Upload
cesarj16
View
227
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Revista realizada para la materia de la modalidad SAIA, con el profesor Luis Aponte. Autores: Cesar Bravo. Edgar Yanez
Citation preview
AÑO 1|NUMERO 1|DICIEMBRE 2014
Dirección General y Edición
Cesar Bravo
Edgar Yanez
EDITORIAL SAIA
Maracay - Edo. Aragua
PSM SAIA Maracay
Instituto Universitario
Politécnico “ Santiago Mariño”
Sin Restricciones 2
Optimización sin restricciones en función de varias variables Introducción…………………………………………………………..4 Métodos Método de Ascenso y/o Descenso acelerado…………5,6 Método Davidon-Fletcher-Powell…………………………..7 Método de Fletcher-Reeves…………………………………...8 Método del Gradiente conjugado…………………………..9 Método Multiplicadores de LaGrange…………………...10,11 Ejercicios Ejercicios Resueltos………………………………………………..12,13 Información General Importancia…………………………………………………………...15 Referencias Bibliográficas…………………………………………………..16
Sin Restricciones 3
Sin Restricciones 4
La optimización sin restricciones es el problema
de minimizar o maximizar una función sin la existen-
cia de restricciones, esta función puede ser de una o
mas variables. Esto es importante porque un proble-
ma con restricciones puede tratarse con los multipli-
cadores de LaGrange como uno sin restricciones.
Sin Restricciones 5
Método de Ascenso y/o Descenso acelerado
Sin Restricciones 6
Método de Ascenso y/o Descenso acelerado
Ejemplo
Método de DFP (Davidon-Fletcher-Powell)
Sin restricciones 7
Sin Restricciones 8
El método de GCFR se utiliza para minimizar funciones
generales (cuadráticas y no cuadráticas).
Método de Fletcher Reeves
Sin restricciones 9
El método del gradiente conjugado es un algoritmo para resolver numéricamente los sistemas de ecuaciones linea-les cuyas matrices son simétricas ydefinidas positivas. Es un método iterativo, así que se puede aplicar a los siste-mas dispersos que son demasiado grandes para ser tratados por métodos directos como ladescomposición de Cholesky. Tales sistemas surgen frecuentemente cuando se resuelve numéricamente las ecuaciones en derivadas parciales.
El método del gradiente conjugado se puede utilizar también para resolver los problemas de optimización sin restricciones como la minimización de la energía.
Sin Restricciones 10
En los problemas de optimización, el método de
los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph
Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y
mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restriccio-
nes. Este método reduce el problema restringido con n variables a
uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número
de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fá-
cilmente.
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a
Sin restricciones 11
Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilís-tica discreta con máxima entropía. Entonces
Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos
lo que nos da
Derivando estas n ecuaciones, obtenemos
Esto muestra que todo pi es igual (debido a que depende sola-mente de λ). Usando la restricción ∑k pk = 1, encontramos
Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la
mayor entropía.
Ejemplo:
Sin Restricciones 12
EJERCICIO 2 : Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por:
Solución:
En este caso es más conveniente aplicar la definición de deri-vada en el punto P(0, 0). ya que si calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos, nos encontramos con una in-determinación.
Sin restricciones 13
EJERCICIO 4: Halla los extremos de la función en el círcu-
lo
Solución:
Localizamos el círculo expresándolo en forma canónica , lue-go se trata del círculo C con centro en el punto C(1,0) y radio 2. a) Determinamos los puntos críticos de la función situados dentro del círculo.
b) Determinamos los puntos críticos de la función condicionados por el contorno del círculo.
tenemos que resolver el sistema:
del que obtenemos cuatro puntos , , , c) Comparamos el valor de la función en cada uno de los puntos críticos:
f(0,0)=0 , f(-1,0)=1 , f(3,0)=9 , ,
luego el mínimo absoluto está en el punto y el máximo en los
puntos y
Sin Restricciones 14
Los métodos sin restricciones son importantes porque:
*Hay problemas que se pueden formular sin restricciones
*Permiten introducir muchos conceptos y explorar ideas que se
usarán en problemas NLP
*Muchos problemas de optimización utilizan en alguna fase algo-
ritmos sin restricciones
*Algunos problemas NLP pueden reformularse como problemas
sin restricciones
Sin restricciones 15
Multiplicadores de Lagrange. Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange
Optimización. Disponible en:
http://optimizacionlinealing.blogspot.com/2013_01_01_archive.html
El método de newton. Disponible en:
http://www.fing.edu.uy/~acanelas/MatCursos_files/Optimizacion_05.pdf
Sin restricciones. Disponible en:
http://prof.usb.ve/mirodriguez/Sinrestricciones1.pdf
Formas cuadráticas. Disponible en:
http://www.uv.es/~perezsa/docencia/material/MateEcoEmp/formascuadraticas/
formascuadraticas.htm