Richiami di analisi vettoriale

  Gradiente, divergenza, rotore   Teoremi della divergenza e di Stokes   Relazioni campi-sorgenti

Derivate parziali - Gradiente

Esercizio

( )i if dx= ∂

Esempi

Esempio

L’integrale curvilineo da (0,0) a (1,1) lungo le due curve da’ risultati diversi.

!F

C! "d!x =

!F [!x (t )] ! d

!xdta

b

! dt

C 1 !!x (t ) = t

!ex + t

!e y

C 2 !!x (t ) = t

!ex + t

2 !e y

0 1t≤ ≤C2

C1

b (1,1)

a (0,0)

Sviluppo in serie di Taylor

f ( !x + !a ) = f ( !x )+ !a !!"f ( !x )+ 1

2#2 f#xi#x j

$

%&&

'

())aia j

ij* +"

Esempio

1|!r ! !a |

! 1r!!a "!#1r$

%&'

()=1r!!a " !

!err 2

$

%&

'

()=1r+!a " !err 2

Superficie e curve di livello

su una superficie di livello

!!"f = !n |

!"f |

!f!n

=!n "!#f = !n " !n |

!#f |=|

!#f |

Esempio 2( , )f x y y x= −

( , )f x y C= Sulla curva di livello 2

x ty t=⎧

⎨=⎩

!r (t ) = t

!ex + t

2 !e y

!!f = "2x

!ex +

!e y = "2t

!ex +

!e y

!v = d

!rdt

=!ex + 2t

!e y tangente

!v!!!f = "2t + 2t = 0

C=0

r

!!f

!v

Gradiente

  Le sue componenti sono le variazioni della funzione nella direzione degli assi coordinati

  Il suo modulo e` il tasso di massima variazione con la distanza

  La sua direzione e` quella del tasso di massima variazione con la distanza

  E` orientato verso i valori piu` grandi della funzione

  Il gradiente in un punto e` perpendicolare alla curva di livello passante per quel punto

df =!!f "d"r =|

"!f | drcos! # df max. per cos! =1

Curve di livello - Gradiente “A” indica l’altezza di una collina in metri. Il GRADIENTE di A rappresenta la pendenza nel punto considerato e punta verso la direzione di massimo aumento.

x

y

Linee di forza

  Campo vettoriale !F (!x ) = Fx (x , y , z )

!ex + Fy (x , y , z )

!e y + Fz (x , y , z )

!ez

  Linee di forza

  tangenti in ogni punto al campo

  verso di percorrenza = verso del campo

F F

Linea di forza

- tratto infinitesimo nel punto parallelo a d!x

!x

!F (!x )

-  linee di forza non si incrociano mai

-  piu` dense dove il campo e` piu` intenso

Linee di forza

Divergenza Cubo elementare di lati dx, dy, dz dV=dxdydz

Flusso di un campo F attraverso il cubo elementare

Facce “x”

(x,y,z)

(x+dx,y,z) (x+dx,y+dy,z)

(x,y+dy,z)

(x,y+dy,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x,y,z+dz)

n = ex

n = - ex

dAx = dydz

x

y

z

(x+dx,y+dy,z+dz)

!n =!ex

!n = !

!ex

Divergenza

divergenza = flusso per unita` di volume

divergenza di F

F = x ex + y ey F = -x ex -y ey F = ey

div F = 2 div F = 0 div F = -2 “sorgente” “pozzo”

sorgente positiva sorgente negativa

Teorema della divergenza

  Un volume arbitrario puo` essere diviso in volumetti infinitesimi

  I contributi sulle facce comuni di volumetti adiacenti si annullano (normali opposte)

  Resta solo il contributo delle facce esterne = superficie che racchiude il volume

Circuitazione

  Campo conservativo   Forza conservativa

  Forma locale à teorema di Stokes

Rotore

x

z

y

A = (x,y)

B = (x+dx,y)

C = (x+dx,y+dy)

D = (x,y+dy)

dy

dx A

B C

D ez

Circuitazione lungo il circuito elementare ABCD nel piano xy

( , ( , ) (( , ) ,) )z x xy yF x dxd F x y d F x y dyx dy dxyF x dx yd dyy + += +−+Γ + −

( ,( ,(( , ) , )) )xy yxF x y dx d F x y dyy dx dyFF x dx x yy≈ + − −++

dAz = dxdy n = dxdy ez

Rotore ( , ) ( , ) (( ), ) ,z x yy xd F x y dx dF x y dxF x y dy dxy ydx F yΓ ≈ + − −++

[ ( , ) (] [ , ))) (( ,, ]x yyxF x y d F x dx yF x y xd dyF yy x= − + −++

( ([ ( , ) ] [, ) ( , ) , )]xy

yx yxFF x y dy F x y

FF x y dx dF x y d

xyx

y≈ − + −

∂+∂

∂−∂

( ) ( )y yx xz

F FF Fdxdy dAx y x y

∂ ∂∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ ∂

! (!!"

!F ) z dAz = (

!!"

!F ) ! !ez dA = (

!!"

!F ) ! !ndA

Rotore

  In componenti:   Esercizio:

(!!"

!F )i = ! ijk# j Fk

!!"

!F = det

!ex

!e y

!ez

##x

##y

##z

Fx Fy Fz

$

%

&&&&&

'

(

)))))

= det

!ex

!e y

!ez

#x # y #z

Fx Fy Fz

$

%

&&&&

'

(

))))

d ! x = (!"#

!F )x dAx

d ! y = (!"#

!F ) y dAy

d ! z = (!"#

!F ) z dAz

rot !F =

!!"

!F =

= (# y Fz $#z F y )!ex + (#z Fx $#x Fz )

!e y + (#x Fy $# y Fx )

!ez

Teorema di Green (2 dim.)

  Una superficie piana puo` essere approssimata col grado di accuratezza desiderato da una griglia di “rettangolini” elementari   I contributi dei lati adiacenti si annullano e resta solo il contributo del contorno che racchiude la superficie (teorema di Green)

!F !d

!x

C"" = (#Fy

#xDC

" $#Fx#y)dxdy

= (!!"

!F

Dc

# ) $!ez dA

DC

n=ez

Teorema di Stokes

somma sulle proiezioni y yz zx x

x y z

F FF FF Fd dA dA dAy z z y x y

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂Γ = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

!ndA = nxdA

!ex + nydA

!e y + nz dA

!ez = dAx

!ex + dAy

!e y + dAz

!ez

Generalizzazione allo spazio 3-dim del teorema di Green

d ! = (!"#

!F ) $ !ndA

!F !d

!x

C!" = ("#$

"F ) ! !n dA

%"

!!"

!F

C

Campo conservativo

Esercizio: dimostrare che il rotore di un gradiente e` nullo.

!F !d

!x

C!" = 0Espressione integrale

Espressione differenziale

!F !d

!x

C!" = ("#$

"F ) !

!n dASC" = 0 %C &

!#$

!F = 0

Superficie equipotenziale

  Rappresentazione alternativa alle linee di campo per i campi conservativi

  Linee di campo ortogonali alle superficie equipotenziale

Linee di forza verso zone a potenziale minore

Esempio

(x,0,0)

(x,y,0)

(x,y,z)

(0,0,0)

x

y

z

Laplaciano

Invarianti

!rP = xi!ei = x ' j

!e ' j

x 'k = xi!ei !!e 'k " Rkixi

Rki !!ei "!e 'k Matrice di rotazione

RT ! R"1 detR = ±1

Invarianti Una funzione che dipende solo dal punto (es. la temperatura) e` INVARIANTE rispetto alla trasformazione considerata (rotazione)

Una funzione invariante si dice uno SCALARE

! '(x ', y ', z ') =!(x, y, z)

Esempio: il prodotto scalare e` invariante per rotazioni

x 'i y 'i = RikxkRij yj = RikRij xkyj = RkiTRij xkyj = (R!1)ki Rij xkyj

= !kj xk yj = x jyj

Relazioni campo-sorgenti

  Un campo vettoriale nello spazio 3-dim e` determinato univocamente se sono dati il suo rotore e la sua divergenza (se si annullano abbastanza velocemente all’infinito)

si puo` sempre scrivere in questo modo

Relazioni campo-sorgenti

Equazioni di Maxwell

equazione di continuita`

forza di Lorentz