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UNIVERSITÀ DI PISA
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea Magistrale di Ingegneria Edile
Tesi di Laurea Magistrale
RICERCA MORFOLOGICA DI BUCKLING OTTIMIZZATO PER STRUTTURE DI TIPO GRID SHELL
ANNO ACCADEMICO 2011 - 2012
RELATORI
Prof. Ing. Maurizio FROLI
Prof. Ing. Mauro SASSU
Arch. Ing. Niccolò BALDASSINI
Dr. Giovani GOMEZ ESTRADA
Candidato
Matteo DINI
UNIVERSITÀ DI PISA
Tesi di Laurea Magistrale in Ingegneria Edile
RICERCA MORFOLOGICA DI BUCKLING OTTIMIZZATO PER STRUTTURE DI TIPO GRID SHELL
Relatori
Prof. Ing. Maurizio FROLI
Prof. Ing. Mauro SASSU
Ing. Arch. Niccolò BALDASSINI
Dr. Giovani GOMEZ ESTRADA
Candidato
Matteo DINI
A.A. 2011 -2012
iii
Indice
Abstract vii
Introduzione xii
1. GRID SHELL 17
1.1 La ricerca della leggerezza.....................................................................................18
1.1.1 I principi delle strutture leggere..............................................................22
1.2 Evoluzione dei gusci sottili...................................................................................24
1.2.1 Cenni sulla meccanica dei gusci..............................................................24
1.2.2 I gusci sottili in calcestruzzo....................................................................27
1.2.3 I gusci a graticcio: Grid Shell.....................................................................32
1.2.3.1 Le grid shells in legno....................................................................32
1.2.3.2 Le grid shells in acciaio e vetro..................................................36
1.3 Glazed grid shells.....................................................................................................38
1.3.1 La ricerca geometrica..................................................................................38
1.3.1.1 Le mesh quadrangolari piane...................................................38
1.3.1.2 Le superfici di traslazione.........................................................39
1.3.1.3 Le superfici omotetiche.............................................................40
1.3.1.4 Pannelli ad una sola curvatura................................................42
1.3.2 Stabilità di una grid shell..........................................................................42
1.3.3 Irrigidimento delle grid shells.................................................................44
1.3.3 Esempi............................................................................................................44
1.3.3.1 Copertura della piscina di Neckarsulm (1989) ..................45
1.3.3.2 Copertura del Museo di Storia di Amburgo (1989) .........45
1.3.3.3 Copertura della Hippo House di Berlino (1996) ...............48
1.3.3.4 Copertura dell’abbazia di Neumunster (2003) .................50
I N D I C E
iv
2. ANALISI STRUTTURALI 57
2.1 Form-finding.............................................................................................................58
2.1.1 Form-finding con modelli fisici..............................................................58
2.1.2 Form-finding analitico................................................................................62
2.1.2.1 Dynamic Relaxation Method...................................................63
2.1.2.2 Prestress Force Form-finding..................................................64
2.2.2 Buckling.........................................................................................................67
2.2.2.2 Restar File Buckling...................................................................67
3. ALGORITMI GENETICI 71
3.1 Introduzione agli algoritmi genetici..................................................................72
3.1.1 Terminologia.................................................................................................73
3.1.2 Principi di un algoritmo genetico..........................................................74
3.1.3 Rappresentazione del problema............................................................75
3.1.3.1 Schema di rappresentazione...................................................75
3.1.3.2 Fitness Function..........................................................................76
3.1.3.3 Parametri e variabili di controllo...........................................81
3.1.3.4 Criteri di arresto..........................................................................82
3.1.4 Procedura di un algoritmo genetico......................................................83
3.2 Operatori genetici...................................................................................................85
3.2.1 Selezione.......................................................................................................85
3.2.2 Riproduzione ..............................................................................................86
3.2.3 Mutazione.....................................................................................................89
3.2.4 Altri operatori..............................................................................................89
3.3 Sviluppo di un semplice GA.................................................................................89
3.3.1 Definizione del problema e delle variabili .........................................89
3.3.2 GA in Grasshopper/Galapagos................................................................90
3.3.2.1 Definizione dell’algoritmo.......................................................92
3.3.2.2 Risultati.........................................................................................93
3.3.3 GA in Python/PyEvolve.............................................................................95
3.3.3.1 Definizione dell’algoritmo.......................................................95
3.3.3.2 Risultati.........................................................................................97
3.3.4 Confronto dei risultati..............................................................................99
3.3.5 Conclusioni..................................................................................................101
v
4. OTTIMIZZAZIONE 105
4.1 Obiettivo della ricerca..........................................................................................106
4.2 Sviluppo dell’algoritmo genetico......................................................................106
4.2.1 Definizione del problema.......................................................................107
4.2.1 Definizione dell’algoritmo.....................................................................108
4.2.2.1 Modellazione della geometria di riferimento...................110
4.2.2.2 Algoritmo di bisezione.............................................................111
4.2.2.3 Calcolo del fattore di buckling...............................................113
4.3 Maglia triangolare..................................................................................................114
4.3.1 Variabili di progetto..................................................................................116
4.3.2 Processo di evoluzione............................................................................117
4.3.3 Test effettuati.............................................................................................124
4.3.3.1 Test 1.1.........................................................................................125
4.3.3.2 Test 2.1.........................................................................................129
4.3.3.3 Test 2.2........................................................................................130
4.3.3.4 Test 2.3........................................................................................134
4.3.3.5 Test 3.1.........................................................................................138
4.3.3.6 Test 3.2........................................................................................143
4.4 Conclusioni..............................................................................................................147
5. CONCLUSIONI 149
5.1 Conclusioni generali..............................................................................................151
5.2 Sviluppi futuri.........................................................................................................153
Appendice A: Algoritmo genetico per il paraboloide iperbolico 155
Appendice B: Algorimo genetico per l’ottimizzazione di grid shells 161
Bibliografia 173
A B S T R A C T
vi
vii
Abstract
Le grid shells sono strutture leggere ed eleganti utilizzate, normalmente, per co-perture di grande luce. Il processo progettuale inizia con la ricerca della geometria ottimale che permetta a queste strutture di resistere per forma ai carichi statici esterni. Storicamente le tecniche di form-finding riflettono le caratteristiche del materiale utilizzato come, ad esempio, il calcestruzzo o il tessuto. Anche il form-finding di grid shells segue questa via ma la “griglia” che le compone, non può più essere considerata una mera discretizzazione di una superficie isotropica [1]. Un tale approccio strutturale, diverso da quelli fino ad ora conosciuti, richiede nuovi metodi di ricerca morfologica che siano in grado di considerarne la complessità topologica.
Il metodo di form-finding utilizzato in questa ricerca si basa sul metodo del rilas-samento dinamico (dynamic relaxation method) [2]. Il principale problema di que-sta procedura riguarda l’inizializzazione della pretensione “virtuale” che genera la configurazione di equilibrio della grid shell, che a sua volta diventa la base per i calcoli strutturali, sia statici, sia riguardanti l’instabilità. Quest’ultimo aspetto è il vero fulcro del lavoro di progettazione per i gusci a graticcio che, per loro natura, sono estremamente sensibili ai problemi di instabilità, sia locali che globali [3]. Si deve precisare che anche la definizione dei parametri di inizializzazione e della geometria sono tutt’altro che scontati.
Partendo da queste considerazioni generali, l’interesse di questa ricerca si è rivol-to nello specifico al problema di ottenere, tramite un processo di form-finding, una grid shell ottimizzata nei confronti dell’instabilità globale. La ricerca della forma per una determinata condizione di carico e il calcolo del moltiplicatore del cari-co per perdita di equilibrio di una struttura, sono due problemi fra loro diversi. Il primo è riguarda la ricerca dell’equilibrio statico mentre il secondo tiene in considerazione anche gli effetti del secondo ordine, del tutto trascurati nel form-finding. Per raggiungere l’obiettivo prefissato in questa tesi, è stato sviluppato un algoritmo genetico. La scelta è ricaduta su questo strumento matematico in quan-to è ben nota la sua versatilità e la sua capacità di trattare problemi non lineari.
A B S T R A C T
viii
L’algoritmo genetico presentato ottimizza il prestress iniziale, assegnato per agli elementi che compongono la maglia strutturale nel processo di form-finding, in modo che il moltiplicatore dei carichi per il collasso della struttura dovuto all’in-stabilità elastica globale, sia massimizzato. Se si indica con p = (p1,p2,...,pn) il vettore del prestress virtuale per n elementi strutturali, il problema può essere scritto come:
max ( ) ( , ,..., )b p p pnp p con = 1 2
con: p p pi i imin max< <
dove b(p) è il moltiplicatore di carico più basso calcolato attraverso un’analisi di buckling lineare della struttura precedentemente trovata attraverso un form-fin-ding con un’inizializzazione del prestress pari a p. La topologia, l’altezza massima della struttura e le condizioni al contorno (vincoli interni ed esterni, sezioni degli elementi) sono mantenute costanti durante l’ottimizzazione. Il progetto è stato sviluppato in Phyton™ attraverso la libreria PyEvolve mentre le analisi strutturali e di form-finding sono state effettuate con il software Oasys GSA 8.5.
L’algoritmo genetico è stato prima testato attraverso un semplice problema ge-ometrico (la ricerca di paraboloide iperbolico) per accertarne la robustezza e la convergenza, quindi è stato applicato al caso studio presentato di una maglia strutturale triangolare. Per questa geometria sono state effettuate diverse ana-lisi cambiando alcuni parametri come la distribuzione del prestress “virtuale”, per quanto riguarda il form-finding, le condizioni di vincolo esterno, interno e le sezioni degli elementi,i per quanto riguarda l’analisi di buckling. I risultati, sia in termini di moltiplicatore di buckling sia in termini geometrici, sono stati confron-tati con la soluzione banale di inizializzazione uniforme del prestress.
Questo confronto ha permesso di affermare, attraverso analisi che prendono in considerazione diversi aspetti strutturali e svolgono una ricerca della soluzione ottimale in uno spazio molto ampio di possibili soluzioni, che le geometrie che scaturiscono da un form-finding con pretensione uniforme non possono essere considerate come strutture ottimali nei confronti dell’instabilità globale. Infatti, a seconda dei parametri strutturali scelti, si ha, in ogni caso, un miglioramen-to notevole del moltiplicatore dei carichi. È doveroso precisare che le geometrie trovate non migliorano il problema, presente anche nelle strutture trovate con prestress uniforme, dell’inversione della curvatura degli archi in angolo, dovuta all’anisotropia geometrica della maglia strutturale.
Il principale contributo di questa tesi è stato lo sviluppo di uno strumento com-putazionale di supporto alla progettazione strutturale di grid shell, flessibile e af-fidabile che può indagare problematiche fra loro differenti. I risultati ottenuti, benché necessitino di approfondimenti futuri, sono molto incoraggianti e pon-gono solide basi per lo sviluppo di uno strumento che possa essere applicato con successo alla progettazione di grid shells o di strutture simili.
ix
[1] BALDASSINI N., RAYNAUD J., Structural behavior vs. skin geometry in grid shell design, Proc. of the IASS Symposium 2004: Shell and Spatial Structures, Montpellier, France.
[2] BARNES M. R., Form-finding and analysis of tension structures by dynamic relaxation, IJSS (1999), 14(2), pp. 89-104.
[3] BULENDA TH., KNIPPERS J., Stability of grid shells, Computer and Structures, Vol. 79, No. 12, Amsterdam: Elsevier, 2001, pp. 11161-1174.
LoadFactor = 12.49
LoadFactor = 20.29
10
20
30
40
1
50
GA
CONVERGENCE
GA
EXPLORATION
LoadFactor = 21.59
LoadFactor = 22.54
LoadFactor = 23.20
Buckling Deformed Found Shape
LoadFactor = 23.33
Esempio del processo di evoluzione di una geometria analizzata.
Introduzione
“Ma prima farò alcuna esperienza,
avanti ch’io più oltre proceda, per-
chè mia intenzione è allargare pri-
ma l’esperienza, e poi colla ragione
dimostare perchè tale esperienza è
costretta in tal modo ad operare.
E questa è la vera regola, come li
speculatori degli effetti naturali
hanno a procedere, e ancora che la
natura cominci dalla ragione e ter-
mini nella sperienza, a noi bisogna
seguitare in contrario, cioè comin-
ciando - come di sopra dissi - dalla
sperienza, e con quella investigare
la ragione. ”
- Leonardo da Vinici
I N T R O D U Z I O N E
xii
Il lavoro presentato in questa tesi è stato svolto in un periodo di stage presso lo studio di ingegneria RFR di Parigi sotto la supervisione del Ing. Arch. Niccolò Baldassini e con l’aiuto del Prof. Ing. Maurizio Froli e del Prof. Ing. Mauro Sas-su dell’Università di Pisa. Un contributo fondamentale alla comprensione e allo sviluppo degli strumenti matematici qui presentati è stato dato dal matematico Dr. Giovani Gomez Estrada del centro di ricerca Helmholtz Zentrum di Monaco. Il tema presentato fa parte di uno degli argomenti studiati dal gruppo di ricer-ca interno dello studio parigino. Nello specifico si tratta della realizzazione di strumenti computazionali a supporto della progettazione di strutture di tipo grid shell.
Come è noto, le grid shells sono strutture leggere che ibridano il comportamento strutturale del guscio (shell) e del graticcio (grid), unendo due forme geometriche apparentemente inconciliabili: quella rigidamente cartesiana delle strutture reti-colari e quella morbida e curvilinea dei gusci. La particolare geometria di queste strutture consente la realizzazione di manufatti [1] di grandi dimensioni caratte-rizzate da un utilizzo razionale del materiale che consente un risparmio sia eco-nomico che di risorse. Storicamente la ricerca della forma di una grid shell veniva fatta attraverso dei modelli fisici ribaltando la geometria funicolare ottenuta da una rete di funi sottoposta all’azione della gravità. In questo modo si otteneva una struttura compressa, resistente per forma ai carichi che l’avevano generata. L’idea dell’inversione delle geometrie funicolari per ottenere una struttura ideale completamente compressa, fu introdotta dal fisico Hook nel diciottesimo secolo, sviluppata da Gaudì alla fine del diciannovesimo secolo e applicata al form-finding di grid shell da Frei Otto negli anni ‘70 [2] Con l’avvento del calco automatico sono stati messi a punto diverse procedure che consentono di ottenere modelli più precisi e sofisticati. I metodi di form-finding più utilizzati si basano sul force density method [3] e sul dynamic relaxation method [4]. Questi metodi non tengo-no in considerazione un aspetto fondamentale che spesso fa da linea guida nella progettazione dei gusci a graticcio ossia la loro sensibilità nei confronti dell’insta-bilità, sia locale che globale [5].
Un esempio di ottimizzazione di grid shell si può trovare in [6] dove è stata utiliz-zata la minima energia di deformazione come obiettivo per la ricerca della giusta posizione delle barre e il corretto pattern in accordo con una prefissata geometria. Questo metodo consente di ottenere un guscio a graticcio che risponde sia alle esigenze architettoniche sia alle richieste strutturali. Il metodo di form-finding e ottimizzazione presentato in questo articolo ha come obiettivo quello di trovare la giusta approssimazione di una grid shell ad una forma desiderata e non la ri-
“One of the principal objectives of theoretical research
in any department of knowledge is to find the point of
view from which the subject appears in its greatest sim-
plicity.”
- Josiah Willard Gibbs
xiii
cerca di una forma generata da carichi esterni e quindi con una morfologia che dipenda da questi.
L’obiettivo di questo lavoro è sviluppare una procedura automatica che consenta di ottimizzare una grid shell, definita con un form-finding basato sul metodo del rilassamento dinamico, nei confronti del moltiplicatore dei carichi di collasso per instabilità globale. Per raggiungere lo scopo è stato progettato un algoritmo ge-netico attraverso il linguaggio di programmazione Python™ e la sua libreria PyE-volve in grado di comunicare con il software Oasys GSA, utilizzato per le analisi di form-finding e di buckling.
La scelta di utilizzare un algoritmo genetico che massimizzi il fattore di buckling della struttura è stata fatta per la grande versatilità che caratterizza questo stru-mento e per la sua capacità di analizzare complessi problemi non lineari, fornen-do una soluzione attraverso un’ampia esplorazione dello spazio di ricerca del pro-blema [7]. Questo consente di ottenere un compromesso tra “exploitation” della soluzione migliore disponibile e “exploration” dello spazio di ricerca.
Nel campo dell’ingegneria strutturale, i GA sono stati impiegati per sia per l’ot-timizzazione topologica [8] sia per l’ottimizzazione strutturale [9]. Di rilevante importanza sono gli studi fatti da Miloš Dimicic [10] e Alberto Pugnale [11] nelle loro rispettive tesi di dottorato. Dimicic, nel suo lavoro, ha sviluppato un software che, a seconda dei parametri scelti, trova la miglior discretizzazione di una super-ficie continua in base alla funzione obiettivo scelta (ad esempio la minimizzazio-ne della sigma ideale di Von Mises o la massimizzazione del fattore di buckling). Pugnale, invece, ha sviluppato tre diversi algoritmi genetici: uno riguardante l’ot-timizzazione strutturale, uno quella acustica e infine il terzo quella geometrica ovvero la ricerca di una discretizzazione di free-form con pannelli quadrangolari piani. Il GA strutturale presenta numerosi aspetti interessanti che sono stati ri-presi ed adattati a questa tesi. Di particolare interesse è il modo in cui l’algoritmo genetico (scritto in Rhinoscript®), il programma di modellazione 3D (Rhinoce-ros®) e il programma FEM (ANSYS) interagiscono fra di loro formando un unico strumento e quindi lasciando intuire le grandi potenzialità che si possono avere sfruttando le particolarità di ognuno di questi software.
Sulla base di questi lavori e di un continuo processo di confronto con gli ingegne-ri, gli architetti e i matematici di RFR, è stato sviluppato uno strumento innovati-vo che ha fornito interessanti risultati e scoperte, ponendo le basi per numerosi sviluppi futuri mirati a renderlo sempre più completo e facilmente utilizzabile per la progettazione di strutture affascinanti come le grid shell.
Il Capitolo 1 presenta le strutture leggere in generale e l’evoluzione che ha porta-to alla concezione delle moderne grid shell in acciaio e vetro. Vengono presentati i metodi geometrici per la definizione di un guscio a graticcio e le problematiche relative all’instabilità di queste strutture. Nella parte finale del capitolo sono pre-sentati quattro progetti realizzati di glazed grid shell che presentano caratteristi-che diverse fra loro e forniscono un quadro generale dello stato dell’arte.
Il Capitolo 2 è dedicato ad una breve illustrazione dei metodi di form-finding e di calcolo del fattore di instabilità globale utilizzati per l’ottimizzazione della geo-metria presa in esame in questa ricerca.
I N T R O D U Z I O N E
xiv
Il Capitolo 3 offre una panoramica sugli algoritmi genetici spiegandone l’origine e le procedure principali. In questo capitolo sarà sviluppato anche un semplice GA attraverso due tecnologie diverse: Python™/PyEvolve e Grasshopper®/Galapa-gos. Sarà quindi proposto un confronto fra i due software per giustificare la scelta dell’utilizzo di Python™/PyEvolve per l’ottimizzazione delle grid shells. Questo semplice GA sarà la base sulla quale sviluppare un algoritmo più sofisticato uti-lizzato per il problema proposto in questa tesi. Il test è dunque significativo per controllare la convergenza e la robustezza del processo iterativo.
Il Capitolo 4 definisce il problema analizzato in questa tesi, formulandolo geneti-ci e illustrando le procedure che portano alla definizione dell’algoritmo genetico di massimizzazione del fattore di buckling. Saranno poi mostrati i risultati ottenu-ti per la maglia triangolare analizzata confrontandoli sia dal punto di vista ana-litico sia da punto di vista geometrico, con la geometria generata con prestress uniforme.
Il Capitolo 5 presenterà le conclusioni che si possono trarre da questo lavoro e i possibili sviluppi futuri.
L’Appendice A riporta il codice sviluppato per l’algoritmo genetico del test ripor-tato nel Capitolo 3.
L’Appendice B riporta il codice sviluppato per l’algoritmo genetico di massimiz-zazione utilizzato per l’ottimizzazione della grid shell analizzata.
[1] Tipicamente le grid shell vengono utilizzate per la costruzione di coperture di grandi luci. Oggi il loro impiego è sempre più frequente nella realizzazione di strutture a forma libera (free-forms) come ad esempio le opere Logo e Nuvola progettate per il centro fieristico di Milano dall’architetto Massimiliano Fucksas.
[2] HENNICKE J. et al., IL 10: Grid shells, Stuttgart: Institute for Lightweight Structures (IL), 1974.
[3] LINKWITZ K. and SCHECK H.-J., Einige Bemerkungen zur Berechnung vonvorgespannten Seilnetzkonstruktio-nen, Ingenieur-Archive 40, 1971, pp. 145-158.
[4] BARNES M. R., Form-finding and analysis of tension structures by dynamic relaxation, IJSS (1999), 14(2), pp. 89-104.
[5] BULENDA TH., KNIPPERS J., Stability of grid shells, Computer and Structures, Vol. 79, No. 12, Amsterdam: Elsevier, 2001, pp. 11161-1174.
[6] LI J. M., KNIPPERS J., Form finding of grid shells with continuos elastic rods, Taller, Longer, Lighter - Mee-ting growing demand with limited resources, Svizzera: IABSE/IASS, 2011.
[7] MITCHELL M., An Introduction to Genetic Algorithms, Cambridge: The MIT Press, 1998.
[8] Ad esempio: AL-SHIRI M. A., Structural Optimization Using a novel Genetic Algorithm for Rapid Con-vergence, Internetional Journal of Civil and Structural Engineering, Vol. 1, No 2, 2010, Integrated Publi-shing Association.
xv
[9] Ad esempio: KOOHESTANI K., Form-finding of tensegrity structures via genetic alghoritm, Internetional Journal of Solids and Structures, Vol. 49, Elsevier, Marzo 2012, p.p. 739-744.
[10] DIMICIC M., Structural Optimization of Grid Shells based on Genetic Algorithms, Ph.D. Thesis, ITKE 32,
Stoccarda, 2011.
[11] PUGNALE A., Engineering Architecture: Advances of a technological practice, Pd.D. in ‘Architecture and Building Design’, Politecnico di Torino, XXII cycle (2007, 2008, 2009).
