RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ

Rijit cismin kinetiği, cisme etki eden kuvvetler ile cismin

şekli, kütlesi ve bu kuvvetlerin yarattığı hareket

arasındaki bağıntıları inceler.

Parçacığın kinetiği konusunda cismi yalnızca kütle

merkezinden ibaret bir nokta gibi ele almıştık ve cisme

etkiyen tüm kuvvetler bu noktadan geçmek zorundaydı.

Rijit cisimde ise cismin gerçek boyutları ile birlikte,

kuvvetlerin cisme uygulandıkları noktaların yeri de göz

önüne alınacaktır.

Cismin tamamının yaptığı hareketin yanı sıra, cismin

kendi kütle merkezi etrafındaki hareketi de

incelenecektir.

Kütle-Kuvvet-İvme Bağıntıları Genel Hareket Denklemleri

Statikte, cisme etkiyen kuvvet sistemi keyfi olarak alınan

bir noktaya bir bileşke kuvvet ve bir bileşke kupl

momenti olarak indirgenebiliyordu.

Yani kuvvet sistemi sonsuz sayıda bileşkeyle yer

değiştirebiliyordu. Eğer bu keyfi noktayı rijit cismin G

kütle merkezi olarak alır ve bileşkeyi bileşke kuvvetin

doğrultusu bu noktadan geçecek şekilde yerleştirirsek dış

kuvvet sisteminin etkisine cismin verdiği dinamik yanıtı

(Dynamic Response) aşağıdaki gibi canlandırabiliriz:

1) Cisme etkiyen dış kuvvetlerin gösterildiği SCD

2) Bileşke kuvvetin G’ ye indirgendiği eşdeğer kuvvet-kupl diyagramı

3) Bunların sonucunda cismin bunlara verdiği dinamik yanıt (davranış)-Kinetik

diyagram

SCD Eşdeğer Kuvvet-Kupl Diyagramı Kinetik Diyagram

GG HM

amF

(a) (b) (c)

RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKET DENKLEMLERİ

xy düzleminde genel hareket yapan cismin G kütle merkezi doğrusal

ivmesine ve cisim açısal hızı ve açısal ivmesine sahip olsun. Genel

hareket yapan bu cismin G kütle merkezine göre açısal momentumunun

neye eşit olduğunu çıkaralım ve daha sonra zaman türevini alalım.

Cismi oluşturan parçacıklardan herhangi birini temsilen mi parçacığını dikkate

alalım. Bu parçacığın G’ ye göre açısal momentumu:

GH

iiiGi mH

iii v

kjiii

sincos

iiiGi mH

i

: mi parçacığının G’ye göre konum vektörü

mi parçacığının hızı

a

Rijit cismin G’ ye göre açısal momentumu, onu oluşturan tüm parçacıkların G’ ye

göre açısal momentumlarının toplamına eşit olacaktır.

I katı cismin G’ ye göre (veya G’ den geçen ve şekil düzlemine dik olan z eksenine

göre) kütle eylemsizlik (atalet) momentidir.

IHkIH

kmkmH

iiimjiim

jikmjimHH

GG

I

iiiiG

iiiiiiGiG

2

1

222 sincos

sincos

sincossincos

22

1

2 kgmIdmmI

i

n

m

n

iii

Idt

dII

dt

d

dt

HMHM G

GGG

IMG

Analiz Yöntemi

Rijit cisimlerin hareketleri ile kuvvet-kütle-ivme problemleri çözülürken

aşağıdaki sıra izlenir:

1) Kinematik : Öncelikle ne tip bir hareket olduğu tanımlanmalı ve

bilinmeyen gerekli doğrusal-açısal ivme değerleri kinematik bağıntılar

kullanılarak belirlenmelidir.

2) Diyagramların çizilmesi : SCD ve kinetik diyagram oluşturulup

uygun eksen takımı seçilmelidir.

3) Hareket denklemlerinin uygulanması ( , ) amF

IM G

dm

r

O

O

Kütle Atalet Momenti

dm kütleli sonsuz küçük bir elemanın OO eksenine göre kütle atalet momenti dI

m kütleli cismin toplam atalet momenti I ise

dmrdI 2

dmrdII 2 I her zaman pozitiftir, birimi kg.m2’ dir.

Paralel Eksenler Teoremi:

Kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momenti biliniyorsa, herhangi bir eksene göre kütle atalet momenti;

2mdIIO

G

Od

Bazı Geometrik Şekillerin Kütle Atalet Momentleri

Jirasyon (Atalet) Yarıçapı

Bir doğruya göre kütle atalet momenti:

m

IkmkI 2

k : jirasyon yarıçapı

İnce Çubuk İnce dairesel plaka İnce dikdörtgen plaka

1) ÖTELENMEa) Doğrusal Ötelenme (Rectilinear Translation):

damM

M

M

dkP

dkA

dkG

0

0 xkdx

kd

amF

amF

..

..

G

“m”F1

F2

F3

Fn

G

“m”

SCD Kinetik Diyagram

G’ nin yörüngesi

P

d

PdA

A

x

xam

x

b) Eğrisel Ötelenme (Curvilinear Translation):

Cismin G kütle merkezinin eğrisel bir yörünge izlemesi kendisinin açısal bir hareket yaptığı anlamına gelmez.

G

“m”F1

F2

F3

Fn

G

“m”

SCD Kinetik Diyagram

G’ nin yörüngesi

AdB rmam t

rmam n2

t

n

B

t

n

nkdn amF ..

tdkt

amF

BtdkB

AndkA

dkG

damM

damM

M

0

dA

+

+

G

2) SABİT EKSEN ETRAFINDA DÖNME

Hareket denklemleri; Kuvvet denkleminin skaler bileşenleri;

O noktasındaki mesnet tepkisi SCD’ nda unutulmamalıdır.

amF

IM G

SCD Kinetik Diyagram

rmFrmFnt

2,

Sabit bir O noktası etrafında dönme hareketinde, cismin tüm noktaları dönme ekseni

etrafında daireler çizerler, cismin yine tek bir ve ’ sı vardır. n-t koordinatlarda kütle

merkezi G’ nin ivme bileşenlerine ve dersek ve olur. SCD ve

kinetik diyagram da şekildeki gibi elde edilir.

na ta rat 2ran

Sabit eksenli dönme hareketinde, moment denkleminin doğrudan O noktasına uygulanması bazen kolaylık sağlar.

SCD Kinetik Diyagram

oO IM tO armIM 2rmIIO Paralel eksenler teoreminden;

2rmII O

OOO IrrmrmIM 2

Eğer dönme ekseni G’ den geçiyorsa 00 Fvea

olur, sadece

IM G kalır.

3) GENEL DÜZLEMSEL HAREKET Ötelenme ve dönmenin birlikte olması halidir.

Herhangi bir P noktasına göre yazılan alternatif moment denklemi de kullanılabilir:

SCD Kinetik Diyagram

amF

IM G

Hareket denklemleri;

damIM P

PROBLEMLER

1. Düzgün 30 kg OB çubuğu O’daki mesnet ve A’daki tekerlek ile

yatayla 30o yapacak şekilde ivmelenen çerçeve üzerine monte

edilmiştir. Çerçevenin yatay ivmesi a=20 m/s2 ise tekerleğe

uygulanan FA kuvveti ile O’daki pime gelen kuvvetin x- ve y-

bileşenlerini hesaplayınız.

PROBLEMLER

2. A bloğu ve ona bağlı çubuk toplam 60 kg kütleye sahiptir ve 800

N’luk etkisi altında 60o’lik kılavuz boyunca hareket etmektedir.

Düzgün yatay çubuğun kütlesi 20 kg olup B noktasında bloğa

kaynaklanmıştır. Kılavuzdaki sürtünme ihmal edilebilir. B noktasında

kaynaktan çubuğa etkiyen M momentini hesaplayınız.

ÇÖZÜM

x

W=60(9.81) N

60o

N

SCDKinetik Diyagram

x

2/84.4

6060sin)81.9(60800

sma

amaF

x

xxx

Çubuğun SCD

Bx

By

M

W1=20(9.81) N

Çubuğun KD

mTax=60ax

m1ax=20ax

2/196

)60sin7.0)(94.4)(20(7.0)81.9(20

smM

MdmaM xB

PROBLEMLER

3. Paralelkenar mekanizma hem plaka hem de EF çubuğuna kaynaklanan

bir pimle E noktasında plakaya bağlanan düzgün 8 kg kütleli EF çubuğu ile

birlikte düşey düzlemde hareket etmektedir. Kolları hareket ettirmek

üzere, saat yönünde bir moment (şekilde görülmüyor) AB koluna

uygulanmaktadır. 60o’ye ulaştığında kolların açısal ivmesi ve hızı

sırasıyla 6 rad/s2 ve 3 rad/s’dir. Bu an için E’deki pime etkiyen F kuvveti ile

M momentini hesaplayınız.

PROBLEMLER

4. 100 kg kütleli düzgün kütük iki kablo ile taşınmaktadır ve şahmerdan

olarak kullanılmaktadır. Eğer kütük görülen konumdan serbest

bırakılıyorsa serbest bırakıldıktan hemen sonra her bir kablodaki çekme

kuvvet ile kabloların açısal hızını hesaplayınız.

ÇÖZÜM

W=100(9.81) N

SCD Kinetik Diyagram

TA TB

nam

tam

+n

+t

+n

+t

Harekete başladığı anda v=0, =0 fakat ≠0 02 ran

2

..

..

/905.430sin

57.849030cos0

smaammgamF

TTmgTTF

tttkdt

BABAkdn

2/45.22

905.4sradrat

Kablo uzunluğu

NTNT

TTTTM

BA

BABAkdG

17.63739.212

30)5.0(60sin)5.1(60sin0..

Kütük eğrisel öteleme hareketi yapıyor.

*

*

PROBLEMLER

5. 18 kg kütleli düzgün üçgen plaka AB ve CD kabloları ile taşınmaktadır.

Plaka görülen konumda iken kabloların açısal hızı s.i.t.y. 4 rad/s’dir. Bu

anda, plakanın kütle merkezinin ivmesi ile her bir kablodaki çekme

kuvvetini hesaplayınız.

G10 cm

A

B

C

D60°60°

24

cm

20 cm 20 cmCevap:

NTNT

sma

CDAB 93.7811.143

/23.6 2

6. 8 kg düzgün ince çubuk O’dan geçen yatay bir mile mafsallanmıştır ve

yatay konumdan serbest bırakılmaktadır. Başlangıç açısal ivmesinin 16

rad/s2 olması için kütle merkezinden O’ya olan b mesafesi ile serbest

bırakıldıktan hemen sonra O’daki tepkileri hesaplayınız.

PROBLEMLER

PROBLEMLER

7. Yay, düzgün çubuk düşey konumda iken serbest konumundadır.

Çubuk görülen konumdan siy’de 30o döndürüldüğü konumdan serbest

bırakıldığında çubuğun başlangıç açısal ivmesini hesaplayınız. Yaydaki

çökmeyi ve yayın kütlesini ihmal ediniz.

ÇÖZÜMYayın serbest uzunluğu: llllo 2

5)4/2( 22

=30o iken yay uzunluğu:

ll yay 2

3

=30o iken yay kuvveti:

2

3

2

5

2

3

2

5klllkFyay (Bası

)

l

g

m

k

lamml

lF

lmg

amIM

l

tyay

tO

857.0864.0

412

1

2460cos

4

2

W

O

G+n

+t

On

Ot

30o

30o

l

Fyay

60o

.

lyayG

+n

+t

04

2 l

mam n

tamI

60o

8. Şekildeki mekanizmada volanın kütlesi 50 kg ve merkezine göre atalet (jirasyon)

yarıçapı 160 mm’ dir. 10 kg kütleli AB piston kolu üniformdur. Pistonun kütlesi is 15

kg’ dır. T kuplu volanı 50 rad/s sabit açısal hız ile s.i.t.y. ‘nde döndürmektedir.

=53o konumunda AB piston kolunun açısal hız ve açısal ivmesini, piston koluna A

ve B pimlerinden etkiyen kuvvetleri hesaplayınız. Sürtünmeyi ihmal ediniz.

sin 53=0.8, cos 53=0.6 alınız.

PROBLEMLER

9. AB elemanı bir tork tarafından (şekilde görülmüyor) sabit =10 rad/s açısal hızı

ile döndürülmektedir. AB elemanı, 3 kg kütleli D dişli çarkını döndüren 6 kg kütleli

BC elemanını hareket ettirmektedir. Dişli çarkın C’ye göre jirasyon yarıçapı 200

mm’dir. Dişli çarkın yarıçapı r=250 mm olarak verilmektedir. Görülen anda, C ve B

pimlerine gelen kuvvetleri hesaplayınız.

PROBLEMLER

PROBLEMS

10. 20 kg kütleli dengelenmemiş volanın kütle merkezine göre atalet

(jirasyon) yarıçapı 202 mm’dir. 20o’lik eğik düzlemden aşağı doğru

kaymadan yuvarlanmaktadır. Görülen konumda volanın açısal hızı 3

rad/s’dir. bu anda volana etkiyen sürtünme kuvvetini hesaplayınız.

ÇÖZÜM“Genel

Hareket”SCD

N

mg

Fs

KD

=

am

I

222816.0)202.0(20 kgmkmI

25.0 rao

25.0 raox x

y

jia

ikkikiaaa

yxaa

G

OGOG

075.0675.025.0

075.033075.025.0/

604.805

675.025.02020sin

F

FmgamF xdkx

5.1367.184

075.02020cos

N

mgNamF ydky

816.0)25.0()075.0( FNIMdkG

NN

NF

srad

971.160

617.2

/597.15 2

11. Üniform 15 kg çubuk kütlesi ihmal edilen küçük bir tekerlek ile yatay

yüzeyde A noktasına dayanmaktadır. B ucu ve düşey yüzey arasındaki

kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise görülen konumdan serbest bırakıldığı

andaki A ucunun başlangıç ivmesini hesaplayınız.

PROBLEMLER