Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
PROGRAMI ANALIZË DHE ALGJEBËR
DISERTACION
PËR MARRJEN E GRADËS “DOKTOR I SHKENCAVE”
Rezultate në teorinë e martingaleve dhe
zbatime të saj
Kandidati Udhëheqës shkencor
M.Sc. Danjela Braho Prof. Dr. Agron Tato
TIRANË, 2017
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
DISERTACION
me temë
Rezultate në teorinë e martingaleve dhe
zbatime të saj
PROGRAMI ANALIZË DHE ALGJEBËR
Paraqitur nga: M.Sc. Danjela BRAHO
PËR MARRJEN E GRADËS “DOKTOR I SHKENCAVE”
Udhëheqës shkencor: Prof. Dr. Agron TATO
Mbrohet më datë ___/___/______, para Komisionit të përbërë nga:
1. _____________________________________ (Kryetar)
2. _____________________________________ (Anëtar/oponent)
3. _____________________________________ (Anëtar/oponent)
4. _____________________________________ (Anëtar)
5. _____________________________________ (Anëtar)
FALENDERIM
Ky falenderim i shkon personave që më mbështetën në realizimin e këtij studimi.
Së pari ky falenderim i shkon udhëheqësit të kësaj teme disertacioni pedagogut Prof. Dr.
Agron Tato për mbështetjen, udhëheqjen dhe bashkëpunimin e tij gjatë gjithë periudhës së
përgatitjes të këtij disertacioni, që ky studim të jetë sa më i kompletuar në çdo aspekt.
Gjithashtu, falenderoj familjen time që në çdo moment më ka përkrahur, me ka mirëkuptuar
dhe më ka nxitur akoma më shumë për të finalizuar këto studime.
Së fundi dua të falenderoj të gjithë miqtë, kolegët që më kanë inkurajuar dhe mbështetur gjatë
kësaj pune të lodhshme.
Përzemërsisht
Danjela
PËRMBAJTJA
Përmbledhje. ................................................................................................................. iiHyrje ............................................................................................................................ iiiKAPITULLI 1
MARTINGALET E FUNKSIONEVE STATISTIKISHT BOCHNER TË
INTEGRUESHËM ........................................................................................................ 1
1.1 Përkufizime dhe kuptime bazë ............................................................................. 1
1.2 Pritja matematike statistikore me kusht, veti të saj .............................................. 5
1.3 Disa teorema konvergjence për pritjen matematike statistikore me kusht ......... 13
1.4 Konvergjenca statistikore e martingaleve të funksioneve st-Bochner të
integrueshëm ............................................................................................................ 15
1.5 Vetia e Radon-Nikodym-it dhe konvergjenca statistikore e martingaleve ........ 28
KAPITULLI 2
MARTINGALET E FUNKSIONEVE STATISTIKISHT PETTIS TË
INTEGRUESHËM ...................................................................................................... 33
2.1 Përkufizime dhe rezultate ndihmëse .................................................................. 33
2.2 Pritja matematike statistikore me kusht e funksioneve statistikisht Pettis të
integrueshëm ............................................................................................................ 35
2.3 Martingalet e funksioneve st-Pettis të integrueshëm.......................................... 37
2.4 Martingalet e funksioneve uniformisht të integrueshëm .................................... 45
2.5 Martingalet e funksioneve st- Pettis të integrueshëm dhe vetia e dobët e Radon-
Nikodym ................................................................................................................... 51
KAPITULLI 3
MARTINGALET ASIMPTOTIKE TË FUNKSIONEVE STATISTIKISHT TË
INTEGRUESHËM ...................................................................................................... 55
3.1 Njohuri paraprake ............................................................................................... 55
3.2 Teorema konvergjence për martingalet asimptotike .......................................... 60
3.3 Amartet e funksioneve st-Bochner të integrueshëm .......................................... 65
Përfundime ................................................................................................................... 77Literatura ...................................................................................................................... 78
ii
Përmbledhje.
Në qendër të këtij studimi janë vendosur martingalet dhe konvergjenca e tyre. Nga
shqyrtimi teorik i tyre kemi arritur në rezultatin e shtrirjes së konceptit të konvergjencës
së martingaleve në një konvergjencë më të gjerë dhe më afër realitetit siç është
konvergjenca statistikore e martingaleve dhe zbatime të saj. Studimi ynë fokusohet
kryesisht në konvergjencën e martingaleve të funksioneve statistikisht të integrueshëm
sipas Bochner-it dhe Pettis-it, në hapësirën e Banach-ut. Për rastin e martingaleve të
këtyre funksioneve bëhet shtrirja e disa rezultateve të njohura për to. Gjithashtu janë
studiuar teorema të konvergjencës së martingaleve me vlera në hapësira të Banach-ut
që gëzojnë vetinë e Radon-Nikodym-it. Konfirmimin e kësaj shtrirje të re të
martingaleve në martingale statistikisht konvergjente e jep shembulli i një martingaleje
që konvergjon statistikisht, por nuk konvergjon në mënyrë të zakonshme. Gjithashtu
është studiuar lidhja midis martingaleve të funksioneve statistikisht Pettis të
integrueshëm dhe vetisë së dobët të Radon-Nikodym-it. Një vëmendje e veçantë në këtë
punim u është kushtuar edhe teoremave të konvergjencës së martingaleve të
funksioneve uniformisht statistikisht të integrueshëm. E së fundi janë studiuar
martingalet asimptotike të funksioneve statistikisht të integrushëm sipas Bochner-it,
vetitë e tyre dhe disa teorema konvergjence.
Fjalë çelës: martingale, konvergjencë statistikore, statistikisht Bochner i integrueshëm,
statistikisht Pettis i integrueshëm, amart
Abstract.
Martingales and their convergence lie at the center of our thesis. The result we have
obtained is the extension of convergence concept for martingales in a wider
convergence which is closer to reality such as statistical convergence of martingales
and its applications. Statistical convergence is used to obtain some convergence
theorems for Banach valued martingales of statistical Bochner and Pettis integrable
functions similarly to those in classical case which are well known for the Bochner and
Pettis integration. We have studied convergence theorems for martingales with values
in Banach spaces with Radon-Nikodym property. The confirmation of this new
extension of martingales it is shown by the example of a martingale that is not
convergent in usual meaning but is convergent by the statistical convergence. Specially
convergence theorems of martingales uniformly statistical integrable functions are
studied. Also asymptotic martingales of statistical Bochner integrable functions
convergence theorems are considered. We study also their properties.
Key words: martingale, statistical convergence, statistical Bochner integrable,
statistical Pettis integrable, amart
iii
Hyrje
Teoria e martingaleve është një nga temat më të rëndësishme të probabilitetit modern.
Ajo luan një rol të rëndësishëm në studimin e proceseve stohastike të cilët janë zbatuar
në shumë degë të ekonomisë. Studimi i teorisë se probabilitetit në hapësirat abstrakte u
mundësua me futjen e teorisë së integrimit në këto hapësira. Kështu pritja matematike
e ndryshoreve të rastit me vlera në hapësirat e Banach-ut u studiua nga Frechet-i [17]
për rastin e integrueshmërisë sipas Bochner-it dhe nga Mourier-i [15] për
integrueshmërinë sipas Pettis-it. Në vitet 1960 teoria e martingaleve të ndryshoreve të
rastit reale ose komplekse, për ndryshoret e rastit me vlera në hapësirat e Banach-ut
është përshtatur nga mjaft autorë.
Studimet e detajuara mbi martingalet u nisën nga Doob-i [42]. Impakti që ato patën në
analizën matematike ende nuk është dobësuar. Pa dyshim që martingalet janë thelbësore
në shumë pjesë të matematikës jashtë teorisë së hapësirave Banach dhe është disi
surprizues fakti që në të shkuarën teoricienët e hapësirave Banach nuk i kanë kushtuar
shumë vëmendje martingaleve. Megjithatë, në vitet e fundit studiuesit kanë filluar të
përdorin ndërveprimin frytdhënës e kësaj teorie të hapësirave Banach dhe teorisë së
martingaleve, një ndërveprim që ka filluar të tregojë përfitimet e veta.
Tema e konvergjencës së martingaleve të funksioneve me vlera në një hapësirë të
Banach-ut është trajtuar së pari nga Scalora [38] dhe Chatterji [36], [37], të cilët, në
mënyrë të pavarur nga njëri- tjetri treguan se martingalet e funksioneve me vlera në një
hapësirë reflektive të Banach-ut u binden afërsisht të njëjtave teorema themelore të
konvergjencës së martingaleve të funksioneve me vlera reale dhe komplekse. Disa vite
me vonë vërshuan punimet që rezultuan gur themeli për lidhjen midis teoremës se
Radon-Nikodym-it dhe teoremave mbi konvergjencën e martingaleve. Ndër punimet
më të njohura në këtë drejtim ishte padyshim punimi i Chatterji [31], të tjera punime që
trajtuan këtë lidhje të martingaleve me teoremën e Radon-Nikodym-it ishin dhe
punimet e Metivier-it [39] dhe Uhl-it [40], [41]. Në vitet e fundit mund të përmendim
punimet e Marraffa-s [19, 20] për martingalet e funksioneve Pettis dhe McShane të
integrueshëm. Ndërsa, ndër autorët që kanë prezantuar punimet më të njohura mbi
martingalet asimptotike janë Uhl-i [32, 40], Chacon-i dhe Sucheston-i [28] dhe Egghe-
si [33].
Nga ana tjetër, konvergjenca statistikore ka qenë një ndër temat e lëvruara nga autorë
të ndryshëm, sigurisht në fusha të ndryshme të matematikës ndër të cilat përmendim:
teorinë e masës [21], seritë trigonometrike [29], teoria e përafrimit, hapësirat lokalisht
konvekse, në bashkësinë e funksioneve aditivë të fundmë, sistemet ergodike [1] dhe në
hapësirat e Banach-ut [2], [16], etj.
Në këtë punim doktorature është arritur të shtrihen me sukses nga ana jonë e disa
teoremave të konvergjencës së martingaleve dhe martingaleve asimptotike (amartet)
kryesisht me vlera në hapësirën e Banach-ut nga konvergjencën e zakonshme e
martingaleve në një konvergjencë më të përgjithëshme, siç është konvergjenca
statistikore.
Siç dihet nga literatura, një varg ndryshoresh rasti të integrueshme nf , të adaptuara
në lidhje me n ,n NF në hapësirën probabilitare , , , të cilën do e shënojmë
( , , )nnf nF , është një martingale, në qoftë se dhe vetem në qoftë se,
iv
A An mf d f d për m n dhe mAF . Përveç konvergjencës së martingaleve,
kemi përgjithësuar edhe klasën e funksioneve Bochner të integrueshëm me atë të
funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm.
Në hyrje të kapitullit të parë trajtohen koncepte dhe rezultate të cilat do të përdoren
në vazhdim të punimit. Në një çështje të veçantë trajtohen vetitë e pritjes matematike
statistikore me kusht e funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm. Më tej
provohen teorema konvergjence për martingalet e funksioneve statistikisht Bochner të
integrueshëm, në hapësirat e Banach-ut, që konvergjojnë pothuajse kudo si dhe jepet
shembulli i një funksioni statistikisht të integrueshëm i cili nuk është i integrueshëm.
Kryesisht në këtë kapitull studiohen teoremat e konvergjencave statistikore sipas
normës dhe ato pothuajse kudo të martingaleve. Gjithashtu kemi vërtetuar një teoremë
Banach për operatorët, tek e cila mbështetemi për vërtetimin e disa prej teoremave të
konvergjencës që kemi marrë në studim, bazuar në faktin se pritja matematike
statistikore me kusht është operator linear. Në çështjen e fundit të këtij kapitulli
trajtohen disa teorema të konvergjencës së martingaleve me vlera në hapësira të
Banach-ut që gëzojnë vetinë e Radon-Nikodym-it.
Në kapitullin e dytë trajtohen martingalet e funksioneve statistikisht Pettis të
integrueshëm. Në fillim studiohen vetitë e pritjes matematike me kusht të funksioneve
statistikisht të dobët. Me pas shqyrtohen teorema konvergjence për martingalet e
funksioneve statistikisht të integrueshëm sipas Pettis-it si dhe në një çështje të veçantë
shqyrtohen martingalet uniformisht të integrueshme. Gjithashtu në këtë kapitull jepet
shembulli i një martingale që konvergjon statistikisht, por nuk konvergjon në mënyrë
të zakonshme. Në këtë kapitull janë provuar se disa rezultate të Uhl-it [27] për
martingalet e funksioneve Pettis të integrueshëm mund të përshtaten edhe për
martingalet e funksioneve st-Pettis të integrueshëm. Në veçanti është provuar se një
martingale e mbyllur është statistikisht konvergjente sipas normës Pettis që kemi
ndërtuar. Në çështjen e fundit të këtij kapitulli janë trajtuar teorema të konvergjencës
se martingaleve me vlera në hapësira të Banach-ut që gëzojnë vetinë e dobët të Radon-
Nikodym-it.
Në kapitullin e tretë trajtohen martingalet asimptotike (amartet) të funksioneve
statistikisht të integrueshëm sipas Bochner-it gjithashtu me vlera në hapësirën e
Banach-ut. Fillimisht shqyrtohen veti themelore të amarteve të funksioneve statistikisht
të integrueshëm, e me pas, kalohet në teoremat e konvergjencës për to. Ne jemi
munduar të vërtetojmë një teoremë të tipit Vitali-Hahn-Saks tek e cila mbështetemi për
vërtetimin e teoremave të konvergjencës së martingaleve asimptotike. Përgjithësisht
janë shqyrtuar rastet e konvergjencave statistikore pothuajse kudo të amarteve.
Kryesisht është bërë shtrirja për rastin e martingaleve asimptotike të funksioneve
statistikisht Bochner të integrueshëm të disa rezultateve të njohura për këto martingale
të funksioneve Bochner të integrueshëm.
1
KAPITULLI 1
MARTINGALET E FUNKSIONEVE STATISTIKISHT BOCHNER
TË INTEGRUESHËM
Martingalet e funksioneve vektoriale fillimisht u trajtuan në punimet e Dunford-it dhe
Pettis-it si dhe tek punimet e Phillips-it. Në fillimet e viteve 1960 teoria e martingaleve
të ndryshoreve reale ose komplekse u shtri nga autorë të ndryshëm në ndryshoret me
vlera në hapësirat e Banach-ut, psh nga Scalora [38], Chatterji [36], A. Ionescu-Tulcea
and C. Ionescu-Tulcea [43], etj. Disa vite më vonë Chatterji [37] tregoi se shtrirja mund
të bëhej edhe për ndryshoret me vlera në hapësirat reflektive të Banach-ut. Në punimet
që pasuan u shqytrua edhe lidhja midis konvergjencës së martingaleve dhe vetisë së
Radon-Nikodym-it.
Duke futur konceptin e ri të konvergjencës statistikore të martingaleve, në këtë kapitull,
ne bëjmë shtrirjen për rastin e konvergjencës statistikore të disa rezultateve të paraqitura
tek Chatterji [31, 36] dhe disa të rezultateve të paraqitura tek Uhl dhe Diestel [6] për
rastin e martingaleve të funksioneve Bochner të integrueshëm duke i zëvendësuar këto
funksione me funksione statistikisht të integrueshëm sipas Bochner në hapësirat e
Banach. Gjë e cila bën të mundur përgjithësimin e tyre për një klasë më të gjerë
funksionesh si ajo e funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm. Kryesisht
rezultatet e marra në këto teorema konvergjence konsistojnë në konvergjencën
statistikore sipas normës dhe konvergjencën statistikisht pothuajse kudo të
martingaleve. E më pas jepen disa rezultate në lidhje me konvergjencën stastistikore të
martingaleve të funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm dhe vetinë e Radon-
Nikodym.
1.1 Përkufizime dhe kuptime bazë
Terminologjia e përdorur në lidhje me konvergjencën statistikore është adaptuar nga
ajo më e përhapura që vihet re tek [10], [11], [12], [24], [25] dhe [3].
Le të jetë A një nënbashkësi e bashkësisë së renditur me densitet:
| |( ) lim n
n
AA
n , ku An = {k < n ; kA}
dhe me |A| shënojmë kardinalin e bashkësisë A. Duket qartë se bashkësitë e fundme
kanë densitet zero dhe δ(A)= 1-δ(A) ku A'= \ A. Nëse P(k)={k ; kA} dhe δ(A)=1,
pra thuhet se P përmban pothuajse të gjitha k, shkurt p.p.gj.k.
Vargu x është statistikisht konvergjent tek një element L, i një hapësire vektoriale të
normuar në qoftë se për çdo ε >0
1
lim | : ||x || | 0n kk n Ln
2
Pra, ||x ||k L p.p.gj.k.
Në këtë rast mund të shkruajmë lim kst x L .
Vargu x është varg statistikisht Cauchy (Koshi), në qoftë se për çdo 0 , ekziston
një numër ( )N N i tillë që
x xk N p.p.gj.k.
Le të kemi një varg { }k
f , termat e të cilit janë funksione me vlera në një hapësirë
vektoriale. Për çdo x nga bashkësia e përcaktimit merret vargu i vektorëve ( )kf x . Le
të jetë S bashkësia e atyre x -ve, ku ( )kf x konvergjon. Funksioni f i përcaktuar si
( ) lim ( )k kf x f x ; xS
quhet funksion limit i vargut { }k
f , pra vargu { }k
f konvergjon në mënyrë pikësore tek
f në S.
Kjo do të thotë se, për çdo xS dhe për çdo ε > 0, ekziston N (e varur nga x dhe ε) e
tillë që
k > N sjell || ( ) ( ) ||k
f x f x .
Përkufizim 1.1.1 Vargu i funksioneve { ( )}k
f x konvergjon statistikisht në mënyrë
pikësore tek f në një bashkësi S, në qoftë se për çdo > 0
1
lim |{ : || ( ) ( ) || , }| 0kn
k n f x f x x Sn
,
pra, për çdo xS,
|| ( ) ( ) ||k
f x f x
pothuajse për të gjitha k-të.
Në këtë rast shkruajmë lim ( ) ( )k
st f x f x ose st
kf f në S.
Pra, për çdo δ > 0, ekziston një N(natyror)
1lim |{ : || ( ) ( ) || , }|kn
k n f x f x x Sn
(1)
për çdo n>N = (N(ε,δ,x)) dhe për çdo ε>0.
Duket qartë se, nëse mosbarazimi (1) ka kuptim për një numër të fundëm k , atëherë
lim ( ) ( )k kf x f x
në S dhe prej këndej rrjedh se kur ky limit ekziston, do të thotë se ekziston
3
st lim ( ) ( )k kf x f x .
E anasjellta nuk është e vërtetë siç tregon shembulli i mëposhtëm: ku kx është një varg
shumë i njohur i ndërtuar në mënyrë të tillë
2
20k
x kur k=mx
kur k m
k=1,2,... . Ky varg është divergjent në kuptimin e zakonshëm, por konvergjon në zero
në mënyrë statistikore.
Përkufizim 1.1.2 Vargu i funksioneve është statistikisht Cauchy (Koshi) në
qoftë se për çdo , gjendet një numër i tillë që për ( )n N
.
Duke patur parasysh një rezultat të Salat [22] në të cilin ai përcakton se vargu ( nx )
është statistikisht konvergjent tek L, atëherë dhe vetëm atëherë kur ekziston një
bashkësi
K = {n1< n2< . . . }
e tillë që (K) = 1 dhe kn
nlim x L
.
Duket qartë që bashkësia K është plotësisht e renditur. Vargun e ri knx e quajmë
nënvargesencial të vargut ( nx ) dhe pohimi i Salat mund të riformulohet:
Vargu ( nx ) është statistikisht konvergjent tek numri L, atëherë dhe vetëm atëherë kur
në të gjendet nënvargu esencial knx që konvergjon në mënyrë të zakonshme tek L.
Këtë fakt do ta shënojmë lim nK
x L .
Në këtë mënyrë, përkufizimet e mësipërme mund të përdoren edhe në formulimin e
mëposhtëm:
Vargu { nf x }, ku :S Xnf (X një hapësirë vektoriale e normuar) është statistikisht
konvergjent tek funksioni f x , atëherë dhe vetëm atëherë kur gjendet nënvargu i tij
esencial ( )knf konvergjent tek f x .
Në vijim (S,∑,μ) është një hapësirë e masës probabilitare, S një bashkësi çfarëdo
sigma algjebra e Borelit.
Përkufizim 1.1.3 Një funksion : S Xf , ku X është një hapësirë vektoriale e
normuar quhet funksion i thjeshtë sipas μ, në qoftë se për një varg bashkësish të
matshme {Ei}, ku Ei S, Ei Ej = për ij, S = 1
n
iiE
dhe if s x për s Ei,
{ ( )}kf x
0 ( )N N
( ) ( )k Nf x f x
4
, , ... , ,i n 1 2 ai paraqitet në trajtën 1 i
n
i Eif x
, ku
iE është funksioni
karakteristik i Ei.
Përkufizim 1.1.4 Le të kemi një varg funksionesh të thjeshtë me vlera reale
:nf S . Funksioni :f S quhet statistikisht i matshëm sipas në bashkësinë
S, në qoftë se për çdo >0 dhe për çdo >0 ekziston N natyror e N(, ) që
1
|{ : | ( ) ( ) | }|kk n f s f sn
për n>N(,).
Përkufizim 1.1.5 Funksioni :f S X quhet statistikisht i matshëm fortësisht sipas
μ në bashkësinë S në qoftë se gjendet një varg funksionesh të thjeshtë ( )nf T(μ,X) i
tillë që për çdo s S në dhe për çdo 0 :
1lim |{ : || ( ) ( ) || , }| 0kn
k n f s f s s Sn
. (2)
pothuajse kudo sipas μ në bashkësinë S.
Pohim 1.1.6 Kombinimi linear i funksioneve statistikisht të matshme fortësisht është
funksion statistikisht i matshëm.
Përkufizim 1.1.7 Vargu { ( )}nf x është statistikisht konvergjent pothuajse kudo tek
f x në S, në qoftë se ekziston një nënvarg esencial { ( )}knf x i cili të konvergjojë
pothuajse kudo tek ( )f x .
Përkufizim 1.1.8 Vargu i funksioneve të matshëm fort { nf } në S me vlera në hapësirën
separabël të Banach-ut X quhet statistikisht konvergjent sipas masës tek funksioni
f s në qoftë se për çdo 0 dhe 0 gjendet një nënvarg esencial { (s)}knf
i
vargut { (s)}nf që
{ :|| ( ) ( ) || }kns f s f s
ose,
lim : s (s)kK
ns f f 0 .
E shënojmë ( ) ( )st
nf s f s
.
Përkufizim 1.1.9 Vargu i funksioneve fortësisht të matshëm { (s)}nf me vlera në
hapësirën separabël të Banach-ut X quhet statistikisht themelor sipas masës në një
nënbashkësi AX, në qoftë se gjendet një numër N(, s) dhe një nënvarg esencial
5
{ (s)}knf
i tillë që për çdo >0
lim { :|| ( ) ( ) || } 0k N
Kns f s f s
.
Përkufizim 1.1.10 Funksioni :f S X quhet uniformisht statistikisht i matshëm
fortësisht sipas μ në bashkësinë S, në qoftë se për çdo > 0 dhe për çdo > 0 ekziston
N natyrore N(, ) që
1|{ : || ( ) ( ) || }|kk n f s f s
n
për n> N(, ) dhe pothuajse për çdo sS. Në këtë rast thuhet se vargu konvergjon
statistikisht pothuajse uniformisht sipas μ tek funksioni f me bashkësinë S.
Teoremë 1.1.11 (Teorema Egorov) [4]
Në qoftë se funksioni :f S X është st -i matshëm fortësisht sipas μ, atëherë funksioni
f është st-i matshëm fortësisht uniformisht sipas μ pothuajse kudo në S.
Përkufizim 1.1.12 Funksioni :f S X është statistikisht i matshëm dobët në qoftë
se funksioni skalar x* f është statistikisht i matshëm për çdo funksion x* nga hapësira
duale X*.
Teoremë 1.1.13 (Pettis) [5] Le të jetë X një hapësirë e Banach-ut. Funksioni :f S X
është statistikisht i matshëm fortësisht atëherë dhe vetëm atëherë kur plotësohen dy
kushtet e mëposhtme
1) Funksioni f është me vlera separabël pothuajse kudo sipas .
2) Funksioni f është statistikisht i matshëm dobët.
Pohim 1.1.14 Në qoftë se X është një hapësirë e Banach-ut separabël, atëherë
:f S X është statistikisht i matshëm fortësisht atëherë dhe vetëm atëherë kur
funksioni f është statistikisht i matshëm dobët.
Përkufizim 1.1.15 Një familje H funksionesh të integrueshme është uniformisht e
integrueshme nëqoftëse
për çdo .
1.2 Pritja matematike statistikore me kusht, veti të saj
Studimi i teorisë së probabilitetit në hapësirat abstrakte u mundësua me futjen e teorisë
së integrimit në këto hapësira. Kështu, pritja matematike e ndryshoreve të rastit me
vlera në hapësirat e Banach u studiua nga Frechet-i [17] për rastin e integrueshmërisë
sipas Bochner-it (Bohner) dhe nga Mourier-i [15] për integrueshmërinë sipas Pettis-it.
(E) 0lim 0
E
h d
h H
6
Në këtë çështje do të shqyrtojmë pritjen matematike statistikore me kusht të
funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm.
Përkufizim 1.2.1 [4] Funksioni :f S X quhet funksion statistikisht i integrueshëm
sipas Bochner (Bohner) në qoftë se gjendet një varg funksionesh të thjeshtë
statistikisht Cauchy (Koshi) { }k
f i tillë që
i) konvergjon statistikisht pothuajse kudo sipas tek funksioni f
ii) lim || ( ) ( ) || 0k Nk
S
st f s f s d pothuajse kudo
lim ( )nSn
st f s d
quhet st-integrali i Bochnerit (Bohnerit) dhe shënohet me (Bs) ( )S
f x d .
Bashkësia e funksioneve statistikisht të integrueshëm sipas Bochner-it (Bohner) është
hapësirë lineare dhe e shënojmë me ' ( , )pL X .
Disa nga vetitë e integralit statistikor të Bochner-it (Bohner)[4] po i paraqesim si vijon:
Teorema 1.2.2 Në qoftë se f është statistikisht i integrueshëm atëherë f është i
integrueshëm.
Barazimi
lim ( ) nn
S S
st f d Bs f d ,
ku ( )f s është vargu i funksioneve të thjeshtë përcaktues për funksionin f dhe vetitë
e njohura të integralit të Bochner-it (Bohner) në rastin klasik kanë vend vetitë e
mëposhtme:
(I) (Bs) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )S S S
f s g s d Bs f s d Bs g s d .
(II) Në qoftë se A=A1 A2 dhe A1A2= dhe ( ( )nf s ) një varg funksionesh të thjeshtë
përcaktues të funksionit ( )f s atëherë duke shënuari
k
n n Af f i=1,2 ka vend barazimi
1 2
( ) ( ) ( )n n n
A A A
f s d f s d f s d .
Duke kaluar në limitin statistikor marrim
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A
Bs f s d Bs f s d Bs f s d ,
(III) ( ) || || ( ) || ||S S
Bs fd Bs f d .
Kjo veti rrjedh nga mosbarazimi për funksionet e thjeshtë
7
|| || || ||k k
S S
f d f d
(IV) Duke zbatuar vetinë (III) për funksione statistikisht të kufizuar, ku (s)f K
p.p.gj.k, do të kemi:
( ) || || ( ) || || ( )S S
Bs f d Bs f d K S .
Duke marrë një nënbashkësi C të S që ( )CK
për çdo >0 do të kemi:
( ) || ||C
Bs f d .
(V) Duke u nisur nga mosbarazimi për funksionet e thjeshtë k k
f g p.p.gj.k
marrim:
|| || || ||k k
S S
f d g d p.p.gj.k.
Duke zbatuar vetinë izotonisë, do të kemi:
( ) || || ( ) || ||S S
Bs f d Bs g d .
(VI) Në qoftë se A1 dhe A2 bëjnë pjesë në dhe A1A2 atëherë
1 2
( ) || || ( ) || ||A A
Bs f d Bs f d .
(VII) Le të jenë f dhe k
f funksione të integrueshme dhe për çdo > 0 kemi
kf f në bashkësinë A dhe A , atëherë nga vetia (V):
( ) || || ( ) || || ( )k k
A A
Bs f f d Bs f f d A
që nga rrjedh se për çdo dhe A:
1
:|| || ( ) || ||k k
A
x f f Bs f f d
.
Teorema 1.2.3 [5] Le të jetë (S, , ) një hapësirë e masës pozitive, është e fundme
dhe një varg { nf }, ku nf : S X janë uniformisht të integrueshëm. Në qoftë se
a) lim𝐾
𝑓𝑛 = 𝑓,
b) || (x)f || < ,
8
atëherë kanë vend pohimet:
1. f L1(),
2. || || 0n
E
Bs f f d .
Lema 1.2.4 (Fatou)[4] Le të jetë { nf x } një varg funksionesh statistikisht të
matshëm fortësisht nga S tek X, atëherë për çdo AS ka vend mosbarazimi
liminf || || liminf || ||n n
A A
st f d st f d
Përkufizim 1.2.5 Le të jetë F një nën- -fushë e dhe 1( , )f L X . Një element
g nga 1( , )L X quhet pritje matematike statistikore me kusht e f në lidhje me F
në qoftë se g është statistikisht F - e matshme dhe
E E
st g d st f d për të gjitha EF .
Kështu ( | )g E f F .
Lema 1.2.6 Në qoftë se është një funksion statistikisht i matshëm me vlera të fundme i
Ω në X, atëherë
( ) ( | )( )A A
st f d st E f d F për çdo AF .
Vërtetim
1
1
( | )( ) ( | )( )
( | )( )
( )
j
j
k
jjA A
k
jj A
A
A
A
st E f d st E d
st E d
st f d
F F
F
ku integrali është në sensin e zakonshëm.
Lema 1.2.7 Në qoftë se f është një funksion statistikisht i matshëm me vlera të
fundme i Ω në X, atëherë ( | ) ( | )E f E fF F statistikisht pothuajse kudo.
Vërtetim Meqënëse
1
1
( | )( ) ( | )( )
( | )( )
j
j
k
jj
k
jj
A
A
E f E
E
F F
F
për 1 0.jA ose
( | )( )E f F pothuajse kudo.
9
Lema 1.2.8 Në qoftë se 1,..., kf f janë funksione statistikisht të matshëm me vlera të
fundme dhe 1,..., ka a janë skalare, atëherë
1 1 1
( ... | )( ) ( | )( )k
j jk k jE a f a f a E f
F F .
Vërtetim Le të jetë
{ }: m 1,..., pm
A
një ndarje e Ω e tillë që çdo jf merr vetëm një vlerë në secilën mA ; në fakt, le të jetë
( ) (A )j j mf për mA .
Atëherë meqë ( | )E f F varet nga f dhe F dhe jo nga ndarja e Ω, e njëjta paraqitje
ka vend për të gjitha ( | )jE f F .
Kështu, 1
( | )( ) (A ) ( | )( )m
p
j j mm AE f E
F F .
Atëherë:
1
1 1 1 11
1 1( ) ( | )( ) ...
( ... | )( ) [ ( ) ... (A )] ( | )( )
m
m
m A
p
m m Ak k k km
p
m
k
A E
E a f a f a A a E
a
a
F
F F
1
1
(A ) ( | )( )
( | )( )
m
p
m Akm
k
j jj
E
a E f
F
F
Teorema 1.2.9 Në qoftë se nf janë statistikisht Bochner (Bohner) të integrueshëm për
të gjitha n dhe
,lim 0n m S
n mst f f d
,
atëherë gjendet një element statistikisht Bochner (Bohner) i integrueshëm
lim 0n S
nst f f d
.
Në qoftë se g ka të njëjtën veti atëherë f g pothuajse kudo. Atëherë ka vend
barazimi
limn S S
nst f d st f d .
Vërtetim Vërtetimi i kësaj teoreme rrjedh menjëherë nga teoremat 9 [4] dhe teorema
12[4] dhe nga vetitë e funksioneve statistikisht Bochner (Bohner) të integrueshëm.
Teorema 1.2.10 Le të jetë :f X statistikisht i integrueshëm sipas Bochner-it
(Bohner) dhe F një fushë e Borelit e bashkësive të matshme të Ω. Atëherë gjendet një
funksion
( | )(.) : XE f F ,
10
i cili është statistikisht Bochner (Bohner) i integrueshëm, fortësisht i matshëm në lidhje
me F , i vetëm p.k., dhe
( ) ( | )( )A A
st f d st E f d F
për të gjitha AF .
Vërtetim Le të jetë f funksion statistikisht fortësisht i matshëm dhe i integrueshëm
sipas Bochner (Bohner). Atëherë ekziston një varg nf funksionesh të matshëm me vlera
të fundme të tillë që ( ) ( )nf f ;
0mnst f f d
kur ,n m ;
dhe nst f d st f d
.
Tani ( | )nE f F është e përkufizuar për të gjitha nf nga përkufizimi 1.2.5. Gjithashtu,
kemi
( | ) ( | ) ( | )
( | )
0
m m
m
n n
n
n m
st E f E f d st E f f d
st E f f d
st f f d
F F F
F
nga vetia e venf , kur , 0n m .
Kështu nga teorema 1.2.9 ekziston një funksion y, i cili është statistikisht Bochner
(Bohner) i integrueshëm, fortësisht i matshëm në lidhje me F , i vetëm pothuajse kudo
dhe i tillë që:
( | ) 0nst E f y d kur n
F . (3)
Atëherë:
( | ) ( | )
( | ) nga lema 1.2.6
A A
n nA A A A
nA A A
n
y d f d
y d E f d E f d f d
y E f d f d f d
F F
F
0 kur n nga (3) më sipër dhe nga përkufizimi i A
st f d . Kështu
yA A
st d st f d
për të gjitha AF .
Tani mund të quajmë (.)y pritjen matematike e fortë statistikore me kusht të ësf
në lidhje me F dhe për këtë do përdorim simbolin ( | )(.)E f F .
11
Lema 1.2.11 Le të jetë F një nën- fushë e . Atëherë ( | )E f F ekziston për
çdo 1( )f L ( 1' ( , )L R ). Në fakt, në qoftë se ' ( )pf L (1 p ), atëherë
( | ) ' 'p pE f fF .
Rrjedhimisht ( | )E F është projeksion linear kontraktiv në ' ( )pL ,1 p .
Vërtetim Le të jetë 1' ( )f L dhe përcaktojmë një masë skalare në F nga
(A)A
st f d për AF .
Atëherë, është dukshëm një masë F - e vazhdueshme e fundme. Nga teorema e
Radon-Nikodym, gjendet 1' ( )g L , F - statistikisht e matshme e tillë që
(A)A
st g d për të gjitha AF .
Nga përkufizimi i kemi se ( | )g E f F . Për më tepër, vërejmë që ky ndërtim tregon
që:
( ( | ) | ) ( | )E E f E fF F F për 1' ( )f L
dhe që ( | )E F është një projeksion linear rangu i të cilit përputhet me atë të
funksioneve F - të matshëm në 1' ( )L .
Për të përfunduar vërtetimin mbetet të tregojmë se
( | ) ' 'p pE f fF
për f në ' ( )pL .
Si përfundim, vërejmë se ( | )E F pasqyron funksionet jonegative në funksione
jonegative dhe ruan funksionet konstante.
Duke marrë superiorin kemi
( | ) ( | )p p
E f E fF F .
Rrjedhimisht arrijmë në përfundimin se:
( | ) ( | )pp p
st E f d st E f d st f d
F F ,
meqënëse F , prej nga rrjedh se operatori ( | )E F është një kontraksion.
Nga vërtetimi i lemës mund të themi se, në qoftë se X ka vetinë Radon-Nikodym-it,
afërsisht i njëjti vërtetim do të kishte kuptim me ' ( , )pL X duke zëvendësuar ' ( )pL .
Edhe në qoftë se X nuk e ka vetinë Radon-Nikodym-it, konkluzioni i lemës mund të
përshtatet nga konteksti i ' ( )pL në kontekstin e ' ( , )pL X .
12
Teorema 1.2.12 Le të jetë F një nën- -fushë e , atëherë ( | )E f F ekziston për
çdo 1' ( , )f L X . Në fakt në qoftë se ' ( , )pf L X (1 p ), atëherë
( | ) ' 'p pE f fF .
Rrjedhimisht ( | )E F është një projeksion linear kontraktiv në ' ( , )pL X , 1 p .
Vërtetim Le të jetë
1 i
n
i Eif x
ku ,i ix X E ,
dhe i jE E për i j funksion i thjeshtë në ' ( , )pL X . Shënojmë ( | )E f F me
1( | ) ( | )
i
n
i EiE f x E
F F
ku ( | )EE F është pritja matematike statistikore me kusht e ' ( , )E pL R ekzistenca
e të cilës sigurohet nga lema 1.2.11.
Një kontroll i thjeshtë tregon se ( | )E F është qartësisht i përcaktuar dhe është linear
në nënbashkësinë e dendur të funksioneve të thjeshtë në ' ( , )pL X .
Për më tepër, në qoftë se f është si më sipër, atëherë
11
1
1
1
( | ) ' ( | ) ( | )
|
i
i
p pnp p
p i Ei
p pn
i Ei
E f st E f d st x E d
st E x d
F F F
F
1
1
'
i
n
i Eip
p p
p
x nga lema
st f d f
Kështu ( | )E F ka një zgjerim linear kontraktiv në të gjithë ' ( , )pL X , të cilin sërish
e shënojmë me ( | )E F .
Le të shohim tani disa nga vetitë e pritjes matematike statistikore me kusht për
funksionet statistikisht të integrueshëm e cila ka veti të ngjashme me pritjen matematike
me kusht.
Vetia 1.2.13 Në qoftë se 0f , atëherë ( ) 0E f F| statistikisht pothuajse kudo.
Vërtetim Në qoftë se 0f atëherë 0st f d pothuajse kudo.
Vetia 1.2.14 ( | )E f fF statistikisht pothuajse kudo.
13
Meqënëse,
( | )A A
st E f d st f d F për të gjitha AF ,
dhe dhe ( | )f E f F janë statistikisht të matshme ne kemi ( | )E f fF statistikisht
pothuajse kudo.
Vetia 1.2.15 Në qoftë se gf statistikisht pothuajse kudo atëherë
( | ) (g | )E f EF F statistikisht pothuajse kudo.
Vërtetim Për të gjitha AF , kemi
A Ast f d st g d
dhe nga vetia 1.2.13. kemi ( | )E f fF p.k. rrjedhimisht kemi se
( | ) (g | )st E f d st E d F F statistikisht pothuajse kudo.
Kështu, ( | ) ( | )E E gf F F statistikisht pothuajse kudo.
Nga vetia e mësipërme rrjedh që
( | ) ( | )E f E f G G .
Në qoftë se 1G dhe 2
G janë nën algjebra të F atëherë ka vend vetia e mëposhtme:
Vetia 1.2.16 Në qoftë se 1 2G G atëherë 2 1 1( ( | ) | ) ( | )E E f E fG G G statistikisht
pothuajse kudo.
Meqënëse,
2 1 2 1( ( | ) | ) ( | ) për të gjithaA A
st E E f d st E f d A G G G G
dhe meqë 1 2G G kemi:
2 1 2
1 1
( ( | ) | ) ( | )
( | ) për çdo
A A
A
A
st E E f d st E f d
st f d
st E f d A
G G G
G G
Pra, 2 1 1( ( | ) | ) ( | )E E f E fG G G statistikisht pothuajse kudo.
Teorema e konvergjencës monotone dhe fakti se seritë jonegative mund të integrohen
term për term kanë analogët e tyre në lidhje me konvergjencën satistikore.
1.3 Disa teorema konvergjence për pritjen matematike statistikore me kusht
Së pari, provojmë për pritjen matematike statistikore me kusht teoremën e
konvergjencës monotone.
14
Teorema 1.3.1
Në qoftë se ng g statistikisht p.k. atëherë ( ) ( )nE g E g F F statistikisht p.k..
Vërtetim
Provojmë se:
1
lim : ( ) ( ) , 0kn
k n E g E g xn
F F
ose që ( ) ( )kE g E g F F .
Meqënëse,
( ) ( ) [( ) ] ( )k k kE g E g E g g g g F F F
por ne kemi që ng g statistikisht p.k. kështu që:
ng g
pra,
( ) ( )nE g E g F F .
Lema 1.3.2
Në qoftë se ng janë funksione statistikisht të matshëm, atëherë
( liminf ) liminf ( )n nE st g st E g F F .
Vërtetim Le të jetë ' infn k n kg g , kemi
.
' ' liminfn nnst
g g st g . Nga teorema e
konvergjencës monotone
'( ) ( ' )n
E g E g F F statistikisht p.k.
Por '
n ng g , kështu kemi që
' '( ' ) lim ( ) liminf ( )
liminf ( )
n nn n
nn
E g st E g st E g
st E g
F F F
F
Pra, ( liminf ) liminf ( )n nE st g st E g F F .
Teorema 1.3.3
Në qoftë se ( ) ( ), , ) , dhe(n ng n E gf f f statistikisht pothuajse kudo
atëherë
( | ) ( | )nE f E f F F , statistikisht pothuajse kudo.
15
Vërtetim Meqënëse n gf dhe ng f janë ndryshore rasti pozitive për të gjitha ën t ,
duke zbatuar lemën Fatou ( Lema 1.3.2) kemi që
[ | ] [ lim ( ) | ]
lim [ | ]n
n
n
E g E st inf g
st inf E g
f f
f
F F
F
dhe
[ | ] [ lim ( ) | ]
lim [ | ].
n
nn
E g E st inf g
st inf E g
f f
f
F F
F
Prej nga marrim se
lim [ | ] [ | ]nn
inf E Est f f
F F
dhe
lim sup [ | ] [ | ]nn
E Est f f
F F .
Teorema 1.3.4 Le të jetë 1' ( , )f L X . Atëherë
lim ( ) ( )nn
st E f E f
F F| | në 1' ( , )L X .
Vërtetim Për çdo 11 nnf L'
F , ( | )nE f F është konstante për ndonjë n , por
11 nnL'
F është e dendur në 1L' F dhe operatorët | nE . F janë kontraksione.
1.4 Konvergjenca statistikore e martingaleve të funksioneve st-Bochner të
integrueshëm
Le të jetë X një hapësirë e Banach-ut dhe ( , , ) një hapësirë e matshme e fundme
dhe ,n n 0F një familje monoton rritëse nën- - fushash të , një filtrim i dhe
( , )nf n 0 një varg ndyshoresh.
Siç dihet nga literatura një proces ( , , )n nf nF quhet martingale nëqoftëse
i) i adaptuar në lidhje me filtrimin { }nF ,
ii) ,
iii) ( | ) ,n n nE f f n 1 F .
Përkufizim 1.4.1 Një proces 0nf f ,n quhet i adaptuar në lidhje me filtrimin
{ }nF në qoftë se për çdo n , nf është statistikisht nF - matshme.
Teorema 1.4.2 Në qoftë se x është statistikisht e matshme fort në lidhje me fushën e
Borel-it F të bashkësive të matshme dhe statistikisht Bochner (Bohner) të
( : 0)nf n
( ) < , nE f n
16
integrueshme dhe të tilla që ( ) 0A
st x d për çdo bashkësi A në F , atëherë
( ) 0x pothuajse kudo.
Teorema 1.4.3 ( , , )nnf nF është një martingale funksionesh statistikisht Bochner
(Bohner) të integrueshëm në qoftë se dhe vetëm në qoftë se
A An mst f d st f d për m n dhe mAF .
Vërtetim Në qoftë se ( , , )nnf nF është një martingale, atëherë ( | )mn mE f fF .
Kështu për çdo A në mF kemi
( | )mA A A
m n nst f d st E f d st f d F ,
ku barazimi i fundit rrjedh nga përkufizimi i pritjes matematike statistikore me kusht.
Anasjellas, në qoftë se
A An mst f d st f d për m n dhe mAF ,
atëherë
( | )mA A
n mst E f d st f d F .
Prandaj, ( | )mn mE f fF nga teorema 1.4.2, kështu procesi është martingale.
Është e qartë se është normë (gjysmë-normë) në hapësirën e
funksioneve statistikisht të integrueshëm sipas Bochner-it (Bohner) e cila është hapësirë
lineare dhe e kemi shënuar me ' ( , )pL X . E shënojmë normën me simbolin pf ' .
Ne provojmë që në të njëjtën mënyrë si është treguar në [4] për
hapësirën L1.
Shembull. Marrim në konsideratë vargun funksional të përcaktuar si më poshtë:
1
( 1) ( ) për [3 ,3 [,s 1,2,...( )
0 për ndryshe
k
p p
k
s sk x k sf x
Në qoftë se ne marrim x \[-1,1] , k=1,2,... atëherë
1
1 s(s 1)|{ : ( ) 0 nqs x \[ 1,1] |
3k s
fk n x Rn
.
Kështu, ne kemi që lim ( ) 0kst f x ose \[ 1,1]
| ( ) | 0pk
RBs f x d
.
1/
lim | ( ) |
p
p
nE
st f x
( , ) ' ( , )p pL X L X
17
Në anën tjetër, integrali i zakonshëm është i pacaktuar
1
1
1 1| (k 1) ( ) | ( 1) | | ( 1)
kB B
p p p k kx dx k x dx B .
Ky shembull na tregon se kemi funksione që janë statistikisht Bochner të integrueshëm,
por që nuk janë të integueshëm sipas Bochner-it.
Le të jetë një hapësirë e Banach-ut dhe një hapësirë e matshme e
fundme, ( )n ,n F një familje monotone rritëse nën- -fushash të .
Përkufizim 1.4.4 Një martingale ( , , )n nf nF është statistikisht konvergjente sipas
normës në ' ( , )pL X në qoftë se ekziston e tillë që
'1lim |{ :|| ( ) ( ) || , }| 0
k pn
k n f x f x x Xn
.
Meqënëse ( , , )n nf nF është martingale statistikisht konvergjente në (
) kemi që në qoftë se nnE F , atëherë ekziston limiti
Për këtë le të jetë nnE F . Meqënëse (familja) ( , )n nF është varg monoton
rritës i nën -- fushave të , gjendet një n0 e tillë që E nF për n n0.
Rrjedhimisht për n n0 kemi:
0 0( | )n n
E E E
n nf d E f B d f d
,
ku vargu n
E
f d është konstant dhe statistikisht konvergjent tek funksioni F(E).
Pohim 1.4.5 Në qoftë se n nf , ,nF dhe n ng , ,nF janë martingale
statistikisht konvergjente në '
1( , )L X atëherë dhe shuma nn nf g , ,n F është
martingale statistikisht konvergjente.
Vërtetim Meqë n nf , ,nF dhe n ng , ,nF janë martingale statistikisht
konvergjente ekzistojnë '
1,f g L të tilla që
'
1
1lim { : ( ) ( ) , } 0kn
k n f x f x x Xn
( , )X · ( , , )
' ( , )pf L X
' ( , )pL X
1 p
( )limn nE
st F Ef d
18
dhe
'
1
1lim { : ( ) ( ) , } 0kn
k n g x g x x Xn
.
Së pari duhet të tregojmë se n n nf g , ,n F është martingale.
Kështu, nga lineariteti i pritjes matematike statistikore me kusht kemi që:
+ | | |m m mn n n nE f g E f E g F F F
dhe meqë n nf , ,nF dhe n ng , ,nF janë martingale
| |m m mn n mE f E g f g F F
kështu |n m mn mE f g f g F .
Për të provuar që:
'
1
1lim { : ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , } 0k kn
k n f x g x f x g x x Xn
,
është e mjaftueshme të provojmë se
'
1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))k kf x g x f x g x .
Meqë
' '
1 1
' '
1 1
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( ) .2 2
k k k k
k k
f x g x f x g x f x f x g x g x
f x f x g x g x
Në teoremat në vijim bejmë shtrirjen për rastin e konvergjencës statistikore të disa
rezultateve të paraqitura tek [31, 36] në hapësirën e Banach-ut.
Teorema 1.4.6 [18] Le të jetë ( , , 1)nnf n F një martingale funksionesh statistikisht
Bochner integrueshëm te tillë që ( | )nnf E f F , 1n , ku ' ( , , ) pf L ,
1 p . Atëherë
'lim 0
pnnst f f ,
ku ( )f E f F dhe fusha e Borel-it e gjeneruar nga nn F F .
Vërtetim Le të jetë 0
1
n
n
F F . Qartësisht 0F është fushë. Për ' ( , , ),pf L F
1 p , le të jetë
( | )n nT f E f F ,
n m
19
{ , 1}nT n është varg operatorësh linear të kufizuar në hapësirën e Banach-ut
' ( , , )pL F . Në qoftë se ( ) ( )Ff a ku 0,a X F F . Atëherë meqënëse për
ndonjë , NN FF , rrjedh që
,nT f f n N .
Kështu,
lim ' 0n pn
st T f f . (1)
Prandaj (1) ka kuptim për të gjitha funksionet e thjeshta f të matshme në lidhje me
0F . Meqënëse funksione të tilla janë të dendur në ' ( , , )pL F dhe 1nT ,
mosbarazimi:
' ' ' '
' 2 '
n p n p n n p p
n p p
T f f T g g T f T g g f
T g g g f
menjëherë vendos validitetin e (1) për çdo ' ( , , )pf L F . Tani për çdo
' ( , , )pf L F , ( | ) ' ( , , )pE f L F F dhe ( | )n nT f T E f F .
Ky përfundim së bashku me argumentin e mëparshëm vërteton teoremën.
Teorema 1.4.7 [18] Le të jetë ( , , 1)nnf nF një martingale funksionesh statistikish
Bochner (Bohner) të integrueshëm, le të jetë 1 ' ( , , )pf L , 1 p . Atëherë
lim ' 0n pn
st f f
ku 1( | )f E f F dhe nn F F .
Vërtetim Vërtetimi i teoremës është i ngjashëm me vërtetimin e teoremës 1.4.6.
Shënojmë ( | )n nT f E f F , për 1n , dhe 1' ( , , )pf L F . Duke përdorur
teoremat klasike të konvergjencës se martingaleve provojmë supozimin e teoremës për
f të formës F a ku 1F F . Për të përfunduar vërtetimin mjafton të ndjekim të
njëjtën rrugë si në teoremën 1.4.6.
Lema 1.4.8 [18] Le të jetë , 1nT n dhe T operator linear i kufizuar që pasqyron
hapësirën Banach Y në veten e vetë dhe e tillë që
i) lim nn
st T f Tf
për të gjitha f Y dhe
ii) min( , )m n m nT T T
Le të jetë nf Y e tillë që 1n nnT f f dhe që gjendet një nënvarg knf statistikisht
konvergjent dobët tek f . Atëherë limn
nst f f
.
20
Vërtetim Nga kushtet e lemës, kemi që
min( , )m n m nT f f (4).
Gjithashtu m mknT f T f kur k për çdo m . Për k mjaft të mëdha për shkak të
(4), m kn mT f f dhe kështu m mT f f .
Nga kushti (i) i lemës lim mm
st T f Tf
, kështu rrjedh se limm
mst f f
.
Teorema 1.4.9 [18] Le të jetë X një hapësirë e Banach-ut reflektive dhe le të jetë
( , , 1)nnf n F një martingale funksionesh me vlera në X statistikisht Bochner
(Bohner) të integrueshëm e tillë që
' ( , , )pnf L F , 1n , 1 p dhe 'pnf C .
Atëherë, ekziston ' ( , , )pf L i tillë që
lim ' 0pn
nst f f
dhe ( | )n nf E f F .
Vërtetim Le të jetë fusha e Borel-it e gjeneruar nga nn F F , ( | )n nT f E f F ,
1n për ' ( , , )pf L F .
Së pari, konsiderojmë rastin 1 p . X është reflektive, ' ( , , , )pL X F është
gjithashtu reflektive dhe kështu bashkësia e kufizuar { }nf ka një nënvarg që konvergjon
dobët tek elementi f i ' ( , , , )pL X F . Kështu në rastin 1 p , , 1nT n ,
operatori identik I, I f f dhe , 1nf n plotësojnë të gjitha kushtet e lemës 1.4.8,
(për të treguar këtë nisemi nga fakti që ( , , )nnf n 1 F është martingale dhe që ka vend
teorema 1.4.6.). Kështu, pohimi në teoremë për 1 p rrjedh menjëherë nga lema
1.4.8.
Rasti 1p tregohet në mënyrë të ngjashme.
Teorema 1.4.10 (Teorema Banach) Le të jetë (S, n, , ) një hapësirë e matshme -
e fundme. Le të jenë A1 A2 … bashkësi të panumerueshme dhe për çdo n A1. Le
të jetë Tn= E (f(s) | n ) një pasqyrim linear i vazhdueshëm nga një hapësirë Banach Y
në hapësirën L1(S, n, , ) të funksioneve fortësisht të matshëm me vlera reale ose
komplekse. Supozojmë që
(i) për çdo f në Y
1
supn A
||Tn(f(s))||<,
pothuajse kudo në S; dhe
(ii) për çdo f në një bashkësi Y0 të dendur në Y
21
st-,
lim supn
n k m A
||Tk(f(s))-Tm(f(s))||=0
pothuajse kudo në S. Atëherë
st- limn
E(f(s) | n )
ekziston për çdo f në Y.
Vërtetim Vërejmë së pari, që është e mjaftueshme të provojmë teoremën për rastin e
një hapësire të matshme e fundme (Për detaje shiko [3] f.333). Rrjedhimisht supozojmë
që është masë e fundme. Le të jetë n1, n2, …, një numërim i elementëve të A1. Le të
jenë pasqyrimet W, V, Vk, k = 1, 2,…, të hapësirës Y në L1(S, n, , ) të përcaktuar
nga ekuacionet
1
( ( )) sup || ( ( ) ||mn p
m n
V f s T f s
,
1
( ( )) sup || ( ( )) ||pp A
V f s T f s
,
1,
( ( )) lim sup || ( ( )) ( ( )) ||k mn k m A
W f s T f s T f s
.
Shihet qartë që Vn është pasqyrim i vazhdueshëm i Y në L1(S, n, , ) që plotëson
ekuacionet
||Vn (f+g) || ||Vn(f)|| + ||Vn(g)|| dhe ||Vn(f)|| = ||Vn(f)||
për çdo çift f, g në Y dhe skalar . Kushti (i) na siguron që V pasqyron Y në L1(S, n,
, ), dhe nga përkufizimet e tyre dhe fakti i sapo vërtetuar rrjedh që
||Vn(f)|| = ||Vn(f)||.
Për çdo f, V(x) 0 kur 0 dhe kështu bashkësia {Vn(f(s)) | n = 1,2,…} është
bashkësi e kufizuar ([3],II.1.7 f.51) në hapësirën L1(S, n, , ). Nga teorema 1.1.11
[Teorema 7, 4] ne arrijmë në përfundimin që
st- 0
lim ( ( )) 0nf
V f s
,
uniformisht për n 1. Nga rrjedhimi ([3], III, 6. 13(b), f. 150) Vn (f(s)) st
V(f(s)) dhe
kështu rrjedh se V është vazhdueshëm në f = 0 pothuajse kudo.
Meqënëse,
||W (f(s)) || 2 V(f(s)),
rrjedh se
|| W(f(s)) || 2 || V(s) ||
dhe kështu W është i vazhdueshëm në f = 0. Tani lehtësisht mund të tregohet që
22
||W(f(s)) – W(g(s))|| W(f- g, s),
për pothuajse të gjitha s, si rrjedhim
||W(f(s)) – W(g(s))|| || W(f- g, s)||, f, g Y.
Kjo tregon që W është i vazhdueshëm në çdo pikë të Y. Nga (ii) W anulohet në një
bashkësi e cila është e dendur në Y, rrjedhimisht W anulohet identikisht. Plotësia e
bashkësisë L1(S, n, , ) provon ekuacionin tonë.
Teorema 1.4.11 Le të jetë 1' ( , , , )f L X F ku X është hapësirë Banach. Atëherë
martingalja ( , , 1)nnf n F ku ( | ) nnf E f F është e tillë që
lim . .n
nst f f p k
ku ( )f E f F .
Vërtetim Shënojmë ( | )n nE f fF , 1n për '
1( , , , )f L X F , ku ( . | )nE F janë
operatorë linear të kufizuar nga 1' ( , , , )L XF në 1' ( , , , )L XF . Nëqoftëse
1
( ) ( ) , ,F n
n
f a a X F
F
atëherë qartësisht ( | )nE f fF për n mjaft të mëdha.
Kështu
lim ( | )nn
st E f f
F p.k.
për të gjithë funksionet e thjeshtë f të matshëm në lidhje me 1
n
n
F . Meqënëse
funksionet e thjeshtë janë të dendur në '
1( , , , )L X F dhe meqë ne kemi
sup ( | )nn
E f F p.k.,
nga teorema 1.4.10 rrjedh që
lim lim ( | )nn n
nst f st E f f
F ,
p.k. për të gjitha '
1( , , , )f L X F .
Për f të çfarëdoshme në '
1( , , , )L X F kemi se ( )f E f F , duke zbatuar
argumentin e mësipërm kemi
lim . .n
nst f f p k .
Në të njëjtën mënyrë mund të provojmë teoremen e mëposhtme.
23
Teorema 1.4.12 Le të jetë ( , , )nnf n -1F një martingale me vlera në hapësirën Banach
X. Atëherë lim . .n
nst f f p k
ku 1( | )f E f F dhe 1
n
n
F F .
Teorema 1.4.13 Le të jetë ( , , 1)nnf n F martingale me vlera në X, X hapësirë
reflektive e Banach-ut. Në qoftë se { }nf është uniformisht e integrueshme, atëherë
ekziston 1' ( , , , ) f L XF e tillë që
lim ( ) . .n
nst f f p k .
Vërtetim Nisur nga teorema 1.4.9, atëherë ekziston 1' ( , , , )f L X F e tillë që
'
1lim
nnst f f .
Atëherë, për A F , kemi se
limn
A A
nst f d st f d .
Meqënëse ( | )n k n nE f f F , për nBF , rrjedh që
n k
B B
nst f d st f d .
Le të kalojmë në limit kur k dhe ne kemi
B B
nst f d st f d për çdo nBF .
Kjo do të thotë që ( | ), 1n nf E f n F . Prandaj nga teorema 1.4.11 rrjedh që
lim . .n
nst f f p k .
Në teoremat në vijim kemi bërë shtrirjen në rastin e konvergjencës statistikore të disa
nga rezultateve të paraqitura në [6] në hapësirën e Banach.
Teorema 1.4.14 [7] Një martingale ( , , )n nf nF në ( ) është
statistikisht konvergjente sipas normës në ' ( , )pL X në qoftë se dhe vetëm në qoftë se
e tillë që, për çdo nnE F të kemi
.
Vërtetim Meqënëse martingalja është statistikisht konvergjente nga përkufizimi rrjedh
se ekziston e tillë që
' ( , )pL X 1 p
' ( , )pf L X
( )limn
nE Est F E stf d f d
' ( , )pf L X
24
.
Anasjelltas, supozojmë që ekziston e tillë që
për të gjitha nnE F .
Le të jetë F një fushë e gjeneruar nga nnF dhe shënojmë |f E( f ) F .
Atëherë, për të gjitha nnE F . Për më tepër kemi
| n nE f f F për të gjitha .
Tani do të tregojmë që . Supozojmë se F . Për më tepër
nnF është fushë, meqënëse n( ,n )F është monoton rritës. Nga fakti që
nn F , funksionet e thjeshtë të formës ku dhe
i nnE F
janë të dendur në . Rrjedhimisht, për çdo gjendet një funksion i thjeshtë
me dhe i nnE F
të tillë që '|| ||2
pf f
.
Sërish, meqë n ,n KF është familje monoton rritëse, gjendet një indeks i tillë që
0i nE
F për të gjitha . Kështu është nF - e matshme për të gjitha ,
nK dhe | n nE f f F për dhe nK.
Tani në qoftë se , atëherë
|
2
p p p
n p p
p
n nf f ' f f ' f f '
E f f ' f f '
f f '
F
p.p.gj. k.
Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.
Si rrjedhim të kësaj teoreme kemi:
Rrjedhim 1.4.15 [7] Një martingale n nf , ,nF në eshtë statistikisht
konvergjente sipas normës në në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ekziston
e tillë që | n nE f fF për të gjitha .
Me tej do të trajtohet konvergjenca statistikore pothuajse kudo e martingaleve të formës
n nf , ,nF të indeksuara sipas bashkësisë së numrave natyrore.
( )limn
nE Est F E stf d f d
' ( , )pf L X
( )limn
nE Est F E stf d f d
( )E
F E st f d n
'lim 0
pnnst f f
1
n
i
i
Eix
ix X
'( , )pL X 0
1
n
i
i
Eif x
ix X
0n
i K f 0n n
0n n
0n n
' ( , )pL X
' ( , )pL X
' ( , )pf L X n K
25
Lema 1.4.16 (Maximal lemma) [6, lemma 7, f.128] Le të jetë n nf ,F një martingale
në dhe le të jetë > 0. Në qoftë se atëherë
limsup (|| || ) 0nK
S
f d ,
rrjedhimisht .
Vërtetim Vërtetimi ec njësoj si vërtetimi i maximal lemës në [6].
Teorema 1.4.17 [7] Një martingale statistikisht konvergjente n nf , ,nF në
është statistikisht konvergjente në limit në '
1( , )L X pothuajse kudo.
Vërtetim Le të jetë limn
nst f f sipas normës në '
1( , )L X . Në qoftë se ,
atëherë ekziston e tillë që në qoftë se , atëherë .
Tani fiksojmë dhe veme re se n m nf f , ,n m F është një martingale në
'
1( , )L X . Sipas maximal lemës për martingalet, kemi
.
Prej nga rrjedh menjëherë që ( )nf është pothuajse uniformisht statistikisht Cauchy
(Koshi). Meqë limn
nst f f sipas normës në '
1( , )L X , është e qartë se
limn
nst f f është pothuajse kudo konvergjente.
Si rrjedhim të teoremës se mësipërme marrim:
Rrjedhim 1.4.18 Në qoftë se ( , , )nnf nF është martingale statistikisht konvergjente
në '
1L , atëherë n m nf f , ,n m F është gjithashtu martingale statistikisht
konvergjente në '
1L .
Vërtetim Meqë ( , , )nnf nF është martingale statistikisht konvergjente
e tillë që p.p.gj.k. Gjithashtu është statistikisht
Cauchy (Koshi) kështu për çdo , gjendet e tillë që p.p.gj.k.
Tani meqë
p.p.gj.k
n m nf f , ,n m F është gjithashtu martingale statistikisht konvergjente.
1' ( , )L X { :sup || || }nK
S f
'
1
1: sup || ( ) || sup || ||n n
K K
f f
1' ( , )L X
, 0
0 ( , )n 0n n0
'
1n nf f
0m n
1
1 1: sup ( ) ( ) sup
n m n mn m n m
f f f f
1' ( , )f L X'
1 kf f ( )nf
0 N'
1 n Nf f
' ' '
1 1 1 2 2
n m n N N mf f f f f f
26
Në pohimin në vijim ne bëjmë shtrirjen e një rezultati të Duarte [45] por tashmë për
martingalet e funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm.
Pohim 1.4.19 Në qoftë se një martingale n nf , ,nF konvergjon statistikisht në
1L' sipas normës, atëherë ajo konvergjon statistikisht sipas pothuajse kudo.
Vërtetim Supozojmë se f është i integrueshëm dhe 1 0nf f ' . Zgjedhim
numrat km të tillë që km dhe
11 kmkk f f '
.
Për çdo k , k kn mf f : n m është martingale nga rrjedhimi 1.4.18, pra plotësohet
mosbarazimi
1
1k k
kn mn m msup f f ' k f f '
k
atëherë duke i mbledhur për 1 2k , ,... marim
1
1k
k
kn m
n msup f f 'k
Kjo sjell që:
0k
kk n m
n mst lim sup f f '
,
-statistikisht pothuajse kudo. Me fjalë të tjera kemi treguar se nf është varg
statistikisht Cauchy (Koshi) sipas pothuajse kudo.
Teorema 1.4.20 Le të jetë X një hapësirë Banach dhe ( , , )S hapësirë pobabilitare,
pohimet e mëposhtme janë ekuivalente për një martingale ( , ), 1nnf n me vlera në
X.
1. Në qoftë se 1 1sup ' ,n nf atëherë limn
nf st f
ekziston fortësisht
statistikisht pothuajse kudo.
2. Në qoftë se 1 1sup ' ,n nf atëherë limn
nf st f
ekziston dobësisht
statistikisht pothuajse kudo, (në kuptimin që ekziston f statistikisht e matshme
fort e tillë që për të gjitha y X ,
n
nst lim f s , y f s , y
për 0
y ys N , N ).
3. Në qoftë se tënf janë uniformisht të integrueshëm, atëherë ekziston
'
1( , )f L X me
1st lim ' 0n
nf f .
Vërtetim Kalimi (1) (2) është trivial. Le të shohim tani që (3) (1). Meqënëse
tënf janë uniformisht të integrueshme, atëherë 1 1sup 'n nf dhe kështu limiti
27
st lim nf f ekziston fortësisht statistikisht p.k.
Meqënëse është e qartë se '
1( , )f L X nga lema Fatou (lema 1.2.4) rrjedh se
1lim nE f st f .
Kështu nf f si varg i çfarëdoshëm funksionesh me vlera reale është uniformisht i
integrueshëm dhe shkon në 0 statistikisht pothuajse kudo, meqënëse
1st lim st lim ' 0n n
n nE f f f f .
Le të provojmë tani kalimin (2) (3). Le të jetë ( , )nnf martingale uniformisht e
integrueshme me vlera në X. Është e qartë se 1 1supn nf ; kështu nga (2) ekziston
f , e cila tregohet lehtë që i takon '
1( , )L X , e tillë që
st lim , ,nf y f y
p.k.
për çdo y X . Meqënëse integrueshmëria uniforme e venf sjell qartësisht të
njëjtën gjë për ,nf y rrjedh se për çdo y X ,
, , ,1nnf y n
është një martingale me vlera skalare dhe prandaj, në veçanti, për nA , relacioni
, , , ,A A A A
n nst f y st f y st f y st f y
ka kuptim për çdo y X . Si rrjedhim,
, për të gjitha nA A
nst f st f A .
Pra, nnf E f . Tani nga teorema 1.4.14 rrjedh që .
1' 0st
nf f .
Teorema 1.4.21 Le të jetë X një hapësirë Banach dhe ( , , ) hapësirë pobabilitare,
pohimet e mëposhtme janë ekuivalente për një martingale ( , ), 1 nnf nF me vlera në
X.
1. Në qoftë se 1supn nf C , pothuajse kudo për ndonjë 0C , atëherë
limn
nf st f
ekziston fortësisht statistikisht p.k.
2. Nëqoftese për ndonjë 0C , 1supn nf C , pothuajse kudo atëherë
limn
nf st f
ekziston dobësisht statistikisht p.k. në kuptimin e pohimit 2
në teoremën 1.4.20.
28
Vërtetim Kalimi (1) (2) është i menjëhershëm. Le të shohim tani implikimin (2)
(1). Nga teorema e mësipërme, kalimi (2) (3) tregon që (2) (1) meqënëse kushti në
(1) sjell integrueshmërinë uniforme dhe kemi treguar me përpara se ekziston f e tillë
që
1
.
' 0 st
nf f ,
Prej nga rrjedh se | nnf E f F , që nga teorema 1.4.14 na çon te përfundimi i (1).
Teorema 1.4.22 Le të jetë X një hapësirë Banach dhe ( , , ) hapësirë pobabilitare,
në qoftë se për një martingale ( , ), 1 nnf nF me vlera në X, t ënf janë uniformisht
të integrueshme dhe ekziston '
1( , )f L XF e tillë që
1st lim ' 0n
nf f .
Atëherë, 1sup , 1n pnf p dhe ekziston
' ( , ) pf L XF e tillë që
st lim ' 0pn
nf f .
Vërtetim Për një martingale të dhënë ( , )nnf F me
1sup , 1n pnf p ,
rrjedh menjëherë që tënf janë uniformisht të integrueshëm dhe prandaj nga kushti,
ekziston f , e tillë që
.
10
st
nf f .
Kjo sjell që | nnf E f F , për me tepër ' ( , ) pf L XF meqënëse nga lema Fatou
1.2.4 kemi
limp p
nn
st f st f
.
Teorema 1.4.14 lë të kuptohet se .
' 0st
pnf f .
1.5 Vetia e Radon-Nikodym-it dhe konvergjenca statistikore e martingaleve
Tashmë është e njohur që funksioni me vlera reale ose komplekse plotësisht aditiv i cili
është absolutisht i vazhdushëm në një hapësirë të matshme të fundme është në fakt
integrali në sensin e zakonshëm i një funksioni të matshëm të fundëm
(i vetëm pothuajse kudo). Ekzistenca e një funksioni të tillë sigurohet nga teorema e
Radon-Nikodym.
29
Përkufizim 1.5.1 [6] Një hapësirë Banach X ka vetinë e Radon- Nikodym-it në lidhje
me në qoftë se për çdo masë të vazhdushme me variacion të
kufizuar gjendet e tillë që
për të gjitha .
Një hapësirë e Banach X ka vetinë Radon-Nikodym në qoftë se X ka vetinë Radon-
Nikodym në lidhje me çdo hapësirë të matshme të fundme.
Në këtë çështje do të provojmë disa teorema konvergjence mbi martingalet në hapësirat
Banach që kanë vetinë e Radon-Nikodym.
Në teoremën në vijim kemi bërë shtrirjen për rastin e konvergjencës statistikore të një
prej rezultateve në [6] në hapësirën Banach.
Teorema 1.5.2 [9]
Le të jetë X një hapësirë me vetinë e Radon-Nikodým, dhe le të jetë
( )n nf , ,n F një martingale në . Atëherë ekziston në
sipas normës në qoftë se dhe vetëm në qoftë se
i) dhe ( )n nf , ,n F është uniformisht i integrueshëm,
ose
ii) dhe .
Vërtetim Provojmë së pari mjaftueshmërinë e (i), për nnE F , shënojmë
.
Meqë ( )n nf , ,n F është uniformisht e integrueshme, është e qartë se
në nnF .
Gjithashtu në qoftë se nn F është një ndarje e , atëherë gjendet një indeks 0n
i tillë që 0n F .
Rrjedhimisht kemi se
.
Si rrjedhim F është me variacion të kufizuar në nnF . Nisur nga I.5.2 në [6] kemi se
masa G, -e vazhdushme me variacion të kufizuar në , -fusha e gjeneruar nga
nnF , e tillë që G(E)=F(E) për të gjitha nn
E F . Meqë ka vetinë Radon-
Nikodým-it, gjendet i tillë që
për të gjitha .
( , , ) :G X
1( , )g L X
(E)E
G g d E
1 p ' ( , )pL X lim
nnst f ' ( , )pL X
'
11, supn np f
1 p '
supn pnf
( ) st limEn
nF E f d
( ) 0lim ( ) 0E
F E
0 0
'
1( ) supn n
E nE E
nF E f d f d f
0
X
'
1 0( , )f L X
G( )E
E f d 0E
30
Por, në qoftë se nnE F , atëherë
.
Duke u mbështetur në teorema 7 e [7] përfundon vërtetimi i kushtit (i).
Për të provuar mjaftueshmërinë e kushtit (ii), le të jetë dhe supozojmë se
. Nga mosbarazimi i Holder-it kemi se ( )n nf , ,n F është gjithashtu
martingale e kufizuar uniformisht të integrueshme në . Nga mjaftueshmëria e
(i), gjendet
e tillë që '
1lim 0
nnst f f ,
rrjedhimisht:
,
për të gjitha nnE F . Pasi të jetë treguar se , mbështetur në teoremën
7 në [7] do të përfundojë vërtetimi i teoremës. Për ta përfunduar vërtetimin zgjedhim
një varg (n ) Nk të tillë që
dhe të tillë që sipas -pothuajse kudo. Nga lema Fatou (Lema 1.2.4),
rrjedh se
.
Kjo përfundon dhe vërtetimin e mjaftueshmërisë së (ii).
Nevojshmëria e (i) dhe (ii) është e qartë nga fakti se F(E) është e barabartë me E
f d
sepse,
,
kështu F është i vazhdueshëm dhe meqënëse
|p n p pnf ' E f ' f ' F
e cila tregon se '
suppnf është i fundëm, atëherë kushti i nevojshëm plotësohet.
Vlen për t’u përmendur se i njëjti rezultat i paraqitur nga teorema e mësipërme vlen
gjithashtu edhe për hapësirat Banach reflektive.
Teorema 1.5.3 [9] Supozojmë se X është një hapësirë Banach, e tillë që, për çdo
hapësirë të matshme të fundme , çdo martingale uniformisht e integrueshme
e kufizuar në konvergjon statistikisht në sipas normës. Atëherë X ka
vetinë e Radon-Nikodym.
st lim ( ) ( )E En
nf d F E G E f d
1 p '
supp
nnf
'
1( , )L X
'
1( , )f L X
st lim ( )E En
nf d f d F E ' ( , )pf L X
'
1lim 0
kknst f f
limkk
nf f
lim supk
p p p
n pk n
nf d f d f
( ) 0 ( ) 0lim ( ) lim 0
EE EF E fd
( , , )
'
1( , )L X '
1( , )L X
31
Vërtetim Le të jetë , , një hapësirë e matshme e fundme e fiksuar. Le të jetë P
klasa e të gjitha ndarjeve të në bashkësitë dhe P e renditur nga mënyra e ndarjes.
Në qoftë se është masë me variacion të kufizuar dhe -e vazhdueshme,
shënojmë
duke vërejtur se .
Le të jetë , -fusha triviale e gjeneruar nga . Qartësisht është
një martingale në me
En
nF E st lim f d për çdo E .
Një llogaritje e thjeshtë tregon se
,
për çdo n të tillë që . Gjithashtu, meqënëse F , ne kemi F . Prandaj
për çdo , gjendet e tillë që kur . Tani, në qoftë se
dhe , atëherë
.
Kështu është uniformisht e integrueshme. Nga hipoteza
'
1lim 0
nnst f f për ndonjë . Kështu ne kemi
E En
nF E st lim f d f d
për të gjitha E .
Si ilustrim të lidhjes së konvergjencës statistikore të martingaleve me vetinë e Radon –
Nikodym-it do të shohim rezultatet e mëposhtëme.
Teorema 1.5.4 Le të jetë' ( , )pf L X , e tillë që, f është -statistikisht e matshme
dhe
' p
pf f , 1 p .
Atëherë për çdo bashkësi dhe -algjebrat n , martingalja ( , , )n nf n , ka
vetinë
'lim 0
pnnst f f ,
ku me ( | )f E f shënojmë pritjen matematike statistikore me kusht të f për -
algjebrën e dhënë të gjeneruar nga nn .
:F X
( )
( )n
n E
E
F Ef
E
0 00
( )n n 1{ , ( )}n nnf
'
1( , )L X
( )nf d F
n P
0 0 ( )F E ( )E
( )nE ( )E
(E)nf d F
1{ , ( )}n nnf
'
1( , )f L X
32
Vërtetim Supozojmë së pari që f është - statistikisht e matshme. Në qoftë se f
është statistikisht e matshme në lidhje me algjebrën nn atëherë
( | )nE f f për 0n n .
Meqënëse f është -statistikisht e matshme mund të përafrohet mjaftueshëm në
'pL sipas normës nga funksione statistikisht të matshme në lidhje me algjebrën
nn , atëherë për çdo ' ( , )pf L X ,
'lim 0
pnnst f f .
Meqënëse
( | ) ( ( | ) | ) ( | )n n nnf E f E E f E f .
Menjëherë, nga teorema marim dy rrjedhimet e mëposhtme:
Rrjedhim 1.5.5 Le të jetë ' ( , )pf L X , e tillë që, f është -statistikisht e matshme
dhe
' p
pf f , 1 p .
Në qoftë se për çdo bashkësi dhe -algjebrat n , martingalja ( , , )n nf n , ka
vetinë ( )A
A st f d , atëherë
'lim 0
pnnst f f .
Vërtetim Meqënëse ( | )nnf E f dhe qartësisht në këtë rast.
Rrjedhim 1.5.6 Le të jetë ' ( , )pf L X , e tillë që, f është -statistikisht e matshme
dhe
' p
pf f , 1 p .
Në qoftë se për çdo bashkësi dhe -algjebrat n , martingalja ( , , )n nf n , ka
vetinë ( )A
A st f d , atëherë martingalja është statistikisht Cauchy (Koshi).
Vërtetim Në këtë rast ne duhet të provojmë që për çdo 0 ,
'
pmkf f p.p.gj.k..
Meqënëse nga rrjedhimi 1.5.5 ne kemi që '
lim 0pn
nst f f atëherë
' ' '
pp pm mk kf f f f f f p.p.gj.k.
33
KAPITULLI 2
MARTINGALET E FUNKSIONEVE STATISTIKISHT PETTIS TË
INTEGRUESHËM
Ndryshe nga martingalet e funksioneve Bochner të integrueshëm martingalet e
funksioneve Pettis të integrueshme kanë qenë më pak të studiuara. Studimi i tyre filloi
disa vite me vonë dhe pati një zhvillim të konsiderueshëm. Ndër autorët që kanë
studiuar këto martingale të funksioneve Pettis të integrueshëm mund të përmendim Uhl
[27], Musial [30] si dhe në vitet e fundit Marraffa [19, 20], etj.
Ishin punimet e Marraffa mbi martingalet e funksioneve Pettis të integrueshëm, të cilat
janë përgjithësime të rezultateve të Uhl-it [27] që na dhanë idenë e studimit të këtyre
rezultateve, por tashmë për një klasë funksionesh më të përgjithshme atë të funksioneve
statistikisht Pettis të integrueshëm në hapësirat e Banach-ut. Në këtë kapitull bëhet
përgjithësimi i disa rezultateve mbi martingalet të Uhl-it [27] dhe Marraffa-s [19, 20],
por tashmë për martingalet e funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm. Nga ky
zëvendësim kemi përftuar edhe një konvergjencë më të përgjithshme siç është
konvergjenca statistikore e këtyre martingaleve.
2.1 Përkufizime dhe rezultate ndihmëse
Le të kujtojmë fillimisht disa rezultate ndihmëse në lidhje me integralin statistikor të
Pettis-it.
Lema 2.1.1 (Dunford)[5] Në qoftë se 𝑓: 𝑆 → 𝑋 është statistikisht fortësisht i matshëm
në hapësirën e normuar X dhe për çdo 𝑥∗ ∈ 𝑋∗ funksioni 𝑥∗(𝑓): 𝑆 → 𝑅 është
statistikisht (Bochner) i integrueshëm (𝑥∗(𝑓) ∈ 𝐿1), atëherë për çdo bashkësi të
matshme E S gjendet një element i vetëm 𝑥∗∗ ∈ 𝑋∗∗, i tillë që
EE
x Bs x f për çdo 𝑥∗ ∈ 𝑋∗.
Përkufizim 2.1.2 [5] Në qoftë se 𝑓: 𝑆 → 𝑋 është statistikisht i matshëm dobët dhe i tillë
që funksioni 𝑥∗(𝑓): 𝑆 → është statistikisht i integrueshëm sipas Bochner-it, atëherë
integrali statistikor i Dunford-it E
Ds f i funksionit f në bashkësinë e matshme
E S përcaktohet nga elementi 𝑥∗∗ ∈ 𝑋∗∗ i dhënë në lemën (2.1.1), d.m.th.
E
x Ds f ,
ku EE
x x Bs x f për 𝑥∗ ∈ 𝑋∗.
Shënojmë me Ds bashkësinë e të gjithë funksioneve Ds- të integrueshëm :f S X .
Për funksionet f ∈ Ds kemi 𝑥∗(𝑓) ∈ 𝐿1 për çdo 𝑥∗ ∈ 𝑋∗.
34
Përkufizim 2.1.3 [5] Në qoftë se :f S X është st-Dunford i integrueshëm, ku
E
Ds f X për çdo bashkësi të matshme E I , (ose më konkretisht
**( )E
Ds f e X , funksioni e është zhytja kanonike e X në **X ), atëherë
funksioni f është statistikisht Pettis i integrueshëm dhe
E E
st P fd Ds fd
integrali mësipërm quhet integrali statistikor i Pettis-it i funksionit f në çdo bashkësi
E.
Le të jetë ( , , ) një hapësirë e matshme me masë të fundme dhe X një hapësirë
Banach.
Përkufizim 2.1.4 [5] Le të jetë E një nënbashkësi e bashkësisë . Funksioni
:f X quhet statistikisht Pettis i integrueshëm në qoftë se
a) funksioni x f* është statistikisht Bochner i integrueshëm për çdo x X* *
b) ekziston Ex nga X e tillë që
( ) ( )EE
x x st x f d * * për çdo x X* *
Atëherë Ex quhet integral statistikor Pettis i pacaktuar dhe e shënojmë
EE
x st f d .
Bashkësia e funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm është hapësirë lineare dhe
e shënojmë me P'(E) .
Duket qartë se kur hapësira e Banach X është hapësirë reflektive **X X integrali
statistikor i Dunfordit dhe integrali statistikor i Pettis-it përputhen. Në qoftë se hapësira
X nuk është reflektive ata do të jenë të ndryshëm, pra gjendet një funksion që është st-
Dunford i integrueshëm, por jo st-Pettis i integrueshëm.
Teorema 2.1.5 [5] Në qoftë se funksioni :f S X është statistikisht Bochner i
integrueshëm atëherë f është statistikisht Pettis i integrueshëm dhe ka vend barazimi
E E
Ps fd Bs fd .
Teorema 2.1.6 Në qoftë se :f S X është statistikisht Pettis i integrueshëm dhe i
përcaktuar në një bashkësi të matshme E S atëherë funksioni
( )E
E Ps fd X (integrali i pacaktuar st-Pettis-it)
është aditiv i numërueshëm.
35
Teorema 2.1.7 Ka vend përfshirja e mirëfilltë Bs Ps në përgjithësi për hapësirën e
Banach X , dmth, gjendet një hapësirë e Banach X dhe funksioni :f S X i cili është
st – Pettis i integrueshëm por jo st- Bohner i integrueshëm.
Themi se një martingale ( )n nf , ,n F me vlera në X është uniformisht e kufizuar
në qoftë se gjendet M e tillë që për çdo x X dhe n N
nx f M x sipas -statistikisht p.k.
Përkufizim 2.1.8 Një martingale ( )n nf , ,n F është me variacion të kufizuar në
qoftë se n
n
sup , ku n nst f d .
Përkufizim 2.1.9 Martingalja ( )n nf , ,n F është uniformisht e vazhdueshme në
qoftë se për 0 , ekziston 0 dhe 0n N të tilla që në qoftë se 0n n dhe E
është e tillë që E atëherë E
nst f d .
Përkufizim 2.1.10 Martingalja ( )n nf , ,n F është uniformisht e integrueshme në
qoftë se është me variacion të kufizuar dhe uniformisht e vazhdueshme.
2.2 Pritja matematike statistikore me kusht e funksioneve statistikisht Pettis të
integrueshëm
Në këtë çështje do të shqyrtojmë pritjen matematike me kusht të funksioneve
statistikisht të dobët dhe disa veti të saj.
Le të jetë C hapësira e numrave kompleks. Supozojmë se X dhe Y janë hapësira
komplekse Banach, B(X) -fusha e Borel-it: më e vogla -fushë e gjeneruar nga
nënbashkësitë e hapura të X . Shënimi ,x x do të përdoret për ( )x x kur x X dhe
x X , ku X është duali i hapësirës X . Le të jetë ( , , ) F hapësirë probabilitare.
Përkufizim 2.2.1 Le të jetë f një element st-Pettis i integrueshëm në Y dhe le të jetë
F një fushë në F. Elementi ( | )E f F st-Pettis integrueshëm në Y thuhet se është
pritje matematike statistikore me kusht e Pettis e f në lidhje me F nëqoftëse,
(i) ( | )E f F është skalarisht F i matshëm dhe st-Pettis i integrueshëm,
(ii) ( | ) për çdoA A
st fd st E f d A F F .
Ne do pranojmë se Y X , për shembull elementi i merr vlerat në hapësirën duale të
hapësirës jo-separabël të Banach.
Le të shohim disa veti të rëndësishme të pritjes matematike statistikore me kusht, për
funksionet st-Pettis të integrueshëm, të përmbledhura në teoremën në vijim, të cilat janë
një shtrirje e rezultatit të [46].
36
Teorema 2.2.2 Supozojmë që f dhe g janë ndryshore të kufizuara e skalarisht të
matshme dhe statistikisht Pettis të integrueshme të tilla që { , : 1}f x x dhe
{ g, : 1}x x janë bashkësi dobësisht parakompakte në ( )L . Atëherë
(i) Në qoftë se , p.kf c , atëherë ( | ) c, .k.st w
E f p
F
(ii) Në qoftë se k is a skalar, atëherë
( | ) ( | ) (g | ), . .E k f g kE f E p k F F F
(iii) Në qoftë se { , } F atëherë ( | ) , p.k.st w
E f E f
F
(iv) ( | F) , . .st w
E f f p k
(v) Në qoftë se 1 2F F atëherë
2 1 1( ( | ) | ) ( | ), . .st w
E E f E f p k
F F F
(vi) Në qoftë se A është operator linear i kufizuar në X , atëherë
(A | ) ( | ), . .st w
E f AE f p k
F F
Vërtetim (i), (ii) dhe (iii) rrjedhin menjëherë nga lineariteti dhe vetitë bazë të integralit
statistikor të Pettis, dhe nga përkufizimi 2.2.1. Për (iv) kemi
, ( | F) , , për të gjitha FA A
st x E f d st x f d A .
Meqënëse , ( | F)x E f dhe ,x f janë të matshme F, kemi që
, ( | F) ,x E f x f ,
e cila nënkupton ( | F) , . .st w
E f f p k
Për (v) vemë re se matshmëria skalare dhe integrueshmëria e dobët e 1( | )E f F rrjedhin
menjëherë nga përkufizimi 2.2.1,
2 1 2 1, ( ( | ) | ) , ( | ) , për të gjithaA A
st x E E f d st x E f d A F F F F
Meqënëse 1 2F F , kemi
2 1 2
1
, ( ( | ) | ) , ( | )
,
, ( | ) për të gj
A A
A
A
st x E E f d st x E f d
st x f d
st x E f d
F F F
F
1itha A F
Kështu, 2 1 1( ( | ) | ) ( | ), . .
st w
E E f E f p k
F F F
37
Për (vi), nga përkufizimi 2.2.1
, (A | ) ,A ,
,
, ( | )
,A ( | )
A A
A
A
st x E f d st x f d
st A x f d
st A x E f d
st x E f d
F
F
F
1për të gjithaA
A F
Kështu, (A | ) ( | ), . .st w
E f AE f p k
F F .
2.3 Martingalet e funksioneve st-Pettis të integrueshëm
Le të jetë E hapësirë Banach e normuar, B(E) sfera njësi dhe E* duali i saj.
Nënbashkësia T e E* quhet bashkësi total mbi E, në qoftë se ( ) 0f x për çdo f T
kemi x=0. Përgjatë kësaj çështje treshja ( , , ) F është hapësirë probabilitare dhe
( )n n NF familje e nën- -algjebrave të F e tillë që m nF F në qoftë se m n . Për
më tepër, pa humbur përgjithësimin, do të pranojmë se F është plotësim i ( ).nn F
Në rastin e martingaleve të funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm do të
përdorim:
sup lim|| ||
0 për n K
n K n
E
f df
si normë për integralin statistikor të Pettis.
Pohimi i mëposhtëm është një shtrirje e Lema 1.4 e Uhl [27] për martingalet e
funksioneve statistikisht të integrueshëm sipas Pettis-it.
Pohimi 2.3.1 [23] Le të jetë ( , )nnf F një martingale funksionesh st-Pettis
integrueshëm.
Atëherë pohimet e mëposhtme janë ekuivalente
(i) Ekziston një funksion st- Pettis i integrueshëm f i tillë që nf është -
statistikisht konvergjente tek f .
(ii) Ekziston një funksion st- Pettis i integrueshëm f i tillë që | n nE f fF për
çdo n .
(iii) Ekziston një funksion st- Pettis i integrueshëm f i tillë që për çdo nnA F
lim nA An
st f st f .
Vërtetim Supozojmë se ka vend pohimi (i). Atëherë ekziston një funksion :f E ,
i cili është st- Pettis i integrueshëm dhe i tillë që
1
lim : 0n k
k n f fn
ose k
f f pothuajse për të gjitha k.
38
Meqënëse
sup limAn K
nk kf f f f d
,
kemi se lim nA An
st f st f për të gjitha AF .
Pra, ka vend (iii). Për më tepër, në qoftë se mAF , ne kemi, nga kushti i të qënit
martingale, se për të gjitha n m ,
n mA A
st f st f .
Atëherë mA A
st f st f , domethënë, ( )n nE f fF| që sjell (ii).
Anasjelltas supozojmë se ka vend (iii). Meqënëse ( )nf është martingale kemi se
n mA A
st f st f
për të gjitha n m dhe mAF , si rrjedhim:
nA A
st f st f , pra ( )n nE f fF| .
Meqë f është statistikisht Pettis i integrueshëm ekziston funksioni i thjeshtë
1i
l
ii
Af x I
, për të cilin kemi
2
f f .
Supozojmë që, për 1,...,i l , 0i mA F . Kështu, për
0n m , meqënëse
0( )mf fE
F| dhe nga fakti se pritja matematike statistikore me kusht është një
kontraksion, kemi
(( ) )2
2
2 2
nnf f f f f f E f f
f f
F|
Kështu, nf është -statistikisht konvergjente tek f , rrjedhimisht ka vend (i). (ii)
implikon (iii) dhe kështu përfundon vërtetimi i pohimit.
Implikimi (ii) (i) në pohimin e mësipërm tregon se një martingale e mbyllur është
statistikisht konvergjente sipas normës.
39
Pohimi 2.3.2 [23] Le të jetë n nf ,F një martingale funksionesh statistikisht Pettis të
integrueshme. Atëherë, për të gjitha nnA F , funksioni
( ) lim nn
A
A st f
është absolutisht i vazhdueshëm dhe me rang relativisht kompakt sipas normës, në qoftë
se dhe vetëm në qoftë se martingalja n nf ,F është - statistikisht Cauchy (Koshi).
Vërtetim Së pari tregojmë se kushti është i nevojshëm.
Meqë ka rang relativisht kompakt sipas normës, nga Teorema Hoffman-Jorgensen
(Teorema 9,[34]) për çdo 0 gjendet një funksion :H E i tillë që
1
k
i
iAi
H x I
me i nnA F dhe ix E
kështu që
sup ( ) :A
nnA H A F .
Marrim 0 dhe le të jetë 4
H H , ekziston 0m për të cilën
0i mA
F , për 1,..., .i k
Meqë
( ) lim nAn
A st f
gjendet 0m e tillë që ( )4
nA
A f
për 0n m . Le të jetë 0,n m m .
Kemi
sup ( ) :
sup ( ) : sup ( ) :
sup ( ) : sup ( ) :
sup ( ) : sup ( ) :
4 4 4 4
n mA
n mA A
nA A
mA A
nn
n nn n
n nn n
n nn n
f f A
f H A H f A
f A A A H A
f A A A H A
F
F F
F F
F F
Atëherë n mf f për 0,n m m .
Anasjelltas, zgjedhim 0 dhe gjejmë 0m të tillë që, në qoftë se 0,n m m , atëherë
n mf f .
40
Në qoftë se ( )n nA
A st f për nnA F , atëherë
( ) ( )n m P n mA A f f .
Kështu vargu i masave n është Cauchy (Koshi), prandaj lim ( ) ( )n n A A ekziston.
Funksionet nf janë statistikisht Pettis të integrueshëm, atëherë n ka rang relativisht
kompakt sipas normës dhe meqë konvergjenca është uniforme në nnA F rrjedh që
është absolutisht i vazhdueshëm dhe ka rang relativisht kompakt sipas normës.
Le të tregojmë tani me anën e një shembulli se ekzistojnë funksione që nuk janë Pettis
të integrueshëm por që janë statistikisht Pettis integrueshëm.
Shembull. [26] Supozojmë se c0 është një hapësirë Banach e vargjeve reale
x = (x1, x2,…) = (xn)
për të cilin lim 0nn
x
, me normë
|| || max | |nn
x x .
Le të përcaktojmë
1 1 1 12 4 5 2
2 2
]0,1] ]0, ] ]0, ] ]0, ] ]0, ]
1 1( ) ( , ,..., 2 , ,..., ,...)
2 5 k
f t k
për t ]0,1].
Qartësisht, f(0) = 0 = (0,…,0,…) dhe në qoftë se t ]0,1] gjendet një n’ e tillë që
1 1] , ]
' 1t
n n
dhe ( )f t = (1, 2 21 1
, ,2 ,..., k' ,0,...)2 3
për këtë t ]0,1]. Kështu, vlerat e
f i përkasin c0.
Në qoftë se *
0* ( )x c , atëherë gjendet një varg =(2
1
n ) 1l , me
1 21
1|| ||l n n
i tillë që,
21
1*( ) nn
x x xn
,
për x = (xn) c0.
41
Atëherë
2
12]0, ]
2
12]0, ]
1 1
*( ( ))1
k Kk
k K
k
k kx f t
kk
Ky funksion real nuk është i matshëm, dmth nuk është dobësisht i matshëm. Dhe prej
inekuacionit të mëposhtem rrjedh
2
1 1
2
12]0, ]
0 0
1| *(f(t)) | dt | ( ) |
k K
k
x k t dtk
,
që ky funksion nuk është Pettis i integrueshëm. Nga ana tjetër,
1 1
12]0, ]
0 0
1| *(f(t)) | dt | ( ) |
k Kk
x k t dtk
,
që tregon se ky funksion është statistikisht i integrueshëm.
Për më tepër
1
0
1 1 1( ) (1, , ,..., ,...)
2 3st P f t dt
n 0 0( )**c c .
Pra, funksioni f : [0,1] c0 është statistikisht Pettis i integrueshëm.
Le të shohim tani disa rezultate në lidhje me konvergjencën statistikore sipas normës të
martingaleve në '( )P X të cilat janë shtrirje të rezultateve të Uhl [27].
Lema 2.3.3 Le të jetë 0F një nënfushë e F e tillë që 0 F F . Në qoftë se F
është masë aditive e numërueshme me vlera në X e përcaktuar në 0F , atëherë F
mund të paraqitet
E
F E st f d , 0E F ,
për ndonjë f P' ,F X në qoftë se dhe vetëm në qoftë se
i) F ka rang të kufizuar.
ii) μ(E) 0lim F(Ε) = 0
iii) Për 0 të dhënë gjendet një bashkësi konvekse kompakte e dobët KX e
tillë që për çdo 0 gjendet 0 0E F me 0( )E dhe
(E) ( )K UF E për të gjitha 0 0, E E E F , ku U është rruzulli njësi i
mbyllur i X .
Vërtetim Meqënëse F është -i vazhdushëm, F ka një zgjerim - të vazhdushëm aditiv
të numerueshëm (të cilin sërish e shënojme me F) tek e gjithë F .
42
Atëherë, gjendet një bashkësi 0 S F e tillë që 0( )S dhe (E) ( )KF E për
të gjitha 0 , E S E F .
Në këto kushte gjendet f P' ,F X e tillë që
E
F E st f d , E F dhe 0E F .
Supozojmë që ekziston f P' ,F X e tillë që
E
F E st f d ,
për të gjitha 0E F dhe le të jetë dhënë 0 . Ekziston 0 0S F dhe një bashkësi K
kompakte sipas normës të cilën mund të pranojmë se është konvekse nga teorema e
Mazur, e tillë që (E) ( )KF E për të gjitha 0 , E S E F . Për një 0 të fiksuar,
mund të gjejmë 0 0E F , 0( )E të tillë që 0 0, E E E F sjell që
(E) ( )K UF E .
Rrjedhim 2.3.4 Lema 2.3.3 mbetet e vërtetë nëse fjalët "kompakte e dobët"
zëvëndësohen me "kompakte sipas normës".
Teorema 2.3.5 Le të jetë ( , , )n nf nF një martingale në '( )P X . Familja
( , )nf n është statistikisht konvergjente sipas normës tek ndonjë funksion
'( )f P X në qoftë se dhe vetëm në qoftë se
i) supn nf ,
ii) Për çdo 0 gjendet 0 dhe indeksi 0n të tillë që ( )E implikon
Enf për të gjitha 0n n ,
iii) Për çdo 0 ekziston një bashkësi konvekse kompakte e dobët KX e tillë
që për çdo 0 gjendet indeksi 0n dhe bashkësia 0 0nE F , 0( )E që
për 0n n kemi ( )K UE
nst f d E për të gjitha 0 , nE E E F .
Vërtetim Meqënëse F X' ( ),nnP është nënhapësirë e mbyllur e '( , )P F X
nuk humbasim asgjë nëse supozojmë se nn( ) F F .
Supozojmë se
0n
nst lim f f për '( )f P X .
Nga pohimi 2.3.1, | n nE f fF për çdo n . Gjithashtu meqënëse | nE . F
është një kontraksion,
| nnf f f F .
43
Për të provuar (ii) vëmë re që
0
E E E En n
n
n n
n
st lim f f st lim f f
st lim f f
uniformisht në E . (ii) rrjedh tani direkt nga fakti që 0
0EElim f
.
Për të treguar (iii), le të jetë dhënë 0 . Nga rrjedhimi 2.3.4 gjendet një bashkësi
konvekse kompakte sipas normës XK e tillë që për 0 të dhënë, gjendet
FnnE e tillë që
( )E
st fd E K U ,
për E E , FnnE . Për një 0 të fiksuar, zgjedhim 0n të tillë që 0
.FnE
Atëherë, për 0n n dhe FnE , E E nga vetia e të qënit martingale kemi
( )E Enst f d st fd E K U .
Përcaktojmë funksionin F në Fnn me
F(E) , nnE nF st f d E .
Të qenit një martingale na siguron që familja që përcaktuam në të djathtë është
përfundimisht konstante për FnnE . Kështu, F është e mirpërcaktuar dhe qartësisht
aditive e fundme në Fnn . Për më tepër
x xF sup ( ) sup st lim sup
st lim sup
1 1 En
En
n
n
x F E x f d
f
Kështu, pika (ii) e hipotezës sjell që
( ) 0lim F 0E
. Prandaj F është -i
vazhdueshëm dhe si rrjedhim, aditiv i numerueshëm në Fnn. Me një argumentim
të ngjashëm, së bashku me (i) tregohet se F është me gjysmë variacion të fundëm në
Fnn. Mbështetur tek pohimi 2.3.1 vërtetimi do të plotësohej në qoftë se ne mund të
tregojmë që gjendet 1' ( , )f P F X e tillë që
limE En
nst f d st fd
për të gjitha FnnE .
Për ketë, le të jetë 0 i dhënë dhe le të jetë K si në (iii). Nga (iii) për një 0 të
fiksuar të zgjedhur ekziston 0n and F00 nE , 0( )E e tillë që
44
( )E
st fd E K U ,
për 0E E . Kështu në qoftë se FnnE , F
1nE , për ndonjë 1 0n n dhe
(E) ( )E nF st f d E K U .
Nga lema 2.3.3 ekziston '( , )f P F X e tillë që
F(E) , nnEF st fd E .
Nga pohimi 2.3.1 rrjedh dhe vërtetësia e kushtit të mjaftushëm.
Le të paraqesim tani shembullin e një martingaleje e cila nuk është konvergjente, por
është statistikisht konvergjente.
Shembull.[26] Kujtojmë që një quasi pemë e pafundme J në X është një varg ( )nx me
vetinë
( 1)
2 1( )
( 1) ( 1)11
1 s=2 1
2 1
nqs s 2 1, 2 ,...,22 1
k
k k
kk
s k kk k kr r
k
x nqs
xx x
r k k
Për të treguar se vargu i mësipërm është martingale në 1([0,1), )L X , le të jetë masë e
Lebesgue dhe shënojmë
1 1 [0,1/2)f x , 2 2 [1/2,1)f x , 3 3 4[0,1/3) [1/3,2/3)( ) / 3f x x
dhe
1
( ),
2 2( )
,
2 1
nqs i=2 +k-1
nqs i 2 1
k
k
k ki Ik i
kk k k
i Ik i
i k
x
fx k
ku
1 1 1 1,I [( 2 1) / 2 1,( 2 2) / 2 1)k k k k
k i i i
për i=2k-1+1, 2k-1+2,…,2k +k-1 dhe k1.
45
Menjëherë, vëmë re që 1 3[0,1/2) [0,1/2)
f d f d , meqënëse (x3 + x4)/3=x1. Me të
njëjtin arsyetim kemi
, ,1
s i s issI I
f d f d
për çdo i =2k-1+1, 2k-1+2,…,2k +k-2, k 2 dhe s = 2k+k-1.
Për s 2k+k-1 ne kemi gjithashtu
, ,, , , ,
( ) ( 1)1
1s i s i
s i s i s i s i
s ss i i sI II I I I
f d x d x d f ds
Kështu në qoftë se B0 është -fusha triviale që përbëhet nga dhe [0,1), dhe Bk është
-fusha e fundme e gjeneruar nga {Ik,i , i =2k-1+1, 2k-1+2,…,2k +k-1} k2 atëherë
( , )k k
f B është një martingale në 1([0,1), )L X .
Shembuj të quasi pemëve të pafundme jo triviale mund të gjenden në hapësirën 1[0,1).L
Ne do të tregojmë që mund të ndërtojmë quasi pemë të kufizuar por jo konvergjente në
këtë hapësirë. Në anën tjetër ajo është statistikisht konvergjente.
Le të jetë
1 [0,1/2)x , 2 [1/2,1)x , 3 [0,1/3)x … ,s is Ix
ku
s=2k-1+1, 2k-1+2,…,2k +k-1, k2 nqs s 2k+k-1 dhe ,
(2 1)s i
ks Ix k .
Martingalja nuk është konvergjente. Ne këtë rast shohim që
1|| || 1m Llf f nqs m =2k+k-1 dhe l=2k+1+k.
Në anën tjetër, në qoftë se shënojmë {2 1}kA k për çdo k dhe k 2 atëherë
| \ |lim 1n
A
n . Për çdo , 2 1ks r k marrim që
10
Ls rf f , kur ,s r N .
Si përfundim, quasi pema është martingale që konvergjon statistikisht, por nuk
konvergjon në mënyrë të zakonshme.
2.4 Martingalet e funksioneve uniformisht të integrueshëm
Në këtë çështje do të shqyrtohen martingalet uniformisht të integrueshme të
funksioneve st-Pettis të integrueshëm tek të cilat është bërë përgjithësimi i
konvergjencës sipas normës duke kaluar në konvergjencë statistikore sipas normës
duke përgjithësuar rezultate të Marraffa-s [19, 20].
Le të jetë E hapësirë Banach e normuar, B(E) sfera njësi dhe E* duali i saj. Përgjatë
kësaj çështje treshja ( , , ) F është hapësirë probabilitare dhe ( )n n NF familje e nën-
46
-algjebrave të F e tillë që m nF F në qoftë se m n . Për më tepër, pa humbur
përgjithësimin, do të pranojmë se F është plotësim i ( )nn F .
Teorema 2.4.1 Le të jetë ( , )n nf F një martingale uniformisht e integrueshme
funksionesh statistikisht Pettis të integrueshëm dhe supozojmë që gjendet një funksion
statistikisht dobësisht i matshëm :f E i tillë që ( )nx f konvergjon statistikisht
tek ( )x f pothuajse me siguri. Atëherë nf është statistikisht konvergjente tek f
sipas normës.
Vërtetim Meqënëse ( )n nf është uniformisht i integrueshëm funksioni
: ,nnE F i përcaktuar si më poshtë
( ) lim nn
A
A st f
është masë absolutisht e vazhdueshme me variacion të kufizuar dhe ajo mund të shtrihet
në të gjithë F dhe të jetë sërish masë absolutisht e vazhdueshme me variacion të
kufizuar. Për më tepër për çdo N me ( ) 0P N , ( ( ))nx f konvergjon
statistikisht tek ( ( ))x f për çdo x E * . Kështu, meqë f është st-Pettis i
integrueshëm dhe ( ) st f
. Atëherë x E * për çdo nnA F ,
lim nn
A A
st f st f
dhe nga pohimi 2.3.1 rrjedh vërtetësia e pohimit.
Le të vazhdojmë tani me një teoremë tjetër për martingalet uniformisht të integrueshëm
të funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm.
Teorema 2.4.2 [8] Le të jetë ( , )n nf F martingale uniformisht e integrueshme e
funksioneve st-Pettis të integrueshëm dhe le të jetë f një funksion dobësisht i
matshëm. Për më tepër le të jetë T nënbashkësi dobësisht ⃰ e dendur sipas vargjeve e
E , dhe pranojmë që ( )nx f është st-konvergjente tek ( )x f pothuajse me siguri, për
çdo x T . Atëherë f P'(E) dhe për çdo AF
limn nA A
st f st f
Për më tepër në qoftë se martingalja ( , )n nf F është satistikisht Cauchy në P'(E) ,
atëherë nf është st-konvergjent tek f sipas normës.
Vërtetim Le të jetë nnA F dhe shënojmë
( ) limA
nn
A st f .
47
Meqë ( , )n nf F është uniformisht e integrueshme, : nnE F është me variacion të
kufizuar dhe aditive e numerueshme, rrjedhimisht është fortësisht aditive.
Nga teorema e zgjerimit të Caratheodory–Hahn–Kluvanek, mund të shtrihet në një
masë aditive të numerueshme në F , absolutisht e vazhdueshme në lidhje me P dhe
me variacion të kufizuar. Gjithashtu
( ) lim nAn
A st f
ekziston për të gjitha AF . Le të jetë AF dhe fiksojmë 0 . Meqë ( )nf është
uniformisht i vazhdueshëm, gjendet 0 e tillë që, në qoftë se ( )P D atëherë
nD
st f
uniformisht në lidhje me n . Prandaj gjendet 1n dhe 1nBF e tillë që
( )P A B (shiko [14], f. 56). Në qoftë se 2 1n n , atëherë
n mB B
f f për çdo 2,n m n .
Kështu
/ / / /5
n mA A
n m n m n mB B B A B A A B A B
f f
f f f f f f
si rrjedhim ( ) lim nAn
A st f ekziston për të gjitha AF . Për çdo x T dhe
AF , nga teorema Vitali [5], kemi
( ) lim ( ) ( )nA An
x A st x f st x f . (1)
Gjithashtu, për çdo x E , ( ( ), )nnx f F është martingale me vlera reale e kufizuar në
1L , atëherë gjendet një ndryshore reale xf , e tillë që
( ) lim ( )nA An
xx A st x f f .
Le të jetë x E dhe zgjedhim ( )k kx T e tillë që, për çdo f E , ( )kx f konvergjon
tek ( )x f . Për çdo k
( ) ( ) ( )k k kA
x f x A x A
dhe, meqë nga teorema Banach–Steinhaus supk kx , vargu ( )k kx f është
uniformisht i integrueshëm në 1L . Atëherë nga teorema Vitali [5]
48
lim kA Ak
st x f st xf (2)
dhe f është skalarisht i integrueshëm.
Tani nga (1), për çdo k dhe AF
( )k kA
x A st x f .
Gjithashtu
lim ( ) ( )kk
st x A x A . (3)
Atëherë (1), (2) and (3) sjellin që
( )A
x A xf ,
për të gjitha x E dhe AF . Kështu f është statistikisht Pettis i integrueshëm dhe
(A)=stA
f për të gjitha AF . Gjithashtu kemi se
lim ( )A A
nn
st f A st f .
Meqënëse ( )n nf është një martingale kjo sjell që ( )n n
E f fF| . Supozojmë se ( )nf
është Cauchy në P'(E) . Duke zbatuar teoremën Doob–Helms për rastin skalar ne
përftojmë konvergjencën e kërkuar.
Rrjedhim 2.4.3 [8] Le të jetë ( , )n nf F martingale uniformisht e integrueshme
funksionesh statistikisht Pettis të integrueshëm, f një funksion fortësisht i matshëm.
Le të jetë T një nënbashkësi total e X dhe supozojmë se ( )n
x f është statistikisht
konvergjente tek xf pothuajse me siguri. Për çdo x T (bashkësia nul varet nga x ),
atëherë f P'(E) dhe nf është statistikisht konvergjent tek f sipas normës.
Vërtetim Nga teorema 1.1.13 për matshmërinë sipas Pettis ne mund të supozojmë se E
është separabël atëherë, meqë T është e mbyllur dhe dobësisht∗ e dendur, nga teorema
e mëparshme ne kemi se f është st-Pettis i integrueshëm dhe ( ) n nE f f| F për
.n Prandaj supozimi rrjedh nga pohimi 2.3.1.
Duke pranuar një kusht më të dobët për matshmërinë tek martingalja ( , )nnf F dhe mbi
ndryshoren f , në teoremën 1 [8] ne mund të dobësojmë hipotezën mbi bashkësinë.
Teorema 2.4.4 [26] Le të jetë ( , )nnf F një martingale uniformisht e integrueshme
funksionesh st-Pettis të integrueshëm. Supozojmë se ekziston një varg rritës bashkësish
të matshme ( )m mB , m mB F , i tillë që lim ( ) 1mm
P B dhe që funksionet f dhe nf të
ngushtuar tek secila mB janë statistikisht fortësisht të matshëm, 1,2,...n . Supozojmë,
49
për më tepër, që për çdo x T , ku T është bashkësi total, ( )nx f konvergjon
statistikisht tek ( )x f pothuajse me siguri. Atëherë f P'(E) dhe për çdo AF
limA An
nst f st f .
Gjithashtu në qoftë se martingalja ( , )nnf F është statistikisht Cauchy (Koshi) në P'(E),
atëherë nf konvergjon statistikisht tek f në normë.
Vërtetim Ashtu si në teoremën 2.4.2 le të jetë : E F zgjerimi absolutisht i
vazhdueshëm me variacion të kufizuar, tek F i masës
(A) lim nAn
nst f F .
Për çdo m shënojmë:
,
,
n
m
n Bm
n
n B
f I n m,f
f
n
I n
q
nqs m
s
.
Atëherë ( )m
n nf është një martingale uniformisht e integrueshme funksionesh st-Pettis të
integrueshëm e tillë që për të gjitha x T
( ) ( ) . .m
m
n Bx f x f p sI st
Nga rrjedhimi 2.4.3 rrjedh se
. .m
m
n B st p sf f I
Gjithashtu funksioni mBf I është st-Pettis i integrueshëm dhe për çdo x E , ( )
mBx f I
konvergjon statistikisht tek ( )x f . Familja { ( ) : , }mBx f I x E m është uniformisht
e integrueshme, meqë e tillë është { ( ) : , , }m
nx f x E n m . Atëherë nga teorema
Vitali [5]
lim ( ) ( )mB
mst x fI x f
dhe nga teorema Vitali [5], f është st-Pettis i integrueshëm. Për x T dhe AF
kemi
(A) st lim ( ) ( )A A An
nx x f st x f x f ,
ku barazimi i fundit është i vërtetë nga fakti se f është st- Pettis integrueshëm.
Meqënëse T është bashkësi total ne kemi që
( )A
A f .
Gjithashtu
( ) limA An
nA st f f .
50
Meqënëse ( )nnf është një martingale, kjo sjell që ( )n nE f f F . Tani supozojmë që
( )nf është statistikisht Cauchy (Koshi) në P'(E) , atëherë si në teoremën 2.4.2
konvergjenca e kërkuar rrjedh nga zbatimi i teoremës Doob–Helms për rastin skalar.
Teorema 2.4.5 Le të jetë ( , )n nf F një martingale uniformisht e integrueshme
funksionesh st-Pettis të integrueshëm fortësisht të matshëm, f një funksion dobësisht
i matshëm. Le të jetë T një nënbashkësi total e X , dhe supozojmë që ( )nx f
konvergjon statistikisht tek ( )x f p.s. për çdo x T . Atëherë f P'(E) dhe nf është
st-konvergjent tek f në normë.
Vërtetim Nga teorema 1.1.13 e Pettis për matshmërinë ne mund të pranojmë që E është
separabël, atëherë meqë T është e mbyllur dhe e dendur dobësisht ⃰ , vërtetimi rrjedh
nga teorema 2.4.2.
Teorema 2.4.6 Le të jetë ( , )n nf F një martingale uniformisht e integrueshëm
funksionesh st- Pettis të integrueshëm dhe supozojmë që ekziston një funksion
statistikisht dobësisht i matshëm :f E , i tillë që nx f konvergjon statistikisht
tek x f pothuajse me siguri në topologjinë e dobët. Atëherë nf është -
statistikisht konvergjente tek f .
Vërtetim Meqënëse nnf është uniformisht i integrueshëm funksioni F: nn
E
i përcaktuar si vijon
( ) lim nnA
A st f
është masë absolutisht e vazhdueshme me variacion të kufizuar dhe mund të shtrihet në
të gjithë F tek një masë absolutisht e vazhdueshme me variacion të kufizuar.
Gjithashtu, si në teoremën 2.4.2 për çdo FA
( ) lim nnA
A st f .
Për më tepër, për çdo N me ( ) 0P N , ( ( ))nx f konvergjon statistikisht tek
( ( ))x f për çdo x E * . Kështu, rrjedh se f është st-Pettis i integrueshëm dhe
( ) st f . Atëherë për çdo FnnA ,
lim nnA A
st f st f
dhe pohimi rrjedh nga Pohimi 2.3.1.
51
2.5 Martingalet e funksioneve st- Pettis të integrueshëm dhe vetia e dobët e
Radon-Nikodym
Në këtë çështje do të shohim se zëvendësimi i funksioneve statistikisht të integrueshëm
sipas Bochner me funksione statistikisht të integrueshme sipas Pettis-it do të na japë
një karakterizim të hapësirave Banach që gëzojnë vetinë e dobët të Radon-Nikodym.
Në rezultatet në vijim në ndjekim idenë e Musialit [30] për martingalet e funksioneve
Pettis të integrueshëm dhe jemi munduar të provojmë rezultatet e mëposhtme të cilat
janë për martingalet e funksioneve statistikisht Pettis të integrueshëm.
Le të jetë X një hapësirë Banach (reale ose komplekse), B(X) rruzulli njësi dhe X
duali i vet. Le të jetë S bashkësi joboshe, një -algjebër e nënbashkësive të S dhe
masë probabilitare e përkufizuar në .
Pohimi 2.5.1 Le të jetë 0 nën- - algjebër e dhe le të jetë f : S X funksion
dobësisht 0 i matshëm, i cili është gjithashtu st-Pettis i integrueshëm në 0 . Atëherë
f është gjithashtu st- Pettis i integrueshëm në .
Vërtetim Le të jetë 0: X masë e dhënë nga:
E
E st f d .
Shënojmë për çdo F :
0|FS
F st E d
Atëherë, për çdo x X dhe F
0
0
0
|
|
|
FS
FS
FS F
x F st E dx
st E x f d
st E x f d st x fd .
Kjo provon që F
F st f d .
Funksioni nn N: X
i përcaktuar si
nn
E st lim E
quhet funksion limit i ( )n nf , ,n .
Është e qartë se
n n nn
E st lim E sup E
ka vend për çdo nnE .
Teorema 2.5.2 Le të jenë X një hapësirë e Banach dhe S, , një hapësirë
probabilitare atëherë pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
i) X ka masë me vetinë e rangut kompakt. (Compact Rang Property (CRP));
ii) Çdo martingale uniformisht e integrueshme ( )n nf , ,n funksionesh të
thjeshtë me vlera nga X, në S, , është st- Cauchy në P'(S, , ,X ) ;
52
iii) Çdo martingale e kufizuar uniformisht e integrueshme ( )n nf , ,n
funksionesh të thjeshtë me vlera nga X, në S, , është st- Cauchy në
P'(S, , ,X ) .
Vërtetim i ii Pranojmë se ka vend (i) dhe le të jetë ( )n nf , ,n martingale
uniformisht e integrueshme. Pa humbur përgjithësimin supozojmë se nn .
Le të jetë nn N: X
funksioni limit i martingales. Prej integrueshmërisë
uniforme rrjedh që është -e vazhdueshme me variacion të fundëm. Kështu, ekziston
një masë -e vazhdueshme : X me variacion të fundëm që është zgjerimi i
vetëm i në të gjithë . Nga supozimi është bashkësi kompakte e kushtëzuar
dhe kështu, nga pohimi 2.3.2, martingalja ( )n nf , ,n është st- Cauchy në
P' ,X .
ii iii Le të jetë ( )n nf , ,n martingale uniformisht e kufizuar funksionesh
me vlera në X në S, , dhe le të jetë M e tillë që për x X të dhënë dhe n N
mosbarazimi
nx f M x
Ka vend - statistikisht p.k. Atëherë, ne kemi për çdo E
nE
E sup st x f d : x B X M E
dhe kështu martingalja është uniformisht e integrueshme.
Po të aplikojme tani (ii) marrim vetinë e kërkuar të ( )n nf , ,n .
iii i Le të jetë : X masë e vazhdueshme me variacion të fundëm. Nga
një rezultat i Phillips ([35], Lema 5.4) mund të supozojmë që
E M E
për të gjitha E dhe M pozitive.
Kështu ( )n nf , ,n është martingale uniformisht e kufizuar funksionesh të thjeshtë.
Në qoftë se 1 2n n ... atëherë, nga supozimi, ( )
k kn nf , ,k është st-Cauchy në
P ,X , dhe kështu ( )n nf , ,n është st-Cauchy. Nga pohimi 2.3.2 funksioni limit
i ( )n nf , ,n është me rang relativisht kompakt sipas normës.
Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.
Përkufizim 2.5.3 X gëzon vetinë e dobët të Radon-Nikodym në qoftë se dhe vetëm në
qoftë se për çdo S, , të plotë dhe çdo masë të vazhdueshme : X me
variacion të fundëm ekziston f P'( S, , ,X ) , e tillë që
E
E st f d për çdo E .
53
Pohim 2.5.4 Në qoftë se X ka vetinë e dobët të Radon-Nikodym-it atëherë ajo ka
gjithashtu vetinë e rangut kompakt.
Vërtetim Le të jetë S, , hapësirë probabilitare dhe le të jetë : X masë
e vazhdueshme me variacion të fundëm. Pa humbur përgjithësimin ne mund të
supozojmë se është e plotë. Për më tepër, gjendet hapësira probabilitare e plotë
perfekte S, , e tillë që:
a) S S dhe S
b) E S E për çdo E
Ndërtojmë masën : X duke shënuar
E E S për çdo E .
Duket qartë se është -e vazhdueshme dhe .
Meqë X ka vetinë e dobët të Radon-Nikodym-it gjendet f P' S, , ,X , e tillë
që
E
E st f d për çdo E .
Kështu, rangu i është nënbashkësi e X relativisht kompakte sipas normës, atëherë
edhe rangu i është relativisht kompakt sipas normës po ashtu.
Teorema 2.5.5 Për hapësirën Banach X dhe hapësirën probabilitare S, , kushtet e
mëposhtme janë ekuivalente, nëse hapësira probabilitare S, , është e plotë:
i) X ka vetinë e dobët të Radon-Nikodym;
ii) Çdo martingale funksionesh të thjeshtë uniformisht e integrueshme
( )n nf , ,n e X në S, , është statistikisht konvergjente në P'(S, , ,X ) ;
iii) Çdo martingale funksionesh të thjeshtë të kufizuar uniformisht e integrueshme
( )n nf , ,n e X në S, , është statistikisht konvergjente në P'(S, , ,X ).
Vërtetim
i ii Le të jetë ( )n nf , ,n martingale uniformisht e integrueshme
funksionesh me vlera në X i përcaktuar në S, , . Ne duhet të tregojmë ekzistencën
e një funksioni f P'(S, , ,X ) i cili plotëson barazimin
0n
nst lim f f .
Nga pohimi 2.5.1 mund të pranojmë pa humbur gjë se është plotësimi i nn
në lidhje me tkurjen e tek nn .
Le të jetë nn N: X
funksioni limit i martingales. Prej integrueshmerisë
uniforme rrjedh që është -e vazhdueshme me variacion të kufizuar. Kështu,
ekziston një masë -e vazhdueshme : X me variacion të fundëm që është
zgjerimi i vetëm i në të gjithë . Nga pohimi (i) gjendet :f S X , i tillë që:
E
E st f d kur E .
54
Nga pohimi 2.5.4 E bashkësi relativisht kompakte sipas normës dhe kështu nga
pohimi 2.3.2 rrjedh që ( )n nf , ,n është statistikisht Cauchy (Koshi) në
P'(S, , ,X ) . Duke zbatuar tani teoremën e Doob dhe Helms për martingalen
( )n nx f , ,n , x X , marrim
0n
nst lim f f .
ii iii është rrjedhim i integrueshmërisë uniforme të çdo martingale uniformisht
të kufizuar.
iii i Le të jetë : X masë e vazhdueshme me variacion të fundëm. Pa
humbur përgjithësimin mund të supozojmë se
E M E
për të gjitha E .
Në këtë rast ( )n nf , ,n është martingale uniformisht e kufizuar funksionesh të
thjeshtë. Për më tepër nga supozimi rrjedh që, ( )n nf , ,n është st- Cauchy (Koshi)
në P' ,X .
Prej teoremës Radon-Nikodym-it ekziston një funksion dobësisht i matshëm
f : S X i tillë që
E
x E st x f d
për të gjitha E dhe x X .
Duket qartë tani që kushti st-Cauchy (Koshi) për martingalet dhe teorema e Doob and
Helms e zbatuar për nnx f , ,n N sjell relacionin
0n
nlimsup st x f f d : x B X
,
prej nga rrjedh se ekziston një varg 1 2n n ... i tillë që:
E Ek knst lim x f d st x f d x E
për të gjitha E dhe x X .
Meqënëse nga supozimi gjendet g P'(S, , ,X ) , e tillë që:
0k knlim f g
marrim barazimin
E
E st g d
për çdo E .
55
KAPITULLI 3
MARTINGALET ASIMPTOTIKE TË FUNKSIONEVE
STATISTIKISHT TË INTEGRUESHËM
Tashmë dihet që martingalja klasike është një nga proceset më të rëndësishme
stohastike dhe teoria e martingaleve është një mjet i nevojshëm në analizën stohastike
dhe zbatime të saj (për shembull në matematikën financiare). Me zhvillimin e teknikave
të stopping time-ve u bë e mundur gjenerimi i koncepteve të martingaleve. Rezultati i
kësaj përpjekjeje ishte edhe futja në përdorim e konceptit dhe studimi i detajuar i
martingaleve aimptotike (amartet). Studimi i amarteve është i rëndësishëm sepse nuk
është vetëm një zgjerim i teorisë së martingaleve, por gjithashtu përfshin shumë
teorema klasike të limitit. Ndër autorët që kanë studiuar amartet mund të përmendim
Chacon dhe Sucheston [28] me studimin e tyre mbi martingalet asimptotike të
funksioneve Bochner të integrueshëm si dhe Uhl [32], Egghe [33] me studimet mbi
martingalet asimptotike të funksioneve Pettis të integueshëm.
Në këtë kapitull kemi bërë shtrirjen e disa rezultateve të Chacon dhe Sucheston [28]
dhe Bellow [44] për martingalet asimptotike të funksioneve Bochner të integrueshëm
duke zëvendësuar këto funksione me funksione statistikisht Bochner të integrueshëm,
fillimisht duke shqyrtuar disa nga vetitë e amarteve, e më pas, duke shqytuar
konvergjencën e tyre statistikore pothuajse kudo.
3.1 Njohuri paraprake
Le të jetë , , hapësirë probabilitare. Shënojmë 1 2 3 , , ,... , 3 2 1 ... , ,
dhe le të jetë D shënimi për ose . Le të jetë n n D
F familje rritëse nën- -
algjebrash të F , dmth., në qoftë se n m , atëherë n mF F . Një stopping time i
vargut n n D
F është funksioni : i tillë që nn F për të gjitha
n D . Le të jetë DT T bashkësia e të gjithë stopping time-eve të kufizuara.
Le të jetë n Dnf
familje e adaptuar ndryshoresh rasti, :nf është n F i
matshëm për çdo n D . Për një stopping time , përcaktojmë ndryshoren e rastit f
si f f .
Përkufizim 3.1.1 Vargu n n Df
thuhet se është martingale asimptotike (amart) për
n n D
F në qoftë se dhe vetëm në qoftë se nst f për të gjitha n D dhe
T
st f
konvergjon.
56
Vëmë re që n n DX
është amart për vargun rritës n n D
F të algjebrave, atëherë
ai është gjithashtu amart për vargun rritës të algjebrave n n DG , në qoftë se nf
është i adaptuar në lidhje me n n DG dhe n n G F .
Lema 3.1.2 Le të jetë nf një varg ndryshoresh të tilla që T
sup st f , atëherë për
çdo numër pozitiv
1n
n T
sup f sup st f .
Vërtetim Le të jetë N një numër i plotë pozitiv i fiksuar dhe përcaktojmë T si vijon:
Në qoftë se n N , 1 1 0 0n nf ,..., f , f le të jetë n . Në qoftë se
1n
n N
sup f
, shënojme N . Le të jetë 1
N nn N
A sup f
, për të cilën kemi
N
NAT
sup st f st f st f A .
Tani mjafton të kalojmë në limit kur N dhe marrim mosbarazimin e kërkuar.
Lema 3.1.3 Le të jetë n n Df
një amart për
n n DF . Atëherë
Tst f
është st- i
kufizuar.
Vërtetim Do të provojmë vetëm rastin D ; rasti tjetër provohet njësoj. Meqënëse
T
st f
konvergjon, gjendet N , e tillë që
1Nst f st f për të gjitha N .
Në qoftë se është ndonjë stopping time e kufizuar, atëherë
1
N nn N
st f max f
dhe 1N Nf f ,
kështu:
1
1N N N nn N
st X f f f max f
.
Prandaj T
sup f .
Është e qartë se kombinimi linear i amarteve është amart. Tani do të tregojmë që dhe
maksimumi dhe minimumi janë po ashtu amarte.
Pohim 3.1.4 Le të jenë n n Df
dhe n n D
g
vargje të adaptuar në lidhje me n n DF .
Në qoftë se D , supozojmë për më tepër që ata janë 1L -të kufizuar.
57
Atëherë
(a) Në qoftë se T
st f
dhe T
st g
janë të kufizuar nga sipër (poshtë)
atëherë edhe T
st f g
dhe T
st f g
janë të kufizuara nga
sipër (poshtë).
(b) Në qoftë se nn D
st f
dhe nn D
st g
janë amarte atëherë edhe
n nn D
st f g
dhe n nn D
st f g
janë amarte.
Vërtetim
(a) Ne do të tregojmë vetëm një nga supozimet, supozimi tjetër rrjedh për simetri.
Le të jenë T
st f
dhe T
st g
të kufizuar nga sipër dhe le të jetë T .
Zgjedhim n D , n ( në qoftë se D , zgjedhim 1n ). Shënojmë , ' T
me
0
0
nqs f
n nqs f
,
0
0
' nqs g
n nqs g .
Atëherë
0 0
0 0n n
X YT
n ' nX Y
T D n T D n
st f g f g
f f g g
sup f sup f sup g sup g
Kështu, Tsup st f g .
(b) Le të tregojmë tani se n nf g është amart. Njësoj do të tregohet që n nf g është
amart.
Shënojmë n n nZ f g . Nga lema 3.1.3 st f dhe st g janë të kufizuar. Nga
pika (a), T
st Z
është e kufizuar. Le të jetë dhënë 0 . Ne mund të zgjedhim
0 T të tillë që, në qoftë se 0, , atëherë
f f , g g . (1.1)
Meqënëse st Z është e kufizuar, mund të zgjedhim 1 0 të tillë që, në qoftë se
0 , atëherë
1st Z st Z . (1.2)
58
Tani për ndonjë stopping time të kufizuar 1 , Le të jetë 1 1
A f g dhe
përcaktojmë 1 T me
1 1 në
në
c
A
A .
Atëherë
1 1 1cA Af Z f (1.3)
1 1cA Af f f . (1.4)
Zbresim barazimin (1.4) nga (1.3), dhe duke përdorur mosbarazimin (1.1) kemi që:
1 1 1c c
c
A A
A
Z f f f
Z .
(1.5)
Përsëri
1 1 1cA Ag Z g (1.3’)
1 1cA Ag g g . (1.4’)
Zbresim barazimin (1.4’) nga (1.3’), dhe duke përdorur mosbarazimin (1.1) kemi që:
1 1 1A A
A
Z g g g
Z .
(1.5’)
Duke kombinuar tani mosbarazimet (1.5) dhe (1.5’), kemi
12Z Z .
Nga ky mosbarazim dhe nga (1.2) kemi
12Z Z .
Kjo sjell që T
st Z
është st-Cauchy (Koshi), pra konvergjent.
Rrjedhim 3.1.5 Le të jetë n n Df
amart për n n D
F . Në qoftë se D , supozojmë
gjithashtu që nsup f . Atëherë
a) 0n n n nf , f , f , f janë amarte 1L - të kufizuara për n n D
F ;
b) Tsup st f ;
c) nsup f , p.k.
59
Vërtetim
(a) nf dhe nf janë amarte, kështu nga pohimi i mësipërm 3.1.4,
n n nf f f është amart. Në qoftë se ng për të gjitha n, atëherë ng
është amart 1L - i kufizuar, kështu 0 0n n n nf f , f f dhe nf
janë amarte 1L - të kufizuara.
(b) Nga pika (a), nf është amart 1L - i kufizuar, kështu nga lema 3.1.3
Tsup st f .
(c) Nga pika (b) dhe lemma 3.1.2 kemi që nsup f , p.k.
Pohim 3.1.6 Le të jetë n n Df
amart për familjen rritëse n n D
F të algjebrave.
Le të jetë n n DG një tjetër familje rritëse e algjebrave me n nG F për të gjitha
n D . Atëherë |n n ng E f G është amart për n n DG .
Vërtetim Çdo stopping time e n n DG është gjithashtu stopping time e n n D
F dhe
st f st g .
Pohim 3.1.7 Le të jetë n nf
nje amart për n n
F dhe le të jetë k k një
varg jozbritës stopping times të kufizuara për nF . Shënojmë kkg f dhe
për të gjithakk nA : A n n G F F F .
Atëherë k kg
është një amart për k k
G .
Vërtetim algjebra kG është e përcaktuar, kështu që kg është kG -e matshme
dhe në qoftë se është stopping time për kG , atëherë është stopping time për
kF . Për 0 të dhënë, zgjedhim N të tillë që
'f f
për të gjitha stopping time-et e kufizuara , ' për nF me , ' N .
Shënojmë kk
st lim
; është stopping time për nF .
Tani kemi se
k N Nf f kur k dhe
kk Nsup f ,
kështu nga teorema e konvergjencës së dominuar (teorema 1.3.3) vargu k k
Nf
është amart.
60
Zgjedhim K , të tillë që
'N Nf f
për të gjitha stopping time-et e kufizuara , ' për kG me , ' K .
Le të jenë , ' K ; ', janë stopping time për nF , kështu
2' '' N N N Ng g f f f f
.
Le të shohim tani se çdo martingale është amart.
Vargu i adaptuar n n Df
quhet martingale në qoftë se dhe vetëm në qoftë se
nst f për të gjitha ën t dhe
|n m mE(f ) fF për të gjitha n,m D me n m .
Në veçanti n mst f st f . Në qoftë se T , zgjedhim n D me n , atëherë
k n n{ k} { k}
k k
st f f f st f
.
Kështu st f është konstant. Prandaj çdo martingale është amart.
3.2 Teorema konvergjence për martingalet asimptotike
Le të shohim në këtë çështje disa teorema në lidhje me martingalet asimptotike
(amartet). Shënimet n n DD, ,T
F do të jenë njësoj si në çështjen e parë. Në qoftë se
D , ne do të përdorim shënimin F për algjebrën e gjeneruar nga nnF ;
në qoftë se D , ne do të shkruajmë n
n
F F . Këtë çështje do ta fillojmë me
një lemë.
Lema 3.2.1 a) Le të jetë D , dhe le të jetë g ndryshore rasti F e matshme e
tillë që për çdo , numri g është pikë limite e vargut n nf
. Gjendet
k T k , me 1k k dhe k k , e tillë që kk
lim f g
statistikisht pothuajse
kudo.
b) Le të jetë D , dhe le të jetë g një ndyshore rasti F e
matshme e tillë që për çdo , numri g është pikë limite e vargut n nf .
Gjendet k T k , me 1k k dhe k k , e tillë që
kklim f g
statistikisht
pothuajse kudo.
61
Vërtetim Për ndonjë N D dhe 0 të dhënë, ndërtojmë një stopping time T
me përN N D , të tillë që
1f g .
Duke zbatuar induktivisht këtë argumentim marrim një varg k k D të tillë që
kf g
sipas masës dhe, duke marrë një nënvarg i cili konvergjon p.k., përfundon dhe
vërtetimin e teoremës.
Le të fillojmë të provojmë a). Le të jetë N dhe 0 të dhënë. Meqënëse g është
F -i matshëm gjendet N' N dhe ndryshorja g' e cila është N' F -e matshme e tillë
që
12 2
g g'
.
Meqënëse g është pikë limite e n nf
për të gjitha , rrjedh që
për ndonjë 12 2
n: f g' n N'
.
Prandaj, gjendet N" N' e tillë që 12
A
, ku
për ndonjë me2
nA : f g' n N' n N"
.
Përcaktojmë : me
2
nmin n : N' n N" dhe f g' nqs A
N" nqs A
Atëherë T dhe 1f g .
Tani do të provojmë pikën b) të lemës. Le të jenë N dhe 0 të dhëna.
Meqënëse g është një pikë limite e vargut n nf
për të gjitha , rrjedh që
për ndonjën: f g n N ,
prandaj, gjendet N' N e tillë që 1A , ku
për ndonjë menA : f g n N' n N .
Përcaktojmë : si më poshtë
nmin n : N' n N dhe f g nqs A
N nqs A
62
Atëherë T (meqë g është n F i matshëm për të gjitha n) dhe plotëson vetinë e
kërkuar
1f g .
Pohim 3.2.2 Le të jetë n n Df
varg ndryshoresh të matshme i tillë që
D nst sup f . Atëherë pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
a) nf konvergjon st-p.k.;
b) nf është amart.
Vërtetim Supozojmë se nf konvergjon statistikisht pothuajse kudo tek g . Në qoftë
se n T dhe n , atëherë
nf g statistikisht pothuajse kudo,
kështu nga teorema e konvergjencës së dominuar ne kemi
nst f st g statistikisht p.k.
Kështu st f konvergjon statistikisht tek st g .
Anasjellas, supozojmë se nf është amart. Le të jenë nf lim sup f , nf lim inf f
nga lema 3.2.1 gjenden vargjet
n n, T me n , n
dhe
nf f
, n
f f st-p.k..
Nga teorema e konvergjencës së dominuar (teorema 1.3.3) kemi
0n nnf f st lim f f
, kështu f f
p.k,
prej nga rrjedh se nf konvergjon statistikisht p.k..
Teorema 3.2.3 Le të jetë n n Df
një amart. Në qoftë se D , supozojmë gjithashtu
që nsup st f . Atëherë n n D
f
konvergjon st-p.k.
Vërtetim Nga pika (c) e rrjedhimit 3.1.5 ne kemi që nsup f st-p.k. Prandaj në
qoftë se 0 është e madhe, atëherë nsup f ka arbitrarisht masë të vogël. Tani
nga pika (a) e rrjedhimit 3.1.5 vargu n n Df
është amart. Nga pohimi 3.2.2
vargu nf konvergjon st-p.k..
63
Meqënëse
për të gjithan nf f n
ka masë arbitrarisht afër 1, ne kemi që nf konvergjon st-p.k.
Lema 3.2.4 Le të jetë n nf
amart, një stopping time. Atëherë nn
f f
është
amart.
Vërtetim Zbatojmë pohimin 3.1.4 me n n . Në këtë rast është e lehtë të shihet që
n n F F , n dhe ( nnf ,
F ) është amart.
Përkufizim 3.2.5 Vargu i ndryshoreve n nf
është i parashikueshëm (për vargun
n n DF të algjebrave ) në qoftë se dhe vetëm në qoftë se nf është i matshëm në
lidhje me 1nF për të gjitha ën t .
Teorema 3.2.6 Le të jetë n nf
amart i parashikueshëm. Atëherë gjendet një
bashkësi G e tillë që nf konvergjon st-p.k. në G dhe nlim sup f ,
nlim inf f në Gc.
Vërtetim Le të jetë dhënë 0 . Le të jetë nG sup f . Përcaktojmë një
stopping time si në vijim:
1 1
për
me i vogli nr i tillë që përk k
G
.k f ,..., f , f G
Meqënëse nf është i parashikueshëm dhe stopping time nga lema 3.2.4, n nf̂ f
është amart. Gjithashtu nf̂ kështu nˆsup st f prej nga nf konvergjon
statistikisht pothuajse kudo. Tani n nˆf f për të gjitha n në bashkësinë
nG sup f , kështu nf konvergjon statistikisht p.k. në G . Pra nf konvergjon
statistikisht p.k. në
n nG sup f limsup f .
Njësoj tregohet se nf konvergjon statistikisht p.k. në bashkësinë
nlim inf f .
Le të jetë n nG limsup f lim inf f .
Teorema 3.2.7 Le të jetë n nf
amart. Le të jetë k varg rritës i kufizuar stopping
times me k k k .
64
Supozojmë që
1k kk
st sup f f
.
Atëherë gjendet një bashkësi G e tillë që nX konvergjon statistikisht pothuajse
kudo në G dhe
nlim sup f , nlim inf f në cG .
Vërtetim Le të jetë dhënë 0 . Përcaktojmë stopping time-et dhe ' si në vijim:
në qoftë se k është numri i plotë më i vogël i tillë që kf atëherë ;k' k , në
qoftë se kf për të gjitha k atëherë ' . Përcaktojmë stopping time n' me
në
në
n' n n '
n '
dhe le të jetë nn 'f f
. Në qoftë se ' n , atëherë n , kështu n' është e kufizuar.
Nga pohimi 3.1.4 nf
është amart. Tani në qoftë se n ' , atëherë n
f ,
dhe në
qoftë se n ' , atëherë knf f
ku k ' , dhe 1kf . Kështu, në secilin rast
1k knk
f sup f f
,
prej nga rrjedh se
nsup f
.
Nga teorema 3.2.3 nf konvergjon statistikisht p.k. Tani nnf f
për të gjitha ën t në
bashkësinë
nG sup f ,
kështu nf konvergjon st-p.k. në G . Prandaj nf konvergjon statistikisht pothuajse
kudo në
n nG sup f limsup f .
Njëlloj nf konvergjon statistikisht p.k. në nlim inf f .
Teorema 3.2.8 Supozojmë se D . Le të jetë n nf
varg i adaptuar
ndryshoresh rasti, të tilla që T
st f
të jetë i kufizuar. Atëherë T
f është
uniformisht i integrueshëm.
65
Vërtetim Nga pohimi 3.1.3 T
st f
është i kufizuar. Le të jetë dhënë 0 .
Zgjedhim 0 T të tillë që për të gjitha T ,
0st f st f .
Le të jetë N e tillë që 0N , nga lema 3.1.2 gjendet 0 e tillë që
nn N n
sup fmax f .
Le të jetë një stopping time e kufizuar N . Le të jetë A f dhe përcaktojmë
1
0
në
në c
A
A .
Atëherë
1 0 02
A Ast f f f f .
Në qoftë se është një stopping time e kufizuar, kemi N N , dhe
3
n n Nn N n N
f sup f ff sup f f .
Kështu T
f është uniformisht i integrueshëm.
3.3 Amartet e funksioneve st-Bochner të integrueshëm
Në këtë çështje do të shqyrtojmë disa teorema në lidhje me martingalet asimptotike të
funksioneve st-Bochner të integrueshëm në hapësirën e Banach. Le të jetë E një
hapësirë e Banach.
Teorema 3.3.1 Në qoftë se m E , nf statistikisht të integrueshëm në E, dhe për
çdo bashkësi të matshme F E , Fn
nlim f ekziston dhe është e fundme, atëherë
nst f janë uniformisht absolutisht të vazhdushme.
Vërtetim Supozojmë se integralet nuk janë uniformisht absolutisht të vazhdueshëm.
Atëherë ekziston 0 e tillë që për çdo N dhe 0 gjendet një bashkësi e
matshme Z me m Z dhe 0n N me
0Znst f .
Duke marrë në konsideratë bashkësitë ku 0
0nf dhe
00nf
, për çdo N marrim
një bashkësi M me m M dhe 0n N me
0Mnst f .
66
Hapi 1. Do të tregojmë se gjendet një varg bashkësish dy e nga dy jo prerëse M dhe
një varg rritës numrash të plotë n të tilla që
2Mnst f
për të gjitha .
Fillimisht zgjedhim një nënbashkësi 1Z të E dhe 1n të tillë që
11 2Z
nst f
.
Vëmë re se ekziston 0 mjaftueshëm e vogël, e tillë që, në qoftë se 1Z' Z me
m Z' , atëherë përseri kemi
11 \ 2Z Z'
nst f
.
Nga supozimi ynë marrim tani 2 1n n dhe një bashkësi 2Z me 2m Z , por
22 2Z
nst f
. Meqënëse 2 1m Z Z , ne kemi
11 2 1\ 2Z Z Z
nst f
dhe
22 2Z
nst f
.
Në të njëjtën mënyrë marrim 3 2n n dhe një bashkësi 3Z me masë mjaft të vogël dhe
11 1 2 3\Z 2Z Z Z
nst f
,
22 3 2\ 2Z Z Z
nst f
,
33 2Z
nst f
.
Duke vazhduar në këtë mënyrë përftojmë një varg rigorozisht rritës n dhe bashkësitë
Z të tilla që
11 1 2\Z 2Z Z ... Z
nst f
,
22 2 3\ 2Z Z Z ... Z
nst f
,…,
2Znst f
.
Shënojmë:
.………………………
.
janë dy e nga dy jo prerëse dhe për të gjitha , duke plotësuar
kështu vërtetimin e hapit të parë.
1 1 1 2\ jj
M Z Z Z
2 2 2 3\ jj
M Z Z Z
1\ jj
M Z Z Z
M 2M
nst f
67
Hapi 2. Dihet se për çdo bashkësi të matshme , ekziston dhe është i
fundëm. Duke u mbështetur në hapin e parë do të tregojmë se nuk
ekziston për ndonjë , gjë që do të plotësojë vërtetimin e teoremës. Le të jenë
dhe si në hapin e parë, shënojmë dhe në mënyrë që . Nga
vazhdueshmëria absolute e , gjendet e tillë që në qoftë se (Z) ,m 1
atëherë . Meqënëse ekziston (dhe është i fundëm),
gjendet e tillë që
në qoftë se dhe .
Duke qenë se ekziston , e tillë që, në qoftë se , atëherë
.
Meqënëse bashkësitë janë nënbashkësi të matshme joprerëse të E, dhe
ekziston e tillë që dhe ( )m M
21 . Shënojmë .
Duke qenë se ekziston , e tillë që në qoftë se , atëherë
Znst f
2 12.
Meqënëse ekziston, gjendet e tillë që
në qoftë se dhe .
Sërish ekziston , e tillë që, në qoftë se , atëherë
dhe ekziston e tillë që dhe .
Shënojmë .
MMn
nst lim f
Mnnst lim f
M 1M
1n 1 1G M 1 1 1 1n n
1nst f 1 0
1 12Znst f
1Gnnst lim f
1 1N n
1 1 12G G
n n'st f st f
1n N 1n' N
1 1 10 1m Z
1 12N
Zst f
M m E
2 2 1n N 1 22G M M
2 2 10 2m Z
2Gnnst lim f
22N n
2 2 12G G
n n'st f st f
2n N 2n' N
2 2 20 2m Z
2 12N
Zst f
3 3 2n N 3
2m M
1 2 33G M M M
68
Duke vazhduar në këtë mënyrë marrim dy vargje numrash të plotë pozitiv dhe
me
(I) ,
e dy vargje numrash pozitive dhe me
(II)
që kanë vetitë
(III) ,
ku janë si në hapin e parë;
(IV) në qoftë se ,
(V) në qoftë se .
Për më tepër në qoftë se , atëherë
(VI) në qoftë se dhe .
Kujtojmë nga hapi i parë që
(VII) për të gjitha .
Shënojmë dhe , tani kemi
(VIII)
Nga (VI) . Meqënëse
, nga (V) ;
dhe meqënëse
nga (IV) .
jn
jN
1 21 2 i in N n N ... n N ...
j j
1 1 2 2 i i... ...
1i
i im M
M
12in
Zst f
im Z
12iNZ
st f
im Z
1 j
i
i jG M
12i iG Gn n'f f
in N in' N
2ii
Mnst f
i
1 iiM M
\i iR M G
1i iM MnNf f
1 11 1 1
1 11 1 1
i ii i ii i i i
i ii i ii i i i
i
i
G G R M R
M G G R R
n n nN N
n n nN N
f f f f f
f f f f f
11 1 12i ii iG G
nNf f
1 1i im R 1
1 12iiR Nf
i im R 12iiR
nf
69
Këto pohime së bashku me (VII) dhe (VIII) sjellin se
për të gjitha .
Kështu nuk mund të ketë limit të fundëm kur , gjë që kundërshton
hipotezën pra mbetet që teorema është e vërtetë.
Teorema 3.3.2 (Vitali-Hahn-Saks) Le të jetë hapësirë e matshme dhe
varg i vazhdueshëm funksionesh aditiv me vlera skalare ose vektoriale në . Në
qoftë se ekziston për çdo E nga atëherë
uniformisht për n=1,2,….
Vërtetim Nga teorema 3.3.1, është e vazhdueshme në dhe kështu për çdo
bashkësitë
,
,
janë të mbyllura në hapësirën metrike . Meqënëse ekziston për çdo
E nga , ne kemi . Tani nga teorema I.6.9 [3] kemi që njëra nga
bashkësitë ka një pikë të brendshme. Kështu ekziston një numër i plotë , një
numër pozitiv dhe një bashkësi e tillë që
,
për çdo bashkësi E në sferën
Le të zgjedhim të tillë që për çdo me
kështu që bashkësitë janë të dyja në . Atëherë
tregon që për të gjitha .
Rrjedhim 3.3.3 Le të jetë hapësirë e matshme dhe varg i
vazhdueshëm funksionesh aditiv me vlera skalare ose vektoriale në .
1 2 12 12 12 4i iM MnNf f
i
Mnf n
S, , n
nn
st lim E
0
0n,E
lim E
n
0
| 1 2n,m n mE E , E E , n,m , ,...
1 2p n,m
n,m p
, p , ,...
nn
st lim E
1 pp
p k
n A
n mE E , n,m k
|K E E , ,A E r
0 r 1 2n B , n , ,...,k B
,B A B, A B K
n k n k
k n k n k
B B B B
B A B A B A B A B ,
3n B 1 2n , ,...
S, , n
70
Në qoftë se ekziston për çdo E nga dhe variacion total
atëherë funksioni
është aditiv i numërueshëm në .
Vërtetim Aditiviteti i rrjedh nga aditiviteti i dhe për të treguar që është aditiv i
numërueshëm mjafton të tregojmë që për çdo varg zbritës me
prerje boshe. Meqënëse rrjedh që, për vargje të tillë,
dhe kështu, nga teorema, për çdo ekziston një numër i tillë që
Si përfundim
.
Lema 3.3.4 Le të jetë një varg ndryshoresh të tilla që , atëherë
për çdo numër pozitiv
.
Vërtetim vërtetimi është i njëjtë si te lema 3.1.2.
Lema 3.3.5 Le të jetë k numër pozitiv i fiksuar, . Në qoftë se ekziston
, atëherë konvergjon statistikisht.
Vërtetim Për të dhënë gjendet një numër i tillë që në qoftë se
atëherë
.
Tani për të dhëna përcaktojmë si më poshtë. Le të jetë një numër
dhe shënojmë
në A,
në A,
në .
nn
st lim E ,S
nn
E st lim E
n
0mE mE
1m k k
k m
,E ,E E
0m,E 0 m
1 2n mE , m m , n , ,...
mE , m m
nf T
sup st f a
1n
n T
P sup f a sup st fa
kA F
Tst lim f z A
Tst f
0 N k1 1 N, T
1 1f f
N, T 1 1, 1N
1 1max ,
1
1
1 1 1N cA
71
Atëherë kemi
, për ;
.
Kështu është stopping time. Njëlloj tregohet që edhe është stopping time. Atëherë
kemi
,
gjë e cila përfundon vërtetimin e lemës.
Teorema 3.3.6 Supozojmë që E është hapësirë Banach me dual separabël dhe me vetinë
e Radon-Nikodym-it. Në qoftë se është martingale asimptotike me vlera në E, e
tillë që
, (*)
Atëherë nf konvergjon statistikisht pothuajse kudo në topologjinë e dobët të E.
Vërtetim Mbështetur në lemat 3.3.4 dhe 3.3.5 problemi i konvergjencës së amarteve
që plotësojnë kushtin (*) kthehet në problemin e konvergjencës së amarteve që
plotësojnë kushtin .
Le të jetë një konstante pozitive. Përcaktojmë një stopping time si më poshtë
për të gjitha , përndryshe është e parë që .
Le të jetë , atëherë .
Vërtet në . Në , kështu
nga lema Fatou (lema 1.2.4) dhe nga fakti se inferiori i dy stopping time-eve është
stopping time. Qartësisht në A, kështu .
Meqënëse
,
kështu është amart.
1 1 1N N 1 nn n A F1n [ N,N )
11 1
c
k NN A F F
1 1
1 1A Af f f f
nf
T
sup st f
1nn
sup f L'
a
nnqs f a n n nf a
nn
g sup f st g
st g a A nf f
n nA A An n T
st f liminf st f liminf st f sup st f M
nf f st g a M
' ' ' 'st f f st f f
nf
72
Nga lema 3.3.4, përputhet me me përjashtim të ndonjë bashkësie masa e
të cilës është e vogël, në qoftë se është e madhe. Kështu, ne mund të pranojmë pa
humbur përgjithësimin se vetë është e tillë që .
Përcaktojmë tani një varg të përgjithësuar masash me vlerë në E , me
.
Nga lema 3.3.5 ekziston për çdo . Në qoftë se
atëherë për çdo ekziston një bashkësi , e tillë që
. Meqënëse për të gjitha ,
,
kjo sjell që
ekziston për çdo AF . Qartësisht është masë aditive e fundme me variacion të
fundëm. Duke zbatuar teoremën Vitali-Hahn-Saks, rrjedhimin 3.3.3 dhe vetinë e
Radon-Nikodym-it për E, marim që ekziston një ndryshore rasti f e tillë që
, . ( )
Le të jetë hapësira duale e E, dhe le të jetë një varg i dendur në
rruzullin njësi të . Fiksojmë i; duke zbatuar të kemi
.
Kështu, nga pohimi 3.2.2. ekziston pothuajse kudo dhe nga barazimi i
mësipërm limiti është statistikisht pothuajse kudo themi se
me përjashtim të një bashkësie nul i . Ky argumentim vlen për çdo i; kështu nf
konvergjon dobët f jashtë bashkësisë nul . Vërtet, sjell që
është i kufizuar në n për çdo jashtë një bashkësie me masë të vogël. Ky përfundim
provon teoremën.
Le të jetë E hapësirë Banach me normë , B(E) rruzulli njësi i saj dhe E* duali i saj.
nf nf
a
nf 1nn
sup f g L'
T
A
A st f , A F
T
st lim A A nnA F
AF 0 nnA' F P A A'
f g
A A'f f g
T
A st lim A
A ATlim f dP st f dP AF
E 1 2ix ,i , ,...
Eix
i iA AT
lim x f st x f , A F
i nn
lim x f
ix f
i n i nn
lim x f x f
i1n
n
sup f L' nf
73
Le të jetë një hapësirë probabilitare dhe një familje nën- -
algjebrash të e tillë që në qoftë se . Për më tepër, pa humbur
përgjithësimin, ne do të pranojmë që F është plotësim i .
Pohimi në vijim është një zgjerim tek amartet e funsioneve st-Bochner të integrueshëm
i një rezultati të njohur për amartet e funksioneve Bochner të integrueshëm.
Pohim 3.3.7 Le të jetë amart. Atëherë familja konvergjon
statistikisht tek limiti për çdo dhe konvergjenca
është uniforme në në kuptimin që për çdo gjendet e tillë që në
qoftë se dhe , atëherë
.
Vërtetim Le të jetë amart. Meqënëse familja konvergjon,
për çdo të fiksuar gjendet të tilla që , atëherë
(1).
Tani fiksojmë . Le të jetë A F . Zgjedhim një numër natyror e
tillë që dhe përcaktojmë
,
Atëherë janë stopping times dhe . Për më tëpër,
,
kështu nga (1) ne marrim
. (2)
Le të jetë , atëherë për ndonjë . Tani është përcaktuar
për të gjitha dhe është st-Cauchy në E. Vërtet, në qoftë se
dhe
nga (2) ne marrim
.
( , , ) F ( )n n NF
F m nF F m n
( )nnF
n n nf ,
F A
A nT nA F F F
F 0 0 T
T0
për të gjithaE
A A , A F
n n nf ,
F
Tst f
0 0 T 0 T
2Ef f
0 n
n
1
në
në
A,
n \ A.
1
në
në
A,
n \ A.
1 1, 1 1 0
1 1A A
A A f f f f
për të gjitha2E
A A , A
F
A FmAF m A
m m
A
0 m 0 m
0 0m mE E E
A A A A A A
74
Kështu, limiti ekziston në E për të gjitha A F , atëherë mund të marrim
limitin në (2).
Për teoremën në vijim do pranojmë që [ , ) 0 1 , F - -algjebra e bashkësive të
Borelit, masa e Lebesgue, dhe për çdo .
Lema e mëposhtme është një formë e dobët e lemës Dvorotezky-Rogers të cilën do ta
përdorim në vërtetimin e teoremës në vijim.
Lema 3.3.8 (Dvorotezky-Rogers). Le të jetë E hapësirë Banach me dimension të
pafundëm. Le të jenë dhënë numrat positive . Atëherë ekzistojnë
vektoret e ndryshëm me për të tillë që, në qoftë se
është shuma mbi një nënbashkësi të , atëherë
. (1)
Nisur nga një rezultat i Bellow-t [44] për martingalet asimptotike të funksioneve
Bochner të integrueshëm ne jemi munduar të provojmë se ky rezultat mund të shtrihet
edhe për martingalet asimptotike të funksioneve statistikisht Bochner të integrueshëm.
Teorema 3.3.9 Për hapësirën Banach E pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
1) E është me dimension të fundëm;
2) Çdo martingale asimptotike me vlera në E, e tillë që
, konvergjon statistikisht pothuajse kudo fortësisht;
3) Çdo martingale asimptotike me vlera në E, e tillë që për
çdo dhe konvergjon statistikisht pothuajse kudo fortësisht.
Vërtetim Le të jetë një bazë për E. Atëherë mund të shkruajmë
për çdo dhe
.
Tregohet lehtësisht se për çdo , është martingale asimptotike me
vlera reale me . Qartësisht konvergjenca e fortë pothuajse kudo
e është ekuivalente me konvergjencën sipas kordinatave dhe kjo rrjedh prej
rastit real.
është triviale.
Supozojmë që E është me dimension të pafundëm. Ndërtojmë një martingale
asimptotike me vlera në E, me për çdo dhe , e cila nuk
mund të konvergjojë fortësisht pothuajse kudo.
A
P 1n nf ,..., f F n
1 0 0n,...,
1 ne ,...,e E 1ie 1i ,...,n '
1,...,n
2 23i i i' e '
n nf
Tsup st f n n
f
1nf
n
1 2 1 ru ,...,u
n
1
1
r
n n n rf f u ... f u
1 j r j
n nf
j
n nsup st f n n
f
2 3
3 1
n nf
1nf n
75
Për çdo numër , le të jetë , një ndarje e rendit e ,
domethënë
, .
Zbatojmë tani Lemën Dvoretzky-Rogers tek për . Atëherë gjenden
vektorët njësi të ndryshëm , në E, të tillë që mosbarazimi ((1) i lemës
3.3.8) plotësohet. Përcaktojmë tani
, për .
Atëherë është algjebra e gjeneruar prej .
Le te tregojmë tani se kur
. (1)
Që sjell sigurisht se është martingale asimptotike. Për këtë le të jetë .NA0
F
Marrim , atëherë gjendet ndonjë numër K i tillë që
,
dhe kështu
(n)
(n) (n) (n)
{ n} A' ' .
j
K K
j j jAAn N j n N j
st f st e P A e
0 0
1
Nga lemma Dvoretzky-Rogers, kemi për çdo
Pra,
për mjaft të mëdha. Kështu (1) u vërtetua.
1n n
iA 1 2ni n 0 1,
1
2 2
n
i n n
i iA ,
1 2ni
1
2
n
i n 1 2ni
1 2
n n
ie , i
2
1
1
n
ni
n
n i
iA
f e
1n nf ,..., f F 1 2n n
iA , i
0nn A TA st f F
n nf
0T , N
0N n K n
j njn A ' A
0N n K
12
12
12
2
3
1 3 33
2 2 2
n n n
j j j
j j
n
j nn nnj
'P A e 'P A
'P A P
0 0
13
2
K Kn n
j j nAn N j n N
st f 'P A e
0N
76
Në veçanti, për çdo , kemi
.
Meqë nf 1 për çdo dhe , rrjedh që
0n nn AA f
F F . (2)
Supozojmë tani që martingalja asimptotike konvergjon statistikisht fortësisht
pothuajse kudo:
lim fortësisht pothuajse kudo përn
nst f f . (3)
Nga teorema e konvergjencës së dominuar të Lebesgue, (3) rrjedh se
(4)
Nga (2) dhe (4) kemi .
Por kjo bie në kundërshtim me (3), meqë për çdo dhe . Kjo
përfundon vërtetimin e teoremës.
nnA
F
0nA
st f
n
n nf
për çdo nA A
st f st f A F
puthuajse kudo përA
st f
1nf n
77
Përfundime
Së pari, është gjetur një zbatim i rëndësishëm i konvergjencës statistikore. Është
konstruktuar për herë të parë konvergjenca statistikore e martingaleve.
Së dyti, në këtë punim është arritur të shtrihen me sukses disa teorema të
konvergjencës së martingaleve kryesisht me vlera në hapësirën e Banach nga
konvergjenca e zakonshme e martingaleve në një konvergjencë më të
përgjithëshme, siç është konvergjenca statistikore. Disa prej rezultateve që kemi
marrë janë:
Nëse një martingale konvergjon statistikisht sipas normës ajo konvergjon
statistikisht sipas pothuajse kudo.
Nëse një martingale konvergjon statistikisht ajo konvergjon statistikisht
pothuajse kudo.
Një martingale e mbyllur është statistikisht konvergjente sipas normës.
Së treti, ndërtohet një shembull i një funksioni statistikisht të integrueshëm sipas
Bochner i cili nuk është i integrueshëm sipas Bochner, provon mësëmiri se
ekzistenca e tyre ngjall edhe interesin e studimit të martingaleve të këtyre
funksioneve dhe për të hulumtuar teoremat e konvergjencës së tyre
Së katërti, tregohet me anë të një shembulli të ndertuar nga ne se ekzistojnë
funksione të cilët nuk janë Pettis të integrueshëm por janë statistikisht Pettis
integrueshëm.
Së pesti kemi ndërtuar një quasi pemë të pafundme, të cilat njihen për
potencialin e madh ekonomik që kanë, si shembull i një martingaleje që nuk
konvergjon në mënyrë të zakonshme por që konvergjon statistikisht.
Së fundmi, kemi hapur një drejtim të ri të studimeve të integraleve ku mund të
merren potencialisht rezultate të reja.
78
Literatura
[1] Burgin M., Duman, O., Statistical Convergence and Convergence in Statistics,
internet article
[2] Connor, J., Ganichev, M., and Kadets, V., “A characterization of Banach spaces
with separable duals via weak statistical convergence,” Journal of Mathematical
Analysis and Applications, vol. 244, no. 1, pp. 251–261, 1989.
[3] Dunford, N., and J. T. Schwartz: Linear operators, part I, Interseience, N.Y. (1958).
[4]Çaushi, A., Tato, A., A statistical integral of Bohner type on Banach space, Hikari
Ltd Appl. Math. Sci., Vol. 6, 2012,
no. 137-140, 6857-6870.
[5] Çaushi, A., Tato, A.,Pettis Integration via Statistical Convergence, Journal of
Advances in Mathematics Vol 3, No 2.p.159-167
[6] Diestel, J. and Uhl J. J. Jr., Vector measure, Math.Surveys no. 15. Providence (1977)
[7] D. Braho, A. Caushi, 2015, On the Statistical Convergence of Martingales, Hikari
Ltd Appl. Math. Sci., Vol. 9, no. 17, 821- 830.
[8] Braho, D., Donefski, E., Margo, L., 2015: A note on statistical convergence of
martingales, Third International Conference Research and Education in Natural
Sciences: Harmonization of Environment Research and Teaching with Sustainable
Policy, HERTSPO 2015, Vol I, pp. 151-157.
[9] Braho, D., Donefski, E., On the martingale statistical convergence and Radon-
Nikodym property, Global Journal of Mathematics, Vol. 6, 2016, No. 3, pp. 630-635.
[10] Fridy, A., “On statistical convergence,” Analysis, vol. 5, no. 4, pp. 301–313, 1985.
[11] Fridy, J. A., “Statistical limit points,” Proceedings of the American Mathematical
Society, vol. 118, no. 4, pp. 1187–1192, 1993.
[12] Fridy, J. A., Orhan, C., Statistical limit superior and limit inferior, Proc. Amer.
Math. Soc., 125, nr. 12(1997) 3625-3631.
[13] Gökhan, A., Güngör, M., On pointwise statistical convergence, Indian Journal of
pure and application mathematics, 33(9): 1379-1384, 2002.
[14] Halmos, P. R. 1950: Measure Theory. Van Nostrand, New York. 323 pp.
[15] E. Mourier, Elements aleatoires dans un espace de Banach, Gauthier-Villars, Paris,
1954.
[16] Kolk, E., The statistical convergence in Banach spaces, Acta et Comment. Univ.
Tartu., 928 (1991), 41-52.
[17] M. Frechet, Generalites sur les probabilites, elements aleatoires, Gauthier-Villars,
Paris, 1950.
[18] Braho, D. & Tato, A. “Martingales via statistical convergence” Journal of
Advances in Mathematics, Volume 12, no.7, 2016, pp.6402-6406.
79
[19] Marraffa, V., Convergence of Banach valued stochastic processes of Pettis and
McShane integrable functions, internet article.
[20] Marraffa, V. 2005: Stochastic processes of vector valued Pettis and McShane
integrable functions. Folia Mathematica, Vol. 12, No. 1, pp. 25–37.
[21] Miller, H. I. 1995: A measure theoretical sub sequence characterization of
statistical convergence. Trans. Amer. Math. Soc., 347, 1819-1881.
[22] Salat T., On statistically convergent sequences of real numbers. Math. Slovaca, 30.
No.2 (1980), 139-150
[23] Braho, D & Donefski, E. 2015: On the martingale statistical convergence. Aktet,
Journal of Institute Alb-Shkenca, Vol. 9, No. 1, 2016, pp. 46-49
[24] Tripathy, B.C., On statistically convergent and statistically bounded sequences,
Bull. Malaysian Math. Soc.(second series), 20, No. 1 (1997), 31-33.
[25] Tripathy, B.C., On statistically convergent sequence, Bulletin of the Calcutta
Mathematical Society, vol.90,nr.4. pp.259-262,1998
[26] Braho, D. & Tato, A. “Statistical Convergence of Banach Valued Martingales”
ISJ, JOURNAL OF MATHEMATICS, Vol. 2, 2016, pp.71-75
[27] Uhl, J.J., Jr., Martingales of strongly measurable Pettis integrable functions, Trans.
of American Math. Soc., Vol. 167, 369-378, (1972).
[28] R. V. Chacon and L. Sucheston, On convergence of vector-valued asymptotic
martingales, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Geb., 33 (1975), 55-59.
[29] Zygmund, A., Trigonometric Series, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK
(1979).
[30] K.Musial, Martingales of Pettis Integrable Functions, Proc. Conf. Measure Theory,
Oberwolfach 1979, Lect. Notes in Math. 794, Springer Verlag, (1980), 324-339.
[31] S. D. Chatterji, Martingale convergence and the Radon-Nikodym theorem, Math.
Scand., 22 (1968), 21-44.
[32] J.J. Uhl. Jr., Pettis-mean-convergence of vector valued asymptotic martingales, Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete, 37 (1977), 291-295.
[33] L. Egghe, Convergence of adapted sequences of Pettis-integrable functions. Pacific
Journal of Mathematics. Vol. 114, No. 2, 1984.
[34] J. Hoffmann-Jorgensen, Vector measures, Math. Scand. 28(1971), 5-32.
[35] R.S. Phillips, On weakly compact subsets of a Banach space, Amer. J. Math.
66(1943), 108-136.
[36] S. D. Chatterji, Martingales of Banach-valued random variables, Bull. Amer. Math.
Soc. 66 (1960), 395-398.
[37] S. D. Chatterji, A note on the convergence of Banach space valued martingales,
Math. Ann. 153 (1964), 142-149.
80
[38] F. S. Scalora, Abstract martingale convergence theorems, Pacific J. Math. 11
(1961), 347-374.
[39] M. Motivier, Martingales à valeurs vectorielles. Applications à la dérivations des
mesures vectorielles, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 17 (1967), fase. 2, 175-208.
[40] J. J. Uhl, Jr., Applications of Radon-Nikodym theorems to martingale
convergence, Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969), 271-285.
[41] J. J. Uhl, Jr., The Radon-Nikodym theorem and the mean convergence of Banach
space valued martingales, Proc. Amer. Math. Soc. 21, 139-144.
[42] J. L. Doob, Stochastic processes, Wiley, New York; Chapman and Hall, London,
1953.
[43] A. Ionescu-Tulcea and C. Ionescu-Tulcea, Abstract ergodic theorems, Proc. Nat.
Acad. Sci. U.S. 48, 204-206 (1962)
[44] A.Bellow, On vector-valued asymptotic martingales, Proc. Natl. Acad. Sci. USA,
Vol. 73, No. 6, pp. 1798-1799, June 1976
[45] L.B. Duarte, Another look at the martingale theorem, Journal of mathematical
analysis and applications 23, 551-557 (1968)
[46] Shishebor, Z., Soltani, A. R., Sharifitabar M. and Sajjadnia, Z., Conditional
expectation of weak random elements. Iranian Journal of Science & Technology, IJST
(2012) A4: 461-467.