Revista de Matematica MxM Nr 1 2010

Editura Cuart I.S.S.N.1222-5592

Revista de

matematic�

M X M

Nr.1/2010

Slatina Olt

��

� �� Redactor �ef: Marinela Preoteasa Secretar de redac�ie: Ion Nea�� Membri: Aurelia Stanciu; �tefania Marineanu Lumini�a - Camelia Bu�an Daniel Cojocaru Ion Burc� Iuliana Tra�c� Membru corespondent: prof. Univ. Dr. Florentin Smarandache, Universitatea Gallup N.M; U.S.A.

Tehnoredactare computerizat�: Marinela Preoteasa Editor: Marinela Preoteasa

Cuprins

Pag. Despre acest numar al revistei de matematic� MxM, editor Marinela Preoteasa .......................................... 2 Florentin Smarandache la 55 de ani………………… 3 Teorema lui Smarandache, de Ion P�tra�cu ……….. 9 Probleme propuse, cu rezolv�ri, de Iuliana Tra�c� , Scornice�ti-M�rgineni, Olt………………………..... 11 Matematica în geografie, de �tefania Marineanu ….. 17 Probleme propuse pentru clasele I – IV �i clasele de gimnaziu .................................................................... 19 Matematica în chimie, gimnaziu, de Lumini�a Bu�an 19 Probleme pentru clasele I – IV, de Nicoleta Veronica �erban, institutor I, .................................................... 20 Probleme propuse pentru clasele V – VIII ................ 21 Probleme distractive, din cadrul proiectului interjude- �ean « Magia numerelor », selec�ie de M.P................ 29 Premiile ob�inute în cadrul proiectului interjude�ean « Magia numerelor », pe sec�iuni ………………….. 51 Concursul interdisciplinar „± POEZIE” Faza jude�ean� - 27 martie 2010, rezultate ……………. 57

1

Despre acest numar al revistei de matematic� MxM

Revista n-a mai ap�rut o perioad�, din motie obiective �i subiective care nu sunt deloc interesante pentru cititorii no�tri, prezent�m scuze pentru acest lucru. Important este c� nu v-am uitat �i încerc�m s� r�spundem dorin�elor dumneavoastr� matematice �i nu numai. Începând cu acest num�r al revistei, introducem probleme care se rezolv� cu ajutorul matematicii �i de la alte discipline din �coal� (geografia �i chimia). Mul�i elevi au fost antrena�i de c�tre profesorii lor s� participe la diverse concursuri de matematica �i proiecte care necesit� un efort matematic sus�inut, pe tot parcursul anului �colar, din partea participan�ilor la proiecte: elevi �i profesori deopotriv�, activit��i noi, mai pu�in cunoscute în �coli. Ne propunem s� populariz�m aceste activit��i, care nu au o desf��urare într-un cerc închis, ci din contr�, sunt deschise tuturor elevilor �i cadrelor didactice doritoare, de aceea v� facem cunoscute numele c��tig�torilor �i chiar din materialele cu care ace�tia s-au prezentat, în etapele prev�zute de regulamentele în cauz�. Men�ion�m c� admitem orice observa�ii �i propuneri, care s� fac� mai util� �i mai atr�g�toare revista pentru educarea matematic� a elevilor, conform cerin�elor sociale �i programelor �colare. V� respect�m opiniile �i propunerile dumneavoastr� vor fi analizate cu interes de colectivul redac�ional �i chiar popularizate, atunci cînd este cazul, în rubrica: În dialog cu cititorii. Pe coperta a patra a revistei ve�i primi toate datele de contact �i toate tipurile de colaborare.

Editor, prof. Marinela Preoteasa

2

Florentin Smarandache la 55 de ani Prof. univ. dr. Florentin Smarandache este un polivalent – el este autorul, co-autorul, editorul �i co-editorul a 139 de c�r�i �i a peste 175 lucr�ri �tiin�ifice. Pe 10 decembrie 2009 el a împlinit 55 de ani. De fapt dumnealui este un om al rena�terii pentru c� a publicat în foarte multe domenii: matematic� (teoria numerelor, statistic�, geometrie non-Euclidian�), computere (inteligen�� artificial�, fuziunea informa�iei), fizic� (fizica cuantic�, fizica particulelor), economie (economie cultural�, teoria poly-emporium), filosofie (neutrosofie – o generalizare a dialecticii, logica neutrosofic� – o generalizare a logicii fuzzy intui�ioniste), literatur� (poezie, proz�, roman, eseuri, nuvele, drame, teatru pentru copii, traduceri), art� (desene experimentale, colaje, pictur� de avangard�). C�r�ile sale pot fi g�site în: Amazon.com, Amazon Kindle, Google Book Search, Library of Congress (Washington D. C.), �i în multe biblioteci din lume. În baza interna�ional� de date �tiintifice men�inut� de Universitatea Cornell,� �� domnia sa are circa 140 de lucr�ri �tiin�ifice. Dr. Smarandache este creatorul teoriei Dezert-Smarandache în Fuziunea Informa�iei (matematic� aplicat�) împreun� cu Dr. J. Dezert din Fran�a. Aceast� teorie este cunoscut� pe plan interna�ional �i este folosit� în robotic�, medicin�, armat�, cibernetic�. În fiecare an, începand din 2003, el a fost invitat ca s� prezinte conferin�e �i lucr�ri �tiin�ifice despre acest subiect la

3

Conferin�e Interna�ionale de Fuziune a Informatiei {Australia – 2003; Suedia – 2004; SUA – 2005, 2009; Italia – 2006; Canada -2007; Germania – 2008; sau la Seminarele de Ap�rare Militar� “Marcus Evans” (Spania – 2006; Belgia – 2007), sau la alte Universit��i (Indonezia – 2006)}. Dr. Smarandache a fost invitat ca lector, fiind sponsorizat de NASA în 2004 �i de NATO în 2005. Multe teze de doctorat au fost sus�inute la universit��i din Fran�a, Canada, Italia, �i o tez� de Masterat la Universitatea din Teheran, Iran. Vezi situl DSmT conceput �i men�inut de dumnealui la http://fs.gallup.unm.edu//DSmT.htm. În Structurile Algebrice Smarandache, precum monoid, semigrup, spatiu vectorial, algebr� linear�, etc., studen�i de la IIT (Institutul Indian de Tehnologie) din Chennai, Tamil Nadu, India, au sus�inut �i continu� s� sus�in� teze de doctorat sub conducerea Dr. W. B. Vasantha Kandasamy, care este una dintre colaboratorii s�i în acest domeniu (vezi http://fs.gallup.unm.edu//algebra.htm). No�iunile Smarandache în Teoria Numerelor sunt cunoscute pe plan interna�ional: �irurile Smarandache, func�iile Smarandache, constantele Smarandache (care sunt incluse în prestigioasa “CRC Encyclopedia of Mathematics” de E. Weinstein, publicat� de CRC Press în Florida, SUA, 1998; vezi http://mathworld.wolfram.com/). No�iunile de func�ii Smarandache sunt incluse si în “Handbook of Number Theory” de Jozsef Sandor,

4

Springer-Verlag, 2006. Iar numere Smarandache-Wellin �i numere prime Smarandache-Wellin sunt de asemenea tratate în cartea lui R. Crandall �i C. Pomerance (foarte cunoscu�i în teoria numerelor) intitulat� “Prime Numbers. A Computational Perspective”, edi�ia a doua, New York: Springer-Verlag, 2005. În Teoria Numerelor a avut loc în 1997 o Conferin�� Interna�ional� despre No�iunile Smarandache în Teoria Numerelor, �inut� de Universitatea din Craiova, România (unde dumnealui a absolvit ca sef de promotie în 1979), �i organizat� de Dr. C. Dumitrescu �i Dr. V. Seleacu (vezi: http://fs.gallup.unm.edu/ProgramConf1SmNot.pdf ). Aceast� conferin�� este men�ionat� în prestigiosul jurnal “Notices of the American Mathematical Society”, Providence, NJ, USA, Vol. 48, No. 8, p. 903, 2001. In China au fost organizate patru “International Conferences on Number Theory and Smarandache Problems” în 2005, 2006, 2007, �i în 2008. Dr. Zhang Wenpeng �i studen�ii s�i de la Universitatea de Nordvest din Xi’an, China, au editat un jurnal interna�ional numit “Scientia Magna” în care au fost publicate mai multe lucr�ri despre no�iunile Smarandache din teoria numerelor. Anunturi despre acestea au fost incluse în jurnalul “Notices of the American Mathematical Society”. Vezi, de exemplu, desf��urarea conferin�ei interna�ionale din 2008 pe situl: http://fs.gallup.unm.edu//ScientiaMagna4no1.pdf. Alte lucr�ri ale Prof. univ. dr. Florentin Smarandache în teoria numerelor �i combinatoric� precum problemele

5

deschise �i conjuncturile sale formeaz� subiectele unor lucr�ri de cercetare publicate de Universitatea Xi’an din China în jurnalul lor interna�ional “Scientia Magna” (vezi num�rul de pe situl��http://fs.gallup.unm.edu//ScientiaMagna4no3.pdf) �i de Academia de Stiin�e Chinez� din Beijing în “International Journal of Mathematical Combinatorics” (vezi num�rul de pe situl: http://fs.gallup.unm.edu//IJMC-3-2008.pdf). Logica/Multimea/Probabilitatea neutrosofic� sunt generaliz�ri ale logicii fuzzy (în special a logicii fuzzy intui�ionistice), multimii fuzzy (în special a multimii fuzzy intui�ionistice), �i respectiv a probabilitatii imprecis�. Cu aceste no�iuni au fost sus�inute dou� teze de doctorat: una la Universitatea de Stat din Georgia, Atlanta, SUA, �i una la Universitatea Queensland din Australia (vezi http://fs.gallup.unm.edu//neutrosophy.htm). Dr. Florentin Smarandache a fost invitat s� vorbeasc� despre logica �i multimea neutrosofica la Universitatea din Berkley în decembrie 2003, in India (2004), Indonezia (2006), Egipt (2007). Dr. Smarandache este editor asociat al jurnalului interna�ional “Progress in Physics”, care este tip�rit �i editat de UNM-Gallup, cu contribu�ii �i sponsoriz�ri interna�ionale de la diferite institute de cercetare nuclear� din toat� lumea. Vezi de pild� edi�ia din situl: http://fs.gallup.unm.edu//PP-03-2008.pdf� În fizic� el a creat no�iunea de “nematerie” (unmatter), a descoperit câteva paradoxuri cuantice

6

Sorites, a folosit logica neutrosofic� (care este o logica multivalent�) ca s� extind� spa�iile fizice. Împreun� cu V. Christianto a extins ecua�iile lor differen�iale de la forma de cuaternion la forma de bicuaternion, vezi “Smarandache-Christianto potential” (http://fs.gallup.unm.edu//physics.htm). În economie a scris împreun� cu V. Christianto despre economia cultural� ca o alternativ� pentru ��rile subdezvoltate, �i a propus o teorie poly-emporium (http://fs.gallup.unm.edu//economics.htm). În filosofie a f�cut o sintez� a multiplelor idei �i �coli de gândiri filosofice contradictorii, extinzând dialectica lui Hegel la neutrosofie, care înseamn� analiza nu numai a opozitelor, ci �i a neutralit��ilor care interac�ioneaz� cu ele (http://fs.gallup.unm.edu//neutrosophy.htm). În domeniul umanistic, Dr. Smarandache, este considerat p�rintele “paradoxismului” în literatur�, care este o mi�care de avangarda bazat� pe utilizarea extensiv� în crea�ii a antitezelor, oximoronilor, contradic�iilor, paradoxurilor. El a publicat cinci Antologii Paradoxiste Interna�ionale la care au contribuit sute de autori din intreaga lumea (http://fs.gallup.unm.edu//a/Paradoxism.htm). El a scris drama anti dictatorial� “Patria de Animale” – o dram� f�r� cuvinte! Ea a fost jucat� la Festivalul Interna�ional al Studen�ilor de Teatru, la Casablanca (Maroc), 1-21 septembrie, 1995. A fost pus� în scen� de teatrul Thespis (regizor fiind Diogene V. Bihoi), �i jucat� de trei ori, primit premiul special al juriului. A fost pus� în scen� de asemenea în Karlsruhe (Germania) la 29 Septembrie 1995.

7

Piesa lui de teatru pentru copii “P�cal�, Ursul �i Balaurul” a fost pus� în scen� la Teatrul Na�ional Dramatic “I. D. Sârbu” din Petro�ani, România, în septembrie 1997 de regizorul Dumitru Velea; (http://fs.gallup.unm.edu//a/theatre.htm).

Dr. Smarandache a f�cut �i art� electronic� (folosind programe pe calculatoare), art� experimental� [aut-art� (outer-art)] �i a pledat pentru unificarea teoriilor în art� (http://fs.gallup.unm.edu//a/oUTER-aRT.htm).

Universitatea de Stat din Arizona, Libr�ria Hayden, în Tempe, Arizona, SUA, g�zduie�te o colec�ie special� numit� “The Florentin Smarandache Papers” care se întinde pe o lungime de peste 30 m.l., cu c�r�i, jurnale, manuscrise, documente, CD-uri, DVD-uri ale sale, sau despre lucr�rile sale.O alt� collec�ie special� “The Florentin Smarandache Papers” se afl� la Universitatea Texas din Austin la Arhivele Matematicii Americane (în cadrul Centrului de Istorie American�).

Popularitatea D-lui Smarandache în jurul lumii a crescut foarte mult �i datorit� faptului c� situl s�u profesional http://fs.gallup.unm.edu// are aproximativ un sfert de million de vizitatori pe lun� din peste 110 ��ri, conform statisticilor oficiale ale universit��ii. Acesta este cel mai mare �i cel mai vizitat site la UNM-Gallup.

În acest site se afl� Biblioteca sa Digital� de Art� �i Literatur� (“Digital Library of Arts & Letters”, http://fs.gallup.unm.edu//eBooksLiterature.htm), care con�ine multe c�r�i de literatur�, c�r�i de art� �i albume,

sau carti despre crea�iile sale literare �i artistice, este vizitat� de peste 100 de vizitatori pe zi.

Iar Biblioteca sa Digital� de �tiin�e (“Digital Library 8

of Science”, http://fs.gallup.unm.edu//eBooks-otherformats.htm), unde se gasesc publicate c�r�ile sale �tiin�ifice �i de asemenea c�r�i �i jurnale ale altor autori despre crea�ia sa �tiin�ific�, înregistreaz� peste 1.000 de vizitatori pe zi. Selectat de prof. Marinela Preoteasa, CNV « N.T » , Slatina, Jude�ul Olt

Teorema lui Smarandache Fie a’, b’, c’ lungimile laturilor triunghiului ortic al triunghiului ascu�itunghic ABC. Atunci 4( a’b’+ b’c’+c’a’) ≤ a 2 + b 2 + c 2

Demonstra�ie: de Ion P�tra�cu, Liceul Fra�ii Buze�ti, Craiova, Dolj

În �ABC, teorema sinusurilor implic� 9

B’C’ = AH sinA (Patrulaterul AC’HB’ este inscriptibil) Dar: AH = 2RcosA, rezult B’C’=2R cosA sinA =a cosA Deci, a’=a cosA, b’=b cosB, c’=c cosC Din teorema cosinusului în triunghiul ABC g�sim

cosA =bc

acb2

222 −+ �i analoagele, astfel:

4 ( a’b’+ b’c’+c’a’) = 4 [ab( )( )

2

222222

4abcbacacb −+−+

+

bc( )( )

bcacabbca

2

222222

4−+−+

+ac( )( )

cabcbaacb

2

222222

4−+−+

] =

( )( )2

222222 )()(c

abcabc −−−++

( )( )2

222222 )()(a

bcabca −−−++

( )( )2

222222 ()(b

acbacb −−−+ = 2

2224 )(c

abc −− +

2

2224 )(a

bca −− + 2

2224 )(b

acb −− = a 2 + b 2 + c 2 -

[222

��

��

� −c

ab+

222

��

��

� −a

bc+

222

��

��

� −b

ac ]

a 2 + b 2 + c 2 ; egalitatea are loc dac� a = b = c , deci, în cazul triunghiului echilateral.

10

Probleme propuse, cu rezolv�ri

��

��

�

1.) Rezolvând câte 20 de probleme pe zi în loc de 15, Liviu a terminat problemele cu 6 zile mai devreme decât �i-a programat. Câte probleme a avut de rezolvat �i în câte zile î�i programase s� le rezolve ?

2.) Dac� n N ∗∈ , care dintre frac�iile 2

2

21

nn +

�i 2

2

12

nn+

este mai mare ? 3.) Afla�i num�rul natural xy , astfel încât

2

. 1452xy yx

xyx y

� �+ =� �+� �.

4. )Stabili�i dac� frac�ia : 1 2 3 2 2 1

1 2 2 2 2 1 1

3 2 7 3 2 5 2 35 3 2 49 3 2 5 2 3

n n n n n n

n n n n n n

+ + +

+ + + +

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

este subunitar�,

supraunitar� sau echiunitar�. ��

Metoda I:

1.) În cele 6 zile Liviu ar fi rezolvat conform programului 90 de probleme. Aceste probleme au fost rezolvate mai înainte deoarece �i-a dep��it norma zilnic� cu 5 probleme. Cele 90 de probleme

11

2. ) au fost rezolvate în 90:5=18 zile. Liviu a avut de rezolvat 3601820 =⋅ în 24 de zile. Metoda II:

1.) Fie x num�rul de zile în care Liviu trebuia s� rezolve toate problemele. Rezolvând câte 20 de probleme pe zi, el le-a terminat cu 6 zile mai devreme. Num�rul de zile se ob�ine rezolvând ecua�ia 15x=20(x-6).

2. )2

2

21

nn +

�2

2

12

nn+

pentru c� 2

2

21

nn +

=2 2

)2 1(

1n n

n Nn

∗+ ≥ ∈+

,

iar 2

2

12

nn+

=2

2 2

11

nn n

+ ≤+ ( )n N ∗∈ .

3.) ( ) 2

111452;121 1452 12.

x yxy xy xy

x y

+� �⋅ = = = �+�

4.) Frac�ia devine: ( )

( )2 2 2

2 2 2

12 24 7 1024 3 2 7 3 2 10 3 21

60 3 2 49 3 2 30 3 2 12 60 49 30

nn n n n n n

n n n n n n n

+ +⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − +

, deci frac�ia este echiunitar�

��

1.) .S� se afle x din propor�ia: ( )6 1, 6

0.00162

x aba b

⋅=+ ,unde

a= ( ) ( ) ( )2 2 2 2 131 1 1

2n n n+ +− + − + ⋅ − �i b=

501

2.) Fie x=23

n

n

aa

++

�i y=2000

1000

725

bb

++

,a , b, n∈N.

12

Între x �i y exist� rela�ia:a) x=y; b) x<y; c)x>y; d)x-y+1.

�� 1.) 2n+2 �i 2n sunt numere pare , deci ( ) ( ) 111 222 =−=− + nn ;2n+1 este impar, deci ( ) 11 12 −=− +n ;

a=23

11 −+ ; a=21

; ( )251

0016.0;35

6,1 == , x=650.

2.) nn 32 < ; .25497 100010002000 >= Deci, 1≤x ; y>1x<y.

�� 1.) Stabili�i dac� num�rul

a= 2007100420071004 −−+ este ra�ional sau ira�ional. 2.) a) Demonstra�i egalitatea:

( )11222

121 ++=+++ nnn .0≥n

b)Dac� A(n)= −+++ 121 nn 121 +−+ nn , calcula�i A(2007). 3.) Determina�i ∈x N pentru care

.160272 Nxx ∈++ 4.) Demonstra�i c� oricare ar fi x num�r real are loc inegalitatea:

.23106126301056884 222 ≥++++++++ xxxxxx5.) Ar�ta�i c� pentru orice Na ∈ , num�rul :

( ) ( ) ( ) ( ) 18765 ++⋅+⋅+⋅+ aaaa este natural. 13

��

�

1.) a>0

11004210042

10042200710042100422

222

+⋅−−

⋅=⇔−−⋅=⇔ aa

( ) QRaaa \2211004210042 22 ∈=⇔=⇔−−⋅= . 2.)a)

( ) ( )2112

21

11221221

121 ++=++++=+++ nnnnn

, deci: ( )11222

121 ++=+++ nnn .

b)

( ) ( ) 2)(11222

11222

)( =−+−++= nAnnnA ,

deci 2)2007( =A .

3.) Observ�m c� : 144242 ++ xx

< 1962816027 22 ++<++ xxxx sau

,141602712 2 +<++<+ xxxx x fiind natural

13160272 +=++ xxx ,adic�.91692616027 22 =⇔++=++ xxxxx

4.)Avem

( ) ( ) ( )231002564

1001625156414 222

=++

≥++++++++ xxx ,din

( ) 01 2 ≥+x , avem egalitate pentru x=-1. 14

5.) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )22

22222

22

4113

140131401324013

1240134013

1868518765

++=

+++=++++++=

=++++++=

+++++=+++++

aa

aaaaaa

aaaa

aaaaaaaa

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) 18765 ++⋅+⋅+⋅+ aaaa = 41132 ++ aaN∈ .

�� 1.) a) Determina�i func�ia liniar� f(x+1)=2x+3,

oricare ar fi Rx ∈ . b)Calcula�i suma S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2007) �i ar�ta�i

c� S este un p�trat perfect. 2.) Determina�i ∗∈ Nx pentru care este adev�rat�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )232323...2323 22222222 2211

+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+−− nnnn

= 256256 2566561 − . 3.)Afla�i func�ia f:R →R, �tiind c� : f(x+3) ≤−≤ 5x f(x)+3, oricare ar fi x∈N. 4.) Gasi�i func�ia f:N →Q care îndepline�te simultan urm�toarele condi�ii:

a) f(2006)=2007. b) f(x+1)=f(x)+1003

x, pentru x∈N.

5.) Fie f :R →R ,

f(x)= ( ) .2964 22 xxxx +++−++− S� se g�seasc� coordonatele punctelor de intersec�ie dintre graficele func�iilor f �i g, unde g(x)=x+1.

15

�� 1.) a) Nota�ia x+1=y implic� f(y)=2(y-1)+3 sau f(y)=2y+1 adic� f(x)=2x+1. b) S=2(1+2+3+…+2007)+2008;

( )2008

2120072007

2 ++⋅⋅=S ,

22008200820072008 =⇔+⋅= SS . 2.) Amplificând membrul din stânga al egalit��ii cu 1=3-2 �i cu produsul sumei cu diferen�a

11 22 23

++

−nn

Astfel ( ) 88242 2256;33816561 ==== ;

( ) 1183882222828256 2222256 ==== ⋅⋅ .

101112323111111 2222 =⇔=+⇔−=−

++

nnnn

2.) Rela�ia 5)3( −≤+ xxf este echivalent�, punând x+3=y, cu 8)( −≤ yyf sau

8)( −≤ xxf (1) 53)( −≥+ xxf este echivalent� cu 8)( −≥ xxf (2)Din (1) �i (2) f(x)=x-8.

4.)D�m lui x valorile 1, 2, 3,…,x-1 în rela�ia b) �i adun�m egalit��ile membru cu membru:

( ) ( )

( ) ( )1003

11.

...1003

112

−+−=

+=

xxfxf

ff

------------------------------------------------------ -------------

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10032

11

10031...321

1⋅

−+=⇔++++++= xxfxf

xfxf

16

Pentru x=2006, ob�inem ,folosind a)

( )10032

2005200612007

⋅⋅+= f

( ) ( ) 21200520071 =⇔−=⇔ ff .

Deci ( ) ( )2006

12

−⋅+= xxxf

5.) Se ob�ine : ( ) 432 +−−+= xxxxf

( )( )

[ )[ )

2 7, , 4

1, 4,3

2 7, 3,

x x

f x x

x x

� �+ ∈ −∞ −� �

= − ∈ −� �� − ∈ ∞� �

Rezolvând ecua�ia f(x)=g(x) pentru fiecare interval de mai sus se ob�ine }6,0,8{−∈x Rezult� ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,6;1,0;9,8, −−−∈yx Not� : A�tept�m �i alte solu�ii. Solu�iile interesante vor fi publicate.

Matematica în geografie

Problem�. 1. S� se afle ce lungime va corespunde pe hart� la 25 km pe teren cunoscând c� scara h�r�ii este 1: 500 000. Rezultat: 5 cm. Problem�. 2. Cât reprezint� în natur� 10 cm m�sura�i pe o hart� la scara de 1:200 000.

Rezultat: 20 km. 17

Problem� 3. S� se afle scara unei h�r�i pe care 5 km din natur� sunt reprezenta�i prin 5 cm. Rezultat: scara este 1:100 000

Rezolvarea problemelor :

Not�: Se aplic� formula N1

= L1

unde:

N1

este scara h�r�ii; l este lungimea de pe hart�;

L este lungimea de pe teren. Problema 1.

l = NL

= 50000025km

= 5000002500000

cm= 5 cm

Problema 2. L = l x N = 10 cm x 200 00 = 2 000 000 cm = 20 000 m = 20 km Problema 3.

N = lL

= cmkm

55

= cm

cm5

500000 = 100 000,

deci N1

= 1 : 100 000

Prof. Dr. �tefania Marineanu, C. N.V.”N. Titulescu”, Slatina

18

Probleme propuse pentru clasele I – IV �i clasele de gimnaziu

Matematica în chimie

1) Reac�ioneaz� a g calcar (CaCO 3 ) de 80%

puritate cu b g solu�ie HCl 5M. Reac�ia este total� �i rezult� 132 g CO 2 . S� se determine a �i b.

2) Se dau 2 kg piatr� de var (CaCO 3 ) cu 25% steril.

CO 2 rezultat la descompunerea termic� se absoarbe complet într-o solu�ie de NaOH cu sensitatea de 1,23 g/ml. Se cere V s �i molaritatea solu�iei de NaOH 2 .

3) Cunoscându-se compozi�ia volumetric� a aerului: aproximativ 21% oxigen �i 78% azot, s� se determine compozi�ia gravimetric� a aerului.

4) Se d� 1 mol de ap� lichid� care se supune evapor�rii. S� se arate de câte ori cre�te volumul apei, la evaporarea în condi�ii normale.

5) Se dau 6kg c�rbune cu 60% steril. O treime din carbonul con�inut arde la CO, iar restul arde la CO 2 . Se cer masele medii �i d aer pentru amestecul de gaze rezultat.

6) Un amestec CH 4 �i SO 2 are d2O = 0,875. Se

cere compozi�ia în procente (de volum) a amestecului.

19

7) S� se calculeze masa a 40 l CO 2 la presiunea de 2 atm �i temperatur� de 15 0 C, densit��ile gazului atât relativ� cât �i absolut� sunt necunoscute. 8) S� se calculeze masa �i volumul de acetilen�, în c.n, care rezult� din 10 kg acetilur� de calciu (carbid) care con�ine 805 g CaC 2 . 9) Ce mas� �i ce volum de clor se ob�in din 200 g clorur� de sodiu, prin tratare cu acid sulfuric �i dioxid de mangan la temperatura de 30 0 C �i presiunea de 850 torri? 10) Un amestec gazos având compozi�ia de 20% O 2 , 79% N 2 , 1% H 2 O vapori, se g�se�te la o presiune de 790 torri. S� se calculeze presiunile par�iale ale gazelor componente din amestec.

Prof. Lumini�a-Camelia Bu�an, Colegiul N.l V”N.T” Slatina, Olt

NOT�: Se a�teapt� rezolv�rile de la elevi, vor fi nominaliza�i elevii care trimit rezolv�ri corecte.

Probleme pentru clasele I - IV 1) Calcula�i produsul a trei numere, �tiind c�

primul este cel mai mic num�r impar, al doilea este de 5 ori mai mare decât primul �i al treilea num�r este de trei ori mai mare decât al doilea. 2) Calcula�i suma a trei numere, �tiind c� produsul dintre primul num�r �i al treilea este egal cu r�sturnatul celui de-al doilea, iar primul num�r este cel mai mic num�r de

20

dou� cifre consecutive, iar al treilea este cel mai mare num�r par format dintr-o singu� cifr�. 3) �tiind c� un num�r este egal cu sfertul celui mai mic num�r de trei cifre, al doilea este jum�tate din cel mai mare num�r par , din dou� cifre distincte, calcula�i al treilea num�r dac� suma numerelor este egal� cu 126. Institutor I: Nicoleta- Veronica �erban, �c. Cu cls. I-VIII „I. Negoescu”, B�l�ne�ti-M�run�ei, Olt Probleme propuse pentru clasele V – VIII

Clasa a V-a 1) �tiind c� 3 2 + 3 3 + 3 4 + ...+3 2010 = a b 2 (1 + 3 7 + 3 14 + ...+3 2002 ), a �i b fiind numere naturale nenule, b ≠ 1, s� se arate c�: a + b 6 + 2 b 4 + b 3 - b 0 = 2010 Prof. ION BURC�, CNV”NT”, Slatina, Olt (Olimpiada de matematic�, faza local�, 13.02.2010, Olt) 2) Afla�i un num�r natural care împ�r�it pe rând la 2, la 17 �i la 59 d� acela�i rest, iar câtul primei împ�r�iri este cu 851 mai mare decât suma câturilor ultimelor dou� împ�r�iri . Câte numere naturale verific� condi�iile cerute? Prof. ION BURC�, CNV”NT”, Slatina, Olt (Concursul rev. Arhimede, ed. a IV- a, etapa finala, 12 mai 2007 )

21

3) S� se determine numerele prime x,y,z,t care verific� rela�ia: x 4 + y 3 z 2 t = 1481 Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Matematica Olt, Ed. a II-a, 28 mai 2005) 4) a) Care numee de forma axbx , scrise în baza 10, verific� rela�ia: axbx = axb x + axb + x ? b) Câte numere dintre cele ob�inute la (a) au cifrele a,b, x distincte? Daniel Cojocaru, �c.gen. nr 5, Slatina, Jude�ul Olt ( GMB, nr 5/1992)

5) Compara�i cu 1 numerele: a)51

48

4851

; b) 42

35

3542

.

Prof. Tra�c� Iuliana, Scornice�ti-M�rgineni, Olt 6) A ( k) = ( 2 12 +k + 3 12 +k + 1 ) (3 12 +k + 5 12 +k + 1) , k natural, A ( k) este divizibil cu 9 ? Prof. Marinela Preoteasa, CNV”N.T”, Slatina, Olt

Clasa a VI - a

7) S� se arate c� exist� o infinitate de numere naturale nenule a �i b care verific� rela�ia 8a – 3b ∈[a.b]

22

Prof. IonNea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Etapa jude�ean� Olt, 13 mai 2006)

8) Fie a, b, c din Z * astfel încât a1

+ b1

+ c1

= 0

Ar�ta�i c� num�rul n = a 2 (b+c) + b 2 (c+a) + c 2 (a + b) este divizibil cu 3. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Matematica Olt, Ed. a III-a, 10 iunie 2007)

9) �tiind c� a, b, c, cbba

++

, accb

++

�i baac

++

sunt numere

naturale, s� se determine x ra�ional, din egalitatea

cabcbcab

2534

++

. 12 +x

x =

157

Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Olimpiada de matematic�, faza local�, 27 ianuarie 2007, Olt) 10) S� se determine valoarea sumei x + y, �tiind c�

frac�ia zx 98.16.142007...3.2.1

este natural �i ia cea mai mic�

valoare posibil�. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Matematica Olt, Ed. a IV-a, 24 martie 2007) 11) Numerele naturale nenule a, b, c, d formeaz� frac�ii

echivalente: cba

abc++

; dcb

bcd++

; adc

cda++

; bad

dab++

S� se arate c� 3a 3 + 7b 3 + 2c 3 + 4d 3 = 9a 2 b+b 2 c+5c 2 d+d 2 a

23

Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Nicolae Coculescu, Ed. a IV – a, 30 noiembrie – 1 decembrie 2007, ziua2) 12) �tiind c� numerele ra�ionale pozitive nenule a, b, c sunt direct propor�ionale cu 3, 5 respectiv 6, s� se arate c� :

bac+

< 22

2

bac+

< 33

3

bac+

Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Etapa local�, Bihor, 2009) 13) S� se arate c� exist� un singur num�r natural n astfel încât num�rul A = 2 4 . 3 16 + 5 2 . 3 14 + 3 n s� fie p�trat perfect. Prof. Ion Burc�, CNV”N.T”, Slatina, Olt (GMB, nr. 4/1992)

14) Demonsta�i c� 6 4 1 , ,0 9.n n N n N n⋅ + ∈ ∈ < ≤ Prof. Tra�c� Iuliana, Scornice�ti-M�rgineni, Olt

15) Ar�ta�i c� num�rul a= ( )1 1 1 12 6 12 1n n

+ + + ⋅⋅⋅ ++

este

subunitar, oricare ar fi n N ∗∈ . Prof. Tra�c� Iuliana, Scornice�ti-M�rgineni, Olt

Clasa a VII - a

16) Rezolva�i în Z x Z, ecua�ia: 3a

+ b3

= 2007

24

Prof. ION BURC�, CNV”NT”, Slatina, Olt (Concursul Arhimede, ed. a V-a, etapa local�, 10 noiembrie 2007) 17) S� se g�seasc� numerele întregi x �i y care satisfac ecia�ia: y 2 = 9x 2 + 15 x + 10 Prof. ION BURC�, CNV”NT”, Slatina, Olt (Concursul revistei Arhimede, ed. a III- a, etapa finala, 3 iunie 2006 ) 18) Ar�ta�i c� nuumerele:

a = 7

12 +n �i b = 14)86)(34(7 22 +++++ nnnn

sunt ira�ionale, oricare ar fi n ∈ N. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Etapa jude�ean� Arge�, 1994) 19) În triunghiul ABC cu m( BAC∠ ) = 120 0 , se consider� punctele D, E, F pe latura [BC] astfel încât m( ∠ BAD) = m ( ∠ DAE) = m( ∠ EAF) = m( ∠ FAC) = 30 0 . S� se arate c�:

EFACCDAE..

+ DEABBFAE

.

. ≥ 4

Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Matematica Olt, Ed. a II-a, 28 mai 2005) 20) S� se arate c� num�rul a = n 5 + 2009 n este divizibil cu 30 pentru orice num�r natural n.

25

Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Concursul „Gheorghe Mihoc”, Ed. a XV – a, Slobozia, 4.04.2009)

21) Fie x,y numere naturale nenule �i n = 733013

++

xx

-

73167

++

yy

, r = yxyx

521617

+−

. �tiind c� n este natural, s� se

afle a 2007-a zecimal� a num�rului r. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Nicolae Coculescu, Ed. a IV – a, 30 noiembrie – 1 decembrie 2007, ziua 1)

Clasa a VIII – a

22) Cel mai mare divizor comun al numerelor ab5 ,

bc1 , ca2 este 3. S� se arate c� cba ++ 23 nu este num�r ra�ional. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Olimpiada de matematic�, faza local�, 27 ianuarie 2007, Olt) 23) S� se rezolve în N * - { }1 ecua�ia :

3[ nn −2 ] = 2 [ 12 ++ nn ], unde [a] este partea întreag� a num�rului a. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Olimpiada de matematic�, faza local�, 26 ianuarie 2008, Olt)

26

24) S� se arate c�:

33333 20101

20091

...51

41

31 +++++ ∈ ( 0;

21

)

Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Olimpiada de matematic�, faza local�, 13 februarie 2010, Olt) 25) Fie patrulaterul convex ABCD, AC � BD = { }0 �i SO ⊥ (ABC). S� se demonstreze c� AB� CD dac� �i

numai dac� ][

1SAODV

= ][

1SABDV

+ ][

1SADCV

Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt 26) Dac� a.b.c =1, unde a, b, c reale, ab + a + 1 ≠ 0, bc + b + c+ 1 ≠ 0, ca + c + 1 ≠ 0, atunci

1

1++

−aab

a +

11++

−bbc

b +

11++

−cca

c = 0

Prof. Ion Nea��, CNV”N.T”, Slatina, Olt 27) Fie triunghiul ABC, cu BC = 25 cm, AB = 15 cm, AC = 20 cm; [AD bisectoarea unghiului BAC, D∈ (BC), AE perpendicular� pe AD, E (CB; M mijlocul lui [BC]; N mijlocul lui [DE]; SN perpendicular� pe planul (ABC)

�i SN = 7

400 cm.

a) S� se afle distan�a de la punctul S la dreapta AM; b) S� se demonstreze c� triunghiurile ANS �i Bac

sunt asemenea. 27

Prof. Ion Nea��, CNV”N.T”, Slatina, Olt 28) Fie polinomul P(X) = X 22 +k - X k2 + 2X 1+k + 1, k ∈N.

a) S� se descompun� P(X) în factori; b) S� se determine valorile lui n∈N* pentru care

P(n) este num�r prim , oricare ar fi , k ∈N.

Prof. Daniel Cojocaru, �c.gen. nr 5, Slatina, Jude�ul Olt ( GMB, nr 9/1993)

29) Oricare ar fi numerele consecutive x, y, z din N* astfel încât x < y < z , num�rul A = ( x n + 1)(y n - 1)(z n + 1) se divide cu xy (z + 1) pentru orice n natural impar

Prof. Daniel Cojocaru, �c.gen. nr 5, Slatina, Jude�ul Olt ( GMB, nr4/1988) 30) Fie E(X) = X 4 - 10 X 3 + 34 X 2 – 45 X + 18 a ) S� se descompun� E(X) în factori; b) S� se rezolve E(x) = 0, în R. Prof. Marinela Preoteasa, CNV”N.T”, Slatina, Olt

NOT�: Se a�teapt� rezolv�rile de la elevi, vor fi

nominaliza�i, în revist�, elevii care trimit rezolv�ri corecte.

28

Probleme distractive

prezentate în cadrul Proiectului intrejude�ean “Magia numerelor “, în Concursul din 11.12. 2009, desf��urat la Biblioteca Jude�ean� „Ion Minulescu”, Slatina, Jude�ul Olt

1) Aranja�i numerele 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 în p�tratul magic 3X3, astfel încât suma numerelor pe fiecare vertical�, orizontal� �i diagonal� s� fie aceea�i.

Propus� de eleva CÎR�U CLAUDIA,, Cls. a XI-a, C.N.E ”GH.CHI�U”-CRAIOVA, Prof. RADU SIMONA

2) Aranja�i numerele 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 în p�tr��elele figurii al�turate, astfel încât fiecare dintre cele patru sume (în p�tratul exterior, cel interior �i pe diagonale) s� fie egal� cu 20.

Propus de eleva D”ORTENZI ALESSANDRA, cls. a XI –a ; C.N.E.”GH.CHI�U”-CRAIOVA, Prof. RADU SIMONA

3) Scrie�i cu cifre num�rul, compus din unsprezece mii, unsprezece sute �i unsprezece unit��i. Propus de eleva OPREA ELENA , cls a X-a C.N.E. ”GH.CHI�U”-CRAIOVA,Prof. ROCSOREANU CRISTINA

29

Probleme distractive, cu solu�ii 1) Cum este aflat un num�r par gândit? Propune�i cuiva s� se gândeasc� la un num�r par, apoi s� înmul�easc� acest num�r cu 3, rezultatul s� împart� prin

2 �i din nou s� înmul�easc� cu 3. Dup� declararea rezultatului opera�iilor aritmetice dumneavoastr� pute�i indica num�rul gândit. Cum trebuie f�cut acest lucru? Propus de elev :ILESCU ANDREEA,cls. a X-a C.N.E .”GH.CHI�U”-CRAIOVA, Prof. ROCSOREANU CRISTINA Solu�ie Pentru aflarea num�rului gândit trebuie s� împ�r�i�i num�rul declarat prin 9 �i apoi s� înmul�i�i rezultatul cu 2.

Argumentare. Fie c� cineva s-a gândit la un num�r par, pe care îl vom nota 2k. Atunci în rezultatul opera�iilor aritmetice vom primi num�rul (((2k × 3) : 2) × 3) = 9k. Împ�r�ind rezultatul prin 9 �i înmul�ind cel primit cu 2, vom afla num�rul gândit 2k. 2) Cum trebuie aflat num�rul gândit?

Propune�i cuiva s� se gândeasc� la un num�r nu prea mare (pentru simplitatea calculelor) �i s� înmul�easc� acest num�r cu el îns��i. La rezultat cere�i s� adauge num�rul gândit dublat, iar apoi – înc� 1. Dup� rezultatul declarat a opera�iilor aritmetice dumneavoastr� pute�i s� indica�i num�rul gândit. Cum se face aceasta?

30

ELEV: POPESCU MARIA,clasa X

C.N.E.”GH.CHI�U”-CRAIOVA PROF. ROCSOREANU CRISTINA

Solu�ie Pentru a afla num�rul gândit trebuie din cel declarat de extras r�d�cina p�tratic�, �i apoi de sc�zut o unitate.

Argumentare. Fie c� cineva s-a gândit la un num�r k. Dup� opera�iile propuse vom primi: k·k + 2·k + 1 = (k+1)2. Num�rul (k+1)2 �i va fi declarat. 3) Daca il depasesti pe ultimul , in ce pozitie vei ajunge ?

ELEV: SILAGY GEORGE, cls. a X-a C.N.E.”GH.CHI�U”-CRAIOVA,

PROF. ROCSOREANU CRISTINA Solu�ie Daca ai raspuns penultimul, te-ai inselat din nou. Gandeste-te un pic … Cum poti sa-l depasesti pe ultimul ? Daca tu esti in urma lui atunci el nu mai este ultimul. Raspunsul era imposibil ! Se pare ca gandirea nu este punctul tau tare. Ai sanse sa fii cea mai slaba veriga 4) Un mosneag si o baba aveau un cucos pe care s-au hotarat sa-l vanda la piata.Baba i-a spus mosneagului sa-l vanda cu 20 lei .Mosneagul cand a ajuns in piata a gasit 2 baieti de la care a cerut 25 de lei .Se intele ca unul a dat 12.50 si unul 12.50.Mosneagul a bagat 20 lei in buzunar pentru baba(banii pe care i-a cerut baba),iar cu ceilalt 5 lei a intrat la crasma,dar nu a cheltuit decat 3 lei.Iesind de la crasma s-a italnit cu baietii care a aveau cocosul si le-au spus:mai baieti v-am luat prea mult pe cocos ,va dau cate un leu

31

inapoi.Acum baietii nu mai daduse cate 12.50 de fiecare ci cate 11.50 de fiecare.Tinand cont ca 11.50 + 11.50 =23 + 3 lei pe care i-a baut mosneagul in crasma =26 lei.De unde iese 1 leu in plus ? ELEV: SANDU COSMIN ALEXANDRU clasa a XII a

CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA PROF.ION DANIEL

Solu�ie "Tinand cont ca 11.50 + 11.50 =23 + 3 lei pe care i-a baut mosneagul in crasma =26 lei.De unde iese 1 leu in plus ?" asta te induce in eroare.Corect ar fi fost 11.50 + 11.50 = 23 - 3 lei pe care i-a baut mosul = 20 lei pe care ii duce acasa babei.Deci mosul a vandut cocosul nu cu 12.50 + 12.50 = 25 lei ci cu 11.50 + 11.50 = 23 din care i-au ramas 3 lei pe care i-a baut 5) 9 porci si zece gaini consuma 82 kg.9 porci si 5 gaini consuma 77 kg.Aflati cate kg consuma o gaina si cate kg consuma un porc? ELEV: CUREZU IONUT VALERIU clasa a XII a

CNE ,,GH CHITU’’ CRAIOVA PROF.ION DANIEL

Solu�ie: 9 porci......10 gaini....82 kg

9 porci ......5 gaini.....77 kg

0..............5..............5

5:5=1[kg 1 gaina];

32

9 porci.......5x1........77 kg

5x1=5; 77-5=72[9 porci];72:9 = 8[kg porc];

R:o gaina=1 kg; Un porc=8 kg

6) În 18 zile, 64 de vaci au p�scut iarba unei p��uni de 48 ari, iar în 30 de zile 84 de vaci au p�scut iarba unei p��uni de 90 ari. Câte vaci ar putea pa�te iarba unei p��uni de 60 ari în 20 de zile? (Se presupune c� iarba cre�te uniform).

ELEV: CAZACU ANDREEA LAVINIA, clasa a XII a, CNE ,,GH CHITU’’ CRAIOVA

PROF. ION DANIEL Solu�ie :

30zile 84 vaci 90 ari -> 10 zile 84 vaci 30 ari -> ca in 20 de zile 84 de vaci pasc 60 de ari

7) La o scoalã sunt elevi care au telefon mobil. Astfel sunt 200 de telefoane care au camerã incorporatã în slider, 200 de telefoane cu jocuri si 300 de telefoane muzicale culisante. 25 de telefoane sunt muzicale culisante cu jocuri si camerã incorporatã discret în slider. 75 de telefoane sunt muzicale culisante si au camerã incorporatã discret în slider. 50 de telefoane au numai camerã incorporatã discret în slider. 150 de telefoane sunt numai muzicale culisante. Cate telefoane care au numai jocuri sunt?

CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA, PROF.ION DANIEL Solu�ie: Din cele 200 telefoane cu camera 25 au camera muzica si

33

jocuri 75 au camera si muzica si 50 au numai camera. Raman 50 cu camera si jocuri. Din cele 300 telefoane cu muzica 25 au camera muzica si jocuri 75 au camera si muzica si 150 au numai muzica. Raman 50 de telefoane cu muzica si jocuri. Din cele 200 de telefoane cu jocuri 25 au camera muzica si jocuri 50 au muzica si jocuri iar 50 au camera si jocuri . Raman 75 cu jocuri 8) - Cate oi ai bade?

- Am avut de 3 ori mai multe oi albe decat negre, dar am vandut 56. Acum am jumatate din cate io negre am avut la inceput. Poti afla singur?

ELEV: OPREA SORINA clasa aXIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA

PROF BADICA MARIANA Solu�ie : ... 64 oi a avut la inceput(16 negre si 48 albe)...a vandut 56 a ramas cu 8 8 ani a = 3n; 3n + n - 56 = n/2 4n - 56 = n/2 ... n = 16; a = 48 Total 64 9) Un grup de copii se joaca . Alin spune : numarulde cod este cel mai mare numar natural de patru cifre distincete. Ce nr decod are Ina ? Dar Lili? Dar Lina?Dar Ani ?

ELEV: VULPE OANA clasa aXIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA

PROF BADICA MARIANA Solu�ie: Alin 9876; Ina 769; Lila 8787; Lina8769 ; Ani 967 10) Daca il depasesti pe ultimul , in ce pozitie vei ajunge ?

ELEV: STANCU FLORIN clasa aVIIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA

PROF STIRCU ADRIAN TEODOR 34

Solu�ie : Daca ai raspuns penultimul, te-ai inselat din nou. Gandeste-te un pic … Cum poti sa-l depasesti pe ultimul ? Daca tu esti in urma lui atunci el nu mai este ultimul. Raspunsul era imposibil ! Se pare ca gandirea nu este punctul tau tare. Ai sanse sa fii cea mai slaba veriga !!!

11) Au fost adunate împreun� 7 capi�e de fân cu înc� 11 capi�e. Cîte capi�e de fîn s-au ob�inut?

ELEV: PANUTI IOANAclasa aVIIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA

PROF. STIRCU ADRIAN TEODOR Solu�ie: S-a ob�inut o c�pi�� mare 12) Vom considera, conven�ional,c� dac� omul nu m�nânc� 7 zile (o zi – 24 de ore) sau nu doarme 7 zile, atunci el va muri. Fie c� un om o s�pt�mân� n-a mâncat �i n-a dormit. Ce el trebuie s� fac� în primul rând c�tre sfâr�itul a 7-ei zile: s� m�nânce sau s� doarme, ca s� r�mân� viu?

ELEV: BENEGUI IONUT clasa aVIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA

PROF STIRCU ADRIAN TEODOR Solu�ie Omul nu poate simultan �i dormi �i mânca. De aceea termen de 7 zile dup� somn �i dup� mâncare vine în timp diferit. Deci, omul trebuie s� fac� fix aceea, ce el f�cea o s�pt�mân� în urm�: a dormit sau a mâncat.

35

Leul in plus

13) Se duc 2 prieteni la un han si camera costa 30 lei. Dau fiecare cate 15 lei si apoi hangiul isi aminteste ca pretul camerei pe care le-a dat-o costa numai 25 lei. I-a dat la un baiat restul sa se duca sa le dea celro 2 prieteni. Baiatul isi pastreaza 3 lei ca zice ca nu o sa poata sa-i imparta si le da la fiecare 1 leu. Deci 28 lei si cu 3 pe care-i ia baiatul rezulta 31 lei. De unde a parut un leu ?

ELEV: UNGUREANU MARIA clasa aVIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA

PROF STIRCU ADRIAN TEODOR Solu�ie: Raspuns cel 3 lei se scad si nu se aduna. 14)

Trebuie completata imaginea alaturata cu cifre de la 1 la 9. (se pot repeta unele cifre, altele poti sa nu le folosesti. Se completeaza astfel incat sa se respecte operatiile.

ELEV: CHIVU DORINA, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA

PROF MIREA MIHAELA MIOARA Solu�ie

36

15)

In imaginea alaturata trebuie completat fiecare spatiu cu cifre de la 1 la 9 (cifrele nu trebuie sase repete) , respectand semnele de ordine: < (mai mic) si > ( mai mare).

ELEV: BARBU ALEXANDRA, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA

PROF MIREA MIHAELA MIOARA Solu�ie:

16) Testul lui Eisntein : sunt 5 case diferite, fiecare pictata in alta culoare. In fiecare casa locuieste o persoana de alta nationalitate care prefera propria sa bautura, diferita de a celorlalti. Fiecare om are pe langa el un animaldistinct si fumeaza o marca distincta de tigari. Prima casa este cea din stanga. Se fac urmatoareloe afirmatii :

I. Englezul locuieste in casa rosie II. Suedezul are caini III. Danezul bea ceai IV. Casa verde este casa din stanga casei

37

pictata cu alb V. Persoana din casa verde bea cafea VI. Persaoan care fumeaza Pall Mall creste pasari VII. Persoana din casa galbena fumaeza Dunhill VIII. Persoana din casa dein mijloc bea lapte IX. Norvegianul locuieste I prima casa X. Persoana care fumeaza Blend sta langa cea care are pisici XI. Persoana care creste cai sta langa cea care fumaeza Dunhill XII. Persoana care fumeaza Blue Master bea bere XIII. Germanul fumeaza Prince XIV. Norvegianul locuieste langa casa albastra XV. Cel acre fumeaza Blend sta langa cel care bea doar apa.

Cine are acvariul cu peste? ELEV: RUICAN MIHAELA, clasa XIIa

GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA PROF MIREA MIHAELA MIOARA

Solu�ie: Configuratia caselor: Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4 Casa 5 Nationaliatate norvegian danez englez germ. suedez Culoare galben albastru ro�u verde alb Bautura ap� ceai lapte cafea Bere Animale pisici cai p�s�ri pe�ti Câini �ig�ri Dunhill Blend Pall Mall Prince Blue

Master Germanul are acvariul cu pesti.

38

17) 16 pinguini merg in sir indian de-a lungul tarmului. PIN- PIN are in fata un sfert din numarul pinguinilor din spatele sau. Al catelea pinguin este PIN-PIN?

ELEV: ISCRU ANDREEA, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA

PROF MIREA MIHAELA MIOARA Solu�ie: 3=1/4 din 12 18) Suprafata unui lac se umple de nuferi in 20 de zile.stiind ca acestia isi dubleaza zilnic suprafata….in a cata zi jumatate de lac va fi acoperita cu nuferi?

ELEV: BOARI MARCEL, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA

PROF RISTEA ELENA GEORGIANA Solu�ie: In 20 de zile lacul este plin de nuferi 19) Intr-o casa locuiesc 2 tati si 2 fii. Cate persoane locuiesc in casa?

ELEV: ANGHEL CAMELIA, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA

PROF RISTEA ELENA GEORGIANA Solu�ie: 3 persoane

Drumul p�durarului

20) Unui p�durar i s-a oprit odat� ceasul destept�tor fiindc� uitase s�-l întoarc� la timp. P�durarul l-a potrivit cu aproximatie si l�sându-l acas� a pornit spre un sat apropiat unde avea treab�. A apucat-o pe potec� înspre sat, pe un

39

drum drept, care nu urca si nici nu cobora. P�durarul f�cuse drumul acesta de nenum�rate ori cu pasul lui domol, obisnuit, care-i asigura acelasi timp pentru parcurgerea distantei, atât la ducere cât si la întoarcere. Totusi, p�durarul nu socotise niciodat� de cât timp avea nevoie pentru a parcurge acest drum. In sfârsit, când a ajuns la s�teanul cu care avea treab�, ceasul acestuia ar�ta ora 10. A stat p�durarul aici pân� aproape de ora prânzului, dup� care, aruncând o privire la ceasul gazdei a pornit spre cas� unde ... si-a potrivit cu precizie destept�torul! B�nuiti cum a reusit s� fac� acest lucru, amintindu-v� c� p�durarul nu cunostea durata drumului?

ELEV: SAVA CATALIN, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA

PROF RISTEA ELENA GEORGIANA

Solu�ie: La plecare, dup� cum am v�zut, p�durarul a întors ceasul potrivindu-l la o or� oarecare. Ajuns la s�tean a privit ceasul, a aflat cât este ora, lucru pe care l-a f�cut si la plecare. Deci el a stiut cât timp a z�bovit în sat. Sosit acas� s-a uitat la ceasul s�u si a f�cut socoteala cât timp a lipsit de-acas�. Din acest timp l-a sc�zut pe cel cât a z�bovit în sat si a aflat astfel durata drumului. Întrucât distanta dintre sat si casa lui o parcurgea atât la dus cât si la întoarcere în acelasi timp, a împ�rtit durata total� a drumului la 2, aflând astfel durata unui drum. Acum, nu i-a mai r�mas decât s� adauge acest timp la ora ar�tat� de ceas la plecarea sa din sat. Suma aflat� era ora exact�, la care si-a potrivit apoi ceasul.

Etichetele încurcate 40

21) Se spune c�, pe vremuri, un calif, voind s�-si m�rite fiica, a invitat la curtea sa câtiva printi voinici si ageri la minte, pentru ca dintre ei s�-si aleag� drept ginere pe cel mai bun. Dup� ce i-a supus la o seam� de încerc�ri, a adus în fata tinerilor trei cutii si le-a spus c� una contine dou� safire, alta dou� rubine, iar ultima un safir si un rubin. Cutiile aveau etichetele care indicau: prima, dou� safire, a doua un safir si un rubin, iar a treia, dou� rubine. Iar califul, dup� ce i-a avertizat pe tinerii candidati c� etichetele sunt lipite gresit si c� nici una nu corespunde continutului cutiei respective, le-a cerut s� spun� câte pietre pretioase au nevoie s� scoat� pentru a ar�ta cu exactitate ce contine fiecare cutie. Unul dintre printi a r�spuns c� are nevoie s� scoat� doar o singur� nestemat� si poate spune ce contin toate cutiile. Spre marea uimire a celorlalti, el a reusit. Cum a procedat?

ELEV: CHITU MIHAI, clasa XIIa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA

PROF BIRSAN SORIN Solu�ie: Tân�rul a scos o piatr� pretioas� din cutia cu eticheta "safir si rubin". Dac� a scos un safir , atunci cutia continea dou� safire (nu putea contine un safir si un rubin, fiindc� - s-a precizat - eticheta nu indica adev�ratul continut al cutiei). Deci, dac� aceast� cutie continea cele dou� safire, cea cu eticheta "dou� rubine" ar fi continut un safir si un rubin, iar cea cu eticheta "dou� safire" urma s� contin� dou� rubine. Dac� ar fi extras un rubin determinarea continutului cutiilor s-ar fi f�cut potrivit aceluiasi rationament. 22) Eu sunt barbat. Daca fiul lui Larry este tatal fiului meu, ce sunt eu in raport cu Larry?

41

a) bunicul sau b) tatal sau c) fiul sau d)eu sunt Larry e) neporul sau f)unchiul sau g)cumnatul sau h)socrul sau

ELEV: STAN DANIEL, clasa XIIa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA

PROF BIRSAN SORIN Solu�ie: c 23) Ai doua galeti negradate, stii doar ca una are 9 litri si una 4 litri. Fara sa te ajuti de un alt vas , cum faci sa cantaresti 6 litri de apa? (poti folosi oricata apa doresti, dar numai masurata cu cele doua galeti)

ELEV: CHIULIGA ALEXANDRU, clasa Xa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA

PROF BIRSAN SORIN Solu�ie: Umpli galeata de 9 litri, dar cea de 4 litri este goala. Din galeata de 9 l umpli pe cea de 4 l. Golesti galeata de 4l si o umpli din nou cu apa ramasa din galeata de 9 l . Astfel in galeata de 9 l a ramas 1 l. Golesti din nou apa din galeata de 4 l. Torni 1l in galeata de 4 l si o umplii din nou pe cea de 9 l. Torni apa din galeata de 9 l in cea de 4 l. Astfel in cea de 9 l au rams 6 l. 24) Pe masa sunt imprastiate sase foi de hartie, trei dintre ele(numerotate 1,2,3) sunt albe, celelalte 3(care sunt numerotate 4,5,6) sunt colorate in bleu. Pe fiecare foaie este scris un text si anume:

- pe foile de culoare laba: 1- dupa mine mai este o singura foaiealba 2- urmatoarele doua coli au culori diferite

42

3- eu nu sunt ultima coala - pe foile de culoare bleu 4- urmatoarele doua coli sunt albe 5- prima foaie este de aceeasi culoare cu mien 6- foile anterioare si urmatoarele sunt de culori

identice Se cere sa se identifice aceste foi astfel incat toate propozitiile scrise pe ele sa fie adevarate

ELEV: TUDOSE MONICA, clasa Xa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA

PROF BIRSAN SORIN Solu�ie: B A A B A B 4 2 1 6 3 5 25) Intr-o balta sunt 20 pesti mari si mici Cand vine cocostarcul, dupa fiecare peste mare se ascund 3 pesti mici. Cati pesti sunt de fiecare fel?

ELEV: CALOTA GIGEL, clasa IXa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA

PROF STIRCU DIANA MIHAELA Solu�ie: 20: (3+1)=5 pesti mari ; 20-5=15 pesti mici 26) Ionel are o misiune importanta . Bunnica l-a rugat sa afle numarul orataniilor din curte. Dar nu oricum! Trebuie sa rezolve enigma capetelor si piscioarelor. Din spusele bunicii in curte sunt numia iepuri si gaini, in total 101 capete si 282 picioare. Haideti sa-l ajutam pe ionel si sa calculam cati iepuri si cate gaini sunt in curte.

ELEV: DOGARU MARIUS, clasa IXa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA

PROF STIRCU DIANA MIHAELA

43

Solu�ie: 101*2=202; 282- 202=80; 80+80=160 picioare iepuri; 160: 4=40 iepuri; 101-40=61 gaini 27) Intr-un cos sunt mere, pere si caise, in total de fructe. Grupand numarul merelor, functie de numarul caiselor, se obtin patru grupe. Grupand numarul perelor, functie de numarul caiselor, se obtine o grupa iar de pere raman negrupate. Fiecare fruct este ambalat in cutiute de aceeasi marime, la fel colorate. a) Cate mere, pere, respectiv caise sunt in cos? b) Care este probabilitatea ca luand la intamplare o cutiuta, aceasta sa contina un mar? c) Care este probabilitatea la luand la intamplare doua cutiute, ambele sa contina caise?

ELEV: NUTA DANIEL, clasa IXa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA

PROF STIRCU DIANA MIHAELA Solu�ie:

Mere-120, pere-50, caise-30. 6.0200120

)( ==marP

021.0)( 2200

230 ==

CC

caiseP

28) In jungla, pe malul unui rau, s-au intalnit trei canibali si trei turisti. Pe malul apei era ancorata o barca in care nu incap decat doi oameni. Un canibal si cei trei turisti stiau sa vasleasca. Cum traverseaza cei sase oameni raul, stiind ca pe acelasi mal nu trebuie sa ramana mai multi

44

canibali decat turisti. ELEV: VANATORU FLORIN, clasa IXa

GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA PROF STIRCU DIANA MIHAELA

Solu�ie: Canibalul care stie sa vasleasca trece peste rau un alt canibal, il lasa pe acel mal si se intoarce. Apoi, mai face o traversare cu celalalt canibal care nu stie sa vasleasca, il lasa pe mal si se intoarce. Pe urma trec raul doi turisti, un turist ramane pe acel mal, celalalt turist ia un canibal, care nu stie vasleasca, si il aduce inapoi. Un turist il ia pe canibalul care stie sa vasleasca si, il aduce inapoi pe canibalul care nu stie sa vasleasca. Apoi trec doi turisti si raman pe acel mal, canibalul care stie sa vasleasca se intoarce si, pe rand, trece pe celalalt mal pe cei doi canibali, care nu stiu sa vasleasca.

29) Trei copii: Marian, Gheorghe �i Andrei au câte un s�cule� de nuci. Marian are în s�cule� 300 de nuci,

Gheorghe are 35de nuci, iar Andrei are 97 de nuci. Fiind fra�i, se hot�r�sc s�-�i împart� nucile, astfel încât, fiecare,

s� aib� acela�i num�r de nuci. Marian, având cele mai multe nuci, îi d� lui Gheorghe o nuc�, iar lui Andrei atâtea nuci încât acum are de patru

ori mai multe nuci decât avea ini�ial. Dup� aceasta manevr�, Andrei are cele mai multe nuci. Andrei îi d� lui Gheorghe nuci, astfel încat acesta î�i dubleaz� num�rul

de nuci, iar lui Marian, care avea cele mai pu�ine nuci, îi d� nuci, încât num�rul nucilor lui Marian devine de 36 de

ori mai mare decît avea în s�cule�. Dup� aceast� manevr�, Marian are cele mai multe nuci.

45

Îi d� lui Gheorghe, cît �i lui Andrei atâtea nuci, încât numarul nucilor lor se dubleaz�. Dup� aceasta manevr�, fiecare copil are acela�i num�r de nuci.

Cîte nuci are fiecare copil, în mod egal?

ELEV: CALARASEANU ALEXANDRU, clasa aVI-a GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA

PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL Solu�ie: La inceput: Marian: 300 nuci; Gheorghe: 35 nuci; Andrei: 97 nuci Dupa prima manevra: Andrei: (nuci) ; Gheorghe : (nuci) Marian: (nuci) Dupa a doua manevra: Maian: (nuci) Gheorghe: (nuci); Andrei: (nuci) Dupa ultima manevra: Gheorghe: (nuci) Andrei: (nuci) Marian: (nuci) Proba:

46

30) Ionel are o cutie cu bomboane. El da jumãtate din numãrul bomboanelor colegilor de joaca, jumatate din numãrul bomboanelor rãmase le dã fratelui lui, ceea ce i-a mai rãmas împarte în mod egal cu bunica. Constatã cã lui i-au mai rãmas 3 bomboane. Câte bomboane au fost în cutie?

ELEV: FIRU IONUT, clasa VIa GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA

PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL Solu�ie: 24 de bomboane 31) Ce numar adunat cu el însusi sau înmutit cu el însusi da acelasi rezultat?

ELEV: GRECU VALENTIN, clasa VIa GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA

PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL Solu�ie: 2 32) Avem doua numere naturale, diferite de zero. Cu ele efectuam cele patru operatii: adunare, scadere, inmultire si impartire. Rezultatele le adunam si obtinem 200. Aflati numerele.

ELEV: MANDA DAMARIS, clasa VIa GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA

PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL Solu�ie: 50+1+50-1+50*1+50/1=200 33)

Broa�tele

Într-o zi, mai pe-nserat,

trei pescari st�teau la sfat:

47

Veni, Vidi �i cu Vici Sub o salcie pletoas�, pe marginea unui lac.

Pe�tii mari când îi v�zur�,

capetele le varâr�, în n�mol,

cât mai ad�nc.

Veni,

suparat, nevoie mare,

a-nceput s� numere, bro�tele din lac.

�apte broa�te el z�ri, fiecare,

oac, oac, oac.

Vici,

z�ri un brotac, de trei ori, oac, oac, oac, oac

apoi, înc� trei de oac.

Vidi,

foarte elegant,

a-nceput s� numere, câte oac, oac, oac

48

au cîntat, toate

broa�tele din lac.

Câte?

ELEV: ISTRATE ANDREEA , clasa aV-a GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA

PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA Solu�ie: Veni:

Vici:

Vidi a numarat de 34)

Balta si broastele Marilu si Mariflu, doua broaste saltarete, impreuna cu de mormoloci, locuiesc intr-o balta la marginea unui oras. Marflu are cu de mormoloci mai mult decat Marilu. Au compartimentat balta, astfel incat: mormoloci ai lui Mariflu sa aiba un compartiment de metri cubi de apa, iar mormoloci ai lui Marilu sa aiba un compartimet de

49

metri cubi de apa. Marilu si Mariflu, fiecare, cate un compartimet de metri cubi de apa. Cati metri cubi de apa are balta?

ELEV: PETRIC MARIA, clasa Va GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA

PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA Solu�ie: Prin metoda figurativa: Marilu: |__________| Mariflu: |__________|___ ___| Marilu + Mariflu: |__________|__________|___ ___|

Marilu: mormoloci Mariflu: mormoloci Pentru mormolocii lui Mariflu:

Pentru mormolocii lui Marilu:

Marilu + Mariflu Balta are: 260m 3 35) Sa se afle cinci numere naturale, diferite de zero, stiind ca: impartind pe primul la al doilea se obtine catul si restul , impartind pe al treilea la al cincilea se obtine catul si restul , iar impartind pe al doilea la al treilea, pe al treilea la al patrulea, pe al patrulea la al

50

cincilea, se obtine, de fiecare data, catul si restul . ELEV: MITROI ANDREEA, clasa Va

GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA

Solu�ie: al 5-lea numar este 17 !! 36) Sa se determine cifrele naturale , stiind ca :

ELEV: VOICU ANDREI, clasa Va


Solu�ie: al 5-lea numar este 17 !! 37) Sa se determine cifrele naturale , stiind ca :

ELEV: VOICU ANDREI, clasa Va


Solu�ie: { }8;2;1 ; { }7;3;1 ; { }6;4;1 ; { }6;3;2 ; { }5;4;2 Selec�ie realizat� de prof. Marinela Preoteasa,

C. N. V « N. Titulescu », Slatina, Olt

51

Premiile ob�inute în cadrul proiectului interjude�ean « Magia

numerelor », pe sec�iuni 1. Sec�iunea : “C�l�torie în �ara cifrelor �i rebusuri matematice”-19.10.2008-4.11.2009 2 premii I ob�inute de elevii :

- Tisanu Ana-Maria, �c.Achim Popescu,P�u�e�ti M�gla�i,Vâlcea,

prof. îndrum�tor Borcea Nicoleta, cu lucrarea „C�l�torie în �ara Cifrelor”

- Grupul de elevi:Dorina Chivu, Mihaela Ruican, Alexandra Barbu, cls. a XII-a, Gr. Sc. „Horia Vintil�”, Segarcea –Dolj,

prof. îndrum�tor Mirea Mihaela Mioara, cu lucrarea “ Matematica �i existen�a mea” 2 premii II ob�inute de elevii : - Antonescu Raluca, �coala „Liviu Rebreanu” Mioveni, jude�ul Arge�, cls. a V-a,

prof. îndrum�tor Antonescu Liliana, cu eseul „ Cifre...numere...”

- Andreea Istrate, Sc. „Horia Vintil�”, Segarcea –Dolj, cls. aXII-a,

prof. .îndrum�tor Dr�ghici Ani, cu lucrarea “Despre num�rul de aur (Phi si phi)”

- Ene Denis, Sc. cu cls. I-VIII „Gh. Popescu”M�rgineni-Slobozia, jud. Olt,cls. aV-a

prof. îndrum�tor Tra�c� Iuliana, cu rebusul „Numere naturale”

3 premii III ob�inute de elevii : 52

-Bianca Andreea S�vulescu, �c. Nr.3 „Ion Pillat” Pite�ti, Arge�, cls. aVII-a, prof. îndrum�tor Nicolae Carmen cu lucrarea: “Vraja metaforei �i magia numerelor”

- Sârbu Cristina , Colegiul Na�ional Voca�ional ”N. Titulescu” Slatina-Olt, cls. a X-a F2,

prof. îndrum�tor Preoteasa Marinela, cu poezia „ Crezul elevului ’’.

- Cristina Dr�goianu, Gr. Sc. “Charles Laugier”,cls. a X-a, prof. îndrum�tor Sorin Birsan

3 men�iuni ob�inute de elevii : -Cruceru Cristina, Sc. T�tule�ti-Olt, cls. a VII-a prof. îndrum�tor Diaconescu Diana, cu „ Rebusuri diverse”

- Onete Gabriela, �c.”Achim Popescu”, P�u�e�ti M�gla�i,Vâlcea, prof. îndrum�tor Borcea Nicoleta, cu lucrarea„Lumea numerelor” - Stan Mihai,Colegiul National” Gh. Chitu”Craiova, cls. a XII-a E, prof. îndrum�tor Ion Daniel, cu „Rebus Geometric” Sec�iunea: 2) “Matematic� aplicat�-POLIGONIA �i amuzamente matematice” 5.11-21.11.2009 2 premii I ob�inute de elevii :

-Diaconescu Laura, cls. a VI-a, �c.Achim Popescu, P�u�e�ti M�gla�i,Vâlcea, prof. îndrum�tor Cotoarb� Cristian -Dumitru Alexandru,cls. a VIII-a, Sc. Gen. Nr. 2 Caracal, Olt, prof. îndrum�tor Negril� Victoria

53

2 premii II ob�inute de elevii : -Tudor Alexandru , cls. aVIII-a, �c.Achim Popescu, P�u�e�ti M�gla�i,Vâlcea, prof. îndrum�tor Borcea Nicoleta - Badea Valentin, Sc. cu cls. I-VIII „Gh. Popescu” M�rgineni-Slobozia, jud. Olt,cls. aVI-a prof. îndrum�tor Tra�c� Iuliana

3 premii III ob�inute de elevii : -Dobre Maria Daniela, cls. a VIII-a, Sc. Gen. Nr. 2 Caracal, Olt, prof. îndrum�tor Negril� Victoria -Tomulescu Ionu�, �coala „Liviu Rebreanu” Mioveni, jude�ul Arge�, cls. a V-a, prof. îndrum�tor Antonescu Liliana - Vlad Mariana, cls. A VII-a B , Sc. Colone�ti, jud. Olt, prof. îndrum�tor Celmare Mirela

2 men�iuni ob�inute de elevii : -Du�� Andreea, Sc. T�tule�ti-Olt, cls. a VII-a prof. îndrum�tor Diaconescu Diana.

-Du�� Georgeta, Sc. cu cls. I-VIII „Gh. Popescu” M�rgineni- Slobozia, jud. Olt,cls. aVI-a prof. îndrum�tor Tra�c� Iuliana Sectiunea 3 “Concursul –MAGIA NUMERELOR-Probleme distractive” 23.11-11.12.2009 Rezultatele pe jude�e au fost urm�toarele : Jud. OLT: Premiul I - Radu Patricia Loredana, cls.a XI-a, C.N.V. “N. Titulescu”, Slatina, prof. îndrum�tor Preoteasa Marinela

54

- Vladu Lauren�iu, cls. aVI-a, �c. cu cls. I-VIII “Gh. Popescu” M�rgineni-Slobozia, prof. îndrum. Tra�c� Iuliana, Premiul al II-lea - Grigore Lavinia, cls. aVIII-a, Sc. Gen. nr. 2 Caracal, prof. îndrum. Negril� Victori�a - Cotoi Carmen Adelina, cls.a XI-a, C.N.V. “N. Titulescu”, Slatina , prof. îndrum. Preoteasa Marinela Premiul al III-lea - B�tut-Andrei Nicoleta, cls. a VI-a, �c. cu cls. I-VIII T�tule�ti, prof. îndrum. Diaconescu Diana - Andronescu Oana, cls. aVIII-a, Sc. Gen. nr. 2 Caracal, prof. îndrum. Negril� Victori�a -Giugulea Alina, cls. a VII-a, �c. cu cls. I-VIII “Av. A. �erb�nescu”Colone�ti-Olt, prof. îndrum. Celmare Mirela MEN�IUNE - Bo�neag Alessia, cls. a VII-a, �c. cu cls. I-VIII “Av. A. �erb�nescu”Colone�ti-Olt, prof. îndrum. Celmare Mirela - Troan� Valentina, cls. aVI-a, �c. cu cls. I-VIII “Gh. Popescu” M�rgineni-Slobozia, prof. îndrum. Tra�c� Iuliana - Cruceru Irina,cls. aVII-a, �c. cu cls. I-VIII T�tule�ti, prof. îndrum. Diaconescu Diana Jud. DOLJ MOCANU MIHAI ALEXANDRU,clasa a XI-a , Locul III, C.N.E.”GH.CHI�U”-CRAIOVA PROF. RADU SIMONA

55

SANDU COSMIN ALEXANDRU clasa a XII-a , Locul I , CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA PROF.ION DANIEL CHIVU DORINA, clasaXII-a , Locul II,GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA PROF MIREA MIHAELA MIOARA VANATORU FLORIN, clasa aIX-a, Locul II GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA PROF STIRCU DIANA MIHAELA CHIULIGA ALEXANDRU, clasa aX-a Locul III GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA PROF BIRSAN SORIN PANUTI IOANAclasa a VIII-a, Men�iune, CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA PROF STIRCU ADRIAN TEODOR GRECU VALENTIN, clasa a VI-a, Men�iune GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL ISTRATE ANDREEA , clasa aV-a, Locul I GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA Jud. VÂLCEA PREMIUL I – B�z�van Monica-cls.a-VIII-a (prof.Borcea Nicoleta,�c.cu cls. I-VIII”Achim Popescu”, P�u�e�ti M�gla�i)

56

PREMIUL II – Catrina Andreea Roxana - cls.a-VIII-a (prof.Smarandache Cristina,Gr.�c. Sanitar”Antim Ivireanul”,Rm.Valcea) PREMIUL III – R�du� Constantin - cls.a-VII-a (prof.Cotoarb� Cristian, �c.cu cls. I-VIII”Achim Popescu”,P�u�e�ti M�gla�i) - Diaconescu Laura - cls.a-VI-a (prof.Cotoarb� Cristian, �c.cu cls.I-VIII”Achim Popescu”,P�u�e�ti M�gla�i) MEN�IUNE - Mireanu Alexandru-cls.a-VII-a (prof.Smarandache Cristina, Gr.�c Sanitar”Antim Ivireanul”,Rm.Valcea) - Br�nescu Lavininia-cls.a-VIII-a (prof.Borcea Nicoleta, �c.cu cls.I-VIII”Achim Popescu”,P�u�e�ti M�gla�i) Jud. ARGE� Premiul I: - Dobra Andrei, clasa a V-a , �c. “Liviu Rebreanu”, Mioveni, prof. Antonescu Liliana - Vlasceanu Carmen, cls. aVI-a, �c. “Liviu Rebreanu”, Mioveni, prof. Radulescu Mariana Premiul al II-lea:

- Matei Dragos, clasa a VI-a, �c. Leice�ti, prof. Antonescu Marius - Oprea Andra, clasa a VII-a, �c. nr. 3 “Ion Pillat” , prof. Nicolae Carmen

57

Premiul al III-lea: - Uta Iulia, clasa a VII-a, �c. “Liviu Rebreanu”, Mioveni, prof. Antonescu Liliana - Nitulescu Sonia, clasa a VII-a, �c. “Liviu Rebreanu”, Mioveni ,prof. Radulescu Mariana MEN�IUNE - Buzea Diana, clasa a VIII-a, �c. nr. 3 “Ion Pillat” , prof. Nicolae Carmen

- Miuta Alexandru, clasa a VIII-a, �c. Leice�ti , prof. Antonescu Marius MINISTERUL EDUCA�IEI, CERCET�RII, TINERETULUI �I SPORTULUI INSPECTORATUL �COLAR AL JUDE�ULUI OLT �COALA CU CLS.I-VIII „STEFAN PROTOPOPESCU” SLATINA CONCURSUL INTERDISCIPLINAR „± POEZIE”

Faza jude�ean� - 27 martie 2010 clasele a V-a

R E Z U L T A T E

Nr. crt.

Numele �i prenumele

Cls.

�coala de provenien��

Punctaj

1. Alexe Octavian Alexandru

V �coala cu cls.I-VIII „Ion Graure” B�lteni

97

2. ANDRONACHE DANIEL

V �c cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

112

3. BALAN PAUL V L.P.S. Slatina 83 4. Bianica Alexandru V L.P.S. Slatina 100 5. BLA�A OANA V L.P.S. Slatina 95 6. Briceag Loredana V C.N.V.„N.T” Slatina 78

58

7. BRICEAG LOREDANA

V C.N.V.„N.Titulescu” Slatina

78

8. BROJBAN BIANCA

V �coala „V.Vod�” Slatina

100

9. BULIGIOIU MADALINA

V L.P.S. Slatina 74

10. CARCIUMARU VLAD

V �coala N.Titulescu Caracal

60

11. CÂRSTEA SEBASTIAN MARIAN

V �coala cu cls.I-VIII Stoic�ne�ti

82

12. CHIRIAC MARIA

V �coala „E.Ionescu” Slatina

129

13. CIOBANU ANA-MARIA

V C.N.”R.Greceanu” Slatina

57

14. CIOC STEFANIA V �coala „V.Vod�” Slatina

115

15. COSTEA MARIA

V Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia

101,5

16. COSTEA DRAGOS

V �c„C.Brancoveanu” Slatina

82

17. CUCU Adelina V L.P.S. Slatina 115 18. DNICA

Lauren�iu Ionu� V C.N.”R.Greceanu”

Slatina 70

19. Diaconu Andreea V �c „G.Poboran „Slatina 76,25 20. DIMITRIU Florin V C.N.V.„N.T” Slatina 85,5 21. DRAGONU

Petru�a Alexandra V C.N.”R.Greceanu”

Slatina 46

22. DUMITRESCU ANDREEA

V �c cu cls.I-VIII Scornice�ti

40,25

23. ENACHE FLORIN

V �c cu cls.I-VIII Nr.3 Caracal

90

24. ENE SIMONA V �c „C.Brancoveanu” Sl 95 25. FINTA OVIDIU V L.P.S. Slatina 112 26. GAVRILA

ANDREI V L.P.S. Slatina 98

59

27. GHILA ALEXANDRU

V L.P.S. Slatina 100

28. GHIRA ANDREAS


29. GRIGORAS GABRIEL

V C.N.”R.Greceanu” Slatina

94

30. GUTICA LUCIAN


118

31. ION ANA MARIA

V �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Slatina

85

32. IONESCU CONSTANTIN

V �coala „C.Brancoveanu” Slatina

84

33. IVAN MIRUNA V C.N.”R.Greceanu” Slatina

112

34. LUCA MIHAI CATALIN


96

35. MILAREZ RAZVAN


36. NINCIU ROBERT


95

37. MINZAT ROBERT


38. MOCANU ANDREEA


119,5

39. MOISE BIANCA V L.P.S. Slatina 94 40. MONEA

GEORGE V �coala. „V.Vod�”

Slatina 86

41. MOREA Lorena V �c„E.Ionescu” Sl 89 42. NICOLAE

CAMELIA V �coala „E.Ionescu”

Slatina 108

43. NICOLESCU Elena Raluca


98,5

44. NICU RAZVAN V �coala „G.Poboran „Slatina

123

60

45. PAN ADRIANA


99,5

46. PARASCHIV ALEXANDRA


79

47. PATRASCU ALIN

V �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

106

48. PTRA�CU CRISTIAN

V �coala N.Titulescu Caracal

123,5

49. PEICEA RALUCA

V �coala cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

85,5

50. PETRE GABRIEL

V �coala „G.Poboran „Slatina

82

51. PIROSCA RADU V �coala „E.Ionescu” Slatina

118

52. PIRVU ADRIANA


99

53. POSIRCA ALEXANDRU


54. PREDA ALINA V �c cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

111

55. PREDUT VICTOR


97

56. RADULESCU EMA


57. RUSU DIANA ALEXANDRA


58. SAFTA ALINA V �c „E.Ionescu” Slatina

107

59. SANDU Cristina NICOLETA

V �coala cu cls.I-VIII �c .Nr.3 Caracal

81

60. SFTOSU BIANCA

V �c cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

118

61. STAN DIANA V L.P.S. Slatina 83 62. STAN ROXANA V �coala „V.Vod�”

Slatina 67

61

63. STANCU MIHAELA

V L.P.S. Slatina 62

64. STEFANESCU MIHAELA


87

65. STOICA SORINA

V �coala cu cls.I-VIII Scornice�ti

68,5

66. SUSOIU ALEXANDRA

V C.N.V.„N.Titulescu” Slatina

121

67. �ERBNIC Octavian Mihail

V �coala „G.Poboran „Slatina

65

68. TANASESCU Scarlat Chrys


81

69. TOMESCU DOINA

V Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia

93

70. TORCEA DAN V �c N.Titulescu Caracal

65

71. TRSNEA ALEXANDRU


83

72. UNGUREANU ANDREEA

V �c cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

72

73. VATRAI IOANA MARIANA

V �coala cu cls.I-VIII „Ion Graure” B�lteni

63

74. Vava Teia Andrada


75. VIERU Andrada Natali


92,5

76. VILCEA DARIUS


66

77. VODITA �tefan V �coala „E.Ionescu” Sl 121,5

Inspector �colar de lb. �i lit.român� Inspector �colar de matematic� Prof. Victor IACOBESCU Prof. Aurelia STANCIU

D i r e c t o r,

Prof. MIHAELA PIRN�

62

clasele a VI-a,

R E Z U L T A T E Nr.crt. Numele �i

prenumele Cls. �coala de provenien�� Punct

aj. 1 ABAGIU

TEODOR VI C.N.I.Minulescu Slatina 69

2 ALEXANDRU IRINA

VI �coala „V.Vod�” Slatina 96

3 AMZA GEORGIANA

VI C.N.”R.Greceanu” Slatina

71

4 ANDREI IOANA CORINA

VI C.N.A.I.Cuza Corabia 88

5 BABICEANU FLORIN

VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia

59

6 BADEA CAMELIA

VI �coala cu cls.I-VIII Scornice�ti

62

7 BADEA DIANA VI C.N.V.„N.Titulescu” Slatina

72

8 BANULESCU ALIN


54

9 BARANCEA GABRIEL


92

10 BCNARU RAMONA

VI C.N.V.„N.Titulescu” Slatina

104

11 Barbuia Raluca VI �c „E.Ionescu” Slatina 76 12 Bezn� Ana Maria VI �c „E.Ionescu” Slatina 68 13 Bistriceanu Isabela VI �coala „G.Poboran” Sl. 95 14 Boroghin� Gabriel VI �c „E.Ionescu” Slatina 89 15 Burcioiu R�ducu VI L.P.S. Slatina 55 16 BURUNTIA

CRISTINA VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil

Mazilescu” Corabia 81

17 CATRINA ANCA MARIA

VI Scoala cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

80

18 CIOCIRLAN Forescu Helen

VI �coala „C.Brancoveanu” Slatina

76

63

19 CIRJAN LARISA VI L.P.S. Slatina 74 20 CIUREZU

MARINA VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil


21 CONSTANDA ALEXANDRA


75

22 CO�EREA LARISA

VI C.N.V.„N.Titulescu” Slatina

67

23 CRCIUN MUGUREL

VI �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

78

24 CRUCERU CRISTINA


47

25 DIMA IOANA VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia

132

26 DINU Gabriela VI C.N.V.„N.Titulescu” Sl 55 27 DORI� ALINA VI C.N.V.„N.Titulescu” Sl 69 28 DRAGHICI

GEORGIANA VI C.N.I.Minulescu Slatina 58

29 DUMITRESCU CRISTINA


30 FIERBÂNTU CRISTINA

VI �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

81

31 FILIP ALEXANDRU


105

32 GEORGESCU MALVINA

VI �coala N.Titulescu Caracal

79

33 GHEORGHE CRISTI

VI �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Slatina

96,5

34 GHEORGHI�OR CLIN


35 GUTAN GEORGIANA


77

36 ILIE ANAMARIA VI �coala „G.Poboran „Slatina

92,5

37 ILIESCU IONUT VI �coala „C.Brancoveanu” Slatina

69

64

38 IOAN BOGDAN VI L.P.S. Slatina 116,5 39 JOIA

ALEXANDRA STEFANIA

VI Scoala cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Slatina

110

40 LITA RHEEA VI C.N.I.Minulescu Slatina 91,5 41 LUNGU ELENA

MDLINA VI �coala cu cls.I-VIII

Stoic�ne�ti 93

42 MANEA ANA ELEONORA


43 MARICA ELENA VI �coala „E.Ionescu” Slatina

100

44 MARIN IONUT FAVIUS

VI C.N.I.Minulescu Slatina 55

45 MARINICA MADALINA

VI L.P.S. Slatina 38,52

46 MARTIN DIANA GABRIELA

VI �coala „G.Poboran „Slatina

101

47 MATEESCU LAURA MARIA

VI Sc cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

60

48 MILITARU STEFANIA

VI C.N.I.Minulescu Slatina 89,5

49 MITITELU ANDREI

VI �c cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

89

50 MOGOS OANA CRISTINA


51 MOISIU OLIMPIA

VI L.P.S. Slatina 74,5

52 NEDA GEORGIANA


53 NICOLAE CRISTINA

VI L.P.S. Slatina 80

54 Nicolae M�dalina VI L.P.S. Slatina 60 55 NITA GABRIEL VI L.P.S. Slatina 97 56 Pantelimon Denisa VI �coala „E.Ionescu” Sl 130 57 PUNA� George

Razvan VI �coala cu cls.I-VIII

Stoic�ne�ti 52

65

58 POPESCU SORIN

VI C.N.”R.Greceanu” Slatina

94

59 PRODAN IOANA MARIA


82

60 PUFULETE CARMEN


101

61 PUIU DNU� IULIAN

VI �coala cu cls.I-VIII Stoic�ne�ti

44

62 RADULESCU DAN

VI C.N.I.Minulescu Slatina 116

63 RISTEA Mihaela VI L.P.S. Slatina 98 64 ROGOJINARU

ANDRADA VI �coala „V.Vod�” Slatina 114

65 ROSCA ALEXANDRA

VI �coala N.Titulescu Caracal

105

66 SANDU ELENA VI C.N.I.Minulescu Slatina 92 67 SERBAN

CAMELIA VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil


68 STANILA ANTONIO

VI �coala „V.Vod�” Slatina 89,5

69 STEFAN GEORGE

VI �coala „E.Ionescu” Slatina

58

70 TOANA ADRIAN VI C.N.I.Minulescu Slatina 72 71 TOMA

ANDREEA VI �coala cu cls.I-VIII

Scornice�ti 76

72 TRITESCU IONELA

VI C.N.I.Minulescu Slatina 84,5

73 TRU�C ELENA MONICA


108

74 VTUI ADRIAN VI �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl

89,5

75 ZAMFIR CRISTINA


96

Inspector �colar de lb. �i lit.român� Inspector �colar de matematic� Prof. Victor IACOBESCU Prof. Aurelia STANCIU

D i r e c t o r, Prof. MIHAELA PIRN�

66

Note observative �i propuneri, din partea cititorului :

. . .

67

68

I.S.S.N.1222-5592 *

* Propuneri, sugestii, nemul�umiri, solu�ii, se PRIMESC pe adresa:

*Prof. Preoteasa Marinela, Colegiul Na�ional „ N. Titulescu”, Slatina, str. Aleea Rozelor, nr.5, localitatea Slatina, Judl Olt,

cod p 230041;

Sau: Ed. CuArt, Str. Mân�stirii; nr.7; 1C; ap.13; Slatina; J. Olt;

Cod p 230038; cu specificarea:

Pentru red.�ef MxM, prof. Marinela Preoteasa

email [email protected]

*Profesori, înv��tori, studen�i dac� vor s� fie activi în via�a revistei de matematic� MxM s� ia leg�tura prin telefon sau

coresponden��. *Problemele �i exerci�iile propuse s� fie înso�ite de solu�ii; *rezolvitorii �i propun�torii vor fi nominaliza�i în num�rul urm�tor, cu punctajul ob�inut la materialele valide, astfel: - Fiecare problem� rezolvat� bine este notat� cu 5 puncte;

- Fiecare problem� propus� publicat� este notat� cu 10 puncte; - Fiecare solu�ie deosebit� publicat� este notat� cu 15 puncte;

- Fiecare articol publicat este notat cu 20 puncte; *** Cu men�iunea c� acest punctaj este numai pentru elevi.

***Semestrial se vor acorda diplome �i premii. *Pentru comenzi mai mari decât 100 reviste, acord�m

reducere de 20%; *COMENZI, sugestii �i alte probleme speciale :

tel. 0249-418864; 0721-204698; *** Ne intereseaz� DISTRIBUITORI!***

***EDIT�M, cu ISBN, ÎN TIRAJ de la MIN. 50 exemplare -timp de execu�ie minim 7 zile

Pre�: 5.9 lei

**************************

Documents

Revista de Matematica MxM Nr 1 2010