Rigidez de arboles

8/3/2019 Rigidez de arboles

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Apuntes elaborados por:

Dr. Gonzalo Gonzlez ReyEmail: [email protected]

Profesor Principal de Elementos de Mquinas

Facultad de Ingeniera Mecnica

Instituto Superior Politcnico Jos Antonio Echeverra (ISPJAE)

Experto de ISO TC60 y Miembro Acadmico de AGMA

Vicepresidente del Comit de Normalizacin Cubano de Elementos de Mquinas.

Ciudad Habana Diciembre 2007CUJAE FACULTAD DE INGENIERA MECNICA


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Comprobacin de rigidez en ejes y rboles de transmisin. Dr. Gonzalo Gonzlez ReyCUJAE. Facultad de Ingeniera Mecnica

1

INTRODUCCIN.

En estos apuntes se pretende dar una breve explicacin, y a la vez suficiente, para realizar un clculobsico de verificacin en los casos de ejes y rboles de transmisin con mayor posibilidad de hallar en elejercicio cotidiano de un diseador mecnico. Adems, es conveniente aclarar que las orientaciones yprocedimientos solo sern referidos a rboles y ejes de acero, rectos con formas cilndricas y sujetos adeformaciones elsticas.

Como se conoce, la deformacin en estos elementos de mquinas es la desviacin de un rbol o eje desu forma original o ideal. Todos los rboles y ejes se deforman cuando soportan cargas que a su vezgeneran esfuerzos en sus secciones. Para una aplicacin particular, la deformacin puede ser tanpequea que quizs no pueda ser medida por los mtodos tradicionales, como es el caso de ejes conpequea distancia entre apoyos o rboles con un diseo extremadamente rgido, o una deformacin tanapreciable que pueda ser observada a simple vista, como puede ser caso de ejes poco rgidos concargas en voladizo.

La deformacin puede ser la causa de la desalineacin de los componentes montados en los rboles yejes, del mal funcionamiento de los sellos, la alteracin del trabajo de los cojinetes y un mal contactoentre los dientes de los engranajes, entre otros efectos. Lo anterior, crea la necesidad de que los rbolesy ejes deban ser diseados para garantizar que la deformacin elstica, surgida en ellos bajo carga, seencuentre entre lmites admisibles que garanticen la operacin adecuada de los componentes a ellosvinculados.

Se entiende por un rbol o eje rgido aquel con capacidad de resistir la accin de las cargas exteriorescon mnimas deformaciones, aunque en sentido general puede formularse la siguiente definicin: larigidez es la capacidad del elemento de resistir la accin de las cargas exteriores con deformaciones queno superen los valores admisibles que alteran la capacidad de trabajo del sistema.

La rigidez de un elemento se aprecia por el coeficiente de rigidez C, que representa la relacin entre la

carga aplicada y la deformacin que produce en el elemento. A continuacin se presentan los trescoeficientes de rigidez con mayor aplicacin en los clculos de comprobacin de las deformacioneselsticas en rboles y ejes.

1) Coeficiente de rigidez a la flexin segn criterio de deflexin:y

MC fFy = (Nm/mm)

2) Coeficiente de rigidez a la flexin segn criterio de ngulo de giro:F

fF

MC

= (Nm/)

3) Coeficiente de rigidez a la torsin:T

tT

MC

= (Nm/)

Siendo:

MT: Momento torsor, (Nm).MF: Momento flector, (Nm).F : ngulo de giro de la seccin o inclinacin, ().T : ngulo de distorsin por torsin, ()y : deflexin o desplazamiento por flexin, (mm)

En la mayora de los diseos de rboles y ejes la verificacin del criterio de rigidez permite una valoracinde la racionalidad del sistema de apoyo empleado, de las secciones y su escalonamiento. Es importanteque el aumento de la rigidez no vaya acompaado del crecimiento desmedido del peso de las piezas. Engeneral la solucin al problema de aumentar la rigidez de los rboles y ejes transita por el reforzamientode los sectores de las secciones que experimentan los esfuerzos mayores y la eliminacin oaligeramiento de los sectores no cargados o poco cargados, as como una disposicin racional de losapoyos.


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2

Por ejemplo, el empleo de un sistema de apoyo que favorezca la disminucin de los momentos flectores,desechando siempre que sean posibles las soluciones con cargas en voladizo, es en la mayora de las

veces una solucin racional al problema de aumentar la rigidez de los rboles y ejes sin incremento delpeso del conjunto. En la Figura 1 se muestra un ejemplo de cmo colocar una rueda dentada sobre dosapoyos, en este caso una disminucin en 3 veces de la distancia entre apoyos provoca que losmomentos flectores y los esfuerzos normales mximos disminuyan tambin 3 veces, mientras que eldesplazamiento (deflexin) mximo por flexin se reduce en 27 veces.

Fig. 1 Disminucin de la distancia entre los apoyo para aumentar la rigidez del eje de una ruedadentada en una transmisin por engranaje.

En ocasiones, cuando es inevitable el empleo de montajes en voladizo, puede lograrse una disminucinconsiderable de la distancia en voladizo variando la forma de la pieza. Por ejemplo, la Figura 2 muestraun ejemplo de solucin racional para disminuir el voladizo en el rbol que soporta una rueda dentadacnica. El voladizo inicial de la rueda cnica sobre el rbol (Fig. 2, a) puede disminuirse mediante elcambio de la posicin del cubo con relacin a la corona dentada (Fig. 2, b) o empleando una ruedatallada de una sola pieza con el rbol (Fig. 2, c).

Fig. 2 - Soluciones constructivas para disminuir el voladizol

en la rueda cnica y hacer ms rgido elsistema con menor deformacin por deflexin en el rbol.

En el caso de rboles y ejes, es usual valorar la rigidez suficiente realizando una evaluacin de ladeformacin y comparndola con el valor de deformacin admisible, segn se muestra en los siguientes 3criterios de verificacin de la rigidez en rboles y ejes:

1) ][yy

2) [ ]FF

3) [ ]TT


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3

2- COMPROBACIN DE LA RIGIDEZ A LA TORSIN.

Como se conoce, la deformacin torsional es cuantificada a partir del ngulo de distorsin T y puede ser

calculado con empleo de la siguiente frmula, cuyos parmetros son identificados en la Figura 3.

=

o1801000

oIG

LMtT ()

Donde:Mt: Momento torsor, (Nm).L: Longitud de igual I0 y que soporta una misma carga Mt, (mm).G: Mdulo de rigidez. Para el acero G = 79 300 Mpa.I0: Momento polar de inercia, (mm

4).

Fig. 3 - Esquema de la deformacin torsional.

En caso de secciones de acero la anterior frmula quedara como:

4

36.7

d

LtMT

= () para el caso de secciones cilndricas macizas

40

4

36.7

dd

LtMT

= () para el caso de secciones cilndricas huecas

En general, el ngulo de distorsin entre dos secciones puede ser calculado mediante la suma de losdiferentes ngulos de distorsin que intervienen entre las secciones analizadas, como:

onI

nG

nLtnM

oIG

LtM

oIG

LtM

oIG

LtMT

++

+

+

= ........

33

33

22

22

11

11 (rad)

Donde:Mt1, Mt2, Mt3: Torsor en las secciones i = 1, 2 y 3 (Nm).Mtn : Torsor en la seccin n

ma (Nm).L1, L2, L3: Longitud de las secciones i= 1, 2 y 3 (mm).Ln : Longitud de la seccin n

ma (Nm).G1, G2, G3: Mdulo de rigidez de las secciones i= 1, 2 y 3 (Mpa).Gn : Mdulo de rigidez de la seccin n

ma (Nm).Io1, Io2, Io3: Momento polar de inercia en las secciones i= 1, 2 y 3 (Nm).Ion: Momento polar de inercia de la seccin n

ma (Nm).

L

T

d

Mt

Mt

Momento de inercia polar parauna seccin circular hueca, condimetro exterior d y dimetrointerior do.

32

44

0

=odd

I


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4

En el caso particular de rboles de acero macizos, empleados para la transmisin de un mismo valor demomento torsor, el ngulo de distorsin entre dos secciones puede ser calculado mediante la siguientefrmula:

++++=4

......4

3

34

2

24

1

136,7nd

nL

d

L

d

L

d

LtMT ()

El ngulo de distorsin admisible para los rboles se determina por diversos criterios. Generalmente serecomienda como un valor de ngulo por metro del rbol.

a)- Mquinas herramientas de roscar, talladoras de engranaje y mquinas divisoras:

LT =o10,0][ () , Siendo L la longitud del rbol en metros.

b)- Para los husillos de las maquinas de taladrar:

( )L

DT

=

25...20

1o (), Siendo Dy L el dimetro exterior y la longitud del husillo en metros.

c)- Para rboles de transmisin en los mecanismos de desplazamiento de las gras de puente:( ) LT = 30,0...25,0 (). Siendo L: longitud en metros del rbol de transmisin.

d)- Para rboles de transmisin en general:( ) LT = 0,2...25,0 (). Siendo L: longitud en metros del rbol de transmisin.

En la Figura 4 es mostrado como enfrentar el clculo del ngulo de distorsin en un rbol conescalonamiento de sus secciones.

++

+++++=

HGFGFEDCBA

HA0

H

0

G2

0

F

0

E

0

D

0

C

0

B

0

AT I

L

I

LMt

I

L

I

L

I

L

I

L

I

L

I

LMt

G

1000

Fig. 4 - Clculo del ngulo de distorsin T entre la seccin A y la H de un rbol con escalonamiento.Ntese la necesidad de identificar con precisin las secciones con diferentes valores de Io, y delas magnitudes de Mty L asociadas a ellas

Reshetov, D., Elementos de Mquinas, Edit. Pueblo y Educacin, Habana, 1985

HGFEDCBAT HA +++++++=


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3. COMPROBACIN DE LA RIGIDEZ A LA FLEXIN.

La deflexin o desplazamiento por flexin, identificado por y es la deformacin elstica medidaperpendicularmente al eje original del rbol sin carga. Adicionalmente en los casos de flexin se produceuna inclinacin de las secciones que soportan carga, a este efecto se le denomina ngulo de giro de laseccin o inclinacin, identificada con F. Ver Figura 5.

La consideracin de la homogeneidad del material es prcticamente aplicable a rboles y ejes que sonfabricados generalmente en su totalidad de un mismo material. As, siempre que se est considerando unmaterial homogneo y una viga de seccin uniforme, con conocimiento de la ecuacin del momentoflector Mfx(z) a lo largo del rbol o eje, puede ser calculada la deformacin que se produce en cada puntodel elemento a lo largo de su eje geomtrico con empleo de las integrales planteadas en la Figura 5.

Fig. 5 - ngulo de giro de la seccin F y deflexin yen secciones cargadas con un momento flector Mf.

Con la intencin de facilitar los clculos, muchas veces los rboles y ejes son analizados como vigas deseccin circular uniforme, segn se muestra en la Figura 6, de tal forma, que pueda ser evaluada ladeformacin con empleo de una viga equivalente y un nico valor de momento de inercia a la flexin Ix.

El criterio empleado para formular la longitud equivalente est basado en la igualdad de lasdeformaciones producidas en el elemento original y en el elemento virtual, considerando las seccionesapoyadas en sus extremos. Es conveniente saber que la sustitucin del rbol e eje escalonado por unabarra de dimetro constante brinda una rigidez equivalente algo menor, la cual puede reportardeformaciones mayores que las reales, pero a la vez, clculos ms conservadores y simples

Para la ejecucin de clculos de rigidez ms exactos pueden emplearse los coeficientes de reduccin(Ired/I) en la modificacin de las cargas externas y los esfuerzos interiores en los lugares de conjugacinde los diferentes escalones, as como con el empleo del mtodo de integracin grfica

Pisarenko, g., Manual de Resistencia de Materiales, Pag. 249-250, Editorial MIR, 1985 Shigley, J. E., El Proyecto en Ingeniera Mecnica, Pag. 61 - 63, Edicin Revolucionaria, Habana, 1969

y

F

MfMf

( ) =z

zdxIE

zfM

Fx

0

( )

=z z

zdxIE

zfMy x

0 0

Z


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6

64

448

3

64

448

3

48

3

48

3

dE

LF

equivdE

eLF

xIE

eLF

xIE

LFy

equiv

=

=

=

=

as: 34

4

4

3

4

3

d

equivd

eL

d

L

equivd

eL ==

Fig. 6 - rbol original y equivalente segn el criterio de igual deformacin por flexin. Ntese que lascargas son ubicadas de forma proporcional a las dimensiones longitudinales en las mismassecciones que son cargadas externamente.

A continuacin, se presentan varios casos simples y comunes de cargas que producen flexin en rbolesy ejes. El inters en presentar estos cuatro casos, es que ellos permiten analizar las deformaciones queproduce una carga determinada por separado en el sistema analizado, para posteriormente calcular ladeformacin total como la suma de las deformaciones que produce cada carga en el punto de inters.Otras ecuaciones de la lnea elstica y ngulos de giro de las secciones pueden ser encontradas en laliteratura especializada

Pisarenko, G., Manual de Resistencia de Materiales, Pag. 268-284, Editorial MIR, 1985

F1F3

34

4

d

equivdLeL =

d5

d1d2d3d4

d6

L1L2L3L4L5L6

123456

rboloriginal

F1

F2

F3

F4

6 5 4 3 2 1

Vigaequivalente

F2F4

L1e= L1L2eL3eL4eL5eL6e

dequv= d1

y

L

F


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7

3.1 - Fuerza concentrada entre apoyos.

La Figura 7 es un esquema de un rbol (o eje) simplemente apoyado con una fuerza concentrada

aplicada entre sus apoyos. La fuerza y las reacciones se asumen actuando con direccin perpendicular aleje geomtrico del rbol. Adems se considera que no existe deflexin en los apoyos (cojinetes).

Fig. 7 - Deflexin producida por una fuerza concentrada aplicada entre los apoyos de un rbol.

Como puede ser comprendido, las frmulas para el clculo de la deformacin por flexin, en un rbol (oeje) simplemente apoyado y que soporta una carga entre apoyos, son diferentes en dependencia de laposicin que ocupa la fuerza aplicada con relacin a la seccin que se analiza.

Para: x < a y (L a) > a , se obtiene

( )

LxIE

aLaxaLxF

y

+

=6

222

( )

o180

6

2223

+

=L

xIE

aLaxaLF

F

Para: x > a y (L a) > a , se obtiene

( )

LxIE

aLxxxLaF

y

+

=6

222

o180

6

222236

=LxIE

aLxxLaF

F

Donde:y: defleccin (flecha) en la posicin x(mm). Valores positivos de ycorresponderan con una

deformacin opuesta a la forma que se muestra en las Figuras 7, 8, 9 y 10).

F: Fuerza concentrada (N). Valores positivos de Fcorresponderan con una carga aplicada hacia abajo,segn se muestra en las Fguras 7 y 8.L: Distancia entre apoyos (mm).a: Distancia desde la carga hasta el apoyo ms cercano (mm).x: Distancia desde el apoyo ms cercano a la carga hasta la seccin transversal de interes (mm).E: Mdulo de elasticidad longitudinal del material (Mpa). Para el acero, E = 2,07 x 105 Mpa. En rboles

sometidos a elevadas temperatura debe tenerse en cuenta que el valor puede dismuir linealmentehasta E = 1,60 x 105 Mpa a 500C.

F : ngulo de giro de la seccin en la posicin x (). Valores positivos de F corresponden a un giro ensentido horario.

IX : Momento de inercia a flexin con relacin al eje X (mm4). Para seccin circular:

64

44

=odd

XI

,


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8

3.2 - Fuerza concentrada aplicada en voladizo.

La Figura 8 es un esquema de un rbol (o eje) simplemente apoyado con una fuerza concentrada

aplicada en voladizo. La fuerza y las reacciones se asumen actuando con direccin perpendicular al ejegeomtrico del rbol. Adems se considera que no existe deflexin en los apoyos (cojinetes).

Fig. 8 - Deflexin producida por una fuerza concentrada aplicada en voladizo.

Las frmulas para el clculo de la deformacin por flexin, en un rbol (o eje) con carga concentrada envoladizo, son diferentes en dependencia de la seccin que se analiza.

Para x < L :

LxIE

xLaF

F

=6

232

Para x > L :

( ) ( ) ( )x

2

IE6Lx3aLxLxFy

=

( ) ( )

xIE

LxaLxF

F

=6

4623

3.3 - Momento flector concentrado aplicado entre apoyos.

La figura 9 es un esquema de un rbol (o eje) simplemente apoyado con un momento flector concentradoy aplicado entre apoyos. Las reacciones se asumen actuando en direccin perpendicular al ejegeomtrico del rbol. Adems se considera que no existe deflexin en los apoyos (cojinetes).

Fig. 9 - Deflexin producida por un momento concentrado aplicado entre los apoyos de un rbol.

LxIE

xLxaF

y

=6

22


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9

Las frmulas para el clculo de la deformacin por flexin, en un rbol (o eje) simplemente apoyado yque soporta un momento entre apoyos, son diferentes en dependencia de la posicin que ocupa la fuerzaaplicada con relacin a la seccin que se analiza.

Para x < a:

LxIE

xaLLaxM

y

=6

2232261000

LxIE

xaLLaM

F

=6

23232261000

Para x > a:

LxIE

xLxLxaLaMy

+=6

323

22

23

231000

LxIE

xLaxLM

F

=6

23222361000

Donde:M: momento concentrado (Nm). El valor positivo del momento concentrado corresponde con el

sentido horario (ver Figuras 9 y 10).

3.4 - Momento flector concentrado aplicado en voladizo.

La Figura 10 es un esquema de un rbol (o eje) simplemente apoyado con un momento flectorconcentrado aplicado en voladizo. Las reacciones se asumen actuando en direccin perpendicular al ejegeomtrico del rbol. Adems se considera que no existe deflexin en los apoyos (cojinetes).

Fig. 10 - Deflexin producida por un momento flector concentrado aplicado en voladizo.

Las frmulas para el clculo de la deformacin por flexin, en un rbol (o eje) simplemente apoyado yque soporta un momento flector en voladizo, son diferentes en dependencia de la posicin que ocupa lafuerza aplicada con relacin a la seccin que se analiza.


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10

Para x < L:

LxIE

xLxM

y

= 6

221000

LxIE

xLM

F

=6

2321000

Para x > L:( ) ( )

xIE

xLxLMy

=

6

31000

( )

xIE

LxMF

=

6

461000

3.5 Valores admisibles de deformaciones por flexin

Como antes se ha dicho, la verificacin de la rigidez de los rboles y ejes consiste en realizar unaevaluacin de la deformacin y compararla con el valor de deformacin admisible que permite un trabajoconveniente de los elementos asociados al rbol o eje.

Generalmente, la deflexin producto de las cargas influye poco en el trabajo de las transmisioneselsticas, por eso los rboles y ejes de las transmisiones por correas y por cadena no se disean bajo elcriterio de rigidez, aunque si se verifican las deformaciones angulares que se producen en los apoyos.Los desplazamientos elsticos en los rboles de las transmisiones por engranajes producen unainclinacin mutua de las ruedas y una concentracin de carga a lo largo de los dientes engranados y unadisminucin de la duracin del dentado.

La rigidez de los rboles y ejes que giran en cojinetes de deslizamiento no autoalineados ha de sersuficiente para asegurar la uniformidad necesaria de distribucin de la presin a lo largo de los cojinetes.Un clculo simplificado para estos casos supone que el ngulo de giro admisible en el apoyo seseleccione como aquel que no permita el contacto con extremos del apoyo.

apoyol

ejedbujeD

Fmaxmim

=][ (rad)

o180][

=

apoyol

ejedbujeD

Fmaxmim ()

Por supuesto, que el anterior clculo no puede considerarse bastante argumentado, pues lasdeformaciones por contacto y los ngulos de giro de las secciones son conmensurables con las holgurasen los cojinetes. Un clculo ms exacto requiere el estudio del problema dinmico y el contacto en elconjunto rbol - cojinete.

La rigidez de rboles y ejes, que giran en cojinetes de bolas, ha de ser tal que las bolas no resultenacuadas a causa de la alteracin de la axialidad de los aros exterior e interior del cojinete. En caso decojinetes de rodillos, se debe asegurar una distribucin bastante uniforme de la presin a lo largo de loselementos rodantes.

En general, existen dependencias empricas de las deflexiones y ngulos de giros admisibles, muchas deellas asociadas a casos particulares de la Ingeniera Mecnica. En diseos donde se desea realizar un

F Giro de seccinadmisible en un cojinetede deslizamiento


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clculo exacto de la rigidez requerida, debe ser desarrollado un estudio que revele el valor dedeformacin elstica limitadora de la capacidad de trabajo del conjunto analizado.

A continuacin, son dadas algunas recomendaciones de las deformaciones admisibles por flexin. Para rboles y ejes con ruedas dentadas:

- Segn Reshetov: ( ) Ly = 0003,00002,0][ , siendo L: longitud entre apoyos.[F] = 0,001 rad = 0,057

- Segn Dobrovolski my = )03,0...01,0(][ , siendo m: mdulo mnimo de las ruedas en el rbol.

Para apoyos con cojinetes de deslizamiento:- Segn Reshetov y Dobrovolski: [F] = 0,001 rad = 0,057

Para apoyos con cojinetes de rodamientos:Rgidos de bolas

-Segn Reshetov: [F] = 0,01 rad = 0,57

-Segn Dobrovolski: [

F] = 0,008 rad = 0,46-Segn firma FAG: [F] = 0,002 ... 0,005 rad = 0,13... 0,26'

-Segn firma Koyo: [F] = 0,002 ... 0,003 rad = 0,13... 0,20De rodillos cilndricos

-Segn firma FAG: [F] = 0,0005 ... 0,0021 rad = 0,03... 0,12-Segn firma Koyo: [F] = 0,0006 ... 0,0012 rad =0,03... 0,07

De rodillos cnicos s

-Segn firma FAG: [F] = 0,0005 ... 0,0021 rad = 0,03... 0,12-Segn firma Koyo: [F] = 0,0003 ... 0,0017 rad = 0,017 ... 0,067

Oscilante de doble fila de rodillos radiales.

-Segn Reshetov y Dobrovolski: [F] = 0,05 rad = 2,86-Segn firma FAG: [F] = 0,009 ... 0,035 rad = 0,5... 2,0-Segn firma Koyo: [F] = 0,002 ... 0,003 rad = 1,0... 2,0

Para rboles de cajas de velocidades convencionales:-En el plano de las ruedas dentadas [y] = 0,05 ... 0,1 mm y [F] = 0,002 rad = 0,11 -En el plano contenedor de los rboles [y] = 0,1 ... 0,15 mm y [F] = 0,002 rad = 0,11 -Deflexin resultante [y] = 0,2 mm y [F] = 0,002 rad = 0,11

Para rboles y ejes de aplicacin general:- [y] = (0,001 ... 0,003) . L

Reshetov, D., Elementos de Mquinas, Editorial Pueblo y Educacin, Habana, 1985 Dobrovolski, V., Elementos de Mquinas, Editorial MIR, Mosc, 1976 FAG, Programa Standard FAG, Catalogo WL 41510/2 SA, Schweinfurt, 1988 Koyo, Koyo Ball & Roller Bearings, Cat. No. 201E, Osaka, 1995

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