'intorno di ω0 di ampiezza 2α, ed è uguale all 'incirca a 1 all 'esterno di questo intorno.

Un circuito con una risposta in ampiezza di questo tipo è un circuito anch'esso risonante allapulsazione ω0 . Questo circuito ha un comportamento duale a quello del circuito risonante RLC serie

con pulsazione ω0 . Nel circuito risonante ill ustrato in figura 19 alla pulsazione di risonanza

l'ammettenza equivalente al parallelo tra l'induttore e il condensatore è uguale a zero e quindi è

uguale a zero la tensione sul resistore. Invece per ω → 0 e ω → ∞ l'impedenza del parallelo LC

tende a zero e quindi la tensione sul resistore è uguale a quella in ingresso.

Figura 19 Circuito RLC anti-risonante.

10.4 Circuiti con amplificatori operazionali e generatori controllati

Ora analizzeremo, attraverso esempi, la risposta in frequenza di circuiti (del primo e del secondo

ordine) che utili zzano ampli ficatori operazionali e generatori controllati. In particolare vogliamo

mettere in evidenza due proprietà dell 'ampli ficatore operazionale, che sono fondamentali nelle

applicazioni circuitali .

Ricordiamo che l'ampli ficatore operazionale è un doppio bipolo attivo, non reciproco, che alla

porta di uscita si comporta come un generatore di tensione controllato in tensione. Si assuma che, il

circuito funzioni in modo tale che l'ampli ficatore operazionale non vada mai a funzionare in

saturazione (la tensione in uscita all 'ampli ficatore operazionale deve essere inferiore a quella di

saturazione).

- Un circuito del primo ordine

Si consideri il circuito rappresentato in Figura 20; esso può essere considerato come un doppio

bipolo. L'ingresso è la tensione della porta “1” e l'uscita è la tensione della porta “2” . Bisogna

determinare la funzione di trasferimento

H(s) =V(s)

E(s). (89)

Nel dominio s il funzionamento dell 'ampli ficatore operazionale è caratterizzato dalla relazione

caratteristica (per il momento consideriamo un guadagno a ciclo aperto finito)

I + (s) = I− (s) = 0,

V(s) = AV0(s),(90)


dove A è il guadagno dell 'ampli ficatore.La corrente I 0(s)è data da:

I 0 =E + V0

R0, (91)

ed è uguale alla corrente totale che circola nel parallelo costituito dal resistore di resistenza R e dal

condensatore. Pertanto la tensione ˆ V del parallelo vale

ˆ V = I0R

RCs+1. (92)

Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni alla maglia costituita dalla porta di uscita “2” , dal

parallelo R//(1/sC) e dalla porta di ingresso dell 'ampli ficatore operazionale, si ottiene:

V + ˆ V + V 0 = 0. (93)

Figura 20

Usando la (92) e la (93) e la seconda delle (90), si ha il sistema:

V + R / R0

RCs+1+1

V0 = − R / R0

RCs+1E,

V − AV 0 = 0.

(94)

Risolvendo il sistema (94), si ottiene

V(s) = −R / R0

RCs+1−

1

A1+

R / R0

RCs+1

E . (95)

Nel limit e A → ∞ , la (95) diventa:

H(s) =V(s)

E(s)= k

1

s+ α, (96)

dove

k = − 1

R0C, α =

1

RC. (97)


Pur avendo il circuito in esame un elemento attivo, il polo della funzione di trasferimento è

negativo. Gli effetti dei resistori passivi compensano quelli dell 'elemento attivo e globalmente il

circuito è dissipativo. Pertanto, il circuito ha una risposta armonica del tipo descritta in §3. Siosservi, innanzi tutto, che è possibile, scegliendo opportunamente R0, R e C, realizzare, almeno in

principio, una risposta in frequenza con una ampiezza massima e una pulsazione a 3dB arbitrarie.

Il circuito considerato, nel caso limite A → ∞ può essere rappresentato attraverso il doppio bipolo

equivalente ill ustrato in figura 21: esso si comporta alla porta “1” come se fosse un resistore diresistenza R0 , (nel limit e A → ∞ , V 0 → 0 e quindi I 0 = E / R0), e alla porta “2” come se fosse

un generatore di tensione controllato in tensione (la tensione della porta “2” è indipendente dalla

corrente di uscita). La tensione di controllo è quella applicata in ingresso e la “costante di

proporzionalità” è la funzione di trasferimento.

Figura 21

Si considerino, ora, due circuiti del primo ordine, connessi così come è descritto in figura 22

(questo tipo di connessione prende il nome di connessione in cascata).

Figura 22 Connessione in cascata di due blocchi del tipo ill ustrato in figura 20.

Siccome il circuito N1 si comporta alla porta “2” come un generatore di tensione controllato dalla

tensione V1, il suo funzionamento è indipendente da ciò che è connesso alla porta “2” (cioè a

destra), e quindi

V2(s) = H1(s)V1(s) , (98)

dove

H1(s) = k11

s+ α1

, k1 = −1

R01C1

, α1 = 1/ R1C1. (99)

La relazione tra V2 e V3 è data da:

V3(s) = H2(s)V 2(s) , (100)


dove

H2(s) = k21

s+ α 2, k2 = − 1

R02C2

, α2 =1 / R2C2 . (101)

Combinando le (98) e (100) si ha la funzione di trasferimento dei due blocchi in cascata:

H(s) =V3

V1= H1(s) ⋅ H2(s) . (102)

Allora la funzione di trasferimento dei due blocchi in cascata è uguale al prodotto delle funzioni di

trasferimento dei singoli blocchi della cascata. Connettendo m circuiti del primo ordine, del tipo

appena descritto, in cascata, è possibile realizzare funzioni di trasferimento con m poli reali e

negativi “qualsiasi” .

Osservazione

Si considerino i due circuiti RC ill ustrati in figura 23a e 23b. Le loro funzione di trasferimento sono

H1(s) = α1

k1

s+ α1

, H2 (s) = α2

k2

s + α2

, (103)

dove α1 = 1/ R1C1 e α2 =1 / R2C2 . Si consideri ora il circuito rappresentato in figura 23c ottenuto

collegando la porta 2-2' del circuito N1 alla porta 1-1' del circuito N2. Quanto vale la sua funzione di

trasferimento H(s) = V3(s) / V1(s) ? Questa volta il funzionamento del circuito N1 dipende da cosa

è collegato alla porta “2” , e quindi è evidente che H(s) ≠ H1(s)H2(s) .

Figura 23

Interponendo tra il circuito N1 e il circuito N2 un generatore di tensione controllato in tensione,

come ill ustrato in figura 24, si ottiene


H(s) = βH1(s)H2(s) , (104)

dove:

H i(s) =αi

s+ αi

, αi =1 / RiCi i =1,2 . (105)

Figura 24

La presenza del generatore di tensione controllato in tensione fa si che: (a) la porta 2-2' del circuito

N1 non è “caricata” dalla porta 1-1' del circuito N2; (b) la tensione sulla porta 1-1' del circuito N2 è

direttamente proporzionale alla tensione sulla porta 2-2' del circuito N1. In questo caso il generatore

controllato oltre alla funzione di cambiare il guadagno, ha anche la funzione di disaccoppiare i due

circuiti di modo che la funzione di trasferimento globale è il prodotto delle funzioni di trasferimento

dei singoli blocchi.

- Un circuito del secondo ordine

Si consideri, ora, il circuito del secondo ordine rappresentato in Figura 25: i bipoli dinamici sono

due condensatori. Anche questo circuito può essere considerato come un doppio bipolo: l'ingresso è

la tensione della porta “1” e l'uscita è la tensione della porta “2” . Bisogna determinare la funzione di

trasferimento

H(s) =V(s)E(s)

. (106)

Figura 25

Si assuma fin da ora che il guadagno dell 'ampli ficatore operazionale sia infinito (A∅ ); in questo

limite si ha (amplificatore operazionale ideale):

V0 (s) = 0. (107)

Applicando la seconda legge di Kirchhoff si ha che, la tensione V(s) è uguale alla tensione V2 del

condensatore di capacità C2 e la tensione V R del resistore di resistenza R2 è uguale a V1 (in


entrambi i casi è stata usata la (107)). Inoltre, applicando la prima legge di Kirchhoff si ottiene

I = I1 + IR e I 2 = I

R. Pertanto si ha:

V1 =R2 /sC1

R2 +1 / sC1

I, V =1

sC2

I2 =1

sC2

V1

R2=

1

sR2C2

R2 / sC1

R2 + 1/ sC1

I. (108)

Applicando di nuovo la seconda legge di Kirchhoff si ha:

E = R1I + VR

+ V2 = R1I + R2 / sC1

R2 +1 / sC1I + R2 / sC1

R2 + 1/ sC1

1sR2C2

= [ R1R2C1C2s2 + (R1 + R2)C2s+ 1] V(s)

. (109)

Allora la funzione di trasferimento del circuito in esame è

H(s) =1

s

Ω

2

+1

Q

s

Ω

+1

, (110)

dove:

Ω2 = 1/ (R1R2C1C2), Q = R1R2C1C2 / [ (R1 + R2 )C2 ]. (111)

Il parametro adimensionale Q può essere sia maggiore che minore di uno, ma è sempre positi vo.

Essendo il circuito del secondo ordine, la funzione di trasferimento ha due poli . I due poli sono

certamente a parte reale minore di zero, perché il parametro Q è maggiore di zero. I poli della

funzione di trasferimento (110) sono complessi coniugati se Q>1, invece sono reali se Q<1; per Q=1

sono reali e coincidenti. Pertanto il circuito in esame, pur avendo solo elementi dinamici della stessa

natura, può avere poli ovvero pulsazioni naturali complesse coniugate. Ciò è possibile perché

l'ampli ficatore operazionale è un elemento non reciproco; questa questione è stata affrontata già nel

Capitolo 8. Quando i due poli sono complessi coniugati il parametro Q dato dalle (109) coincide con

il fattore di merito della coppia di poli; per Q>>1 il circuito di figura 25 è risonante.

Il circuito di figura 25 può essere rappresentato dal circuito equivalente ill ustrato in figura 26.L'impedenza Z0 (s) è data da

Z0(s) = R1 + 1+1

sR2C2

R2

R2C1s+1. (112)

Figura 26 Circuito equivalente del doppio bipolo di figura 25.

Considerando m circuiti di questo tipo in cascata, si realizza la funzione di trasferimento

H(s) = H1(s)⋅...⋅Hm(s) , (113)

dove la generica funzione H i (s) è del tipo (110) (ognuna di esse sarà caratterizzata da un particolare

valore di Q e di Ω).

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RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO - … in figura 1. Il circuito è costituito da un generatore, ad esempio, un generatore di tensione e=e(t), resistori, induttori, condensatori,