MÉTODO DE LA RIGIDEZ

Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos.

Se desarrolló con base en uno de los principios del equilibrio: La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento.

Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema.

La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o restringidos)

La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por :

[ F ] = [ K ] { U }

[ K ] = Matriz de rigidez

[ F ] =Vector de fuerzas

{ U } = Vector de desplazamiento

Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada.

1. SISTEMA DE COORDENADAS

Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas:

1.1. Sistema de coordenadas globales

Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.

1.2. Sistema de coordenadas locales

Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de posición: dirección θ y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y globales.

Øx, Øy, Øz: Cosenos directores

2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ

[ F ] = [ K ] { U } { U } = Vector de desplazamiento

{Un} = vector de desplazamiento en los nudos libres

[Fn] = vector de carga aplicada

{Fa} = reacciones en los apoyos

{Ua} = vector de desplazamiento de los nudos restringidos, generalmente igual a cero o grados de libertad prescritos.

Expandiendo:

[Fn] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua } (1)

{Fa} = [ Kan ]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua } (2)

De (1) despejo { Un }

[ Kun ]{ Un } = { Fn } – [ Kna ]{ Ua }

{ Un } = [ Knn ]-1 { Fn } – [ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua } (3)

Reemplazo en (2)

{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua }

Factorizo : { Ua }

{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [[ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua } (4)

Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos:

{ Un } = [ Knn ]-1{ Fn }

{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn }

- Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales: i, j = nudos

- Fuerzas de extremo:

- Grados de libertad del elemento:

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA

Grados de libertad globales

Fuerzas locales

En coordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL }

Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j.

UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø

UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø C = Cos Ø

UxjL = Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø S = Sen Ø

UyjL = - Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø

Reemplazando: en { FL } = [ K ]L { UL }

Para las fuerzas se tiene:

{ FL } = [ T ]{ F }

[ T ] = Matriz de transformación

{ F } = [ T ]-1{ FL }

Para matrices simétricas y ortogonales [ T ]-1 = [ T ]T

{ F } = [ T ]T

{ FL }

Para los desplazamientos

{ UL } = [ T ]{ U }

{ U } = [ T ]-1 { UL }

{ U } = [ T ]T { UL }

Reemplazando en { F } = [ T ]T

{ FL } { FL } = [ K ]L{ UL }

{ F } = [ T ]T

[ K ]L{ UL }

{ F } = [ T ]T

[ K ]L[ T ]{ U }

[ K ] = [ T ]T

[ K ]L[ T ]

Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento.