Introducción

En función del tipo de producto a contener una caja de cartón corrugado se encuentra sometida bajo estados de cargas de compresión (productos como envases plásticos semi-portantes, botellas de vidrios auto-portantes ó elementos de contextura rígida), ó estados combinados de compresión y flexión ( productos a granel los cuales ejercen presiones sobre las paredes laterales), generando esfuerzos distribuidos sobre el perímetro de la caja, estos son originados por la sumatoria de los pesos de las cajas que se sitúan arriba de la caja del tendido base cuando esta se encuentra apilada en la estiba con un patrón de arrume específico.

Para una sección específica de cartón situada en la pared lateral, estos esfuerzos se distribuyen de tal forma que generan estados de cargas internas de compresión pura (figura 1) ó cargas combinadas de compresión y flexión (figura 2), esto depende como ya se mencionó de la naturaleza del producto a contener. La estructura (caja de cartón corrugado) podría fallar de dos formas:

 

Falla por pandeo inelástico del cartón corrugado

Si el esfuerzo de compresión sobrepasa la resistencia última a la compresión del cartón (Sc) es decir si:

El material fluiría debido a que se sobrepasó la resistencia a la fluencia (SY) y la falla sería por compresión. Este tipo de falla ocurre cuando las cargas de compresión, las cuales son soportadas por el perímetro de la caja, se distribuyen sobre toda la geometría de la estructura de tal forma que generan un esfuerzo local mayor a la resistencia a la compresión vertical del cartón, dicha falla se mide mediante la prueba de RCV (Resistencia a la compresión vertical) ó ECT (Edge Crush Test).

Para este tipo de falla por compresión, toman mayor relevancia las pruebas de laboratorio que miden las propiedades de los papeles que se relacionan con su resistencia a la compresión, por consiguiente, el Ring crush de los liners y el CFC-O del corrugado medio se convierten en las variables de mayor influencia en el comportamiento estructural de las cajas de cartón respecto al modo de falla por compresión.

Falla por compresión del cartón corrugado

Cuando sobre la sección en estudio se genera un estado combinado de esfuerzos de compresión – flexión y a medida que el esfuerzo de compresión se incrementa gradualmente, se comienza a producir un pandeo local en la estructura lo que origina que se generen esfuerzos de compresión mayores que el esfuerzo crítico de pandeo de la geometría local de la sección:

La sección de cartón corrugado falla bajo un esfuerzo crítico de pandeo (s crítico), el cual es menor que el límite de proporcionalidad del material, aproximadamente un 70% – 80% 5 del esfuerzo de compresión determinado por la prueba de ECT. Para este tipo de falla de la sección crítica, la rigidez a la flexión del cartón (Sb) es un parámetro primordial en el pandeo local de la estructura. Las características y propiedades estructurales de los papeles que condicionan la rigidez a la flexión toman mayor relevancia en el comportamiento estructural del cartón sometido bajo un estado combinado de esfuerzos de compresión – flexión.

Consideraciones teóricas

La carga total soportada por la caja, involucra la carga soportada por las esquinas y la soportada por el resto del perímetro (no solamente el cartón cerca de las esquinas). Además, el cartón de la región central de cada cara contribuye con una pequeña carga por unidad de longitud menor a la soportada por las regiones cerca de las esquinas, a medida que aumenta la relación largo/ancho dicha contribución se hace cada vez más importante a tal punto que se vuelve significativa si se quiere predecir con gran precisión la resistencia de la caja.

La capacidad de soportar cargas de la región central de cada cara es reflejada en la rigidez del cartón y las dimensiones internas de las cajas. Por este motivo la rigidez a la flexión del cartón corrugado es otra propiedad de gran importancia y debe ser incluida en el análisis de resistencia de las cajas de cartón, incluso en un sin número de diseños de embalajes de cartón, dicho parámetro estructural se convierte en el factor clave o preponderante que diferencia una posible falla de la estructura.

La rigidez a la flexión (Sb), puede definirse como la habilidad que tiene la lámina de cartón para soportar cargas de flexión, depende principalmente del módulo de elasticidad, calibre de los liners y el cuadrado del calibre del cartón corrugado6.

El objetivo de esta investigación será entonces, el de encontrar un modelo complementario para realizar la selección del material y posterior diseño de la caja basado en el parámetro de rigidez a la flexión (Sb), se utilizará una metodología estadística de análisis de regresión múltiple para encontrar el mejor modelo que prediga el comportamiento del Sb en función de variables conocidas para el proceso.

Dicho modelo será el algoritmo de cálculo principal de un módulo del software “Simulador BCT”, software desarrollado en entorno Visual Basic. 6.0 para el diseño de los embalajes de cartón de Empaques Industriales Colombianos S.A.

Técnica Experimental

Para la elaboración de los ensayos se utilizaron seis grados de papel, tres test-liners (132, 173, 265 gr/m2) y tres corrugados medios (130, 180, 205 gr/m2), utilizados frecuentemente en la producción de láminas de cartón corrugado, dichos papeles representan un elevado porcentaje (aproximadamente el 95%) del total de la producción de Empaques industriales Colombianos S.A. Todas las láminas producidas para el ensayo fueron fabricadas con una combinación en pared sencilla, corrugación tipo B y tipo C. Las propiedades físicas de las láminas de cartón (peso básico, % Humedad, Sb) fueron medidas en muestras tomadas aleatoriamente de corridas del corrugador y estás provenían de la misma sección transversal del rollo, esto con el objeto de bloquear los posibles efectos en el error del modelo debido a las variaciones transversales en la fabricación del papel.

Para los ensayos de Sb (rigidez a la flexión), realizados en una máquina de compresión con aditamento para ensayo de cuatro puntos de flexión6, se utilizó el modelo de deformación de la curva elástica para predecir la rigidez (EI) en función de la deformación medible de la viga y la fuerza máxima a la cual ocurre dicha deformación. Las pruebas de resistencia a la tensión (St) se llevaron a cabo en equipo de compresiòn modelo “Q-C 1000 Tensil Tester Twing Albert”. la formación y composición de las fibras se verificaron en un

microscopio Olympus BX40–DP10, las mediciones de calibre fueron realizadas en un micrómetro análogo modelo “003-P Cady & CO.”. Las muestras fueron preacondicionadas y acondicionadas antes de los ensayos, según norma TAPPI 402-“Estandar conditioning and testing atmospheres for paperboard, pulp handsheets, and related products”, en cámara desecadora modelo “XP-01 NIKKO” , los demás ensayos fueron elaborados con su respectivo método estándar TAPPI. La totalidad de las pruebas fueron realizadas en los laboratorios especializados de la compañía Empaques Industriales Colombianos S.A.

El diseño de regresión lineal múltiple utilizado para la obtención del modelo, involucró 12 grados de cartón corrugado, resultantes de las combinaciones entre tres grados de test-liners (132, 173, 265 gr/m2), tres corrugados medios (130, 180, 205 gr/m2) y dos tipos de corrugación B y C. Tres repeticiones fueron ensayadas para cada uno de los 12 tratamientos involucrados en el diseño. Se trabajó en la obtención de los coeficientes de correlación poblacionales mediante la inferencia de los coeficientes muestrales, se plantearon las respectivas pruebas de hipótesis para la utilidad del modelo de regresión, se trazaron intervalos de confianzas para futuras predicciones y se verificaron los supuestos de la regresión.

Resultados Experimentales

Para el tratamiento estadístico utilizado en el análisis de los datos recopilados experimentalmente, se emplearon las siguientes variables:

Debido al número de posibles variables predictoras se utilizó un modelo de regresión lineal múltiple para encontrar el mejor ajuste de los datos, la metodología utilizada se detalla a continuación:

a. Selección del modelo más apropiado basado en la herramienta de “Regresiòn con los mejores subconjuntos” 7.

b. Determinación de la recta de mínimos cuadrados para la regresión múltiple del modelo seleccionado en el apartado (a).

c. Inferencias acerca de los coeficientes de correlación basados en los coeficientes de mínimos cuadrados.

d. Inferencias acerca de la respuesta media y predicción para futuras observaciones. e) Verificación de supuestos del análisis de regresión.

Modelo de regresión lineal múltiple

El modelo completo de regresión lineal múltiple para la información obtenida experimentalmente, es de la forma:

El análisis de regresión con la metodología de los mejores subconjuntos evidenció que los conjuntos de 3, 4 y 5 variables independientes presentaron el mejor coeficiente de determinación ajustado (R2)

97.4%, basados en el principio de parsimonia (“Un modelo debe contener el menor número de variables necesarias para ajustar los datos”), el modelo que mejor explica el ajuste de los datos es el subconjunto de tres (3) variables predictoras con R2 = 97.4 %, por consiguiente el modelo de regresión se redujo a:

Dado que los valores de la prueba P-value para cada coeficiente de correlación fueron inferiores a 0.05, se rechaza la hipótesis nula con una confiabilidad aproximada del 95%; Ho: cada coeficiente es igual a cero. Por lo tanto, los datos proporcionan evidencia significativa que el 97.4% (R2) de la variación en la rigidez a la flexión Sb (CD) es explicada por las variables; calibre del cartón (CAL), resistencia a la tensión del liner exterior (Tensil LE) y peso básico del liner exterior (Peso LE).

El modelo para la regresión quedaría de la forma:

Aplicaciones prácticas

El modelo experimental establece que existe una correlación entre la rigidez a la flexión del cartón corrugado (Sb) con el calibre del cartón, la resistencia a la tensión y el peso básico de los liners. Es importante resaltar que dicho modelo experimental no implica causalidad entre la variable dependiente Sb y las variables predictoras. Se mostrará a continuación la aplicabilidad del modelo experimental en una situación específica del mercado de margarina para la compañía Empaques Industriales Colombianos S.A.

La figura 3, muestra fallas típica de un embalaje de cartón sometido a esfuerzos combinados de compresión y flexión. Para este diseño específico se realizó la selección del material basado en el cálculo de la resistencia última a la compresión de la caja, los resultados obtenidos utilizando dicha metodología se muestran en la tabla 1.

La tabla anterior muestra que el material con denominaciòn: “C790K” cumple el requerimiento planteado por el cliente (arrume máximo igual a 5 tendidos), sin embargo la evidencia experimental indica que bajo las condiciones reales de carga este material seleccionado (C790K), origina una falla y posterior colapso de la caja en el tendido base (figura 3).

Esta condición de no predicción de la falla por el modelo generalizado de compresión se repite constantemente en los diseños de cajas para estos mercados específicos, adicionalmente existe evidencia práctica de que las paredes laterales de las cajas se pandean en el proceso de llenado cuando aún no han sido sometidas bajo cargas de compresión, lo que inhabilita la utilidad del modelo generalizado de compresión.

 

Nuevo modelo de selección del material.

Este se basa en la selección del material a utilizar con base en el parámetro de rigidez a la flexión Sb, puesto que se presume que las cajas en el proceso de llenado, están sometidas bajo un esfuerzo de flexión originado por las presiones internas sobre las paredes laterales de las cajas. La figura 4, muestra un esquema de la geometría en la prueba de flexión de cuatro puntos. La rigidez a la flexión Sb, se determina resolviendo la ecuación diferencial de la curva elástica de la viga y despejando para EI = Sb, se obtiene que:

El comportamiento de la flexión en la pared lateral de la caja puede ser modelado como una viga apoyada en sus extremos sujeta a una carga distribuida q a través de toda su longitud (figura 5).

Para esta distribución de cargas se tiene que la rigidez a la flexión soportada por la pared lateral de la caja, denotada por Sb* es:

Se debe entonces garantizar que la rigidez a la flexión del material (Sb), como mínimo, sea igual o mayor que la rigidez según las condiciones reales de carga (Sb*).

El término Sb, se determina mediante el modelo experimental (ecuación 2) derivado del análisis de regresión múltiple y Sb* se calcula con la ecuación 4.

Donde:

Retomando el problema práctico de las cajas de margarina del mercado aceitero, la selección del material utilizando el nuevo modelo de diseño sería:

Dimensiones de la caja: (30.8 x 27.6 x 16.6) cm Peso producto: 15 kg

Utilizando el modelo experimental (ecuación 2), se calcula la rigidez a la flexión para diferentes materiales, los resultados se muestran en la tabla 2.

Según la tabla 2, el material que cumple con el requerimiento de 19.5 lb-pulg de rigidez a la flexión, es la denominaciòn “C930K”. Se puede verificar además que el material seleccionado con el modelo generalizado de compresiòn “C790K”, en la simulación de rigidez a la flexión no pasa la prueba, esto es confirmado con la evidencia experimental mostrada en la figura 3 (las cajas colapsan en la estiba).

Según el nuevo modelo de selección, el material acorde a los requerimientos reales de flexión, es el material “C930K” mostrado en la tabla 2.

Para la obtención de los resultados mostrados en la tabla 2 y los respectivos cálculos para determinar Sb*, se demanda cierta complejidad y laboriosa tarea de análisis lo que complicaría el trabajo para los diseñadores estructurales, por consiguiente se hace conveniente la sistematización del procedimiento mediante alguna herramienta informática que facilite los cálculos.

En las figuras 6-7 se muestra el software simulador BCT; programa diseñado para el modelado del Box Compression Test (BCT), utilizado como herramienta para automatizar el cálculo de la resistencia a la compresión vertical de las cajas de cartón corrugado. Este utiliza el modelo generalizado de compresión y el modelo de predicción para la rigidez a la flexión. La simulación se realiza teniendo como parámetros de entrada la selección de la clave y la introducción por parte del usuario de las dimensiones de la caja, se tienen opciones adicionales para identificar el cliente, la referencia y la planta de Empaques Industriales Colombianos S.A donde se fabrica la caja de cartón, como resultados se muestra el valor de la rigidez a la flexión estimada Sb, curva de ECT vs área de desarrollo de la caja para la referencia seleccionada, resistencia dinámica, apile máximo a garantizar (según modelo generalizado de compresión), además para efectos comparativos se efectúa la simulación de la referencia seleccionada en materiales inferiores y superiores al seleccionado preliminarmente.

Los cambios evidenciados con la implementación del nuevo modelo de selección de material se evidencian claramente en la figura 8.

Conclusiones

La información presentada y argumentada detalladamente en esta investigación, sustenta las siguientes conclusiones:

 Para requerimientos donde el embalaje de cartón corrugado este sometido a esfuerzos puros de flexión, los modelos generalizados de compresión presentan desviaciones considerables respecto a la selección adecuada del material, en estas situaciones se hace imprescindible el empleo de un modelo basado en el parámetro de rigidez a la flexión del cartón corrugado (Sb).

 La variabilidad de la rigidez a la flexión del cartón corrugado denotado por Sb, es explicada en un 97.4% por las variables: calibre de la lámina de cartón (CAL), resistencia a la tensión liner exterior (Ténsil LE) y peso básico del liner exterior (Peso LE), dicha afirmación es realizada con una confianza del 95%. La variable con más efecto en la rigidez del cartón es el calibre de la lámina con un incremento de 0.141 lb-pulg en la rigidez para un incremento de una milésima de pulgada en el calibre (p-value = 0.00), seguido de la resistencia a la tensión con 0.119 lb-pulg de aumento (p-value = 0.00) para un incremento de 1 lb de resistencia a la tensión y un aumento de 0.0474 para cada incremento unitario del peso básico (p-value = 0.06).

 Los resultados derivados de esta investigación, presentan validez en predicciones para la rigidez a la flexión (Sb) en materiales test-liner comprendidos entre 132 y 285 gr/ m2 y corrugados medios 100% fibra secundaria con pesos entre 130 y 220 gr/m2.

 Individualmente cada planta corrugadora, en conjunto con su respectivo proveedor de papel, debe validar y determinar los coeficientes estimados en los modelos que se han presentado en esta investigación, esto es debido a las condiciones particulares de proceso y tecnología disponible en cada planta.