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Risikoteilung in der Schadenversicherungsmathematik
Frank Anna
21.12. 2011
Themenübersicht
Gründe zur Risikoteilung Risikoteilung zwischen VU und VN
– proportionale Risikoteilung– nichtproportionale Risikoteilung
Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer
Einfluss auf die Schadenvariablen
Warum Risikoteilung?
Der Ausschluss von Kleinschäden
Die Beeinflussung des moralischen Risikos
Weitere Gründe
Der Ausschluss von Kleinschäden
Im beiderseitigen Interesse
Kleinschäden erhöhen Verwaltungskosten und Regulierungsaufwand
Mehrkosten hat VN über Prämie auszugleichen
Die Beeinflussung des moralischen Risikos
VN hat die Möglichkeit, den Schadenverlauf zu beeinflussen
Motivation an Schadenverhütung durch finanzielle Selbstbeteiligung
Weitere Gründe
Der Versicherungsnehmer hält sich für „überdurchschnittliches“ Risiko
Er ist an Reduktion der Kosten interessiert Er möchte nicht ganz auf
Versicherungsschutz verzichten
Formen für Risikoteilung zwischen VN und VU
Proportionale Risikoteilung
Nichtproportionale Risikoteilung
Proportionale Risikoteilung
X = cX + (1-c)X , 0<c<1
X…Schadenvariable (Schadenhöhe pro Schadenfall oder Jahresgesamtschaden)
Proportionale Risikoteilung
Prozenttarife in der Krankenversicherung Unterversicherung Mitversicherung
Nichtproportionale Risikoteilung
X = min(X, a) + max(X-a, 0) , a>0
a…Teilungsgrenze min(X, a)…Erstrisiko max(X-a, 0)…Zweitrisiko
Nichtproportionale Risikoteilung
Abzugsfranchise Erstrisikodeckung Jahresfranchise Jahreslimits
Formen für Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer
VU, das anderem VU Versicherungsschutz gewährt, nennt man Rückversicherer
VU, das Originalpolizzen ausstellt, nennt man Erstversicherer
Man unterscheidet wieder zwischen proportionaler und nichtproportionaler Rückversicherung
Formen der proportionalen RV
Quoten-Rückversicherung Summenexzedenten-Rückversicherung
Formen der nichtproportionalen RV
Einzelschadenexzedenten-Rückversicherung
Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung
Jahresüberschaden-Rückversicherung oder Stop Loss
Kombination von RV-Formen
RV-Formen werden oft kombiniert, um– Schutz gegen Frequenzrisiko– Schutz gegen Großschadenrisiko
zu erreichen
Einfluss der Risikoteilung auf die Schadenvariablen
Problem bei nichtprop. Risikoteilung:Wie wirkt sich Risikoteilung auf Prämie aus?(nichtprop. Risikoteilung nur als Aufteilung von Schäden definiert)
bei proportionalen Risikoteilung hingegen handelt es sich um Aufteilung von Prämien und Schäden
Einfluss bei prop. Risikoteilung
an der Schadenzahlverteilung ändert sich nichts
Schadenhöhen werden proportional kleiner Beziehung der Dichten von cX ( ) und X ( ):
Momente bei prop. Risikoteilung
Variationskoeffizient und Schiefe
mit Momenten leicht berechenbar: Variationskoeffizient:
Schiefe:
Sie verändern sich durch proportionale Risikoteilung nicht.
Einfluss bei nichtprop. Risikoteilung
Einfluss auf die Schadenzahl
Einfluss auf die Schadenhöhe
Einfluss auf den Gesamtschaden
Einfluss auf die Schadenzahl
Schaden X = min(X, a) + max(X-a, 0)Erstrisiko:=Zweitrisiko:=
…Schadenzahl ohne Risikoteilung …Schadenzahl des Zweitrisikos
und haben oft selbe Verteilungstypen
Einfluss auf die Schadenzahl
Ist negativ-binomial verteilt, ist bei wachsender Schadengröße immer mehr poissonverteilt.
Dies sieht man wegen:
wird bei wachsendem a kleinerje seltener Zweitrisikoschäden, umso eher poissonverteilt
Einfluss auf die Schadenhöhe
Schadenhöhe des Erstrisikos
Verteilungsfunktion des Erstrisikos
Einfluss auf die Schadenhöhe
Momente:
Beziehung:
Variationskoeffizient: Schiefe:
Beziehungen:
Einfluss auf Schadenhöhe
Schadenhöhe des Zweitrisikos
Verteilungsfunktion
Einfluss auf den Gesamtschaden
Ges.schaden = Ges.erstrisiko + Ges.zweitrisiko
Erwartungswert und Varianz des Erstrisikos
Einfluss auf Gesamtschaden
Erwartungswert und Varianz des Zweitrisikos
Beziehung: wegen und folgt:
Einfluss auf Gesamtschaden
Beziehung der Varianzen:
Wegen
und weil und , werden die Varianzen immer kleiner, d.h.:
und .
Einfluss auf Gesamtschaden
Für die Standardabweichung gilt:
Diese Eigenschaft ist insbesondere im Vergleich zur proportionalen Risikoteilung, bei der gilt, interessant.
bei nichtprop. Risikoteilung keinerlei Zusammenhänge
Einfluss auf Gesamtschaden
Bei nichtproportionaler Teilung: Variationskoeffizienten des Erstrisikos
Variationskoeffizienten des Zweitrisikos
in folgender Beziehung:
Fazit
proportionale Risikoteilungwenig Einfluss auf Schadenvariablen
nichtproportionale Risikoteilungbedeutender Einfluss auf Schadenvariablen– verschiedene Manipulationen der
Verteilungsfunktionen– erfordert teilweise numerische Integration
VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT!!!