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Nichtlineare dynamische Berechnung von Stahlbetonrahmenunter Erdbebeneinwirkung

Author(s): Wenk, Thomas

Publication Date: 2002

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-004472912

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ETH Library

Nichtlineare dynamische Berechnung vonStahlbetonrahmen unter Erdbebeneinwirkung

Thomas Wenk

Institut für Baustatik und Konstruktion

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich

Zürich

August 2000

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Vorwort

Nichtlineare dynamische Berechnungen von Tragwerken unter Erdbebeneinwirkung die-nen in der Forschung dazu, komplexe Phänomene besser zu verstehen und vereinfachteModelle und Bemessungsverfahren herzuleiten und zu verifizieren. Aber auch für prakti-sche Fragestellungen - insbesondere bei unregelmässigen Tragwerken - werden inZukunft vermehrt Berechnungen im Zeitverlauf durchgeführt werden.

In dieser Dissertation werden neue zweckgerichtete Modelle für plastische Gelenke inStahlbetonrahmen präsentiert: Je ein Stabelement für Riegel und für Stützen für ebeneund räumliche Rahmen. Dabei werden sowohl unsymmetrische Biegebewehrungen, wieauch der Einfluss der im jeweiligen Zeitpunkt vorhandenen Normalkraft auf den Biege-widerstand berücksichtigt. Zielgrössen der Berechnung sind sowohl globale Verschie-bungen als auch lokale Verformungen, vor allem der Bedarf an Rotationsduktilität in denplastischen Gelenken. Berechnungsbeispiele von ebenen und räumlichen Rahmen, unterein-, zwei- und dreidimensionaler Erdbebenanregung belegen die Leistungsfähigkeit derentwickelten Elemente.

Mit dieser Arbeit ist es Herrn Wenk gelungen, ein die wesentlichen Einflussgrössen erfas-sendes und damit sehr zweckmässiges Computerprogramm für nichtlineare dynamischeZeitverlaufsberechnungen an Stahlbetonrahmen bereitzustellen.

Zürich, August 2000 Prof. Dr. Hugo Bachmann

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Verdankungen

Diese Arbeit entstand im Rahmen des Teilprojektes ‚Nichtlineare dynamische Berech-nung von Stahlbetonhochbauten‘ des Forschungsprojektes ‚Stahlbetontragwerke unterzyklischer dynamischer und statischer Einwirkung‘, das unter der Leitung von Herrn Prof.Dr. H. Bachmann am Institut für Baustatik und Konstruktion der ETH Zürich durchge-führt wurde. Ermöglicht wurden diese Forschungsarbeiten dank der Finanzierung durchdie ETH Zürich, die Stiftung für angewandte Forschung im Betonbau des Verbandes derSchweizerischen Zementindustrie (Cemsuisse) und die Kommission für Technologie undInnovation (KTI) der Schweizerischen Eidgenossenschaft. Die grosszügige finanzielleUnterstützung durch diese Institutionen wird herzlich verdankt.

Mein persönlicher Dank gilt in erster Linie Herrn Prof. Dr. H. Bachmann, der diese Arbeitinitiiert und sehr gefördert hat und auch das Referat übernommen hat. Seine gute Betreu-ung hat ganz wesentlich zum Gelingen der Dissertation beigetragen. Herrn Prof. Dr. E.Anderheggen, Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, möchte ich für dievielen wertvollen Anregungen und die fundierte Kritik sowie für die Übernahme des Kor-referates ganz herzlich danken. Wichtige Impulse erhielt ich von Herrn Prof. Dr. Dr. h.c.T. Paulay, University of Canterbury, Christchurch, Neuseeland, der das Forschungspro-jekt von Anfang an begleitet hat. Herzlich bedanken möchte ich mich bei allen meinenKollegen am Institut, insbesondere bei Herrn Dr. Glauco Feltrin, Herrn Dr. Peter Lindeund Herrn Dr. Benedikt Weber für die freundschaftliche Zusammenarbeit und die guteUnterstützung.

Zürich, August 2000 Thomas Wenk

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Kurzfassung

Bei der Erdbebenbemessung werden aus wirtschaftlichen Überlegungen für das relativseltene Bemessungsbeben gewisse Schäden am Bauwerk in Kauf genommen. Die Bemes-sungsregeln der Normen berücksichtigen dies indirekt, indem sie eine pauschale Reduk-tion der Einwirkungen, für die sich bei elastischem Verhalten keine Schäden einstellenwürden, zulassen. Die Bemessung erfolgt am linear-elastischen Tragwerk, dabei wird dasentscheidende plastische Verformungsvermögen gewissermassen stillschweigend mitein-bezogen. Sobald aber Grösse und Verteilung des erforderlichen Duktilitätsbedarfesgenauer bestimmt werden sollen, sind nichtlineare dynamische Berechnungen erforder-lich, da lineare Berechnungen nicht mehr zum Ziel führen.

In der vorliegenden Arbeit wird eine Methodik aufgezeigt, wie das nichtlineare dynami-sche Verhalten von kapazitätsbemessenen Stahlbetonrahmen unter Erdbebeneinwirkungberechnet werden kann. Dazu wurden Stabelemente, die die wesentlichen Phänomene dessehr komplexen, nichtlinear-zyklischen Stahlbetonverhaltens erfassen, für die Modellie-rung der plastischen Bereiche in Riegeln und Stützen in der Form von sogenannten Use-relementen entwickelt. Zusammen mit dem Finite-Elemente-Programm Abaqus bildendiese Userelemente das Programm Abaqus/Quake für nichtlineare dynamische Erdbeben-berechnungen. Mit diesem Vorgehen konnte der eigene Entwicklungsaufwand auf dieProgrammierung von nichtlinearen Stabelementen begrenzt werden.

Die Formulierung der Userelemente wurde möglichst einfach gewählt, so dass dieBeschreibung der Eingabedaten mit den üblichen Bemessungsgrössen eines Stahlbeton-querschnittes ohne Kalibrierung von zusätzlichen Parametern erfolgen kann. Das nichtli-neare Verhalten wird auf das Biegeverhalten beschränkt, jedoch unter Berücksichtigungder zyklischen Steifigkeitsabminderung und der Verfestigung. Bei den Userelementen fürdie plastischen Bereiche in Stützen wird die Interaktion zwischen Normalkraft und mehr-achsiger Biegung berücksichtigt, wobei eine lineare Normalkraftverformung angenom-men wird. Der Einsatzbereich beschränkt sich auf kapazitätsbemessene Stahlbetontrag-werke in Gebieten mit niedriger bis mittlerer Seismizität.

Zur Beurteilung der sehr umfangreichen Resultate von nichtlinearen Zeitverlaufsberech-nungen wurden verschiedene Schädigungsmodelle und ihre zugehörigen Schädigungsin-dikatoren bewertet. Dabei stellte sich für die nichtlineare dynamische Berechnung vonkapazitätsbemessenen Tragwerken der Duktilitätsbedarf in den plastischen Bereichen vonRiegeln und Stützen als geeignetste Grösse heraus, da er auf einfache aber umfassendeArt die Datenmenge auf eine Grösse reduziert, die leicht mit Versuchsresultaten vergli-chen werden kann. Die Verwendung komplexerer Schädigungsindikatoren ist bei kapazi-tätsbemessenen Stahlbetonbauteilen nicht gerechtfertigt.

Die Anwendbarkeit der neu entwickelten numerischen Modelle wurde mit Nachrechnun-gen von mehreren Stahlbeton-Bauteilversuchen unter zyklisch-statischer Beanspruchungaufgezeigt. Ebenfalls nachgerechnet wurde ein dynamischer Versuch einer Stahlbeton-tragwand auf dem ETH-Erdbebensimulator. Es konnte jeweils eine sehr gute Überein-

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stimmung zwischen Berechnung und Versuch erreicht werden.

Als Anwendungsbeispiele bei Gebäuden werden Berechnungen eines dreigeschossigenStahlbetonrahmengebäudes vorgestellt. Das Tragwerk des Gebäudes wurde als ebenerund als räumlicher Rahmen unter mehrachsiger Erdbebenanregung nach dem nichtlinea-ren Zeitverlaufsverfahren berechnet. Dabei wurden die neu entwickelten Userelementefür die numerische Modellierung der plastischen Bereiche im Stahlbetonrahmen verwen-det. Der Vergleich der Resultate der ebenen mit der räumlichen Berechnung zeigte eineÜberbeanspruchung in den Eckstützen des räumlichen Rahmens infolge ungünstigerKombination von zweiachsiger Biegebeanspruchung mit Normalkraft; ein Phänomen,das üblicherweise bei der Erdbebenbemessung für niedrige bis mittlere Seismizität ver-nachlässigt wird.

Der mögliche Einsatzbereich des Programms umfasst die Berechnung von ganzen Trag-werken, sei es für die Kalibrierung von neuen Erdbebenbemessungsregeln oder für dieBemessung von besonders bedeutenden oder unregelmässigen Bauwerken, bei denen dieeinfachen Berechnungsmethoden für die Erdbebenbemessung nicht ausreichen.

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Abstract

Nonlinear Dynamic Analysis of Reinforced Concrete Frames under SeismicAction

For economic reasons, earthquake resistant design tolerates in general a certain level ofstructural damage for the rare seismic design event. The design rules include a globalforce reduction factor for the earthquake force the structure would experience by respond-ing linear elastically to account for nonlinear material behavior. The design is performedfor the reduced forces assuming linear elastic behavior but including tacitly an importantplastic deformation capacity of the structure. To determine magnitude and distribution ofthe resulting ductility demand more precisely, linear calculations are inadequate and non-linear dynamic analyzes are required.

In the present report, a methodology is developed to calculate the nonlinear dynamicbehavior of capacity designed reinforced concrete frames under seismic action. Specialbeam elements were programmed which capture the dominating phenomenons of thecomplex nonlinear behavior of reinforced concrete under cyclic loads. These elementswere implemented as so-called userelements in the finite element program Abaqus form-ing the program Abaqus/Quake for nonlinear dynamic earthquake analyzes. The userele-ments are used to model the plastic regions in beam and columns. For the elasticallyremaining parts of the structure, standard elements of the finite element program are used.This approach allowed to efficiently limit the new programming development effort to thenonlinear beam elements.

The formulation of the userelements was selected as simple as possible such that the inputspecification requires only the usual design parameter of reinforced concrete cross sec-tions. There is no need to calibrate additional input parameters. The nonlinear behavior ofthe userelements is limited to bending including the effects of cyclic stiffness degradationand strain hardening. The userelements for the plastic regions in columns account for theinteraction between normal force and multi-axial bending. The deformation behaviorunder normal force is assumed to remain elastic. The domain of applications of the newlydeveloped userelements is restricted to capacity designed reinforced concrete structuresin regions of low to medium seismicity.

Different damage models and damage indicators were evaluated with respect to theirapplicability for nonlinear dynamic analyses. For capacity designed structures, the ductil-ity demand of the plastic regions in beams and columns turned out to be the most appro-priate quantity to describe the damage. The ductility demand allows to reduce the enor-mous amount of data produced by an nonlinear dynamic analyses to one simple numberwhich can easily be compared to the ductility capacity determined by experimental inves-tigations. The use of more complex damage indicators is usually not justified for capacitydesigned structures. The influence of the cyclic damage remains relatively low due to spe-cial ductility enhancing structural detailing of capacity design. This is particularly true forareas of low to medium seismicity, where only a relatively small number of seismic load-

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ing cycles has to be expected.

Several experimental investigations of reinforced concrete specimens under cyclic staticloads were recalculated to show the applicability of the newly developed numerical mod-els. In addition, a dynamic test of a structural wall on the ETH earthquake simulator wasnumerically reanalyzed. In all these examples, an excellent agreement between numericaland experimental results was obtained.

As an numerical example for a real building, a three-story reinforced concrete framebuilding was selected. The structure of the building was modelled as planar and as spaceframe using the newly developed userelements for the plastic regions in beams and col-umns. Two different designs of the frame structure were analyzed by the nonlinear timeintegration method under multi-axial seismic excitation. Comparing the results of thetwo-dimensional and the three-dimensional analyses an extremely high ductility demandwas found at the foot of the corner columns in the three-dimensional analyses due to anunfavorable combination of multi-axial bending with normal force. Earthquake resistantdesign regulations for low to medium seismicity usually do not require to superimpose thestress resultants from multi-axial excitations.

The domain of application of the userelements comprises the nonlinear dynamic analysisof test assemblages or of complete frame structures. It can be used for calibrating newearthquake resistant design rules or for designing particularly important or non-regularbuildings where the conventional design methods are not adequate.

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Verdankungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Kurzfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Abgrenzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 Ersatzkraftverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Antwortspektrenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Nichtlineare statische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.4 Nichtlineare dynamische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.5 Vergleich der Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Bemessungsmethoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Kraftbasierte Bemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Verschiebungsbasierte Bemessung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3 Methode der Kapazitätsbemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Hysteresemodelle für numerische Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Stahlbeton unter zyklischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Numerische Modellierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Stabmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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3.2.2 Fasermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3 Kontinuumsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Hysteresemodelle für Stabelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Nichtlineares Userelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Zweidimensionales Stabelement U1 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegeln . . . . . . . . 374.2.1 Elementbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.2 Hystereseregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.3 Eingabedaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.4 Ausgabedaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Zweidimensionales Stabelement U2 für Fliessgelenke in Stahlbetonstützen. . . . . . . . 454.3.1 Elementbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.2 Interaktion zwischen Normalkraft und Biegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.3 Ein- und Ausgabedaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Dreidimensionales Stabelement U3 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegeln . . . . . . . . 494.4.1 Elementbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4.2 Ein- und Ausgabedaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Dreidimensionales Stabelement U4 für Fliessgelenke in Stahlbetonstützen . . . . . . . . 524.5.1 Elementbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5.2 Interaktion zwischen Normalkraft und zweiachsiger Biegung. . . . . . . . . . . . . . 534.5.3 Ein- und Ausgabedaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Schädigungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 Lokale nicht-kumulative Schädigungsindikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.1 Duktilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.2 Energieindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1.3 Steifigkeitsbezogene Schädigungsindikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Lokale kumulative Schädigungsindikatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.1 Kumulative Duktilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2 Schädigungsindex nach Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.3 Schädigungsindex nach Chung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.4 Schädigungsindex nach Park und Ang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Globale Schädigungsindikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3.1 Verschiebeduktilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3.2 Kumulative Verschiebeduktilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.3 Index der Stockwerkverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

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5.3.4 Gewichte Mittelwerte lokaler Schädigungsindikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.5 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.6 Schadengrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.7 Finanzielle Indikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4 Bewertung der Schädigungsmodelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Nachrechnung von Versuchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1 Zyklisch-statischer Versuch an einem Stahlbetonriegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze mit einachsiger Biegung. . . . . 81

6.3 Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze mit zweiachsiger Biegung . . . 84

6.4 Dynamischer Versuch an einer Stahlbetontragwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.1 Beschreibung des Gebäudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2 Erdbebenanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3 Ebene Stahlbetonrahmenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.3.1 Bemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.3.2 Berechnungsvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.3.3 Berechnungsresultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.4 Räumliche Stahlbetonrahmenberechnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4.1 Bemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4.2 Berechnungsvarianten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4.3 Berechnungsresultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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1 Einleitung

1.1 AllgemeinesDie Erdbebengefährdung wurde in vielen Ländern, darunter auch in der Schweiz, wäh-rend langer Zeit unterschätzt. Als Folge der immer stärker wachsendenden Bausubstanzund der ungenügenden Schutzvorkehrungen wurde das Erdbeben zum grössten Naturge-fahrenrisiko [Bac+ 98]. Erst vor drei Jahrzehnten fanden Erdbebenbestimmungen vorerstzögerlich Eingang in die Baunormen. Mit jeder neuen Normengeneration sind sieanschliessend regelmässig verschärft worden. Diese Entwicklung ist noch voll im Gangeund es ist auch in Zukunft mit weiteren Verschärfungen der Erdbebenbestimmungen zurechnen [Wen 97].

Infolge des relativ raschen Wandels der Erdbebenbestimmungen in den letzten Jahrensind, verglichen mit den Bestimmungen für andere Einwirkungen, noch viele Fragen derBemessung offen, oder die bisher gewählten, vereinfachenden Ansätze sind umstritten.Hinzu kommt, dass das Bauwerksverhalten unter der dynamischen und zyklischen Erdbe-beneinwirkung wesentlich schwieriger zu erfassen ist als bei einfachen statischen Bean-spruchungen. Die zunehmende Leistungsfähigkeit der Computer bietet neue Möglichkei-ten, dieses sehr komplexe Bauwerksverhalten immer besser zu simulieren. Gegenüberden Bemessungsmethoden für die klassischen statischen Einwirkungen wie Eigenge-wicht, Nutzlasten, Schnee und Wind, die sich nur noch langsam weiterentwickelt haben,stehen die Bemessungsmethoden für die Erdbebeneinwirkung weiterhin in starker Ent-wicklung. Für die Beurteilung neuer Bemessungsvorschläge und für die Bemessungbesonders bedeutender Bauwerke sind nichtlineare dynamische Berechnungsprogrammeerforderlich.

Die bekannten kommerziellen Finite-Element-Programme bieten standardmässig nichtli-neare Materialmodelle für Stahlverhalten unter zyklischer Beanspruchung. Dagegen feh-len geeignete Modelle für Stahlbeton. Als Alternative existieren spezialisierte Programmemit zyklischen Stahlbetonmodellen für gewisse Bauteile, die jedoch bezüglich Benützer-freundlichkeit und Modellierungsmöglichkeit grosser dreidimensionaler Tragwerkeerhebliche Nachteile aufweisen. Aus diesen Gründen erwies sich die Eigenentwicklungvon Userelementen für das spezifische Stahlbetonverhalten in Verbindung mit einemgrossen kommerziellen Finite-Element-Programm als optimale Lösung [Aba 99].

1.2 ProblemstellungErdbeben mit grosser Wiederkehrperiode sind vergleichsweise stark gegenüber Ereignis-sen mit geringer Wiederkehrperiode. Eine Gegenüberstellung der 50-jährigen Extrem-werte für die Einwirkungen aus den Naturgefahren Erdbeben, Wind, und Meerwellenzeigt einen relativ flachen Verlauf der Verteilungsfunktion für das Erdbeben [Boo 94].Wind und Wellen sind viel näher um den entsprechenden Erwartungswert verteilt. Umdiesem Phänomen Rechnung zu tragen, wird in den Normen für das Bemessungserdbebeneine grosse Wiederkehrperiode angenommen. Für normale Bauwerke liegt sie in derGrössenordnung von 400 bis 500 Jahren für Erdbeben verglichen mit 50 Jahren für Wind.

Einleitung

14

Andererseits werden aus wirtschaftlichen Überlegungen für das relativ seltene Bemes-sungsbeben gewisse Schäden am Bauwerk in Kauf genommen, d.h. die Bemessungerfolgt nicht für rein linear-elastisches Tragwerksverhalten, sondern das plastische Ver-formungsvermögen wird miteinbezogen. Dadurch lässt sich der erforderliche Tragwider-stand bei konstruktiv besonders duktil gestalteten Stahlbetonrahmen bis auf etwa einenFünftel reduzieren [EC 8-1-3].

Die Berücksichtigung des plastischen Verformungsvermögens in der Bemessung bedingt,dass das nichtlineare dynamische Tragwerksverhalten zu einem gewissen Grade erfasstwird. Das nichtlineare Verhalten eines Stahlbetonrahmen unter Erdbebeneinwirkung istjedoch sehr komplex. Auf Stufe Querschnitt wird es durch mehrere schwierig erfassbarePhänomene wie das nichtlineare Verhalten des Bewehrungsstahles, das zyklische Verhal-ten des Betons mit Rissebildung, das Verbundverhalten Bewehrung-Beton und der Ein-fluss der Umschnürung mit Bewehrung auf den Beton charakterisiert. Dabei genügt esnicht diese Phänomene nur unter monodirektionaler Beanspruchung zu erfassen, sonderndas Verhalten unter zyklischen Hin- und Herbewegungen ist entscheidend. Auf StufeTragwerk geht es darum, die räumliche Verteilung der Beanspruchungen und des plasti-schen Verformungsbedarfes in allen Bauteilen unter Berücksichtigung der sich verän-dernden dynamischen Eigenschaften des Tragwerkes und allenfalls auch der nichttragen-den Elemente zu bestimmen.

In der täglichen Bemessungspraxis werden diese Phänomene durch einfache Normregelnberücksichtigt, deren Einsatzbereich sich jedoch auf sogenannte regelmässige Bauwerkebeschränkt. Viele dieser Regeln sind umstritten und zahlreiche Verbesserungsvorschläge

Bild 1.1: Verteilungsfunktionen der 50-jährigen Extremwerte für Erdbeben-, Wind- undWelleneinwirkung normiert mit dem entsprechenden Erwartungswert [Boo 94]

Zielsetzung

15

existieren, so z.B. für die Grösse des Abminderungsfaktors für plastisches Verhalten, fürdie Abschätzung des Torsionseinflusses, für den Einfluss der Regularität der Massen- undSteifigkeits- und Tragwiderstandsverteilung im Grundriss und im Aufriss, sowie insbe-sondere für Rahmentragwerke, der Einfluss der Regularität der Rahmenspannweiten. DieÜberprüfung von verbesserten Bemessungsregeln kann durch Experimente an Versuchs-körpern oder durch numerische Berechnungen erfolgen. Aus Kostengründen kann nur dasVerhalten eines einzelnen Bauteils realistisch, d.h. in einem Versuchsmassstab nahe eins,experimentell bestimmt werden. Ein komplettes Tragwerk kann fast nur numerisch unter-sucht werden. Dazu sind aber entsprechend leistungsfähige dynamische Berechnungspro-gramme mit numerischen Modellen für das zyklische Materialverhalten erforderlich. DieResultate der experimentellen Bauteilversuche werden für die Kalibrierung der numeri-schen Modelle herangezogen.

Bei der Entwicklung von Materialmodellen ist ferner zu beachten, dass eine grosse Unsi-cherheit bezüglich der zu erwartenden Amplituden, Frequenzgehalt und Dauer der Erdbe-benanregung besteht. Dies gilt insbesondere in Gebieten mit geringer bis mittlerer Seis-mizität wie der Schweiz, wo keine Starkbeben-Messwerte der Bodenbewegung für Ereig-nisse in der Grössenordnung des Bemessungsbeben existieren. Für die Festlegung desBemessungsbebens muss auf mehr oder weniger qualitative historische Schadenbeschrei-bungen zurückgegriffen werden. Aus diesen Gründen lässt sich eine zu grosse Komplexi-tät der numerischen Modelle für Erdbebenberechnungen nicht rechtfertigen.

1.3 ZielsetzungDie Zielsetzung ist die Entwicklung eines Programms für die nichtlineare dynamischeBerechnung von räumlichen Stahlbetonrahmen unter Erdbebeneinwirkung, das diewesentlichen Phänomene des zyklischen Materialverhaltens erfasst. Die numerischenModelle werden in ihrer Komplexität abgestimmt auf die Unsicherheiten bei der Erdbe-beneinwirkung so einfach wie möglich gewählt. Das Ziel ist eine Optimierung zwischenexakten numerischen Modellen, die dafür sehr kompliziert sowie anspruchsvoll in derAnwendung sind, und einfachen Modellen, die eine noch vertretbare Genauigkeit undklare Vorteile bezüglich Anwendbarkeit aufweisen.

Als Einsatzbereich des Programms steht die Berechnung von ganzen Tragwerken vonBauwerken im Vordergrund, sei es für die Kalibrierung von neuen Erdbebenbemessungs-regeln oder für die Bemessung von besonders bedeutenden oder unregelmässigen Bau-werken, bei denen die einfachen Berechnungsmethoden für die Bemessung nicht ausrei-chen.

Ferner werden im Hinblick auf die Interpretation der Berechnungsresultate verschiedeneSchädigungsparameter für Stahlbetonbauteile unter zyklischer Beanspruchung bewertetund Empfehlungen für ihre Verwendung zusammen mit den numerischen Modellen desBerechnungsprogramms gegeben.

Einleitung

16

1.4 AbgrenzungenDer Einsatzbereich des Berechnungsprogramms begrenzt sich auf Stahlbetonrahmen, dienach der Methode der Kapazitätsbemessung für niedrige bis mittlere Seismizität ausge-legt sind. Diese Rahmen besitzen die Eigenschaft, dass sich unter Erdbebeneinwirkungein geeigneter plastischer Mechanismus bildet. Die plastischen Bereiche bilden sich aus-schliesslich an vorgängig festgelegten Orten im Stahlbetonrahmen. Sie zeichnen sichdurch ein duktiles Verhalten über mehrere Beanspruchungszyklen ohne vorzeitiges Sprö-des Versagen aus. Die plastischen Bereiche befinden sich hauptsächlich in den Rahmen-riegeln, mit wenigen Ausnahmen auch an den Stützenfüssen, die jedoch für das globaleVerhalten von untergeordneter Bedeutung sind.

Die Neuentwicklungen beschränken sich auf Stabelemente für die plastischen Bereiche,die zusammen mit einem dynamischen Berechnungsprogramm mit einer Userelement-Schnittstelle verwendet werden können. Die erforderlichen Eingabegrössen für dieBeschreibung des nichtlinear-zyklischen Materialverhaltens umfasst nur die üblichenBemessungsgrössen von Stahlbetonquerschnitten, ohne dass vorgängig weitere Parame-ter an Versuchen kalibriert werden müssen.

17

2 Grundlagen

2.1 BerechnungsverfahrenDurch die raschen Bodenbewegungen während eines Erdbebens wird ein Bauwerk abhän-gig von seinen dynamischen Eigenschaften zum Schwingen angeregt. Mit vereinfachen-den Berechnungsverfahren wird versucht, die im Tragwerk durch die Erdbebenanregunghervorgerufenen Schnittkräfte und Verformungen zu bestimmen. Vier der häufiger ange-wandten Berechnungsverfahren, nämlich das Ersatzkraftverfahren, das Antwortspektren-verfahren, die nichtlineare statische und die nichtlineare dynamische Berechnung, werdenim Folgenden kurz beschrieben. Die aufwendigeren linearen Berechnungsverfahren derDynamik, wie modale Analyse, Methoden im Frequenzbereich und lineare Zeitverlaufs-berechnungen, die in anderen Bereichen der Baudynamik und des Erdbebeningenieurwe-sens eine grosse Bedeutung haben, werden hier nicht behandelt, da bei Stahlbetonbauwer-ken das nichtlineare Materialverhalten bei der Wahl des geeigneten Berechnungsverfah-rens eine entscheidende Rolle spielt und kompliziertere dynamische Methoden ohneangemessene Berücksichtigung des nichtlinearen Materialverhaltens nicht gerechtfertigtsind.

2.1.1 ErsatzkraftverfahrenDas Ersatzkraftverfahren ist das zur Zeit gebräuchlichste Verfahren in den Erdbebennor-men, wie z.B. in der Schweizer Erdbebennorm SIA 160 [SIA 160]. Die dynamische Erd-bebeneinwirkung wird durch statische Ersatzkräfte ersetzt, die im Tragwerk etwa gleichgrosse Beanspruchungen erzeugen sollen, wie sie während der Dauer des Erdbebensmaximal entstehen würden. Dabei wird jede der beiden Hauptrichtungen im Grundrissdes Tragwerkes separat betrachtet. Pro Hauptrichtung wird das Tragwerk durch einen nurin der Grundschwingungsform schwingenden Mehrmassenschwinger, den Ersatzstab,modelliert (Bild 2.1). Die maximale Antwort wird bei der entsprechenden Grundfrequenzaus einem Norm-Antwortspektrum der Erdbebenanregung herausgelesen. Höhere Eigen-schwingungsformen und die vertikale Anregung werden vernachlässigt [Bac 95].

Bild 2.1: Ersatzkraftverfahren: Tragwerk (links) undErsatzstab mit Ersatzkräften (rechts)

Grundlagen

18

Zur Bestimmung der Ersatzkräfte werden typischerweise die gesamten Massen anstelleder effektiven modalen Massen der Grundschwingungsform verwendet. Diese Vereinfa-chung dient als zusätzliche Sicherheit zur teilweisen Kompensation vernachlässigterEffekte, wie der Einfluss höherer Eigenschwingungsformen. Für die Verteilung derErsatzkräfte über die Bauwerkshöhe wird die Grundschwingungsform häufig linearapproximiert (Bild 2.1). Der Einfluss des nichtlinear plastischen Materialverhaltens wirdpauschal durch einen Reduktionsfaktor erfasst. Zusätzlich kann über die Annahme redu-zierter Querschnittswerte bei der Bestimmung der Grundfrequenz ebenfalls nichtlinearesVerhalten, wie Rissebildung, Plastifizierungen, usw. berücksichtigt werden. Im Eurocode8 wird das Ersatzkraftverfahren als „vereinfachtes Antwortspektrenverfahren“ und derReduktionsfaktor als „Verhaltensbeiwert q“ bezeichnet [EC 8-1-2].

2.1.2 AntwortspektrenverfahrenDas Antwortspektrenverfahren ist ein lineares dynamisches Verfahren zur Bestimmungder maximalen Antwort während eines Zeitverlaufes der Anregung. Es beruht darauf,dass für gewisse Annahmen für die Dämpfung ein linearer Mehrmassenschwinger durcheine Variablentransformation auf modale Koordinaten in ein System von entkoppeltenEinmassenschwingern übergeführt werden kann. Jeder entkoppelte Einmassenschwingerentspricht einer Eigenschwingungsform des ursprünglichen Mehrmassenschwingers. Diemaximalen Antworten der einzelnen Eigenschwingungsformen können mit Hilfe einesAntwortspektrum der Erdbebenanregung bestimmt werden [Web 00]. Die Summe derAbsolutwerte der maximalen Antworten der einzelnen Schwingungsformen bildet einenoberen Grenzwert für die Antwort des Gesamtsystems. Da die Maximalwerte der einzel-nen Eigenschwingungsformen praktisch nie zum gleichen Zeitpunkt auftreten, wird imAllgemeinen anstelle dieser Summe die Wurzel aus der Summe der Quadrate der maxi-malen Antworten der einzelnen Schwingungsformen verwendet (z.B. [EC 8-1-2]). DieseÜberlagerungsregel ergibt den Erwartungswert der maximalen Gesamtantwort, falls dieSchwingungen der einzelnen Eigenformen als unabhängige Zufallsschwingungenbetrachtet werden können. Für gekoppelte Schwingungen, wovon vor allem bei nahe bei-einanderliegenden Eigenfrequenzen auszugehen ist, sind kompliziertere Überlagerungs-regeln erforderlich, wie z.B. die sogenannte Vollständige Quadratische Kombination(Complete Quadratic Combination, CQC) [Der 80].

Das Antwortspektrenverfahren erlaubt, das lineare dynamische Verhalten auch von unre-gelmässigen Tragwerken, wo höhere Eigenschwingungsformen berücksichtigt werdenmüssen, mit ebenen oder räumlichen Modellen zu berechnen. Die Erdbebenanregung inder Form von Antwortspektren kann gleichzeitig in allen Richtungen erfolgen. Dagegenist das nichtlineare Verhalten ähnlich wie beim Ersatzkraftverfahren nur approximativdurch einen pauschalen Reduktionsfaktor zu erfassen, der frequenzabhängig sein kann,d.h. unterschiedlich für die einzelnen Schwingungsformen. Eine weitere Möglichkeit zurBerücksichtigung von nichtlinearem Verhalten besteht darin, anstelle der Anfangssteifig-keit, d.h. der Tangentensteifigkeit bei Verformung null, die Sekantensteifigkeit bei demzu erwartenden Verformungsniveau zu verwenden, wie dies auch beim Ersatzkraftverfah-ren möglich ist.

Berechnungsverfahren

19

2.1.3 Nichtlineare statische BerechnungBei der nichtlinearen statischen Berechnung wird das Kraft-Verformungs-Verhalten einesTragwerkes unter Berücksichtigung der plastischen Verformungen im Tragwerkbestimmt. Typischerweise wird für das oberste Geschoss des Tragwerkes (Dachebene)die horizontale Verschiebung δ in Funktion der totalen horizontalen Ersatzkraft Ftot, diesogenannte Pushover-Kurve, schrittweise bis zum Versagen berechnet (Bild 2.3, rechts).Die Verteilung der einzelnen Ersatzkräfte Fi über die Bauwerkshöhe erfolgt entsprechendder Grundschwingungsform; häufig wird sie wie beim Ersatzkraftverfahren linear appro-ximiert (Bild 2.3, links). Es ist ebenfalls möglich, den Einfluss höherer Eigenformen mitPushover-Kurven zu erfassen [Par+ 95]. Die nichtlineare statische Berechnung erlaubt,den sich einstellenden plastischen Mechanismus zu bestimmen und den lokalen Verfor-mungsbedarf der plastischen Bereiche für eine vorgegebene globale Verschiebung abzu-schätzen.

Bild 2.2: Antwortspektrenverfahren: Tragwerk (links) und Verschiebungsanteile aus dendrei horizontalen Eigenschwingungsformen (rechts)

Bild 2.3: Nichtlineare statische Berechnung: Tragwerk mit horizontalen Ersatzkräften Fi(links) und horizontale Kraft-Verschiebungskurve (Pushover-Kurve) (rechts)

+ +

Fi

δ

δ

Ftot

Grundlagen

20

Eine besonders anschauliche Art der nichtlinearen statischen Berechnung ist das Kapazi-tätsspektrumverfahren, bei dem die Kapazität horizontalen Kräften zu widerstehen mitdem entsprechenden Bedarf aus einem Bemessungsspektrum graphisch miteinander ver-glichen werden [FNT 75], [Fre 98]. Dazu wird die Pushover-Kurve unter Berücksichti-gung der dynamischen Eigenschaften des Tragwerkes von einer Kraft-Verschiebungs-Kurve in eine Beschleunigungs-Verschiebungs-Kurve (A-D-Kurve), die als Kapazitäts-kurve bezeichnet wird, umgewandelt (Bild 2.4). Die Bedarfskurve ist ein elastischesBemessungsspektrum mit einer bestimmten viskosen Dämpfung, das ebenfalls in einBeschleunigungs-Verschiebungsdiagramm umgeformt wird, so dass die entsprechendenSpektralwerte in das gleiche A-D-Koordinatensystem wie die Kapazitätskurve einge-zeichnet werden können (Bild 2.4). Der Schnittpunkt der Kapazitätskurve mit derBedarfskurve ist der Bemessungspunkt. Dort erreicht das vorhandene nichtlineare Verfor-mungsvermögen (Kapazität) des Tragwerkes unter monodirektionaler statischer Bean-spruchung den erforderlichen Wert des Bemessungsspektrums (Bedarf).

Ob die Bedarfskurve aufgrund eines Bemessungsspektrums mit höhereren Dämpfungsra-ten als der für elastische Bemessungsspektren in den Normen übliche Wert von 5% äqui-valenter viskoser Dämpfung bestimmt werden darf, ist umstritten. Während [Fre 98] fürStahlbetontragwerke Dämpfungswerte bis 40% annimmt, zeigen [CG 99] und [AG 00]mittels nichtlinearen dynamischen Vergleichsberechnungen, dass die Annahme höhererDämpfungswerte für das Kapazitätsspektrumverfahren nicht auf der sicheren Seite liegtund das Prinzip der gleichen Verschiebungen verletzt.

2.1.4 Nichtlineare dynamische BerechnungBei der nichtlinearen dynamischen Berechnung wird das Tragwerk als Ein- oder Mehr-massenschwinger modelliert. Das zugehörige System von nichtlinearen Bewegungsglei-chungen wird pro Zeitschritt linearisiert und über die Einwirkungszeit der Erdbebenanre-gung numerisch integriert [Cho 95]. Nichtlineares Materialverhalten lässt sich berück-sichtigen. Die Berechnung wird üblicherweise mit der Methode der Finiten Elementedurchgeführt, wobei sich für die Zeitintegration zwei unterschiedliche Algorithmen

Bild 2.4: Kapazitätsspektrumverfahren: Beschleunigungs-Verschiebungs-Diagramm desTragwerks (Kapazitätskurve) und des Bemessungsspektrums (Bedarfskurve)

A

D

Kapazitätskurve

Bedarfskurve

Bemessungspunkt

Berechnungsverfahren

21

durchgesetzt haben: die explizite Methode der zentralen Differenzen und die implizitenMethoden [AEM 86]. Bei den impliziten Methoden muss die Steifigkeitsmatrix in jedemZeitschritt ähnlich wie bei einem statischen Verfahren neu gebildet und das Gleichungs-system gelöst werden. Bei der expliziten Methode ist dies nicht erforderlich, dafür mussder Zeitschritt der Integration wesentlich kleiner gewählt werden. Bei Rahmentragwer-ken, wo kombiniert Biegung und Normalkraft auftreten, ist die explizite Methode eherungünstig. Der Zeitschritt muss basierend auf den hochfrequenten Eigenschwingungender Normalkraftverformungen sehr klein festgelegt werden, während die für das Trag-werksverhalten entscheidenden Biegeverformungen einen viel grösseren Zeitschritterlauben würden [AEM 86]. Deshalb wurde hier eine implizite Methode für die Berech-nung von Stahlbetonrahmen angewandt.

Die nichtlineare dynamische Berechnung wird oft als Referenzmethode zur Bestimmungder zulässigen Einsatzbereiche der einfacheren Verfahren eingesetzt, da sie das wirklicheVerhalten am präzisesten erfasst und auch komplexere Systeme damit gelöst werden kön-nen. Die Leistungsfähigkeit der modernen Computer erlauben einen immer feinerenDetaillierungsgrad der Modellierung bezüglich Geometrie und Materialverhalten. Prak-tisch stösst man jedoch rasch an Grenzen infolge des stark ansteigenden Aufwandes fürdie Erstellung der numerischen Modelle und insbesondere für die Interpretation der sehrumfangreichen Resultate.

2.1.5 Vergleich der BerechnungsverfahrenIn Anlehnung an [Bac 95] sind in Tabelle 2.1 die wesentlichen Merkmale der vier bespro-chenen Berechnungsverfahren zusammengefasst. Die Einsatzbereiche des Ersatzkraftver-fahrens, des Antwortspektrenverfahrens und der nichtlinearen statischen Berechnung sindals Folge der vereinfachenden Annahmen mehr oder weniger eingeschränkt. Gerade dort,wo diese einfacheren Verfahren nicht mehr angewandt werden dürfen, steht mit der nicht-linearen dynamischen Berechnung eine sehr leistungsfähige, wenn auch wesentlich auf-wendigere Methode zur Verfügung.

Grundlagen

22

Ersatzkraft-verfahren

Antwort-spektren-verfahren

Nichtlinearestatische

Berechnung

NichtlinearedynamischeBerechnung

dynamischesModell

linearer Einmassen-schwinger

linearer Mehrmas-senschwinger

nichtlinearer Ein-massenschwinger

nichtlinearer Mehr-massenschwinger

geometrischesModell

zweidimensional zwei- oderdreidimensional

zweidimensional zwei- oderdreidimensional

Materialmodell linear linear nichtlinear nichtlinear

Dämpfungsmodell viskos viskos viskos viskos undhysteretisch

BerücksichtigteEigenschwingungs-formen

nur Grund-schwingungsform

Grund- und höhereEigenschwingungs-

formen.

nur Grund-schwingungsform

nicht relevant

Berücksichtigungder Torsion

Vergrösserungs-faktor

linear Vergrösserungs-faktor

nichtlinear

Berücksichtigungvon Materialnicht-linearitäten

pauschalerReduktionsfaktor

pauschalerReduktionsfaktor

nichtlinearesMaterialmodell

nichtlinearesMaterialmodell

Erdbebenanregung Antwortspektrum Antwortspektrum Antwortspektrum Zeitverlauf

Resultatgrössen Schnittkräfte undVerformungen

Schnittkräfte undVerformungen

lokalerDuktilitätsbedarf;Schnittkräfte und

Verformungen

lokalerDuktilitätsbedarf;Schnittkräfte und

Verformungen

Begrenzung desEinsatzbereiches

regelmässigeBauwerke

alle Bauwerke Grund-schwingungsform

dominierend

alle Bauwerke

TypischeAnwendungen

Bemessung Bemessung NachrechnungbestehenderBauwerke

Nachweis vonbedeutendenBauwerken;

Nachrechunungvon Versuchen

Berechnungsauf-wand

klein mittel gross sehr gross

Tabelle 2.1: Vergleich der wesentlichen Merkmale der Berechnungsverfahren

Bemessungsmethoden

23

2.2 Bemessungsmethoden

2.2.1 Kraftbasierte BemessungBei der kraftbasierten Bemessung werden in einem ersten Schritt die Schnittkräfte infolgeeines Beschleunigungs-Antwortspektrums ermittelt. Die Berechnung der Schnittkräfteerfolgt mit dem Ersatzkraft- oder dem Antwortspektrenverfahren und mit elastischenSteifigkeiten des Tragwerkes. Zur Berücksichtigung nichtlinearen Materialverhaltenswerden die elastischen Schnittkräfte durch einen Reduktionsfaktor dividiert, der häufigvereinfachend gleich gross wie die Verschiebeduktilität angenommen wird. Dieses Vor-gehen basiert auf dem sehr einfachen Prinzip der gleichen Verschiebungen bei elasti-schem und elasto-plastischem Materialverhalten und ist in Bild 2.5 umgeformt in eineBeschleunigungs-Verschiebungs-Kurve (A-D-Kurve) als Bemessungsweg (1) einge-zeichnet [NH 82]. Der Endpunkt des Bemessungsweges (1) liegt auf dem inelastischenBemessungsspektrum senkrecht unter dem Schnittpunkt der Geraden „Anfangssteifig-keit“ mit dem elastischen Bemessungsspektrum (Bild 2.5). Genauere Untersuchungen in[VFF 94] zeigten eine kompliziertere Beziehung zwischen Reduktionsfaktor und Ver-schiebeduktilität auf, d.h. der Reduktionsfaktor ist abhängig von der Grundfrequenz desTragwerkes etwas kleiner als die Verschiebeduktilität.

Im zweiten Schritt der Bemessung werden die erforderlichen Querschnittsabmessungenund die Bewehrung der einzelnen Bauteile für diese Schnittkräfte festgelegt. Abschlies-send wird kontrolliert, ob die Stockwerkverschiebungen innerhalb der tolerierbarenWerte bleiben. Ein Vorteil der kraftbasierten Bemessung liegt darin, dass das allgemeineVorgehen für die Einwirkung Erdbeben gleich ist wie für die klassischen EinwirkungenSchwerelasten, Schnee oder Wind. Gerade bei niedriger Seismizität, wo die EinwirkungErdbeben nicht immer massgebend ist, kann somit einfach für die Umhüllende derSchnittkräfte infolge Erdbeben oder Wind bemessen werden.

2.2.2 Verschiebungsbasierte BemessungWenn bei duktilen Tragwerken der Tragwiderstand erreicht wird, bleiben die Schnitt-kräfte für einen relativ grossen Verformungsbereich, den Bereich der plastischen Verfor-mungen, praktisch konstant. Die primäre Fokussierung auf diese Schnittkräfte, wie in derkraftbasierten Bemessung, erfasst das wirkliche Verhalten des Tragwerks weniger gut alseine Betrachtung des Verschiebungszustandes [Moe 92]. Bei der verschiebungsbasiertenBemessung wird für eine vorgegebene Verschiebung aus einem Verschiebungs-Antwort-spektrum bemessen. Für diese Bemessungsverschiebung und eine gewählte Verschiebe-duktilität wird anschliessend die Sekantensteifigkeit des Tragwerks abgeschätzt [Pri 94].Der resultierende Bemessungsweg (3) in Bild 2.5 reduziert sich auf einen linearenAnstieg mit der Sekantensteifigkeit vom Nullpunkt bis zum Schnittpunkt mit dem inela-stischen Bemessungsspektrum. Die Berechnung der Schnittkräfte erfolgt analog zur kraft-basierten Bemessung mit dem Ersatzkraft- oder dem Antwortspektrenverfahren jedochmit der Sekantensteifigkeit des Tragwerkes. Falls die Stockverschiebungen massgebendsind, weist die verschiebungsbasierte Bemessung den Vorteil auf, dass die Bemessung ineinem Schritt ohne Iterationen abgeschlossen werden kann.

Grundlagen

24

Welche äquivalente viskose Dämpfung für das Verschiebungs-Antwortspektrum einge-führt werden darf, ist zur Zeit noch umstritten [Faj 99]. In Abhängigkeit des plastischenMechanismus und des Werkstoffes werden in [Pri 94] und [Cal 94] reduzierte Verschie-bungsspektren mit Dämpfungswerten bis zu 20% empfohlen. Dagegen sieht [CG 99]keine ausreichende Rechtfertigung für die Verwendung von höheren Dämpfungswertenfür die Verschiebungsspektren gegenüber den für elastische Beschleunigungsspektrenüblichen 5% viskoser Dämpfung. Eine zusätzliche Reduktion der Verschiebungsspektrenkonnte mit nichtlinearen Zeitverlaufsberechnungen nicht begründet werden und verletztdas Prinzip der gleichen Verschiebungen [CG 99]. Um diese Differenzen auszuräumensind weitere Parameterstudien mit nichtlinearen dynamischen Berechnungen erforderlich.

Wird die verschiebungsbasierte Bemessung gleich wie die kraftbasierte Bemessung nachdem Prinzip der gleichen Verschiebungen ohne Berücksichtigung zusätzlicher Dämpfungdurchgeführt, so erhält man für beide Verfahren das gleiche Resultat (Bemessungswege1 und 3 in Bild 2.5). Auch das Kapazitätsspektrumverfahren liefert unter diesen Voraus-setzungen das gleiche Resultat (Bemessungsweg 2). Zwar sind die drei Bemessungswegeunterschiedlich, doch treffen sie sich im gleichen Bemessungspunkt im Beschleunigungs-Verschiebungs-Diagramm, wie in Bild 2.5 für einen Bemessungspunkt im Bereich kon-stanter Beschleunigung des Bemessungsspektrums und für einen Reduktionsfaktor vonzwei gezeigt.

2.2.3 Methode der KapazitätsbemessungDie Methode der Kapazitätsbemessung hat zum Ziel, ein Tragwerk ausreichend duktil zugestalten [PBM 90], [Bac 95]. Es handelt sich primär um eine kraftbasierte Bemessungs-methode, die zusätzlich ein genügendes plastisches Verformungsvermögen unter zykli-scher Beanspruchung ohne nennenswerte Reduktion des Tragwiderstandes sicherstellt.Die plastischen Bereiche des Tragwerks werden so gewählt, dass ein geeigneter plasti-scher Mechanismus entsteht, und so bemessen und konstruktiv durchgebildet, dass siegenügend duktil für das Bemessungsbeben sind. Die übrigen Bereiche werden elastisch

Bild 2.5: Vergleich der unterschiedlichen Bemessungswege im Beschleunigungs-Verschiebungs-Diagramm für kraftbasierte Bemessung (1), Kapazitäts-

spektrumverfahren (2) und verschiebungsbasierte Bemessung (3)

A

D

elastisches Bemessungsspektrum

Sekantensteifigkeit

inelastisches Bemessungsspektrum

Anfangssteifigkeit

3

1

2

Bemessungsmethoden

25

für diejenigen Schnittkräfte bemessen, die sich im Tragwerk einstellen, wenn die plasti-schen Bereiche ihre Überfestigkeit (Kapazität) erreichen [Pau 93]. Damit wird verhindert,dass sich in den übrigen Bereichen, die nicht besonders duktil gestaltet sind, vorzeitig einsprödes Versagen einstellt.

Ein geeigneter plastischer Mechanismus zeichnet sich dadurch aus, dass sich möglichstviele plastischen Bereiche mit grossem Verformungsvermögen bilden und dass für einegegebene globale Verschiebung des Tragwerkes der lokale Duktilitätsbedarf der plasti-schen Bereiche so klein wie möglich bleibt. Konkret bedeutet dies für Stahlbetonrahmen,dass Stockwerkmechanismen, wo sich die plastischen Bereiche auf nur ein Stockwerkkonzentrieren, zu vermeiden sind (Bild 2.6, rechts). Ungünstig sind ferner Mechanismenmit plastischen Bereichen vorwiegend in den Stützen. Die Normalkraft (Druckkraft) redu-ziert das plastische Verformungsvermögen der Stützenquerschnitte. Anzustreben sindMechanismen mit den plastischen Bereichen in den Rahmenriegeln, wo die Normalkraftvernachlässigbar klein bleibt (Bild 2.6, Mitte). Ein erdbebengerechter Stahlbetonrahmensollte deshalb nach dem Konzept „starke Stützen - schwache Riegel“ ausgelegt werden[Bac 95]. Auch bei Berücksichtigung dieses Konzept ist es praktisch nicht zu vermeiden,dass bei den Stützenfüssen im Erdgeschoss und bei den Stützenköpfen im oberstenGeschoss plastische Gelenke entstehen (Bild 2.6 links). Ferner ist zu beachten, dass dieBildung eines Mechanismus hier nicht mit der Erschöpfung der Tragfähigkeit gleichzu-setzen ist. Einerseits können bei dynamischer Beanspruchung Trägheitskräfte weiterhinstabilisierend wirken, andererseits zeichnen sich kapazitätsbemessene plastische Bereichedurch ein grosses plastisches Verformungsvermögen mit Verfestigung aus.

Diese typischen Merkmale von Stahlbetonrahmen, die nach der Methode der Kapazitäts-bemessung ausgelegt sind, wirken sich vorteilhaft auf die Modellierung für die nichtli-neare dynamische Berechnung aus. Die Festlegung von bestimmten plastischen Berei-chen sowie die Bemessung der übrigen Bereiche für ausschliesslich elastisches Verhaltenermöglicht es, die nichtlineare Modellierung auf diese plastischen Bereiche zu beschrän-ken und alle übrigen Bereiche linear zu modellieren.

Bild 2.6: Mechanismen von Stahlbetonrahmen: geeigneter Riegelmechanismus (links), un-geeigneter Stützenmechanismus (Mitte) und ungeeigneter Stockwerkmechanismus (rechts)

Grundlagen

26

27

3 Hysteresemodelle für numerischeBerechnungen

3.1 Stahlbeton unter zyklischer BeanspruchungHysteresemodelle dienen zur Beschreibung des Materialverhaltens unter zyklischerBeanspruchung. Dabei wird zwischen Materialverhalten im eigentlichen Sinne, d.h.zyklisches Spannungs-Dehnungs-Verhalten des Bewehrungsstahls und des Betons, undBauteilverhalten, das durch das Zusammenwirken der beiden Baustoffe bestimmt wird,unterschieden. Die folgenden Ausführungen beschränken sich auf das Hystereseverhaltenvon ganzen Bauteilen aus Stahlbeton, wie Riegel und Stützen.

Versuchsresultate von Stahlbetonbauteilen unter zyklischer Beanspruchung zeigen eineVielzahl von sehr unterschiedlichen Verhaltensmustern, die sich auf den ersten Blick nurschwer einordnen lassen. Werden konventionell, d.h. nach für Beanspruchungen ausSchwerelasten üblichen Regeln, bemessene Bauteile mit solchen, die nach der Methodeder Kapazitätsbemessung ausgebildet sind, verglichen, so lässt sich ein markanter Unter-schied bezüglich plastischem Verformungs- und Energiedissipationsvermögen feststel-len. Zur Illustration zeigt Bild 3.1 das Kraft-Verschiebungsdiagramm einer konventionellbemessenen Stahlbetonstütze [Pri+ 94] und Bild 3.2 eines kapazitätsbemessenen Stahlbe-tonriegels [PBM 90] unter zyklisch-statischer Biegebeanspruchung. Während im konven-tionell bemessenen Bauteil die Hystereseschlaufen schlank und von Zyklus zu Zyklus inder Form variabel ausgefallen sind (Bild 3.1), zeichnet sich das kapazitätsbemessene Bau-teile durch fette stabile Hystereseschlaufen aus (Bild 3.2). Im ersten Fall fällt der Tragwi-derstand mit zunehmender plastischer Verformung rasch ab und als Folge geht die Ener-giedissipation pro Zyklus stark zurück, was insgesamt als relativ sprödes Verhalten

Bild 3.1: Horizontalkraft-Verschiebungsdiagramm einer konventionellbemessenen Stahlbetonstütze [Pri+ 94]

Hysteresemodelle für numerische Berechnungen

28

bezeichnet werden kann. Das kapazitätsbemessene Bauteil verfestigt sich ohne Abfall desTragwiderstandes bis weit in den plastischen Bereich hinein und die Energiedissipationpro Zyklus wird immer grösser. Es zeichnet sich durch ein sehr duktiles Verhalten aus.

Das Stahlbetonhystereseverhalten unterscheidet sich vom klassischen elasto-plastischenWerkstoffgesetz in erster Linie in den folgenden Merkmalen:

• TragwiderstandsabminderungMit zunehmenden plastischen Verformungen kann der Tragwiderstand, der pro Zy-klus erreicht wird, immer kleiner werden (Bild 3.1).

• SteifigkeitsabminderungNach der Entlastung mit einer Steifigkeit nahe der elastischen erfolgt die Wiederbe-lastung in entgegengesetzer Richtung mit einer erheblich reduzierten Steifigkeit.

• Einschnürung (Pinching)Die Hystereseschlaufen können um den Mittelpunkt herum eine S-förmige Einschnü-rung aufweisen.

Je nach Bemessungsart und Beanspruchungsverhältnissen können diese Merkmale mehroder weniger ausgeprägt sein. Mit der konstruktiven Gestaltung der Bewehrung nach derMethode der Kapazitätsbemessung wird jedoch die Tragwiderstandsabminderung prak-tisch ausgeschlossen (Bild 3.2). Auch die Einschnürung tritt bei kapazitätsbemessenenBauteilen höchstens in gemildeter Weise auf. Dagegen ist die Steifigkeitsabminderungauch bei kapazitätsbemessenen Bauteilen typisch; sie wird dort aber regelmässiger in derForm. Neben diesen drei sehr typischen Merkmalen wird das Hystereseverhalten vonStahlbeton noch von weiteren Phänomenen beeinflusst, die jedoch vor allem bei kapazi-tätsbemessenen Bauteilen von untergeordneter Bedeutung sind.

Für die numerische Modellierung des Hystereseverhaltens bedeutet die Beschränkung aufkapazitätsbemessene Bauteile eine wesentliche Vereinfachung. Die beiden schwierigerzu modellierenden Phänomene Tragwiderstandsabminderung und Einschnürung könnenvernachlässigt werden. Damit entfallen Phasen mit negativer Steifigkeit in der Zeitver-

Bild 3.2: Kraft-Verschiebungsdiagramm eines kapazitätsbemessenenStahlbetonriegels [PBM 90]

Numerische Modellierung

29

lausberechnung, die mit dem impliziten Verfahren nur mit grossen Schwierigkeiten zuüberwinden wären.

Andererseits erfasst das bilineare elastisch-plastische Materialmodell, das in vielenFinite-Element-Programmen zur Verfügung steht, die für Stahlbetonquerschnitte charak-teristische Steifigkeitsabminderung nicht. Eine Vernachlässigung der Steifigkeitsabmin-derung, wie in Bild 3.7 gestrichelt eingezeichnet, würde jedoch die Energiedissipation proZyklus stark überschätzen. Aus diesem Grund muss die numerische Modellierung dieSteifigkeitsabminderung zumindest in einer einfachen Form berücksichtigen.

3.2 Numerische ModellierungFür die numerische Berechnung von länglichen Bauteilen aus Stahlbeton wie Riegel,Stützen und Wände können die folgenden Modellierungsarten in der Reihenfolge mitzunehmendem geometrischem Detaillierungsgrad unterschieden werden:

• Stabmodell

• Fasermodell

• Kontinuumsmodell

3.2.1 StabmodellDie einfachste Modellierungsart für einen länglichen Träger ist das Stabmodell (Bild 3.3).Das Querschnittsverhalten wird auf die Stabachse reduziert. Das Materialverhalten wirdfür die Schnittgrössen des Querschnitts spezifiziert. Es umfasst das Verhalten der einzel-nen Materialpunkte im Querschnitt und die Integration über den Querschnitt. Z.B. kanndirekt das Hysteresegesetz für die Momenten-Krümmungsbeziehung aufgestellt werden.Entlang der Stabachse werden im einfachsten Fall konstante Eigenschaften über die Ele-mentlänge angenommen. Dann können die Steifigkeitskoeffizienten des Elementes direktintegriert werden.

3.2.2 FasermodellBeim Fasermodell wird der Querschnitt in einzelne Fasern aufgelöst, wobei Ebenbleibender Querschnitte nach der klassischen Stabtheorie angenommen wird. Bei Betrachtungeines sich nur in der Ebene verformenden Stabes, ergibt sich eine Faser pro Höhenlagedes Querschnittes oder anschaulich ein Schichtenmodell wie in Bild 3.4 dargestellt. DasMaterialgesetz wird für jede Faser separat eingegeben. Für einen Stahlbetonquerschnittkann zwischen Beton- und Bewehrungsfasern unterschieden und für beide je ein Span-

Bild 3.3: Stabmodell

Hysteresemodelle für numerische Berechnungen

30

nungs-Dehnungsgesetz spezifiziert werden. Das gesamte Querschnittsverhalten ergibtsich durch numerische Integration über alle Faserpunkte in einem Querschnitt. Entlangder Stabachse werden ebenfalls mehrere Integrationspunkte angenommen. Die Hypo-these der ebenbleibenden Querschnitte bedingt, dass nur ein starrer Verbund zwischenBewehrung und Beton angenommen werden kann. Das wirkliche Verbundverhaltenergibt ein insgesamt weicheres Verhalten, das näherungsweise über eine Modifikation derMaterialgesetze von Stahl und Beton erfasst werden kann. Fasermodelle haben den Vor-teil, dass die Interaktion zwischen Biegung und Normalkraft quasi automatisch über dieQuerschnittsintegration gelöst wird, da auf Stufe Faser beide Schnittkräfte Normalspan-nungen erzeugen.

3.2.3 KontinuumsmodellBeim Kontinuumsmodell wird das Bauteil mit zahlreichen kleinen Volumenelementenmodelliert, die über Knotenfreiheitsgrade miteinander verbunden sind. Ein dreidimensio-nales Materialmodell kann für jedes Element eingegeben werden. Neben Beton- undBewehrungselementen ist auch eine Zwischenschicht von Verbundelementen, die dasnichtlinear zyklische Verbundverhalten approximiert, möglich. Für ebene Verformungenkann ein einfacheres, ebenes Kontinuumsmodell mit Scheibenelementen realisiert wer-den. Auch räumliche Interaktionsprobleme werden durch das Kontinuumsmodell elegantgelöst. Doch wird dieser Vorteil durch grosse Schwierigkeiten bei der Formulierung dererforderlichen dreidimensionalen Materialgesetze erkauft. Der Modellierungs- undBerechnungsaufwand des Kontinuummodells ist schon für einen einzelnen Träger sehrgross. Für ein ganzes Tragwerk wird er enorm. Doch ist mit einer in Zukunft steigendenBedeutung dieser Modellierungsart zu rechnen, da mit zunehmender Leistungsfähigkeitder Computer und Weiterentwicklungen bei der automatischen Generierungssoftware fürdie erforderlichen Elementnetze immer grössere Modelle berechnet werden können.

Bild 3.4: Fasermodell

Bild 3.5: Kontinuumsmodell

Hysteresemodelle für Stabelemente

31

3.3 Hysteresemodelle für StabelementeFür die Berechnung von Stabelementen sind zahlreiche Hysteresemodelle entwickeltworden, mit denen versucht wird, das zyklische Verhalten von Stahlbeton nachzubilden.Eine schematische Übersicht über zwölf bekannte Hysteresemodelle für Stahlbeton mitunterschiedlicher Komplexizität zeigt Bild 3.6 aus [PRK 87]. Sie sind nach ihrem jewei-ligen Autor benannt: Clough [Clo 66], Fukada [Fuk 69], Aoyama [Aoy 71], Kustu [KB75], Tani [TN 73], Takeda [TSN 70], Park [PAW 84], Iwan [Iwa 73], Takayanagi [TS

Bild 3.6: Momenten-Krümmungsdiagramme von unterschiedlichenHysteresemodellen für Stahlbeton [PRK 87]

Hysteresemodelle für numerische Berechnungen

32

77], Muto [Mut+ 73], Atalay [AB 75] und Nakata [NSP 78]. Die wichtigsten drei Para-meter dieser Modelle beschreiben die Steifigkeitsabminderung, die Tragwiderstandsab-minderung und die Einschnürung. Bei kapazitätsbemessenen Tragwerken treten die Trag-widerstandsabminderung und die Einschnürung insbesondere bei Riegeln in den Hinter-grund. Es bleibt folglich die Steifigkeitsabminderung als typisches Merkmal für dasStahlbetonhystereseverhalten.

Bei den Umhüllungskurven der Hysteresemodelle haben sich die bilinearen oder trilinea-ren Modelle durchgesetzt, die dem klassischen elasto-plastischen Materialmodell mitkinematischer Verfestigung für Stahl entsprechen. Der Unterschied zwischen bilinearemund trilinearem Modell betrifft nur die Erstbelastungskurve im ersten Zyklus. Beim trili-nearen Modell wird im ersten Zyklus zwischen einer ersten ungerissenen und eineranschliessenden gerissenen Phase unterschieden. Für die weiteren Zyklen besteht keinUnterschied mehr.

Die komplizierteren Modelle haben den Nachteil, dass zusätzliche Parameter für dieBeschreibung des Querschnittsverhaltens bei der Berechnung eingegeben werden müs-sen. Damit wird ihre Anwendung stark eingeschränkt. Für die Entwicklung der Hysterese-modelle dieser Arbeit wurde deshalb aufbauend auf dem Clough-Modell ein einfachesHysteresemodell gewählt, das einerseits die Steifigkeitsabminderung berücksichtigt undandererseits mit der Eingabe der normalen Bemessungsgrössen des Stahlbetonquerschnit-tes vollständig beschrieben ist (Bild 3.7). Im Vergleich zum bilinearen elasto-plastischenMaterialmodell (in Bild 3.7 gestrichelt) erfolgt die Wiederbelastung in die entgegenge-setzte Richtung jeweils mit reduzierter Steifigkeit auf den Punkt der grössten bishererreichten Verformung hin. Das Modell wurde ferner erweitert, um die Interaktion zwi-schen Biegung und Normalkraft (Kapitel 4.3) und um ungleiche Fliessmomente für posi-tive und negative Biegung zu berücksichtigen.

Bild 3.7: Momenten-Krümmungs-Verhalten des gewähltenHysteresemodells für Stahlbetonfliessgelenke

My+

My-

ϕy+ϕy- ϕ

M

EIpl

EIpl

EIel

EIel

33

4 Neue Modelle für StahlbetonfliessgelenkeDie neu entwickelten Modelle für Stahlbetonfliessgelenke mit einem Hysteresegesetzentsprechend Bild 3.7 wurden als Userelemente in das Finite-Elemente-Programm Aba-qus eingebaut [Aba 95]. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass der eigene Entwicklungs-aufwand auf die Programmierung von nichtlinearen Stabelementen beschränkt blieb. Fürdie statischen und dynamischen Lösungsprozeduren, die Spezifizierung der Erdbebenan-regung und der Schwerelasten sowie für die graphische Ein- und Ausgabe der Daten kanndas Programm Abaqus unverändert übernommen werden. Ein weiterer Vorteil bestehtdarin, dass die selbst entwickelten Userelemente mit den zahlreichen bereits vorhandenElementtypen des Programms Abaqus kombiniert werden können. Das ausführliche Eva-luationsverfahren, das schliesslich zur Wahl dieses Vorgehens und des Programms Aba-qus geführt haben, ist in [Wen 90] erläutert. Rückblickend kann festgehalten werden, dasssich der damalige Entscheid sehr bewährt hat und auch heute wieder gleich ausfallenwürde. Da die Schnittstelle für Userelemente in Abaqus sehr allgemein formuliert ist,können die Userelemente mit geringem Aufwand zusammen mit anderen nichtlinearenFinite-Elemente-Programmen wie z.B. Marc verwendet werden [Mar 97].

Das gewählte Konzept besteht darin, die bei der Kapazitätsbemessung entsprechendeinem vorgewählten zweckmässigen Mechanismus angestrebte Unterteilung des Trag-werkes in festgelegte plastische Bereiche sowie in übrige Bereiche, die sich ausschlies-slich elastisch verhalten, für die Modellierung durch finite Elemente auszunützen. Dieschematische Darstellung in Bild 4.1 zeigt für einen ebenen Stahlbetonrahmen, wie dieeinzelnen Tragelemente modelliert werden. Die plastischen Bereiche werden in den Rie-geln eines ebenen Rahmen mit Userelementen des Typs U1 und in den Stützen mit TypU2 modelliert (Bild 4.1). Für räumliche Rahmen wird das Userelement U3 für die Riegelund U4 für die Stützen verwendet.

Die Länge dieser Userelemente wird entsprechend der zu erwartenden Länge des plasti-schen Bereichs gewählt. Die Länge dieses plastischen Bereichs ist primär abhängig vonden Abmessungen des Tragelementes, vor allem von der Länge bis zum Momentennull-punkt, von den Verfestigungseigenschaften des Bewehrungsstahls und von der Grösse der

Bild 4.1: Einsatzkonzept der Userelemente U1 und U2 bei der Berechnungeines ebenen Stahlbetonrahmen

Userel. U1

Userel. U2

Userel. U2

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

34

Normalkraftbeanspruchung [Bac 00]. Nach [PP 92] ist die Länge des plastischen Bereichsbei typischen Riegel- und Stützenabmessungen gerade etwa so gross wie die halbeTrägerhöhe. Verlängert bis zur anschliessenden Stützenachse ergibt sich daraus für dieRiegelgelenke eine Userelementlänge von ungefähr der ganzen Trägerhöhe (Bild 4.1).Bei den Fliessgelenken an den Stützenfüssen empfiehl sich ebenfalls eine Verlängerungder Userelementlänge auf eine ganze Trägerhöhe, um das Eindringen des plastischenBereichs in das Fundament approximativ zu erfassen. Alternativ kann der plastischeBereich mit mehreren Userelementen modelliert, wie dies bei der Nachrechnung einesdynamischen Versuchs an einer Stahlbetontragwand in Kapitel 6.4 gezeigt wird.

Für alle übrigen d.h. elastisch bleibenden Bereiche in Riegeln und Stützen werden Stan-dard-Stabelemente aus der Abaqus-Elementbibliothek verwendet. Die Userelemente U1bis U4 sind modular mit zunehmender Komplexität aufgebaut. Sie weisen ein elasto-pla-stisches Biegeverhalten mit kinematischer Verfestigung sowie Steifigkeitsabminderungbei zyklischer Biegebeanspruchung auf. Für die Stützenelemente wird zusätzlich dieInteraktion zwischen Biegung und Normalkraft berücksichtigt.

Im Rahmen des Forschungsprojektes „Nichtlineare dynamische Berechnung von Stahlbe-tonhochbauten“ wurden am Institut für Baustatik und Konstruktion der ETH Zürich wei-tere Abaqus-Userelemente für die Beschreibung des zyklischen Verhaltens von plasti-schen Bereichen in Stahlbetontragwerken nach diesem Konzept entwickelt [Bac 99]. DasProgrammsystem bestehend aus dem Finite-Elemente-Programm Abaqus erweitert durchdie erwähnten Userelemente wird Abaqus/Quake genannt. Die entsprechenden Userele-mente für Stahlbetontragwände sind in [Lin 93] und diejenigen für Koppelungsriegel in[Neu 99] beschrieben. Die Userelemente dieser Arbeit können zusammen mit denUserelementen von [Lin 93] und [Neu 99] für Tragwerksberechnungen eingesetzt wer-den. Das Anwendungsbeispiele dieser Userelemente sind für die Erdbebenberechnungvon Stahlbetonrahmen, teilweise kombiniert mit Tragwänden, in [WB 91], [BWL 92],[WLB 93], [BWL 94], [Bac 95], für die Erdbebenberechnung von Stahlbetontragwändenin [Lin 93], [LW 94], [LW 95], [Lin 97], [Lin 98], [LM 98] und für Brücken in [WB 95]publiziert worden.

4.1 Nichtlineares UserelementDas Finite-Elemente-Programm Abaqus bietet eine sehr allgemein formulierte Schnitt-stelle für selbstentwickelte Elemente, sogenannte Userelemente. Für jedes Userelementwird vom Hauptprogramm Abaqus die sogenannte Userelement-Subroutine aufgerufen,die der Benützer zusammen mit den Eingabedaten in der Programmiersprache Fortranbereitstellen muss. Diese Subroutine hat den Beitrag des Userelementes zur Lösung desgesamten Modells zu liefern. Für jeden Berechnungsschritt sind die Knotenkräfte undKnotenmomente F des Elementes in Funktion der Knotenverschiebungen und Knotenro-tationen u und weitere Zustandsvariablen H sowie die partiellen Ableitungen(Jacobische Matrix) zu bestimmen [Aba 96]:

F = F (u, H, Geometrie, Material, Feldvariablen, verteilte Lasten) (4.1)

F u∂⁄∂

Nichtlineares Userelement

35

F: Knotenkräfte und Knotenmomente

u: Knotenverschiebungen und Knotenrotationen

H: von der Lösung abhängende Zustandsvariablen

Im konkreten Falle eines Stabelementes sind in der Userelement-Subroutine die Knoten-kräfte und Momente sowie die tangentielle Elementsteifigkeitsmatrix für die vorgegebe-nen Verschiebungen und Rotationen zu berechnen sowie die internen Zustandsvariablenbezüglich des Spannungs- und Dehnungszustandes nachzuführen.

Für die Zeitverlaufsberechnung ist ferner das dynamische Integrationsverfahren zuberücksichtigen. Das Finite-Elemente-Programm Abaqus führt die implizite Zeitintegra-tion nach der Methode von Hilbert-Hughes-Tayler durch [HHT 77]. Bei dieser Methodewird die Gleichgewichtsbedingung durch den Hilbert-Hughes-Tayler-Operator ersetzt,der durch einen einzigen Parameter α charakterisiert wird. Über diesen Parameter α kanndie zusätzliche numerische Dämpfung gesteuert werden. Damit können hochfrequenteStörungen, die unter anderem infolge Änderung der Zeitschrittlänge durch die automati-sche Zeitschrittbestimmung hervorgerufen werden, effizient eliminiert werden [Aba 95].Bei der Formulierung des Userelementes sind die Besonderheiten des Zeitintegrations-verfahrens nach der Methode von Hilbert-Hughes-Tayler zu berücksichtigen. Der dyna-mische Kraftvektor F des Userelementes erhält dann folgende Form [Aba 96]:

(4.2)

M: Massenmatrix des Userelementes

: Beschleunigungsvektor des Userelementes zum Zeitpunkt

: statischer Kraftvektor des Userelementes zum Zeitpunkt

: statischer Kraftvektor des Userelementes zum Zeitpunkt

α: Parameter des Hilbert-Hughes-Tayler-Operators

Und die dynamische Elementsteifigkeitsmatrix A des Userelementes hat die Form:

(4.3)

C: Dämpfungsmatrix des Userelementes

K: Tangentensteifigkeitsmatrix des Userelementes

Die Ableitungen und werden für die Hilbert-Hughes-Tayler-Methode zu:

(4.4)

und

(4.5)

Die Grössen β und γ sind die Koeffizienten des Newmark-Operators. Sie können in Funk-tion von α wie folgt ausgedrückt werden:

F Mu·· t ∆t+( )– 1 α+( )G t ∆t+( ) αGt–+=

u·· t ∆t+( ) t ∆t+

Gt t

G t ∆t+( ) t ∆t+

A Mu··dud

------ 1 α+( )C

u·dud

------ 1 α+( )K+ +=

u··d ud⁄ u·d ud⁄

u··dud

------1

β∆t2

-----------=

u·dud

------γ

β∆t---------=

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

36

(4.6)

und

(4.7)

Die allgemeine dynamische Formulierung des Userelements kann vereinfacht werden,wenn der Parameter α des Hilbert-Hughes-Tayler-Operators gleich null gesetzt wird undwenn das Userelement keine Masse und keine Dämpfung sondern nur Steifigkeit auf-weist. Die Gleichungen (4.2) und (4.3) degenerieren dann zu:

(4.8)

und

(4.9)

Unter diesen Voraussetzungen ist nur noch der statische Kraftvektor am Ende des Zeit-schrittes und die Tangentensteifigkeitsmatrix im Userelement zu berechnen und an dasHauptprogramm zu übergeben. D.h. es sind die gleichen Grössen zu bestimmen wie beieiner statischen Berechnung.

Die automatische Zeitschrittbestimmung bewährt sich bei nichtlinearen dynamischenErdbebenberechnungen, bei denen die Anregung durch einen Zeitverlauf der Bodenbewe-gung erfolgt, im Allgemeinen nicht. Es ist meistens günstiger, den Zeitschritt über dieganze Dauer der Anregung konstant zu halten und gleich gross zu wählen wie das Zeitin-tervall, mit dem die Anregung definiert ist. Die Wahl unterschiedlicher Zeitschritte kannstärkere hochfrequente Störschwingungen hervorrufen. Generell empfiehlt sich, nebender hysteretischen Dämpfung in den nichtlinearen Elementen zusätzlich eine schwacheRayleigh-Dämpfung einzusetzen, um die Energiedissipation in den elastisch bleibendenTeilen des Tragwerks und in den nichttragenden Bauteilen zu simulieren. In den Anwen-dungsbeispielen wurden die Rayleigh-Dämpfungskoeffizienten auf ein äquivalentes vis-koses Dämpfungsmass von 3% abgestimmt (Kapitel 7.3.2), leicht weniger als der üblicheRichtwert von 5% für Bemessungsspektren für elastisches Verhalten in Erdbebennormen[EC 8-1-1]. Da der steifigkeitsproportionale Anteil der Rayleigh-Dämpfung eine ähnlicheWirkung bezüglich der Unterdrückung von hochfrequenten Störschwingungen wie die α-Dämpfung der Hilbert-Hughes-Tayler-Methode aufweist, ist eine zusätzliche numerischeDämpfung über den Parameter α nicht erforderlich. Damit kann α = 0 gesetzt werden, wasdie erwünschten Vereinfachungen bei der Userelement-Formulierung erlaubt (Gleichun-gen 4.8 und 4.9).

β 1 α–( )2

4--------------------=

γ 12--- α–=

F G t ∆t+( )=

A K=

Zweidimensionales Stabelement U1 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegeln

37

4.2 Zweidimensionales Stabelement U1 für Fliessgelenke inStahlbetonriegeln

4.2.1 ElementbeschreibungFür die Berechnung von Fliessgelenken in den Riegeln ebener Stahlbetonrahmen wurdedas Userelement des Typs U1 entwickelt. Es handelt sich um ein zweidimensionales Sta-belement mit je einem Knoten an den beiden Enden (Bild 4.2). Die Formulierung desUserelementes wurde möglichst einfach gewählt, jedoch unter Berücksichtigung derwesentlichen Phänomene in Rahmenriegeln, wo die Biegebeanspruchung vorherrschendist. Die Normalkraftbeanspruchung und die Querkraftverformung können dagegen prak-tisch vernachlässigt werden. Zusammenfassend wurden für das Userelement U1 folgendeAnnahmen getroffen:

• drei Freiheitsgrade pro Knoten (zwei Verschiebungen und Rotation)

• ebenbleibende Querschnitte nach der klassischen Stabtheorie von Euler-Bernoulli

• Querkraftverformungen vernachlässigt

• nichtlineares Biegeverhalten (siehe Kapitel 4.2.2)

• linear-elastisches Normalkraftverhalten

• Biegesteifigkeit und Normalkraftsteifigkeit konstant über die Stablänge

• keine Elementlasten

• keine Elementmassen

• Stabachse parallel zur globalen X-Achse.

Die letzte Annahme hat zur Folge, dass das lokale Elementkoordinatensystem mit demglobalen Koordinatensystem zusammenfällt. Die Elementsteifigkeitsmatrix kann direktin den globalen Koordinaten aufgestellt werden und die Vor- und Nachmultiplikation mitder Transformationsmatrix von lokalen in globale Koordinaten (Rotationsmatrix [re] in[AEM 85]) entfällt. Da Riegel in Rahmen in den meisten Fällen horizontal verlaufen,spart diese Vereinfachung Rechenzeit, andererseits kann die Koordinatentransformationfür schräg im Raum orientierte Riegel bei Bedarf leicht hinzugefügt werden. BesondereElementkräfte und Elementmassen sind für diese Userelemente nicht notwendig, da

Bild 4.2: Userelement des Typs U1 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegel

X

Y

l

l/2l/2

Mm

Ml

Mr

u4

u6u5

u1

u3u2EI, EA

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

38

Punktmassen und Knotenkräfte aus den Standardoptionen des Programms Abaqus zurVerfügung stehen und da die Verwendung der Userelemente auf die relativ kleinen pla-stischen Bereiche im Berechnungsmodell begrenzt bleibt.

Mit den oben aufgezählten Annahmen lassen sich für linear-elastisches Verhalten dieKoeffizienten der tangentiellen Elementsteifigkeitsmatrix KT eines Userelementes derLänge l, der Normalkraftsteifigkeit EA und der tangentiellen Biegesteifigkeit EIT direktaufstellen:

(4.10)

Die Reihenfolge der Freiheitsgrade u1 bis u6 der tangentiellen ElementsteifigkeitsmatrixKT ist wie in Bild 4.2 eingezeichnet. Zur Berücksichtigung des nichtlinearen Biegeverhal-tens wird als Biegesteifigkeit EIT in den Koeffizienten von KT die momentane Tangent-steifigkeit entsprechend dem in Bild 4.3 dargestelltem Momenten-Krümmungs-Dia-gramm verwendet, d.h je nach aktueller Position im Hysteresezyklus nimmt EIT den Wert

Bild 4.3: Momenten-Krümmungs-Diagramm des Userelementes U1

KT

EAl

------- 0 0EA–l

---------- 0 0

012EIT

l3

---------------6EIT

l2

------------ 012– EIT

l3

------------------6EIT

l2

------------

06EIT

l2

------------4EIT

l------------ 0

6– EIT

l2

---------------2EIT

l------------

E– Al

---------- 0 0EAl

------- 0 0

012– EIT

l3

------------------6– EIT

l2

--------------- 012EIT

l3

---------------6– EIT

l2

---------------

06EIT

l2

------------2EIT

l------------ 0

6– EIT

l2

---------------4EIT

l------------

=

My+

My-

ϕy+ϕy- ϕ

M

EIpl

EIpl

EIel

EIel EIred

EIred

Zweidimensionales Stabelement U1 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegeln

39

EIel, EIpl oder EIred an. Die Bestimmung dieser Biegesteifigkeiten erfolgt gemäss den imfolgenden Kapitel 4.2.2 beschriebenen Hystereseregeln. Die Biegesteifigkeit EIT wirdjeweils für lineares und für nichtlineares Verhalten als konstant über die ganze Stablängeangenommen.

Als Referenzpunkt für die Bestimmung der Biegesteifigkeit EIT dient der Mittelpunkt desElementes mit dem Moment Mm, das gleich dem Mittelwert aus dem Moment Ml beimAnfangsknoten (links) und dem Moment Mr beim Endknoten (rechts) ist (Bild 4.2):

(4.11)

Die entsprechende Krümmung ϕ im Mittelpunkt des Elementes berechnet sich aus derDifferenz der beiden Knotenrotationen u3 und u6 dividiert durch die Elementlänge l:

(4.12)

Die Bestimmung der Knotenkräfte F des Elementes erfolgt inkrementell. In jedem Zeit-schritt werden die inkrementellen Knotenkräfte aus den inkrementellen Verschiebun-gen und der tangentiellen Elementsteifigkeitsmatrix KT berechnet:

(4.13)

Die totalen Knotenkräfte im Zeitschritt ergeben sich durch Addition derKnotenkräfte vom vorherigen Zeitschritt und der inkrementellen Knotenkräftedes betrachteten Zeitschrittes:

(4.14)

Die Knotenkräfte werden anschliessend als interne Zustandsvariablen des Userelementesabgespeichert (Tabelle 4.2) und stehen zu Beginn des nächsten Zeitschrittes wieder zurVerfügung für die Addition nach Gleichung (4.14).

4.2.2 HystereseregelnDas nichtlineare Verhalten des Userelementes U1 ist auf die Biegung beschränkt. Unterzyklischer Beanspruchung folgt die Momenten-Krümmungs-Beziehung den in Bild 4.3dargestellten Hystereseschlaufen, die durch die beiden gestrichelt eingezeichneten paral-lelen Linien für elasto-plastisches Materialverhalten mit kinematischer Verfestigung ein-gegrenzt sind. Die Neigung dieser beiden Linien entspricht der VerfestigungssteifigkeitEIpl. Im Gegensatz zum elasto-plastischen Materialverhalten erfolgt der Wiederanstiegnach vorgängigem plastischem Fliessen in der Gegenrichtung nicht mit der elastischenSteifigkeit EIel sondern mit einer reduzierten Steifigkeit EIred die von Fall zu Fall unter-schiedlich sein kann (siehe Hystereseregel ). Das positive Fliessmoment und dasnegative Fliessmoment können im Betrag verschieden sein, wie dies für Stahlbeton-riegel typisch ist, die aus einem Unterzug und einer mitwirkenden Deckenbreite bestehen.

Für die Programmierung wird das nichtlineare Biegeverhalten in einzelne Abschnitteunterteilt, die je durch eine bestimmte Hystereseregel charakterisiert sind. Insgesamt

Mm

Ml Mr–

2-------------------=

ϕu6 u3–

l-----------------=

∆F∆u

∆F KT ∆u⋅=

F t ∆t+( ) t ∆t+Ft ∆F

F t ∆t+( ) Ft ∆F+=

3± My+

My-

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

40

ergeben sich für das Userelement U1 sieben unterschiedliche Hystereseregeln, die von -3bis +3 numeriert sind. Hystereseregelnummer wird als interne Zustandsvariable imUserelement abgespeichert (Kapitel 4.2.3). Sie dient quasi als Materialgedächtnis überden bisherigen Verlauf der Beanspruchungen im Userelement.

Zur Illustration der Hystereseregeln dient Bild 4.4, wo jede Seite der polygonalen Hyste-reseschlaufe mit einem Kästchen gekennzeichnet ist. Im linken Feld des Kästchens stehtjeweils als Ausgangslage die Nummer der Hystereseregel beim letzten Zeitschritt, d.h.beim Zeitpunkt t, und in den rechten Feldern sind die Nummern der möglichen Hysterese-regel angegeben, in die im nächsten Schritt beim Zeitpunkt t+∆t hinübergewechselt wer-den kann.

Im Folgenden werden die einzelnen Hystereseregeln in derselben Reihenfolge erklärt, wiesie in Bild 4.4 in der angegebenen Pfeilrichtung durchfahren werden:

Hystereseregel 0

Die Hystereseregel 0 kennzeichnet linear-elastisches Verhalten. Die Biegesteifigkeitbeträgt EIel. Im nächsten Zeitschritt bleibt das Verhalten entweder gleich, d.h. linear-ela-stisch (Hystereseregel 0), oder es setzt bei Überschreitung des positiven Fliessmomentes

(Hysteresereregel +1) bzw. des negativen Fliessmomentes (Hystereseregel -1)plastisches Fliessen mit der Verfestigungssteifigkeit EIpl ein.

Hystereseregel +1

Die Hystereseregel +1 beschreibt plastisches Fliessen mit der VerfestigungssteifigkeitEIpl unter positivem Moment. Im nächsten Zeitschritt bleibt das Verhalten entwedergleich wie bisher, d.h. weiterhin plastisches Fliessen unter positivem Moment(Hystereseregel +1), oder es erfolgt eine linear-elastische Entlastung mit der SteifigkeitEIel (Hysteresereregel +2).

Bild 4.4: Hystereseregeln für die Momenten-Krümmungs-Beziehungdes Userelements U1

+

-

M

-1+100

-3

+3+2

+2

-3-2-3-1

+3+2+3+1

+2+1

+1

-2-1

-1

+3-3-2-2

Ausgangslage

mögliche Regeln im nächsten Schritt

ϕ- +

My

My

ϕy ϕy

My+

My-

Zweidimensionales Stabelement U1 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegeln

41

Hystereseregel +2

Unter der Hystereseregel +2 erfolgt eine linear-elastische Entlastung mit der SteifigkeitEIel von einem positiven Moment aus. Im nächsten Zeitschritt bleibt das Verhalten ent-weder gleich wie bisher, d.h. die linear-elastische Entlastung mit der Steifigkeit EIel(Hystereseregel +2) geht weiter, oder es erfolgt eine Wiederbelastung mit reduzierterSteifigkeit EIred (Hystereseregel +3), die im Grenzfall die elastische Steifigkeit EIel errei-chen kann. Als dritter möglicher Fall erfolgt bei Entlastung über das Moment null hinauseine Wiederbelastung in die Gegenrichtung mit reduzierter Steifigkeit EIred (Hysterese-regel -3).

Hystereseregel -3

Die Hystereseregel -3 beschreibt die Wiederbelastung mit reduzierter Steifigkeit EIred inRichtung negativem Moment, nachdem vorher bereits eine Entlastung von einem positi-ven Moment über null hinaus stattgefunden hat. Die Wiederbelastung erfolgt geradlinigauf den Punkt mit der grössten negativen Krümmung, die in früheren Zyklen erreicht wor-den ist. Bei der ersten Beanspruchung in negative Richtung wird der Punkt ( , )angesteuert. Im nächsten Zeitschritt bleibt das Verhalten entweder gleich wie bisher, d.h.weiterhin Wiederbelastung mit reduzierter Steifigkeit EIred und zunehmendem negativenMoment (Hystereseregel -3), oder es setzt bei Überschreitung des negativen Fliessmo-mentes plastisches Fliessen mit der Verfestigungssteifigkeit EIpl ein (Hystereseregel-1). Als dritter Fall ist bei Beanspruchungsumkehr eine linear-elastische Entlastung mitder Steifigkeit EIel möglich (Hystereseregel -2).

Hystereseregel -1

Die Hystereseregel -1 beschreibt analog zur Hystereseregel +1 plastisches Fliessen mitder Verfestigungssteifigkeit EIpl jedoch unter negativem Moment. Im nächsten Zeitschrittbleibt das Verhalten entweder gleich wie bisher, d.h. weiterhin plastisches Fliessen unternegativem Moment (Hystereseregel -1), oder es erfolgt eine linear-elastische Entlastungmit der Steifigkeit EIel (Hysteresereregel -2).

Hystereseregel -2

Die Hystereseregel -2 dient zur Beschreibung einer linear-elastischen Entlastung mit derSteifigkeit EIel von einem negativen Moment aus, analog zur Hystereseregel +2 bei Ent-lastung von einem positiven Moment. Im nächsten Zeitschritt bleibt das Verhalten entwe-der gleich wie bisher, d.h. die linear-elastische Entlastung mit der Steifigkeit EIel(Hystereseregel -2) geht weiter, oder es erfolgt eine Wiederbelastung mit reduzierterSteifigkeit EIred, die entweder in die gleiche Richtung wie bisher (Hystereseregel -3) oderin die Gegenrichtung (Hystereseregel +3) führen kann.

Hystereseregel +3

Die Hystereseregel -3 beschreibt die Wiederbelastung mit reduzierter Steifigkeit EIred inRichtung positivem Moment analog zur Hystereseregel -3. Die Wiederbelastung erfolgtnach Überschreiten der Momentennulllinie geradlinig auf den Punkt mit der grösstenpositiven Krümmung, die in früheren Zyklen erreicht worden ist. Bei der ersten Beanspru-

My- ϕy

-

My-

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

42

chung in positive Richtung wird der Punkt ( , ) angesteuert. Im nächsten Zeitschrittbleibt das Verhalten entweder gleich wie bisher, d.h. weiterhin Wiederbelastung mit redu-zierter Steifigkeit EIred und zunehmendem positivem Moment (Hystereseregel +3), oderes setzt bei Überschreitung des positiven Fliessmomentes plastisches Fliessen mit derVerfestigungssteifigkeit EIpl ein (Hystereseregel +1). Als dritter Fall ist bei Beanspru-chungsumkehr eine linear-elastische Entlastung mit der Steifigkeit EIel möglich (Hyste-reseregel +2).

4.2.3 EingabedatenDie Daten für das Userelement U1 sind integriert in das normale Schema der Eingabeda-ten des Programms Abaqus einzugeben. Zuerst ist der Elementtyp zusammen mit derAnzahl der Knoten, der Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten (Coordinates), der Materialei-genschaften und der internen Zustandsvariablen zu definieren. Für das Userelement U1wird diese Eingabe zu:

*User Element, Type=U1, Nodes=2, Coordinates=3, Properties=5, Variables=11.

Die einzelnen Userelemente können anschliessend im Elementeingabeblock zusammenmit den übrigen Elementen eingegeben werden. Pro Elementgruppe sind 5 Materialeigen-schaften (Properties) gemäss Tabelle 4.1 zu spezifizieren. Diese 5 Grössen genügenbereits, um das nichtlineare Hystereseverhalten vollständig zu beschreiben. Die Längedes Userelementes wird über die Koordinateneingabe der beiden Endknoten berechnetund ist bei der Userelement-Eingabe nicht mehr besonders einzugeben. Die Userelement-Subroutine in der Programmiersprache Fortran ist in einer separaten Eingabedatei für dieBerechnung bereitzustellen.

Als elastische Biegesteifigkeit EIel ist die Steifigkeit des gerissenen Betonquerschnitteseinzugeben, da das gewählte Hysteresemodell die kurze ungerissene Phase bei Erstbela-stung vernachlässigt. Je nach Bewehrungsgehalt und Normalkraftniveau kann diese bisauf einen Zehntel der ungerissenen Steifigkeit abfallen (Bild 5.5). Bei der Nachrechnungeines dynamischen Versuchs einer Stahlbetontragwand in Kapitel 6.4 wurde eine elasti-sche Biegesteifigkeit EIel von 1/7 der Steifigkeit des ungerissenen Betonquerschnittesverwendet.

Nummer der User-element-Eigenschaft

Beschreibung

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA

Props(2) elastische Biegesteifigkeit EIel

Props(3) Verhältnis der plastischen zur elasti-schen Biegesteifigkeit EIpl/EIel

Props(4) positives Fliessmoment My+

Props(5) negatives Fliessmoment My-

Tabelle 4.1: Eingabe der Materialeigenschaften des Userelementes U1

My+ ϕy

+

My+

Zweidimensionales Stabelement U1 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegeln

43

Als Verhältnis der plastischen zur elastischen Biegesteifigkeit EIpl/EIel beträgt im Allge-meinen wenige Prozente. Wenn die elastische Biegesteifigkeit EIel stark abgemindertwird, ist das Verhältnis EIpl/EIel eher grösser anzunehmen. In obgenannter Nachrechnungwurde mit EIpl/EIel = 8% gute Resultate erzielt.

Die Annahmen bezüglich der elastischen Normalkraftsteifigkeit EA spielen eine unterge-ordnete Rolle. Es empfiehlt sich, einen unteren Schätzwert für EA zu verwenden.

4.2.4 AusgabedatenDie Ausgabedaten setzen sich aus den Element- und Knotenresultaten zusammen. DieElementresultate werden in der Userelement-Subroutine über interne Zustandsvariablenaufbereitet (Tabelle 4.2) und an das Hauptprogramm übergeben, das dann die Datenver-waltung übernimmt. Die meisten dieser Zustandsvariablen dienen in erster Linie zurAbspeicherung des internen Kraft- und Verformungszustandes des Userelementes undsekundär auch als Resultatgrössen. In Tabelle 4.2 beziehen sich die Krümmungen auf denMittelpunkt und die Schnittkräfte auf die Endknoten des Elementes. Die Knotenresultate,wie z.B. globale Verschiebungen und Reaktionen, werden ausschliesslich im Hauptpro-gramm berechnet.

Die internen Zustandsvariablen erlauben es, spezifische Ausgabedaten des Userelementesfür Erdbebenberechnungen zu definieren. Als charakteristische Grösse für die Beschrei-bung des Verformungsbedarfes der plastischen Bereiche wurde die lokale Duktilitätgewählt (Kapitel 5.1.1) und zwar in der Form des Krümmungsduktilitätsbedarfs µϕ. Die

Nummer derZustandsvariable

Beschreibung

Svars(1) Hystereseregelnummer

Svars(2) plastische Krümmung

Svars(3) Krümmung

Svars(4) maximale positive Krümmung

Svars(5) maximale negative Krümmung

Svars(6) Krümmungsduktilitätsbedarf

Svars(7) Querkraft Ql

Svars(8) Biegemoment Ml

Svars(9) Querkraft Qr

Svars(10) Biegemoment Mr

Svars(11) Normalkraft

Tabelle 4.2: Interne Zustandsvariablen des Userelementes U1

ϕpl

ϕ

ϕu+

ϕu-

µϕ

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

44

Krümmungsduktilität ist allgemein definiert als Verhälnis der maximalen Krümmungzur Krümmung bei Fliessbeginn (siehe Bild 4.5, rechts):

(4.15)

Für die Berechnung der Krümmungsduktilität wird die mittlere Krümmung über das Ele-ment verwendet. Im einfachen Stabelement U1 mit linearem Momentenverlauf bestimmtsich die mittlere Krümmung ϕ aus der Differenz der beiden Knotenrotationen u3 und u6dividiert durch die Elementlänge l (siehe Bild 4.5, links):

(4.16)

Über alle Schritte der Zeitverlaufsberechnung wird der jeweilige Maximalwert der Krüm-mungsduktilität, die bei positiver oder negativer Beanspruchungsrichtung bisher erreichtworden ist, als interne Zustandsvariable Svars (6) abgespeichert und als Krümmungsduk-tilitätsbedarfs µϕ bezeichnet:

(4.17)

Aus dem Krümmungsduktilitätsbedarfs kann relativ einfach auch der Rotationsduktili-tätsbedarf bestimmt werden, da die Krümmung ϕ als Mittelwert der Krümmung über dieElementlänge l betrachtet werden kann. Zwischen der Rotation θ der beiden Elementen-den gegeneinander und der mittleren Krümmung besteht folgende Beziehung:

(4.18)

Und der Rotationsduktilitätsbedarf wird dann gleich dem Krümmungsduktilitätsbe-darf , da sich die Elementlänge l, die der angenommenen Länge des plastischenBereichs entspricht, herauskürzen lässt:

Bild 4.5: Bestimmung des Krümmungsduktilitätsbedarfes aus derverformten Lage des Userelements U1

l

l/2l/2

Mm ϕ My

ϕyϕ

ϕu

Mm

u6u3

ϕuϕy

µϕϕu

ϕy------=

ϕu6 u3–

l-----------------=

µϕ Maxϕu

+

ϕy+

------ϕu

-

ϕy-

------,

=

θ lϕ=

µθµϕ

Zweidimensionales Stabelement U2 für Fliessgelenke in Stahlbetonstützen

45

(4.19)

Die numerischen Werte für den Krümmungsduktilitätsbedarf können somit auch als Rota-tionsduktilitätsbedarf interpretiert werden.

4.3 Zweidimensionales Stabelement U2 für Fliessgelenke inStahlbetonstützen

4.3.1 ElementbeschreibungFür die Berechnung von Fliessgelenken in Stützen ebener Stahlbetonrahmen wurde dasUserelement des Typs U2 aufbauend auf dem Typ U1 für Riegelgelenke entwickelt. Dadas Biegeverhalten der Stützen durch die Normalkraft beeinflusst wird, wurde eine einfa-che Interaktion zwischen Biegung und Normalkraft realisiert. Im Übrigen wurden diegleichen Annahmen getroffen, wie sie in der Aufzählung im Kapitel 4.2.1 aufgeführt sind.Einzige Ausnahme besteht in der Orientierung der Stabachse des Userelementes U2, diefür ein vertikales Tragelement parallel zur globalen Y-Achse gelegt wurde (Bild 4.6). ZurVereinfachung wurde auch hier das lokale Elementkoordinatensystem zusammenfallendmit dem globalen Koordinatensystem gewählt.

Die tangentielle Elementsteifigkeitsmatrix KT des Userelementes U2 (Gleichung 4.20)sieht sehr ähnlich aus wie diejenige des Userelements U1 (Gleichung 4.10). Infolge dervertikalen Lage des Userelementes U2 sind die Freiheitsgrade u1 und u2 sowie u4 und u5vertauscht (Bild 4.6). Für ein Userelement U2 der Länge l, der Normalkraftsteifigkeit EAund der tangentiellen Biegesteifigkeit EIT wird die Elementsteifigkeitsmatrix KT zu:

Bild 4.6: Userelement des Typs U2 für Fliessgelenkein Stahlbetonstützen

µθ Maxlϕu

+

lϕy+

--------lϕu

-

lϕy-

--------,

Maxϕu

+

ϕy+

------ϕu

-

ϕy-

------,

µϕ===

X

Y

l

l/2l/2

u1

u3u2

u4

u6u5

Mu

Mm

Mo

EI, EA

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

46

(4.20)

Zur Berücksichtigung des nichtlinearen Biegeverhaltens wird als Biegesteifigkeit EIT diemomentane Tangentensteifigkeit gemäss den Hystereseregeln in Kapitel 4.2.2 verwendet.Dabei variieren im Unterschied zum Userelement U1 die Fliessmomente und inAbhängigkeit der momentanen Normalkraft. Die Normalkraftverformung bleibt zur Ver-einfachung linear-elastisch. Die Effekte 2. Ordnung werden vernachlässigt.

4.3.2 Interaktion zwischen Normalkraft und BiegungZur Berücksichtigung der Interaktion zwischen Biegung und Normalkraft wird vorgängigdas M/N-Interaktionsdiagramm des Stützenquerschnittes für monodirektionale Bean-spruchung mit einem separaten Querschnittsprogramm, z.B. [Hau 88], berechnet(Bild 4.7). Anschliessend wird das M/N-Interaktionsdiagramm polygonal approximiert,wie in Bild 4.7 gestrichelt eingezeichnet. Die Werte für Moment und Normalkraft in denEckpunkten dieses Polygons dienen als Eingabedaten für das Userelement U2. Währendder Zeitverlaufsberechnung wird ausgehend von der momentanen Normalkraft dasFliessmoment My,N in jedem Schritt mit Hilfe des M/N-Interaktionsdiagramms bestimmt.In Funktion dieses momentanen Fliessmomentes wird die Lage der umhüllenden Verfe-stigungslinien im Momenten-Krümmungs-Diagramm variiert (∆My,N in Bild 4.8). DasBiegeverhalten orientiert sich innerhalb dieser umhüllenden Verfestigungslinien an dengleichen Hystereseregeln wie beim Userelement U1. Unter dem Einfluss der Variationder Normalkraft werden die Hystereseschlaufen bis zu einem gewissen Grade expandiertbzw. zusammengedrückt. Um numerische Probleme mit negativen Steifigkeiten zu ver-meiden, wird für den Zustand des plastischen Fliessens (Hystereseregel +1 oder -1) keineKorrektur des Fliessmomentes nach unten vorgenommen. Dies geschieht erst wiederbeim Wiederanstieg im nächsten Beanspruchungszyklus. Diese Vereinfachung lässt sichdamit rechtfertigen, dass in dieser Phase des plastischen Fliessens die Änderungen derMomente eher klein bleiben und folglich auch keine grosse Änderungen der Normalkraftzu erwarten sind.

KT

12EIT

l3

--------------- 06– EIT

l2

---------------12– EIT

l3

------------------ 06– EIT

l2

---------------

0EAl

------- 0 0EA–l

---------- 0

6– EIT

l2

--------------- 04EIT

l------------

6EIT

l2

------------ 02EIT

l------------

12– EIT

l3

------------------ 06EIT

l2

------------12EIT

l3

--------------- 06EIT

l2

------------

0EA–l

---------- 0 0EAl

------- 0

6– EIT

l2

--------------- 02EIT

l------------

6EIT

l2

------------ 04EIT

l------------

=

My+

My-

Zweidimensionales Stabelement U2 für Fliessgelenke in Stahlbetonstützen

47

Das beschriebene M/N-Interaktionsverfahren setzt voraus, dass die Variation der Normal-kraft gegenüber derjenigen der Biegung in engen Grenzen bleibt. Dies ist bei Stützen vonStahlbetonrahmen bis zu mittlerer Erdbebenbeanspruchung im Allgemeinen erfüllt, wodie Normalkraft um den Wert infolge Schwerelasten pendelt, während infolge Biegebe-anspruchung die Fliesskrümmung in beiden Richtungen überschritten wird. Ferner kannder plastische Verformungsanteil in Stützenlängsrichtung, der sich auf den relativ kurzenplastischen Bereich von kanpp einer Stützenbreite beschränkt, über die ganze Stützen-länge betrachtet, vernachlässigt werden. Das nichtlineare Verhalten wird durch die Bie-gung dominiert und mit den relativ einfachen Hystereseregeln des Riegelelementes imWesentlichen erfasst. Der Einfluss der Normalkraft beschränkt sich auf eine gewisse Kor-rektur der Fliessmomente, ohne das Querschnittsverhalten mit zusätzlichen Hysteresere-geln zu komplizieren.

Bild 4.7: Biegemoment-Normalkraft-Interaktionsdiagramm

Bild 4.8: Einfluss der Normalkraft auf die Momenten-Krümmungs-Beziehungdes Userelementes des Typs U2

N

My,NMy

+My-

My,max+My,min

Nmin

Nmax

NMy,max-

∆My,N

ϕ

M

EIpl

EIpl

EIel

EIel EIred

∆My,N

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

48

4.3.3 Ein- und AusgabedatenDie Eingabedaten für das Userelement des Typs U2 richten sich nach dem gleichenSchema wie beim Typ U1. In der Definition des Elementtypes erhöht sich die Anzahl derMaterialeigenschaften von 5 auf 10, um das Biegemoment-Normalkraft-Interaktionsdia-gramm eingeben zu können. Alle übrigen Daten bleiben gleich:

*User Element, Type=U2, Nodes=2, Coordinates=3, Properties=10, Variables=11.

Die Einzelheiten zu den 10 Materialeigenschaften (Properties) befinden sich inTabelle 4.3. Props(6) bis Props(10) sind die zusätzlichen Grössen, die für die Festlegungder Eckpunkte des polygonalen Biegemoment-Normalkraft-Interaktionsdiagrammsgemäss Bild 4.7 benötigt werden. Bezüglich der Eingabe der Steifigkeiten Props(1) bisProps(3) gelten die gleichen Empfehlungen, wie sie beim Userelement U1 im Kapitel4.2.3 besprochen worden sind.

Bei den Ausgabedaten ändert sich bei Userelement U2 nichts gegenüber U1. Es stehen diegleichen internen Zustandsvariablen als Resultatgrössen zur Verfügung wie inTabelle 4.2. Beim Krümmungsduktilitätsbedarf µϕ wird berücksichtigt, dass die Varia-tion des Fliessmomentes infolge der Normalkraft auch die Fliesskrümmung variierenlässt. Bei der Berechnung von µϕ werden deshalb, separat für positive und negative Bie-gebeanspruchungsrichtung, die momentanen extremalen Krümmungen und aufdie entsprechenden Fliesskrümmungen unter Berücksichtigung der Normalkraftrespektive bezogen und davon der Maximalwert bestimmt:

Nummer der User-element-Eigenschaft

Beschreibung

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA

Props(2) elastische Biegesteifigkeit EIel

Props(3) Verhältnis der plastischen zur elastischenBiegesteifigkeit EIpl/EIel

Props(4) positives Fliessmoment My+ bei N=0

Props(5) negatives Fliessmoment My- bei N=0

Props(6) maximale Zugkraft Nmin

Props(7) maximale Druckkraft Nmax

Props(8) maximales Fliessmoment My,+

max

Props(9) minimales Fliessmoment My,-min

Props(10) Normalkraft bei extremalem Fliess-moment NMy,max

Tabelle 4.3: Eingabe der Materialeigenschaften des Userelementes U2

ϕu+ ϕu

-

ϕy N,+

ϕy N,-

Dreidimensionales Stabelement U3 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegeln

49

(4.21)

Die Fliesskrümmungen und werden mit dem momentanen Fliessmoment inAbhängigkeit von der Normalkraft berechnet:

(4.22)

4.4 Dreidimensionales Stabelement U3 für Fliessgelenke inStahlbetonriegeln

Bei dreidimensionalen Berechnungen von Stahlbetonrahmen unter Erdbebeneinwirkungist zu beachten, dass die Riegel praktisch nur in der Rahmenebene beansprucht werden.Horizontal werden sie durch die Scheibenwirkung der Decken gestützt und die Torsions-beanspruchung um die Riegelachse ist unbedeutend. Die Dreidimensionalität solcherBerechnungen betrifft primär das globale Verhalten mehrer räumlich angeordneter Rah-men eines Gebäudes, die durch steife Decken miteinander verbunden sind. Für die Model-lierung des nichtlinearen Verhaltens ergeben sich folglich fast keine Unterschiede zwi-schen zweidimensionalen und dreidimensionalen Riegelelementen. In beiden Fällen istdie Biegung in der Rahmenebene die dominierende Beanspruchung.

4.4.1 ElementbeschreibungDas Userelement des Typs U3 dient zur Berechnung von Fliessgelenken in den Riegelnräumlicher Stahlbetonrahmen. Es handelt sich im Wesentlichen um das im Kapitel 4.2vorgestellte Element für ebene Rahmen, das von drei auf sechs Freiheitsgrade pro Knotenerweitert wurde, wobei für die zusätzlichen räumlichen Beanspruchungen Torsion undBiegung um die vertikale Achse ein lineares Verhalten angenommen wurde. DieseAnnahme ist dadurch begründet, dass bei Beanspruchungen infolge horizontaler Einwir-kung einerseits die entsprechenden Schnittkräfte klein bleiben und sie andererseits für die

Bild 4.9: Userelement des Typs U3 für Fliessgelenke in Riegelnvon dreidimensionalen Stahlbetonrahmen

µϕ Maxϕu

+

ϕy N,+

-----------ϕu

-

ϕy N,-

-----------,

=

ϕy N,+ ϕy N,

-

ϕy N,My N,EIel------------=

X

Y

u1

u2

u3

Z

u5

u6

u4 u7

u8

u9u11

u12

u10

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

50

Abtragung der Kräfte nicht erforderlich sind und deshalb bei der Bemessung üblicher-weise vernachlässigt werden.

Die Querkraftverformungen werden analog zum Userelement U1 vernachlässigt, hierjedoch in beiden Richtungen. Die Querkraft hingegen erscheint als abgeleitete Grösse ausder Variation des Momentes. Die Orientierung des Userelementes U3 ist entweder paral-lel zur globalen X-Achse, wie in Bild 4.9 gezeigt, oder parallel zur globalen Y-Achse. Dietangentielle Elementsteifigkeitsmatrix KT setzt sich aus den entkoppelten Anteilen für dieNormalkraft (Freiheitsgrade u1, u7), für die Biegung mit Querkraft um die horizonaleAchse ( (Freiheitsgrade u3, u5, u9, u11 ), für die Biegung mit Querkraft um die vertikaleAchse (Freiheitsgrade u2, u6, u8, u12 ) und für die Torsion (Freiheitsgrade u4, u10) zusam-men. Die Koeffizienten für die ersten beiden Anteile, die die Verschiebung in der Rahme-nebene beschreiben, sind gleich wie die entsprechenden Koeffizienten beim UserelementU1 (Gleichung 4.10).

Die resultierende Elementsteifigkeitsmatrix eines Userelementes U3 parallel zur globalenX-Achse mit der Länge l ist in Gleichung wiedergegeben:

(4.23)KT =

EAl

------- 0 0 0 0 0E– Al

---------- 0 0 0 0 0

012EIz

l3

-------------- 0 0 06EIz

l2

----------- 012– EIz

l3

------------------ 0 0 06EIz

l2

-----------

0 012EITy

l3

------------------ 06– EITy

l2

------------------- 0 0 012– EITy

l3

---------------------- 06– EITy

l2

------------------- 0

0 0 0GKt

l---------- 0 0 0 0 0

G– Ktl

------------- 0 0

0 06– EITy

l2

------------------- 04EITy

l--------------- 0 0 0

6EITy

l2

--------------- 02EITy

l--------------- 0

06EIz

l2

----------- 0 0 04EIz

l----------- 0

6EIz

l2

----------- 0 0 02EIz

l-----------

E– Al

---------- 0 0 0 0 0EAl

------- 0 0 0 0 0

012– EIz

l3

------------------ 0 0 06– EIz

l2

--------------- 012EIz

l3

-------------- 0 0 06– EIz

l2

---------------

0 012– EITy

l3

---------------------- 06EITy

l2

--------------- 0 0 012EITy

l3

------------------ 06EITy

l2

--------------- 0

0 0 0G– Ktl

------------- 0 0 0 0 0GKt

l---------- 0 0

0 06– EIy

l2

--------------- 02EIy

l------------ 0 0 0

6EIy

l2

------------ 04EIy

l------------ 0

06EIz

l2

----------- 0 0 02EIz

l----------- 0

6– EIz

l2

--------------- 0 0 04EIz

l-----------

=

Dreidimensionales Stabelement U3 für Fliessgelenke in Stahlbetonriegeln

51

Die Bedeutung der verschiedenen Steifigkeiten wird in Tabelle 4.4 erklärt. Die Berück-sichtigung nichtlinearen Verhaltens beschränkt sich auf die Biegung um die horizontaleAchse. Zu diesem Zweck wird für die Biegesteifigkeit um die horizontale Achse in denKoeffizienten der Matrix KT die jeweilige Tangentensteifigkeit EITy gemäss den Hyste-reseregeln in Kapitel 4.2.2 verwendet. Die übrigen Koeffizienten bleiben entsprechendder Annahme linear-elastischem Materialverhalten konstant. Für die Biegung um die ver-tikale Achse gilt immer .

4.4.2 Ein- und AusgabedatenIn der Definition des Userelementes U3 erhöht sich gegenüber dem zweidimensionalenUserelement U1 die Anzahl der Freiheitsgrade pro Knoten von 3 auf 6 und die Anzahl derMaterialeigenschaften von 5 auf 7:

*User Element, Type=U3, Nodes=2, Coordinates=6, Properties=7, Variables=11.

Die Anzahl der internen Zustandsvariabeln erhöht sich nicht, da die zusätzlichen elasti-schen Grössen nicht abgespeichert werden müssen. Gegenüber Userelement U1(Tabelle 4.1) muss noch die Torsionssteifigkeit GKt und die elastische Steifigkeit um dievertikale Achse eingegeben werden, wie in Tabelle 4.4 zusammengestellt. Fürdiese beiden Grössen sind untere Schätzwerte für den gerissenen Betonquerschnitt einzu-geben. Zu hohe Steifigkeitswerte würden unerwünschte Kräfte anziehen, die üblicher-weise bei der Bemessung vernachlässigt werden.

Als wichtigste Ausgabegrösse ist der mittlere Krümmungs- oder Rotationsduktilitätsbe-darf für die Biegebeanspruchung um die horizontale Achse anlog Gleichung (4.17) zuerwähnen.

Nummer der User-element-Eigenschaft

Beschreibung

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA

Props(2) elastische Biegesteifigkeit um horizontale Achse EIy, el

Props(3) Verhältnis der plastischen zur elastischenBiegesteifigkeit EIy,pl/EIy,el

Props(4) positives Fliessmoment um horizontale Achse My+

Props(5) negatives Fliessmoment um horizontale Achse My-

Props(6) Torsionssteifigkeit GKt

Props(7) elastische Biegesteifigkeit um vertikale Achse EIz,el

Tabelle 4.4: Eingabe der Materialeigenschaften des Userelementes U3

EIz EIz el,=

EIz el,

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

52

4.5 Dreidimensionales Stabelement U4 für Fliessgelenke inStahlbetonstützen

4.5.1 ElementbeschreibungMit dem Userelement U4 können Fliessgelenke von Stützen in räumlichen Stahlbetonrah-men berechnet werden. Es baut auf der Methodik des Userelementes U2 für Stützen inebenen Rahmen auf und erlaubt die Berücksichtigung der Interaktion zwischen Normal-kraft und zweiachsiger Biegung. Das zyklische Biegeverhalten ist in beiden Richtungenelasto-plastisch mit kinematischer Verfestigung und Steifigkeitsabminderung. Die Orien-tierung der Stabachse des Userelementes U4 liegt parallel zur globalen Z-Achse(Bild 4.10). Die tangentielle Elementsteifigkeitsmatrix KT ist in Gleichung (4.24) aufge-führt. Sie entspricht weitgehend der entsprechenden Matrix von Userelement U3 (Glei-chung 4.23). Einige Koeffizienten sind als Folge der Vertauschung der globalen X- mitder Z-Achse ebenfalls vertauscht.

(4.24)KT =

12EITy

l3

----------------- 0 0 06EITy

l2

-------------- 012– EITy

l3

--------------------- 0 0 06EITy

l2

-------------- 0

012EITx

l3

----------------- 06– EITx

l2

------------------ 0 0 012– EITx

l3

--------------------- 06– EITx

l2

------------------ 0 0

0 0EA

l------- 0 0 0 0 0

E– Al

---------- 0 0 0

06– EITx

l2

------------------ 04EITx

l-------------- 0 0 0

6EITx

l2

-------------- 02EITx

l-------------- 0 0

6EITy

l2

-------------- 0 0 04EITy

l-------------- 0

6– EITy

l2

------------------ 0 0 02EITy

l-------------- 0

0 0 0 0 0GKt

l---------- 0 0 0 0 0

G– Kt

l-------------

12– EITy

l3

--------------------- 0 0 06– EITy

l2

------------------ 012EITy

l3

----------------- 0 0 06– EITy

l2

------------------ 0

012– EITx

l3

--------------------- 06EITx

l2

-------------- 06– EITz

l2

----------------- 012EITx

l3

----------------- 06EITx

l2

-------------- 0 0

0 0E– Al

---------- 0 0 0 0 0EA

l------- 0 0 0

06– EITx

l2

------------------ 02EITx

l-------------- 0 0 0

6EITx

l2

-------------- 04EITx

l-------------- 0 0

6EITy

l2

-------------- 0 0 02EITy

l-------------- 0

6– EITy

l2

------------------ 0 0 04EITy

l-------------- 0

0 0 0 0 0G– Kt

l------------- 0 0 0 0 0

GKt

l----------

Dreidimensionales Stabelement U4 für Fliessgelenke in Stahlbetonstützen

53

Das nichtlineare Biegeverhalten wird in der tangentielle Elementsteifigkeitsmatrix KTüber variable Biegesteifigkeiten EITx und EITy für beide Biegeachsen gemäss den Hyste-reseregeln in Kapitel 4.2.2 berücksichtigt. Die Fliessmomente und variierenin Abhängigkeit der momentanen Normalkraft. Die Normalkraft- und die Torsionsverfor-mung bleiben zur Vereinfachung linear-elastisch. Die Effekte 2. Ordnung werden wieschon beim Stützenelement U2 vernachlässigt.

4.5.2 Interaktion zwischen Normalkraft und zweiachsiger BiegungWie beim Stützenelement für ebene Rahmen wird auch hier davon ausgegangen, dass dieVariation der Normalkraft im Vergleich zur Biegung klein bleibt und dass die lokale pla-stische Normalkraftverformung über die ganze Stützenlänge betrachtet vernachlässigtwerden kann, d.h. es wird linear-elastisches Normalkraftverhalten angenommen. Die M/N-Interaktionsdiagramme werden separat für die beiden Biegerichtungen mit einemQuerschnittsprogramm, z.B. [Hau 88], analog zu Bild 4.7 berechnet. Für konstante Nor-malkraft wird eine elliptische Form des Interaktionsdiagramm zwischen den beiden Bie-gerichtungen angenommen:

(4.25)

: Fliessmoment um X-Achse bei einachsiger Biegung um X-Achse

: Fliessmoment um Y-Achse bei einachsiger Biegung um Y-Achse

: Fliessmoment um X-Achse bei zweiachsiger Biegung

: Fliessmoment um Y-Achse bei zw eiachsiger Biegung.

Das Interaktionsdiagramm zwischen N, Mx und My wird zu einer zwiebelförmigenFliessfläche, aufgebaut aus elliptischen Scheiben in der Momentenebene (Bild 4.11).

Während der Zeitverlaufsberechnung werden in Funktion der momentanen Normalkraft

Bild 4.10: Userelement des Typs U4 für Fliessgelenke in Stützenvon dreidimensionalen Stahlbetonrahmen

X

Y

Z

u1

u3

u6

u4

u2 u5

u7

u9

u12

u10

u8 u11

Mx y, My y,

Mx u,Mx y,------------

2 My u,My y,------------

21=+

Mx y,My y,Mx u,My u,

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

54

die Fliessmomente und auf der Fliessfläche bestimmt. In Funktion desmomentanen Fliessmomentes wird die Lage der umhüllenden Verfestigungslinien imMomenten-Krümmungs-Diagramm für beide Biegerichtungen variiert (∆My,N inBild 4.8). Das Biegeverhalten um beide Achsen orientiert sich unabhängig voneinanderinnerhalb dieser umhüllenden Verfestigungslinien an den Hystereseregeln des Userele-mentes U1 (Kapitel 4.2.2), ausser wenn plastisches Fliessen eintritt (Hystereseregel ),das für beide Achsen gemeinsam gilt.

Die Bestimmung, ob plastisches Fliessen auftritt und wie sich die kinematische Verfesti-gung auf die Fliessfläche auswirkt, richtet sich nach folgendem inkrementellen Verfah-ren:

1. Die beiden Biegemomente Mx und My werden unter Annahme von linearem Materi-alverhalten berechnet (Punkt Str in Bild 4.12 , Trial State of Stress).

2. Falls der Punkt Str ausserhalb der Fliessfläche zu liegen kommt, erfolgt plastischesFliessen.

3. Plastisches Fliessen erfolgt in diesem Falle vom Mittelpunkt O der bisherigen Lageder Fliessfläche in Richtung Str bis zum Punkt S‘.

4. Im Momenten-Krümmungsdiagramm in Richtung der Hauptachsenbiegung betracht(Bild 4.12 rechts) liegt der Punkt S‘ liegt auf der Verfestigungslinie unter Str . DasFliessmoment My in Hauptachsenrichtung beträgt:

(4.26)

5. Der Mittelpunkt der Fliessfläche bewegt sich um den Betrag a von O nach O‘(Bild 4.12).

Bild 4.11: Fliessfläche zwischen Normalkraft und zweiachsigerBiegung für Userelement U4

N

Mx,y

Nmin

Nmax

NMy,max

My,y

Mx y, My y,

1±

M Mx y,2

My y,2

+=

Dreidimensionales Stabelement U4 für Fliessgelenke in Stahlbetonstützen

55

6. Mit der neuen Lage der Fliessfläche werden die Fliessmomente undnachgeführt.

7. Die neuen Fliessmomente legen die Lage der umhüllenden Verfestigungslinien für dieHystereseregeln der Biegung fest.

4.5.3 Ein- und AusgabedatenAls räumliches Stabelement weist das Userelement U4 zwei Knoten mit je 6 Freiheitsgra-den (Coordinates) auf. Zusammen mit der Festlegung der Anzahl Materialeigenschaftenund interner Zustandsvariabeln erhält die Definitionszeile in der Eingabedatei die fol-gende Form:

*User Element, Type=U4, Nodes=2, Coordinates=6, Properties=13, Variables=27.

Die Eingabe der Materialeigenschaften erfolgt gemäss Tabelle 4.5. Positives und negati-ves Fliessmoment wird je für die X- und Y-Achse als gleich gross angenommen (Props(9)und Props(10) in Tabelle 4.5). Um die Form der Fliessfläche relativ einfach zu halten,wird ferner vorausgesetzt, dass die maximalen Fliessmomente für Biegung um die X- undY-Achse bei der gleichen Normalkraft NMy,max auftreten, wie in Bild 4.11 dargestellt. Beider Resultatauswertung wird vorerst der Krümmungsduktilitätsbedarf separat für die bei-den Biegebeanspruchungen µx,ϕ und µy,ϕ nach Gleichung (4.21) bestimmt. Der grösseredieser beiden Werte ergibt anschliessend den Krümmungsduktilitätsbedarf µϕ der Stütze.

Bild 4.12: Inkrementelle Verschiebung der Fliessfläche für zweiachsiale Biegunginfolge kinematischerVerfestigung

Mx,y

My,y

a

Str

MStr

ϕOO‘

S‘

S‘My

Mya

Mx y, My y,

Neue Modelle für Stahlbetonfliessgelenke

56

Nummer der User-element-Eigenschaft

Beschreibung

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA

Props(2) elastische Biegesteifigkeit um X-Achse EIx, el

Props(3) Verhältnis der plastischen zur elastischenBiegesteifigkeit um X-Achse EIx,pl/EIx,el

Props(4) Fliessmoment um X-Achse Mx,y bei N=0

Props(5) elastische Biegesteifigkeit um Y-Achse EIy, el

Props(6) Verhältnis der plastischen zur elastischenBiegesteifigkeit um Y-Achse EIy,pl/EIy,el

Props(7) Fliessmoment um Y-Achse My,y bei N=0

Props(8) Torsionssteifigkeit GKt

Props(9) maximales Fliessmoment um X-Achse Mx,y,max

Props(10) maximales Fliessmoment um Y-Achse My,y,max

Props(11) Maximale Zugkraft Nmin

Props(12) Maximale Druckkraft Nmax

Props(13) Normalkraft bei extremalen Fliessmomenten NMy,max

Tabelle 4.5: Eingabe der Materialeigenschaften des Userelementes U4

57

5 SchädigungsmodelleZur Zustandsbeschreibung inelastisch beanspruchter Tragwerke werden Schädigungsmo-delle verwendet, die die fortschreitende Schädigung bis zum Versagen erfassen sollen.Bei der Erdbebenbeanspruchung von Stahlbetontragwerken stehen dabei die PhänomeneRissebildung und plastische Verformungen im Vordergrund. Die Schädigungsmodellesind typischerweise durch einen Schädigungsindikator charakterisiert, der im Allgemei-nen proportional zur Schädigung zunimmt und bei Versagen einen bestimmten Grenzwerterreicht. Schädigungsindikatoren werden an experimentellen Untersuchungen kalibriert.Neben der Verwendung bei der Beurteilung der Resultate von nichtlinearen Berechnun-gen werden Schädigungsindikatoren zur Bestimmung äquivalenter inelastischer Antwort-spektren eingesetzt. Ein ganz anderer Einsatzbereich für Schädigungsindikatoren, der hiernicht weiter behandelt wird, ist die Beurteilung der Schäden an Bauwerken nach einemErdbeben.

Die wichtigsten drei Unterscheidungskategorien von Schädigungsindikatoren sind:

• lokale oder globale Schädigungsindikatoren, je nach dem ob nur ein einziger nichtli-nearer Bereich oder das ganze Bau- oder Tragwerk betrachtet wird,

• auf Verformung, Energie oder Steifigkeit bezogene Schädigungsindikatoren, entspre-chend dem zugrundeliegenden mechanischen Prinzip des Schädigungsmodelles,

• nicht-kumulative oder kumulative Schädigungsindikatoren, je nach dem ob nur einemonodirektionale Einwirkung oder eine zyklische Einwirkung betrachtet wird.

Im Folgenden wird eine Auswahl von Schädigungsindikatoren beschrieben, die für dienichtlineare dynamische Berechnung von Stahlbetontragwerken besonders geeignet sind.Für weitere Beschreibungen von Schädigungsindikatoren wird auf [WS 95], [RC 90] und[CMS 87] verwiesen.

5.1 Lokale nicht-kumulative Schädigungsindikatoren

5.1.1 DuktilitätMit Duktilität (in Deutschland auch Zähigkeit genannt) wird das plastische Verformungs-vermögen eines Werkstoffes beschrieben. Für die Definition der Duktilität wird ein bili-nearer Kraft-Verformungsverlauf angenommen (Bild 5.1). Das Verhältnis der Verfor-mung bei Versagen δu zur Verformung bei Fliessbeginn δy wird als Duktilität µ bezeich-net.

(5.1)

Grundsätzlich kann die Duktilität für jede Verformungsgrösse definiert werden, z.B. Ver-schiebungsduktilität, Dehnungsduktilität, Rotationsduktilität und Krümmungsduktilität.Zur Beschreibung des lokalen Verformungsvermögens eines plastischen Bereiches wirdüblicherweise die Rotations- oder die Krümmungsduktilität verwendet. Wird nur das Ver-

µδu

δy-----=

Schädigungsmodelle

58

formungsvermögen des Bewehrungsstahls im kritischen Schnitt betrachtet, dann ist dieDehnungsduktilität der äussersten Bewehrungslage die geeignete Grösse.

Die Duktilität beschreibt eine Tragwerk- bzw. Werkstoffeigenschaft, die beim Versagenvoll ausgenützt wird. Häufig wird der Begriff Duktilität auch dann verwendet, wenn nichtein Grenzzustand des Versagens (entsprechend δu/δy) sondern ein aktueller Verformungs-zustand (entsprechend δ/δy) als bezogene Verformung mit gemeint ist [Bac 97].Wird die maximale bezogene Verformung in einer Berechnung bestimmt, wie z.B. beiden Anwendungsbeispielen in Kapitel 7, so handelt es sich um einen rechnerischenBedarf an Duktilität, der mit der vorhanden Duktilität des Tragwerks zu vergleichen ist.Bei Berechnungsresultaten ist folglich die Unterscheidung zwischen bezogener Verfor-mung und Duktilität nicht erforderlich und es wird direkt von Duktilitätsbedarf gespro-chen.

Als Schädigungsindikator Dµ wird entweder direkt die bezogene Verformung δ/δy ver-wendet oder das Verhältnis der bezogenen Verformung δ/δy zur Duktilität µ. Mit letzterDefinition wird der Schädigungsindikator Dµ gleich der bezogenen Verformung δ/δubezüglich der Bruchverformung δu:

(5.2)

Der Schädigungsindikator Dµ variiert gemäss der Definition (5.2) zwischen 0 ohne Bean-spruchung und 1 bei Erreichen der Duktilität. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, denSchädigungsindikator erst für inelastische Verformungen von 0 auf 1 anwachsenzu lassen und für auf 0 zu belassen. Der Schädigungsindikator entsprichtdann dem Verhältnis des inelastischen Verformungsanteil zum maximalen inelastischenVerformungsanteil bei Versagen:

für (5.3)

Für Stahlbeton ist diese Formulierung des Schädigungsindex weniger geeignet, da dieRissebildung, die typischerweise lange vor Erreichen der Verformung δy beginnt, nicht

Bild 5.1: Bilineares Kraft-Verformungsgesetz für dieDefinition der Duktilität

Verformung

Kraft

Fy

δy δu

δ δu<

Dµ

δδy-----

µ-----

δδy-----

δu

δy-----

-----δδu-----= = =

δ δy>δ δy≤ Dµ inel,

Dµ inel,δ δy–

δu δy–----------------= δy δ δu≤ ≤

Lokale nicht-kumulative Schädigungsindikatoren

59

als Schädigung erfasst wird. Auf den gleichen Schädigungsindex kommt man auch überden Energieindex, wie ein Vergleich der rechten Seiten von Gleichung (5.3) und Glei-chung (5.6) ziegt.

5.1.2 EnergieindexDas plastische Verformungsvermögen, das duktile Tragwerke oder Teile davon auszeich-net, bedingt immer auch ein Energiedissipationsvermögen. Es ist deshalb naheliegend,einen Schädigungsindikator basierend auf der Verformungsenergie zu definieren. Dazuwird vorerst ein linear elastisches, ideal plastisches Verformungsgesetz angenommen(Bild 5.2), und in Analogie zur Duktilität wird das Verhälnis der maximalen Verfor-mungsenergie Eu zur elastischen Verformungsenergie, der Verformungsenergie beiFliessbeginn Ey, als Energieindex µE bezeichnet:

(5.4)

Bei grösseren plastischen Verformungen d.h. bei grossem µ beträgt der Energieindex µEfolglich etwa das Doppelte der Duktilität µ.

Ähnlich wie bei der Duktilität kann der Schädigungsindikator DE als Verhälnis der bezo-genen Energie E/Ey zum Energieindex µE definiert werden:

für (5.5)

Wird der Schädigungsindikator DE, inel über das Verhälnis der inelastischen Energienohne die elastischen Energieanteile Ey in Zähler und Nenner definiert, so erhält man:

Bild 5.2: Linear elastisches, ideal plastisches Kraft-Verformungsgesetzfür die Definition des Energieindex

µE

Eu

Ey------

Fyδu

Fyδy

2-----------–

Fyδy

2-----------

-----------------------------2δu δy–

δy--------------------= 2µ 1–== =

Verformung

Kraft

Fy

δy δu

Eu

Ey

DE

EEy------

µE------

EEy------

Eu

Ey------

------EEu------

FyδFyδy

2-----------–

Fyδu

Fyδy

2-----------–

-----------------------------2δ δy–

2δu δy–--------------------===== δy δ δu≤ ≤

Schädigungsmodelle

60

für (5.6)

Ein Vergleich von Gleichung (5.6) mit Gleichung (5.3) zeigt, dass der energiebasierteSchädigungsindikator DE, inel unter der Voraussetzung eines linear elastischen, ideal pla-stischen Verformungsgesetzes gleich dem verformungsbasierten SchädigungsindikatorDµ, inel ist. Die Schädigungsindikatoren DE und Dµ sind nicht genau gleich, da sie nichtnur auf die inelastischen sondern auf die gesamte Energie resp. Verformung bezogen sind,doch haben sie ungefähr die gleiche Grössenordnung.

In Bild 5.3 ist der Verlauf der auf Duktilität und Energie basierenden Schädigungsindika-toren Dµ, Dµ, inel, DΕ und DΕ, inel als Funktion der Verschiebung δ dargestellt. Vor allembei grösserem plastischen Verformungsvermögen, d.h. bei einem grösseren Verhältnis δu/δy, wird der Unterschied zwischen diesen Schädigungsindikatoren vernachlässigbar.

Die Gleichungen (5.4), (5.5) und (5.6) gelten exakt nur für ein linear elastisches, ideal pla-stisches Verformungsgesetz. Bereits bei plastischer Verfestigung werden die Ausdrückefür Energieindex und Schädigungsindikatoren komplizierter und die enge Verwandschaftmit der Duktilität lässt nicht mehr so leicht aufzeigen. Die erwähnten Gleichungen könnenjedoch weiterhin als geignete Approximationen betrachtet werden.

Bei einem experimentell ermittelten Kraft-Verformungsverlauf lässt sich der Fliessbe-ginn resp. die Fliessverformung δy im Allgemeinen nicht eindeutig feststellen. Als Behelfwird für die Bestimmung der Duktilität oft eine mehr oder weniger willkürliche Defini-tion verwendet, z.B. die sogenannte 3/4-Regel [Bac 95]. Mit Hilfe des Energieindex lässtsich dieses Problem umgehen, wenn für die elastische Verformungsenergie Ey nicht dieVerformungsenergie bei Fliessbeginn sondern diejenige Verformungsenergie verwendetwird, die bei der Entlastung wieder zurückgewonnen wird. Über die nach µ aufgelösteGleichung (5.4) kann anschliessend aus dem Energieindex die Duktilität bestimmt wer-den.

5.1.3 Steifigkeitsbezogene SchädigungsindikatorenDa mit zunehmender Schädigung praktisch immer auch die Steifigkeit kleiner wird, kannaufgrund dieser Steifigkeitsreduktion ein Schädigungsindikator definiert werden. In [BBI81] wurde ein Steifigkeitsindex DS als Verhältnis der aktuellen Sekantensteifigkeiten k

Bild 5.3: Vergleich der auf Duktilität oder Energie basierenden Schädigungsindikatoren

DE inel,E Ey–

Eu Ey–------------------

Fyδ Fyδy–

Fyδu Fyδy–-----------------------------

δ δy–

δu δy–----------------=== δy δ δu≤ ≤

δy δu

1

Verformung

Schädigungsindikator

0

0.5 Dµ

Dµ, inel und DE, inel DE

Lokale nicht-kumulative Schädigungsindikatoren

61

zur Anfangssteifigkeit ko vorgeschlagen (Bild 5.4):

(5.7)

Im Falle eines linear elastischen, ideal plastischen Verformungsgesetzes (Bild 5.4),entspricht der Steifigkeitsindex DS gerade der bezogenen Verformung δ/δy, wie inGleichung (5.8) durch Ersetzen der Steifigkeiten mit den entsprechenden Kräften undVerformungen einfach hergeleitet werden kann. Bei Erreichen der Bruchverformung δuwird der Steifigkeitsindex gerade gleich der Duktilität µ, wie in Gleichung (5.9) gezeigtwird:

(5.8)

(5.9)

Steifigkeitsindex und Duktilität sind beide ein Mass für das Verhältnis der gesamten Ver-formung zur Verformung bei Fliessbeginn. Bei komplizierteren Materialgesetzen bleibteine enge Verwandschaft zwischen Steifigkeitsindex und Duktilität erhalten, auch wenndie Gleichungen (5.8) und (5.9) nicht mehr exakt gelten.

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, den Steifigkeitsindex über das Frequenzverhält-nis wie folgt zu definieren:

(5.10)

Die Frequenz fo ist die Grundfrequenz des ungerissenen Bauteils, bevor er irgendeinegrössere Beanspruchung erfahren hat. Die Frequenzbestimmung erfolgt bei sehr kleinenAmplituden. Die Frequenz f ist die Grundfrequenz bei kleinen Amplituden nach einer

Bild 5.4: Linear elastisches, ideal plastisches Kraft-Verformungsgesetzfür die Definition des Steifigkeitsindexx

Verformung

Kraft

Fy

δy δu

ko

ku

DS

ko

k-----=

DS

ko

k-----

Fy

δy------

Fy

δ------------

δδy-----= = =

DS u,ko

ku-----

Fy

δy------

Fy

δu------

------δu

δy----- µ= = = =

DS

fo

f----=

Schädigungsmodelle

62

gewissen Belastungsgeschichte. Die beiden Frequenzen können als Mass für die Tangen-tensteifigkeit im unbeanspruchten Zustand betrachtet werden.

Als Beispiel für den Frequenzabfall eines Stahlbetonbauteils infolge mehrerer zyklischer,dynamischer Beanspruchungen zeigt Bild 5.5 Messwerte von Tragwandversuchen aufdem ETH-Erdbebensimulator [LWB 99]. Die Grundfrequenz wurde jeweils aus demMaximalwert im Fourierspektrum der Ausschwingphase nach dem Ende einer Erdbeben-anregung bestimmt. Der generelle Verlauf der Grundfreqenz zeigt nach den ersten Anre-gungen einen sehr starken Abfall gefolgt von einem relativ langen, praktisch konstantenBereich bis zum Versagen im 11. Versuch. Der über die Grundfrequenz definierte Stei-figkeitsindex ist folglich in erster Linie ein Mass für den Grad der Rissebildung und sagtwenig über den Stand der Schädigung bezüglich Versagen aus.

5.2 Lokale kumulative Schädigungsindikatoren

5.2.1 Kumulative DuktilitätDie kumulative Duktilität µkum ist eine einfache Erweiterung der Duktilität für die beiErdbebeneinwirkung typische zyklische Beanspruchung. Die erreichten bezogenen Ver-formungen aller Halbzyklen werden für beide Richtungen aufsummiert, wobei kleineHalbzyklen ohne Überschreitung der Fliessgrenze ausser Betracht fallen. Es wird davonausgegangen, dass diese kleinen Zyklen ohne plastische Energiedissipation vernachläs-sigbar wenig zur gesamten Schädigung beitragen [PP 84], [Pau 93]. Die Summation in

Bild 5.5: Reduktion der Steifigkeit einer Stahlbetontragwand mitzunehmender Anzahl dynamischer Versuche [LWB 99]

Gru

ndfr

equ

enz

[Hz]

0

1

2

3

4

5

100%

10%

50%

geri

ssen

e/u

nger

isse

ne S

teif

igke

it [%

]

ungerissen berechnet (E=30 GPa)

gemessen

Bruch4.24 Hz

2.35 Hz

2.29 Hz

1.81 Hz1.64 Hz

1.39 Hz

1.25 Hz 1.23 Hz 1.21 Hz

durchgeführte

Erdbebenversuche

[Stärke in %]

20%40%

70%100% 100% 100% 100%

120%100%

50%20%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Lokale kumulative Schädigungsindikatoren

63

Gleichung (5.11) für die kumulative Duktilität µkum beschränkt sich deshalb auf positiveZyklen mit und negative Zyklen mit (Bild 5.6).

, für alle und (5.11)

µkum: kumulative Duktilität

: grösste Verformung eines positiven Halbzyklus

: Verformung bei Fliessbeginn in positive Richtung

: grösste Verformung eines negativen Halbzyklus

: Verformung bei Fliessbeginn in negative Richtung

Ein Beispiel für die Bestimmung der kumulativen Duktilität µkum zeigt die schematischeDarstellung in Bild 5.7 [Bac+ 95]. Es handelt sich um einen statisch-zyklischen Bauteil-versuch mit schrittweiser Steigerung der aufgebrachten Verformungen ausgehend voneiner bezogenen Verformung von bis zu . Die Summation der bezogenen Ver-formungen der positiven Halbzyklen ergibt (Bild 5.7):

(5.12)

Die beiden Halbzyklen mit werden nicht mitgezählt, da die Fliessverformung nichterreicht worden ist. Die Summation über die negativen Halbzyklen gibt ebenfalls 14. Diekumulative Duktilität wird somit :

(5.13)

Die kumulative Duktilität µkum wurde in [PP 84] als zusätzliches Beurteilungskriteriumneben der nicht-kumulativen Duktilität µ für das zyklische Verhalten von Stahlbetonbau-teilen in Versuchen eingeführt. Um einer erforderlichen Bemessungsduktilität µerf zugenügen, muss ein Bauteil die folgenden zwei Bedingungen erfüllen, wobei an zyklisch-

Bild 5.6: Kraft-Verformungs-Verlauf für die kumulative Duktilität

Verformung

Kraft

δy+

Fy+

Fy−

δy− δ1

+δ1− δ2

+

δi+ δy

+> δi- δy

-<

µkum

δi+

δy+

-----∑δi

-

δy-

-----∑+= δi+ δy

+> δi- δy

-<

δi+

δy+

δi-

δy-

3 4⁄± 4±

δi+

δy+

----- 2 2 2 3 1 4 14=⋅+⋅+⋅=∑

3 4⁄

µkum

δi+

δy+

-----∑δi

-

δy-

----- 14 14 28=+=∑+=

Schädigungsmodelle

64

statische Versuche mit schrittweiser Steigerung der Verformungen wie in Bild 5.7gedacht wurde:

1. Im Versuch muss eine Duktilität erreicht werden, ohne dass der Tragwider-stand mehr als 20% abfällt.

2. Im Versuch muss eine kumulative Duktilität erreicht werden, ohne dassder Tragwiderstand mehr als 20% abfällt.D.h. im Schnitt sind mindestens vier volle Zyklen (oder 8 Halbzyklen) mit einer be-zogenen Verformung von µerf ohne wesentlichen Abfall des Tragwiderstandes zudurchfahren.

Mit der 2. Bedingung bezüglich der kumulativen Duktilität soll sichergestellt werden,dass das Bauteil eine für hohe Seismizität typische Anzahl von Beanspruchungszyklenproblemlos überlebt. Für den Bauteilversuch in Bild 5.7 wurde underreicht (Gleichung 5.13). Das Bauteil genügt somit einer erforderlichen Bemessungs-duktilität von , da dann die beiden Bedingungen und

gerade erfüllt sind.

In Kapitel 5.1.2 wurde der enge Zusammenhang zwischen Duktilität und dissipierterEnergie aufgezeigt, so dass für die kumulative Duktilität µkum eine Verknüpfung mit dertotalen dissipierten Energie bei zyklischer Beanspruchung erwartet werden kann. Um die-sen Zusammenhang aufzuzeigen, wird in Bild 5.8 zur Vereinfachung ein linear elasti-sches, ideal plastisches Verformungsgesetz angenommen. Bei kleinen Zyklen (kleine pla-stische Verformungen) knapp über der Fliessgrenze (d.h. δ/δy ) degeneriert die kumu-lative Duktilität µkum praktisch zu einem Zähler der durchfahrenen Halbzyklen (Bild 5.8links). Bei grösseren Zyklen (grössere plastische Verformungen) hingegen wird diekumulative Duktilität µkum mehr oder weniger ein Mass für die dissipierte Energie, da diemitgezählte Anzahl der Halbzyklen (wie bei den kleinen Zyklen) gegenüber den Anteilenaus der durch plastische Verformung dissipierten Energie an Bedeutung verliert (Bild 5.8

Bild 5.7: Kraft-Verformungs-Kurve eines zyklisch-statischen Bauteilversuchsfür die Bestimmung der kumulativen Duktilität [Bac+ 95]

*

2 x2 x 1 xµ=3/4 2 3 4 5 6

2 x 2 x1 x µ=3/423456

F, M, N

∆, φ, θ, ε

µ µerf≥

µkum 8µerf≥

µ 4= µkum 28=

µerf 3.5= µ 4= µerf 3.5=≥µkum 28 8 3.5⋅= = 8µerf 8 3.5⋅=≥

1≈

Lokale kumulative Schädigungsindikatoren

65

rechts). Beim Anwendungsbeispiel einer Stahlbetonrahmenberechnung in Kapitel 7.3.3zeigt ein plastischer Bereich in einem Riegel exemplarisch, wie die kumulative Duktilitätµkum (Bild 7.13) als Folge einer grösseren Anzahl Zyklen knapp über der Fliessgrenzerasch ansteigt.

Mit der leicht modifizierten Definition der kumulativen Duktilität gemäss Glei-chung (5.14) kann diese ungünstige Vermengung von zwei unterschiedlichen Einflüssenkorrigiert werden. Es genügt, wenn im Gegensatz zu Gleichung (5.11), wo die gesamtenbezogenen Verformungen aufsummiert werden, die Summation auf die plastischenAnteile der bezogenen Verformung pro Halbzyklus beschränkt wird. Mit dieser kleinenModifikation wird der Anteil „Halbzyklenzähler“ aus der kumulative Duktilität eliminiertund es bleibt praktisch nur noch ein relatives Mass der totalen dissipierten Energie übrig:

, für alle und (5.14)

Der Unterschied zwischen der modifizierten kumulativen Duktilität nach Glei-chung (5.14) und einem kumulativen Energieindex als Mass der totalen dissipierten Ener-gie besteht in erster Linie darin, dass bei die Normierung bezüglich der doppeltenVerformungsenergie bei Fliessbeginn erfolgt, während beim Energieindex die einfacheVerformungsenergie bei Fliessbeginn als Bezugsgrösse dient. Vergleichsrechnungen in[LH 90] zeigten eine sehr gute Korrelation zwischen modifizierter kumulativer Duktilität

und totaler dissipierter Energie.

Für die modifizierte kumulative Duktilität gemäss Gleichung (5.14) ändert sich auch dieformale Beziehung der oben erwähnten 2. Bedingung, die ein Bauteil erfüllen muss, umeiner erforderlichen Bemessungsduktilität µerf zu genügen, von auf:

(5.15)

Mit Gleichung (5.15) bleibt jedoch die 2. Bedingung an das Bauteil erhalten, dass es imDurchschnitt mindestens vier volle Zyklen (oder 8 Halbzyklen) mit einer bezogenen Ver-formung von µerf ohne wesentlichen Abfall des Tragwiderstandes zurücklegen könnenmuss.

Bild 5.8: Kumulative Duktilität bei kleinen Zyklen (links) und bei grösseren Zyklen (rechts)

Verformung

Kraft

Fy+

Fy-

δy+δy

-Verformung

Kraft

Fy+

Fy-

δy+δy

-

µkum

µkumδi

+ δy+

–

δy+

-----------------∑δi

- δy-

–

δy-

----------------∑+= δi+ δy

+> δi- δy

-<

µkum

µkum

µkum

µkum 8µerf≥

µkum 8 µerf 1–( )≥

Schädigungsmodelle

66

5.2.2 Schädigungsindex nach MeyerDer in [Mey 88] vorgestellte Schädigungsindex versucht die Schädigungsanteile infolgemonotoner und zyklischer Beanspruchung über ein Energieverhältnis zu kombinieren.Für positive und negative Verformungen wird je separat ein Schädigungsindex (Glei-chung 5.16) und (analog Gleichung 5.16) berechnet.

(5.16)

: Verformungsenergie eines Primärhalbzyklus

: Verformungsenergie eines Folgehalbzyklus

: maximale Verformungsenergie bei Versagen unter monotoner Beanspruchung

Aus den Vorwerten und wird dann der endgültige Schädigungsindexnach Gleichung (5.17) berechnet.

(5.17)

Als Primärhalbzyklus wird ein Halbzyklus bezeichnet, indem die bisher während derBelastungsgeschichte erreichten Verformungen überschritten werden. Die auf einen Pri-märzyklus folgenden Halbzyklen mit kleineren Amplituden werden Folgehalbzyklengenannt. Bei der Summation der Verformungsenergie der Primärhalbzyklenist zu beachten, dass hier jeweils nur derjenige Energieanteil dazugezählt wird, der nachÜberschreiten der im vorherigen Primärzyklus erreichten Verformung geleistet wird.Gesamthaft gesehen bleibt deshalb , da allgemein das Verformungsver-mögen unter zyklischer Beanspruchung dasjenige unter monotoner Beanspruchung nichtüberschreitet.

Für den Spezialfall einer Belastungsgeschichte mit stetig zunehmenden Verformungsam-plituden, d.h. ohne Folgehalbzyklen, wird der Schädigungsindex von Meyer gleich demEnergieindex DE, wenn man von der separaten Aufteilung in positive und negative Ver-formungen bei Meyer absieht (Gleichung 5.16 in Verbindung mit 5.6):

(5.18)

Die Berücksichtigung der Verformungsenergie der Folgehalbzyklen im Zähler und imNenner von Gleichung (5.16) resultiert in einer relativ schwachen Gewichtung der Schä-digung infolge zyklischer Beanspruchung. Unter Umständen wird das rechnerische Ver-sagen erst bei unendlich vielen Folgezyklen erreicht. Gesamthaft gesehen handelt es sichbeim Schädigungsindex von Meyer um einen Energieindex mit schwacher Berücksichti-gung der zyklischen Schädigung.

5.2.3 Schädigungsindex nach ChungDer Schädigungsindex nach Chung DChung übernimmt Konzepte der Schadensakkumula-tion aus der Werkstoffermüdung (Miner‘s Rule [Min 45]) zur Beschreibung der Schädi-

D+

D-

D+

Eprim i,+

∑ Ei+

∑+

Eu+

Ei+

∑+--------------------------------------------=

Eprim i,+

Ei+

Eu+

D+

D-

DMeyer

DMeyer D+

D+

D-

– D-

+=

Eprim i,+

∑

Eprim i,+

∑ Eu+≤

DMeyer D+

Eprim i,+

∑ Ei+

∑+

Eu+

Ei+

∑+--------------------------------------------

Eprim i,+

∑Eu

+------------------------

EEu------ DE== = = =

Ei+

Lokale kumulative Schädigungsindikatoren

67

gung von biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen [CMS 87], [CSM 88]. Dabei werdendas unterschiedliche Verhalten bei positiver oder negativer Beanspruchung sowie dieabnehmenden Tragwiderstände und Steigigkeiten mit zunehmender Zyklenzahl berück-sichtigt (Gleichung 5.19).

(5.19)

i: Index des Krümmungsniveaus

Ni: Anzahl Zyklen bis zum Versagen bei Krümmung i

ni: Anzahl effektiv aufgebrachter Zyklen bei Krümmung i

αi: Gewichtungsfaktor

+,-: positive oder negative Beanspruchungsrichtung

Der Gewichtungsfaktor αi ist eine relativ komplizierte Funktion von primär der Wieder-belastungssteifigkeiten bis zur Krümmung i. Er berücksichtigt, dass der erste Zyklus biszu einer gewissen Krümmung eine grössere Schädigung bewirkt als jeder Folgezyklus biszum gleichen Krümmungsniveau.

Im Gegensatz zu den meisten anderen Schädigungsindikatoren, die vor allem auf dasinelastische Verhalten des Stahlbetons ausgerichtet sind, erfasst der Schädigungsindexnach Chung DChung elastische und inelastische Zyklen a priori gleich. Das unterschiedli-che Verhalten von elastischen und inelastischen Zyklen wird über die Gewichtungsfakto-ren korrigiert.

5.2.4 Schädigungsindex nach Park und AngDer Schädigungsindex nach Park und Ang DPA besteht aus einer Kombination eines Ver-formungs- und eines Energiemasses [PA 85]. Das erste Glied in Gleichung (5.20) berück-sichtigt den Einfluss der maximalen Verformung, das zweite den Einfluss der zyklischenBeanspruchung über die dissipierte Energie:

(5.20)

δ: maximale Verformung

δu: Bruchverformung unter monodirektionaler Beanspruchung

Fy: Fliesskraft unter monodirektionaler Beanspruchung

dE: Inkrement der dissipierten Energie

β: Konstante

Die Konstante β wird durch Kalibirierung mit Versuchen so festgelegt, dassVersagen bedeutet. Sie hängt vor allem von der konstruktiven Gestaltung, der Beanspru-chungsart und den Werkstoffeigenschaften ab. Die durch Kalibrierung erhaltenen Wertefür β sind ziemlich klein. In [PAW 87] wird allgemein für Stahlbetonbauteile β = 0.05 undfür Stahlbauteile β = 0.025 angegeben, wobei die Streuung sehr gross ist. Für duktil

DChung αi+ ni

+

Ni+

------ αi- ni

-

Ni-

-----+

i∑=

DPAδδu----- β

Ed∫δu Fy⋅----------------⋅+=

DPA 1≥

Schädigungsmodelle

68

gestaltete Stahlbetonstützen wurde in [PAW 85] ein wesentlich kleinerer Wert von nurnoch β = 0.002 gefunden, d.h. der Einfluss des zweiten, kumulativen Gliedes im Schädi-gungsindex nach Park und Ang nimmt bei duktiler konstruktiver Gestaltung stark ab.

Die beiden Summanden von DPA in Gleichung (5.20) können mit den vorgängig beschrie-benen Schädigungsindikatoren etwas differenzierter interpretiert werden:

• Der erster Summand entspricht gerade dem Verhältnis der bezogenen Verformung δ/δy zur Duktilität µ. Dieses Verhältnis wurde in Gleichung (5.2) als Schädigungsindi-kator Dµ eingeführt:

(5.21)

Im Falle einer Berechnung eines Bauteiles kann der Zähler δ/δy in Gleichung (5.21)als Duktilitätsbedarf µBedarf betrachtet werden. Der erste Summand des Schädigungs-indikators von Park und Ang wird dann zum Verhältnis des Duktilitätsbedarfes zurvorhanden Duktilität:

(5.22)

• Der zweite Summand berücksichtigt die Schädigung infolge zyklischer Beanspru-chung über eine normierte kumulative Energie. Ähnlich wie bei dem im Kapitel 5.1.2für nicht-kumulative Beanspruchung eingeführten Schädigungsindikator DE erfolgtdie Normierung über ungefähr die Verformungsenergie bei maximaler VerformungEu:

(5.23)

Der Schädigungsindex nach Park und Ang DPA kann folglich als Summe aus dem Ver-hältnis der bezogenen Verformung zur Duktilität und einem gewichteten kumulativenEnergieverhältnis interpretiert werden:

(5.24)

Für kleine Werte der Konstanten β kann der zweite Summand vernachlässigt werden, undes bleibt nur noch der erste Summand übrig. Der Schädigungsindex nach Park und Angdegeneriert damit zum Schädigungsindikator Dµ, der auf der nicht-kumulativen Duktilitätberuht (Gleichung 5.2).

δδu-----

δδy-----

δu

δy-----

-----

δδy-----

µ----- Dµ= = =

δδu-----

δδy-----

δu

δy-----

-----µBedarf

µ------------------= =

βEd∫

δu Fy⋅---------------- β

Ed∫Eu

---------⋅≈⋅

DPAδδu----- β

Ed∫δu Fy⋅----------------

δδy-----

µ----- β

Ed∫Eu

---------⋅+≈⋅+=

Globale Schädigungsindikatoren

69

5.3 Globale SchädigungsindikatorenDie globalen Schädigungsindikatoren beschreiben das Schädigungsverhalten eines gan-zen Bau- oder Tragwerks. Bei den mehr auf Bemessung orientierten Grössen, wie z.B. derVerschiebeduktilität, wird das Verhalten des Bauwerks separat für die Anregungen injeder der beiden Hauptrichtungen des Grundrisses betrachtet. Bei den anderen wird diegesamte Schädigung unabhängig von der Anregungsrichtung erfasst.

5.3.1 VerschiebeduktilitätÄhnlich wie bei der Definition der Duktilität eines Bauteils in Kapitel 5.1.1 wird die glo-bale Verschiebeduktilität µ∆ eines Tragwerkes als Verhältnis der Verschiebung bei Ver-sagen δu zur Verschiebung bei Fliessbeginn δy definiert:

(5.25)

Als Verschiebung δu und δy werden bei Gebäuden normalerweise die horizontalen Aus-lenkungen am obersten Punkt des Tragwerkes in einer der beiden orthogonalen Haupt-richtungen verwendet [PBM 90] ( Bild 5.9). Pro Tragwerk können derart zwei Werte derVerschiebeduktilität bestimmt werden. Die Verschiebeduktilität µ∆ dient insbesondereals Reduktionsfaktor der elastischen Erdbebeneinwirkung beim Ersatzkraftverfahren.

Wird das Gebäude im Grundriss betrachtet, so ist infolge Torsion die Verschiebeduktilitätan verschiedenen Orten im Grundriss unterschiedlich. Als ausgezeichneten Punkt desGrundrisse wird in [Pau 96] die Verschiebeduktilität oberhalb des Massenzentrums alsSystemduktilität bezeichnet. Die Systemduktilität dient als relatives Mass zur Beschrei-bung des Verformungszustandes im für die Bemessung massgebenden plastischenMechanismus des Gebäudes.

Bild 5.9: Verschiebung δ für die Definition der Verschiebeduktilität

µ∆δu

δy-----=

δ

Schädigungsmodelle

70

5.3.2 Kumulative VerschiebeduktilitätAnalog zur kumulativen Duktilität eines Bauteiles, wie in Kapitel 5.2.1 beschrieben, kannfür das ganze Tragwerk eine kumulative Verschiebeduktilität definiert werden:

, für alle und (5.26)

Die kumulative Verschiebeduktilität besteht aus der Summe der bezogenen pla-stischen Horizontalverschiebungssanteilen aller positiven und negativen Halbzyklen. AlsReferenzort für die Bestimmung dieser Verschiebungen wird entweder der oberste Punktim Tragwerk (analog der Verschiebeduktilität in Kapitel 5.3.1) oder das Massenzentrum(analog der Systemduktilität) gewählt.

5.3.3 Index der StockwerkverschiebungDie relative, horizontale Stockwerkverschiebung ist primär ein Mass für die Schädigungder nichttragenden Elemente im betreffenden Stockwerk. Zur Vermeidung grössererSchäden an nichttragenden Elementen werden deshalb in Erdbebennormen Grenzwertefür die relativen, horizontalen Stockwerkverschiebungen unter Erdbebeneinwirkung vor-geschrieben, z.B. in [EC 8-2]. Die Stockwerkverschiebungen können auch als Schädi-gungsindikator für das Tragwerk verwendet werden. Sie finden ferner häufig bei Bauteil-versuchen Verwendung.

Die übliche Definition der relativen, horizontalen Stockwerkverschiebung beruht auf derDifferenz zwischen der horizontalen Verschiebung der oberen und der unteren Decke desbetrachteten Stockwerks (Bild 5.10):

(5.27)

Die Vernachlässigung der Verdrehung der einzelnen Stockwerke in Gleichung (5.27)kann bei dominierender globaler Biegeverformung des Gebäudes zu einer falschen Ein-schätzung der relativen Stockwerkverschiebungen führen. In diesem Falle verlaufen diehorizontalen Verformungen parabolisch über die Bauwerkshöhe und die relativen Stock-

Bild 5.10: Stockwerkverschiebung

µ∆ kum,

µ∆ kum,δ+ δy

+–

δy+

-----------------∑δ- δy

-–

δy-

----------------∑+= δ+ δy+> δ- δy

-<

µ∆ kum,

δo

δu

h

DD

δo δu–

h-----------------=

Globale Schädigungsindikatoren

71

werkverschiebungen nehmen von unten nach oben zu. Die Formulierung von Gleichung(5.27) berücksichtigt nicht, dass die oberen Stockwerke eine immer grössere werdendeVerdrehung erfahren. Wenn diese Verdrehungsanteile an den horizontalen Stockwerkver-schiebungen abgezogen werden, wie in Bild 5.11 gezeigt, erhält man gerade das umge-kehrte Ergebnis.

Für den angenommenen parabolischen Verformungsverlauf über die Bauwerkshöhe neh-men die relativen Stockwerkverschiebungen nach Bild 5.11 von oben nach unten zu, d.h.das Maximum wird im untersten Stockwerk statt wie nach Gleichung (5.27) im oberstenStockwerk erreicht. Bei sehr kleinen Verformungen ist der Unterschied zwischen den bei-den Formulierungen nicht gross. Häufig wird auch nur eine mittlere relative Stockwerk-verschiebung, berechnet mit dem Quotienten aus der horizontalen Dachverschiebung undder gesamten Gebäudehöhe, verwendet.

5.3.4 Gewichte Mittelwerte lokaler SchädigungsindikatorenEine weitere Möglichkeit, einen globalen Schädigungsindikator Dglobal zu bestimmen,besteht darin, einen gewichteten Mittelwert aus den lokalen Schädigungsindikatoren Dider einzelnen plastischen Bereiche zu bilden:

(5.28)

Diese Mittelwertbildung ist grundsätzlich für alle Arten von lokalen Schädigungsindika-toren geeignet. Die Wichtungsfaktoren wi können z.B. proportional zur dissipierten Ener-gie des entsprechenden plastischen Bereiches angenommen werden [CSM 88]. Damiterfahren die stärker geschädigten Bauteile ein grösseres Gewicht im globalen Schädi-gungsindikator. Häufig werden Schädigungen in den unteren Geschossen gegenüber den-jenigen in den oberen Geschossen stärker gewichtet, um dem grösseren Einsturzrisko beiVersagen eines unteren Geschosses Rechnung zu tragen.

Ebenfalls um die stärker geschädigten Bauteile besonders zu gewichten, wird in [Bra+ 89]eine Mittelwertbildung über die potenzierten lokalen Schädigungsindikatoren Di vorge-schlagen:

Bild 5.11: Stockwerkverschiebung mit Verdrehung

δo-δu

h

Dglobal

wiDi∑wi∑

------------------=

Schädigungsmodelle

72

(5.29)

Für einen Exponenten in Gleichung (5.29) erhält man den gleichen globalen Schä-digungsindikator wie in Gleichung (5.28). Je grösser der Exponent p gewählt wird, destogrösser fällt die relative Gewichtung der stark geschädigten Bauteile im Gesamtindex aus.Mit der Wahl eines grossen Exponenten p wird versucht zu berücksichtigen, dass bereitsdas Versagen eines einzigen kritischen Bauteils zum Einsturz des gesamten Bauwerksführen kann.

5.3.5 EnergiebilanzBei der Energiebilanz handelt es sich eine Aufteilung in verschiedene Kategorien derdurch die Erdbebenanregung in das Bauwerk eingeführten Energie. Nach dem Erhal-tungssatz der Energie ist die Summe dieser Energien immer gleich der bis zum betrachte-ten Zeitpunkt aufgebrachten Anregungsenergie:

(5.30)

Einp: durch die Erdbebenanregung in das Bauwerk eingeführte Energie

Ekin: kinetische Energie des Bauwerkes

Eel: elastische Verformungsenergie des Bauwerkes

Epl: plastische Verformungsenergie des Bauwerke

Evis: durch viskose Dämpfung im Bauwerk dissipierte Energie

Nach dem Ende der Erdbebenanregung, wenn sich das Bauwerk wieder im Ruhezustandbefindet, sind die Integrale über die kinetische und die elastische Verformungsenergiegleich null. Zwischen der Schädigung und der Energiebilanz besteht kein direkter Zusam-menhang. Doch sind die relative Grösse der einzelnen Energieanteile sowie das Verhälniszwischen maximaler plastischer zu maximaler elastischer Verformungsenergie gewisseIndikatoren für die Schädigung.

5.3.6 SchadengradeAls Beispiel für einen Schädigungsindikator, der nicht auf rechnerischen Untersuchungensondern rein auf visuell beobachten Schäden beruht, dienen die Schadengrade der Euro-päischen Makroseismischen Skala (EMS 98) [Grü+ 98]. Nach der EMS 98 werden diedurch Erdbeben verursachten Gebäudeschäden in fünf Schadengrade eingeteilt:

– Schadengrad 1: Keine Schäden an tragenden, leichte Schäden an nichttragendenBauteilen

– Schadengrad 2: Leichte Schäden an tragenden, erhebliche Schäden an nichttragen-den Bauteilen

– Schadengrad 3: Erhebliche Schäden an tragenden, schwere Schäden an nichttragen-den Bauteilen

Dglobal

wiDip 1+( )

∑wiDi

p∑

-------------------------------=

p 0=

Einpd∫ Ekind∫ Eeld∫ Epld∫ Evisd∫+ + +=

Bewertung der Schädigungsmodelle

73

– Schadengrad 4: Schwere Schäden bis zum Teileinsturz von tragenden Bauteilen

– Schadengrad 5: Einsturz.

Bei der Beurteilung der Schäden eines Gebäudes wird auch dessen Verletzbarkeit bezüg-lich Erdbebeneinwirkung berücksichtigt. Nach der EMS-98 werden die Gebäude in sechsVerletzbarkeitsklassen von A bis F eingeteilt. Unter Verletzbarkeit wird die Anfälligkeiteines Gebäudes, unter einer gewisser Erdbebeneinwirkung Schäden zu erleiden, verstan-den.

Die Abstufung der fünf Schadengrade der EMS-98 wurde so festgelegt, dass eine Diffe-renz von einem Schadengrad bei Gebäuden der gleichen Verletzbarkeitsklasse und glei-chem relativen Anteil betroffener Gebäude einen Unterschied in der makroseismischeIntensität von gerade einer Intensitätsstufe bewirkt. Weisen z.B. in einem Stadtquartier10% der Gebäude der Verletzbarkeitsklasse B Schadengrad 1 und in einem anderen 10%der Gebäude der Verletzbarkeitsklasse B Schadengrad 2 auf, so ist die Intensität auf derzwölfstufigen EMS-Skala im zweiten Stadtquartier um eine Stufe höher als im ersten. DieDefinition der Schadengrade wurde bewusst so gewählt, um dieses einfache Ergebnis zuerzielen.

Ein klarer Vorteil der Schadengrade gegenüber den anderen Schädigungsindikatoren istdie gute Korrelation zwischen Schadengrad und Schädigung. Dies ist natürlich einedirekte Folge aus der Definition der Schadengrade, die ja auf der beobachteten Schädi-gung beruht. Andererseits ist es deshalb relativ schwierig, die Schadengrade rechnerischzu ermitteln.

5.3.7 Finanzielle IndikatorenMit finanziellen Indikatoren wird versucht, den finanziellen Schaden infolge eines Erdbe-bens als Mass der Schädigung heranzuziehen. Typischerweise wird dazu das Verhältnisder Kosten der Wiederherstellung des ursprünglichen baulichen Zustandes zu den Neu-baukosten inklusive Abbruch- und Entsorgungskosten [Mos 93] betrachtet. Bei einer reinwirtschaftlichen Betrachtung müssten die Wiederherstellungskosten auf den Zeitwert desGebäudes, d.h. auf die Neubaukosten abzüglich Altersentwertung bezogen werden.Andererseits würde dann bei einem alten Haus schon bei einem schwachen Beben relativrasch ein Schaden von 100% erreicht.

Finanzielle Indikatoren sind mit dem Index der Stockwerkverschiebungen korreliert, d.h.sie nehmen im Allgemeinen mit zunehmenden Stockwerkverschiebungen ebenfalls zu[WS 95]. Eine Übersicht über weitere Definitionen von finanziellen Indikatoren wird in[Rei 85] gegeben.

5.4 Bewertung der SchädigungsmodelleDie Bewertung der Schädigungsmodelle und der zugehörigen Schädigungsindikatorenerfolgt aufgrund ihrer Eignung für Berechungen, Bemessung, Nachrechnen von Versu-chen und für Schadenstudien mit einfachen qualitativen Kriterien in Tabelle 5.1. Bei derEignung bezüglich Berechnung wird unterschieden zwischen nichtlinearen dynamischen

Schädigungsmodelle

74

Berechnungen im Allgemeinen und solchen mit den numerischen Modellen desKapitels 4. Steifigkeitsbezogene Schädigungsindikatoren sind für letztere weniger gutgeeignet, da die numerischen Modelle des Kapitels 4 relativ einfache Annahmen bezüg-lich Steifikeitsabminderung unter zyklischer Beanspruchungen treffen.

Eignung für

Lokalenicht-kumulative

Indikatoren

Berechnungallgemein

Berechnungmit Modellenvon Kap. 4

Bemessung Versuche Schaden-studien

Komplexität

Duktilität ++ ++ ++ + - sehr einfach

Energieindex ++ ++ + + - mittel

SteifigkeitsbezogeneSchädigungsindikato-ren

+ - - + - gross

Lokale kumulativeIndikatoren

Kumulative Duktilität ++ ++ - ++ - einfach

Modifiziertekumulative Duktilität

++ ++ - ++ - einfach

Schädigungsindex nachMeyer

++ + - + - gross

Schädigungsindex nachChung

++ + - + - sehr gross

Schädigungsindex nachPark und Ang

++ + - + - sehr gross

Globale Indikatoren

Verschiebeduktilität + + ++ + + sehr einfach

Kumulative Verschie-beduktilität

+ + - + + einfach

Index der Stockwerk-verschiebungen

++ ++ + + + mittel

Gewichtete Mittelwerte - - - - ++ sehr gross

Energiebilanz + + - - - mittel

Schadengrade - - - - ++ einfach

Finanzielle Indikatoren - - - - ++ sehr gross

Legende: ++ sehr gut geeignet+ gut geeignet- weniger geeignet

Tabelle 5.1: Bewertung der Schädigungsindikatoren

Folgerungen

75

5.5 FolgerungenDie energiebezogenen Schädigungsindikatoren und die Duktilität sind eng miteinanderverwandt, wie im Kapitel 5.1.2 gezeigt wurde. Die komplizierteren Formulierungen derenergiebezogenen Schädigungsindikatoren lassen sich deshalb gegenüber der einfacherenDuktilität im Allgemeinen nicht rechtfertigen. Mit zunehmender Anzahl Zyklen nimmtdie Schädigung unbestrittenermassen zu. Bei duktiler Gestaltung der Tragwerke ist derkumulative Einfluss der Beanspruchung auf die Schädigung jedoch relativ gering,solange die Zyklenzahl klein bleibt. Andere Einflüsse, wie z.B. das Verformungsvermö-gen des Bewehrungsstahls, können eine wesentlich grössere Rolle spielen, so dass insbe-sondere bei niedriger bis mässiger Seismizität, wo nur mit einer begrenzter Zyklenzahlgerechnet werden muss, die Schädigung infolge zyklischer Beanspruchung vernachläs-sigt werden darf.

Der häufig verwendetete Schädigungsindex von Park und Ang (Kapitel 5.2.4) wurdeursprünglich für wenig duktile Stahlbetonbauteile entwickelt. Bei duktil gestalteten Stahl-betonbauteilen wird die Konstante β vernachlässigbar klein, so dass der Schädigungsin-dex von Park und Ang praktisch zu einem auf der nicht-kumulativen Duktilität beruhen-den Schädigungsindikator wird. Dies gilt insbesondere für eine geringe Anzahl von Bean-spruchungszyklen, wie sie bei niedriger bis mässiger Seismizität zu erwarten ist.

Die einfachen Schädigungsindikatoren wie Duktilität und Energieindex weisen den Vor-teil auf, dass sie in direktem Zusammenhang mit den üblicherweise bei der Erdbebenbe-messung verwendeten Reduktionsfaktoren zur Berücksichtigung des plastischen Verfor-mungsvermögens stehen. Bei den komplexeren Schädigungsindikatoren ist dies nicht derFall. Sie können deshalb nicht direkt für die Bemessung herangezogen werden.

Aus diesen Gründen wird bei den nichtlinearen dynamischen Berechnungen die Duktilitätbzw. die bezogene Verformung als Schädigungsindikator verwendet. Zur Berücksichti-gung des Einflusses der zyklischen Beanspruchung sollen die Duktilitätsanforderungenbei Versuchen mit einer zusätzlichen Bedingung an die modifizierte kumulative Duktilität

ergänzt werden. Mit der neu eingeführten modifizierten kumulativen Duktilitätkonnten gewisse Mängel der kumulativen Duktilität bei der Erfassung von kleinenZyklen korrigiert werden, wie in Kapitel 5.2.1 erläutert. Als Anwendungsbeispiele dienendie nichtlinearen dynamischen Berechnungen eines Stahlbetonrahmengebäudes im 7.Kapitel, wo für ausgewählte plastische Bereiche die kumulative Duktilität und die modi-fizierte kumulative Duktilität miteinander verglichen werden (Bilder 7.10 und 7.13).

µkumµkum

Schädigungsmodelle

76

77

6 Nachrechnung von VersuchenIn diesem Kapitel wird die Anwendbarkeit der entwickelten Modelle mit Nachrech-nungen von einfachen Stahlbeton-Bauteilversuchen unter zyklischer Beanspruchungaufgezeigt. Sämtliche Nachrechnungen erfolgten mit dem Finite-Elemente-ProgrammAbaqus in der Version 5.8 [Aba 99], das durch die in Kapitel 4 beschriebenen Userele-mente für die Modellierung der plastischen Bereiche der Versuchskörper erweitert wurde.Der Vergleich zwischen berechnetem und gemessenem Verhalten soll die Zweckmäs-sigkeit der gewählten Modellierungen unterstreichen. Weitergehende Anwendungsbei-spiele mit der Berechnung ganzer Tragsysteme befinden sich im 7. Kapitel.

6.1 Zyklisch-statischer Versuch an einem StahlbetonriegelZum Vergleich zwischen Versuch und numerischem Modell für ein Fliessgelenk in einemStahlbetonriegel wird der Bauteilversuch 16/A8/7-2 aus [MPS 96] herangezogen. Es han-delt sich um einen zyklisch-statischen Versuch an einem rechteckigen Stahlbetonträgermit den Querschnittsabmessungen 300 mm x 200 mm (Bild 6.1). Da in diesem Versuchkeine Normalkraft auf den Versuchskörper aufgebracht worden ist und folglich der kriti-sche Bereich oberhalb des Fundamentsockels, abgesehen von einer vernachlässigbaren

Bild 6.1: Ansicht (oben) und Grundriss (unten) des Versuchskörpers 16/A8/7-2mit Abmessungen und Bewehrung [MPS 96]

Nachrechnung von Versuchen

78

Beanspruchung infolge Eigengewicht, nur durch Biegung mit Querkraft beanspruchtwird, handelt es sich, obwohl der Versuch à priori wie ein Stützenversuch aussieht, effek-tiv um einen Riegelversuch in vertikaler Anordnung.

Der plastischen Bereich oberhalb des im Versuch verwendeten Fundamentsockels, der beieinem Riegel dem Anschlussbereich an die Stütze entspräche, ist sehr eng verbügelt. DerBügelabstand beträgt über eine Höhe von 650 mm nur 75 mm oder etwa das 5-fache desDurchmessers der Längsbewehrung. Diese sehr enge Verbügelung garantiert einegrössere Anzahl stabiler Hysteresezyklen, wie in Bild 6.4 in Form von gemessenen Kraft-Verschiebungskurven dargestellt.

Bild 6.2 zeigt auf der linken Seite schematisch die Versuchseinrichtung mit der aufge-brachten horizontalen Verformungen δ und der gemessenen Kraft F, zusammen mit demBerechnungsmodell für die Nachrechnung auf der rechten Seite. Das numerische Modellbesteht aus einem Userelement des Typs U1 für den plastischen Bereich mit einem

Bild 6.2: Schematische Versuchseinrichtung des Riegelversuches in [MPS 96] (links),zugehöriges Berechnungsmodell (rechts)

Nummer derUserelement-Eigenschaft

Beschreibung Eingabeparameter

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA 1800 MN

Props(2) elastische Biegesteifigkeit EIel 3.5 MNm2

Props(3) Verhältnis der plastischen zurelastischen Biegesteifigkeit EIpl/EIel

0.002

Props(4) positives Fliessmoment My+ 55.3 kNm

Props(5) negatives Fliessmoment My- -55.3 kNm

Tabelle 6.1: Eingabeparameter des Userelementes U1 für die Nachrechnungdes Versuchs an einem Stahlbetonriegel

300

150150

1200

F, δ

El.-Typ B23

El.-Typ U1

F, δ

Zyklisch-statischer Versuch an einem Stahlbetonriegel

79

Standardstabelement des Typs B23 aus der Abaqus-Elementbibliothek für den elastischbleibenden Teil oberhalb des Userelementes U1. Zur Berücksichtigung der effektivenVerankerungslänge der Längsbewehrung im Fundamentsockel wurde der Einspannho-rizont 150 mm unterhalb der Oberkante des Fundamentsockels gewählt (Bild 6.2). DieLänge des plastischen Bereichs oberhalb des Fundamentsockels wird halb so gross wiedie Trägerhöhe von 300 mm angenommen. Das Userelementes U1 wird somit zweimal150 mm gleich 300 mm lang. Die verwendeten Eingabeparameter dieses UserelementesU1 für die Nachrechnung sind in Tabelle 6.1 zusammengestellt. Sie wurden mitAusnahme der Normalkraftsteifigkeit EA, die mit nominellen Werten des Elastizitäts-moduls und der Querschnittsfläche abgeschätzt wurde, aus den in Bild 6.4 dargestelltenVersuchsresultaten bestimmt.

Die Verformungsgeschichte der horizontalen Verschiebung δ des zyklisch-statischenVersuchs ist in Bild 6.3 dargestellt. Nach einem ersten Zyklus bis zu plus/minus dereinfachen Fliessverformung (δy = 16 mm) wurden je drei Zyklen mit plus/minus der 2.5-fachen Fliessverformung durchfahren. Anschliessend folgten noch zwei Zyklen mit plus/minus der 5-fachen Fliessverformung, wobei im letzten dieser beiden Zyklen dieHorizontalkraft infolge Bruch der Längsbewehrung stark abfiel, wie im 1. Quadranten inBild 6.4 ersichtlich.

In der Nachrechnung wurde die genau gleiche Verformungsgeschichte wie in Bild 6.3nachgefahren. Als typisches Resultat der Nachrechnung ist in Bild 6.5 das berechneteKraft-Verschiebungsdiagramm am gleichen Ort und im gleichen Massstab wie dasentsprechende Diagramm vom Versuch in Bild 6.4 dargestellt. Ein Vergleich der beidenKraft-Verschiebungsdiagramme zeigt eine sehr gute Übereinstimmung zwischenVersuch und Berechnung. Die relativ einfache numerische Formulierung des Hysterese-

Bild 6.3: Verformungsgeschichte der horizontalen Verschiebung δdes zyklisch-statischen Versuchs

Zeit

Ver

schi

ebun

g δ

[m

m]

3 Zyklen zu ± 2.5 δy 2 Zyklen zu ± 5.0 δy1 Zykl. zu ± 1.0 δy

-80

-40

-16

16

40

80

Bruch derBewehrung

0

Nachrechnung von Versuchen

80

verhaltens des Riegelgelenkes reicht aus, um das wirkliche Biegeverhalten des Stahlbe-tonversuchskörpers bis kurz vor dem Versagen im Wesentlichen zu erfassen. Einzig derAbfall des Tragwiderstandes im letzten Halbzyklus konnte nicht nachgebildet werden.

Bild 6.4: Gemessenes Kraft-Verschiebungsdiagramm aus [MPS 96]

Bild 6.5: Berechnetes Kraft-Verschiebungsdiagramm

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100Verschiebung [mm]

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Kra

ft F

[kN

]

δ

Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze mit einachsiger Biegung

81

6.2 Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze miteinachsiger Biegung

Das numerische Modell für Fliessgelenke in Stahlbetonstützen wird mit dem Bauteil-versuch 22/A8/3-3 verglichen, der aus der gleichen Versuchsserie wie in Kapitel 6.1beschrieben stammt [MPS 96]. Es handelt sich ebenfalls um einen zyklisch-statischenVersuch an einem Stahlbetonbauteil mit den gleichen Querschnittsabmessungen von300 mm x 200 mm wie der Versuchskörper 16/A8/7-2 in Bild 6.1, doch wird hier aucheine Normalkraft aufgebracht, so dass es sich um eigentlichen Stützenversuch handelt(Bild 6.6).

Unterschiedlich ist ferner die Längsbewehrung, die aus 4 Eckstäben φ 22 mm statt φ16 mm besteht, sowie die Bügelbewehrung, die bei gleichem Bügelabstand von 75 mmim kritischen Bereich über dem Fundamentsockel von φ 8 mm auf φ 10 mm verstärktwurde. Dieser Abstand entspricht ungefähr dem 3.5-fachen des Durchmesser der Längs-bewehrung. Die Normalkraft N von 403 kN (Bild 6.6) entspricht auf den Tragwiderstanddes Bruttoquerschnittes der Stütze bezogen einer Normalkraftbeanspruchung von:

6.1

fc: Betondruckfestigkeit

Ac: Bruttoquerschnittsfläche der Stütze (Betonabmessungen)

Infolge des relativ hohen Längsbewehrungsgrades von 2.5% (4 φ 22 mm) und der engenVerbügelung wurde in den Versuchen trotz dieser Normalkraftbeanspruchung einegrössere Anzahl stabiler Hysteresezyklen ohne Einschnürungseffekt erzielt (Bild 6.7).Die numerische Modellierung für die Nachrechnung besteht aus einem einfachen

Bild 6.6: Schematische Versuchseinrichtung des Stützenversuches in [MPS 96] (links),zugehöriges Berechnungsmodell (rechts)

ν NfcAc----------

403kN

42kN/mm2

60000mm2⋅

---------------------------------------------------------- 0.16= = =

300

150150

1200

F, δ

El.-Typ B23

El.-Typ U2

N = 403 kN

N = 403 kN

F, δ

Nachrechnung von Versuchen

82

Kragarm mit einem Userelement des Typs U2 für den plastischen Bereich über derEinspannung (Bild 6.6). Die übrige Modellierung ist gleich wie beim Beispiel des Stahl-betonriegels in Kapitel 6.1. Die verwendeten Eingabeparameter des Userelementes U2sind in Tabelle 6.2 zusammengestellt. Die Biegesteifigkeiten und die Fliessmomentewurden aus den in Bild 6.7 dargestellten Versuchsresultaten bestimmt. Da die Normal-kraft N von 403 kN über die Belastungsgeschichte konstant bleibt, wurden die weiterenEingabeparameter für die M/N-Interaktion (Props(6) bis Props(10)) willkürlich sogesetzt, dass die Fliessmomente für diese konstante Normalkraft immer gerade dengewünschten, ebenfalls konstanten Werten von kNm entsprechen. Die Normalkraft-steifigkeit EA wurde mit nominellen Werten des Elastizitätsmoduls und der Querschnitts-fläche abgeschätzt. Sie hat hier auf die Resultate keinen Einfluss.

Die Verformungsgeschichte der horizontalen Verschiebung δ im Versuch entspricht demgleichen Ablauf von Zyklen der horizontalen Verschiebung wie in Bild 6.3. DieFliessverformung δy beträgt hier 23 mm statt 16 mm wie beim Riegelversuch. DerVersuch wurde nach 3 vollen Zyklen mit plus/minus 5-facher Fliessverformung beendet,ohne dass Versagen eintrat. Die Normalkraft wurde während des ganzen Versucheskonstant gehalten.

Auch hier wurde die Nachrechnung mit der gleichen Verformungsgeschichte wie imVersuch durchgeführt. Die Übereinstimmung zwischen berechneter, horizontalen Kraft-Verschiebungsbeziehung (Bild 6.8) und gemessener Kraft-Verschiebungsbeziehung

Nummer derUserelement-Eigenschaft

Beschreibung Eingabeparameter

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA 1800 MN

Props(2) elastische Biegesteifigkeit EIel 5.8 MNm2

Props(3) Verhältnis der plastischen zurelastischen Biegesteifigkeit EIpl/EIel

0.002

Props(4) positives Fliessmoment My+ bei N=0 151 kNm

Props(5) negatives Fliessmoment My- bei N=0 -151 kNm

Props(6) maximale Zugkraft Nmin 100 kN

Props(7) maximale Druckkraft Nmax -1000 kN

Props(8) maximales Fliessmoment My,+

max151 kNm

Props(9) minimales Fliessmoment My,-min

-151 kNm

Props(10) Normalkraft bei extremalemFliessmoment NMy,max

-500 kN

Tabelle 6.2: Eingabeparameter des Userelementes U2 für die Nachrechnungdes Versuchs an einer Stahlbetonstütze

151±

Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze mit einachsiger Biegung

83

(Bild 6.7) ist wiederum gut. Im Versuch ist ein leichter Abfall des Tragwiderstandes mitzunehmender Zyklenzahl festzustellen. In der Nachrechnung bleibt der Tragwiderstandkonstant, da die numerische Modellierung den Tragwiderstands-Abfall vernachlässigt.Die Vergleichsberechnung zeigt, dass die Userelemente des Typs U2 geeignet sind, dasHystereseverhalten von plastischen Bereichen in Stahlbetonstützen zu modellieren,soweit sich keine wesentliche Reduktion des Tragwiderstandes einstellt. Die Biege-moment-Normalkraft-Interaktion konnte hier nicht richtig überprüft werden, da dieNormalkraft in Versuch und Nachrechnung über die ganze Verformungsgeschichtekonstant blieb.

Bild 6.7: Gemessenes Kraft-Verschiebungsdiagramm aus [MPS 96]

Bild 6.8: Berechnetes Kraft-Verschiebungsdiagramm

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120Verschiebung [mm]

-120-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100120

Kra

ft F

[kN

]

δ

Nachrechnung von Versuchen

84

6.3 Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze mitzweiachsiger Biegung

Das dreidimensionale Stabelement U4 wird mit zwei zyklisch-statischen Versuchen anStahlbetonstützen unter mehrachsiger Beanspruchung aus der in [LM 87] beschriebenenVersuchsserie verglichen. Bei den Versuchskörpern der beiden Versuche handelt es sichum kleine, rechteckige Stahlbetonstützen, die unten in einem massiven Fundamentsockeleingespannt sind (Bild 6.9). Beide Versuchskörper weisen die gleichen Abmessungen ab,nämlich einen rechteckigen Querschnitt von 165 mm x 127 mm (6.5 in x 5.0 in) und eineHöhe von 550 mm (21.5 in). Die Längsbewehrung der Stütze besteht aus 4 Eckstäben φ9.5 mm (in Bild 6.9 mit #3 Bars bezeichnet, d.h. φ = 3/8 in) sowie aus 6 Zwischenstäbenφ 6.3 mm (#2 Bars, d.h φ = 2/8 in). Im plastischen Bereich über dem Fundamentsockel isteine engere Bügelbewehrung φ 6.3 mm (#2 Bars, d.h φ = 2/8 in) im Abstand von 25 mm(1 in) über eine Höhe von 200 mm vorhanden (Bild 6.9). Dieser Bügelabstand entsprichtdem 3-fachen Durchmesser der Eckstäbe #3 bzw. dem 4-fachen Durchmesser derZwischenstäbe #2, d.h. er ist sehr eng. Der Längsbewehrungsgehalt beträgt 2.3%.

Für die Nachrechnung der Versuche wurde ein einfaches numerisches Modell bestehendaus einem Userelement des Typs U4 für den plastischen Bereich und aus einemräumlichen Standardstabelement des Typs B33 aus der Abaqus-Elementbibliothek fürden elastisch bleibenden Teil oberhalb des Userelementes U4, wie links in Bild 6.10gezeigt. Für die Nachrechnung wurden die gleichen amerikanischen MasseinheitenInches und kips wie im Versuchsbericht [LM 87], gewählt, um den Vergleich mit den

Bild 6.9: Ansicht (links) und Querschnitt (rechts) der Versuchskörper 1 und 2mit Abmessungen in Inches und Bewehrung [LM 87]

Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze mit zweiachsiger Biegung

85

Versuchen zu erleichtern. Die Länge des Userelementes U4 wurde gleich der kleinerenSeitenlänge des rechteckigen Stützenquerschnittes von 127 mm (5 in) gewählt. DerEinspannhorizont wurde eine halbe Elementlänge 64 mm (2.5 in) unterhalb der Oberkantedes Fundamentsockels gelegt (Bild 6.10). Damit liegt der Resultatpunkt (Mittelpunkt) desUserelementes U4 gerade auf Höhe der Oberkante des Fundamentsockels. Die verwen-deten Eingabeparameter des Userelementes U4 sind in Tabelle 6.3 zusammengestellt. Fürdie Biegesteifigkeiten und die Fliessmomente wurden die entsprechenden analytisch

Bild 6.10: Schematische Versuchseinrichtung der Stützenversuche aus [LM 87] (links) undzugehöriges Berechnungsmodell (rechts), alle Abmessungen in Inches

Bild 6.11: Verformungsgeschichte der horizontalen Verschiebung δx des zyklisch-statischenVersuchs 1 sowie der horizontalen Verschiebungen δx und δy

des zyklisch-statischen Versuchs 2 aus [LM 87]

2.52.5

19 El.-Typ B33

El.-Typ U4

N = 10 kipsN = 10 kips

Fx, δx

Fy, δy56.5

Fx, δx

Fy, δy

Zeit

Ver

schi

ebun

g δ

x [i

n] (

Ver

such

1 u

nd 2

)

0.16 0

Ver

schi

ebun

g δ

y [i

n] (

nur

Ver

such

2)

-0.16

0.32

0.64

0.96

-0.32

-0.64

-0.96

Nachrechnung von Versuchen

86

bestimmten Werte aus dem Versuchsbericht [LM 87] übernommen. Da die NormalkraftN von 10 kips über die Belastungsgeschichte konstant bleibt, wurden die weiteren Einga-beparameter für die M/N-Interaktion (Props(9) bis Props(13)) willkürlich so gesetzt, dassdie Fliessmomente für diese konstante Normalkraft immer gerade den gewünschten,ebenfalls konstanten Werten entsprechen. Die Normalkraftsteifigkeit EA und die Torsi-onssteifigkeit GKt wurden mit nominellen Werten des Elastizitätsmoduls, des Schub-moduls und der Querschnittsfläche abgeschätzt. Diese haben bei der vorliegendenBelastungsgeschichte keinen Einfluss auf die Resultate.

Die Verformungsgeschichten der horizontalen Verschiebungen am Stützenkopf δx(schwache Richtung) und δy (starke Richtung) der beiden nachgerechneten zyklisch-stati-schen Versuche 1 und 2 sind in Bild 6.11 dargestellt. Die Stützenkopfverschiebungenwerden in Schritten von je zwei Zyklen von 4 mm (0.16 in), 8 mm (0.32 in) und 16 mm(0.64 in) auf 24 mm (0.96 in) gesteigert. Zwischen den zwei Zyklen von 8 mm und 16 mm

Nummer derUserelement-Eigenschaft

Beschreibung Eingabeparameter

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA 81‘000 kips

Props(2) elastische Biegesteifigkeit umX-Achse EIx, el

219‘000 kips in2

Props(3) Verhältnis der plastischen zur elastischenBiegesteifigkeit um X-Achse EIx,pl/EIx,el

0.005

Props(4) Fliessmoment um X-Achse Mx,y bei N=0 164 kips in

Props(5) elastische Biegesteifigkeit umY-Achse EIy, el

11.5.106 kips in2

Props(6) Verhältnis der plastischen zur elastischenBiegesteifigkeit um Y-Achse EIy,pl/EIy,el

0.02

Props(7) Fliessmoment um Y-Achse My,y bei N=0 115 kips in

Props(8) Torsionssteifigkeit GKt 105 kips in2

Props(9) maximales Fliessmoment umX-Achse Mx,y,max

164 kips in

Props(10) maximales Fliessmoment umY-Achse My,y,max

115 kips in

Props(11) Maximale Zugkraft Nmin 2000 kips

Props(12) Maximale Druckkraft Nmax -10‘000 kips

Props(13) Normalkraft bei extremalenFliessmomenten NMy,max

-1000 kips

Tabelle 6.3: Eingabeparameter des Userelementes U4 für die Nachrechnungdes Versuchs an einer Stahlbetonstütze mit zweiachsiger Biegung

Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze mit zweiachsiger Biegung

87

wird noch ein zusätzlicher Zyklus von 4 mm gefahren. Im Versuch 1 wurde der Versuchs-körper 1 nur in der X-Richtung (schwache Richtung) gemäss der Verformungsgeschichtein Bild 6.11 hin- und herbewegt. In der Y-Richtung (starke Richtung) wurde er beiVerformung null festgehalten. Beim Versuch 2 (Versuchskörper 2) wurden beidehorizontalen Stützenkopfverschiebungen δx und δy nach der gleichen Verformungsge-schichte (Bild 6.11) bewegt, d.h. die Auslenkungen des Stützenkopfes folgten imGrundriss betrachtet stets der Winkelhalbierenden der X- und Y-Achsen desQuerschnittes.

Bild 6.12: Gemessenes Kraft-Verschiebungsdiagramm in X-Richtungdes Versuchs 1 aus [LM 87]

Bild 6.13: Berechnetes Kraft-Verschiebungsdiagramm in X-Richtung beieinachsiger Beanspruchung entsprechend Versuch 1

-1.2 0.0 1.20.0Verschiebung [in]

-10.0

0.0

10.0

0

Kra

ft F

[kip

s]

δ

Nachrechnung von Versuchen

88

Die Normalkraft N wurde in den beiden Versuchen konstant bei 45 kN (10 kips) gehalten.Die auf den Tragwiderstand des Bruttoquerschnittes der Stütze bezogene Normalkraftbe-anspruchung ν betrug:

6.2

fc: Betondruckfestigkeit

Bild 6.14: Gemessenes Kraft-Verschiebungsdiagramm in X-Richtungdes Versuchs 2 aus [LM 87]

Bild 6.15: Berechnetes Kraft-Verschiebungsdiagramm in X-Richtung beizweiachsiger zyklischer Beanspruchung entsprechend Versuch 2

-1.2 0.0 1.20.0Verschiebung [in]

-10.0

0.0

10.0

0

Kra

ft F

[kip

s]

δ

ν NfcAc----------

10kips

5.2ksi 32.5in2⋅

------------------------------------- 0.16= = =

Zyklisch-statischer Versuch an einer Stahlbetonstütze mit zweiachsiger Biegung

89

Ac: Bruttoquerschnittsfläche der Stütze (Betonabmessungen)

Es handelt sich folglich um eine eher geringe Normalkraftbeanspruchung, wie sie für denEinsatzbereich des Userelementes U4 angenommen wurde.

Als typisches Resultat der Nachrechnung des Versuchs 1 mit zyklisch-statischer einach-siger Biegebeanspruchung in der schwachen Richtung ist in Bild 6.13 das berechneteKraft-Verschiebungsdiagramm am gleichen Ort und im gleichen Massstab wie das

Bild 6.16: Gemessenes Kraft-Verschiebungsdiagramm in Y-Richtungdes Versuchs 2 aus [LM 87]

Bild 6.17: Berechnetes Kraft-Verschiebungsdiagramm in Y-Richtung beizweiachsiger zyklischer Beanspruchung entsprechend Versuch 2

-1.2 0.0 1.20.0Verschiebung [in]

-10.0

0.0

10.0

0

Kra

ft F

[kip

s]

δ

Nachrechnung von Versuchen

90

entsprechende Diagramm des Versuchs in Bild 6.12 dargestellt. Beim Anstieg zum 1.Zyklus von 0.96 in in der negativen X-Richtung trat Versagen ein (Bild 6.12). In derNachrechnung wurde die Verformungsgeschichte wie in Bild 6.11 nachgefahren, wobeijedoch Ist-Soll-Abweichungen des Versuchs in der Nachrechnung ebenfalls berück-sichtigt wurden. Ein Vergleich der beiden Kraft-Verschiebungsdiagramme zeigt eine sehrgute Übereinstimmung zwischen Versuch und Berechnung.

Für den Versuch 2 mit zweiachsiger Biegung sind die entsprechenden Kraft-Verschie-bungsdiagramme für die X-Richtung (schwache Richtung) in den Bildern 6.14 und 6.15sowie für die Y-Richtung (starke Richtung) in den Bildern 6.16 und 6.17 dargestellt. DieNachrechnung erfolgte mit der in Bild 6.11 angegebenen Verformungsgeschichte fürbeide horizontalen Verschiebungen δx und δy. Die Übereinstimmung der Hysterese-schlaufen zwischen Versuch und Nachrechnung mit Userelement U4 kann für beideRichtungen als gut bezeichnet werden. Ein Vergleich des Biegeverhaltens in derschwachen Richtung des Versuchs 1 (Bilder 6.12 und 6.13) mit Versuch 2 (Bilder 6.14und 6.15) zeigt den Einfluss der zweiachsigen Biegebeanspruchung. Das Fliessmomentin X-Richtung liegt bei der zweiachsigen Biegebeanspruchung etwa bei 60% des Wertesbei einachsiger Biegung.

In den gemessenen Kraft-Verschiebungsdiagrammen des Versuchs 2 sind jeweils gestri-chelt die in [LM 87] berechneten Kraft-Verschiebungskurven für einachsige, monodirek-tionale Beanspruchung (in Bild 6.14 mit „Uniaxial“ bezeichnet) und für zweiachsige,monodirektionale Beanspruchung eingezeichnet (in Bild 6.16 mit „Biaxial @45o“bezeichnet, d.h. zweiachsig in 45o-Richtung). Diese können als Umhüllungskurven fürdie zyklischen Versuche betrachtet werden. Die erwähnte Berechnung der zweiachsigenUmhüllungskurven des Versuchs erfolgte in [LM 87] unter der Annahme einer ellipti-schen Fliesskurve zwischen den Fliessmomenten in X- und Y-Richtung des Stützenquer-schnitts, d.h. unter der gleichen Annahme, die auch der numerischen Formulierung desUserelementes U4 zugrundeliegt (Gleichung 4.25). Die Reduktion der Fliessmomente beider Nachrechnung unter zweiachsiger Biegung (Bilder 6.15 und 6.17) auf praktisch diegleichen Werte, wie sie beim Versuch 2 gemessen wurden, bestätigt die Zweckmässigkeitder verwendeten Fliessfläche des Userelementes U4.

Im Übrigen unterscheiden sich die Hystereseschlaufen bei zweiachsiger Biegebeanspru-chung im generellen Verlauf wenig von denen bei einachsiger Biegebeanspruchung, wieman durch Vergleich der Kraft-Verschiebungsdiagramme der Bilder 6.12 und 6.14feststellen kann. Auch in den Hysteresekurven bei zweiachsiger Biegebeanspruchungkönnen im Wesentlichen die gleichen Verhaltensabschnitte unterschieden werden, wie sieim Kapitel 4.2.2 für einachsige Biegebeanspruchung beschrieben. Insbesondere erfolgtauch bei zweiachsiger Biegebeanspruchung der Wiederanstieg in die Gegenrichtung miteiner reduzierten Steifigkeit in Richtung des Punktes mit der maximalen Verformung ausfrüheren Zyklen (entsprechend Hystereseregel in Bild 4.4). Die Übernahme dereinfachen Hystereseregeln für einachsige Biegebeanspruchung des Userelementes U1 zurBeschreibung des Verhaltens in jeder der beiden Biegebeanspruchungsrichtungen desUserelementes U4 für räumliche Stützen ist folglich gerechtfertigt.

3±

Dynamischer Versuch an einer Stahlbetontragwand

91

6.4 Dynamischer Versuch an einer StahlbetontragwandAls dynamisches Beispiel wurde ein Versuch aus der Stahlbetontragwand-Versuchsserieauf dem ETH-Erdbebensimulator nachgerechnet [LWB 99]. Der Versuchskörper WDH5ist 4.655m hoch und modelliert eine Tragwand eines dreistöckigen Gebäudes imMassstab 1:3. Die Stockwerksmassen wurden im Versuch durch drei nachlaufendeWagen, die mit Stahlbarren beladen sind, erzeugt (Bild 6.18). Da die Wand mit einemHöhen- zu Längenverhältnis von 4.655m/0.90m = 5.2 relativ schlank und der Querschnitt(Bild 6.19) mit einem Seitenverhältnis von 0.90m/0.10m = 9.0 relativ kompakt ist, lässtsich eine numerische Modellierung mit Stabelementen ohne Schubverformung vertreten.Die Normalkraftbeanspruchung der Tragwand war mit nur 3% Acfc, d.h. 3% derQuerschnittsfestigkeit auf Druck, gering.

Das Finite-Elemente-Modell für die Nachrechnung ist rechts in Bild 6.18 eingezeichnet.Der untere Wandbereich, wo im Versuch plastische Verformungen aufgetreten sind,wurde mit drei nichtlinearen Userelementen des Typs U2 für Fliessgelenke in Stahlbeton-stützen modelliert, während für den oberen, elastisch bleibenden Wandbereich reguläreStabelemente des Typs B23 aus der Abaqus-Elementbibliothek verwendet wurden. DerEinspannhorizont wurde auf dem Niveau der mittleren Höhe des 350 mm dicken Funda-mentsockels festgelegt. Mit dieser kleinen Verlängerung des Berechnungsmodelles derTragwand in den Fundamentsockel hinein kann der im Versuch festgestellte Schlupf derLängsbewehrung aus dem Fundamentsockel heraus auf einfache Weise approximativ

Bild 6.18: Schematische Versuchseinrichtung des Stahlbetontragwandversuchs WDH5auf dem ETH-Erdbebensimulator aus [LWB 99] (links),

und zugehöriges Berechnungsmodell (rechts)

3 Stockwerksmassenzu je12 t

Versuchskörper

ag(t)

175

1360 El.-Typ B23

3 El.-Typ U2

N = 60 kN

1360

1360

Massenelement

198

200

235

Nachrechnung von Versuchen

92

erfasst werden. Die Modellierung der drei Stockwerksmassen erfolgte in der Berechnungdurch je ein Massenelement zu 12 t, das nur in horizontaler Richtung eine Trägheitaufweist. Die verwendeten Eingabeparameter für die drei Userelemente U2 sind inTabelle 6.4 zusammengestellt. Die Biegesteifigkeiten und die Fliessmomente wurdenaufgrund der Versuchsresultate bestimmt. Dies ergab eine elastische Biegesteifigkeit EIelvon 1/7 der Steifigkeit des ungerissenen Betonquerschnittes und ein Steifigkeitsverhältnisder plastischen zur elastischen Biegesteifigkeit EIpl/EIel von 8% (Tabelle 6.4). Da dieNormalkraft N von 60 kN für die Nachrechnung zur Vereinfachung als konstantangenommen wurde, können für die weiteren Eingabeparameter (Props(6) bis Props(10))ähnlich wie in Tabelle 6.2 nominelle Werte eingestetzt werden.

Mit dem Versuchskörpers WDH5 sind insgesamt drei Versuche mit unterschiedlichskalierter Anregung bis zum Versagen durchgeführt worden. Die Anregung bestandjeweils aus einem Zeitverlauf der horizontalen Tischbewegung, der spektrumkompatibelzu dem für die Bemessung verwendeten Normspektrum erzeugt worden war. Im erstenVersuch wurde 80% der Anregung aufgebracht, in den folgenden zwei Versuchen je

Bild 6.19: Querschnittsabmessungen in [mm] und Bewehrung des Versuchskörpers WDH5im unteren Wandbereich [LWB 99]

Bild 6.20: Gemessener Zeitverlauf der Rütteltisch-Beschleunigung des 2. Versuchs desVersuchskörpers WDH5

0 2 4 6 8 10 12 14 16Zeit [s]

-3

-2

-1

0

1

2

3

Bes

chle

unig

ung

[m/s

2 ]

Dynamischer Versuch an einer Stahlbetontragwand

93

100% der Anregung. Für die Vergleichsberechnung wurde der zweite Versuch mit 100%Anregung ausgewählt. Der gemessene Zeitverlauf der Rütteltisch-Beschleunigung deszweiten Versuchs (Bild 6.20) wurde als Anregung für die Nachrechnung verwendet. DasAntwortspektrum für 5% Dämpfung berechnet aus diesem Zeitverlauf wird in Bild 6.21gezeigt. Ebenfalls eingezeichnet in Bild 6.21 ist das Bemessungsspektrum, das alsZielspektrum bei der Erzeugung des Zeitverlaufes gedient hat. Abweichungen ergabensich vor allem bei höheren Frequenzen ab 10Hz, die für den Versuch jedoch praktischbedeutungslos waren.

Als Resultat der Nachrechnung ist in Bild 6.22 der Zeitverlauf der horizontalen Relativ-verschiebung δoben im obersten Stockwerk zusammen mit dem gemessenen Zeitverlaufaus dem Versuch dargestellt. Die beiden Kurven in Bild 6.22 stimmen erstaunlich gutüberein. Als weitere Resultatgrössen werden im Bild 6.23 die Momenten-Krümmungs-diagramme im unteren Wandbereich aus Versuch und Berechnung gegenübergestellt. DerVergleich erfolgt mit den Berechnungsresultaten des zweituntersten Userelementes U2,das in der Höhenlage auf die unterste Messstrecke im Versuch abgestimmt wurde. Auchhier lässt sich eine gute Übereinstimmung der berechneten mit den gemessenen Hystere-sekurven feststellen. Dies ist unter Anderem darauf zurückzuführen, dass der für dieNachrechnung ausgewählte zweite Versuch an einem etwas vorgeschädigtem Versuchs-körper durchgeführt wurde. Die Vorschädigung durch den ersten Versuch mit 80%Anregung hatte zur Folge, dass im zweiten Versuch die kurze Phase mit der Anfangsstei-figkeit des ungerissenen Querschnittes in den Hysteresekurven fehlt. Die Hysterese-

Nummer derUserelement-Eigenschaft

Beschreibung Eingabeparameter

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA 2700 MN

Props(2) elastische Biegesteifigkeit EIel 18 MNm2

Props(3) Verhältnis der plastischen zurelastischen Biegesteifigkeit EIpl/EIel

0.08

Props(4) positives Fliessmoment My+ bei N=0 140 kNm

Props(5) negatives Fliessmoment My- bei N=0 -140 kNm

Props(6) maximale Zugkraft Nmin 10 kN

Props(7) maximale Druckkraft Nmax -1000 kN

Props(8) maximales Fliessmoment My,+

max140 kNm

Props(9) minimales Fliessmoment My,-min

-140 kNm

Props(10) Normalkraft bei extremalemFliessmoment NMy,max

-100 kN

Tabelle 6.4: Eingabeparameter der drei Userelemente U2 für die Nachrechnungdes dynamischen Versuchs an der Stahlbetontragwand WDH5

Nachrechnung von Versuchen

94

kurven des zweiten Versuchs beginnen bereits mit einer durch Rissebildung reduziertenSteifigkeit. Diese reduzierte Steifigkeit wurde als elastische Steifigkeit für das Hysterese-modell der Userelemente übernommen. Da das Hysteresemodell keine separate Phase mitungerissener Anfangssteifigkeit aufweist, eignet sich der zweite Versuch besonders gutfür eine Nachrechnung.

Neben der Hysteresedämpfung in den Userelementen des plastifizierenden Wandbereichswurde in der Nachrechnung eine zusätzliche Rayleigh-Dämpfung eingegeben und syste-matisch variiert, um die im Versuch auftretende Reibung der Wagen mit den Stockwerks-massen approximativ erfassen zu können. Die Abstimmung der beiden Rayleigh-Dämpfungskoeffizienten auf ein vorgegebenes, äquivalent-viskoses Dämpfungsmasserfolgte bei 1.5Hz und 0.5Hz, d.h. etwa bei der Schwingfrequenz der Wand in den erstenSekunden der Anregung bei noch geringen Amplituden und bei einem Drittel dieser

Bild 6.21: Antwortspektrum für 5% Dämpfung berechnet aus dem gemessenen Zeitverlauf derRütteltisch-Beschleunigung des 2. Versuchs des Versuchskörpers WDH5 (ausgezogene Linie)

im Vergleich mit dem Bemessungsspektrum (gestrichelte Linie) [LWB 99]

Bild 6.22: Vergleich der gemessenen horizontalen Relativverschiebungen δoben im oberstenStockwerk des 2. Versuchs des Versuchskörpers WDH5 (gestrichelte Linie)

mit der Nachrechnung (ausgezogene Linie)

0.1 1.0 10.0 100.0Frequenz [Hz]

0

2

4

6

8

Bes

chle

unig

ung

[m/s

2 ]

0 2 4 6 8 10 12 14 16Zeit [s]

-100

-50

0

50

100

Ver

schi

ebun

g [m

m]

Dynamischer Versuch an einer Stahlbetontragwand

95

Frequenz. Dabei zeigte es sich, dass mit ungefähr 7% äquivalent-viskoser Dämpfung diebeste Übereinstimmung mit den Versuchsresultaten erzielt werden konnte. Die hierausgewerten Resultate stammen von der Nachrechnung mit 7% äquivalent-viskoserDämpfung.

Bild 6.23: Vergleich der gemessenen Momenten-Krümmungsdiagramme im unterenWandbereich des 2. Versuchs des Versuchskörpers WDH5 nach [LWB 99] (oben)

mit der Nachrechnung (unten)

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04Kruemmung [m-1]

-200

-100

0

100

200

Mom

ent [

kNm

]

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04Kruemmung [m-1]

-200

-100

0

100

200M

omen

t [kN

m]

Nachrechnung von Versuchen

96

97

7 AnwendungsbeispieleAls Anwendungsbeispiele für die entwickelten Modelle für Stahlbetonfliessgelenke wer-den in diesem Kapitel Berechnungen eines dreigeschossigen symmetrischen Stahlbeton-rahmengebäudes vorgestellt. Zwei Bemessungsvarianten dieses Gebäudes wurden je alsebener und räumlicher Rahmen modelliert und nach dem nichtlinearen Zeitverlaufsver-fahren unter mehrachsiger Erdbebenanregung berechnet. Sämtliche Berechnungenerfolgten mit dem Finite-Elemente-Programm Abaqus in der Version 5.8 [Aba 99], dasdurch die in Kapitel 4 beschriebenen Userelemente für die Modellierung der plastischenBereiche in Riegeln und Stützen der Stahlbetonrahmen erweitert wurde.

7.1 Beschreibung des GebäudesBeim untersuchten Gebäude handelt sich um ein dreigeschossiges Bürogebäude in Ske-lettbauweise mit einem Stahlbetonrahmentragwerk (Bild 7.1). Im Grundriss ist dasGebäude symmetrisch ausgelegt (Bild 7.2). Pro Hauptrichtung des Grundrisses sind jedrei gleichartige tragende Rahmen mit einem Stützenraster von 6 m vorhanden. Der linksin Bild 7.1 gezeigte Aufriss gilt somit für beide Richtungen. Die beiden Geschossdeckenund die Dachdecke sind aus Stahlbeton und weisen sich in den Stützenachsen kreuzendeUnterzüge auf. Abmessungen und Bewehrung der Riegelquerschnitte sind in Bild 7.3 füreinen Aussen- und einen Innenrahmen dargestellt. Für die Berechnung der Querschnitts-steifigkeiten wurden nach [SIA 162] mitwirkende Deckenbreiten von beff = 75 cm für denAussenrahmen bzw. beff = 110 cm für den Innenrahmen angenommen. Für die Berech-nung des Tragwiderstandes des Riegelquerschnittes wurde nur die Längsbewehrunginnerhalb der Unterzugsbreite von 40 cm angerechnet, dabei sind für die Baustoffeigen-schaften die folgenden Mittelwerte verwendet worden:

– Mittelwert der Fliessgrenze des Bewehrungsstahls: fy = 550 N/mm2

– Mittelwert der Druckfestigkeit des Betons : fc = 30 N/mm2

Bild 7.1: Aufriss des Stahlbetonrahmentragwerkes des Bürogebäudes (links)und ebenes Berechnungsmodell mit Elementtypen (rechts)

3 m

3 m

3 m

6 m 6 m

U2

B23 B23 B23 3 m

3 m

3 m

40

6 m 6 m

U1U1

B23 B23

U1 U1B23 B23U1 U1

U1 U1B23 B23U1 U1

U2 U2

U2

B23 B23 B23

B23 B23 B23

40

X

Z

Anwendungsbeispiele

98

Sämtliche Stützen haben durchgehend den gleichen quadratischen Querschnitt von 40 cmx 40 cm (Bild 7.4). Die Berechnungsvarianten „A“ weisen eine Längsbewehrung von 8 φ14 mm, die Berechnungsvarianten „B“ eine solche von 8 φ 16 mm auf.

Tragwerk und Abmessungen des Gebäudes sind ähnlich gewählt wie beim Beispiel einessymmetrischen Rahmengebäudes in Kapitel 6.5 in [Bac 95]. Hier wurde jedoch zur Ver-

Bild 7.2: Grundriss des Bürogebäudes

Bild 7.3: Abmessungen und Bewehrung der Riegelquerschnitte eines Aussenrahmens (links)und eines Innenrahmens (rechts)

Bild 7.4: Abmessungen und Bewehrung der Stützen der Berechnungsvarianten 2DA,2DAV sowie 3DA (links) und 2DB, 2DBV, 3DB sowie 3DBV (rechts)

6 m

6 m 6 m

6 m

12.4

0 m

40

25

50

beff = 75

40

25

50

beff = 110

4 14 obenφ

4 10 untenφ4 10 untenφ

4 14 obenφ

φ8 φ8

8 14 φ

40

40 8 16 φ

40

40

Erdbebenanregung

99

einfachung ein Geschoss sowie je ein Rasterfeld pro Richtung weniger vorgesehen unddie Geschosshöhe auf 3 m reduziert. Für Baustoffe, Auf- und Nutzlasten wurden dieAnnahmen in [Bac 95] übernommen.

7.2 ErdbebenanregungFür die Berechnungen wird angenommen, dass sich das Gebäude in der Erdbebengefähr-dungszone 3b gemäss [SIA 160], der höchsten Zone der Schweiz (Mittelwallis), befindet.Grundsätzlich kann die Anregung mit gemessenen oder mit künstlich generierten Zeitver-läufen der Bodenbewegung erfolgen. Die Stärke der Anregung in der Nachrechnung desmiteinfachen Handberechnungen entworfenen Tragwerkes sollte ungefähr dem berück-sichtigten Bemessungsbeben des Gebäudes entsprechen, damit sinnvolle Resultate erhal-ten werden. Bei wesentlich schwächerer Anregung bleibt die Antwort elastisch, beiwesentlich stärkerer Anregung ist infolge lokaler Überbeanspruchung unter Umständenkeine Konvergenz in der Berechnung mehr erreichbar, weil z.B. die Stützennormalkraftzu Beginn eines Zeitschrittes ausserhalb der M/N-Interaktionszwiebel zu liegen kommenkönnte.

Da noch keine Starkbeben-Aufzeichnungen von Erdbeben in der Grössenordnung desBemessungsbebens (EMS-Intensität von VIII+) aus der Zone 3b vorliegen, werden künst-lich generierte Zeitverläufe der Bodenbeschleunigung verwendet. Die Generierungerfolgte konform zum Bemessungsspektrum der Norm SIA 160 für Zone 3b und mittel-steife Böden mit dem Computerprogramm Simqke [Van+ 76]. Insgesamt sind drei spek-trum-konforme Zeitverläufe Z3X (Bild 7.5), Z3Y (Bild 7.6) und Z3Z (Bild 7.7) erzeugtworden, die als Anregung in X-, Y-, bzw. Z-Richtung eingesetzt wurden. Die Bilder 7.5bis 7.7 zeigen jeweils den Zeitverlauf der Bodenbeschleunigung und das Antwortspek-trum für 5% Dämpfung zusammen mit dem entsprechenden Zielspektrum aus der NormSIA 160 für mittelsteife Böden und Zone 3b. Die maximale Bodenbeschleunigung beträgt1.6 m/s2. Für die Verwendung als vertikale Anregung wird der Zeitverlauf Z3Z entspre-chend den Angaben in [SIA 160] mit dem Faktor zwei Drittel skaliert. Die Generierungder Zeitverläufe erfolgte mit einem Zeitschritt von 0.01 s. Der gleiche Zeitschritt von0.01 s wurde anschliessend in den dynamischen Finite-Elemente-Berechnungen verwen-det, in denen diese Zeitverläufe als Anregung eingesetzt wurden. Mit diesem Zeitschrittlassen sich Schwingperioden des Berechnungsmodells bis zu etwa dem 20-fachen von0.01 s, d.h. bis zu T = 0.2 s oder f = 5 Hz, gut erfassen. In diesen Frequenzbereich fallendie massgebenden ersten drei Eigenfrequenzen der Biegung pro Hauptrichtung im Grund-riss und die Torsionseigenfrequenz der untersuchten Berechnungsvarianten (Tabellen 7.1und 7.4).

Die gesamte Länge der Zeitverläufe beträgt 12 s. Sie setzt sich zusammen aus einer kur-zen Anschwellphase von 1 s vor der eigentlichen Starkbebenphase von 7 s gefolgt voneiner Ausschwingphase von 4 s. Grundsätzlich sollten die Zeitverläufe möglichst kurzgeneriert werden, um den Aufwand für die Zeitverlaufsberechnungen klein halten zu kön-nen. Andererseits muss die Starkbebenphase repräsentativ für die zu erwartende Boden-bewegung des Bemessungsbebens sein. Nach [Hos 87] genügen bereits 5 bis 6 s für die

Anwendungsbeispiele

100

der Zone 3b entsprechende EMS-Intensität VIII+. Nach den Angaben in [Smi 96] sind diegewählten 7 s für die Zeitdauer der Starkbebenphase eher kurz. Längere Starkbebenpha-sen sind jedoch nicht unbedingt auf der sicheren Seite, da sich für Berechnungen mit denin Kapitel 4 beschriebenen Stahlbeton-Hysteresemodellen, die keine zyklische Schädi-gung, d.h. Tragwiderstandsabminderung, berücksichtigen, nicht allgemein festhaltenlässt, ob von zwei spektrum-konformen Zeitverläufen mit unterschiedlicher Dauer derStarkbebenphase eher der kürzere oder der längere ungünstigere Resultate liefert.

Bild 7.5: Künstlich generierter Zeitverlauf der Bodenbeschleunigung Z3X (links), konformzum Bemessungsspektrum der Norm SIA 160 für Zone 3b und mittelsteife Böden (rechts)

Bild 7.6: Künstlich generierter Zeitverlauf der Bodenbeschleunigung Z3Y (links), konformzum Bemessungsspektrum der Norm SIA 160 für Zone 3b und mittelsteife Böden (rechts)

Bild 7.7: Künstlich generierter Zeitverlauf der Bodenbeschleunigung Z3Z (links), konformzum Bemessungsspektrum der Norm SIA 160 für Zone 3b und mittelsteife Böden (rechts)

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

-2.0

-1.0

0

1.0

2.0

a g [m/s

2 ]

ag, max

= 1.6m/s2

0.1 1.0 10.0 100.0Frequenz [Hz]

0

1.0

2.0

3.0

4.0

Sa [m

/s2 ]

1.6m/s2

= 5%ζ

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

-2.0

-1.0

0

1.0

2.0

a g [m/s

2 ]

ag, max

= 1.6m/s2

0.1 1.0 10.0 100.0Frequenz [Hz]

0

1.0

2.0

3.0

4.0S

a [m/s

2 ]

1.6m/s2

= 5%ζ

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

-2.0

-1.0

0

1.0

2.0

a g [m/s

2 ]

ag, max

= 1.6m/s2

0.1 1.0 10.0 100.0Frequenz [Hz]

0

1.0

2.0

3.0

4.0

Sa [m

/s2 ]

1.6m/s2

= 5%ζ

Ebene Stahlbetonrahmenberechnungen

101

Das Programm Simqke [Van+ 76] nimmt für die Generierung der Zeitverläufe eine zufäl-ligeVerteilung der Phasenwinkel an. Parameterstudien in [Les 00] zeigen einen gewissenEinfluss der Phasenwinkelverteilung in spektrum-konformen Zeitverläufen auf die Ant-wort eines nichtlinearen Schwingers. In Anbetracht der noch weitgehend fehlendenMessdaten wird dieses Phänomen bei den Anwendungsbeispielen vernachlässigt.

Für jede Berechnungsvariante wird jeweils nur eine einzige nichtlineare Zeitverlaufsbe-rechnung durchgeführt. Für eine normgerechte Nachrechnung müssten die Resultate ausden Mittelwerten von mehreren Berechnungen mit unterschiedlichen spektrum-konfor-men Zeitverläufen bestimmt werden. In [EC 8-1-1] wird z.B. ein Minimum von fünfBerechnungen mit unterschiedlichen Zeitverläufen vorgeschrieben.

7.3 Ebene Stahlbetonrahmenberechnungen

7.3.1 BemessungFür die ebenen Berechnungen wird ein Aussenrahmen des Gebäudes betrachtet. Vorgän-gig der nichtlinearen Zeitverlaufsberechnung wird der Rahmen nach dem Ersatzkraftver-fahren für die Einwirkungen Erdbeben und Schwerelasten bemessen. Dazu wird nach derMethode der Kapazitätsbemessung ein geeigneter globaler plastischer Mechanismus mitFliessgelenken in den Riegeln bei den Stützenanschlüssen und in den Stützen an den Füs-sen im Erdgeschoss entsprechend Bild 2.6 (links) angenommen. Dabei ist auch am oberenEnde der Mittelstütze, beim Anschluss der Dachriegel, ein Fliessgelenk vorgesehen. DieAlternative mit je einem Fliessgelenk in den angeschlossenen Dachriegeln und einer ela-stisch bleibenden Mittelstütze würde einen relativ hohen Tragwiderstand in der Mittel-stütze bedingen, da an diesem Knoten die Anschlussmomente von zwei Riegelquerschnit-ten von nur einem Stützenquerschnitt übernommen werden müssen.

Die Bemessung erfolgt unter Annahme eines Reduktionsfaktors von q = 4 zur Abminde-rung der elastischen Ersatzkräfte. Dies entspricht ungefähr dem Verhaltensfaktor fürStahlbetonrahmen der mittleren Duktilitätsklasse nach EC 8 (q = 3.75) [EC 8-1-3] oderdem entsprechenden Wert für nominelle Duktilität nach der Norm SIA 160 (1/Ck = 3.85)[SIA 160]. Als massgebende Frequenz für die Bestimmung des Spektralwertes ah/g ausdem Antwortspektrum der Beschleunigung wird die am numerischen Modell berechneteGrundfrequenz f1 = 1.5 Hz verwendet. Dazu wurde die Steifigkeit der Riegelelemente zu40% und diejenige der Stützenelemente zu 60% des ungerissenen Betonquerschnittesabgeschätzt. Die gleichen Annahmen bezüglich Steifigkeit wurden auch in den anschlies-senden Zeitverlaufsberechnungen getroffen. Der resultierende Ersatzkraftindex IF fürZone 3b und mittelsteife Böden beträgt:

(7.1)

Die horizontale Erdbebeneinwirkung wird für die beiden Hauptrichtungen des Grundris-ses separat betrachtet, d.h. die entsprechenden Schnittkräfte werden für die Bemessungnicht überlagert und die vertikale Anregung wird vernachlässigt. Dieses Vorgehen ent-spricht den Erdbebenbestimmungen für Gebiete mit niedriger bis mittlerer Seismizität,

IF

ah

g-----

1q--- 0.25

14--- 0.063=⋅=⋅=

Anwendungsbeispiele

102

wie z.B. in [SIA 160]. In den Erdbebenbestimmungen für hohe Seismizität wird typi-scherweise eine Überlagerung der Schnittkräfte aus den beiden horizontalen Erdbeben-einwirkungen vorgeschrieben, wie z.B. in [EC 8-1-2].

7.3.2 Berechnungsvarianten

Insgesamt wurden vier Berechnungsvarianten des ebenen Stahlbetonrahmens analysiert(Tabelle 7.1). Die Varianten 2DA und 2DAV entsprechen dem ursprünglich bemessenenRahmen mit einer Längsbewehrung der Stützen von 8 φ 14 mm (links in Bild 7.4). Sieunterscheiden sich einzig durch die vertikale Anregung, die bei der Variante 2DAVzusätzlich eingeführt wurde, während die Variante 2DA nur horizontal angeregt wurde.Aufgrund der Resultate der räumlichen Rahmenberechnungen, wo sich eine krasse Über-beanspruchung in den Stützen der Variante 3DA ergab (Kapitel 7.4.3), wurden zwei neueVarianten 2DB und 2DBV mit auf 8 φ 16 mm verstärkter Stützenbewehrung eingeführt(rechts in Bild 7.4). Diese unterscheiden sich wiederum einzig durch die zusätzliche ver-tikale Anregung bei Variante 2DBV.

Die numerische Modellierung erfolgt unter Berücksichtigung des gewählten globalen pla-stischen Mechanismus mit je einem Userelement des Typs U1 für die plastischen Berei-che in den Riegeln sowie des Typs U2 in den Stützen, wie rechts in Bild 7.1 dargestellt.Die elastisch bleibenden Bereiche der Stützen und Riegel werden mit den ebenen Abaqus-

Variante Längsbewehrungder Stützen

Zeitverlauf fürhorizontale Anregung

Zeitverlauf fürvertikale Anregung

2DA 8 φ 14 mm Z3X keiner

2DAV 8 φ 14 mm Z3X Z3V

2DB 8 φ 16 mm Z3X keiner

2DBV 8 φ 16 mm Z3X Z3V

Tabelle 7.1: Berechnungsvarianten des ebenen Stahlbetonrahmens

Nummer derUserelement-Eigenschaft

BeschreibungEingabeparameter für Riegelgelenke

bei Aussenstützen bei Innenstütze

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA 4560 MN 4560 MN

Props(2) elastische Biegesteifigkeit EIel 79.0 MNm2 79.0 MNm2

Props(3) Verhältnis der plastischen zurelastischen Biegesteifigkeit EIpl/EIel

0.03 0.03

Props(4) positives Fliessmoment My+ 0.070 MNm 0.085 MNm

Props(5) negatives Fliessmoment My- -0.140 MNm -0.165 MNm

Tabelle 7.2: Eingabeparameter der Userelemente U1 für die Riegelgelenke derBerechnungsvarianten 2DA, 2DAV, 2DB und 2DBV.

Ebene Stahlbetonrahmenberechnungen

103

Stabelementen des Typs B23 modelliert. Die Eingabeparameter für die Userelemente U1sind in Tabelle 7.2 getrennt für Riegelgelenke beim Anschluss an die Aussenstützen undRiegelgelenke beim Anschluss an die Innenstütze für einen Aussenrahmen zusammenge-stellt. Alle vier Berechnungsvarianten weisen die gleichen Riegeleigenschaften auf. Dieentspechenden Eingabeparameter der Userelemente U2 für die Stützengelenke sind inTabelle 7.3 getrennt nach den Berechnungsvarianten „A“ und „B“ aufgeführt.

Vor der nichtlinearen Zeitverlaufsberechnung über die 12 s Dauer der Erdbebenanregun-gen erfolgte jeweils eine lineare statische Berechnung zur Bestimmung der Vorbeanspru-chungen infolge Schwerelasten (Eigengewicht, Auflasten und Nutzlasten). Zur Erfassungder Dämpfung in den elastisch bleibenden Bereichen wurde eine leichte Rayleigh-Dämp-fung eingeführt. Die beiden Rayleigh-Dämpfungskoeffizienten wurden bei der halbenGrundfrequenz (0.75 Hz) und bei der 3. horizontalen Eigenfrequenz (7.6 Hz) des Rah-mens mit der elastischen Anfangssteifigkeit auf ein äquivalentes viskoses Dämpfungs-mass von 3% abgestimmt. Eine zusätzliche numerische Dämpfung wurde nicht verwen-det. Die Rechenzeit für eine ebene Rahmenberechnung betrug 7 Minuten auf einem Com-puter des Typs HP/Convex Exemplar SPP2000/X-32 und 30 Minuten auf einem PC desTyps Intel Pentium II 400 MHz. Hinzu kommt eine zusätzliche Rechenzeit von gut 10Minuten für die automatische graphische Resultatauswertung mit einer vorgängig erstell-ten Prozedur in der Kommando-Sprache des Abaqus/Post-Programms [Aba 97].

Nummer derUserelement-Eigenschaft

BeschreibungEingabeparameter für Stützengelenke

2DA und 2DAV 2DB und 2DBV

Props(1) elastische Normalkraftsteifigkeit EA 3780 MN 3780 MN

Props(2) elastische Biegesteifigkeit EIel 38.3 MNm2 38.3 MNm2

Props(3) Verhältnis der plastischen zurelastischen Biegesteifigkeit EIpl/EIel

0.03 0.03

Props(4) positives Fliessmoment My+ bei N=0 0.095 MNm 0.140 MNm

Props(5) negatives Fliessmoment My- bei N=0 -0.095 MNm -0.140 MNm

Props(6) maximale Zugkraft Nmin 0.70 MN 0.90 MN

Props(7) maximale Druckkraft Nmax -3.7 MN -3.9 MN

Props(8) maximales Fliessmoment My,+

max0.23 MNm 0.27 MNm

Props(9) minimales Fliessmoment My,-min

-0.23 MNm -0.27 MNm

Props(10) Normalkraft bei extremalemFliessmoment NMy,max

1.20 MN 1.15 MN

Tabelle 7.3: Eingabeparameter der Userelemente U2 für die Stützengelenke derBerechnungsvarianten 2DA, 2DAV, 2DB und 2DBV.

Anwendungsbeispiele

104

7.3.3 BerechnungsresultateAls Beispiel für die Riegelgelenke werden die Resultate der Berechnungsvariante 2DA inzwei Userelementen des Typs U1 gezeigt. Die beiden Userelemente befinden sich imrechten untersten Riegelfeld (Bild 7.1), das eine am Anschluss des Riegels an die rechteAussenstütze, das andere am Anschluss an die Innenstütze. In Bild 7.8 sind die typischenasymmetrischen Hystereseschlaufen dieser beiden Riegelgelenke dargestellt, die durchdie unterschiedlichen Fliessmomente für positive und negative Momente des T-förmigenRiegelquerschnitts bedingt sind. Zur Verdeutlichung des zeitlichen Ablaufs der einzelnenHysteresephasen des Riegelgelenkes von Bild 7.8 (links) ist in Bild 7.9 der zeitliche Ver-lauf der Hystereseregelnummer graphisch dargestellt, wie sie in Kapitel 4.2.2 (Bild 4.4)eingeführt worden ist. Die Hystereseregelnummer beginnt mit 0 (elastisches Verhalten),wechselt nach gut einer Sekunde auf +1 (Fliessen unter positivem Moment) und an-schliessend auf +2 (elastische Entlastung von positivem Moment) usw.

Bild 7.10 zeigt den Zeitverlauf des Rotationsduktilitätsbedarfs und des kumulativen Rota-tionsduktilitätsbedarfes des gleichen Riegelgelenkes. Der Rotationsduktilitätsbedarf (aus-gezogene Linie) erreicht bei der Zeit 5.1 s den Maximalwert von 6.2 bei Fliessen unterpositivem Moment, wie man im darüberliegenden Bild 7.9 anhand der Hystereseregelnu-mer +1 bei der gleichen Zeit erkennen kann. Ebenfalls eingezeichnet sind der kumulativeRotationsduktilitätsbedarf (gestrichelt) und der modifizierte kumulative Rotations-duktilitätsbedarf (strichpunktiert), wie sie im Kapitel 5.2.1 definiert worden sind.Die Darstellung in Bild 7.11 zeigt die gegenseitige Abhängigkeit von kumulativer undnicht-kumulativer Rotationsduktilität für dieses Riegelgelenk. In der Anfangsphase desZeitverlaufs bis etwa zur Zeit 1.5 s steigen die beiden Grössen zusammen rasch auf knapp6 an. Anschliessend bleibt die Rotationsduktilität bis zum Ende der Berechnung, abge-sehen von einem kleinen Anstieg auf den Maximalwert von 6.2 bei der Zeit 5.1 s, prak-tisch konstant, während die modifizierte kumulative Rotationsduktilität bis zumEnde der Starkbebenphase der Anregung bei 9 s als Folge der zahlreichen Hysteresezy-klen mit erheblichen plastischen Verformungen weiter stark zunimmt. Auf die Rotations-duktilität hat diese relativ lange Beanspruchungsphase keinen Einfluss mehr, da dervorher erreicht Maximalwert von nicht mehr überschritten wird.

Bild 7.8: Variante 2DA: Momenten-Krümmungsdiagramme der Riegelgelenke des Typs U1auf Höhe der ersten Deckenebene bei der Aussenstütze (links) und

bei der Innenstütze (rechts)

µkumµkum

µ

µkum

µµ

-10 -5 0 5 10Kruemmung [mm-1]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Mom

ent [

MN

m]

-10 -5 0 5 10Kruemmung [mm-1]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Ebene Stahlbetonrahmenberechnungen

105

Die analogen Zeitverläufe für das Riegelgelenk beim Anschluss an die Innenstütze (linksin Bild 7.8) sind in den Bildern 7.12 und 7.14 dargestellt. Die Beanspruchung diesesGelenks findet hauptsächlich unter negativem Moment statt, wie aus dem überwiegend imnegativem Bereich verweilenden Zeitverlauf der Hystereseregelnummer in Bild 7.12 her-vorgeht. Der Rotationsduktilitätsbedarf (ausgezogene Linie in Bild 7.13) erreicht den

Bild 7.9: Variante 2DA: Zeitverlauf der Hystereseregel eines Riegelgelenkes des Typs U1beim Anschluss an die Aussenstütze

Bild 7.10: Variante 2DA: Zeitverlauf des Rotationsduktilitätsbedarfs (ausgezogene Linie)und des kumulativen Rotationsduktilitätsbedarfes (gestrichelt) bzw. (strich-

punktiert) eines Riegelgelenkes des Typs U1 beim Anschluss an die Aussenstütze

Bild 7.11: Variante 2DA: Rotationsduktilitätsbedarfs in Funktion des modifiziertenkumulativen Rotationsduktilitätsbedarfes eines Riegelgelenkes des Typs U1

beim Anschluss an die Aussenstütze

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

-3

-2

-1

0

1

2

3H

yste

rese

rege

l

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

0

20

40

60

80

Rot

atio

nsdu

ktili

taet

µkum µkum

0 10 20 30 40 50 60kumulative Rotationsduktilitaet

01

2

3

4

5

67

Rot

atio

nsdu

ktili

taet

µkum_

µkum

Anwendungsbeispiele

106

Maximalwert von 2.8 ebenfalls bei der Zeit 5.1 s. Nach diesem Zeitpunkt steigt die modi-fizierte kumulative Duktilität bei den folgenden relativ kleinen Zyklen bis etwa zur Zeit8 s auf einen Endwert. , während die kumulative Duktilität um etwa den doppel-ten Betrag bis auf ansteigt. Hier zeigt sich sehr deutlich, das die kumulativeRotationsduktilität gegenüber bei diesen kleinen Zyklen unterhalb der Fliess-

Bild 7.12: Variante 2DA: Zeitverlauf der Hystereseregel eines Riegelgelenkes des Typs U1beim Anschluss an die Innenstütze

Bild 7.13: Variante 2DA: Zeitverlauf des Rotationsduktilitätsbedarfs (ausgezogene Linie)und des kumulativen Rotationsduktilitätsbedarfes (gestrichelt) bzw. (strich-

punktiert) eines Riegelgelenkes des Typs U1 beim Anschluss an die Innenstütze

Bild 7.14: Variante 2DA: Rotationsduktilitätsbedarfs in Funktion des modifiziertenkumulativen Rotationsduktilitätsbedarfes eines Riegelgelenkes des Typs U1

beim Anschluss an die Innenstütze

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

-3

-2

-1

0

1

2

3H

yste

rese

rege

l

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

0

5

10

15

20

Rot

atio

nsdu

ktili

taet

µkum µkum

0 2 4 6 8 10kumulative Rotationsduktilitaet

0

1

2

3

4

Rot

atio

nsdu

ktili

taet

µ_

µkum

µkum 8=µkum 13=µkum µkum

Ebene Stahlbetonrahmenberechnungen

107

grenze weiterhin sehr stark ansteigt und im Endresultat diese unbedeutenden Zyklen eingrosses Gewicht in erhalten. In der modifizierten kumulativen Rotationsduktilität

werden diese Zyklen weniger stark gewichtet (siehe Kapitel 5.2.1).

Als Beispiel für Resultate von Stützenglenken des Typs U2 werden in Bild 7.15 dieMomenten-Krümmungsdiagramme am Fuss der linken Aussenstütze und am Fuss derInnenstütze gezeigt. Bei der Innenstütze bleibt die Normalkraft infolge horizontaler Anre-gung aus Symmetriegründen konstant, bei der Aussenstütze variiert sie praktisch syn-chron mit dem Biegemoment (Bild 7.16). Die Variation der Normalkraft bewirkt unter-schiedliche Fliessmomente des symmetrischen Stützenquerschnittes für positive undnegative Momente. Die positiven Momentenspitzen treten jeweils fast gleichzeitig mitden Minimalwerten der Normalkraft und die negativen mit den Maximalwerten auf, wie

Bild 7.15: Variante 2DA: Momenten-Krümmungsdiagramme der Stützengelenke des TypsU2 am Fuss einer Aussenstütze (links) und am Fuss der Innenstütze (rechts)

Bild 7.16: Variante 2DA: Zeitverläufe der Normalkraft und des Biegemomentes imStützengelenk der Aussenstütze

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8Kruemmung [mm-1]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Mom

ent [

MN

m]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8Kruemmung [mm-1]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Mom

ent [

MN

m]

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nor

mal

kraf

t [M

N]

µkumµkum

Anwendungsbeispiele

108

durch Vergleich der beiden Zeitverläufe in Bild 7.16 festgestellt werden kann. Als Folgedavon fliesst die Aussenstütze bereits bei einem kleineren positiven Moment, währenddas durch die Normalkraft erhöhte negative Moment nicht erreicht wird (Bild 7.15, links).

Die Zeitverläufe der horizontalen Verschiebungen auf Höhe des Dachs und der beidenGeschossdecken, d.h. auf Höhe der drei Riegelniveaus, weisen auf eine dominate Bedeu-tung der Gundschwingungsform mit etwas mehr als einer Schwingung pro Sekunde hin(Bild 7.17). Die maximale Verschiebung beträgt 30 mm, dies entspricht einem mittlerenIndex der Stockwerkverschiebung von 0.33% oder 1/300, d.h. erst relativ kleinen plasti-schen Verformungen. Dies wird durch die schmalen Hystereseschlaufen des globalenKraft-Verformungsverhaltens in Bild 7.18 bestätigt, wo als Horizontalkraft die Summeder horizontalen Reaktionskräfte an den drei Stützenfüssen in Funktion der horizontalenDachverschiebung resp. der horizontalen Verschiebung der unteren Geschossdecke auf-getragen ist. Die Unregelmässigkeiten in den Hystereseschlaufen links in Bild 7.18 sindauf Einflüsse höherer Eigenformen zurückzuführen. Zu beachten ist ferner, dass trotzModellierung der einzelnen plastischen Bereiche mit einfachem, polygonal approximier-tem Momenten-Krümmungsverhalten eine Gesamtantwort des Rahmens in Form einergeglätteten Hysteresekurve entsteht (links in Bild 7.18).

Verglichen mit den Bemessungsannahmen eines Reduktionsfaktors von q = 4 zur Abmin-

Bild 7.17: Variante 2DA: Zeitverläufe der Horizontalverschiebungen auf Höhe des Dachsund der beiden Geschossdecken

Bild 7.18: Variante 2DA: Summe der horizontalen Reaktionskräfte in Funktion derhorizontalen Dachverschiebung (links) resp. der horizontalen Verschiebung der

unteren Geschossdecke (rechts)

0 2 4 6 8 10 12Zeit [s]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ver

schi

ebun

g [m

m]

-30 -20 -10 0 10 20 3000Horizontalverschiebung [mm]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Hor

inzo

ntal

kraf

t [M

N]

-30 -20 -10 0 10 20 3000Horizontalverschiebung [mm]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Ebene Stahlbetonrahmenberechnungen

109

derung der elastischen Ersatzkräfte wurde in der nichtlinearen Zeitverlaufsberechnungder Variante 2DA ein globaler Verschiebeduktilitätsbedarf von nicht ganz 2 bestimmt,wie aus Bild 7.18 abgeschätzt werden kann. Der relativ niedrige Rotationsduktilitätsbe-darf in der plastischen Bereichen der Riegel in der Grössenordnung zwischen 2 und 7

Bild 7.19: Variante 2DA: Rotationsduktilitätsbedarfs in den plastischen Bereichen

Bild 7.20: Variante 2DB: Rotationsduktilitätsbedarfs in den plastischen Bereichen(Stützen bleiben elastisch)

Skala des Rotationsduktilitätsbedarfs:

Skala des Rotationsduktilitätsbedarfs:

Anwendungsbeispiele

110

(Bild 7.19) steht im Einklang mit dem kleinen globalen Verschiebeduktilitätsbedarf. Ver-mutlich ist diese Diskrepanz zwischen Bemessungsannahmen und Berechnung auf diegünstige Wirkung der Steifigkeitsreduktion infolge plastischer Verformungen zurückzu-führen, die bei der Bemessung nicht berücksichtigt worden ist.

Eine Übersicht über den Rotationsduktilitätsbedarf in den einzelnen plastischen Berei-chen zeigen Bild 7.19 für die Berechnungsvariante 2DA und Bild 7.20 für 2DB. DerRotationsduktilitätsbedarf wird mit Uhrensymbolen auf einer Skala von 1 bis 8 darge-stellt. Bei der Variante 2DB mit der verstärkten Stützenbewehrung bleiben die vier Stüt-zengelenke elastisch, d.h der entsprechende Rotationsduktilitätsbedarf ist kleiner eins undan der entsprechenden Stelle wird kein Uhrensymbol gezeichnet (Bild 7.20). Bei beidenBerechnungsvarianten entsteht der maximale Rotationsduktilitätsbedarf von 6.2 (Vari-ante 2DA) bzw. 6.5 (Variante 2DB) im Riegelgelenk unten rechts. Die Resultate diesesam stärksten beanspruchten Riegelgelenkes sind bereits in den Bildern 7.8 bis 7.10 für dieVariante 2DA detaillierter vorgestellt worden.

Zum Vergleich des Verhaltens der vier untersuchten Berechnungsvarianten untereinanderdient die konsolidierte Darstellung des Rotationsduktilitätsbedarfs über die Gebäudehöhein Bild 7.21. Auf der Abszisse ist jeweils der maximale Wert des Rotationsduktilitätsbe-darfs der Gelenkelemente, die sich auf gleicher Höhe befinden, aufgetragen. Der Einflussder vertikalen Anregung (gestrichelte Linie) ist gering. Gegenüber der Variante 2DA istbei der Variante 2DAV der Duktilitätsbedarf leicht grösser, während zwischen den Vari-anten 2DB und 2DBV fast kein Unterschied festzustellen ist. Die Verstärkung der Stüt-zenbewehrung bewirkte, dass sich die Stützen elastisch verhielten und der Duktilitätsbe-darf in den Riegeln vor allem in der untersten Deckenebene etwas anstieg, wie ein Ver-gleich der Varianten 2DA und 2DAV mit 2DB und 2DBV zeigt.

Bild 7.21: Verteilung des Rotationsduktilitätsbedarfs über die Gebäudehöhe der vierBerechnungsvarianten des ebenen Stahlbetonrahmens

Rotationsduktilität

Höh

e

0

3 m

6 m

9 m

2 4 6 8Rotationsduktilität

Höh

e

0

3 m

6 m

9 m

2 4 6 8

2DAV2DA 2DBV2DB

Räumliche Stahlbetonrahmenberechnungen

111

7.4 Räumliche Stahlbetonrahmenberechnungen

7.4.1 BemessungDer räumliche Rahmen besteht aus je drei ebenen Rahmen in den beiden Hauptrichtungendes Grundrisses. Für die Bemessung des räumlichen Rahmens werden die beiden Haupt-richtungen unabhängig voneinander betrachtet und die totale horizontale Ersatzkraftgleichmässig auf die drei ebenen Rahmen verteilt, d.h. die Steifigkeitsunterschiede zwi-schen Aussen- und Innenrahmen werden vernachlässigt. Im Ergebniss erhält man die glei-chen Resultate wie bei der Bemessung eines ebenen Rahmens.

7.4.2 BerechnungsvariantenInsgesamt wurden drei unterschiedliche Berechnungsvarianten des räumlichen Stahlbe-tonrahmens durchgerechnet (Tabelle 7.4). Die Variante 3DA entspricht der ebenen Vari-ante 2DA mit einer Längsbewehrung der Stützen von 8 φ 14 mm. Bei den Varianten 3DBund 3DBV wurde wie bei den entsprechenden ebenen Varianten 2DB und 2DBV die Stüt-zenbewehrung auf 8 φ 16 mm verstärkt. Bei allen räumlichen Varianten erfolgte die hori-zontale Anregung mit zwei unterschiedlichen spektrum-konformen Zeitverläufen derBodenbewegung gleichzeitig in X- und Y-Richtung. Varianten mit nur einer horizontalen

Variante Längsbewehrungder Stützen

Zeitverlauf für hori-zontale X-Anregung

Zeitverlauf für hori-zontale Y-Anregung

Zeitverlauf fürvertikale Anregung

3DA 8 φ 14 mm Z3X Z3Y keiner

3DB 8 φ 16 mm Z3X Z3Y keiner

3DBV 8 φ 16 mm Z3X Z3Y Z3V

Tabelle 7.4: Berechnungsvarianten des räumlichen Stahlbetonrahmens

Bild 7.22: Berechnungsmodell des räumlichen Stahlbetonrahmens

3 m

3 m

3 m

40

6 m 6 m

6 m

6 m

X

Z

Y

Anwendungsbeispiele

112

Anregung wurden nicht ausgewertet, da die Resultate praktisch gleich ausfallen wie beieiner entsprechenden ebenen Rahmenberechnung.

Für die numerische Modellierung der plastischen Bereiche werden Userelemente desTyps U3 für die Riegel sowie des Typs U4 für die Stützen verwendet (Bild 7.22). Die ela-stisch bleibenden Bereiche der Stützen und Riegel werden mit den räumlichen Abaqus-Stabelementen des Typs B33 modelliert. Die Eingabeparameter für das nichtlineareBiege- und Normalkraftverhalten der Userelemente wurden gleich wie bei den ebenenBerechnungsvarianten angenommen (Tabellen 7.2 und 7.3). Bezüglich Dämpfung undstatischer Vorbelastung wurden ebenfalls die gleichen Annahmen getroffen wie bei denebenen Berechnungen. Die Rechenzeit für eine räumliche Rahmenberechnung betrug 10Minuten auf einem Computer des Typs HP/Convex Exemplar SPP2000/X-32 und 40Minuten auf einem PC des Typs Intel Pentium II 400 MHz. Hinzu kommen 20 Minutenfür die automatische graphische Resultatauswertung mit einer vorgängig erstellten Proze-dur in der Kommando-Sprache des Abaqus/Post-Programms [Aba 97]

7.4.3 BerechnungsresultateDie Maximalwerte des Rotationsduktilitätsbedarfs aller Gelenkelemente auf gleicherGebäudehöhe zeigt Bild 7.23. Die als ebener Rahmen bemessene Variante 3DA weistunter zweiachsiger horizontaler Anregung einen sehr hohen Rotationsduktilitätsbedarfvon über 30 am Fusse einer Eckstütze auf, der auf eine ungünstige Kombination der zwei-achsigen Biegebeanspruchung mit Normalkraft zurückzuführen ist. Mit einer Verstär-kung der Längsbewehrung in den Stützen (Varianten 3DB und 3DBV) konnte eineReduktion des Duktilitätsbedarfs auf etwa 7 erzielt werden. Vergleicht man den Duktili-tätsbedarf der räumlichen mit den ebenen Berechnungsvarianten, so stellt man eine mar-kante Zunahme an den Stützenfüssen fest, während sich der Duktilitätsbedarf in den Rie-geln nur unwesentlich ändert. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Riegelgelenke imGegensatz zu den Stützengelenken auch im räumlichen Rahmen nur in einer Biegerich-tung nichtlinear beansprucht werden. Eine Überlagerung der Beanspruchungen aus denErdbebeneinwirkungen in den beiden Hauptrichtungen des Grundrisses, wie es bei hoher

Bild 7.23: Verteilung des Rotationsduktilitätsbedarfs über die Gebäudehöhe der dreiBerechnungsvarianten des räumlichen Stahlbetonrahmens

Rotationsduktilität

Höh

e

0

3 m

6 m

9 m

2 4 6 8

3DA3DB

3DBV

Räumliche Stahlbetonrahmenberechnungen

113

Seismizität üblich ist, führt von Anfang an auf die Varianten mit der stärkeren Stützenbe-wehrung (3DB, 3DBV), die auch in den dreidimensionalen Nachrechnungen keinen zuhohen Duktilitätsbedarf aufweisen. Andererseits haben die Resultate der Variante 3DAgezeigt, dass die Vernachlässigung der Überlagerung der Schnittkräfte aus den beidenhorizontalen Erdbebeneinwirkungsrichtungen die Beanspruchung der Eckstützen mar-kant unterschätzt.

Die Bahnkurve der Horizontalverschiebungen des Mittelpunktes des Dachs ist inBild 7.24 aufgezeichnet. Die fast elliptischen Bewegungen im Grundriss sind nicht etwaauf eine Torsionsbeanspruchung zurückzuführen, sondern ergeben sich aus der Überlage-rung der dominanten Grundbiegeschwingungen in den beiden Hauptrichtungen, die unge-fähr die gleiche Grundfrequenz, ähnliche Amplituden, jedoch eine gewisse Phasendiffe-renz aufweisen (Lissajous-Figuren).

In der anfänglich symmetrischen Struktur ohne Exzentrizität zwischen Massen- und Stei-figkeitszentrum stellen sich jedoch im Laufe der Anregung unsymmetrische Plastifizie-rungen ein, die eine leichte Verschiebung des momentanen Steifigkeitszentrums gegen-über dem Massenzentrum bewirken. Die dadurch hervorgerufene globale Torsionsbean-spruchung des räumlichen Rahmens ist in Bild 7.25 dargestellt. Die Grössenordnungdieser zufälligen Torsion ist klein. Wird das maximal erreichte Torsionsmoment von

in Bild 7.25 zur maximalen Horizonalkraft von etwa ,die beim räumlichen Rahmen bestehend aus drei ebenen Rahmen pro Richtung etwagleich dem dreifachen Wert der maximalen Horizontalkraft von 0.2 MN eines ebenenRahmens (Bild 7.18) ist, in Relation gesetzt, so ergibt sich eine Exzentrizität e von:

Bild 7.24: Variante 3DB: Bahnkurve der Horizontalverschiebungendes Mittelpunktes des Dachs

Tmax 0.2 MNm≈ Hmax 0.6 MN≈

-30 -20 -10 0 10 20 3000X-Verschiebung [mm]

-30

-20

-10

0

10

20

30

00

Y-V

ersc

hieb

ung

[mm

]

Anwendungsbeispiele

114

(7.2)

Bezogen auf die Gebäudeabmessung im Grundriss von l = 12.40 m beträgt die relativeExzentrizität:

(7.3)

Dies ist weniger als die nach den Torsionsbestimmungen in Erdbebennormen typischer-weise zu berücksichtigende zufällige, d.h. nicht planmässige, relative Exzentrizität von0.05 der Gebäudeabmessung [EC 8-1-2].

Bild 7.25: Variante 3DB: Torsionsmoment der Reaktionskräftein Funktion der Dachverdrehung

eTmax

Hmax-------------

0.2 MNm0.6 MN

----------------------- 0.33 m=≈ ≈

el--

0.33 m12.40 m------------------- 0.03==

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2Drehwinkel [10-3rad]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Tor

sion

smom

ent [

MN

m]

115

8 FolgerungenMit beschränktem Aufwand ist es gelungen, Stahlbetonrahmen für nichtlineare dynami-sche Berechnungen unter Erdbebeneinwirkung numerisch zu modellieren. Die Nachrech-nung von statischen und dynamischen Bauteilversuchen sowie eines dreigeschossigenGebäudes belegen die Anwendbarkeit der neu entwickelten, relativ einfachen Hysterese-modelle für Stahlbetonfliessgelenke in Riegeln und Stützen von ebenen und räumlichenRahmen. Die vorgenommenen Vereinfachungen zur Beschreibung des Hystereseverhal-tens haben sich als zweckmässig erwiesen, soweit sich dies in den Nachrechnungen über-prüfen liess.

Dank der einfachen Formulierung erfordert die Vorbereitung der Eingabedaten einengeringen Mehraufwand gegenüber einer linearen Berechnung. Zusätzlich zu den Geome-trie- und Steifigkeitsdaten sind nur die Tragwiderstände der plastischen Bereiche im Trag-werk erforderlich. Dies ist eine wichtige Voraussetzung dafür, dass das Programm füranspruchsvolle praktische Anwendungen überhaupt zum Einsatz kommt.

Die Auswertung der ebenen und räumlichen Berechnungen eines Stahlbetonrahmenge-bäudes ermöglichten es, die Annahmen der Erdbebenbemessungsregeln in den Normenzu überprüfen und gewisse Schwachstellen aufzuzeigen. So konnte der lokale Duktilitäts-bedarf in den plastischen Bereichen der Riegel und Stützen überprüft werden. Eineungünstige Kombination von zweiachsiger Biegebeanspruchung mit Normalkraftbewirkte eine starke lokale Überbeanspruchung in den Eckstützen infolge Erdbebenanre-gung in beiden Hauptrichtungen des Grundrisses, ein Phänomen das nur mit einer dreidi-mensionalen nichtlinearen Zeitverlaufsberechnung korrekt erfasst werden kann. Übli-cherweise werden die Beanspruchungen aus der Anregung in den beiden Hauptrichtungendes Grundrisses bei schwacher bis mässiger Seismizität nicht überlagert.

Mit den ersten Anwendungsbeispielen konnten weitere Einsatzmöglichkeiten der entwik-kelten Hysteresemodelle für Parameterstudien bezüglich Torsionsbeanspruchung, Ein-fluss von unregelmässiger Steifigkeits-, Tragwiderstands- und Massenverteilung, sowiemehrachsiger Erdbebenanregung gezeigt werden. Trotz einfacher Modelle steigt dabeider Aufwand bei dreidimensionalen Berechnungen rasch an.

Die eigentlich für Rahmentragwerke entwickelten Hysteresemodelle können auch für dieBerechnung von Tragwänden eingesetzt werden, wie die gute Übereinstimmung zwi-schen Nachrechnung und Messwerten eines dynamischen Versuchs einer Stahlbetontrag-wand auf dem ETH-Erdbebensimulator belegt. Voraussetzung dafür ist, dass es sich umschlanke Tragwände mit dominierender Biegebeanspruchung und eher geringer Quer-kraftbeanspruchung handelt.

Eine Bewertung verschiedener Schädigungsmodelle und ihrer zugehörigen Schädigungs-indikatoren bezüglich der Eignung bei nichtlinearen dynamischen Berechnungen vonkapazitätsbemessenen Stahlbetontragwerken ergab, dass der einfache Duktilitätsbedarfdie geeignetste Grösse zur Beschreibung der Anforderungen an einen plastischen Bereichist. Zusätzlich empfiehlt sich als Ergänzung die Verwendung des kumulativen Duktilitäts-bedarfs zur Berücksichtigung des Einflusses zyklischer Beanspruchung, wobei die klei-

Folgerungen

116

neren Zyklen vernachlässigt werden sollen. Die Verwendung komplexerer Schädigungs-indikatoren ist bei kapazitätsbemessenen Stahlbetonbauteilen nicht gerechtfertigt, da dortinsbesondere mit geeigneter konstruktiver Gestaltung der Bewehrung versucht wird, diezyklische Schädigung gering zu halten.

Zur abschliessenden Beurteilung der Tauglichkeit der gewählten Hysteresemodelle sindweitere Parameterstudien erforderlich. Zusätzliche Vergleichsberechnungen mit Faser-und Kontinuumsmodellen der plastischen Bereiche könnten genauer aufzeigen, bis zuwelchen Beanspruchungsverhältnissen die getroffenen Vereinfachungen zulässig sind.Ferner sollten Stahlbetonrahmengebäude nachgerechnet werden, in denen mit Starkbe-benmessgeräten die Gebäudeschwingungen während eines stärkeren Erdbebens bis in dennichtlinearen Bereich aufgezeichnet werden konnten.

117

9 Glossar

AntwortspektrumMaximale Antworten von Einmassenschwingern mit gleicher Dämpfung infolge einer be-stimmten Fusspunktanregung dargestellt in Funktion der Frequenz der Einmassenschwin-ger

AntwortspektrenverfahrenLineares dynamisches Berechnungsverfahren zur Bestimmung der maximalen Antworteneines Mehrmassenschwingers infolge einer Anregung

BauwerkDurch Bauarbeiten erstelltes Werk bestehend aus Tragwerk und nichttragenden Bauteilen

BemessungFestlegung der Abmessungen, der Baustoffeigenschaften und der konstruktiven Durchbil-dung eines Tragwerkes sowie der Befestigungen der nichttragenden Bauteile

BemessungsbebenErdbeben einer gewissen Stärke, dessen Auswirkungen als Bemessungsgrösse verwendetwerden.

BemessungsspektrumGeglättetes Antwortspektrum einer Einwirkung für Bemessungszwecke

BerechnungsmodellDiskretisierung des Tragwerkes in finite Elemente für numerische Berechnungen

BeschleunigungsspektrumAntwortspektrum der Beschleunigung

Bezogene VerformungAuf die Verformung bei Fliessbeginn bezogene Verformung

DuktilitätPlastisches Verformungsvermögen eines Werkstoffes

DuktilitätsbedarfRechnerisch ermittelte bezogene Verformung

EinschnürungEigenschaft von Hystereseschlaufen charakterisiert durch einen S-förmigen, eingeschnür-ten Verlauf um den Nullpunkt der Beanspruchung

EinwirkungAuf ein Bauwerk aufgebrachte Kräfte und Verformungen

EMS-SkalaEuropäische Makroseismische Skala zur Bestimmung der Intensität

Glossar

118

EnergieindexSchädigungsindikator, der als Verhältnis der maximalen Verformungsenergie zur Verfor-mungsenergie bei Fliessbeginn definiert ist.

ErdbebenanregungZeitverlauf der Bodenbewegung infolge Erdbeben am Standort zu berechnenden Tragwer-kes

ErdbebenbemessungBemessung eines Bauwerkes für die Erdbebeneinwirkung

ErdbebengefährdungMass dafür, wie häufig an einem bestimmten Ort eine bestimmte Erdbebenstärke erreichtoder überschritten wird.

ErdbebeneinwirkungWirkung eines Erdbebens auf ein Bauwerk

ErsatzkraftverfahrenBerechnungsverfahren bei dem die dynamischen Einwirkungen durch statische Ersatz-kräfte approximiert werden.

FliessbeginnBeanspruchungszustand bei dessen Überschreiten Fliessen einsetzt

FliessenPlastische Verformungen

FliessflächeOrt der Schnittgrössen bei deren Überschreitung Fliessen einsetzt dargestellt im dreiach-sigen Beanspruchungsraum

FliessgelenkBereich mit plastischen Biegeverformungen in einem Tragwerk

FliesskurveOrt der Schnittgrössen bei deren Überschreitung Fliessen einsetzt dargestellt in der zwei-achsigen Beanspruchungsebene

FliessmomentBiegemoment bei dessen Überschreitung Fliessen einsetzt.

FliessrotationRotationswinkel bei dessen Überschreitung Fliessen einsetzt.

HysteresedämpfungEnergiedissipation im Tragwerk infolge zyklischer plastischer Verformungen

HysteresekurveGraphische Darstellung einer Kraftgrösse in Funktion der entsprechenden Weggrösse beizyklisch plastischer Beanspruchung

HysteresemodellBeschreibung des Materialverhaltens unter zyklischer Beanspruchung

Glossar

119

HystereseschlaufenGraphische Darstellung einer Kraftgrösse in Funktion der entsprechenden Weggrösse beizyklisch plastischer Beanspruchung

HystereseregelnVariable zur Beschreibung der einzelnen Abschnitte einer Hystereseschlaufe

IntensitätMass für die lokale Zerstörungskraft eines Erdbebens (z.B. EMS-Skala)

KapazitätsbemessungBemessungsmethode für dynamische Einwirkungen bei der die plastischen Bereiche imTragwerk so gewählt werden, dass ein geeigneter plastischer Mechanismus entsteht, undso bemessen und konstruktiv durchgebildet, dass sie genügend duktil für die Bemessungs-einwirkung sind. Die übrigen Bereiche werden elastisch für diejenigen Schnittkräfte be-messen, die sich im Tragwerk einstellen, wenn die plastischen Bereiche ihre Überfestig-keit (Kapazität) erreichen.

KapazitätsspektrumverfahrenNichtlineares statisches Berechnungsverfahren durch graphischen Vergleich der Pusho-ver-Kurve mit dem Bemessungsspektrum

Konventionelle BemessungÜbliche Bemessungsmethode für Schwerelasten und Windeinwirkung

KrümmungAuf die Länge bezogene Verdrehung der Querschnittsfläche eines Tragelementes

KrümmungsduktilitätAuf die Krümmung bezogene Duktilität eines plastischen Bereichs

Kumulative DuktilitätAuf der Duktilität basierender Schädigungsindikator für zyklische Beanspruchung

Kumulativer SchädigungsindikatorSchädigungsindikator für zyklische Beanspruchung

MaterialmodellBeschreibung des Materialverhaltens

Nicht-kumulativer SchädigungsindikatorSchädigungsindikator für monodirektionale Beanspruchung ohne Berücksichtigung derzyklischen Beanspruchung

Nichttragende BauteileTeile des Bauwerkes, die für das Gleichgewicht und die Formerhaltung nicht notwendigsind (z.B. Fassadenelemente, untergehängte Deckenelemente, Fensterelemente, Trenn-wände).

Plastische BiegesteifigkeitBiegesteifigkeit bei Verfestigung

Plastische VerformungenInelastische, bleibende Verformungen

Glossar

120

Pushover-KurveNichtlineare statische Kraft-Verformungs-Kurve eines Tragwerkes unter horizontaler Ein-wirkung

UserelementComputerunterprogramm zur Beschreibung eines Elementes, das zusammen mit einemmit einem umfassenden Finite-Elemente-Programm als Hauptprogramm eingesetzt wer-den kann.

RahmentragwerkTragwerk bestehen aus Stützen und Riegeln mit biegesteifen Anschlüssen

RiegelHorizontales Tragelement in einem Rahmentragwerk

RiegelgelenkFliessgelenk in einem Riegel

RotationsduktilitätAuf die Fliessrotation bezogenes plastisches Verformungsvermögen

RotationsduktilitätsbedarfRechnerisch ermittelte auf die Fliessrotation bezogene Rotation eines plastischen Bereichs

SchadengradSkala zur Einteilung der visuell festgestellten Schäden (z.B. EMS-Skala)

SchädigungsmodellZustandsbeschreibung inelastisch beanspruchter Tragwerke zur Erfassung der fortschrei-tenden Schädigung bis zum Versagen

SchädigungsindikatorNumerischer Parameter eines Schädigungsmodells

SeismizitätHäufigkeit und Stärke der Erdbeben an einem Standort

StahlbetonfliessgelenkBereich mit plastischen Verformungen in einem Stahlbetontragwerk

SteifigkeitsabminderungGegenüber der elastischen Anfangssteifigkeit reduzierte Steifigkeit bei zyklischer Bean-spruchung und ausserhalb des Bereichs plastischen Fliessens. Hier ausschliesslich für dieSteifigkeit bei Wiederbelastung anschliessend an die elastische Entlastung verwendet.

StützeVertikales Tragelement in einem Rahmentragwerk

StützengelenkFliessgelenk in einer Stütze

TragwandWandscheibe aus Stahlbeton zur Abtragung horizontaler Kräfte

Glossar

121

TragwerkGesamtheit der Bauteile, welche für das Gleichgewicht und die Formerhaltung eines Bau-werkes notwendig sind.

TragwiderstandsabminderungReduktion des Tragwiderstandes mit zunehmender Anzahl Belastungszyklen

VerfestigungZunahme des Tragwiderstandes nach Fliessbeginn

VerfestigungssteifigkeitSteifigkeit bei Verfestigung

VerletzbarkeitSchadenanfälligkeit von Bauwerken bei unterschiedlicher Erdbebenstärke

VerschiebeduktilitätAuf die Fliessverschiebung bezogene Verschiebung

WiederkehrperiodeZeitdauer innerhalb der bei sehr langer Beobachtungsdauer eine gewisse Erdbebenstärkeim Mittel einmal erreicht oder überschritten wird.

ZähigkeitSynonym für Duktilität

ZustandsvariableDatenfeld, das vom Hauptprogramm aus dem Userelement zum Abspeichern von userele-ment-internen Daten zur Verfügung gestellt wird.

Glossar

122

123

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