Revista Brasileira de História da Matemática Vol. 13 n 26rbhm.org.br/issues/rbhm - vol.13,no26/rbhm - vol13, no26 - 2013.pdf · su propio título el texto se organiza como una serie

ISSN 1519-955X http://www.rbhm.org.br/

Revista Brasileira de História da Matemática Vol. 13 no 26

Publicação Oficial da Sociedade Brasileira de História da Matemática

Editor-in-Chief: Sergio Nobre (UNESP - Brasil) Managing Editor: Fábio Maia Bertato (UNICAMP - Brasil)

ÍNDICE

El Primer Tomo de las Cartas Físico-Matemáticas de Teodosio a Eugenio. Un curioso texto geométrico en formato epistolar Antonio M. Oller Marcén & Vicente Meavilla Seguí 1 - 21 Dos Livros Didáticos de Desenho como lugar de Memória Rosilene Beatriz Machado & Cláudia Regina Flores 23 - 40 On Euclid’s First Three Postulates John A. Fossa 41 - 46 Unique Historical Documents or Jarník’s Mathematical Notebooks from Göttingen Martina Bečvářová & Ivan Netuka 47 - 60 Creencias Religiosas y Matemáticas: el Problema de las dimensiones del Mar de Salomón José Mª Núñez Espallargas 61 - 72 Fontes Históricas nas salas de aula de Matemática: o que dizem os Estudos Internacionais Bernadete Morey 73 - 83 História da Matemática: Uma Visão Crítica, desfazendo Mitos e Lendas (Resenha crítica) Fumikazu Saito 85 - 94

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El Primer Tomo de las Cartas Físico-Matemáticas de Teodosio a Eugenio.

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EL PRIMER TOMO DE LAS CARTAS FÍSICO-MATEMÁTICAS DE TEODOSIO A EUGENIO. UN CURIOSO TEXTO GEOMÉTRICO EN FORMATO EPISTOLAR

Antonio M. Oller Marcén

Centro Universitario de la Defensa – Academia General Militar – Espanha

Vicente Meavilla Seguí Departamento de Matemáticas, Universidad de Zaragoza – Espanha

(aceito para publicação em abril de 2013)

Resumen En este trabajo presentamos y analizamos en detalle el primer tomo de las Cartas Físico-Matemáticas de Teodosio a Eugenio. Un texto de geometría poco conocido, escrito en formato epistolar por el portugués Teodoro de Almeida a finales del XVIII. Palabras clave: Geometría, Portugal, Siglo XVIII, Texto Epistolar. [THE FIRST BOOK OF THE CARTAS FÍSICO-MATEMÁTICAS DE TEODOSIO A EUGENIO. A

CURIOUS GEOMETRY TEXT IN EPISTOLARY FORM]

Abstract

In this work we present and analyze in detail the first book of the Cartas Físico-Matemáticas de Teodosio a Eugenio. A little-known geometry text written epistolary form by the Portuguese Teodoro de Almeida at the ending of XVIII century. Keywords: Geometry, Portugal, Eighteenth century, Epistolary text.

Revista Brasileira de História da Matemática - Vol. 13 no 26 - pág. 01-21 Publicação Oficial da Sociedade Brasileira de História da Matemática

ISSN 1519-955X

Antonio M. Oller Marcén & Vicente Meavilla Seguí.

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1. Introducción.

El Padre Teodoro de Almeida nació en Lisboa el 7 de enero de 1722 y murió en esa misma ciudad el 18 de abril de 1804. Cofundador de la Academia de Ciencias de Lisboa, socio de la Royal Society de Londres y miembro de la Real Sociedad Bascongada de amigos del país. Se trata de una figura relativamente importante de la Ilustración portuguesa (Azevedo, 1979) y fue autor de una obra bastante extensa y leída en su época (Borralho, 2001). Entre dicha obra destaca, quizás, la Recreação Filosófica (Domingues, 1988) cuya vocación enciclopédica (fruto seguramente de su estancia en Francia entre 1767 y 1778) es evidente. Esta obra se publicó en diez tomos, el primero de los cuales apareció en 1751 y el último en 1800. Los seis primeros se dedican a la filosofía natural, el séptimo a la filosofía racional, el octavo a la metafísica, el noveno a la teología natural y el décimo y último a la teología moral. Su fama fue bastante grande y fue editada varias veces tanto en castellano como en francés. De hecho, para 1792, antes incluso de que Almeida completara su obra, ya se habían editado en castellano los ocho primeros tomos (Almeida, 1792). Curiosamente, los tomos noveno y décimo se editaron en España separadamente y bajo el título de Armonía de la razón y la religión (Almeida, 1802). Como complemento a la Recreação Filosófica, y más especialmente, de sus siete primeros tomos (los de contenido científico), Almeida compuso entre 1783 unas Cartas Físico-Matemáticas en tres tomos. También esta obra tuvo gran impacto en España, siendo traducida por primera vez al castellano en 1787 (Almeida, 1787) y después en otras múltiples ocasiones, siendo en 1827 (Almeida, 1827) la última de la que tenemos noticia. Estas cartas presentan temas más avanzados de Geometría, Física y Mecánica que no recibieron atención en la Recreación Filosófica puesto que “hay cuestiones que [...] no son para la capacidad de los principiantes”.

Figura 1. Retrato del Padre Teodoro de Almeida


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En este trabajo vamos a centrar nuestra atención en el primero de los tres tomos que forman las Cartas, cuya temática única es la Geometría y que, de hecho, es el único texto de contenido matemático escrito por este autor. 2. Estilo y estructura del primer tomo de las Cartas.

El Padre Almeida escribió la Recreación Filosófica en forma de diálogo. Tres personajes: Eugenio, Silvio y Teodoro (éste último actuando como maestro) conversan durante varias tardes acerca de los temas más diversos. El estilo es, de hecho, muy similar al del Diálogo Sobre los dos Máximos Sistemas del Mundo de Galileo. Sin embargo, la obra que nos ocupa ya no sigue ese mismo esquema. Como indica su propio título el texto se organiza como una serie de cartas del maestro Teodoro a su discípulo Eugenio en las que trata de ampliar los conocimientos de este. En la carta preliminar leemos:

Figura 2. Portada de la primera edición en castellano de las Cartas


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“Amigo Eugenio, he recibido tus cartas, en que con amor y cortesía me condenas, por haberte dejado ignorante en muchas materias de Física, en las que ahora te hallas embarazado. Dices que lees muchos libros de Física en lengua francesa [...] y que no los entiendes...”

Existen ejemplos antiguos (el Método de Arquímedes o las Cónicas de Apolonio)

en los que el texto matemático viene precedido de una introducción a modo de carta. Sin embargo estas dedicatorias simplemente parecen indicar el modo en que los trabajos matemáticos circulaban en aquella época y el estilo del texto posterior no refleja rasgos epistolares. La organización de un texto matemático en la forma (ficticia) de una serie de cartas parece ser un caso sumamente excepcional en la historia de la Matemática. De hecho, no hemos sido capaces de encontrar otros ejemplos, lo que convertiría la obra que nos ocupa en un caso único. La obra se inicia con un listado de suscriptores y un prólogo de tres páginas por parte del traductor. El texto propiamente dicho se estructura en torno a siete cartas y un epílogo y se concluye con 15 láminas desplegables que contienen 276 figuras. En concreto, el índice es el siguiente:

Carta preliminar, que sirve de prólogo para las demás cartas. Carta I. Sobre las líneas y los ángulos. Carta II. De la medida de los ángulos. Carta III. De las razones y proporciones. Carta IV. De las líneas proporcionales. Carta V. De las superficies. Carta VI. Sobre los sólidos. Epílogo. Sobre las razones y proporciones de las líneas, superficies y sólidos.

3. Los suscriptores de la obra. Como hemos dicho, justo antes del prólogo del traductor, se incluye un listado con los suscriptores de la obra. Constituye éste un curioso y heterogéneo grupo de 183 personas, que ilustra el interés que debía suscitar la lectura de la obra. Algunos de ellos estaban suscritos por más de un ejemplar, siendo el caso más extremo el de alguien llamado Francisco Antonio Miravete; suscrito por 140 ejemplares. Entre estos 183 suscriptores encontramos militares como el Brigadier D. Antonio Angosto o el Coronel D. Alfonso Tabares, eclesiásticos (siendo el más notorio el Ilmo. Sr. D. Joseph Constancio de Andino, Obispo de Albarracín), nobles como el Marqués de Astorga o el Conde de Clavijo o profesionales liberales como D. Manuel Mota, que figura como cirujano de Villa-Pozuelo. No obstante la mayor parte de los suscriptores aparecen tan sólo con su nombre sin indicación alguna de cargo u ocupación.


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Merece la pena señalar que únicamente aparecen dos mujeres en el listado de suscriptores. De una de ellas no se conoce el nombre pues se presenta como la viuda de Miguel Alegría, mientras que la otra, María Benita Fernández Chicharro ostentaba el cargo de Tesorera de la Real Universidad de Valladolid (por lo que no es descabellado que adquiriera los 8 ejemplares con los que aparece anotada para la citada universidad). 4. Análisis del contenido. 4.1. El prólogo del traductor. Las Cartas físico-Matemáticas fueron traducidas al castellano por el doctor D. Francisco Girón y Serrado. De este autor poco hemos podido averiguar más allá de que fue presbítero, según se indica en la portada de la primera edición castellana de las Cartas (Almeida, 1787). Como única referencia adicional respecto a la labor de este autor, hemos encontrado la tercera edición del Directorio Moral del Reverendo Padre Fr. Francisco Echarri (Echarri, 1788) en cuya portada leemos “con adiciones por vía de notas y exactamente corregido por Don Francisco Girón y Serrado”. Fuera quien fuese este Francisco Girón, el prólogo nos informa de cuáles fueron los dos motivos principales que le llevaron a abordar la traducción de la obra de Almeida:

“Dos motivos principalmente me han animado a facilitar más la lectura de estas Cartas del Padre Almeida: el uno el deseo de desengañar a los que han oído a sus maestros, aunque ignorantes de la Física Experimental […] que esta ciencia no se compone bien con la verdadera Religión […] El segundo motivo que me inclinó fue el ver que muchos aficionados a los descubrimientos que ha hecho en nuestro tiempo la Física, sin los principios que son indispensables y yo los hallaba todos en las Cartas del Padre Almeida claros y compendiosos…”

Además de esta doble motivación, el prólogo concluye con un elogio de la Geometría y de su valor formativo, idea que sigue viva aún hoy en día, diciendo:

“La Geometría es la mejor Lógica, porque no puede el buen Geómetra apartarse de la verdad sin sentir repugnancia […] Luego podremos esperar que empezará la educación de los jóvenes por la Geometría, ya que está tan clara en el primer tomo de estas Cartas, a imitación de los grandes Autores de la antigüedad…”


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Merece la pena señalar que únicamente aparecen dos mujeres en el listado de suscriptores. De una de ellas no se conoce el nombre pues se presenta como la viuda de Miguel Alegría, mientras que la otra, María Benita Fernández Chicharro ostentaba el cargo de Tesorera de la Real Universidad de Valladolid (por lo que no es descabellado que adquiriera los 8 ejemplares con los que aparece anotada para la citada universidad). 4. Análisis del contenido. 4.1. El prólogo del traductor. Las Cartas físico-Matemáticas fueron traducidas al castellano por el doctor D. Francisco Girón y Serrado. De este autor poco hemos podido averiguar más allá de que fue presbítero, según se indica en la portada de la primera edición castellana de las Cartas (Almeida, 1787). Como única referencia adicional respecto a la labor de este autor, hemos encontrado la tercera edición del Directorio Moral del Reverendo Padre Fr. Francisco Echarri (Echarri, 1788) en cuya portada leemos “con adiciones por vía de notas y exactamente corregido por Don Francisco Girón y Serrado”. Fuera quien fuese este Francisco Girón, el prólogo nos informa de cuáles fueron los dos motivos principales que le llevaron a abordar la traducción de la obra de Almeida:

“Dos motivos principalmente me han animado a facilitar más la lectura de estas Cartas del Padre Almeida: el uno el deseo de desengañar a los que han oído a sus maestros, aunque ignorantes de la Física Experimental […] que esta ciencia no se compone bien con la verdadera Religión […] El segundo motivo que me inclinó fue el ver que muchos aficionados a los descubrimientos que ha hecho en nuestro tiempo la Física, sin los principios que son indispensables y yo los hallaba todos en las Cartas del Padre Almeida claros y compendiosos…”

Además de esta doble motivación, el prólogo concluye con un elogio de la Geometría y de su valor formativo, idea que sigue viva aún hoy en día, diciendo:

“La Geometría es la mejor Lógica, porque no puede el buen Geómetra apartarse de la verdad sin sentir repugnancia […] Luego podremos esperar que empezará la educación de los jóvenes por la Geometría, ya que está tan clara en el primer tomo de estas Cartas, a imitación de los grandes Autores de la antigüedad…”


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4.2. La Carta preliminar. Esta primera carta hace las veces de prólogo del autor. En ella da contexto a todo aquello que vamos a leer e informa sobre aspectos relativos a su motivación a la hora de escribir el texto así como al método elegido para presentar los contenidos. El maestro Teodosio escribe en respuesta a una carta de su discípulo Eugenio en la que este último se lamenta porque el maestro dejó temas sin tratar en sus conversaciones anteriores (las que se relatan en la Recreación Filosófica). El maestro se congratula por el ansia de conocimiento mostrada por el discípulo y justifica las omisiones:

“A la verdad que yo gusto de verte tan sediento […] pero sábete, que mi silencio en algunas materias en compañía de Silvio, fue preciso, y fue prudente. Si yo hubiera de tratar de todo lo que pertenece a esas materias, el estómago de tu entendimiento, por no poder digerir asuntos tan fuertes, padecería indigestiones…”

En concreto, Eugenio solicita a su maestro instrucción sobre la Geometría, aunque muestra cierto temor hacia las dificultades inherentes a su aprendizaje. Teodosio le anima:

“Créeme que has de hallar en ella [en la Geometría], como en la Física […] Los primeros pasos son los más oscuros; pero cada verdad geométrica es una luz o una antorcha que se enciende, y esta va sucesivamente encendiendo otras; de modo, que al principio sólo tenemos la simple luz de la razón que nos guía […] pero después va el entendimiento iluminado con muchas luces, que se van multiplicando cada vez más…”

A continuación, Teodosio pasa a explicar que los contenidos presentados son

exclusivamente los necesarios para “profundizar en el estudio de la Física”. Además afirma que va a dejar de lado el método de Euclides oponiéndose a “los apasionados del grande Euclides” que opinan que “sólo en él o en su método de tratar las verdades geométricas se halla la genuina evidencia matemática”. Para apoyar esta decisión Teodosio cita a (sic) Arnaldo1, Lami2, Cleraut3, la Chapele4 y Besout5, “que pusieron la mira en la facilidad de introducir en la mente de sus discípulos las verdades que nos querían enseñar”. Teodosio continúa con un interesante alegato de la libertad de pensamiento y cátedra, que le sirve de justificación por haber escrito un texto de Geometría (de los que ya existían excelentes ejemplos):

1 Posiblemente Antoine Arnauld, quien publicó en 1667 sus Nouveaux élémens de Geométrie. 2 Se trata de Bernard Lamy, autor en 1685 de Les Élémens de Géometrie. 3 Alexis Clairaut. En 1741 publicó su texto Élémens de Géometrie. 4 Jean-Baptiste de la Chapelle. Su obra Institutions de Géometrie apareció en 1756. 5 Étienne Bézout. Autor de importantes textos, como el Cours de mathématiques à l'usage des Gardes du Pavillon et de la Marine, aparecido ente 1764 y 1767 ó el Cours complet de mathématiques à l'usage de la marine et de l'artillerie que vio la luz entre 1770 y 1782.


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“La libertad de pensar como mejor los parece, que todos tienen en lo que no sea materia de Fe o de costumbres da a cada cual el derecho de exponer sus pensamientos […] Esta libertad ha sido utilísima, así en todas las Ciencias Naturales, como en las Matemáticas. Aunque no se concede en las verdades sustanciales, sobre las que todos están acordes, jamás se negó en el modo de enlazarlas, y deducir unas de otras, o en el de manifestarlas al entendimiento…”

Para concluir esta Carta preliminar, Teodosio refiere algunos aspectos metodológicos que ha seguido al presentar los contenidos y que considera que algunos podrían criticar. En concreto:

1. Uso de explicaciones difusas y de abundantes figuras. Esto lo justifica porque pretende “que cada uno por sí mismo sin Maestro pudiese entender todo cuanto le quiero enseñar”.

2. Las pruebas preceden al enunciado de las proposiciones (dando a este método el nombre de método sintético o de doctrina). Esta elección la basa en su experiencia previa puesto que “siempre observé constantemente, que cuando usaba yo este método, insensiblemente, y como sin trabajo alguno me percibían y se convencían de las verdades más complicadas”.

3. Los enunciados de las propiedades que se presentan se escriben separados del resto del discurso y en una tipografía diferente. El autor toma esta decisión para que así “sea más fácil y clara la impresión en el alma”.

Todos estos aspectos metodológicos acaba por justificarlos Teodosio en el hecho de que busca “la mayor claridad y facilidad […] no la mayor profundidad de doctrina”, a petición de su propio discípulo:

“me animas a que sólo atienda a estos dos fines: el uno a instruirte en las verdades más útiles que se enseñan en la Geometría […] el otro es ahorrarte trabajo, y aumentarte la claridad en la percepción y la inteligencia…”

4.3. La Carta I. Esta primera carta se titula “Sobre las líneas y los ángulos” y se organiza en torno a las once secciones siguientes:

1. De la formación de las líneas recta y curva. 2. De la línea circular.


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3. De los ángulos en común. 4. De la línea perpendicular y de la oblicua. 5. De otras propiedades de las líneas perpendiculares. 6. Reglas para conocer las perpendiculares y modo de formarlas. 7. De la línea oblicua. 8. De las paralelas. 9. De las tangentes de los círculos. 10. De las perpendiculares en los círculos. 11. Problemas sobre los círculos que tocan a otros en puntos dados en la periferia y

pasan por puntos dados fuera de ella.

Los contenidos tratados pueden ser considerados como básicos e incluyen numerosas definiciones y propiedades sencillas que, en su mayor parte, se deducen directamente de las definiciones presentadas. Las definiciones de los conceptos presentados son de carácter intuitivo. Así, por ejemplo, se define el concepto de línea:

“Eugenio, imagínate que un punto se mueve; de cualquiera modo que se mueva, siempre ha de seguir algún camino: este camino que lleva el punto es el que llamamos línea…”

Las justificaciones de las propiedades también recurren en gran medida a la intuición y poseen un carácter muy visual. Así la propiedad de que por un punto de una recta pasa una única perpendicular a ella recibe la siguiente justificación:

“Puesta una recta y levantada una perpendicular si desde el mismo punto queremos levantar otra, o bien ha de pasar sobre la primera, y entonces no es línea distinta, o ha de caer hacia alguno de los lados, y entonces no será perpendicular…”

También se dedica algo de tiempo a presentar algunas construcciones sencillas, como por ejemplo la de la mediatriz de un segmento, la de una circunferencia dados tres puntos o la de una circunferencia tangente a otra dados el punto de tangencia y otro punto de la circunferencia buscada. Esta última construcción, quizás la más compleja, junto con su discusión constituyen la última sección de la carta. Es interesante señalar que a lo largo de esta primera carta no aparece ningún aspecto de geometría métrica, sin embargo, en la tercera sección (dedicada a los ángulos) se presenta la definición de grado del siguiente modo:

“La circunferencia de cualquier círculo grande o pequeño se divide en 360 partes iguales, las que se llaman grados: los círculos grandes tienen grados grandes, y los pequeños los tienen pequeños…”


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Llama la atención esta confusión entre la amplitud de un ángulo y la longitud del arco correspondiente (la primera no depende del tamaño del círculo y la segunda sí), ocasionada por las dificultades que surgen a la hora de definir el concepto de ángulo y que siguen muy presentes en la enseñanza de estos conceptos hoy en día (Casas y Luengo, 2005). La carta se cierra con las disculpas de Teodosio por la excesiva extensión de la misma y la justificación, tan familiar para quienes se dedican a la docencia:

“Esta carta, amigo, se ha dilatado mucho […] bien que la deducción de las verdades que iban espontáneamente naciendo […] no me permitía cortar el hilo: perdóname, aunque no te prometo la enmienda”.

4.4. La Carta II La segunda carta, titulada “De la medida de los ángulos” se organiza en torno a cinco secciones:

1. De la medida de los ángulos que tienen el vértice en la circunferencia. 2. De la medida de los ángulos formados en el círculo. 3. De la medida de los ángulos en los triángulos. 4. De la medida de los ángulos en los polígonos. 5. Modo de formar triángulos o polígonos iguales a los que nos dieren.

Tras una primera carta dedicada a conceptos básicos, en esta segunda el maestro entra ya a tratar aspectos algo más complejos e interesantes. Se comienza estudiando el resultado clásico sobre la relación entre el ángulo inscrito en una circunferencia y su ángulo central correspondiente, dando como aplicación el método para construir una perpendicular por el extremo de un segmento dado y para trazar la tangente a una circunferencia por un punto exterior a ella. Por su parte, la siguiente sección se dedica al estudio de la relación entre ángulos interiores y exteriores a una circunferencia y sus correspondientes ángulos centrales, resultados igualmente clásicos. Estos resultados se demuestran sin recurrir (pues son ideas que no se han introducido todavía en este punto) a la definición de triángulo isósceles ni a resultados relacionados con los ángulos interiores o exteriores de un triángulo, que es el enfoque que se suele adoptar hoy en día (S.M., 2009). A continuación, el maestro se dedica a probar que los tres ángulos de un triángulo suman un total de dos rectos, extiende ese resultado a polígonos arbitrarios y termina presentando los criterios de igualdad de triángulos. La carta se cierra con una advertencia respecto a la siguiente, dedicada a las razones y proporciones. Teodosio pone sobre aviso a su discípulo de que va a utilizar lenguaje algebraico:


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“Para facilitarte, amigo Eugenio, la expresión, y abreviártela, haré lo que todos los modernos acostumbran, usando de las señales o signos del Álgebra; pues la experiencia enseña, que lo que hace más corta la expresión de una verdad, y una mirada la coloca enfrente de la imaginación, facilita increíblemente su inteligencia…”

En concreto Teodosio introduce las siguientes notaciones:

El signo de la suma (+). El signo de la resta (–). El signo de igualdad (=). El signo del producto (×). La notación para indicar una proporción aritmética (o por diferencias). La notación para indicar una proporción geométrica. La notación fraccionaria para el cociente. La equivalencia entre las expresiones , a2 y a×a.

Respecto a esta última equivalencia, el maestro se ve en la necesidad de introducir una aclaración que muestra su experiencia docente, pues el error que indica sigue bien presente en las aulas de Secundaria (del Río, 1990):

“para multiplicar a por a podemos decir a×a, o bien aa, o bien a2: y se lee a dos, o a multiplicado por a; pero 2a quiere decir a+a, o a sumada con a”.

4.5. La Carta III Como ya hemos adelantado, la tercera carta se titula “De las razones y proporciones” y sus contenidos se organizan en base a diez secciones:

1. De la razón en general. 2. De la proporción en común. 3. De la razón aritmética. 4. Proporción aritmética 5. De la razón geométrica. 6. Propiedades de la razón geométrica. 7. De la proporción geométrica. 8. De las mutaciones que se pueden hacer en los términos, conservando la

proporción.


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9. De la razón compuesta. 10. De la proporción recíproca.

Como quedó claro al final de la carta anterior, el tratamiento dado a la Proporcionalidad es puramente aritmético, por más de que nos encontremos ante un texto dedicado a la Geometría. En este sentido, los contenidos presentados, pese a su dificultad, juegan un importante papel instrumental en el desarrollo posterior, como el propio Teodosio indica a su discípulo al inicio de la carta:

“Amigo Eugenio, en esta carta te voy a dar la instrucción más importante porque es una llave precisa para entrar en mil gabinetes de verdades lindísimas; pero es algún tanto enfadosa al principio: si te disgusta, déjala a un lado, y ve leyendo las siguientes: después volverás a acabar de leer esta poco a poco, porque es muy precisa e importante. Empecemos, pues, que tal vez con el gusto no te parecerá enfadosa, y saltarás de contento, al ver en las cartas siguientes las utilidades que esta trae.”

Se inicia la carta introduciendo la idea de razón como comparación (ya sea por diferencia o por cociente) y la proporción como la igualdad de dos razones del mismo tipo. A continuación se aborda un tratamiento detenido de los dos tipos de razones y proporciones: las aritméticas y las geométricas. Ambas nociones reciben un tratamiento bastante similar, aunque como es de esperar, el desarrollo es más extenso en el caso de las razones y proporciones geométricas. Se definen los conceptos de razón y proporción y se estudian manipulaciones que dejan invariante la razón o que permiten obtener nuevas proporciones a partir de una dada. En el caso de las proporciones geométricas, al estudiar las posibles manipulaciones de una proporción que llevan a una nueva proporción, se presentan tanto en abstracto (utilizando letras) como ejemplos concretos que clarifiquen la idea. Por ejemplo,

“Si A:B::C:D luego alternando será A:C::B:D […] Demos que sea la proporción primitiva 12:4::9:3, luego alternando 12:9::4:3…”

Aunque la mayor parte del discurso se centra en dar reglas prácticas de manipulación de razones y proporciones, podemos encontrar algún breve excurso en el que se introduce notación. Así:

“Cuando la razón entre las cantidades se puede expresar por números, […] se llama racional; pero cuando no se puede explicar por números […], entonces esta razón se llama surda o irracional […] Las cantidades que tienen entre sí razón de


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número a número, son conmensurables, las que tienen razón surda son inconmensurables […] partes alícuotas y alicuantas: las alícuotas son aquellas que multiplicadas cierto número de veces, agotan el todo exactamente […] las alicuantas son las que nunca ajustan con el todo…”

También se dedica algo de espacio al estudio de las proporciones compuestas, en concreto a analizar el modo en que se pueden componer dos proporciones geométricas para obtener una nueva (multiplicando término a término los términos de las proporciones) y también a las proporciones recíprocas, relacionadas con la proporcionalidad inversa. El enfoque que se da a la proporcionalidad es puramente numérico y no aparecen prácticamente referencias a posibles aplicaciones de la proporcionalidad en el manejo de cantidades de magnitudes concretas. Tan sólo al hablar de razón compuesta y recíproca se siente Teodosio en la necesidad de presentar algún ejemplo concreto. Así, en el caso de la proporción recíproca leemos:

“Otro ejemplo: cuanto mayor es la tripulación de una nave, menos tiempo dura una determinada provisión de alimentos, y decimos: la tripulación de la nave grande es a la tripulación de la pequeña como la duración de las provisiones es en la nave pequeña, respecto de la duración de los alimentos en la grande…”

Para concluir, el maestro vuelve a incidir en la dificultad del material presentado, en su importancia y en la posibilidad de posponer su lectura:

“Esta materia, amigo mío, es un poco cansada y oscura, pero es indispensable: si a la primera vez que se lee esta carta no se comprende bien, pasa adelante, ve leyendo las otras, y vuelve después […] y créeme, amigo, que puse toda diligencia para tratar esta materia con la mayor facilidad posible: agradéceme la buena voluntad.”

4.6. La Carta IV Esta carta, que bajo el título de “De las líneas proporcionales” vuelve a retomar contenidos más propiamente geométricos, se articula según las siguientes ocho6 secciones:

1. Dividir las líneas en la proporción pedida. 2. De los lados proporcionales en los triángulos semejantes.

6 Debido seguramente a un error de imprenta, de la sección 7 se salta directamente a la 10. Esta errata aparece tanto en la edición de 1787 como en la de 1792. No hemos consultado otras posteriores.


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3. Aplicación de la doctrina precedente a medir distancias inaccesibles sin el socorro de la Trigonometría.

4. Aplicación de la doctrina dada a la división de cualquiera línea en partes proporcionales muy pequeñas.

5. De las líneas que son medias proporcionales. 6. Modo de dividir cualquier línea en media y extrema razón. 7. De las líneas que están en proporción recíproca. 10. De las circunferencias proporcionales en los polígonos y en los círculos.

A lo largo de esta carta se utilizan constantemente los resultados relativos a razones y proporciones numéricas que se presentaron en la anterior. Así, el maestro comienza su misiva del siguiente modo:

“La doctrina, amigo Eugenio, que te di acerca de la proporción de los números, se aplica fácilmente a las líneas […] y yo, ahora tratando de las líneas proporcionales, me iré fundando sobre lo que dije acerca de las razones y proporciones de los números.”

Teodosio comienza presentado el método usual para descomponer una línea en partes iguales y, como aplicación, para descomponer una línea en dos partes que guarden una razón dada. Estos métodos se presentan sin recurrir explícitamente al Teorema de Thales ni manejar la idea de semejanza de triángulos, concepto que se introduce en la siguiente sección. Los triángulos semejantes son definidos como aquellos que tienen los ángulos correspondientes iguales, apareciendo la relación de proporcionalidad entre los lados correspondientes como una consecuencia. Tras esta propiedad se presentan los criterios de semejanza clásicos y se dan métodos para construir terceras y cuartas proporcionales. Encontramos una sección bastante extensa en la que encontramos métodos topográficos que no requieren de la Trigonometría, que el autor introduce y justifica así:

“Nada lisonjea mas el gusto de los principiantes que el medir distancias inaccesibles sin instrumentos, ni cálculos embarazosos, lo cual pueden conseguir, sacando varias consecuencias de la regla general que arriba hemos puesto [la proporcionalidad entre los lados correspondientes en un par de triángulos semejantes]”


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En concreto, Teodosio presenta métodos para llevar a cabo las siguientes

mediciones:

Medir una distancia inaccesible AB. Medir la altura de una torre por su sombra. Medir distancias inaccesibles con un grafómetro y un semicírculo graduado. Medir, simultáneamente, distancia y altura de un objeto distante con dos estacas a

plomo.

En las dos secciones siguientes se presentan métodos para construir la media proporcional entre dos segmentos y para dividir un segmento según la razón áurea. En ambos casos las técnicas presentadas son las clásicas. La carta se cierra con la proporcionalidad entre la longitud de una circunferencia y su radio (o su diámetro). En este punto considera Teodosio que se ha superado ya la parte más delicada de la instrucción de su discípulo y dice:

“Ahora bien, amigo Eugenio, si hubieras entendido bien estas cartas, puedes sosegar, pues no encontrarás en los Elementos de Geometría cosa que sea difícil, pues el peor camino ya está pasado…”

Figura 3. Figura 4 de la Lámina 4, un grafómetro.


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4.7. La Carta V Esta carta se titula “De las superficies” y sus contenidos se organizan de acuerdo a doce secciones:

1. De la formación de las superficies. 2. Modo de valuar las superficies. 3. Modo de valuar o hallar el valor de los polígonos regulares y los círculos. 4. Modo de reducir un paralelogramo a otro. 5. Reducción de las figuras irregulares a otras también irregulares. 6. De las proporciones de las superficies del mismo nombre, supuesto que sean

desemejantes entre sí. 7. De la proporción de las superficies del mismo nombre y semejantes. 8. De la razón que hay entre el círculo y los cuadrados inscripto y circunscripto y del

formado sobre el radio. 9. De la razón que hay entre el cuadrado de la hipotenusa y los cuadrados de los otros

dos lados. 10. Aplicación de la doctrina de la hipotenusa a los polígonos y círculos. 11. Modo de construir cuadrados y círculos en cualquier razón que nos pidieren, con

respecto a los que nos fueren dados. 12. Modo de hallar superficies que sean medias proporcionales entre dos superficies

dadas.

De un modo similar al inicio de la Carta I, Teodosio introduce de un modo dinámico el concepto de superficie, que no es sino “el espacio por donde se considera que la línea entera va pasando”. De hecho, se presenta una curiosa definición y clasificación de los paralelogramos:

“Debes ahora suponer que cuando una línea recta se mueve hacia un lado siempre va paralela a sí misma; y así el espacio que recorrió la línea se llama paralelogramo. La línea AB se considera movible y la línea AC es la directriz, y se considera quieta. Si la movible con la directriz hacen un ángulo recto, el paralelogramo se llama rectángulo […] Si además de ser el ángulo recto, la movible es igual a la directriz, el paralelogramo se llama cuadrado […] Si la movible hiciere con la directriz un ángulo que no sea recto, el paralelogramo, se llama oblicuángulo; y en este caso, si la movible es igual a la directriz, el paralelogramo se llama rombo […] pero si no fuesen iguales las dos líneas, se llama romboide…”


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Como cabe esperar, otros cuadriláteros como el trapecio; o el concepto de polígono

en general no se definen de este modo. Los triángulos se definieron en la tercera sección de la Carta II. Tras estas definiciones se inicia una discusión sobre el cálculo de las áreas de diversas figuras planas (desde rectángulos hasta sectores circulares). Pero antes encontramos una interesante digresión acerca de la distinción entre una superficie y su área. En concreto leemos:

“Para valuar la superficie de un paralelogramo rectángulo se debe multiplicar la base por la altura; mas los principiantes no pueden bien comprender cómo se multiplica una línea por otra: para esto se advierte, que cualquiera cantidad representada por una línea se debe dividir en un cierto número de unidades, aunque la calidad de estas es arbitraria […] y así multiplicando el número de las unidades de una línea por el número de las de la otra, queda multiplicada una línea por otra. Adviértase también, que no es lo mismo formar una superficie, que valuarla; pues para su formación se considera la línea matemáticamente, esto es, prescindiendo de su grueso […] Pero si queremos valuar una superficie ya formada, debemos numerar la cantidad de partes que la componen; y en esto ya se ve, que estas mismas partes son ya superficies, y no puramente líneas, por cuanto de líneas matemáticas sin latitud o grueso no se puede componer una extensión física […] que la nada, por más que se multiplique, no puede dar cosa positiva…”

Vemos cómo se mezclan las ideas filosóficas con las matemáticas y cómo

aparecen concepciones respecto a la suma de cantidades infinitamente pequeñas que supusieron (y suponen) obstáculos (Brousseau, 1983) a la hora de comprender conceptos relacionados con el Análisis Matemático. Además de lo que llamaríamos fórmulas para el cálculo de áreas, se presentan métodos para construir figuras equivalentes y resultados relativos a la comparación entre las áreas de diversas figuras semejantes o no. Se cierra esta parte probando que “los círculos son entre sí como los cuadrados de los diámetros”. Tras el estudio de un caso particular en la sección 8, se presenta el Teorema de Pitágoras; del que se dan hasta tres demostraciones (incluyendo la que aparece en los Elementos de Euclides). Sigue una serie de aplicaciones de este resultado que incluyen, por ejemplo, la duplicación de un cuadrado o la construcción de un círculo de igual área que una corona circular dada. La carta, y con ella los contenidos relativos a áreas y superficies, se cierra con diversos resultados que relacionan la razón entre los lados de dos cuadrados o los radios de dos círculos y la razón entre sus áreas.


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4.8. La Carta VI Esta última carta, la más extensa, se titula “Sobre los sólidos” y está estructurada en torno a las diecisiete secciones siguientes:

1. De la formación de los sólidos. 2. De las superficies de los prismas y cilindros. 3. De las superficies de las pirámides y conos enteros y truncados. 4. De la superficie de la esfera y de los segmentos de ésta. 5. De la solidez o valor de los prismas y de los cilindros. 6. De la comparación de los prismas y cilindros rectos con los oblicuos. 7. De la comparación de las pirámides y conos rectos con los oblicuos. 8. Modo de conocer el valor de las pirámides o de los conos. 9. Del valor de la pirámide y cono truncado. 10. Del valor de la esfera. 11. De la razón que tienen los sólidos entre sí. 12. De la razón que tienen entre sí los sólidos semejantes. 13. De la proporción que se halla entre el valor de la esfera y el del cilindro, cubo y

cono que tuviesen la misma altura y profundidad que la esfera. 14. Del valor del sector y del segmento de la esfera. 15. Del modo de valuar el prisma recto truncado.

Figura 4. Figuras 7 y 8 de la Lámina 5, dos demostraciones del Teorema de Pitágoras.


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16. Modo de valuar el volumen de los cuerpos irregulares. 17. De los sólidos regulares.

La introducción del concepto de sólido se hace forma totalmente análoga al de línea y superficie. El propio Teodosio así lo hace ver:

“En cuanto a su formación [la de los sólidos] quiero que tengas presente la formación de las líneas y las superficies […] Considerando el movimiento de una superficie […] haremos la idea de un sólido…”

Los contenidos de esta carta se inician con una primera parte, formada por las secciones 2, 3 y 4, dedicada al estudio de las superficies de los sólidos presentados (prisma, pirámide, cono y esfera). Se dan métodos para calcular lo que hoy llamaríamos el área lateral y total de prismas, pirámides y conos, así como para el área de la esfera. El resto de la carta sigue una estructura similar a la anterior, dedicada a las áreas de superficies, pero en este caso respecto a volúmenes de sólidos: se dan “fórmulas” para el cálculo de volúmenes, se compara el volumen de figuras del mismo tipo rectas y oblicuas, se estudia la razón entre los volúmenes de figuras semejantes o la razón entre los volúmenes de figuras no semejantes pero del mismo tipo. La sección final, que supone prácticamente el cierre de la obra (aunque como veremos se incluye un epílogo) está dedicada a la clasificación de los sólidos regulares. El maestro Teodosio justifica la no existencia de más poliedros regulares que los conocidos y da métodos para su construcción. Por lo curioso de sus términos, indicamos aquí el correspondiente al dodecaedro:

“Tomemos, pues un pentágono de papel, y de sus cinco lados hagamos que se levantes otros cinco pentágonos iguales hasta unirse mutuamente en forma de una bandeja (perdónese la familiaridad de los términos, porque sólo atendemos a la claridad, que es la que necesitan los principiantes); formemos otra bandeja semejante a la anterior […] y colocaremos una sobre otra…”

Resulta de interés señalar que la esfera es considerada por el autor como un sólido

regular “por ser en todas partes semejante a sí mismo: de suerte que de cualquiera modo que se la tome siempre ofrece la misma superficie igualmente convexa”. 4.9. El Epílogo Aunque, como ya hemos comentado, los contenidos geométricos concluyen en la Carta VI, la obra se cierra con un epílogo titulado “Sobre la combinación de las razones y proporciones de las líneas, superficies y sólidos” que se compone de dos secciones sin titular.


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Los contenidos de este epílogo son de carácter aritmético y podrían haberse incluido en la Carta III. En concreto el maestro se centra en, dada una progresión geométrica de cierta razón, estudiar las progresiones geométricas formadas por los cuadrados y los cubos de la original.

La explicación de la ubicación de este estudio en este punto y no en la Carta III dedicada a la proporcionalidad aritmética es que, en este punto, Teodosio puede relacionar los cuadrados y cubos con superficies y sólidos:

“En la Geometría podremos dar figura sensible así de la segunda potencia, que es una superficie, como de la tercera, que es un sólido; pero como no hay más de tres dimensiones, no podemos dar figura sensible de la cuarta, de la quinta…”

Figura 6. Figura 1 de la Lámina 15, interpretación geométrica de los cuadrados y cubos de una progresión geométrica.

Figura 5. Figuras 1 a 6 de la Lámina 14, los sólidos regulares según Teodosio.


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5. Conclusión. Desde el punto de vista de los contenidos que trata, el primer tomo de las Cartas Físico-Matemáticas de Teodosio a Eugenio no es un texto especialmente interesante. De hecho, el propio autor ya señala en la Carta Preliminar que su aportación personal se centra más bien en el modo de presentarlos. En ese sentido, y dejando de lado el estilo epistolar originalísimo, pensamos que el modo en que se presentan ciertos contenidos es ciertamente interesante y, si se nos permite, moderno. Se observa claramente la influencia en el Padre Almeida de los autores citados en la Carta Preliminar (ver notas 1 a 5). Es reseñable el abandono (aunque sea parcial) del método axiomático y el recurso a la intuición y a la visualización (apoyado en el gran número de figuras). Virtudes que no siempre se consideran tales7. Aún hoy es poco habitual, por citar algunos ejemplos, encontrar una presentación dinámica (basada en el movimiento) del concepto de línea o el tratamiento de problemas topográficos relativamente complejos de manera práctica y efectiva sin recurrir a la Trigonometría. En cuanto a la extensión de los contenidos, el autor no pretende ser exhaustivo. La obra se cierra con las palabras siguientes, que refuerzan opiniones ya expresadas al comenzar la obra:

“Ve aquí, amigo Eugenio, lo que me ha parecido suficiente para inteligencia de la Física…”

Sin embargo, en nuestra opinión, los contenidos que se presentan proporcionan

una sólida formación geométrica que, dejando de lado aspectos formales y de nomenclatura, sería considerada muy buena incluso desde el punto de vista actual. 6. Referencias. ALMEIDA, T. (1787) Cartas Físico-Matemáticas de Teodosio a Eugenio. Madrid, Imprenta de Benito Cano, 2 vols. ALMEIDA, T. (1792) Recreación Filosófica. Madrid, Imprenta Real, 8 vols. ALMEIDA, T. (1802) Armonía de la razón y de la religión o respuestas filosóficas a los argumentos de los incrédulos. Dividida en dos tomos. Traducida al castellano y aumentada con varias notas, por el R. don Francisco Vázquez, C.R. de S. Cayetano, lector de teología. 1ª edición, Madrid, Imprenta de Villalpando, 2 vols. ALMEIDA, T. (1827) Recreación Filosófica y Cartas Físico-Matemáticas de Teodosio a Eugenio. Madrid, Imprenta del Diario, 11 vols. AZEVEDO, F. (1979) “Teodoro de Almeida: A religious orator of the Portuguese Elightment”. Luso-Brazilian Review, 16(2), 239-247.

7 Recuérdese, sin ir más lejos, cómo Lagrange se vanagloriaba en el prefacio de su Mecánica Analítica de 1788 de no haber incluido figura alguna en la obra.


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BORRALHO, M.L.M. (2001) “Teodoro de Almeida. Entre as histórias da História e da Literatura”. En Estudos em homenagem a João Francisco Marques, 213-227. Oporto: Facultade de Letras da Universidade do Porto. BROUSSEAU, G. (1983) “Les obstacles épistémologiques et le problèmes en Mathématiques”. Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), 165-198. CASAS GARCÍA, L.M. y LUENGO GONZÁLEZ, R. (2005) “Conceptos nucleares en la construcción del concepto de ángulo”. Enseñanza de las Ciencias, 23(2), 201-216. DOMINGUES, F.C. (1988) “Um projecto enciclopédico y pedagógico: a ‘Recreação Filosófica’ de Teodoro de Almeida”. Revista de História das Ideias, 10, 235-248. DEL RÍO SÁNCHEZ, J. (1990) “Concepciones erróneas en Matemáticas. Revisión y evaluación de las investigaciones”. Educar, 17, 205-219. ECHARRI, F. (1788) Directorio moral del Reverendo Padre Fr. Francisco Echarri. 3ª edición, Madrid, Imprenta Real. S.M. (2009) Esfera. Matemáticas 1º E.S.O. Madrid, S.M. Antonio M. Oller Marcén

Centro Universitario de la Defensa, Academia General Militar – Espanha E-mail: [email protected] Vicente Meavilla Seguí Departamento de Matemáticas, Universidad de Zaragoza – Espanha E-mail: [email protected]

Dos Livros didáticos de desenho como lugar de memória

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DOS LIVROS DIDÁTICOS DE DESENHO COMO LUGAR DE MEMÓRIA

Rosilene Beatriz Machado Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC – Brasil

Cláudia Regina Flores

Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC - Brasil

(aceito para publicação em março de 2013)

Resumo

Inserido na problemática de investigação sobre a trajetória da disciplina de desenho no Brasil, este artigo tem por objetivo apresentar uma análise de cinco livros didáticos de desenho publicados em meados do século XX no país. Tomando os livros didáticos como fontes de pesquisa histórica, pretende-se evidenciar que saberes foram por eles mobilizados, partindo-se do pressuposto de que esses livros constituiram um efetivo discurso sobre o desenho, organizando e selecionando conteúdos, estruturando programas e propagando objetivos didáticos e valores ideológicos. A análise desses textos deve nos possibilitar, portanto, um horizonte mais amplo para a compreensão da trajetória escolar dessa disciplina.

Palavras-chave: História da Educação. História da Educação Matemática. Livros Didáticos. Disciplina de Desenho.

[DRAWING’S TEXTBOOKS AS PLACE OF MEMORY]

Abstract

Inserted into the research on the trajectory of Drawing as a school discipline in Brazil, this article aims to present an analysis of five Drawing textbooks published in the mid-twentieth century in the country. Taking the textbooks as sources of historical research, we intend to show which knowledge they mobilized. The assumption is that these books constitute an effective speech about the drawing, arranging and selecting content, designing didactic programs and propagating ideological values and goals. The study of these textbooks should provide therefore a wider horizon to the understanding of the school trajectory of this discipline.

Keywords: History of Education. History of Mathematics Education. Textbooks. Drawing.


ISSN 1519-955X

Rosilene Beatriz Machado & Cláudia Regina Flores

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Lugar de memória

Os livros que a gente usava eram o Thomas French, que era para desenho técnico, e de desenho tinha o Benjamim de Carvalho, o Penteado, e depois veio um mais simples que misturava essa parte da educação artística com o desenho geométrico. Os livros eram bons, eram bem didáticos. Se um aluno tivesse interesse em pegar e ir para casa construir uma daquelas figuras geométricas, ele conseguia, passo por passo, tinha explicado...1

Se você olhar a bibliografia básica daquela época, era um livro de José de Arruda Penteado. Então se olhar, tu vês que ele tem uma fundamentação... Melhor que ele ainda, o Benjamim de Carvalho. O livro do Benjamim de Carvalho é bem pouco didático. A primeira parte é toda teoria e a parte de exercícios é posta depois.2

Duas falas distintas. Em ambas, a convergência para um objeto: livros didáticos de desenho publicados no Brasil em meados do século XX. Não obstante, sobre o mesmo objeto, divergências de olhar: ora livros bons e bem didáticos, ora livros bem pouco didáticos. Das convergências e divergências algumas reflexões fazem-se necessárias.

Por um lado o desenho. Outrora disciplina escolar instituida e organizada no currículo da escola básica brasileira, hoje saber moribundo, quiçá morto, em nossas práticas escolares nesse nível de ensino.3 Que movimento é este, então, capaz de formar e deformar disciplinas escolares? Por outro lado, os livros didáticos. Afinal, que significações esses livros conferem a uma disciplina escolar?

A disciplina de desenho esteve constituída como componente curricular obrigatório no Brasil por cerca de 30 anos. Em 1931 a reforma Francisco Campos4 oficializou seu

1 Trecho de depoimento oral concedido em outubro de 2010 pelo Prof. Ailton João da Silva, conhecido como Prof. Bana, professor de Desenho do Colégio de Aplicação da UFSC no período de 1969 a 1972. 2 Trecho de depoimento oral concedido em outubro de 2010 pelo Prof. Milton Luiz Valente, professor de Desenho do Colégio de Aplicação da UFSC no período de 1972 a 1973. Estes depoimentos foram concedidos para o desenvolvimento da pesquisa: MACHADO, R. B. Entre Vida e Morte: Cenas de um Ensino de Desenho. 254f. Dissertação (Mestrado em Educação Científica e Tecnológica), Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC, Brasil, 2012. 3 Argumento presente em diversas pesquisas que tratam da história da disciplina de desenho no Brasil, tais como Nascimento (1994 e 1999), Zuin (2001), Trinchão (2008), Machado (2012). 4 Esta Reforma buscou organizar e uniformizar os conteúdos e métodos de ensino nas escolas oficiais em todo o país. O curso secundário foi então dividido em um ciclo fundamental (5 séries) e um ciclo complementar (2


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ensino na escola básica, dividindo-a em quatro modalidades. O desenho nesse período, através de suas diferentes modalidades, compunha uma das doze disciplinas do curso fundamental, e esteve presente em todas as séries desse ciclo. Na década de 1940, a Reforma Capanema5 solidificou a presença da disciplina no cenário educacional e instituiu o ensino de desenho em todas as séries do curso ginasial e científico, permanecendo tal situação até o final dos anos 1950.

Contudo, na década de 1960, a lei 4.024 de 1961, que definiu nacionalmente as diretrizes educacionais, conferiu novos rumos ao ensino de desenho no Brasil. A disciplina começou a experimentar certo desprestígio em meio aos documentos educacionais oficiais, passando a figurar como disciplina obrigatória complementar. Na verdade, tornou-se uma disciplina opcional, constando em apenas duas das quatro opções disponibilizadas pelo Conselho Federal de Educação (CFE) para o primeiro ciclo, e em apenas uma das quatros disponíveis para o segundo ciclo. Além disso, passou a não contar mais com referenciais quanto ao seu conteúdo ou metodologia. Situação que se agravou com a promulgação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB) de 1971. A partir desta lei o currículo passou a ser formado por um núcleo comum e por uma parte diversificada. Enquanto a disciplina de educação artística tornou-se uma disciplina obrigatória, ao desenho coube mais uma vez compor a parte diversificada do currículo, acentuando a instabilidade que já vinha experimentando desde o início da década de 1960. “A vasta legislação que se seguiu à promulgação da Lei das Diretrizes e Bases para os 1 e 2 graus, praticamente ignorou o desenho, presente apenas, em breves citações” (NASCIMENTO, 1999, p.28).

Várias são as hipóteses levantadas em investigações que tratam da disciplina de desenho em relação à sua exclusão do currículo da escola básica. Dentre elas, Machado (2012, p. 199) infere que a publicação de livros didáticos cumpriram duplo papel na trajetória dessa disciplina: “Constituíram-se em importantes elementos de vida, mas, inversamente, na medida em que deixaram de contemplar o desenho, tornaram-se potenciais condicionantes de sua morte”. Ainda sugere que a estratificação da disciplina em quatro modalidades - desenho do natural, desenho decorativo, desenho geométrico e desenho convencional - com objetivos e conteúdos bastante distintos, longe de lhe conferir uniformidade, contribuiu com seu desmantelamento do currículo brasileiro na segunda metade do século XX.

Do que foi exposto aqui, é nosso interesse, então, questionar: Que saberes foram mobilizados pelos livros didáticos de desenho? Como tais livros mediaram e foram mediados pelos discursos oficiais e pelas práticas escolares?6 Para tanto, a fim de proceder

séries). O primeiro visava à formação básica geral, e o segundo era considerado como preparatório ao ensino superior. 5 Entre 1942 e 1946, foram decretadas as Leis Orgânicas de Ensino, que ficaram conhecidas por eforma Capanema. Essa reforma, consolidada em seis decretos-leis, organi ou o ensino prim rio, secund rio, bem como o ensino industrial, comercial, normal e agrícola. O ensino secund rio continuou dividido em dois ciclos, mas ganhou uma configuração diferente: o 1 ciclo, ou curso ginasial, teve a duração alterada de cinco para quatro anos e o 2 ciclo, ou curso colegial, de dois para tr s anos, sendo que este foi subdividido em duas modalidades distintas, o cl ssico e o científico. 6 Cabe destacar que tais questionamentos e as análises realizadas no presente artigo são decorrentes de investigação em nível de mestrado, concluida em 2012 no Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e


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a uma análise dessa natureza, é preciso conferir ao livro didático o status de fonte de pesquisa histórica, partindo do pressuposto de que foram “essenciais para a circulação dos saberes do desenho pelo país, operando em múltiplas direções e situam-se na fronteira movediça; de encontro e tensão; entre práticas e discursos” (DO IA, 2004, p.32).

Tomamos os livros didáticos, portanto, como lugares de memória. Produtos de uma época, eles se constituem em vestígios intermediadores entre as práticas e os discursos concernentes a determinada disciplina, veiculados em um período histórico específico. Sua análise, assim, desloca-nos ao limiar entre o prescritivo e o efetivo, podendo auxiliar no entendimento da complexa trama do sistema escolar. Chervel (1990) argumenta que “dos diversos componentes de uma disciplina escolar, o primeiro na ordem cronológica, senão na ordem de importância, é a exposição pelo professor ou pelo manual de um conteúdo de conhecimentos” (p. 202, grifo nosso), sendo tarefa primordial da história de uma disciplina escolar estudar os conteúdos explícitos dessa disciplina:

(...) o corpus de conhecimentos, providos de uma lógica interna, articulados em torno de alguns temas específicos, organizados em planos sucessivos claramente distintos e desembocando em algumas idéias simples e claras, ou em todo caso encarregadas de esclarecer a solução de problemas mais complexos. (CHERVEL, 1990, p. 203)

Por outro lado, para além dos conteúdos, Choppin (2000) defende que o livro

didático apresenta-se como o depositário de conhecimentos e de técnicas que em dado momento a sociedade acredita serem importantes à juventude para a perpetuação de seus valores. Isso explica porque em numerosos países o poder político aplique sobre eles uma regulação particular, a fim de garantir o controle do conteúdo ideológico que transmitem. Dessa forma, para o pesquisador que se interesse pela educação, ciências, cultura ou inclusive pela mentalidade, os livros didáticos representam também uma fonte privilegiada.

Feitas essas considerações, é necessário ainda operar um recorte de análise: Dentre o corpus disponível, que livros didáticos de desenho investigar?

De acordo com Choppin (2002), frente impossibilidade de se locali ar determinados exemplares, e ao grande n mero de publicações e edições, é preciso definir uma amostra para an lise de acordo com critérios que justifiquem tal seleção. Assim sendo, serão analisadas as seguintes obras: Desenho Para o Curso Ginasial - 3ª série e Desenho Para o Curso Ginasial - 4ª série, de José Sennem Bandeira; Curso de Desenho – 3ª e 4ª séries ginasiais e Comunicação e Expressão Visual – 2º volume, de José de Arruda Penteado; e Desenho Geométrico, de Benjamim de Araújo Carvalho. Tal escolha justifica-se, primeiramente, porque os autores José de Arruda Penteado e Benjamim de Carvalho são citados como referências nas falas dos professores entrevistados, referenciadas no início deste texto. Além disso, Dagmar (2004, p. 52) afirma

Tecnológica da Universidade Federal de Santa Catarina, de autoria de Rosilene Beatriz Machado, sob orientação da Profª Drª Cláudia Regina Flores.


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que esses autores tiveram notável sucesso editorial, verificado pelo número de exemplares vendidos em determinados períodos e pelo número de edições publicadas, de maneira que suas obras parecem ter-se constituido referências para o ensino de desenho no Brasil. E, finalmente, porque, conforme Machado (2012), esses livros constaram nas bibliografias dos programas de desenho do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Santa Catarina por mais de vinte anos. Convém ressaltar que esta análise não constituirá uma história dos livros didáticos7, mas sim, “a história de um tema, de uma noção, de um personagem, de uma disciplina, ou de como a literatura escolar foi apresentada por meio de uma mídia particular” (CHOPPIN, 2004, p. 4), de forma que os livros did ticos serão tomados como apenas uma das fontes s quais recorremos. O objetivo é colocar em evid ncia as principais características dos livros selecionados, buscando perceber como e quais conteúdos específicos de desenho foram apresentados nessas obras. Analisar, pois, os conteúdos, de acordo com uma perspectiva epistemológica ou propriamente didática, colocando aos livros didáticos questões tais como,

qual(s) discurso os manuais sustentam sobre determinada disciplina e sobre seu ensino? Qual(s) apresentados nos manuais? (Ibidem, p. 558).

Entretanto, conscientes de que o “estudo sistem tico do contexto legislativo e regulador, que condiciona não somente a exist ncia e a estrutura, mas também a produção do livro did tico, é condição preliminar indispens vel a qualquer estudo sobre a edição escolar” (Ibidem, p. 61), procuraremos romper com a an lise estritamente interna, contemplando, para cada livro didático selecionado, a seguinte estrutura de análise: breve investigação sobre o autor8; finalidades a que a obra destina-se; considerações sobre o prefácio, e, por fim, a análise do conteúdo interno. 7 Choppin (2004, p. 4) destaca que a história dos livros did ticos dirige sua atencão diretamente para os livros did ticos, recolocando-os no ambiente em que foram concebidos, produ idos, distribuídos, utilizados e “recebidos”, independentemente dos conte dos dos quais eles são portadores. 8 Todas as informações sobre os autores constam nas páginas iniciais dos livros consultados.


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Lugar de memória I: Desenho Para o Curso Ginasial - 3ª série

O Livro didático Desenho Para o Curso Ginasial é de autoria de José Sennem

Bandeira. Dispomos de uma 6ª edição, destinada à 3ª série do ciclo ginasial, impressa no ano de 1962 pela editora Aurora, no Rio de Janeiro. José Sennem Bandeira foi diplomado em Mecânica, titulado em Pintura e bacharel em Ciências Jurídicas e Sociais. Era ainda licenciado em Desenho pela Faculdade Nacional de Filosofia, doutor em Perspectiva, Sombras e Estereotomia pela Escola Nacional de Belas Artes, e doutor em Arquitetura pela Faculdade Nacional de Arquitetura da Universidade do Brasil. Bandeira foi coordenador do ensino de desenho do Colégio Pedro II, docente livre da Escola Nacional de Belas Artes e da Faculdade Nacional de Arquitetura, assistente de “Did tica Geral e Especial de Desenho” da Faculdade Nacional de Filosofia, e também autor de diversos livros de desenho. Este livro analisado é um dos quatro volumes da coleção Desenho Para o Curso Ginasial, e segundo consta na folha de rosto, foi elaborado de acordo com os planos de desenvolvimento dos “Programas Mínimos e respectivas Instruções Metodológicas” expedidas pela Portaria n. 1045 de 1951. Ainda ressalta-se que o referido material preenche plenamente sua finalidade: facilitar o seguro aprendizado do desenho no curso ginasial. Não há prefácio neste livro. Nas páginas iniciais são indicados os títulos de todos os livros escritos pelo autor, seguido de suas referências profissionais, uma página dedicatória e o índice geral. O conteúdo está dividido em três modalidades – desenho geométrico, decorativo e do natural - conforme a recomendação da Portaria n. 1045 de 1951. Das 94 páginas do livro, 77 são destinadas aos conteúdos de desenho geométrico, 8 para o desenho decorativo e 7 para o desenho do natural. O autor inicia o programa de desenho geométrico com um primeiro item intitulado Técnica do Desenho, onde são reservadas 10 páginas para considerações sobre o manuseio e conservação de materiais como cadernos, lápis, régua, esquadros, borracha e compasso, além de instruções de preparação das páginas, como margens, títulos e legendas. Na sequência, no item II, é trabalhada toda a parte de medida, construção e operação com ângulos. No terceiro e quarto tópicos são tratadas as construções de perpendiculares, paralelas, divisão de segmentos de reta em partes iguais e retas proporcionais. Segue no item V a parte de circunferência, abrangendo problemas gerais de construção, retificação e divisão. O sexto tópico é reservado ao estudo de construção de polígonos regulares. Já o sétimo e oitavo itens são inteiramente dedicados ao estudo de problemas fundamentais sobre triângulos e quadriláteros, respectivamente. Por fim, o nono e último item de desenho geométrico contempla a construção de tangentes a uma circunferência. O programa de desenho decorativo é sucinto. Trata apenas do desenho de letras e faz breves considerações sobre faixas decorativas e técnicas de coloração. O programa de desenho do natural também é bastante resumido, trazendo alguns conceitos de luz e sombra, deformação aparente e representação das formas prismáticas, em que o autor mostra como fazer o Desenho do Natural de um cubo.


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Não há figuras ao longo do texto. Todas as construções são apresentadas por escrito, sem auxílio de imagem. No final do livro há apenas um conjunto de fichas onde estão as soluções gráficas dos problemas propostos. Entretanto, constam ali apenas as construções finais com as respectivas linhas auxiliares. O processo de construção propriamente dito, passo a passo, não é detalhado. Ainda, não há sugestão de exercícios em nenhum tópico abordado. Todos os problemas propostos obedecem a seguinte estrutura de apresentação: Enunciado; Dado; Operações; Solução. A título de ilustração vamos transcrever o problema intitulado Mediatriz de um Segmento, apresentado na p. 31: Enunciado: - Seja determinar a mediatriz do segmento AB. Dado: - O segmento AB. Operações: 1ª – Com uma abertura de compasso maior do que a metade do segmento AB e fazendo centro nos pontos A e B, descrever dois arcos que se cortem nos pontos A` e B`; 2ª – Unir os pontos A` e B` determinando, no cruzamento com AB o ponto O: os segmentos AB e AÒ são incidentes e fazem entre si dois ângulos adjacentes iguais (AÒB e AÒA). Solução: - O segmento A`B` é a mediatriz do segmento AB. De acordo com essa estrutura, todo o conteúdo de desenho geométrico é apresentado por Sennem Bandeira. Note-se que não há definições. O autor parece considerar que estas já estão subentendidas. No problema apresentado, por exemplo, não há definição do que é a mediatriz, mas apenas sua construção. Isso ocorre com todos os outros problemas ao longo do texto. Vale observar que os conteúdos de desenho para a terceira série, trazidos pelo autor nessa obra, contemplam aqueles sugeridos pela Portaria 1.045 de 1951: 1 —— Desenho Geométrico Construções elementares gráficas relativas ao traçado de perpendiculares - Manejo dos esquadros, seu emprego no traçado dos ângulos. Mediatriz de um segmento de reta. Divisão de segmento de reta em partes iguais. Ângulos - Transportes e operações -Bissetrizes. Triângulos e quadriláteros - problemas fundamentais. Divisão de circunferências em partes iguais - Polígonos inscritos. Polígonos circunscritos - polígonos estrelados. Emprego da faixa para entrelaçamentos. Tangentes à circunferência - Tangentes comuns a duas circunferências. 2 —— Desenho Decorativo Letras e algarismos padronizados tipo bastão - Emprego dos esquadros. Emprego dos instrumentos para o lançamento de formas decorativas em faixa - Triângulo quadrado e retângulo. Colorido. 3 —— Desenho do Natural


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Objeto de revolução e a mesa - Observação das deformações das linhas e dos ângulos. Relações entre as dimensões do sólido e da mesa. Objetos de forma prismática e a mesa. Relações dimensionais. Porém, há uma ênfase acentuada na modalidade de desenho geométrico, que ocupa quase 90% do conteúdo exposto. Em contrapartida, ao desenho decorativo e do natural são reservadas apenas breves explicações nas últimas páginas do livro, aparentemente apenas com o intuito de cumprir a legislação vigente. Lugar de memória II: Desenho Para o Curso Ginasial - 4ª série.

O Livro didático Desenho Para o Curso Ginasial - 4ª série, também de autoria de José Sennem Bandeira, é o último dos quatro volumes da coleção Desenho Para o Curso Ginasial. Dispomos de uma 3ª edição, impressa em 1958 pela editora Aurora, no Rio de Janeiro. Assim como no livro destinado à 3ª série, consta na folha de rosto que o material foi elaborado de acordo com os planos de desenvolvimento dos “Programas Mínimos e respectivas Instruções Metodológicas” expedidas pela Portaria n. 1045 de 1951. Em suma, esta obra para a 4ª série é muito parecida com a da série anterior. A estrutura de apresentação dos problemas de desenho geométrico é a mesma, a ênfase desta modalidade é igualmente acentuada, bem como o desenvolvimento das modalidades de desenho decorativo e desenho do natural é bastante sucinta. Também não há figuras ao longo do texto, apenas um conjunto de fichas ao final do livro contendo as resoluções gráficas finais dos problemas propostos. Contudo, é possível perceber em alguns capítulos deste último volume uma preocupação maior do autor em apresentar definições da geometria plana estruturando as construções geométricas. Além disso, ao final de cada capítulo é disposta uma lista de cinco a dez questões teóricas sobre o assunto abordado, o que não acontecia no outro livro analisado. Os conteúdos trabalhados na parte destinada ao desenho geométrico são: Retas proporcionais; Construção de polígonos em função do lado; Concordância; Aplicações da concordância; Molduras; Ovais; Espirais; Comparação de duas figuras planas; Figuras equivalentes. No desenho decorativo é trabalhado: Gramática da cor; Letras ornamentais e Composição no interior de formas definidas. Em relação ao desenho do natural, o autor trata brevemente, em três páginas, da perspectiva de observação, mostrando como fazer o desenho do natural de uma mesa e sugerindo a construção do desenho de uma cadeira e de materiais de trabalho. É conveniente salientar que os conteúdos de desenho contemplados nessa obra são, novamente, condizentes com a Portaria 1.045 de 1951, que sugere:


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Quarta série 1 — Desenho Geométrico Segmentos proporcionais - 3ª, 4ª e média proporcional. Divisão do segmento de reta em média e extrema razão. Construção do segmento áureo. Construção do polígono em função do lado. Problemas fundamentais de concordância. Concordância entre arcos de circunferência e retas, e entre arcos e arcos. Traçados das ovais regulares e irregulares. Arcos abatidos e arcos esconsos – Falsas espirais policêntricas. Escalas numéricas e gráficas - Escalas triangulares. Equivalência de áreas - Equivalência de triângulos a polígonos quaisquer. 2 — Desenho Decorativo Letras e algarismos padronizados do tipo bastão. Ensaios com tipos ornamentais. Composição decorativa elementar no interior de formas geométricas definidas - sistema ornamental em disposições radiadas poligonais e circulares. 3 — Desenho do Natural Representação pela perspectiva de observação de dois e três pequenos objetos. Representação do suporte. Representação pela perspectiva de observação de móveis de formas simples ou de instrumentos de trabalho. Assim como observado no livro para a terceira série, este destinado à quarta série tem uma ênfase igualmente acentuada na modalidade de desenho geométrico, reservando poucas páginas às modalidades do desenho decorativo e do natural. Lugar de memória III: Curso de Desenho para terceira e quarta séries ginasiais O livro Curso de Desenho para a terceira e quarta séries ginasiais é de autoria de José de Arruda Penteado. Dispomos de uma 2ª edição, impressa em 1960 pela Companhia Editora Nacional, em São Paulo. osé de Arruda Penteado era graduado em Ci ncias Sociais e Política também em Filosofia, pela niversidade de São Paulo. Foi doutor em Educação, livre-docente pela Universidade Federal do Rio de Janeiro e publicou na década de 1950 vários livros pela Companhia Editora Nacional. Penteado foi diretor da revista Atualidades Pedagógicas, também publicada pela Companhia Editora Nacional; professor de Desenho Pedagógico do Colégio Estadual e Escola Normal de Mogi das Cru es relator de um manifesto em 19 2 que solicitava a criação de um curso universit rio para a formação de professores de desenho, e ainda secret rio e vice-presidente da APESNOESP - Associação dos Professores do Ensino Secund rio e Normal Oficial do Estado de São Paulo. Na folha de rosto do livro analisado está explicitado que a obra foi construída conforme as Portarias 966 e 1.045 de 1951. O livro segue a estrutura prevista pelo programa oficial, dividido em três modalidades: desenho geométrico, decorativo e do


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natural. Das 218 páginas, há um número maior destinado ao desenho geométrico (163 páginas), e um número muito menor ao desenho decorativo e desenho do natural (16 e 9 páginas, respectivamente). No que seria um prefácio, mas que o autor chama de Nota Preliminar, destaca que os assuntos serão desenvolvidos segundo uma orientação pedagógica que vai dos aspectos mais simples aos mais amplos e complexos. Ainda, que o desenho geométrico, que parece receber maior aceitação por parte de alunos e professores nessas últimas séries, por força de uma exigência lógica mais rigorosa nas soluções geométricas, deveria proporcionar maior integração do desenvolvimento do atual programa de matemática. O livro está divido em lições, assim distribuídas: Desenho Geométrico: Material de Desenho; Perpendiculares; Paralelas; Ângulos planos. Transporte e operações; Triângulos: problemas fundamentais; Quadriláteros: problemas fundamentais; Circunferência: problemas gerais; Polígonos estrelados: construção e problemas; Tangentes; Segmentos proporcionais; Figuras semelhantes; Construção de polígonos regulares convexos em função do lado; Problemas fundamentais de concordância; Escalas numéricas e gráficas; Escalas gráficas de transversais e escalas triangulares; Equivalência de áreas; equivalência de triângulos e polígonos quaisquer. Desenho Decorativo: Letras e Algarismos padronizados tipo bastão; Emprego de esquadros; Formas decorativas; Triângulo; Quadrado e Retângulo; Aplicações decorativas no interior de formas geométricas. Desenho do Natural: Introdução; Gravuras.

O autor inicia o programa de desenho geométrico com uma primeira lição, onde são reservadas 22 páginas para considerações sobre o manuseio e conservação de materiais como cadernos, lápis, régua, transferidor, esquadro, compasso, tinta nanquim, tira-linhas, além de instruções quanto às linhas convencionais empregadas no desenho geométrico e de preparação das páginas. Feito isto, segue o conteúdo de desenho geométrico que é organizado na forma de problemas acompanhados de suas respectivas soluções. A título de ilustração vejamos como é apresentada a construção de uma mediatriz na pág. 38:

Problema 1: - Traçar uma perpendicular ao meio de uma reta dada, (fig. 33-I).

Figura 1- Construção de mediatriz/Figura 33-I


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Solução: Com o compasso e com o centro em A, extremidade da reta AB, e depois em B, sempre com o raio maior do que a metade da reta, traçam-se arcos pelas partes superior e inferior da mesma, que se cortarão em C e D, fig. 33-II.

Figura 2 - Construção de mediatriz/Figura 33-II

O segmento que liga esses dois pontos é a perpendicular procurada. A perpendicular traçada é a mediatriz dessa reta, fig. 34.

Observação: Todo ponto da mediatriz de um segmento de reta dista igualmente dos extremos desse segmento e reciprocamente, todo ponto que dista igualmente dos extremos, pertence à mediatriz desse segmento (fig. 34). (Teorema da Geometria Plana).

Figura 3 - Construção de mediatriz/Figura 34

Através desse exemplo vê-se claramente que Penteado utiliza figuras que mostram passo a passo a construção geométrica das soluções dos problemas apresentados. De fato, o uso de figuras é verificável em todo o seu texto, bem como é possível encontrar justificativas de algumas construções baseadas nos teoremas da geometria plana.


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Não há questionários e exercícios no decorrer do livro, com apenas uma exceção na página 125. Ali há um questionário e alguns exercícios relacionados à divisão áurea, em que o autor sugere que sejam procurados recortes de jornais ou revistas especializadas sobre o assunto. Ainda sugere que o professor inicie o estudo sistemático da história da arte, apontando, inclusive, a bibliografia conveniente para isso. As unidades de desenho decorativo e desenho do natural apresentam um conteúdo bastante sucinto. Na primeira lição destinada ao desenho decorativo, são expostas apenas algumas considerações sobre materiais (diferentes tipos de penas, tintas, pincéis, réguas e esquadro) e breves comentários sobre diferentes tipos de letras. As lições dois e três tratam em cinco páginas sobre formas decorativas e suas aplicações no interior de formas geométricas, sendo que destas, três páginas contém apenas figuras ilustrativas em relação ao tema. Quanto ao desenho do natural, Penteado comenta nas duas páginas do texto introdutório dessa unidade da impossibilidade de apresentar o conteúdo como gostaria, uma vez que teve que se restringir ao essencial, em função do grande desenvolvimento da parte geométrica. Assim, nas seis páginas seguintes são apresentadas somente figuras que ilustram representações em perspectiva de objetos e móveis. Não há distinção entre os conteúdos para a terceira e para a quarta série ginasial. Mas, tal como anunciado na Nota Preliminar, as unidades vão sendo desenvolvidas em grau de complexidade crescente dos problemas propostos. A obra também segue o Programa Oficial de Desenho, conforme indicado na Nota Preliminar. Porém, não contempla os conteúdos de ovais e espirais sugeridos no Programa. Lugar de memória IV: Comunicação Visual e Expressão - 2º volume

O Livro Comunicação Visual e Expressão - 2º volume: Artes Plásticas e Desenho, também é de autoria de José de Arruda Penteado. Contamos com uma segunda edição de 1979, publicada pela Companhia Editora Nacional, em São Paulo. Não há prefácio nessa obra, tampouco está explicitado com base em qual legislação ela foi construída. Mas, é possível perceber que no título desse livro o autor tira o foco da palavra desenho, diferentemente de suas obras anteriores. Isto vem ao encontro do contexto educacional da época, uma vez que em 1971 a nova LDB instituiu a obrigatoriedade do ensino de educação artística na escola básica, substituindo, de certa forma, a disciplina de desenho. Além disso, em 1969 a Licenciatura em Desenho passou a ser chamada Licenciatura em Desenho e Plástica, e posteriormente, em 1973, foi substituída pela Licenciatura em Educação Artística, em que o desenho passou a ser apenas uma habilitação ao lado da música, das artes plásticas e artes cênicas. O livro está dividido em dois tópicos: Desenho Geométrico e de Letras e Desenho Técnico. As primeiras páginas são destinadas às considerações sobre o uso de materiais para o desenho geométrico. Praticamente são dadas as mesmas instruções presentes no seu livro Curso de Desenho, analisado aqui anteriormente. Inclusive grande parte das figuras utilizadas neste item são as mesmas nos dois livros. Apesar de não haver prefácio, no início dessas páginas de orientações quanto aos materiais, o autor destaca que a obra é destinada exclusivamente ao aprendizado das construções geométricas das mais simples e intuitivas às mais complexas. Ainda, que ela


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deve acompanhar o desenvolvimento do ensino de matemática, podendo o professor de desenho ou de educação artística integrar esta unidade ao currículo do curso de matemática. Na seqüência, em quatro páginas, são apresentadas algumas considerações sobre o desenho de letras e algarismos. As 55 páginas seguintes tratam exclusivamente de morfologia geométrica, contemplando linhas, ângulos, triângulos, quadriláteros, circunferência e círculo, sólidos, poliedros irregulares e sólidos de revolução. Não há construções nem exercícios nessa parte do livro, sendo trabalhadas apenas as definições e classificações dos entes geométricos, com o auxílio de figuras. As próximas 91 páginas, por sua vez, são inteiramente dedicadas às construções geométricas com auxílio de instrumentos. O autor abarca, então, toda a parte de construção de retas, triângulos, quadriláteros, circunferência, polígonos estrelados e convexos, tangentes, segmentos proporcionais, figuras semelhantes, concordâncias, espirais, escalas, equivalência de áreas e ovais regulares e irregulares. Todas as construções são apresentadas através de problemas e suas respectivas soluções. A bem da verdade, os problemas apresentados nessas 91 páginas são idênticos aos apresentados no livro Curso de Desenho para a terceira e quarta séries ginasiais. Seguem a mesma ordem, os mesmos enunciados, as mesmas resoluções e as mesmas figuras. A única diferença é que neste último livro analisado o autor acrescenta a construção de ovais regulares e irregulares, e espirais, inexistentes na obra anterior. Por fim, no tópico intitulado Desenho Técnico, em quatro páginas são apresentadas, de maneira sucinta, explicações quanto à projeção de objetos. Pode-se inferir, então, que as obras Curso de Desenho para a terceira e quarta séries ginasiais de 1960, e Comunicação e Expressão Visual - 2º volume, de 1979, de autoria de José de Arruda Penteado, encerram basicamente o mesmo conteúdo. Os dois livros didáticos são acentuadamente voltados para o ensino de desenho geométrico, que por sua vez, é desenvolvido igualmente em ambas as edições. O livro Comunicação Visual e Expressão tem apenas o diferencial de conter 55 páginas destinadas à morfologia geométrica, onde o autor trata exclusivamente da apresentação de definições, o que não acontece no livro Curso de Desenho. Também nessa edição mais recente não são apresentadas ao final do livro as modalidades do desenho decorativo e desenho do natural, substituídas pela modalidade do desenho técnico. Ainda assim, cabe ressaltar que o conteúdo de desenho decorativo resumia-se praticamente na construção de letras e algarismos, o qual está presente como primeiro item do tópico desenho geométrico no livro Comunicação e Expressão Visual. O desenho do natural, por outro lado, tratava sucintamente da representação de objetos em perspectiva. Isto também é contemplado nesta última edição, porém agora com a nomenclatura de desenho técnico. Lugar de memória V: Desenho Geométrico

O livro Desenho Geométrico, de Benjamim de Araújo Carvalho que analisaremos aqui é uma reimpressão de 1969, da terceira edição publicada em 1967, pela editora Ao Livro Técnico S.A., no Rio de Janeiro. Benjamim Carvalho era doutor em Arquitetura pela Universidade do Brasil, da qual foi também professor professor do curso secund rio e arquiteto da Secretaria Geral de


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Educação e Sa de do Distrito Federal. Publicou ainda, na década de 1950, pela Companhia Editora Nacional, diversos livros para o ensino ginasial e secundário, que atingiram números de venda expressivos. Na Introdução da obra analisada o autor salienta que ela deveria ajustar-se fielmente a todos os programas de exames vestibulares dos estabelecimentos de ensino das universidades brasileiras. Ainda, tece comentários quanto à forma errônea com o que desenho vinha sendo lecionado, geralmente apresentado ao aluno através de uma série de construções gráficas complexas, isoladas das razões matemáticas que lhe estruturam a forma, sobre a sua existência na natureza, ou sobre a sua utilização pelo homem. Para ele, o desenho geométrico é a própria geometria aplicada, a resolução gráfica de problemas da matemática, por vezes da mecânica, mas que traduz sempre formas existentes na natureza, e seria sob este viés que os conteúdos estariam dispostos no livro. Como sugere o título, os conteúdos deste livro didático abordam exclusivamente o desenho geométrico. São 14 capítulos distribuídos em 325 páginas, divididos da seguinte forma: 1ª parte, formada por quatro capítulos que tratam de Morfologia Geral: Morfologia Geométrica; Circunferência e Círculo – simetria – relações métricas – eixos radicais; Polígonos – transformações por semelhança – divisão harmônica e pontos notáveis – principais lugares geométricos; Poliedros; 2ª parte, formada por dez capítulos que tratam das Construções Geométricas: Escalas; Retas, Segmentos e Ângulos; Triângulos e Quadriláteros; Proporções Gráficas – número de ouro – polígonos – concordância; Circunferência; Figuras Equivalentes; Curvas em Geral – cônicas; Espirais e Voluta Jônica – curvas conchóides e cissóides; Curvas Cíclicas – epiciclóide – hipociclóide – considerações sobre o desenvolvimento cíclico as curvas cicloidais; Curvas diversas – traçado de raios refletidos. Na primeira parte, Morfologia Geral, não há qualquer tipo de construção geométrica. Em 71 páginas é feito um estudo minucioso das formas geométricas, apresentando todas as definições e teoremas da geometria plana e espacial, necessários para o bom entendimento das construções geométricas apresentadas posteriormente. Esta parte teórica é inteiramente enumerada, ou seja, cada definição e teorema recebe uma numeração específica. Na segunda parte, composta por 231 páginas, o autor apresenta uma extensa série de construções geométricas. São então definidos os temas dentro de cada capítulo, a partir dos quais seguem os respectivos problemas e suas soluções. Por exemplo, na página 95, onde inicia o capítulo 5, temos a seguinte estrutura: Capítulo 5 – Retas, Segmentos e Ângulos

1 Traçado das Perpendiculares e Paralelas

A Traçar uma linha perpendicular pelo centro de um segmento de reta, ou traçar-lhe a mediatriz. (fig. 101).

Seja AB o segmento de reta em questão. Com centro em B e uma distância maior do que a metade de AB, tracemos os dois arcos de círculo inferior e superior. Agora com o


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mesmo raio façamos centro em A e cortemos os arcos acima referidos, obtendo os pontos 1 e 2 que unidos darão origem à perpendicular pedida pelo centro de AB (Núm. 262).

Figura 4: Construção de mediatriz/Figura 101

O Núm. 262, indicado ao final da solução, aponta o número do parágrafo em que está a parte teórica correspondente a tal construção geométrica, apresentada na primeira parte. Se folhearmos o livro, encontramos na página 61, o item 262 em questão, que diz: O lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois outros dados é a mediatriz do segmento que os tem por extremos, que é também o lugar geométrico dos centros das circunferências que passam pelos pontos dados. O autor utiliza-se de figuras ao longo de todo o texto, tanto na primeira parte ilustrando as definições, quanto na segunda parte auxiliando a solução dos problemas propostos. O livro é bastante extenso em relação ao seu conteúdo e não está especificado para qual série ele se destina. Porém, é possível perceber que os problemas apresentados na segunda parte, até o capítulo 10, são praticamente os mesmos presentes nos outros livros analisados aqui, ou seja, compreendem conteúdos referentes às séries ginasiais. Somente os quatro últimos capítulos, que tratam das curvas em geral, espirais e curvas cíclicas são conteúdos do segundo grau. Parece, então, que este livro didático é uma compilação de conteúdos de desenho geométrico ensinados nos dois ciclos do ensino secundário, com vistas aos vestibulares de desenho, conforme explicitado na introdução. No tear de memórias

As obras analisadas foram publicadas nos anos de 1958, 1960, 1962, 1969 e 1979. A partir de tais análises podemos perceber que os conteúdos de desenho destinados ao ensino ginasial mantiveram-se semelhantes, se não idênticos, por cerca de vinte anos. Há que se levar em conta que temos aqui uma amostra pequena, e que, se talvez nos dispuséssemos a analisar obras de outros autores o panorama poderia ser diferente. No entanto, Bandeira, Carvalho e Penteado foram autores de renome no cenário educacional brasileiro, sendo que seus livros didáticos atingiram números de vendas consideráveis em todo o país. Logo, as análises realizadas podem bem ser consideradas parâmetros para


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avaliar como os conteúdos de desenho foram veiculados pelos livros escolares ao longo dos anos. Ainda, como salienta Chervel (1990), esta semelhança verificada entre os livros analisados condi com o fenômeno de “vulgata”, comum às diferentes disciplinas

(...) em cada época, o ensino dispensado pelos professores é, grosso modo, idêntico, para a mesma disciplina e para o mesmo nível. Todos os manuais ou quase todos dizem então a mesma coisa, ou quase isso. Os conceitos ensinados, a terminologia adotada, a coleção de rubricas e capítulos, a organização do corpus de conhecimentos, mesmos os exemplos utilizados ou os tipos de exercícios praticados são idênticos, com variações aproximadas (CHERVEL, 1990, p. 203).

Os livros Desenho para o Curso Ginasial, 3ª série e 4ª série, de Sennem Bandeira, publicados em 1962 e 1958, respectivamente, e o livro Curso de Desenho - 3ª e 4ª séries ginasiais, de José Penteado, publicado em 1960, além de trazer praticamente o mesmo conteúdo, na mesma ordem e sequência, compartilham também do mesmo método de exposição: problemas e resoluções. A maior diferença entre eles é quanto ao uso de figuras para auxiliar as construções. O livro Comunicação Visual e Expressão, de Penteado, publicado em 1979, é muito semelhante à edição mais antiga do mesmo autor. Inclusive as construções geométricas apresentadas, também na forma de problemas e resoluções, são idênticas, com exceção dos assuntos ovais e espirais que foram acrescentados. Mas é preciso observar que a estrutura dessa edição recente é distinta. Agora, antecedendo as construções geométricas há todo um estudo sobre morfologia geométrica. O livro Desenho Geométrico, de Benjamim de Carvalho, publicado em 1969, destoa um pouco dos demais. É um livro mais denso em relação ao conteúdo que encerra e, segundo o autor, foi construído a fim de ajustar-se aos programas de vestibulares no país. Por isso, contempla não só conteúdos do ginasial, mas também do colegial, em um único volume. Ainda assim, a parte de construções geométricas, referente ao ensino ginasial, é bastante parecida à apresentada nos outros livros analisados. Além disso, segue igualmente a estrutura de exposição de problemas e suas respectivas resoluções. Sua estrutura assemelha-se à do livro Comunicação e Expressão Visual, de Penteado, apresentando antes das construções geométricas um estudo minucioso sobre morfologia geométrica. O que é comum em todas as obras é a exposição dos conteúdos centrada em uma espécie de “receitu rio” de construções geométricas. Mesmo as edições que tra em um estudo acerca de morfologia geométrica, o fazem de maneira estanque, ou seja, apresentam uma série de conceitos da geometria plana em um primeiro momento para depois apresentar uma extensa lista de construções geométricas. Também, ao que tudo indica, a modalidade desenho geométrico, que compõe em torno de 90% do conteúdo dos livros analisados, parece ter norteado o ensino da disciplina de desenho.


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Note-se que a legislação educacional sob a qual estes livros foram formulados contemplava três modalidades de desenho. Se nos detivéssemos em uma análise estritamente apoiada sobre documentos oficiais, não teríamos condições de perceber em que medida tais modalidades estiveram presentes nas práticas escolares. Panorama diferente quando nos reportamos aos livros didáticos. Ao que parece, as modalidades do desenho decorativo e desenho do natural constavam nesses livros apenas como referência à Portaria 1.045 de 1951, de forma que o desenho geométrico é que, de fato, dava corpo à disciplina de desenho.

Portanto, os livros didáticos não são meros receptáculos de prescrições oficiais. Constituiram, pois, um efetivo discurso sobre o desenho, organizando e selecionando conteúdos, estruturando programas e propagando objetivos didáticos e valores ideológicos. Claro que, inversamente, não é possível a partir dos livros didáticos perceber a real apropriação que deles foram feitas nas práticas escolares. Mas, estando na fronteira entre as práticas e os discursos, a análise desses textos nos possibilita um horizonte mais amplo para a compreensão da trajetória escolar da disciplina de desenho e suas ligações com a matemática.

Bibliografia BANDEIRA, J. S. Desenho Para o Curso Ginasial - 3ª série. Rio de Janeiro: Editora Aurora, 6ª edição, 1962. BANDEIRA, J. S. Desenho Para o Curso Ginasial - 4ª série. Rio de Janeiro: Editora Aurora, 3ª edição, 1958. BRASIL. Lei n. 4.024, de 20.12.1961. Fixa as diretrizes e bases da educação nacional. Diário Oficial [da] República Federativa do Brasil, Poder Legislativo, Brasília, DF, 27.12.1961. p. 11429. BRASIL. Lei n. 5.692, de 11.08.1971. Fixa diretrizes e bases para o ensino de primeiro e segundo graus, e dá outras providencias. Diário Oficial [da] República Federativa do Brasil, Poder Legislativo, Brasília, DF, 12.08.1971. p. 6377. BRASIL. Portaria Ministerial n.1045 de 14.12.1951. Aprova os planos de desenvolvimento dos programas mínimos do curso secundário e respectivas instruções metodológicas. In: BRASIL. Ministério da Educação e Saúde. Serviço de documentação. Programas do ensino secundário. São Paulo: Ed. Nacional, 1952, p.172-85. CARVALHO, B. A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: Editora Ao Livro Técnico S.A, 3ª edição, 1967. CHERVEL, A. História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa. Tradução de: LOURO, G. L. Teoria e Educação, Porto Alegre, n. 2, p. 177-229, 1990. Versão original in: Histoire de l’éducation, n. 38, maio 1988. CHOPPIN, A. 2000. Pasado y presente de los manuales escolares. In: BERRIO, R; Julio (ed.). La cultura escolar de Europa: tendências históricas emergentes. Tradução: Miriam Soto Lucas. Madri: Biblioteca Nueva, p.107-141. CHOPPIN, A. O historiador e o livro escolar. História da Educação. FAE/Ufpel, Pelotas, Número 11, p. 5-24, Abril 2002.


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CHOPPIN, A. História dos livros e das edições didáticas: sobre o estado da arte. Educação e Pesquisa-FEUSP, São Paulo, v. 30, n. 3, p. 549- 566, set./dez. 2004. DAGMAR, M. G. S. Os livros didáticos de Desenho nos ginásios oficiais de São Paulo entre 1951 e 1961. 2004. 142f. Dissertação (Mestrado em Educação), Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, SP, Brasil. DÓRIA, R. P. Entre o Belo e o Útil: manuais e práticas do ensino do desenho no Brasil do século XIX. 2004. 237f. Tese (Doutorado em Estruturas Ambientais Urbanas), Universidade de São Paulo, São Paulo, SP, Brasil. MACHADO, R. B. Entre Vida e Morte: Cenas de um Ensino de Desenho. 254f. Dissertação (Mestrado em Educação Científica e Tecnológica), Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC, Brasil, 2012. NASCIMENTO, R. A. O Ensino do Desenho na Educação Brasileira: apogeu e decadência de uma disciplina escolar. 1994. 120f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Filosofia e Ciências, Universidade Estadual Paulista, Marília, SP, Brasil, 1994. NASCIMENTO, R. A. A função do desenho na educação. 1999. 216f. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Filosofia e Ciências, Universidade de São Paulo, Marília, SP, Brasil, 1999. PENTEADO, J. A. Curso de Desenho para a terceira e quarta séries ginasiais. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 2ª edição, 1960. PENTEADO, J. A. Comunicação Visual e Expressão - 2º volume: Artes Plásticas e Desenho. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 2ª edição, 1979. TRINCHÃO, G. M. C. O desenho como objeto de ensino: história de uma disciplina a partir dos livros didáticos luso-brasileiros oitocentistas. 2008. 496f. Tese (Doutorado em Educação), Universidade do Vale do Rio Sinos, São Leopoldo, RS, Brasil. ZUIN, E. S. L. Da régua e do compasso: as construções geométricas como um saber escolar no Brasil. 2001. 211f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil, 2001.

Figuras Figura 1- PENTEADO, 1960, p. 39. Figura 2- PENTEADO, 1960, p. 40. Figura 3- PENTEADO, 1960, p. 40. Figura 4- CARVALHO, 1969, p. 95

Rosilene Beatriz Machado Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica- PPGECT – UFSC – Florianópolis – SC- Brasil. E-mail: [email protected] Cláudia Regina Flores Departamento de Metodologia de Ensino e Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica- PPGECT – UFSC – Florianópolis – SC- Brasil. E-mail: [email protected] Rosilene Beatriz Machado Rosilene Beatriz Machado

On Euclid’s First Three Postulates

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ON EUCLID’S FIRST THREE POSTULATES

John A. Fossa Universidade Federal do Rio Grande no Norte – UFRN – Brasil


Abstract

An analysis of the first three postulates of Euclid’s Elements indicates that the Elements may be a theorizing of surveying, an activity understood as being involved in the creation of the cosmos, and, thus, mathematics may be understood as mimesis of the divine.

Keywords: Mathematics and Philosophy, History of Geometry, Euclid, Postulates.

[SOBRE OS TRÊS PRIMEIROS POSTULADOS DE EUCLIDES]

Resumo Uma análise dos primeiros três postulados dos Elementos de Euclides indica que os próprios Elementos poderão ser uma teorização da atividade de agrimensura, sendo isto entendido como envolvido com a criação do cosmos, e, assim, a matemática pode ser entendida como uma mimese do divino. Palavras-chave: Matemática e Filosofia, História da Geometria, Euclides. Postulados. Introduction It is well known that the first three of Euclid’s postulates are supposed to stipulate that geometric constructions using the ruler (that is, an unmarked straightedge) and the


ISSN 1519-955X

John A. Fossa

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(collapsible) compass are legitimate activities in Euclidean Geometry. These three postulates are given here in Heath’s translation1 (EUCLID, 1956, v. I, p. 154):

Let the following be postulated: 1. To draw a straight line from any point to any point. 2. To produce a finite straight line continuously in a straight line. 3. To describe a circle with any center and distance.

It may be recalled, however, that the ancient Greeks also used other methods in specifying geometrical objects. Thus, alongside of the “point construction” of a segment (equilateral triangle, tetrahedron) by the specification of endpoints (vertices), there also existed a “fluxion construction” of a segment (square, cube) by the motion of a point (segment, square)2. Further, a few curves, such as the quadratrix of Hippias and the spiral of Archimedes, were specified by composite motions. Hence, the question that immediately comes to mind is this: Wherefore ruler and compass?

One answer to this question is that it was a restriction imposed by Plato on geometers in order to guarantee that their arguments would not be tainted by empirical considerations and, thus, lose their mathematical rigor. This was the answer proposed by Hermann Hankel (1874), based on some comments by Pappus. Another, proposed by Heath (1981) and subscribed to by Walter Burkert (1972) makes the 4th century geometer Oenopides of Chios the originator of the stipulation.

Nonetheless, whatever the origin of the ruler and compass restriction may be, it is not explicitly given in Euclid’s postulates. These, in fact, only require that geometric constructions be built up from line segments and circular arcs. Hence, the use of ruler and compass is best seen as one way of implementing the restriction to line segments and circles. Another way of doing the same thing is by using pegs and cords, since a cord stretched between two pegs delineates the line segment between the pegs and swinging one of the pegs about the other, while maintaining the cord taut3, describes the circle whose center is at the fixed peg and whose radius is the length of the cord. This possibility was noticed by A. Seidenberg (1959)4. Thesis

Considering, therefore, that a very common5 way in which surveying was carried out in ancient cultures was by the use of stretched ropes, it would seem that Euclid’s Elements may be considered as a theorizing of the ancient activity of surveying. Naturally, the activity of surveying, itself, was an approximate science based on rough and ready

1 Heath’s translation contains, in his notes on the text, the Greek version of the postulates. For a newer translation, see Euclides (2009). 2 See Erickson and Fossa (1996). 3 It is also necessary to swing the cord in such a way that is does not wrap itself about the fixed peg. 4 See also, Seidenberg (1961). 5 See, for example, Joseph W. Dauben (1992).


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methods, but the mathematical model of this activity was seen as an exact science which furnishes absolute truth. Surveying would merit this theoretical treatment because, as the determination of limits, it would be part of the divine creation of the kósmos (beautiful construction) out of the primeval chaos, as discussed, for example, by Plato in the Timaeus. This knowledge is accessible to man because the divine demiurge is a rational being who acts in a rational manner. In fact, by doing the theoretical activity of geometry, man is engaging in a mimesis of the divine.

Considerations

The thesis set forth in the previous paragraph links mathematics, surveying and theological cosmogony in a way that, although typical of ancient thought, is not entirely congenial to the modern mind. I will, therefore, in what follows, make a series of numbered remarks that will hopefully clarify the proposed thesis.

§1. Why “surveying”?

As is well known, “geometry”, etymologically speaking, signifies “measuring the Earth”. “Surveying” is perhaps the closest modern equivalent. We should also take into consideration the names of the other mathematical sciences in antiquity. Thus, “astronomy” is the “measurement of the stars”, by which is meant, primordially, the determination of the positions and orbits of the heavenly bodies. “Arithmetic” is the “art of counting” and the study of ratio and proportion is called “music” or “harmony”. Consequently, the mathematical sciences – the very height of abstraction and certain knowledge (in the Greek view) – were all named with regard to their most conspicuous applications. Obviously, however, the point of view of the mathematicians engaged in these studies transcends that of their practical applications.6

§2. Is surveying co-extensive with Egyptian “cord stretching”?

The ancient Egyptians used cords to reform the property lines that were obliterated by the annual floodwaters of the Nile. The correct determination of these properties was of immense importance to the State, since they were involved in their taxation schemes and, consequently, they were invested with divine authority. But measurements using stretched cords (or, alternatively, measuring rods) were used in virtually all ancient cultures, not only to determine property rights, but also in town planning, the design of public spaces and the construction of both public and private buildings (architecture). Many of these activities were connected with sacred mathematics in a very intimate way. The classical architect Vitruvius (fl. c. 14 B.C.), for example, was interested in constructions having proportions

6 In light of the thesis of the present note, the immediate suggestion would be that each of the mathematical sciences is a theorizing of its respective application. I believe that this is entirely correct, but, herein, will limit myself to the case of geometry, though I will return to this in the conclusion.

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that would embody the analogy between the macrocosm and the microcosm, an idea found, in non-architectural contexts, in the Republic of Plato.

§3. Was the demiurge a surveyor?

In contrast to the Christian God who creates the universe ab nihilo, the Greek demiurge, epitomized in Plato’s Timaeus, puts the universe together by constructing order out of chaos. As mentioned above, the word “cosmos” apparently indicated “jewelry” (see Cornford, 1957) and was used by ancient Greek philosophers to express the “beautiful order” of the universe. In the Timaeus, the demiurge is pictured as ordering the universe according to certain proportions and constructing the Material Elements from regular solids. Thus, the demiurge is indeed a surveyor, in the wide sense of surveyor/architect indicated in §2, since he delimits the universe by measuring out and apportioning limits. More than this, however, he creates beauty by constructing in accordance with mathematical theory.

§4. Why, then, is there no hint of applications in Euclid’s treatise?

The fact that Euclid’s Elements contains no reference to non-mathematical contexts did not impede the ancients in regarding it as linked to other matters. Thus, Proclus (1992, p. 57) affirmed that

… Euclid belonged to the persuasion of Plato and was in home in this philosophy; and this is why he thought the goal of the Elements as a whole to be the construction of the so-called Platonic figures.

But, perhaps more can be said than is contained in Proclus’s vague account. In fact, according to the general view espoused in Plato’s Republic, mankind’s activities are structured by at least three distinct kinds of investigation, to wit, those of mathematics, philosophy and myth. Mathematics is concerned with pure and certain knowledge, whereas philosophy furnishes the hermeneutic principles which make science (applied mathematics) possible; finally, myth presents the result of science in a poetic or dramatic form in order to compel assent from the great majority who have little or no access to mathematics. Plato’s own Doctrine of the Divided Line in the Republic conforms to this pattern. The mathematical doctrine itself, being part of his esoteric or “unwritten” doctrine, is only hinted at in the Republic, but an attempt to reconstruct it can be found in Erickson and Fossa (2006). Some of the hermeneutic principles relating to the application of this doctrine to the regulation of the commonweal are presented in his discussion of the divided line and a mythic account of this same result is proposed in the Myth of the Cave. Consequently, as a theoretical treatise, The Elements could not contain reference to applications which are always a posteriori and, therefore, uncertain.


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§5. What is theory?

Theoretical knowledge is the determination of absolutely true and certain principles and corresponds to the second division (Mathematics) of Plato’s Divided Line. In epistemological terms, it is the mode of apprehension called “knowledge” and is completely a priori. In ontological terms, its object is non-material reality, since matter undergoes constant change and, therefore, according to this view, cannot be known. In contrast, surveying is a Science and, thus, belongs to the third part of the Divided Line. Since it deals with material objects it is only “opinion”, albeit “scientific opinion”, and susceptible to the uncertainties of sense perception. Specifically, surveying undertakes to delimit spatial relations on the surface of the Earth. Thus, geometry, as theorizing about surveying, is the determination of the fundamental principles of space itself.

We may further observe that “theory” was also, for the ancient Greeks, the ritual journey to the site of an oracle in order to view the oracle’s religious instruments (for more details, see Fossa, 2008). This was supposed to have a transformative effect on the theorizer, but he was not expected to be transported to a more ethereal existence for the rest of his life. Rather, he was expected to return to his native city and put his new insights to work for the benefit of the commonweal. It may therefore be concluded that Euclid’s Elements was not done solely for its own sake, but also for the sake of regulating those sciences to which I have given the collective name of “surveying”.

§6. What is mimesis?

In art, mimesis is an imitation of the divine in the form of a representation of it through human speech. It thus makes present to the audience seminal moments of the gods’ exploits. In a similar manner, the geometer contemplates the never-changing truths about space and codifies them in human language, thereby making them present to human knowledge. Moreover, just as the demiurge, in his role as divine surveyor, used these mathematical truths to construct the beautifully ordered cosmos, the geometer, in his role as human surveyor, makes possible the application of these same truths in the construction of human projects. Finally, the geometer imitates the divine by acting in a completely rational manner and, hence, in accord with divine rationality.7

Conclusion The present note, by taking a fresh look at the first three postulates of Euclid’s Elements, opens new possibilities for understanding the role that not only geometry, but, as was mentioned in footnote 6, all of mathematics, played in the intellectual milieu of ancient Greek culture. Mathematics, as theorizing, contemplates the absolutely certain and eternal truths that allow mankind to construct his imperfect, although fairly effective sciences,

7 We may observe that the lusty and querulous Homeric gods are not to be identified with the gods of the philosophers. Plato’s demiurge, for example, has virtually nothing, other than immortality, in common with his Homeric counterparts.

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when these truths are applied to the material world. This, in turn, implies that, while there was indeed a hierarchy regarding theory and practice, both in terms of the reliability of the mode of apprehension appropriate to each of them and the reality of the objects that each treated of, it was not a hierarchy of polar opposites; rather, it was more like an organic whole, in which each has its part to play in the correct ordering of human activities.8 References BURKERT, Walter. Lore and Science in Ancient Pythagoreanism. (Edwin L. Minar, Jr., Trad.) Cambridge (MA): Harvard UP, 1972. CORNFORD, F. M. From Religion to Philosophy. New York: Harper Torchbooks, 1957. DAUBEN, Joseph W. The “Pythagorean Theorem” and Chinese Mathematics. In Sergei Demidov, David Rowe, Meno Folkerts & Christoph Scriba (Eds.). Amphora: Festschrift für Hans Wussing zu seeinem 65. Geburtstag. Basel: Birkhäuser, 1992. P. 133-156. ERICKSON, Glenn W., & John A. FOSSA. A Linha Dividida: Uma Abordagem Matemática à Filosofia Platônica. Rio de Janeiro: Relume Dumará, 2006. ERICKSON, Glenn W., & John A. FOSSA. A Pirâmide Platônica. João Pessoa: Editora da UFPb, 1996. EUCLID. The Thirteen Books of the Elements. (T. L. Heath, Trad.) New York: Dover, 1956. EUCLIDES. Os Elementos. (Irineu Bicudo, Trad.) São Paulo: Editora UNESP, 2009. FOSSA, John A. Cabelos Negros, Olhos Azuis e Outras Feições das Matemáticas Puras e Aplicadas. Natal: Editora da UFRN, 2008. HANKEL, Hermann. Zur Geschichte der Mathematic in Alterthum und Mittelalter. Leipzig: B. G. Teubner, 1874. HEATH, T. L. A History of Greek Mathematics. New York: Dover, 1981. PROCLUS. A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements. (Glenn R. Morrow, Trad.) Princeton: Princeton UP, 1992. SEIDENBERG, A. The Ritual Origin of Geometry. Archive for the History of Exact Sciences, v. 1, n. 5, p. 488-527, 1961. SEIDENBERG, A. Peg and Cord in Ancient Greek Geometry. Scripta Mathematica, v. 24, p. 107-122, 1959.

8 I wish to acknowledge and thank two anonymous reviewers whose comments on an earlier version of this paper were extremely helpful for the preparation of the final version.

John A. Fossa Depto. de Matemática UFRN – Natal, RN E-mail: [email protected]

Unique historical documents or Jarník's mathematical notebooks from Göttingen

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UNIQUE HISTORICAL DOCUMENTS OR JARNÍK’S MATHEMATICAL NOTEBOOKS FROM GÖTTINGEN

Martina Bečvářová

Czech Technical University – República Tcheca

Ivan Netuka Charles University – República Tcheca


Abstract

Among the artifacts deposited in the Archive of the Academy of Sciences of the Czech Republic are fourteen notebooks containing the lectures given by Karl Grandjot, Pavel Sergeevich Aleksandrov, Bartel Leendert van der Waerden and Emmy Amalie Noether in Göttingen in the 1920s. These unique and valuable notebooks were kept by Vojtěch Jarník, the future Czech university professor of mathematics, during his studies at the University in Göttingen. In this article, we attempt to give a basic characterization of Jarník’s notebooks, to describe the historical background of their “birth” and to show their mathematical contents.

Keywords: Czech Mathematics, Göttingen University, Vojtěch Jarník, 20th Century.

[DOCUMENTOS HISTÓRICOS ÚNICOS OU OS CADERNOS MATEMÁTICOS DE JARNÍK ESCRITOS EM GÖTTINGEN]

Resumo

Entre os artefatos depositados no Arquivo da Academia de Ciências da República Tcheca, estão catorze cadernos contendo as palestras dadas em Göttingen por Karl Grandjot, Pavel Sergeevich Aleksandrov, Bartel Leendert van der Waerden e Emmy Amalie Noether, na década de 20 do século XX. Esses cadernos únicos e valiosos foram mantidos pelo tcheco Vojtěch Jarník, futuro professor universitário de matemática, durante os seus estudos na Universidade de Göttingen. Neste artigo, tentaremos dar uma caracterização básica dos cadernos de Jarník, para descrever o contexto histórico de seu "nascimento" e apresentar seus conteúdos matemáticos.


ISSN 1519-955X

Martina Bečvářová & Ivan Netuka

RBHM, Vol. 13, no 26, p. 47-60, 2013 48

Palavras-chave: Matemática Tcheca, Universidade de Göttingen, Vojtěch Jarník, Séc. XX. Mathematics in Göttingen

After the First World War, the University in Göttingen reached its academic peak: a high level of work prevailed not only in mathematics, but also in physics, chemistry, biology as well as in the social sciences and humanities. There was, in Göttingen, a vibrant scientific atmosphere owing to a large and revitalized academic community, which included gifted students, distinguished visitors from all over the world, and guest professors who came to present papers, give seminars or hold regular lectures.

In the second decade of the 20th century, the Göttingen mathematical community consisted of four ordinary professors, three or more extraordinary professors, some guest professors, several private docents, lecturers, senior and junior assistants, about two hundred undergraduate and graduate students and visitors. Among the members of the university staff we can find many outstanding mathematicians as for example: Felix Bernstein (1878–1956), Paul Bernays (1888–1977), Richard Courant (1888–1972), Gustav Herglotz (1881–1953), David Hilbert (1862–1943), Edmund Landau (1877–1938), Hermann Minkowski (1864–1909), Otto Neugebauer (1899–1990), Emmy Amalie Noether (1882–1935) and Hermann Weyl (1885–1955).

During the 1920s and at the beginning of 1930s many visiting professors spent some time in Göttingen in order to lecture or to collaborate with others there (for example Emil Artin (from Hamburg), Reinhold Baer (from Freiburg), Ruth Moufang (from Frankfurt), Richard von Mises (from Berlin), John von Neumann (from Berlin), George Polya (from Zurich), Oswald Veblen (from Princeton)). At the same time, many future outstanding mathematicians studied in Göttingen or worked there as Courant’s, Hilbert’s or Landau’s assistants (for example Herbert Busemann, Max Deuring, Saunders MacLane, Gerhard Gentzen, Olga Taussky), in addition, a number of mathematicians obtained their Habilitation in mathematics, applied mathematics or mathematical physics at the University in Göttingen. Some of them continued their careers as Privatdozenten, extraordinary professors or ordinary professors there; others lectured at German universities as well as at European mathematical institutions or later moved on to positions in the USA.1 Vojtěch Jarník and his studies in Göttingen

From the 1870s onwards, the most talented and outstanding mathematicians and physicists from the Czech lands went abroad, enabled by government scholarships and funding, in order to extend and deepen their mathematical knowledge and skills. They travelled mainly to Germany, France or Italy and studied at the most prestigious mathematical centers of the period, in Berlin, Göttingen, Hamburg, Leipzig, Munich, Paris, Strasbourg, Milano, and Rome. There, they hoped to be more closely involved in the latest mathematical trends and methods and to become acquainted with the newest ideas in the field; they also hoped to be able to have their first papers accepted in respected journals and their first monographs issued by internationally known publishing houses; and finally, they

1 For information about the academic staff in Göttingen see [BN], [Nu] and [S].


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sought out the most advanced education methods which they could bring back on their return to universities and polytechnics in the Czech lands. We will discuss the case of a young Czech mathematician Vojtěch Jarník (1897–1970).

Jarník after completing his studies at Charles University in Prague (1915–1919) started working as an assistant at the Czech Technical University in Brno. In 1921, he returned to Prague and became an assistant to Karel Petr (1868–1950), professor of mathematics at Charles University, under whose supervision he successfully defended his dissertation (1921, devoted to Bessel functions). In the 1920s, he spent three academic years in Göttingen, where he collaborated with E. Landau and E. Noether. From the 1920s, Jarník was continuously, except for the period of Nazi occupation when Czech institutions of higher education were forcibly closed, a member of the staff of Charles University. In 1925, he defended his Habilitation thesis (devoted to lattice points) and became an associate professor. In 1929, he was appointed an extraordinary professor and six years later he was appointed a full professor of Charles University. Jarník was interested in problems of lattice points, Diophantine approximations, geometry of numbers, set theory, topology, measure theory and the theory of integral. He was probably the first Czech mathematicians whose scientific results received a wide and lasting international response and continue to be cited to the present day.2

In 1923, Jarník left Prague and travelled to Göttingen where he studied and worked until February 1925. He was apparently most influenced by Landau, a distinguished specialist in mathematical analysis and number theory. (It should be mentioned that Jarník had studied analytic number theory and Landau’s well-known works before his visit to Göttingen.) Once there, he regularly attended the lectures of Landau and Noether, which were well received by and inspiring for younger mathematicians. He also took part in their seminars and was in close touch with their students.

In the academic year 1927/1928 Jarník paid his second long-term visit to Göttingen and continued his collaboration with Landau.3 He also regularly attended the lectures of K. Grandjot (1900–1979), P. S. Aleksandrov (1896–1982), B. L. van der Waerden Waerden (1903–1996) and E. Landau.4 It should be noted that Landau deeply influenced Jarník’s professional career and without any doubt he was Jarník’s second important “mentor”. Throughout Landau’s life, they were in the close touch and often collaborated together.5 It should be mentioned that Jarník had a bound collection of most of Landau’s reprints.

From the second half of the twenties, Jarník was interested in number theory (especially in problems of lattice points) and theory of real functions. He wrote his articles in the Czech, German and French languages and published them mainly in Czech or German

2 More detailed information about Jarník’s life and his mathematical achievements can be found in [BeNe1] and [No]. 3 Jarník’s second stay was supported by the International Education Board from which he received a scholarship to spend one academic year in Göttingen to work on number theory with Landau. Jarník was strongly recommended and supported by Petr. For more information see [SS], pp. 293. 4 Jarník chose Landau’s lecture on higher analysis (summer semester 1927/1928). 5 For more information about their collaboration see [BeNe1] and [No].


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journals.

Thanks to his studies in Göttingen and his conversations with German mathematicians, and under their influence, Jarník finished more than ten works, some of which were published in Mathematische Zeitschrift, Mathematische Annalen and Annali di matematica pura ed applicata.6 At the end of the twenties and during the thirties, Jarník continued his study of number theory and Diophantine approximations. He published his results in Mathematische Zeitschrift, Monatshefte für Mathematik und Physik, Tôhoku Mathematical Journal as well as in Czech journals.7

Jarník’s notes of Göttingen mathematical lecture courses

Among the most special archival materials from this period deposited in the Archive of the Academy of Sciences of the Czech Republic are fourteen “notebooks” which contain the lectures of E. Noether, K. Grandjot, P. S. Aleksandrov and B. L. van der Waerden. These notebooks were kept by V. Jarník during his studies at Göttingen in the academic years 1923/1924, 1924/1925 and 1927/1928.

The notebooks were discovered by Jindřich Bečvář in 2004 when he was preparing an extensive monograph on the life and work of Vladimír Kořínek (1899–1981), a leading Czech algebraist of the 20th century.8 Kořínek’s unusually vast archival collection containing his personal, pedagogical and professional materials as well as some materials of his friends and colleagues from Charles University and the Czechoslovak Academy of Sciences is of special interest as it allows us to trace the development of mathematics in the Czech lands.

Although Jarník and Kořínek were good friends and colleagues, we are not able to explain how Jarník’s notebooks came to be deposited in Kořínek’s archival collection.

Specifically, at Göttingen, Jarník studied modern structural algebra under Noether in the academic year 1923/1924 and 1924/1925: the notebooks contain her lectures titled Körpertheorie (winter semester 1923/1924), Invariantentheorie (summer semester 1923/1924), Gruppentheorie II (winter semester 1924/1925), Hyperkomplexe Zahlen und Gruppencharaktere (winter semester 1927/1928); he studied the theory of numbers and modern structural algebra under van der Waerden in the academic year 1927/1928: the notebooks contain his lectures titled Allgemeine Idealtheorie (winter semester 1927/1928) and Algebraische Zahlen (summer semester 1927/1928); he also studied modern algebra under Grandjot in the winter semester in 1927/1928: the notebooks contain his lectures titled Algebra II (Galoissche Theorie); and finally he studied analysis under Aleksandrov in the summer semester 1927/1928: the notebook contains his lectures titled Punktmengen und reelle Funktionen. It is not without interest that Jarník attended lectures predominantly on modern algebra and very rarely those on number theory and analysis, 6 For more information about Jarník’s publication activities see [BeNe1] and [No]. 7 For more information see the bibliography of Jarník’s scientific works published in [No]. 8 Kohoutová Z., Bečvář J.: Vladimír Kořínek (1899–1981) (in Czech), Edition History of Mathematics, Volume 27, Research Center for the History of Sciences and Humanities, Prague, 2005.


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although these two topics represent his main mathematical subjects. Basic characterization of Jarník’s notebooks

Jarník’s notes were kept in rectangular exercise books (16,4 × 20,6 cm) each with a hard black cover; they have been preserved in an amazingly good condition. His German notes are carefully written in blue ink; almost everything is legible. They have few grammatical and syntactic mistakes, almost no corrections and contain very few inaccuracies.9 Each notebook has 120 pages, usually completely filled with notes. On the interior page of the cover, Jarník’s Göttingen address is written (in the academic year 1927/1928 – Dr. V. Jarník, Göttingen, Bühlstrasse 28).

Jarník’s notebooks give us a record of Göttingen’s mathematical lectures and seminars, which were famous in the Czech lands before the Second World War due to the high professional level. They also provide information on mathematics and teaching in Göttingen, information not generally known even in Germany. Most importantly, they were written by an excellent Czech mathematician who possessed an acute understanding of the material being presented. Since similar documents from that time are rare, they are a unique contribution to our understanding of this period, and should be interesting not only for mathematicians, but also for historians, linguists and anyone wanting to learn something about mathematics in the first half of the 20th century.10 Grandjot’s lectures “Algebra II”

Jarník’s first four notebooks are devoted to Grandjot’s lectures Algebra II (Galoissche Theorie). The first 116 pages of Jarník’s first notebook contain Grandjot’s lectures divided into six paragraphs.11 The remaining four pages are blank. The first lecture was written on November 1, 1927; the last one written on November 29, 1927. The first 117 pages of Jarník’s second notebook contain seven paragraphs of Grandjot’s lectures.12 The remaining three pages are blank. The first lecture was delivered on December 2, 1927; the last one was delivered on December 20, 1927. The first 118 pages of Jarník’s third notebook contain four paragraphs of Grandjot’s lectures.13 The remaining two pages are blank. The date of the first lecture is not mentioned; the second lecture was probably delivered on January 17, 1928. In this notebook Jarník did not precisely write down the dates of the lectures as he did in the first two notebooks.14 The first 53 pages of Jarník’s

9 Only the records of Noether’s lectures are not quite so clear. 10 For more information see [BeNe1]. 11 The paragraphs are titled: I. Körper und Integritätsbereiche, II. Teilbarkeit und Zerlegungssätze, III. Grundbegriffe der Gruppentheorie, IV. Restklassenringe. Charakteristik, V. Nullstellen von Polynomen, VI. Endliche algebraische Erweiterungen. 12 The last part of the paragraph VI. Endliche algebraische Erweiterungen, VII. Normalteiler und Faktorgruppen, VIII. Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie, IX. Endlicher Körper, X. Der Satz vom primitiven Element. Theorie der Gleichungen, XI. Ergänzung zum Hauptsatz, XII. Aufslösbare Körper. 13 The last part of the paragraph XII. Aufslösbare Körper, XIII. Entscheidung über Irreduzibilität und Galoissche Gruppen, XIV. Irreduzible Gleichungen von Primzahlgrad, XV. Körper von reellem Bau. 14 The January 24, 1928, is the last date written down in the notebook.


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fourth notebook contain one paragraph of Grandjot’s lectures.15 The remaining 67 pages are blank. In this notebook Jarník did not note the date of the lectures. We suppose that Grandjot lectured to the end of the winter semester 1927/1928, that is, to the end of February 1928. The two-hours lectures were given twice a week.16

Jarník’s notes are divided into fifteen parts which include the standard facts presented today in a basic university course on algebra for mathematicians. The definitions of basic terms, theorems with their complete proofs as well as remarks, comments and exercises are added. Almost no bibliographical comments are given.17

Aleksandrov’s lectures “Punktmengen und reelle Funktionen”

The fifth notebook is devoted to a series of Aleksandrov’s lectures titled Punktmengen und reelle Funktionen; it is one of the most important and interesting part of Jarník’s mathematical notebooks. The first 107 pages of the notebook contain Aleksandrov’s lectures, the last nine pages of the notebook contain a short part of van der Waerden’s lecture titled Algebraische Zahlen which continues in Jarník’s ninth notebook, and the remaining four pages are blank.

In this notebook Jarník did not write down the dates of the lectures. From his inscription we know that he attended Aleksandrov’s lectures in Göttingen in the summer semester 1927/1928. We do not know precisely the period in which the course was delivered and how many lectures it consisted of. However, Aleksandrov was in Göttingen between June 4 and August 4, 1928.18

In [BeNe1], on the basis of our detailed study, we tried to give an overview of the ideas and results presented in the course. We gave the definitions, theorems as well as remarks, and in several places we added comments on the methods of proofs. We tried to trace the origin of the results in order to place the material in historical context. Several quotations and bibliographical comments illustrate the fact that the first quarter of the 20th century was a fascinating period for the development of descriptive set theory, real analysis and point-set topology.19

Aleksandrov’s course on point sets and real functions has several remarkable features which we summarize as follows.

The course

– reflects the state-of-the-art in important parts of these fields of mathematics as it was in 1928

15 The last part of the paragraph XV. Körper von reellem Bau. 16 The “University calendar” for the winter semester 1927/1928, p. 23, provides the following information: Algebra II (Galoissche Theorie), Di. Fr. 4–6. Dr. Grandjot. 17 K. Grandjot was not a specialist in algebra, resp. Galois theory. His lectures Algebra II were not the top at the University in Göttingen and we will not analyze them. 18 For more information see [BeNe1] and Aleksandrov’s letters to F. Hausdorff which are available in Nachlass Hausdorff, Kapsel 61, Universitäts und Landesbibliothek Bonn, Handschriftenabteilung. 19 See [BeNe1], pp. 91–110.


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– is very modern in the sense that practically all the results presented were less than thirty years old, the majority were less than ten years old, and some had not yet been published

– centers around several excellent results established by P. S. Aleksandrov himself as

well as by his collaborators and colleagues such as Paul Samuilovich Urysohn (1898–1924) and Mikhail Yakovlevich Suslin (1894–1919); in particular, we have in mind the proof of the Continuum Hypothesis for Borel sets, the A-operation, properties of analytic sets, topologically complete spaces and the role of zero-dimensional spaces

– includes principal results and concepts that today have become the standard facts

taught in basic university courses for mathematicians

– has a strong topological flavour even though it provides results in the context of the real line, Euclidean spaces and metric spaces; the notion of a topological space is not even mentioned; this reflects the fact that Aleksandrov was one of the leading architects in the construction of topology as a mathematical subject

– uses mathematical language which is fully set-theoretical, and a style of exposition

of results and their proofs that is similar to the contemporary way of presenting mathematics: the main difference being that the use of transfinite numbers and transfinite induction is much more frequent in comparison with present style, this also applies to the use of continued fractions

– shows only a few differences in notation from today: x ⊂ A, A + B, AB, A − B, ΣAn, ΠAn were later replaced by x ∈ A, A ∪ B, A B, A \ B, ∪An, An, respectively, the empty set is, unlike our ∅, written as 0, limn=∞ unlike our limn→∞; also the distinction between f (= a function) and f (x) (= the value of f at the point x) is not usually respected.

In summary, the course was delivered by a distinguished expert whose impact on

contemporary mathematics is still felt today. Jarník’s notes can be naturally divided into three parts: Punktmengen (47 pages),

Bairesche Funktionen und Borelsche Mengen (24 pages) and Suslinschen Mengen or A-Mengen (36 pages).20

The lectures are presented within the frame of Euclidean spaces or metric spaces. Completeness of metric spaces and topologically equivalent metrics are discussed first, then zero-dimensional spaces are treated. Here, topological ideas come into the picture quite strongly. The exposition is based on the article published by Aleksandrov and Urysohn in Mathematische Annalen in 1928, four years after Urysohn’s tragic death. Then the transfinite induction definition of Borel sets is given and the role of Gδ-sets is emphasized

20 The transcription of Jarník’s notebook can be found in [BeNe1], pp. 51–90.


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(the set of continuity points of an arbitrary function, the importance for measure theory). Next, extension properties of continuous (or homeomorphic) mappings are discussed and topological completeness, based on important results of Aleksandrov and Hausdorff, is studied. It is shown, using Hausdorff’s approach, that Gδ-sets are nothing else than topologically complete spaces. Baire functions and Borel sets, as well as their interplay, are treated. In particular, the existence of α-th class Baire functions not belonging to any lower class is proved. Special attention is paid to the notion of analytically representable functions extensively studied by Baire and Lebesgue during the first decade of the 20th century. The last section is devoted to analytic (or Suslin) sets, discovered ten years before the lecture course was delivered. Analytic sets, as a result of the A-operation, are introduced and their set-theoretic properties are established. Their relation to Borel sets is especially analyzed; specifically, Borel sets are characterized as those analytic sets having an analytic complement. The Continuum Hypothesis for uncountable analytic sets is proved. This generalizes Aleksandrov’s famous result for Borel sets from 1916.21 Finally, a short survey of some, at that time, new results from descriptive set theory is given. Van der Waerden’s lectures “Allgemeine Idealtheorie”

Jarník’s sixth notebook contains 116 pages of van der Waerden’s lectures titled Allgemeine Idealtheorie, the last 4 pages are blank. The first 54 pages of the seventh notebook contain van der Waerden’s lectures titled Allgemeine Idealtheorie, a scheme with the “classification of rings” was then added to the notebook (it was not written by Jarník); the 2 following pages are blank and the next 60 pages of the notebook contain a part of van der Waerden’s lectures titled Algebraische Zahlen which continues in Jarník’s fifth, eighth and ninth notebooks.22 In the first half of the sixth notebook Jarník wrote down the dates of the lectures,23 in the second half of the sixth notebook and in the seventh notebook he did not write any date of the lectures. From his inscription we know that he attended van der Waerden’s lectures titled Allgemeine Idealtheorie in Göttingen in the winter semester 1927/1928. We conjecture that the period in which the course was delivered was from the beginning of November 1927 to the end of February 1928. The one-hour lectures were given twice a week.24

Jarník’s notes can be naturally divided into five parts: Kapitel I (64 pages, 8 para-graphs),25 Kapitel II – Körpertheorie (46 pages, 9 paragraphs),26 Kapitel III – Idealtheo-

21 Alexandroff P.: Sur la puissance des ensembles mesurables B, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences, Série Mathématiques, Paris 162(1916), pp. 323–325. This is the first paper by Aleksandrov and a germ of the A-operation, which opened the way to Suslin sets, is presented there. 22 Two remaining pages of the seventh book are blank. 23 November 4, 1927 is the first recorded date (written on the first page), December 12, 1927 is the last one (written on the page 93). 24 The “University calendar” for the winter semester 1927/1928, p. 23, provides the following information: Allgemeine Idealtheorie, Mo. Fr. 6–7. Dr. van der Waerden. 25 The paragraphs are titled: Einleitung, Gruppen, Ringe, Quotientenkörper, Polynomring, Restklassenring, Weiteres über Polynomringe Divisionsalgorithmus, Idealtheorie der Euklidischen Ringe. 26 The paragraphs are titled: Primkörper, Einfache Körpererweiterungen, Lineare Abhängigkeit, Endliche und algebraische Körpererweiterungen, Galoissche Erweiterungen, Algebraisch abgeschlossene Körper,


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rie in Polynombereichen (18 pages, 4 paragraphs),27 Kapitel IV – Allgemeine Idealtheorie (23 pages, 7 paragraphs)28 and Kapitel V – Ganze algebraische Grössen (19 pages, 3 paragraphs).29

We note that in the summer semester of 1926, van der Waerden was in Hamburg where he studied with Emil Artin (1898–1962), Erich Hecke (1887–1947) and Otto Schreier (1901–1929). He attended Artin’s well-regarded courses on algebra30 and collected notes and ideas with the intention of collaborating with Artin on a book planned for Springer-Verlag’s “Yellow Series”.31 But when Artin saw the first drafts of van der Waerden’s text, he suggested that van der Waerden writes the book alone, without Artin’s participation. This text became van der Waerden’s famous textbook Moderne Algebra I. and Moderne Algebra II.32 On February 26, 1927, van der Waerden was appointed a university lecturer at the University of Göttingen (that is “Privatdocent” according to the German academic system). He spent the academic years 1927 and 1928 there, lectured on modern algebra and number theory, prepared his papers and collaborated with Noether.

It seems that van der Waerden’s lectures Allgemeine Idealtheorie (one of the most interesting part of Jarník’s mathematical notebooks) are almost a full prototype for his monograph Moderne Algebra I. Now, we intend to analyze the notebook’s contents and compare them with van der Waerden’s monograph which was very highly esteemed and translated into foreign languages and stimulated several generations to learn modern algebra and its applications.33 Transzendente Erweiterungskörper, Algebraische Funktionen, Erweiterungen erster und zweiter Art (separable und inseparable Erweiterungen). 27 The paragraphs are titled: Der Hilbertsche Basissatz, Algebraische Mannigfaltigkeiten, Nullstellen-theorie der Primideale, Geometrische Deutung beliebiger Ideale. 28 The paragraphs are titled: Basissatz und Teilerkettensatz, Der Zerlegungssatz, Idealprodukte und Quotienten, Geometrische Anwendungen des Zerlegungssatzes, Die Eindeutigkeitssätze, Theorie der teilerfremden Ideale, Die Vielfachenkettensatz. 29 The paragraphs are titled: Moduln in Bezug auf einen Ring, Theorie der ganzen Grössen, Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe. 30 In [FTW], p. 138, it is written that van der Waerden was an assistant at the University of Hamburg during the summer semester 1926/1927. 31 It also turns out that van der Waerden found some ideas in Noether’s lectures, seminars and works, as well, for example Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten, Mathematische Annalen 88(1923), pp. 53–79; Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Mathematische Annalen 90(1923), pp. 229–261; Eliminationstheorie und Idealtheorie, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 33(1924), pp. 116–120. 32 For more information about van der Waerden’s inspirations see [Wa1]. See also Moderne Algebra. B. L. van der Waerden. Unter Benützung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether, I. Theil, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 33, Springer, Berlin, 1930, VIII + 243 pages, ..., 9th edition, 1993, XI + 272 pages; Moderne Algebra. B. L. van der Waerden, II. Theil, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 34, Springer, Berlin, 1931, VII + 216 pages, ..., 6th edition, 1955, XI + 300 pages; Russian translations (1947, 1976, 1979), English translations (1949, 1970, 1991, 2003), Portuguese translation (1954), Chinese translation (1964). 33 The team consists of Jindřich Bečvář and Martina Bečvářová.


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Van der Waerden’s lectures “Algebraische Zahlen” Jarník’s seventh and eighth notebooks, as well as the part of the ninth and sixth notebooks contain the lecture course titled Algebraische Zahlen delivered by van der Waerden during the summer semester 1927/1928.34 The last 60 pages of the seventh notebook contain 8 paragraphs of van der Waerden’s lectures;35 the first lecture was delivered on April 30, 1928. The lectures following this are not dated. We assume that van der Waerden lectured to the end of the summer semester 1927/1928, that is, to the end of July 1928. Van den Waerden’s lectures continue in Jarník’s eighth notebook. There are 7 paragraphs (61 pages),36 2 pages are blank, followed by two other paragraphs (24 pages)37 and again 2 blank pages.38 The first 21 pages of Jarník’s nineth notebook contain two paragraphs of van der Waerden’s lectures.39 Two blank pages follow and then, there are 73 pages which are devoted to mathematical analysis: first, 3 paragraphs on Phragmén-Lindelöf theorem (the paragraphs have the numbers 7, 8, and 9),40 then, chapter IV. titled Wachstum und

34 Probably the lectures were inspired by the books of H. M. Weber: Lehrbuch der Algebra. Band II, F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1896, XIV + 796 pages, and Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen, F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1891, XIII + 504 pages. The second volume contains four paragraphs: Gruppen (pp. 1–160), Lineare Gruppen (pp. 161–347), Anwendungen der Gruppentheorie (pp. 349–550) and Algebraische Zahlen (pp. 551–844). The third volume contains six paragraphs: Analytischer Teil (pp. 1–317), Quadratische Körper (pp. 319–410), Komplexe Multiplikation (pp. 411–560), Klassenkörper (pp. 561–620), Algebraische Funktionen (pp. 621–707) and Tabellen (pp. 709–726). Weber’s textbook was the last major algebra textbook that summarizes the results of algebra at the end of the 19th century. It brought new concepts of nascent structural algebra and it became for more than 30 years the standard text for algebraic studies. It inspired new generations of mathematicians to study structural algebra and also contributed to the development and consolidation of modern algebraic terminology. It was finally replaced by van der Waerden’s Moderne Algebra (Volume I. and II., 1930 and 1931). The other source of van der Waerden’s inspiration could be R. K. E. Fricke: Lehrbuch der Algebra verfaßt mit Benutzung von Heinrich Webers gleichnamigen Buche. Band III, Algebraische Zahlen, F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1928, VIII + 506 pages. The volume contains two chapters: Allgemeine Theorie der Zahlkörper (pp. 2–189) and Ausführungen über besondere Zahlkörper (pp. 190–502). In the introduction to the first volume of Moderne Algebra, van der Waerden wrote that E. Artin’s, W. Blaschke’s and O. Schreier’s seminar on the theory of ideals (Hamburg, 1926) and E. Nother’s lectures on theory of group and hypercomplex numbers (Göttingen, 1924/1925 and 1927/1928) were the main headspring of his ideas. 35 The paragraphs are titled: 1. Algebraische und ganze algebraische Zahlen, 2. Zahlkörper, 3. Die Hauptordnung eines Zahlkörpers, 4. Einheiten, Faktorzerlegung, 5. Einfachste Eigenschaften der Ideale, Gebrochene Ideale und Faktorzerlegung, Die Gruppe der gebrochenen Ideale, 8. Normen der Ideale. 36 The paragraphs are titled: 9. Struktur des Restklassenringes, 10. Quadratische Körper, 9a . Galoissche Körper, 11. Der kubische Körper (Γ3√q), 12. Der Diskriminantensatz, 13. Kreiskörper der lh-ten Einheitswurzeln, 14. Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Körper. 37 The paragraphs are titled: 15. Zerlegungs- und Trägheitsgruppe, 16. Zusammenhang zwischen Zerlegungen der Ideale im Ober- und Unterkörper. 38 At the end of the eighth Jarník’s notebook, there are two paragraphs titled 1. Komplexe (4 pages) and 2. Orientierung (3 pages) of an unnamed lecture. We do not know precisely the period in which they were delivered nor by whom. 39 The paragraphs are titled: 17. Die Klassenzahl, 18. Der Einheitensatz. 40 The first six paragraphs are missing. Phragmén-Lindelöf principle is a form of the maximum-modulus theorem for holomorphic functions that permits weaker hypotheses compensated with extra conditions. The original version is due to Lars Edvard Phragmén (1863–1937) and Ernst Leonard Lindelöf (1870–1946) (see L. E. Phragmén, E. L. Lindelöf: Sur une extension d’un principe classique de l’analyse et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le


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Koeffizienten [Growth and coefficients, 3 paragraphs] and chapter V. titled Das Picardschen Problem [Picard’s problem, 7 paragraphs].41 We do not know the name of the lecturer, the title of the lecture, the period in which they were delivered and how many lectures it consisted of.42 The end of van der Waerden’s lecture Algebraische Zahlen (9 pages) was written by Jarník on the last nine pages of his fifth notebook.43

Jarník’s notes include the standard facts presented today in a basic university course on abstract algebra for mathematicians. The definitions of basic terms, theorems with their basic proofs as well as short remarks, comments and exercises are added. Almost no bibliographical comments are given. In the future, we will focus on van der Waerden’s lectures Algebraische Zahlen and we will analyze them. Four Noether’s lectures

From 1920 to 1926, Emmy Noether devoted herself to developing the theory of mathematical rings, ideals and modules, the theory of group representations, the invariant theory of finite groups, the elimination theory. From 1927 to 1935, she focused on hypercomplex numbers, the representation theory of groups and algebras, the theory of central simple algebras, the structure theory of associative algebras, the single arithmetic theory of modules and ideals in rings satisfying ascending chain conditions.

Noether delivered the lecture course titled Gruppen Theorie II in the winter semester 1924/1925, that is, from the beginning of November 1924 to the end of February voisinage d’un point singulier, Acta Mathematica 31(1908), pp. 381–406). From complex function theory it is known that if a function f is continuous on the closure of a bounded region D and holomorphic on D, then the maximum of |f | is attained on the boundary of D. If, however, a domain D is not bounded, then this is no longer true. W. Rudin in Real and complex analysis (McGraw-Hill Book Company, New York, 1987, p. 256) writes: “A method developed by Phragmén and Lindelöf makes it possible to prove theorems of the following kind: If f is holomorphic on D and if |f | < g, where g(z) → ∞ “slowly” as z → ∞ in D (just what “slowly” means depends on D), then f is actually bounded in D, and this usually implies further conclusions about f , by the maximum modulus theorem”. In the 1920s and the 1930s, Phragmén-Lindelöf type theorems and their applications was a modern topic (see for example M. Riesz: Sur le principe de Phragmén-Lindelöf, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 20(1920), pp. 205–209, correction 21(1921), No. 6). 41 Picard’s theorem describes the behavior of a holomorphic function in a neighborhood of a singular point. It reads as follows: “If a holomorphic function f has an essential singularity at a point w, then on any neighborhood of w, the function f takes on all complex values, with at most a single exception, infinitely often”. This theorem was proved by Charles Émile Picard (1856–1941) in 1879 in the form of the so called Picard’s little theorem: “Every entire function whose range omits two points must be a constant function”. (See Sur les fonctions analytiques uniformes dans le voisinage d’un point singulier essentiel, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences, Série Mathématiques, Paris 88(1879), pp. 745–747; Sur une propriété des fonctions entières, ibid., pp. 1024–1027). For more details on Picard’s theorem see for example S. G. Krantz: Handbook of Complex Variables, Birkhäuser, Boston, 1999, p. 140, W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1987, pp. 331–332, and R. Remmert: Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, New York, 1998. 42 According to the “University calendar” for the winter semester 1927/1928 and the summer semester 1927/1928 we know that mathematical analysis was lectured on by R. Courant, K. Grandjot, G. Herglotz, A. Ostrowski, F. Walther, etc. In the winter semester 1927/1928, E. Landau was on the vacation. 43 The text is under the heading: v. d. Waerden, Algebraische Zahlen, Göttingen, Sommersemestr 1928. (Schluss).


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1925.44 These lectures are recorded in Jarník’s tenth notebook which contains 56 pages of notes (the other pages are blank) and includes no date of any of the lectures, no indication of chapters, subchapters, sections and subsections. The notes show that Noether’s lectures were difficult to follow, understand and record, but they must have been very inspiring as they contained Noether’s latest results and the ideas that she had just worked out.45

Jarník’s eleventh notebook contains Noether’s lectures titled Hyperkomplexe Zahlen und Gruppencharaktere.46 The first lecture was delivered on November 11, 1927; the last one on January 14, 1928.47 Jarník’s records contain three parts: Historischer Uberblick (5 pages), Gruppen (66 pages) and Modul- und Darstellungstheorie (12 pages). The remaining pages are blank. As a curiosity we note that in the notebook, there is a pink blotter paper with a caricature of the lecturer.

Jarník’s twelfth notebook contains the lectures titled Invariantentheorie delivered by Noether in the summer semester 1923/1924.48 Jarník’s records are divided into four parts: Einführung (11 pages), Formale Processe zur Bildung der Invarianten (12 pages), Symbolische Darstellung (3 pages) and Der Endlichkeitssatz (47 pages).49 Jarník did not note the date of any of the lectures delivered and his records are not easy to read.

The 43 pages of Jarník’s twelfth notebook contain the lectures titled Körpertheorie.50 We do not know the name of the lecturer, the period in which the course was delivered and how many lectures it consisted of because Jarník did not include any dates. From the style of Jarník’s notes and its mathematical content, we suppose that the 44 The “University calendar” for the winter semester 1924/1925, p. 20, provides the following information: Gruppentheorie, Mi. So. 9–11. Prof. Noether. 45 See for exemple E. Noether (N. Jacobson (ed.)): Gesammelte Abhandlungen, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1983, VIII + 777 pages. 46 Noether developed her most important ideas on hypercomplex numbers and groups of characters in her articles Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie, Mathematische Zeitschrift 30(1929), pp. 641–692; Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie in arithmetischer Auffassung, Atti Congresso Bologna, Volume 2, Bologna, 1930, pp. 71–73; Hyperkomplexe Systeme in ihren Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie, Verhandlungen Kongress Zürich, Volume 1, Zürich, 1932, pp. 189–194; Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1926, pp. 28–35; etc. See also E. Noether (N. Jacobson (ed.)): Gesammelte Abhandlungen, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1983, VIII + 777 pages. For a detailed analysis of the historical context and comments on the development of hypercomplex numbers and representation theory see T. Hawkins: Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory, Archive for History of Exact Sciences 8(1972), pp. 243–287. 47 The “University calendar” for the winter semester 1927/1928, p. 23, provides the following information: Hyperkomplexe Größen und Gruppencharaktere, So. 11–1. Prof. Emmy Noether. 48 The “University calendar” for the summer semester 1923/1924, p. 20, provides the following information: Invariantentheorie, Mi. So. 11–1. Prof. Emmy Noether. 49 It is likely that some of lectures were based on Noether’s results published in her papers Zur Invariantentheorie der Formen von n Variabeln, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 19(1910), pp. 101–104; Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen, Mathematische Annalen 77(1915), pp. 89–92; Über ganze rationale Darstellung der Invarianten eines Systems von beliebig vielen Grundformen, Mathematische Annalen 77(1915), pp. 93–102; Invarianten beliebiger Differentialausdrücke, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1918, pp. 37–44; Invariante Variationsprobleme, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1918, pp. 235–257. See also E. Noether (N. Jacobson (ed.)): Gesammelte Abhandlungen, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1983, VIII + 777 pages. 50 The last two pages of the notebook are blank.


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lectures could have been delivered by Noether in the winter semester 1923/1924.51 Unfortunately, Jarník’s records are difficult to read; they are incomplete and disorganized.52

Janík’s notebooks of Noether’s lectures are difficult to read, contain many crossed out, corrections, inaccuracies and omissions. They are more than terrible to read and to analyze. Only native German mathematician specialised in modern algebra and number theory could analyze them and find some new or interesting moments showing the development of Noether’s mathematical ideas and the style of her lecturing. Jarník’s last two notebooks on algebra and analysis

The lectures on Gruppentheorie and Körpertheorie continue in Jarník’s thirteenth notebook which can be divided into five parts: Gruppe (20 pages), Der Jordan-Höldersche Kompositionssatz (23 pages), Körpertheorie (22 pages), Direktes Durchschnitt und direktes Produkt (36 pages).53 Jarník’s records omit the titles and dates of the lectures as well as who gave them.

The lecture on Körpertheorie continues in Jarník’s fourteenth notebook (38 pages), followed by 15 blank pages. Starting from the back of the notebook, one can find 16 pages of a lecture titled Hardyschen Satz which was delivered on July 31, 1924. It should be emphasized that the lectures contained results which were less than fifteen years old. Unfortunately, the name of lecturer was not written.54 But, we should note that this theme was very close to Jarník’s interests.55 Following this lecture are 3 pages with a vague and unintelligible mathematical text.56 51 The “University calendar” for the winter semester 1923/1924, p. 21, provides the following information: Übungen (Vorträge zur Körpertheorie), Mo. 6–7. Prof. Emmy Noether. 52 It seems that some of lectures were based on Noether’s results contained in her works Rationale Funktionenkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 22(1913), pp. 316–319; Körper und Systeme rationaler Funktionen, Mathematische Annalen 76(1915), pp. 161–196; Die arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, in ihrer Beziehung zu den übrigen Theorien und zu der Zahlkörpertheorie, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 28(1919), pp. 182–203; Idealtheorie in Ringbereichen, Mathematische Annalen 83(1921) pp. 24–66; Module in nichtkommutativen Bereichen, insbesondere aus Differential- und Differenzenausdrücken, Mathematische Zeitschrift 8(1920), pp. 1–35 (with W. Schmeidler). 53 The remaining 19 pages are blank. 54 The Hardy-Littlewood Tauberian theorem relates the asymptotics of the partial sums of a series and asymptotics of its Abel summation. The theorem reads as follow: “Suppose ,

as .

Then as ”. For more information see G. H. Hardy: Ramanujan: Twelve lectures on subjects suggested by his life and work, 3rd edition, Chelsea, New York, 1999, pp. 34–35. Sometimes, the theorem is quoted in the equivalent form: “Suppose for all ∈ ,

as , then as tends to ∞, ”. For more information see E. C. Titchmarsh: The theory of

functions, 2nd edition, Oxford University Press, Oxford, 1939, p. 226. In 1914, the theorem was proved by Godfrey Harold Hardy (1877–1947) and John Edensor Littlewood (1885– 1977) (Tauberian theorems concerning power series and Dirichlet’s series whose coefficients are positive, Proceedings of the London Mathematical Society 13(1914), pp. 174–191; see also Contributions to the arithmetic theory of series, Proceedings of the London Mathematical Society 12(1913), No. 1, pp. 411–478). 55 See K. Grandjot, V. Jarník, E. Landau, J. E. Littlewood: Bestimmung einer absoluten Konstanten aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Annali di Matematica Pura ed Applicata 6(1929), No. 4, pp. 1–7. 56 The title of this part is Satz von Lerch. See Lerch’s article O stanovení součinitelů v mocninném rozvoji funkce ζ(s) [On the determination of coefficients in the power series expansion of function ζ(s)], Časopis pro


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Conclusion

Jarník’s mathematical notebooks could be interesting for anyone who wants to understand how modern mathematics grow out of, nourish, diffuse over the world and give inspirations for the creation of new disciplines and futher development of mathematics.

References

[BeNe1] BEČVÁŘOVÁ, M.; NETUKA, I. Jarník’s notes of the lecture course Punktmengen und reelle Funktionen by P. S. Aleksandrov (Göttingen 1928). Edition History of Mathematics, Volume 43, Matfyzpress, Prague, 2010. [BN] BURMANN, H.-W.; NEUENSCHWANDER, E. Die Entwicklung der Mathematik an der Universität Göttingen, pp. 141–159, in SCHLOTTER, H.-G.: Die Geschichte der Verfassung und der Fachbereiche der Georg-August-Universität zu Göttingen,Göttinger Universitätsschrifte, Serie A, Schriften 16, Göttingen, 1994. [FTW] FREI, G.; TOP, J.; WALLING, L. A short biography of B. L. van der Waerden,Nieuw Archief voor Wiskunde, 4th series 12 (1994), No. 3, 137–144.[Nu] NEUGEBAUER, O. Das mathematische Institut der Universität Göttingen, Die Naturwissenschaften 18 (1930), 1–4.[No] NOVÁK, B. (ed.). Life and work of Vojtěch Jarník (1897–1970), Society of Czech Mathematicians and Physicists, Prometheus, Praha, 1999. [S] SCHAPPACHER, N. Das Mathematische Institute der Universität Göttingen 1929–1950, pp. 345– 373, in BECKER, H.; DAHMS, H.-J.; WEGELER, C. (eds.).: Die Universität Göttingen unter dem Nationalsozialismus. Das verdrängte Kapitel ihrer 250jährigen Geschichte, München, 1987.[SS] SIEGMUND-SCHULTZE, R. Rockefeller and the internationalization of mathematics between the two World Wars, Birkhäuser, Basel, 2001.[Wa1] VAN DER WAERDEN, B. L. On the sources of my book Moderne Algebra,Historia Mathematica 2 (1975), 31–40.

pěstování mathematiky a fysiky 43(1914), pp. 513–522.

Martina BečvářováDepartment of Applied Mathematics, Faculty of Transportation Sciences, Czech Technical UniversityNa Florenci 25110 00 Prague 1, Czech Republic E-mail: [email protected] Netuka Mathematical InstituteFaculty of Mathematics and Physics Charles UniversitySokolovská 83186 75 Prague 8, Czech Republic E-mail: [email protected]

Creencias religiosas y matemáticas: el problema de las dimensiones del mar de Salomón

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CREENCIAS RELIGIOSAS Y MATEMÁTICAS: EL PROBLEMA DE LAS DIMENSIONES DEL MAR DE SALOMÓN

José Mª Núñez Espallargas Universidad de Barcelona

Espanha


Resumo

Las relaciones entre creencias religiosas y matemáticas han tenido algunos puntos de fricción. Uno de ellos es el conflicto histórico por las discrepancias en las medidas del llamado Mar de Salomón descritas en el Antiguo Testamento. En este trabajo se analizan diferentes soluciones a este problema, pero especialmente las propuestas por el matemático sefardí Abraham bar-Hiyya (s. XII), que intentó conciliar el rigor matemático con los preceptos religiosos emanados de los textos sagrados y también con las reglas de cálculo práctico recomendadas por los rabinos de su época. Del análisis de las soluciones propuestas obtenemos información sobre las estrategias desarrolladas por este y otros autores para intentar armonizar matemáticas y creencias religiosas. Palavras-chave: Matemática, Historia, Religión, Sefardíes.

[RELIGIOUS BELIEFS AND MATHEMATICS: THE PROBLEM OF THE DIMENSIONS OF SOLOMON'S SEA]

Abstract

The relationship between mathematics and religion have had their points of friction. One was the historical discrepancies in the measures of the so-called Sea of Solomon described in the Old Testament. This paper discusses various solutions to this problem, but especially those proposed by the mathematician Abraham bar Hiyya (s.XII), who tried to reconcile the mathematical rigor with the religious precepts emanating from the sacred texts and also the rules of practical calculation recommended by the rabbis. From the analysis of the solutions proposed we obtain information on the strategies developed by this author and others to try to bring mathematics and religious beliefs.

Keywords: Mathematics, History, Religion, Sephardim.


ISSN 1519-955X

José Mª Núñez Espallargas

RBHM, Vol. 13, no 26, p. 61-72, 2013 62

Este trabajo pretende ser una modesta reflexión sobre las relaciones entre

matemática y creencia religiosa a través del análisis de una situación histórica concreta. Observemos que, muy a grosso modo, tanto la matemática como la religión tienen un rasgo común: son sistemas creados por el hombre que se basan, en última instancia, en un conjunto más o menos amplio de postulados o creencias incuestionables, que acepta la comunidad de “creyentes”, a partir de los cuales se desarrolla el corpus doctrinal. Pero, se diferencian en el modo de desarrollarse y en sus objetivos. En el caso de la matemática, la comunidad es prácticamente universal, se parte de un conjunto de axiomas o postulados rigurosamente definidos y a través de una metodología también perfectamente establecida, se genera un extenso sistema de proposiciones que suelen contrastarse con el mundo real para obtener una mayor constatación de su utilidad social, que es el "leit motiv", generalmente admitido, de su existencia. Las religiones, por el contrario, se desarrollan en comunidades más restringidas, formadas por los grupos humanos que las practican, y sus corpus doctrinales suelen tener su inicio en un texto emanado directamente de una divinidad o dictado por un portavoz de ella y, por tanto, incuestionable e inalterable, al que se le añaden las aportaciones difusas de la "tradición" o las intervenciones puntuales de personajes especialmente infundidos por la divinidad para aclarar el mensaje inicial, pero que, en ningún caso, lleguen a plantear una contradicción con él; no es imprescindible para su pervivencia la confrontación de la doctrina con los hechos reales, aunque todas ellas pretenden erigirse en guías de referencia para el comportamiento humano. De lo dicho se desprende que los puntos de contacto entre matemática y religión no suelen abundar, pues sus respectivos ámbitos se desarrollan usualmente en planos de realidades y objetivos diferentes. No voy a seguir analizando los puntos de encuentro y desencuentro entre matemática y religión, por más que éste es, sin duda, un tema apasionante, sino un caso concreto en el que una “creencia” religiosa entra en aparente conflicto con una "creencia" matemática. Advirtamos que, aunque el ejemplo que presentamos pertenece básicamente al ámbito de una creencia religiosa concreta, la judía, no es difícil encontrar casos semejantes en otras religiones. La situación que voy a comentar gira en torno al conjunto de soluciones que propuso el matemático sefardí Abraham bar-Hiyya a una serie de cuestiones referidas a la exactitud de las medidas del llamado "Mar de Salomón”, descritas en algunos pasajes de la Biblia y que habían provocado un conflicto de interpretación entre los rabinos y los "geómetras". Pero, antes de entrar en el problema propiamente dicho, comentaremos brevemente, algunos aspectos del contexto en el que se plantea. Sobre Abraham bar-Hiyya, notable sabio sefardí, tenemos muy pocas noticias (MILLÁS, 1949). Se suele situar su nacimiento ente los años 1065 y 1070 y su muerte en el 1136. No sabemos el lugar donde vio la luz, ni tampoco donde tuvieron lugar sus años de aprendizaje, pero por sus amplios conocimientos de la matemática y astronomía árabes, éstos sólo pudieron desarrollarse en el ámbito de alguna ciudad, importante culturalmente, del área de dominio musulmán en la Península Ibérica. Tenemos documentada su estancia en la corte del rey aragonés Alfonso I y su posterior paso al servicio de los condes de Barcelona. En esta ciudad transcurrió la mayor parte de su vida activa y fue donde escribió


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sus obras más conocidas. Desempeñó el cargo de savasorda (latinización del término árabe sahib-al-shurta) relacionado con la vigilancia del buen hacer en el comercio de la ciudad y que le valió el sobrenombre con el que fue conocido en tierras cristianas (BENSCH, 2002: 71). Abraham bar-Hiyya escribió varias obras importantes de carácter científico. Citemos el texto astronómico, Séller ha-Ibbur, que constituyó el primer libro en lengua hebrea dedicado exclusivamente al estudio del calendario; la extensa enciclopedia de matemáticas, astronomía, música, etc, Yesod ha-Tebunah we-Migdal ha-Emunah, también la primera en ese idioma; y, especialmente, un manual de matemáticas para agrimensores, Hibbur ha-Meshihah we-ha-Tishboret, sobre el que va a recaer en seguida nuestro interés. Debemos recordar que, nuestro autor, junto con otro sefardí bien conocido, Abraham ibn Ezra, fueron los iniciadores de los estudios escolares de matemáticas en lengua hebrea (LÉVY, 2001). Hasta ese momento los niños judíos realizaban su aprendizaje leyendo la Biblia y, también, el Talmud, texto que ofrece un conjunto de comentarios rabínicos en torno a la exégesis bíblica, que comprenden no sólo cuestiones teológicas, sino también otras de muy diferente índole, incluyendo incluso la matemática aplicada (LÉVY, 1997). Precisamente las iniciativas de eruditos como Abraham bar-Hiyya o Abraham ibn-Ezra van en el sentido de fundamentar más rigurosamente estos comentarios de carácter matemático para evitar errores graves en su aplicación a la vida cotidiana. Pero no debemos entrever, tras estas propuestas innovadoras de Abraham bar-Hiyya, una actitud heterodoxa respecto a la religión, todo lo contrario, su propósito es el conciliar el saber científico y matemático con la revelación divina, de modo que ésta prevalezca siempre en todo momento. En este sentido, debemos recordar que también fue un notable autor de obras filosóficas y teológicas, como el Hegyon ha-Nafesh ha-Azuva, estudio sobre la naturaleza del bien y del mal, o la célebre Megillat ha-Megalleh, que contempla la historia del pueblo judío desde la revelación y constituyó un referente para los rabinos de los siglos posteriores (ASHTOR). Hemos dicho que la obra de Abraham bar-Hiyya que nos va a interesar es el Hibbur ha-Meshihah we-ha-Tishboret, título que podría traducirse por Tratado de medición y cálculo, pues trata de ser un manual práctico dirigido a los agrimensores y a todas aquellas personas encargadas de llevar a cabo mediciones y cálculos de valoración de tierras para herencias, compraventas, arriendos, etc. De este texto, del que no sabemos la fecha exacta en que fue escrito, aunque probablemente la podríamos situar en torno a la segunda década del siglo XII, se conservan algunas pocas copias manuscritas repartidas en archivos y bibliotecas europeas. Hubiera quedado circunscrito al ámbito de la cultura hebraica, si Platón de Tívoli, el fundador de una dinastía de traductores judíos que contribuyeron en gran medida, a través de sus versiones, a la difusión del legado científico árabe, no hubiera realizado una traducción, algo abreviada, al latín. Esta versión conocida como Liber Embadorum vio la luz en 1245 y constituyó uno de los primeros libros de álgebra escritos en latín y, juntamente con la versión del álgebra de al-Kharizmi de Roberto de Chester, aparecida también en el mismo año, las dos primeras obras que mostraban en esta lengua un procedimiento para determinar la solución general de la ecuación de segundo grado (GLICK, 1979: 304). En su versión latina, Platón de Tívoli, suprimió algunos pasajes del original (CURTZE, 1902). El más extenso y significativo es el apéndice que sigue al capítulo


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cuarto, el último de la obra. En él se hacen una serie de observaciones dirigidas específicamente al agrimensor judío y que el traductor consideró, con razón, que no eran de utilidad a los posibles lectores no judíos. Podemos acceder al texto completo gracias a la labor minuciosa del hebraísta alemán Guttmann que, tras comparar todos los manuscritos existentes del Hibbur ha-Meshihah we-ha-Tishboret, realizó, a principios del pasado siglo, una reconstrucción del original, que es considerada por todos los estudiosos la versión de referencia. Existe también una traducción directa del hebreo al catalán llevada a cabo por Millás Vallicrosa sobre la versión de Guttmann y publicada en 1931, en tirada limitada, para la Biblioteca Hebraico-Catalana. En el apéndice en cuestión, Abraham bar-Hiyya, comienza por advertir a sus lectores de la necesidad de fundamentar todos los cálculos que realicen en los principios matemáticos desarrollados en la obra, para evitar caer así en falsedades y fraudes. También insiste en la importancia de las buenas aproximaciones para no cometer errores graves en las medidas de los terrenos. En este sentido, lamenta la ligereza con la que toman algunas medidas y realizan algunos cálculos los "agrónomos de nuestro pueblo", los cuales, para justificarse, señalan como responsables a las enseñanzas de los rabinos. Así afirman, que los rabinos dan la siguiente regla práctica para determinar la diagonal de un cuadrado de lado conocido: "a todo codo en el lado de un cuadrado corresponde un codo y 2/5 en la diagonal" (Párrafo 192). Es decir, que recomiendan 7/5 = 1,4 como valor aproximado de la raíz cuadrada de 2. Es cierto que, en la época en la que se sitúa la obra, los números reales se debían aproximar mediante fracciones, y éste solía ser un cálculo engorroso, pero matemáticos como Abraham bar-Hiyya, alcanzaban, sin dificultad, estimaciones del orden de la centésima de unidad. En el caso de la raíz cuadrada de 2, la aproximación que recomienda Abraham bar-Hiyya en el primer capítulo de la obra es: "la razón de la diagonal al lado del cuadrado es que a todo codo de éste corresponde a la primera un codo más 2/5 más casi 1/70 de codo". Observemos que 1 + 2/5 + 1/70 = 495/350 1,4142, lo que constituye una muy buena aproximación a la √2, indudablemente mucho mejor que la propuesta por los rabinos. Pero Abraham bar-Hiyya no quería entrar en conflicto con las enseñanzas de los rabinos, por lo que explica a los agrónomos que la regla rabínica se aplicaba a las cuestiones relacionadas con un precepto religioso, no a las situaciones seglares en las que las medidas y los cálculos exigían la mayor precisión posible. Con su habitual tono didáctico pone un ejemplo aclaratorio:

"Un caso de objeto de precepto de carácter grave es el relativo al límite del espacio del sábado, los rabinos ordenaron determinar la diagonal con la proporción 1 y 2/5 del lado. Así dijeron: quien ha de medir el lado del cuadrado de una ciudad, lo hará como si fuera una tabla cuadrada de 2000 codos, pero contados en sentido de la diagonal" (Párrafo 192).

Para entender el ejemplo conviene que hagamos una pequeña digresión sobre un precepto del sabbath. El sábado o sabbath es el séptimo día de la semana y, según la religión judía, debe ser dedicado exclusivamente a Dios. El practicante de esta religión debe cumplir una serie de preceptos que afectan a ese día de la semana. Fueron ya establecidos


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por Moisés y aparecen recogidos en el Libro del Éxodo. El precepto que a nosotros nos va a interesar se refiere a la movilidad y el texto bíblico dice respecto a esta cuestión: "Quédese cada uno en su sitio [tienda] y que nadie se mueva de su lugar el día séptimo." (Ex. 16, 29) (Las referencias a la Biblia las hemos tomado de la versión castellana de la Biblia de Jerusalén). Esta prohibición fue pronto considerada como excesiva, pues impedía cumplir con otros deberes religiosos, como era, por ejemplo, la vigilancia del tabernáculo. Por ello, y basándose en otra referencia bíblica: "Pero que haya entre vosotros y el arca [de la alianza] una distancia de unos dos mil codos" (Jos. 3,4) la tradición rabínica estableció como distancia máxima que podía recorrerse en sabbath los 2000 codos (algo menos de un kilómetro). Tan estricta fue esta limitación que esta distancia sirvió para construir o delimitar los poblados y las zonas próximas de cultivos, llegando a constituir una verdadera unidad de longitud, la jornada sabática: "Entonces se volvieron a Jerusalén desde el monte llamado de los Olivos, que dista poco de Jerusalén, el espacio de una jornada sabática" (Hch. 1,12). Por lo tanto, lo que Abraham bar-Hiyya pretende decirnos con su ejemplo, es que los rabinos exigen aproximar la √2 con 1 + 2/5, no por ignorancia de que existen mejores estimaciones, sino para que al utilizar esta aproximación grosera, pero sencilla, en la medida de terrenos, sus límites sirvan para orientar a los fieles en el cumplimiento del precepto sabático, pues al proporcionar una estimación inferior al valor real, no se corre peligro de transgredirlo, aunque sea de un modo involuntario. Sus palabras son bien elocuentes: "Entre nuestros rabinos y los geómetras no hay, por consiguiente, ninguna discrepancia en lo referente al cálculo, sino que aquellos añaden algo a las medidas, con el propósito de dar más margen a las cosas materia de precepto, y así salvaguardarlas" (Párrafo 192). Por ejemplo, si un agrónomo al trazar los límites de un asentamiento cuadrado, da como longitud del lado 1428 codos, obtiene, al aplicar la regla de los rabinos, una diagonal de longitud muy ligeramente superior a 1999 codos, pero utilizando una mejor aproximación de la √2, como la propuesta por el sefardí, el resultado sería de algo más de 2019, distancia que recorrida en sábado supondría un claro incumplimiento del precepto. Nuestro autor comenta, a continuación, otro vicio muy frecuente en los cálculos de los agrónomos de su época y es el referente a la estimación del valor de : "Lo mismo diríamos de otro principio o regla, relativa a la proporción de 3 a 1, entre la circunferencia y el diámetro" (Párrafo 193). El recomienda tomar, en lugar del valor 3, el de 3 + 1/7, conocido ya en la antigüedad y que proporciona una aproximación de hasta las centésimas, para evitar así cometer errores importantes en los cálculos donde aparece este número. Aunque Abraham bar-Hiyya, afirma, como había hecho al comentar la anterior, que esta regla sólo la aplican los rabinos en materia de precepto grave, es consciente de que la cuestión es mucho más delicada por aparecer en la Biblia una cita textual que hace referencia indirecta a ella: "Puede objetarse [a mi argumento] diciendo que en el pasaje bíblico relativo al mar de Salomón se desprende que la proporción de la circunferencia al diámetro es de 3 a 1" (Párrafo 193). Antes de seguir con el razonamiento de Abraham bar-Hiyya debemos hacer aquí también otro pequeño paréntesis para situar adecuadamente el problema en su contexto. Por la Biblia sabemos que David fue el primer rey de los hebreos y que entre sus proyectos estaba el de erigir un templo en homenaje a Yahvé, pero también que no tuvo medios ni


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personas suficientes para realizar obras de envergadura, por que los tuvo que dedicar a guerrear con los pueblos vecinos. Sin embargo, su hijo, Salomón, libre de conflictos armados, dispuso de los medios y de las personas para llevar a cabo la construcción de un gran templo en Jerusalén. Aunque ya no se conserva, muy probablemente se erigió en el solar que hoy ocupa la mezquita de Omar. El grandioso edificio, así como sus dependencias y mobiliario aparecen descritos en el Libro Primero de los Reyes y en el de Libro Segundo de las Crónicas. Podemos encontrar una reconstrucción, así como datos históricos y sociales relacionados con este edificio en muchas obras, por ejemplo, y en lengua española, en la clásica descripción de Delpho o la más moderna y con aparato crítico de la Enciclopedia del Mundo Bíblico (1970: 479-488). En el patio sudeste del Templo el monarca mandó construir un gran recipiente de bronce para contener las aguas lustrales. Este depósito, por la gran cantidad de agua que podía almacenar, se le ha denominado tradicionalmente "Mar de Salomón". Seguiremos la descripción que aparece en el Libro Primero de los Reyes:

"Hizo [Salomón] el Mar de metal fundido que tenía 10 codos de borde a borde; era enteramente redondo, y de cinco codos de altura; un cordón de treinta codos medía su contorno. Debajo del borde había calabazas todo en derredor; había dos filas de calabazas fundidas en una sola pieza. Se apoyaba sobre doce bueyes, tres mirando al Norte, tres mirando al Oeste, tres mirando al Sur y tres mirando al Este; el Mar estaba sobre ellos, quedando sus partes traseras hacia el interior. Su espesor era de un palmo y su borde era como el borde del cáliz de la flor de la azucena." (1 R. 7,23-25).

La relación que encontramos en el Libro Segundo de las Crónicas es casi idéntica:

"Hizo [Salomón] el Mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde. Era enteramente redondo y de cinco codos de alto. Un cordón de treinta codos medía su contorno. Debajo del borde había en todo el contorno unas como figuras de bronce, diez por cada lado, colocadas en dos órdenes, fundidas en una sola masa. Se apoyaba sobre doce bueyes; tres mirando al Norte, tres mirando al Oeste, tres mirando al Sur y tres mirando al Este. El Mar estaba sobre ellos, quedando sus partes traseras hacia el interior. Su espesor era de un palmo, y su borde como el borde del cáliz de la flor de lirio." (2 Cro. 4, 2-4).

Aunque obviamente no existen imágenes del Mar de Salomón, se conservan

algunos antiguos recipientes, la mayoría de pequeñas dimensiones, que se suponen inspirados en su forma. También se ha creído ver una posible influencia en el diseño de la famosa fuente del Patio de los Leones en la Alhambra de Granada, basándose en el panegírico que Salomón Ibn-Gabirol (1021-1058) dedicó a Yusûf Negrela, donde compara el Mar con una fuente donde los bueyes del modelo original han sido substituidos por leones: "Hay un estanque rebosante, parecido al Mar de Salomón, aunque no descansa


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sobre toros. La actitud de los leones en su orilla es como los cachorros rugiendo a la presa, derraman sus entrañas como manantiales..." (REINA, 2007: 244). Llegado a este punto es necesario que hagamos una observación con referencia a las unidades de medida que aparecen en los textos bíblicos citados. Los hebreos utilizaron como sistemas de medidas los que eran habituales en los pueblos con los que habían tenido contacto, como mesopotámicos o egipcios. Y como ellos, tomaron el cuerpo o las actividades humanas de referente. Las equivalencias no fueron siempre las mismas, por ejemplo, antes y después del éxodo, o en el Antiguo y en el Nuevo Testamento. Entre las medidas de longitud menores estaban el codo o ammá, que era la distancia entre la extremidad del codo y la del dedo corazón; el palmo o zéret, distancia entre el extremo del dedo pulgar y el del meñique en la mano extendida, que era aproximadamente igual a medio codo; la mano, palma o tofaj, la separación existente entre los cuatro dedos, considerada igual a un sexto y, en ocasiones, a un quinto de codo; y el dedo o esbá, considerado habitualmente como un cuarto de mano. Aunque he reproducido fielmente ambos textos bíblicos (en la versión citada) la alusión a "palmos" que se hace en ambos, y que coincide con otras versiones españolas que he consultado, creo que debería traducirse mejor por "palmas" o "manos", pues son estas unidades las que aparecen en las citas de Abraham bar-Hiyya, el cual las toma directamente de la versión hebrea de la Biblia y también aparecen así en las referencias talmúdicas que acompañan a su razonamiento. Además, parece más realista, dadas las dimensiones del Mar, suponer que su grosor era de una palma, que no de un palmo. Los partidarios de las reglas de los rabinos tenían un argumento de peso, pues ambos textos bíblicos describen al Mar de Salomón como un recipiente de forma circular con un diámetro de 10 codos y un perímetro de 30, asignando, por consiguiente, al número la grosera aproximación de 3. Pero una ingeniosa argumentación de Abraham bar-Hiyya permite compaginar la palabra divina con los cálculos matemáticos. El razonamiento es el siguiente: nos hace observar que si el perímetro (interior) del Mar mide 30 codos, entonces, considerando el valor de con la aproximación que él recomienda, es decir, 3 + 1/7 = 22/7, se obtiene como medida del diámetro (interior): 210/22 codos. Pero, como el texto bíblico dice que el recipiente tenía un grosor de una mano y "cinco manos es un codo, del modo como computaban nuestros rabinos" (Párrafo 193), entonces para obtener la longitud del diámetro (exterior) del Mar hay que añadir dos manos: 210/22 + 2/5 = 1099/110, es decir, su medida resulta ser muy aproximadamente igual a 10 codos. En resumen, la aparente divergencia se debería a tener o no tener en cuenta el grosor del recipiente, así, cuando en el texto bíblico se indica el valor del perímetro del Mar de Salomón se está refiriendo implícitamente al interior del borde y cuando alude al diámetro se está refiriendo, también implícitamente, al exterior del borde; con esta matización, los datos de las crónicas serían perfectamente coherentes con los principios matemáticos. Si bien la interpretación que nos propone Abraham bar-Hiyya resulta creíble y aceptable, caben todavía otras posibles interpretaciones, aunque quizás más difíciles de armonizar con la literalidad de los textos. Así, por ejemplo, podríamos sugerir otra donde se destacaría más el carácter simbólico del monumento. Advirtamos que ese factor está muy presente en el diseño, basta fijarse en la presencia de los doce bueyes distribuidos de forma centrípeta, que, sin duda, es una alegoría a la expansión de las doce tribus de Israel. Al


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fijarnos en las citas bíblicas observaremos que, al final del fragmento, se dice: "su borde era como el borde del cáliz de la flor de la azucena" o "su borde [era] como el borde del cáliz de la flor de lirio". Si optamos por la azucena, pues también nuestro autor alude a esta flor y, además, en apoyo de esta hipótesis está la abundancia con la se encuentra esta planta, la Lilium candidum, en tierras palestinas, entonces, la flor acampanada de la azucena, con las pétalos abiertos, frecuentemente en número de seis y con una distribución regular, nos recuerda la disposición de un hexágono regular. De suponer que ésta era la forma del borde del Mar de Salomón, entonces las medidas serían absolutamente exactas, pues si diez codos era el diámetro o distancia máxima entre dos vértices del hexágono regular de bronce, el perímetro de su borde sería de 30 codos. Además, esta forma del borde no sería descabellada para el recipiente, pues permitiría imaginar, uniendo los vértices alternos, una estrella de David, el escudo ideado por el padre del constructor del Mar. Lamentablemente, aunque esta interpretación podría gustar a los amantes de los simbolismos, los pasajes bíblicos son contundentes en este punto y afirman que la forma del borde era "enteramente redonda". Tampoco Abraham bar-Hiyya duda en ningún momento de esta forma y los recipientes que se conservan inspirados en el Mar de Salomón tienen todos bordes redondos. Así pues, las referencias a las flores se ha de interpretar, no como una explicación sobre la forma del borde del Mar, que ha quedado explicitada, si no sobre la forma del depósito que lo asemejaba al cáliz de una flor. A continuación Abraham bar-Hiyya se plantea una tarea más difícil: calcular la capacidad del Mar de Salomón. Comienza por determinar la superficie del mismo, multiplicando "la mitad de la circunferencia por la mitad del diámetro" (Párrafo 193), producto que resulta ser igual a 72 y 2/9 codos cuadrados. Recuerda que, en ambos textos bíblicos, se especifica que su altura era de 5 codos y, para poder calcular con exactitud el volumen del recipiente, debe proponer la reconstrucción de su forma espacial. Reproduzcamos sus palabras:

"El Mar de Salomón tenía 5 codos de altura; los dos superiores eran de forma circular, y los tres inferiores eran de forma cuadrada, tal como lo dijeron los rabinos. Y lo mismo se desprende del texto: "Había como unas caras debajo del borde, de 10 codos, a todo el contorno del mar". Se desprende que la parte inferior del Mar era cuadrada y que cada lado medía 10 codos... Si ahora multiplicamos el área de la parte circular, 72 y 2/9, por su altura de 2 codos, tendremos 144 y 4/9 de codos cúbicos, y sumados con los 300 codos cúbicos de la parte cuadrada inferior (10 x 10 x 3), obtendremos que el volumen del Mar de Salomón era de 444 y 4/9 codos cúbicos"(Párrafo 193).

El paso siguiente del razonamiento del sefardí es hallar la equivalencia del valor del volumen determinado en codos cúbicos a otras unidades usuales en época bíblica. Como las de longitud, las unidades de volumen hebreas, fueron tomadas de otros pueblos y adaptadas a sus necesidades. También el cuerpo humano o las actividades humanas servían de modelo. Así, las unidades de capacidad menores eran el puñado o komes, dado por lo que cabía en un puño cerrado y el puñado abierto o jofen, cantidad que podían contener las


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dos manos juntas. Las de tipo medio dependían de la capacidad de los utensilios del agricultor, como la gavilla o omer y el cántaro o kad nevel, muy difíciles de equiparar con las unidades modernas. En la Biblia aparecen citadas bastantes unidades de capacidad de orden superior, algunas sólo en una ocasión, pero las más frecuentemente nombradas son: el jomer, prestada de los mesopotámicos, representaba la carga máxima que podía llevar un asno; el efá, de origen egipcio, equivalía a una décima parte de un jomer y se aplicaba a líquidos; y el bat, medida equivalente a un efá, que, si bien se empleaba más en sólidos, también hay varias referencias utilizado para medir líquidos. Sobre la equivalencia moderna de estas unidades existían opiniones dispares hasta que Albright descubrió, en una de sus excavaciones en tierras palestinas, en Laquis, un fragmento de jarra que lleva grabada la inscripción bt lmlk, que podría traducirse como "bat real", y que permitió a su descubridor estimar la capacidad de un bat en unos 22 litros (SCOTT, 1958). Nos dice Abraham bar-Hiyya: "Si multiplicamos dicha cantidad [444 + 4/9] por 4 + 1/2, o sea los 2000 bat que dice el texto bíblico, de manera que 1 codo cúbico contiene 4 + 1/2 bat". Es decir, aplicando la equivalencia 1 codo cúbico = 4 + 1/2 bat, se obtiene para el volumen del Mar de Salomón la cantidad de 2000 bat. Este valor es exactamente el que aparece en el Libro Primero de los Reyes, al concluir la descripción del Mar de Salomón: "Contenía dos mil batos" (1 R. 7,26). Pero, si fijamos ahora nuestra atención en el Libro Segundo de las Crónicas, también, tras la descripción del depósito, encontramos el siguiente valor sobre su capacidad: "Cabían en él tres mil batos" (2 Cro. 4,5). La diferencia entre ambos textos es evidente y demasiado importante como para pasar desapercibida a los estudiosos del texto bíblico. El sefardí dedicará el párrafo 195 de su obra a intentar explicarla: "Ya que hemos hablado del Mar de Salomón y de sus medidas, vamos ahora a explicar las discrepancias respecto a su capacidad que se encuentran en los textos bíblicos, puesto que en el pasaje del libro de los Reyes se dice que contenía 2000 bat y en el pasaje de las Crónicas se dice que contenía 3000 bat". Comienza por afirmar que la diferencia no puede deberse a un error del cronista, pues éste se limita a transcribir las palabras de Jehová: "Lejos de nosotros el creer una cosa semejante, tratándose de las palabras de Dios vivo". Tampoco la explicación estará en que se trata de unidades diferentes, pues ambos textos son absolutamente explícitos al mencionar la misma unidad, el bat; ni en suponer un distinto valor, pues el bat no sufrió modificaciones de valor apreciables en el Antiguo Testamento. Su argumentación se va a inspirar en una creencia generalizada en las escuelas rabínicas, según la cual "la capacidad aludida en el pasaje de los Reyes se refiere a líquidos, mientras que la capacidad aludida en las Crónicas se refiere a sólidos o áridos". Pero, la explicación ofrecida en estas escuelas no va más lejos, y así la mayoría de fieles creen que la diferencia radica únicamente en este hecho, cuando, como muy bien razona Abraham bar-Hiyya, la diferencia entre medir capacidades iguales de líquidos y de sólidos, puede afectar a su peso, en función de la densidad del producto, pero no a su volumen, que sigue siendo el mismo. Otros creían que la medida del bat no era fija: cuando se refería a líquidos el valor era mayor que cuando se aplicaba a sólidos. También está interpretación es rechazada con ironía por el sefardí: "¿Por qué motivo el bat medida de líquidos ha de ser mayor que el bat que mide los áridos? ¿Por qué no viceversa?".


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Para Abraham bar-Hiyya la diferencia radicaría en el modo de llevar a cabo la medición. Si en un recipiente se vierte líquido hasta llegar al borde, la superficie final es absolutamente horizontal y está a ras del borde. Pero si lo que se vierte es un sólido, como granos de trigo, entonces una parte se amontona en la superficie de modo que forma un cono que sobrepasa el borde del recipiente. Precisamente este hecho, bien conocido, hace que se utilice el rasero para igualar la medida de un sólido a la de un líquido. Si no se utiliza este instrumento, y se llena un recipiente con un árido se obtiene un volumen superior al que se alcanza llenando el mismo recipiente con un líquido. Con el objetivo de calcular el volumen del cono que se crea al verter un árido en un recipiente recurre a la experiencia de los agrónomos en este menester.

"Los peritos dicen: toda medida, la boca de la cual es un cuadrado, si la llenamos vertiendo por encima de su boca un grano como el trigo, el coriandro, el mijo o cualquier otra cosa pequeña y fina, tendremos que el pilón sobre la boca de la medida forma como un cono de altura igual a la mitad del lado de la base, puesto que el ángulo del vértice del cono es un ángulo recto; y mientras el ángulo dicho no pase de recto, la materia amontonada se aguantará y no rodará hacia abajo" (Párrafo 195).

Después nos recuerda lo expuesto en un capítulo anterior (el segundo) sobre

volúmenes de cuerpos geométricos, en el que se demuestra que el volumen de la pirámide recta de base cuadrada y altura igual a la mitad del lado de la base es igual a 1/6 del volumen del cubo de igual base. Con estos precedentes vuelve al problema del cálculo de la capacidad del Mar de Salomón y supone que la forma cuadrada de la base llegará hasta la altura superior, es decir, imagina un paralelepípedo cuya base es cuadrada (10x10) y la altura 5 codos. El volumen de este cuerpo es de 500 codos cúbicos, que, a razón de 4 + 1/2 bat por codo cúbico, suponen 2250 bat. Añadimos ahora el volumen de la pirámide colocada sobre el paralelepípedo, que es 750 bat, y obtenemos 3000 bat. Es evidente, y Abraham bar-Hiyya es plenamente consciente de ello, que estos cálculos están basados en una configuración geométrica del Mar distinta de la que el mismo ha defendido, poco antes, cuando calculaba su volumen. Sabe bien que de realizarse sobre esa otra configuración el resultado ofrecería un valor del volumen total inferior y por lo tanto no acorde con la referencia bíblica. Por ello propone la siguiente explicación a la discrepancia textual:

"De manera que en el pasaje visto del libro de los Reyes, el texto nos informa del volumen del mar de Salomón en el cual los dos codos superiores son de forma circular, mientras que en el pasaje de las Crónicas el texto informa del volumen que contendría el mar de Salomón si todo el recipiente tuviera la forma cuadrada de la base, sumándole, además, el volumen correspondiente a la pirámide que podría amontonarse encima".

Refuerza su tesis haciéndonos ver una sutileza semántica: en la cita del Libro de

los Reyes se dice "contenía", dándose por supuesta su alusión a un líquido (agua lustral) y


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en la del Libro de las Crónicas el verbo utilizado es "caben", que se referiría al material sólido que podría amontonarse dentro del recipiente. La posibilidad que abre Abraham bar-Hiyya al aceptar formas geométricas diferentes para el Mar de Salomón, siempre que se respeten las dimensiones básicas conocidas, constituye una vía sugerente para proponer otras soluciones del problema distintas de las del sefardí. Pero caben también otras posibilidades diferentes a la del cambio de forma. Un buen ejemplo es la solución propuesta por Conrad Schick (1896: 118-119), arquitecto alemán que estuvo durante muchos años colaborando en los trabajos de excavación y limpieza en los lugares santos de Jerusalén, y que escribió, a finales del siglo XIX, una extraordinaria monografía sobre el templo de Salomón y las reconstrucciones posteriores. En el apartado dedicado al “mar de bronce” (das eherne Meer) discrepa de las interpretaciones rabínicas basadas en cambios de formas no descritas en el texto bíblico y cree que la solución debe buscarse en otra concepción del monumento. Afirma que los bueyes estaban huecos y por su interior pasaban tubos. Estos tubos permitían que por la boca de los bueyes saliera agua que se recogía en unos pequeños recipientes situados a sus pies. De este modo los fieles podían hacer sus abluciones más cómodamente. Además este modelo se asemeja a las fuentes árabes construidas bajo la inspiración del Mar de Salomón, como la de la Alhambra, en la que la boca de los leones vierte continuamente agua. Calcula, por las dimensiones del recipiente mayor, que el diámetro de estos pequeños depósitos bajo la boca de los bueyes debería ser de 12 o 13 codos y la profundidad de 3/4 de codo. Estos datos le permitían estimar la capacidad de todos ellos en unos 1000 bats, lo que explicaría la diferencia entre los dos textos del Antiguo Testamento, uno habla de la capacidad de únicamente el recipiente mayor y el otro de toda la fuente. Pero la interpretación de Schick, aunque es altamente sugerente, tampoco se apoya en las referencias bíblicas estrictas. Hemos expuesto un ejemplo de como pueden compaginarse las creencias religiosas con los conocimientos matemáticos. Abraham bar-Hiyya debe acomodar el texto bíblico, es decir, la palabra inspirada por Dios, a los principios matemáticos que él conoce y enseña en su texto. Por encima de los aspectos anecdóticos se vislumbran los recursos y las distintas estrategias a las que debe recurrir para alcanzar sus objetivos. Ante la primera situación, la determinación demasiado imprecisa de la diagonal de un cuadrado, opta por aceptar la incorrección de unas reglas (las excesivamente groseras aproximaciones que imponían los rabinos en algunos cálculos) por interpretar que iban dirigidas a un público no preparado y aplicadas, exclusivamente, con la intención de evitar la posible trasgresión de una norma religiosa. Diferente estrategia desarrolla cuando aborda la cuestión de la relación entre el perímetro y el diámetro del borde del Mar de Salomón; aquí juega con la ambigüedad del texto, que no distingue entre medida interior y exterior, para resolver hábilmente el problema. Pero el escollo más difícil se le presenta ante la discrepancia explícita entre dos pasajes bíblicos: en esta ocasión sigue apoyándose en la ambigüedad de los textos y, al mismo tiempo, debe tener en cuenta, para no contradecirlos, los razonamientos de los rabinos sobre esta cuestión expuestos en los comentarios talmúdicos. Consigue también salir airoso recurriendo a todo su saber matemático y a su ingenio. Al margen de las hábiles interpretaciones de Abraham bar-Hiyya caben, como hemos visto, otras soluciones, acordes con el simbolismo religioso o con el sentido práctico, más libres respecto a la fidelidad a los textos sagrados, pero sin llegar a


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contradecirlos. En conclusión, el problema de las dimensiones del Mar de Salomón, como otros conflictos entre matemática y fe religiosa pueden generalmente resolverse sin llegar a afectar los fundamentos de ninguna de las dos creencias, gracias, por un lado, a la ambigüedad característica de la mayoría de textos religiosos y, por el otro, a la habilidad y creatividad matemática de los que buscan la conciliación. Además, y como se suele decir en matemáticas: la solución no siempre es única. Bibliografia ASHTOR, E. 1984. The Jews of Moslem Spain. Vol. 3. Jewish Publication Society, Philadelphia. BAR-CHIJA, A. 1912. Chibbur ha-Meschicha veha-Tischborelt. Lehrbuch der Geometrie. (Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von M. Guttmann),Verein Mekize Nirdamim, Berlin. BAR-HIIA, A. 1931. Llibre de geometria. Hibbur hamesxiha uehatixboret (Versió del hebreu per J. Millás i Vallicrosa). Ed. Alpha, Barcelona. BENSCH, S. 2002. Barcelona and its Rulers, 1096-1291. Cambridge University Press, Cambridge. BIBLIA DE JERUSALÉN. 1967. Desclée de Brouwer, Bilbao. CURTZE, M. 1902. “Der Liber Embadorum des Abraham bar Chija Savasorda in der Übersetzung des Plato von Tivoli” en Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, vol. 12, pp.121–183. Teubner, Leipzig. DELPHO, C.A. 1890. Breve descripción y plano de la ciudad de Jerusalén y lugares circunvecinos (Como estaba en tiempo de Ntro. Señor Jesucristo compuesta en latín por Cristiano Adricomio Delpho en 1584 y traducida al castellano por el P. Vicente Gómez), Clemente Padró y Pou, Barcelona. ENCICLOPEDIA DEL MUNDO BÍBLICO. 1970. Vol. 2. Plaza & Janés, Barcelona. GLICK T. 1979. Islamic and Christian Spain in the early Middle Ages. Princeton University Press, Princeton. LÉVY, T. 1997. "The Establishment of the Mathematical Bookshelf of the Medieval Hebrew Scholar: Translations and Translators" en Science in Context, núm.10, pp. 431-451. LÉVY, T. 2001. “Les débuts de la littérature mathématique hébraïque: la géométrie d’Abraham bar Hiyya (XIe-XIIe s.)” en Micrologus, núm. IX, pp. 35-64. MILLÀS I VALLICROSA, J. 1949. “La obra enciclopédica de R. Abraham bar Hiyya” en Estudios sobre historia de la ciencia española. C.S.I.C. , Barcelona, pp. 219-262. REINA, M.F. 2007. Poesía andalusí, Editorial Edaf, Madrid. SCHICK, C. 1896. Die Stiftshütte, der Tempel in Jerusalem in der Tempelplatz der Jetztzeit. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin. SCOTT, R.B.Y. 1958. “The Hebrew Cubit” en Journal of Biblical Literature, vol 77, núm 3, pp. 205-214.

José Mª Núñez Espallargas Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Barcelona. Espanha

E-mail: [email protected]

Fontes Históricas nas salas de aula de Matemática: o que dizem os Estudos Internacionais

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FONTES HISTÓRICAS NAS SALAS DE AULA DE MATEMÁTICA: O QUE DIZEM OS ESTUDOS INTERNACIONAIS

Bernadete Morey

Universidade Federal do Rio Grande no Norte – UFRN – Brasil


Resumo O uso de fontes históricas nas salas de aula de matemática é reconhecidamente uma tarefa complexa. Mesmo assim, é um dos modos que a comunidade internacional de educadores matemáticos tem lançado mão ao introduzir a história da matemática no ensino e na aprendizagem de matemática. Diante disso surgem duas questões: O que tem sido feito para viabilizar o uso de fontes históricas em sala de aula? Quais argumentos têm sido usados para justificar tal uso? No presente artigo apresentamos alguns dos aspectos relevantes da produção em artigos de periódicos e anais de eventos da última década na temática em discussão. Palavras-chave: Matemática, História, Fontes históricas no processo de ensino e aprendizagem, Educação Matemática.

[HISTORICAL SOURCES IN MATHEMATICS CLASSROOMS: WHAT THE INTERNATIONAL STUDIES SAY]

Abstract

The use of historical sources in mathematics classrooms is admittedly a complex task. Still, it's one of the ways that the international community of mathematics educators has availed itself of in order to introduce the history of mathematics in the teaching and learning mathematics. Thus two questions arise: What has been done to facilitate the use of historical sources in the classroom? What arguments have been used to justify such use? In this paper we present some of the relevant aspects of production in journal articles and conference proceedings of the last decade in the theme under discussion.


ISSN 1519-955X

Bernadete Morey

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Keywords: Mathematics, History, Historical sources in teaching and learning process, Mathematics Education.

Introdução

Os modos de introduzir a história da matemática no ensino de matemática são bastante variados tanto em sua forma como em seus objetivos. Existem, inclusive, publicações que procuram organizar a literatura proveniente deste tema. Podemos citar, por exemplo (JANKVIST, U. T., 2009) e (TZANAKIS, C. e THOMAIDIS, Y., 2011).

Nosso estudo partiu de uma varredura nos artigos de periódicos e anais de eventos internacionais1 publicados a partir de 2001 e que relacionam educação matemática e história da matemática, focando nossa atenção mais especificamente nos trabalhos que têm como proposta o uso da história da matemática em sala de aula. Fizemos uma busca relativa ao período 2001-2013 que incluiu as publicações:

O periódico Educational Studies in Mathematics;

Os anais dos eventos European Summer University on the History and Epistemology in Mathematics Education (ESU)2;

Os anais dos HPM’s - History and Pedagogy of Mathematics, satellite meeting of the ICME3;

Os anais do CERME – Congress of European Research in Mathematics Education4.

Um dos resultados apontados neste primeiro estudo foi que os autores quando falam sobre o uso da história da matemática nas salas de aula de matemática já subentendem que tal uso se faz por meio da introdução de fontes originais na sala de aula (BARONI, R. e MOREY, B., a aparecer). Cabe aqui dizer que o termo fontes originais é usado por muitos autores educadores matemáticos para se referir a textos saídos da mão do matemático profissional. Não importa se está na língua original ou se foi traduzido. Como veremos no decorrer do presente artigo, traduções para a língua vernácula feita com finalidades educativas, são chamadas pelos autores de fontes originais (original sources).

No ano 2000 publicou-se, editado por John Fauvel e Jan van Maanen, um livro que se tornou referência para aqueles que se interessam pelos temas que relacionam a história da matemática à educação matemática. A obra foi uma produção coletiva de autores de diversos países que reuniu o que havia de mais recente até aquela época (Ver FAUVEL & 1 Atualmente, a maioria dos trabalhos produzidos sobre o uso da história da matemática em sala de aula são publicados na Europa. 2 O ESU-6 realizou-se em Viena em julho de 2010 e o ESU-7 está previsto para se realizar em Aarhus, Dinamarca, em julho de 2014. 3 O HPM 2012 realizou na Corea em Daejeon como satellite meeting do ICME-12. O ICME-13 é previsto para 2016 em Hamburgo na Alemanha. O HPM que lhe é atrelado ainda não tem cidade definida. 4 O CERME acontece todos os anos ímpares no mês de fevereiro em algum país da comunidade europeia.


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MAANEN, 2000). Apontava vários caminhos de desenvolvimento e muitas direções a serem tomadas, porém, a maioria dos trabalhos eram estudos de natureza teórica cuja principal contribuição era argumentar a favor do uso da história da matemática em sala de aula da matemática sem grandes bases empíricas. Em 2004 Man-Kung Siu dizia sobre os estudos publicados na temática história e educação matemática:

“A maioria destes estudos discute a importância e o papel da história da matemática no processo de ensino e aprendizado da matemática. Contudo, poucos estudos discutem se de fato a história da matemática leva de fato ao aprendizado da matemática.5” (SIU, 2004, p. 268)

No entanto, publicações apoiadas em pesquisa empírica mais elaborada começaram a surgir ainda que lentamente e os resultados não se constituem mera confirmação das hipóteses e suposições levantadas anos atrás. O caráter inovador às vezes se apresenta na abordagem do pesquisador ao colocar a questão de pesquisa, às vezes no viés novo do resultado obtido. O estudo (BARONI e MOREY, a aparecer) citado acima analisa, dentre as publicações descritas acima, apenas aquelas que têm forte vínculo com aplicação em sala de aula.

No presente artigo iremos nos deter num viés ainda mais específico, ou seja, nos deteremos na apresentação de como os autores usam fontes originais da história da matemática em sala de aula, quais são seus argumentos ao fazê-lo e que interpretação dão aos resultados obtidos.

Este artigo vem estruturado em introdução, três sessões e observações finais. Em cada uma das três sessões apresentaremos brevemente uma publicação na qual o autor escreve sobre uso de fontes originais e discutiremos em quais aspectos está a relevância do trabalho em destaque.

1. Fontes históricas no processo de ensino e aprendizado de um tópico/conceito matemático

No evento ESU-6 foi apresentado um trabalho (ver GLAUBITZ, 2010) no qual se discute modos de uso das fontes histórias e sua eficácia quanto ao aprendizado da matemática. O artigo consiste na apresentação de resultados de pesquisa empírica e o autor, Michael R. Glaubitz, anuncia como objetivo do artigo

5 No original: The majority of these studies discuss the importance and the role of the History of Mathematics in the process of the teaching and learning of Mathematics. However, few studies discuss whether the History of Mathematics in fact leads to the learning of Mathematics.

Bernadete Morey

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“Descrever o arcabouço teórico e os resultados empíricos de um estudo comparativo no qual fontes originais foram usadas em sala de aula de matemática de acordo com a abordagem genética, hermenêutica e convencional.”6 (GLAUBITZ, 2010, p. 351)

No artigo em questão o autor focou sua atenção no uso ou não uso da história da matemática como recurso didático e, em caso de uso, qual o melhor caminho para se fazê-lo. Desenvolveu então um estudo comparativo na forma de experimento pedagógico sobre o ensino e aprendizado do tópico A equação do segundo grau e a fórmula quadrática cujo objetivo era verificar a eficácia no aprendizado do tópico acima anunciado em relação ao método de ensino adotado. O aprendizado do tópico incluiu aprender as principais propriedades, dominar os métodos de resolução e aplicar o aprendido na resolução de problemas do dia a dia.

Os dados obtidos no experimento pedagógico foram coletados a partir de três grupos de alunos que passaram pelo processo de ensino e aprendizagem do mesmo tópico (A equação do segundo grau e a fórmula quadrática) mas com distintas abordagens de ensino:

Com um grupo de alunos adotou-se o método convencional de ensino, ou seja, foram ministradas aulas expositivas seguidas de exercícios de fixação e aplicação, sem participação alguma da história da matemática.

Com outro grupo de alunos adotou-se o que Glaubitz chamou de abordagem genética. Tal abordagem de ensino foi caracterizada pelo autor como ensino por meio de uma coleção de textos históricos do passado que têm relação com equações quadráticas e destacam alguns dos seus importantes estágios (GLAUBITZ, 2010, p. 354)7. Os textos históricos utilizados foram: um papiro egípcio do qual se estudou o método da falsa posição, tabletes babilônios de onde se estudou o métodos de completar quadrado e matemática árabe (de onde se estudou as equações tipo 1, tipo 2 e tipo 3). Esperava-se que o aluno, ao fazer as leituras dos textos históricos em linha ascendente, percebesse os principais estágios do desenvolvimento do conceito8.

6 No original: This article describes the theoretical framework and empirical results of a threefold comparative study in which original sources were used in the ordinary mathematics classroom according to a genetic, hermeneutic and conventional approach. 7 No original: but a collection of work from the past that is related to quadratic equations and highlights some important stages. 8 No artigo diz apenas que os textos históricos utilizados foram: um papiro egípcio do qual se estudou o método da falsa posição, tabletes babilônios de onde se estudou o métodos de completar quadrado e matemática árabe de onde se estudou as equações tipo 1, tipo 2, tipo 3 e prefácio do autor. A informação vem em forma de tabela sem mais detalhes.


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Já com o terceiro grupo adotou-se uma abordagem que Glaubitz chamou de hermenêutica. Na abordagem hermenêutica segundo Glaubitz, não se espera que o estudante trace a história do pensamento que o conduz das raízes do passado aos padrões de hoje. Isso porque o estudante deve estar familiarizado com o tópico antes mesmo de tocar no texto histórico de que trata o tópico. Ao invés disso, os estudantes são chamados a examinar uma fonte histórica detalhadamente, explorando-a em seus vários contextos de natureza histórica, religiosa, científica entre outras.

O artigo detalha as condições em que os dados do experimento pedagógico foram colhidos como, por exemplo, aplicação de provas, entrevistas, número de alunos, classes e professores participantes, conteúdo ministrado dia por dia, entre outros. Tal detalhamento é importante para salvaguardar a validade do experimento realizado, mas sai do foco de nosso interesse, pois, não nos interessa discutir aqui o quanto o experimento pedagógico foi colocado corretamente ou não, mas sim, discutir como e sob que argumento os educadores matemáticos estão usando fontes originais na educação matemática.

Enfim, o que importa aqui é apontar uma produção bibliográfica na qual o pesquisador e educador matemático se propõe a responder, por meio de resultado de pesquisa empírica questões sobre se e como a história da matemática pode levar ao aprendizado da matemática. Este é justamente o tipo de produção que SIU (2004) diz não existir. De fato, o artigo que agora apresentamos é um dos poucos em sua categoria.

2. Leitura de fontes históricas por alunos do secundário e a escolha de sua futura carreira de estudos superiores

Jankvist (2012) desenvolveu em seu país, a Dinamarca, um trabalho cujo objetivo era dar aos estudantes do final do ensino médio uma clareza maior sobre o que é ser um matemático, o que faz um matemático. Segundo o autor, isto se faz necessário, pois, quando o jovem opta por estudar matemática no curso superior ele tem pouca ou nenhuma ideia sobre qual é o verdadeiro trabalho que um matemático desenvolve em sua vida profissional. Segundo o autor um trabalho em história da matemática calcado em fontes originais permite ao aluno do ensino médio fazer uma escolha mais consciente, pois o livro texto ou didático está longe de proporcionar isto.

O autor conta que entre fevereiro de 2010 e maio de 2012 ele acompanhou 26 alunos do ensino médio por meio de módulos de ensino no qual se fez a leitura de fontes originais. O propósito geral dos módulos de ensino era introduzir os alunos a aspectos da história, aplicação e filosofia da matemática e, além do mais, fazer isto simultaneamente num módulo baseado na leitura de fontes originais (JANKVIST, 2013). Foram então organizados 2 módulos e o primeiro deles foi implementado em abril-maio de 2010. Os estudantes leram 3 textos traduzidas para o dinamarquês:

LEONHARD EULER, 1736. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentes;

Bernadete Morey

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EDSGER W. DIJKSTRA, 1959. A Note on Two Problems in Connexion with Graphs;

DAVID HILBERT, 1900: Mathematische Probleme – Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongress zu Paris 1900 (a introdução). O tema do módulo eram os problemas matemáticos colocados por Hilbert na

introdução de sua conferência de 1900. No entanto, a fim de tornar as observações de Hilbert um pouco mais concretas, os estudantes tiveram primeiro que ler os outros dois textos, cada um dos quais tratava de um problema matemático. O artigo de Euler é o das pontes de Königsberg considerado hoje como o início da teoria dos grafos. O algoritmo de Dijkstra de 1959 resolve o problema de encontrar o caminho mínimo num grafo conexo e ponderado. Hoje muito usado em aplicações de Internet que tem a ver com menor distancia, caminho mais rápido ou mais baixo custo. Dijkstra também discute um método para encontrar a árvore de dispersão mínima, problema aplicado hoje, por exemplo, para otimizar fiação telefônica entre outras coisas.

O segundo módulo de estudos também usou três fontes:

GEORGE BOOLE, 1854. An Investigation of the Laws of the Thought on which Area Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (capítulos II e III)

CLAUDE E. SHANNON, 1938. A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits (first parts)

RICHARD W. HAMMING, 1980. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics

Neste segundo módulo, o objetivo também era chegar no terceiro artigo. Nele Hamming discute a efetividade não razoável da matemática (grifo do autor) do ponto de vista da engenharia e da ciência da computação e se pergunta como é que uma matemática tão comparativamente simples pode ser suficiente para predizer tantas coisas, nisto consistindo o aspecto ‘não razoável’. Para que os estudantes pudessem conhecer um possível exemplo concreto disto, eles foram primeiramente introduzidos à álgebra binária no contexto concebido por Boole em 1854 quando ele tentava descrever a linguagem (e o pensamento) de um ponto de vista lógico. A seguir os estudantes viram como Shannon, em 1938, apoiando-se no conjunto de postulados da álgebra booleana (0.0 = 0; 1+1 = 1; 1+0 = 0+1 = 1; 0.1 = 1.0 = 0; 0+0 = 0; 1.1 =1) e, interpretando-os em termos de circuitos, foi capaz de deduzir teoremas que podem ser aplicados na simplificação de circuitos elétricos.

Ao final dos módulos os estudantes responderam um questionário com três perguntas e depois foram entrevistados individualmente com base no questionário respondido. As perguntas eram:


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1. Os dois módulos deram a você uma visão diferente do que é a matemática; como ela vem a acontecer; e para o que ela é usada? Se sim, explique como e em que sentido. Se não, então, por que não?

2. Os dois módulos encorajaram você a estudar ou se envolver de alguma forma com a matemática (e/ou ciências naturais) depois da escola secundária? Se sim, explique como e por que. Se não, por que não?

3. Tenha você respondido ‘sim’ ou não à questão 2 acima, você considera que os dois módulos deram a você elementos mais esclarecedores baseados nos quais você pudesse tomar a decisão de deixar ou não a matemática (e/ou ciências) fazer parte de sua educação futura?

No artigo Jankvist tece várias considerações a título de conclusão sobre:

os dados obtidos nas entrevistas e como eles foram obtidos;

o resultado obtido e já esperado (por não se constituir uma novidade) de que o trabalho com fontes originais pode, sim, despertar um alguns alunos o interesse pela carreira em ciências e/ou matemática;

e, principalmente,

o que o autor considera um viés novo, confirmado pela correlação positiva entre as perguntas 1 e 3, ou seja: o que ele considera resultado novo é a constatação que um trabalho com fontes originais (nestes moldes) permite ao aluno do ensino médio uma escolha mais consciente de seguir ou não a carreira em matemática ou ciências exatas, o que vai trazer consequências positivas para a educação matemática no ensino superior. Alguns dos entrevistados gostaram do trabalho porque mostrou a eles que definitivamente não é isto que querem fazer. O autor considera que uma escolha mais consciente vai ter reflexos no problema de retenção (repetência) dos alunos.

No entanto, para os objetivos de nosso presente artigo, convém observar que os textos históricos lidos e discutidos no experimento relatado foram traduzidos para o dinamarquês e refletir um pouco sobre esta observação. O artigo não dá pistas para saber se estava ou não na pauta de discussão com os alunos se e em que medida uma tradução pode ou não interferir no pensamento do autor original. A relevância da observação aqui levantada se deve ao fato de que muitas respostas dos alunos às questões da entrevista se reportavam ao fato de, na metodologia de estudo adotada, podia-se “acompanhar de perto o pensamento do autor/matemático”. Nossa suposição é que o autor Jankvist priorizou o fato de estar realizando um trabalho com alunos do ensino médio, um trabalho mais centrado no conteúdo matemático dos artigos originais, e, portanto, o material de leitura apenas foi traduzido para o dinamarquês e colocado à disposição dos alunos. O autor reconhece as fontes usadas como originais uma vez que dá ao artigo o título de The Use of Original Sources and its Possible Relation to the Recruitment Problem. Tendo em vista ao público a que se destina e o objetivo do experimento relatado, não vemos nisto um problema, isto não desmerece o trabalho realizado.

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Notemos que no artigo que estamos analisando foram usados seis textos agrupados de três em três: no primeiro grupo temos Euler (1736), Dijkstra (1959) e Hilbert (1900) e no segundo grupo, Boole (1854), Shannon (1938) e Hamming (1980). É difícil, para qualquer um que tente, encontrar textos históricos que sejam encadeados, que possam ser interpretados como sendo uma continuidade do mesmo veio do pensamento matemático e que, além disso, sejam acessíveis aos alunos no secundário9. Um conjunto tal de textos não se obtém momentaneamente e quando se obtém, é coisa para se tornar pública e divulgada.

Mas há outro aspecto que consideramos ainda mais notável no artigo de Jankvist que é o modo de usar fontes históricas no processo de ensino e aprendizagem: faz-se a leitura de várias fontes, que são, de certo modo e em certa medida, relacionadas; uma dá continuidade à outra, mas o que se quer discutir mesmo não está ali em cada um dos textos. O que se quer discutir são relações e ideias que saem do conjunto de textos. Um trabalho como este tem, na verdade, várias camadas de compreensão. Tantas que, para que ele seja compreendido em toda a sua extensão e profundidade, deveria ser replicado10 por alguns de nós educadores que trabalhamos com história da matemática nas licenciatura. Fica aqui nossa recomendação.

3. Fontes históricas no aprimoramento profissional de professores

O terceiro artigo que queremos aqui apresentar ao leitor vem numa direção distinta, isto é, usa fontes históricas na formação de professores. Seu objetivo, como declaram os autores, é descrever e analisar uma abordagem para desenvolver nos professores a capacidade de ouvir produtivamente, elemento importante da base de uma educação construtivista.

O ouvir os alunos para os autores é definido do seguinte modo: dispensar cuidadosa atenção a escutar o que os alunos dizem (e ver o que eles fazem), tentando entender o dito e suas possíveis razões e desdobramentos. Neste sentido ouvir não é uma atitude passiva, pelo contrário, inclui os componentes:

1. detectar, reter e criar oportunidades em que os alunos são propensos a se envolver em expressar livremente as suas ideias matemáticas;

2. questionar os alunos, a fim de descobrir a essência e as fontes de suas ideias;

3. analisar o que se ouve (por vezes em colaboração com os pares) e fazer o enorme esforço intelectual para assumir a "perspectiva do outro" a fim de entendê-la em seus próprios méritos;

9 O que implica que a matemática tem de ser compreensível para um grande publico e não apenas para matemáticos profissionais. 10 Pelo menos um dos três textos do primeiro módulo já se encontra traduzido para o português. É o texto de Hilbert e foi traduzido por Sergio Nobre. Pode ser encontrado na Revista Brasileira de História da Matemática Vol. 3 N.5, de abril de 2003.


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4. decidir em que aspectos o ensino pode integrar produtivamente ideias dos alunos.

Os autores Arcavi e Isoda propõem então uma abordagem para desenvolver e fomentar a capacidade de descentrar-se, despir-se de si mesmo, a fim de ouvir as perspectivas e ideias do outro. A abordagem consiste numa maneira especial de trabalho destinado a apoiar a compreensão de determinado tipo de fontes primárias da história da matemática. Os pressupostos básicos são os seguintes:

(a) A fim de compreender plenamente as ideias por trás de uma fonte histórica (matemática), é necessário um tipo semelhante de descentramento para ouvir os alunos;

(b) Tal descentramento pode ser aprendido e

(c) O ambiente de aprendizagem para apoiar esse aprendizado pode e deve ser projetado.

O argumento usado por Arcavi e Isoda para sustentar sua proposta é que a história da matemática pode proporcionar abordagens para solucionar problemas que são muito diferentes das comumente usadas hoje em dia. Tais processos de solução, isto é, os usados nos textos históricos, pode esconder o raciocínio por trás deles. Assim, o leitor do texto tem de se envolver em um exercício de "decifração", a fim de entender o que foi feito, qual poderia ter sido o raciocínio por trás dele e qual é o substrato matemático que pode fazer com que uma abordagem ou método incomum seja considerado válido, e, possivelmente, geral. Engajar-se em tal exercício, segundo os autores Arcavi e Isoda, tem algumas semelhanças com o processo de compreender o que está por trás do pensamento e as ações dos nossos alunos. Eles não reivindicam um paralelismo entre a matemática subjacente nas fontes primárias e a de nossos alunos. O que alegam é que experimentar o processo de compreensão da abordagem matemática de uma fonte histórica primária pode ser uma boa preparação para ouvir os alunos. Para sustentar seu argumento detalham dois pontos:

Primeiro. As respostas dos alunos, quando diferem do esperado, muitas vezes são facilmente descartadas. Ao se deparar com uma fonte histórica, com uma abordagem de solução estranha (para nós), sabemos que as melhores mentes do seu tempo e cultura estão por trás daquela solução. Portanto, um texto histórico não pode ser tão facilmente descartado em função da dicotomia certo-errado, como é geralmente o caso com as respostas dos alunos. A fonte histórica tem que ser examinada em todas as suas particularidades, e muitas vezes nossos próprios entendimentos não podem ser imediatamente projetados sobre ela; nesse caso, é preciso que se mergulhe na própria natureza do texto e, ao fazer isto, um primeiro obstáculo na difícil tarefa de descentramento é removido. A repetição deste exercício pode apoiar tanto o desenvolvimento do hábito de não dispensar de imediato qualquer solução apresentada pelo aluno quanto o da busca de sua abordagem matemática idiossincrática.

Segundo. Ao se deparar com uma fonte histórica, inicialmente enigmática, temos de desenvolver ferramentas para fazê-la tomar sentido. As principais ferramentas podem consistir em: análise da fonte, colocar a nós mesmos questões sobre o texto, parafrasear partes do texto em nossas palavras e anotações, resumir os entendimentos parciais, localizar

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e verbalizar o que ainda está para ser esclarecido, e contrastar diferentes partes com a finalidade de obter coerência. Em certo sentido, isso implica em algum tipo de prática "hermenêutica" (interpretativa). Por outro lado, mesmo sem se referir a fontes históricas, quando usamos deliberada ou inconscientemente nossa própria matemática para dar sentido a um texto matemático, podemos não avançar ou mesmo cair em contradição. Neste ponto nós começamos a fazer perguntas: o que está escrito? Por que o autor escreveu desse modo? Quais são as suposições aqui escondidas? Se o texto diz A e A implica em B – onde está B no texto? Tal questionamento pode nos levar a adotar a perspectiva do autor. Tal prática pode ajudar a desenvolver uma compreensão do texto que então precisa ser reconfirmada por meio de um processo recursivo de algum modo (por exemplo, aplicando nossa compreensão a textos similares, exemplos ou problemas). Propõe-se então que tais processos e ferramentas hermenêuticas, normalmente destinadas à compreensão de textos históricos, podem muito bem servir ao professor na tentativa de compreender as ideias de seus alunos.

Em suma, para os autores, ler e compreender certas fontes primárias pode resultar na aquisição de habilidades e ferramentas necessárias para aprender a ouvir os alunos. O workshop referente a este trabalho foi realizado com 17 professores de escola da secundária no Japão, 15 deles recém graduados e 2 outros já professores experientes. O texto histórico usado foi parte do Papiro de Rhind (problemas 74, 52, 24 e 25).

O relato minucioso dos vários aspectos do workshop levado a cabo não cabe no escopo de nosso presente artigo, pois, o leitor interessado pode consultar o original ARCAVI e ISODA (2006). Queremos então chamar a atenção para o seguinte fato: a leitura, a interpretação, o trabalho feito com o texto histórico tinha o objetivo de desenvolver certa habilidade pedagógica nos professores, a habilidade de ouvir.

Observações finais

Algumas observações e reflexões finais devem ser feitas para finalizar este artigo. A primeira delas é sobre a riqueza de objetivos que podem se traçados pelo educador matemático que se dispõe a inserir fontes originais no processo de ensino e aprendizado de matemática. No presente artigo, das três publicações analisadas, cada uma delas constituiu-se num estudo no qual fontes originais foram usadas para atingir objetivos educacionais distintos.

De modo geral, uma das muitas dificuldades de se trabalhar com fontes originais é a barreira linguística. Tal dificuldade surge em todos os lugares sem exceção variando apenas na sua intensidade, em alguns lugares a dificuldade é maior, em outros é menor e noutros é maior ainda. Mas, via de regra, o texto histórico original está escrito numa língua que não é a mesma do estudante. No entanto, os educadores matemáticos têm encontrado meios de contornar esta dificuldade muito paulatinamente, seja por meio de traduções, muitas vezes feitas pelo próprio educador matemático, ou ainda, criando, aos poucos, um acervo de obras em sua língua materna, na língua falada pelos seus alunos.


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Nenhuma publicação, nenhum autor dos analisados até agora deixou transparecer que a inserção de fontes originais no processo de ensino e aprendizado de matemática é uma coisa simples ou fácil de se fazer. Pelo contrário, exige um grande preparo e enorme cuidado. Por outro lado, o que se ganha em troca tem valor educacional ímpar, insubstituível.

Referências

ARCAVI, Abraham; ISODA, Masami (2007). Learning to listen: from Historical sources to classroom practice. Educational Studies in Mathematics, 66 pp. 111-129.GLAUBITZ, Michael (2011). The Use of Original Sources in the classroom: Empirical Research Findings. In: History and Epistemology in Mathematics Education - Proceedings of the Sixth European Summer University - ESU 6. Evelyne Barbin, Manfred Kronfellner, Constantinos Tzanakis (Eds.). Wien, Austria. 19 - 23 July 2010, pp. 351-362JANKVIST, Uffe Thomas (2013). The use of original sources and its possible relation to the recruitment problem. CERME 8, WG12, 6 -10 February 2013, Manavgat-Side, Antalya - Turkey. http://cerme8.metu.edu.tr/wgpapers/wg_papers.html, acesso em 15/02/2013.JANKVIST, Uffe Thomas. A categorization of the “whys” and “hows” of using history in math education. Educational Mathematical Studies, 71 pp. 235-261.TZANAKIS, Constatinos; THOMAINIDIS, Yannis (2011). Classifying the arguments and methods to integrate history in mathematics education: an example. In: History and Epistemology in Mathematics Education - Proceedings of the Sixth European Summer University - ESU 6. Evelyne Barbin, Manfred Kronfellner, Constantinos Tzanakis (Eds.). Wien, Austria. 19 - 23 July 2010, pp. 1-14.FAUVEL, John; VAN MAANEN, Jan (Eds.). 2000. History in Mathematics Education.Kluwer Academic Publishers. SIU, Man-Keung (2004). In.: Proceedings HPM2004 & ESU4 (pp. 268-277). Fulvia Furinghetti, Kaijser, Constantinos Tzanakis Stein (eds.) Uppsala: Uppsala University

Bernadete MoreyDepartamento de Matemática – UFRN –Campus Natal – Brasil

E-mail: [email protected]

História da Matemática: Uma visão crítica, desfazendo mitos (Resenha crítica)

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: UMA VISÃO CRÍTICA, DESFAZENDO MITOS E LENDAS (RESENHA CRÍTICA)

Fumikazu Saito

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUCSP – Brasil


Resumo Este artigo é uma resenha crítica do livro recém-publicado de Tatiana Roque intitulado História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas (Rio de Janeiro: Zahar, 2012. 511 pp. ISBN 978-85-378-0888-7). O autor tece algumas considerações sobre a abordagem historiográfica dando especial atenção à narrativa histórica presente na obra. Palavras-chave: Matemática, História, Resenha. [HISTORY OF MATHEMATICS: A CRITICAL REVIEW, DISSOLVING MYTHS AND LEGENDS

(A BOOK REVIEW)]

Abstract

This essay is a book review of the newly published work entitled História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas (Rio de Janeiro: Zahar, 2012. 511 pp. ISBN 978-85-378-0888-7) by Tatiana Roque. The author makes some remarks about the historiographical approach giving special attention to the historical narrative in this work. Keywords: Mathematics, History, Book Review.


ISSN 1519-955X

Fumikazu Saito.

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Apresentação

A literatura em história da matemática é bem diversificada, porém especialistas e acadêmicos que se dedicam exclusivamente à pesquisa em História da Matemática são poucos no Brasil. Grande parte desses pesquisadores faz parte da área de Educação Matemática cuja produção continua sendo vital para o desenvolvimento de estudos em história da matemática em nosso país1. É nesse panorama, em que é crescente a produção de pesquisa em história da matemática e da educação matemática, que Tatiana Roque publica o livro História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas (Rio de Janeiro: Zahar, 2012. 511 pp. ISBN 978-85-378-0888-7).

Como bem observa Gert Schubring no prefácio à obra, este é o primeiro livro de história geral da matemática propriamente brasileiro, visto que as muitas publicações de mesma natureza disponíveis aos estudantes e estudiosos da história da matemática no Brasil, até o momento, sempre foram traduções de obras estrangeiras (ROQUE, 2012, p. 13-14). Mas, embora este livro cubra um período histórico muito amplo, tal como costumamos encontrar nas narrativas panorâmicas da história da matemática, ele pontua aspectos importantes que têm sido objeto de análise e discussão entre historiadores da ciência e da matemática recentemente. Diferentemente de outras obras de história geral da matemática, tais como História da Matemática de Carl B. Boyer (1996) ou Introdução à história da matemática de Howard Eves (2004), somente para citar alguns mais conhecidos e referenciados por estudantes brasileiros, a narrativa histórica não se restringe à mera exposição de ideias matemáticas, perfilando os grandes feitos de matemáticos e suas descobertas. Pautado em tendências historiográficas atualizadas, o livro apresenta um exame crítico da história da matemática, do objeto matemático e do desenvolvimento do conhecimento matemático.

Como o próprio título anuncia, este livro procura abordar criticamente a história. Diferentemente das histórias que buscam cobrir todo o desenvolvimento da matemática, desde priscas eras até o presente, este livro foge do padrão narrativo-descritivo de história da matemática, retomando-a de forma crítica e estimulando o leitor e, principalmente o pesquisador, a buscar novas frentes de investigação. Já em sua introdução, a autora alerta-nos sobre as construções de mitos que serviram de base para a formação da imagem de uma matemática europeia, superior e acessível a poucos (ROQUE, 2012, p. 20-33). Observando que a história da matemática não deveria estar apartada dos novos desdobramentos de natureza historiográfica e metodológica da história da ciência, Roque propõe uma releitura dos mesmos temas encontrados nas tradicionais histórias da matemática sob uma nova perspectiva2.

1 Em recente estudo, Mendes (2012) identificou cerca de 200 dissertações de mestrado (acadêmico e profissional) e 100 teses de doutorado que tiveram por tema objetos de estudo em história da matemática, defendidas entre 1990 e 2010. 2 Sobre as novas tendências historiográficas da história da ciência, vide: Alfonso-Goldfarb (2008, 1994); Alfonso-Goldfarb e Beltran (2004); sobre tendências historiográficas da história da matemática, vide: Mann (2011); Gray (2011); Alexander (2006, 2002); Nobre (2004); Fowler (1994).


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Além disso, embora siga uma sequência cronológica, a narrativa no livro não é linear. Para dar conta das “idas e vindas” das ideias matemáticas, Roque procurou organizar sua narrativa de forma a privilegiar o movimento das ideias matemáticas, considerando uma rede de relações. A cada capítulo, somos conduzidos para o passado, assim como para o futuro, de ideias e de concepções matemáticas de diferentes épocas. Esse movimento, que se traduz na não-linearidade do desenvolvimento de conceitos, ideias, fórmulas, regras, e da própria matemática, apresenta ao leitor as continuidades e as descontinuidades de ideias matemáticas no processo da construção do conhecimento matemático3.

Desse modo, podemos dizer que o livro de Roque, de um lado, problematiza a história da matemática de vertente tradicional e, de outro, procura descontruir certos mitos que se arraigaram nessa tradição historiográfica. A obra é dividida em sete capítulos e cada um deles inicia-se com um relato tradicional da história da matemática. Por meio deste relato, Roque sugere que as análises históricas tradicionais tenderam a minimizar aspectos epistemológicos e históricos. Baseando-se em recentes estudos de história e historiografia da ciência, a autora busca então desconstruir as narrativas “presentistas” que subjazem às muitas histórias da matemática. Além disso, aponta para as diferentes facetas do conhecimento do passado, sem restringir tal conhecimento à matemática, mas sugerindo que há diferentes “práticas matemáticas” que estabelecem relações com outros domínios do conhecimento que não são matemáticos em essência4.

A Revolução Científica e a nova geometria do século XVII

Dos sete capítulos que compõem o livro, restringimo-nos aqui a comentar apenas o quinto, intitulado “Revolução científica e a nova geometria do século XVII” (ROQUE, 2012, p. 278-341). No relato tradicional que introduz este capítulo, Roque observa que a revolução científica geralmente é entendida como período de brusca mudança no modo de fazer ciência, especialmente na astronomia, física e matemática. Figuram entre os protagonistas do “novo” fazer científico Nicolau Copérnico (1473-1543), Johannes Kepler (1571-1630), Galileu Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1643-1727). Dentre as diversas tendências filosóficas importantes naquela época, geralmente faz-se referência à filosofia mecânica e, dentre as muitas mudanças no campo da ciência, é comum referir-se à matematização da natureza e ao advento da ciência experimental. Podemos dizer que a descrição feita nestes termos não está incorreta embora seja muito simplificada. Mas no que diz respeito à história da matemática, esse período é geralmente conhecido como o “alvorecer da matemática moderna”, visto que foi a partir dos séculos XVI e XVII que a matemática ganhara impulso em direção à especialização moderna (SAITO, 2012; BROMBERG, SAITO, 2010). Contudo, como bem observa Roque, precisamos ter cautela e não identificar os desenvolvimentos da matemática desse período como essencialmente matemáticos, tal como definiríamos nos dias de hoje. Assim, ao discorrer sobre as transformações ocorridas na geometria no século XVII, Roque parece

3 Discussões sobre continuidades e descontinuidades no desenvolvimento do conhecimento científico e matemático, vide: Golinski (2005); Alfonso-Goldfarb et al (2004); Gillies (1992). 4 A esse respeito, vide: SAITO (2012); Roux (2010).

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chamar a nossa atenção para os cuidados que devemos ter ao definirmos o que era matemática naquele período. Isso é notório no seguinte trecho que aqui reproduzimos:

“O aspecto mais importante das críticas à tese de que teria havido uma Revolução Científica no século XVII é o fato de que essa tese sugere, de modo tácito, que a noção que temos de ‘ciência’ já estava presente naquela época. Contudo, o termo ‘ciência’ possui conotações modernas inadequadas para entender o pensamento daquele período (...) Outro exemplo: o termo ‘filosofia natural’, empregado até mesmo por Newton, tinha uma conotação bem diferente da física de agora, e os filósofos naturais não separavam de modo claro questões místicas – ou teológica – do que consideramos preocupações científicas genuínas”. (ROQUE, 2012, p. 279-280)

Com efeito, estudos recentes em história da ciência têm apontado para os cuidados que devemos ter ao referirmo-nos às divisões e classificações do conhecimento no passado (SAITO, 2011a, 2011b; BROMBERG, 2011; GOLINSKI, 2005). Em outros termos, da mesma forma que “filosofia natural” não é “física”, o que entendemos hoje por Matemática ofusca a compreensão do que foram as “matemáticas” no passado. E é aqui, neste ponto, que as atuais tendências historiográficas da história da ciência têm incidido suas críticas, ou seja, ao anacronismo decorrente do fato de se referir às “matemáticas” anteriores ao século XIX sob a perspectiva da matemática moderna (BROMBERG, SAITO, 2010; ROUX, 2010; BESSE, 2009; AXWORTHY, 2009; POPPER, 2006).

Cabe observar que a exposição matemática de um assunto não pode ser reduzida completamente ao seu conteúdo disciplinar antes do século XIX (SAITO, 2012). Isso porque os “matemáticos” no século XVII possuíam diversos atributos que não são essencialmente “matemáticos”. Eles foram astrônomos, médicos, juristas, geógrafos, cartógrafos, cosmógrafos, agrimensores, e até mesmo filósofos naturais. As matemáticas, portanto, afiguravam-se de forma multifacetada, mantendo relações e estabelecendo interfaces com diferentes domínios de saber (KUSUKAWA; MACLEAN, 2006; CUOMO, 2001; TAYLOR, 1954). Assim, os novos desdobramentos das matemáticas no século XVII (e também anteriores ao XVI) devem ser vistos em sua complexidade, o que se torna notório se contextualizarmos a matemática do século XVII no processo histórico.

É importante temos em conta que o conhecimento matemático não se perpetuou desde priscas eras até o presente num processo contínuo. Sem dúvida, as matemáticas no século XVII são herdeiras de uma matemática mais antiga. Mas isso não porque as antigas ideias matemáticas perpetuaram-se e desenvolveram-se em direção à matemática moderna. Pelo contrário, foram os estudiosos de matemáticas dos séculos XVI e XVII que se apropriaram de antigos conhecimentos matemáticos e deram-lhes uma nova interpretação e lugar. Roque parece ilustrar bem esse ponto, ao referir-se, por exemplo, às traduções das obras de Pappus (c.290-c.350) em 1588 e a Arithmetica de Diofanto (c.200-c. 284) em 1575, sugerindo que não haveria continuidade destes trabalhos desde sua origem em


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direção ao século XVI. Mas, ao contrário, que foram os estudiosos de matemáticas do século XVI que se apropriaram das obras de Pappus e de Diofanto como fontes para desenvolver o conhecimento matemático (ROQUE, 2012, p. 297-303). Ou seja, ao contextualizar os objetos matemáticos, Roque pauta suas análises no processo de construção do conhecimento matemático, trazendo indícios das “idas e vindas” de ideias matemáticas. Desse modo, diferentemente das narrativas que encontramos nos clássicos da história da matemática, Roque privilegiou uma narrativa crítica em que a descoberta dos objetos matemáticos é contextualizada.

Cabe aqui observar que a história da matemática que privilegia apenas a narrativa das descobertas matemáticas mascara uma matemática pronta e acabada. Isso porque a ideia de “descoberta” implica na pré-existência do objeto matemático que deve ser descoberto. Implica também na ideia de que nem todos estão ou estavam aptos a tal empresa, visto que é preciso ter um talento especial para poder descobri-lo. A matemática já estaria, assim, pronta e acabada, bastando apenas de pessoas com talento muito especial para descobri-la. Nesse sentido, o desenvolvimento da Matemática seria natural e, o que supostamente é chamado de construção do conhecimento matemático, não seria nada mais do que uma “reconstrução histórica racional” em que o historiador, partindo de uma matemática moderna, encadeia cada descoberta a sua antecessora numa relação atemporal segundo a lógica formal.

Diferentemente, a reconstrução histórica proposta neste livro não teve por base apenas evidenciar as descobertas e ideias matemáticas. A autora parece associar as evidências e indícios da existência de matemáticas e, portanto, de conhecimento matemático, em diferentes contextos e épocas, com as questões que esses mesmos conhecimentos permitem colocar. Dessa maneira, a narrativa histórica neste livro possibilita-nos levantar questões epistemológicas interessantes, que podem ser exploradas não só por educadores, mas também pelo historiador da ciência e da matemática. Seguindo de perto as novas tendências em história da ciência (e da matemática), o livro apresenta discussões sobre a relação entre teoria e prática, o rigor matemático, o significado de prova e demonstração, a existência dos entes matemáticos, entre outros novos temas que a história da matemática possibilita colocar.

Desse modo, questões relacionadas não só à matemática, mas também ao processo da construção do conhecimento matemático também parecem fazer parte da abordagem proposta por este livro. Isso é notório, por exemplo, quando a autora discorre sobre a geometria cartesiana e o cálculo infinitesimal como duas manifestações da matemática do século XVII. Roque se pergunta como esses dois eventos se relacionariam com o pensamento mecanicista associado à matematização da natureza e à ciência experimental:

“É natural perguntar: quais seriam as relações entre os dois eventos: o progresso da matemática poderia explicar a matematização da natureza, ou o ideal mecanicista explicaria a transformação da matemática?” (ROQUE, 2012, p. 281). E em seguida responde: “Preferimos acreditar que ambos faziam parte de um mesmo movimento, pois, para um pensador da época, não se tratava mais de desvendar as causas dos

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fenômenos naturais e sim de compreender como estes se davam” (ROQUE, 2012, p. 281).

A esse respeito, entretanto, queremos aqui chamar a atenção para dois pontos:

primeiro, que não é natural fazer essa pergunta, como Roque supõe. E, de fato, não é feita no âmbito da história da matemática de vertente historiográfica tradicional. Comumente, a relação entre matemática e outras áreas de conhecimento são deixadas à margem. Segundo, embora os dois eventos fizessem parte de um mesmo movimento, isso não significa que o pensador da época não estava mais preocupado em desvendar as causas dos fenômenos, mas apenas em descrevê-lo.

Roque tem razão ao afirmar que Galileu, por exemplo, buscou descrever os fenômenos matematicamente. Contudo, isso não significa que ele e grande parte dos estudiosos naquela época não estavam mais preocupados com as causas dos fenômenos naturais. Newton, por exemplo, buscou não só descrever matematicamente as leis do movimento, como também especulou sobre as causas5. E outros estudiosos da natureza naquele período, tais como Robert Boyle (1627-1691), Blaise Pascal (1623-1663) e René Descartes (1596-1650) somente para citar alguns, estiveram no centro do debate sobre esse tema6.

Contudo, devemos concordar com Roque que o desenvolvimento da matemática esteve associado ao pensamento mecanicista e, devemos também acrescentar, aos diferentes desdobramentos das artes mecânicas, especialmente aqueles relacionados à medida e ao cálculo (CONNER, 2005; COHEN, 2005; ROSSI, 1989, 1970; WATERS, 1983; HALL, 1983). Não entraremos aqui em detalhes a esse respeito, visto exceder o objetivo desta resenha. Queremos, entretanto, observar que, a partir do século XVI, houve uma crescente interação entre dois domínios de conhecimentos: filosofia natural e matemáticas-mistas (GABBEY, 1997; DEAR, 1995; WARNER, 1994, 1990). Como é de conhecimento dos historiadores da ciência, sempre houve, desde há muito tempo, “matemáticas-mistas”. Estas eram disciplinas que não eram nem matemáticas, nem físicas (physis) em essência7. Disciplinas como astronomia, música, óptica e mecânica, por exemplo, foram consideradas desde há muito tempo disciplinas matemáticas. O interesse de estudiosos por essas áreas de conhecimento a partir do século XVI conduziu a novos desdobramentos não só na filosofia natural, mas também nas matemáticas (SAITO, 2012). Com efeito, a partir daquela época, é notório um rápido crescimento da atividade matemática e da produção de pesquisa em matemática. No desenrolar do século XVII em direção ao XIX, a matemática começou a adquirir contornos mais definidos e a produzir conhecimentos exclusivamente matemáticos. Como bem ilustra Roque em seu livro, nos capítulos que se seguem, a matemática começou a especializar-se e áreas de conhecimentos antes “matemáticos”, tais como a astronomia, a música e a óptica, por exemplo, migraram para outras áreas do saber.

Enfim, podemos dizer que este livro é um convite para renovarmos as nossas propostas e abordagens de pesquisa em história da matemática. Este livro contribui como 5 Vide, por exemplo, Newton (1980). 6 Vide estudos de: Cohen e Westfall (2002); Sargent (1995); Garber (1992); Shapin e Schaffer (1985), Westfall (1977). 7 Vide: Roux (2010); Nascimento (2009, 1998); Dear (1995); Vescovini (1969); Gagné (1969).


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importante material de consulta não só para estudantes e pesquisadores, mas também como excelente introdução à história da matemática para um público mais amplo.

Para finalizar, queremos dar atenção especial ao anexo, intitulado “História da matemática e sua própria história” (ROQUE, 2012, p. 477-483). Nele a autora apresenta sucintamente ao leitor uma história que poucos se atêm ao referir-se à história da matemática, ou seja, à própria história da história da matemática. Embora não incidam análises historiográficas da história da ciência (e da matemática) neste anexo, a autora apresenta um rico terreno de investigação ainda pouco explorado pelos historiadores. Para os leitores em geral, este anexo vem mostrar que a história da matemática não se encontra pronta e acabada. Além disso, vem a reforçar um ponto importante, isto é, que a história não é um monólito ou um mero repositório de informações sobre o passado. Na medida em que interpreta o passado e, dessa maneira, explica o presente, a história da matemática abarca o processo da construção do conhecimento matemático e é constantemente reformulada e renovada.

Bibliografia ALEXANDER, A. R. 2006. Introduction: Mathematical Stories. In: Isis. vol. 97. 678-682 _____. 2002. Geometrical Landscape: The Voyages of Discovery and the Transformation of Mathematical Practice, Stanford, Stanford University Press. ALFONSO-GOLDFARB, A. M. 1994. O que é História da Ciência, São Paulo, Brasiliense. _____. 2008. Simão Mathias Centennial: Documents, Methods and Identity of History of Science. In: Circumscribere: International Journal for the History of Science, vol. 4. 1-4. ALFONSO-GOLDFARB; A. M.; BELTRAN, M. H. R. 2004. (orgs.). Escrevendo a História da Ciência: tendências, propostas e discussões, São Paulo, Educ; Editora Livraria da Física; FAPESP. ALFONSO-GOLDFARB; A. M.; FERRAZ, M. H. M.; BELTRAN, M. H. R. A historiografia contemporânea e as ciências da matéria: uma longa rota cheia de percalços. In: ALFONSO-GOLDFARB; A. M.; BELTRAN, M. H. R. 2004. (orgs.). Escrevendo a História da Ciência: tendências, propostas e discussões, São Paulo, Educ; Editora Livraria da Física; FAPESP. 49-73. AXWORTHY, A. 2009. The Epistemological Foundations of the Propaedeutic Status of Mathematics according to the Epistolary and Pefratory Writings of Oronce Fine. In: MARR, A. (org.). The Worlds of Oronce Fine: Mathematics, Instruments and Print in Renaissance France, Donington, Shaun Tyas. 31-51. BESSE, J.-M. 2009. Cosmography in the Sixteenth Century: the Position of Oronce Fine between Mathematics and History. In: MARR, A. (org.). The Worlds of Oronce Fine: Mathematics, Instruments and Print in Renaissance France, Donington, Shaun Tyas. 100-113. BOYER, C. B. 1996. (2ª Ed.) História da Matemática, São Paulo, Editora Edgard Blücher.

Fumikazu Saito.

RBHM, Vol. 13, no 26, p. 85-94, 2013 92

BROMBERG, C. 2011. As Artes Liberais entre o Medievo e o Renascimento. In: BELTRAN, M. H. R.; SAITO, F.; TRINDADE, L. S. P. (orgs.). História da Ciência: tópicos atuais 2, São Paulo, CAPES; Editora Livraria da Física. 11-31. BROMBERG, C.; SAITO, F. 2010. A História da Matemática e a História da Ciência. In: BELTRAN, M. H. R.; SAITO, F.; TRINDADE, L. S. P. (orgs.). História da Ciência: tópicos atuais, São Paulo, CAPES; Editora Livraria da Física. 47-71. COHEN, I. B. 2005. The triumph of numbers: How counting shaped modern life, New York; London, W. W. Norton & Co. COHEN, I. B.;WESTFALL, R. S. (org.). 2002. Newton: textos, antecedentes, comentários, Rio de Janeiro, Contraponto; EDUERJ. CONNER, C. D. 2005. A People’s History of Science: Miners, Midwives and ‘Low Mechanicks’, New York, Nation Books. CUOMO, S. 2001. Ancient Mathematics, London; New York, Routledge. DEAR, P. 1995. Discipline & Experience: The Mathematical Way in the Scientific Revolution, Chicago; London, University of Chicago Press. EVES, H. 2004. Introdução à história da matemática, Campinas, Editora da UNICAMP. FOWLER, D. H. 1994. The story of the discovery of incommensurability, revisited. In: GAVROUGLU, K.; CHRISTIANIDIS, J.; NICOLAIDIS, E. (orgs.). Trends in the Historiography of Science, Dordrecht; Boston; London, Kluwer Academic. 221-235. GABBEY, A. 1997. Between ars and philosophia naturalis: reflections on the historiography of early modern mechanics. In: FIELD, J. V.; JAMES, F. A. J. L. (orgs.). Renaissance & Revolution: Humanists, Scholars & Natural Philosophers in Early Modern Europe, Cambridge, Cambridge University Press. 133-145. GAGNÉ, J. 1969. Du Quadrivium aux Scientaie Mediae. In: INSTITUTE D’ÉTUDE MEDIEVAL. Arts Liberaux et Philosophie au Moyen Age. Actes du IVe Congrès International de Philosophie Médiévale. Univ. de Montréal, 27/08-02/09, 1967, Inst. d’Étude Medieval, Montreal; Paris, J. Vrin. 975-978. GARBER, D. 1992. Descartes’ Metaphysical Physics, Chicago; London, The University of Chicago Press. GILLIES, D. (ed.). 1994. Revolutions in Mathematics, Oxford, Clarendon Press. GOLINSKI, J. 2005. Making Natural Knowledge: Constructivism and the History of Science, Chicago; London, Chicago University Press. GRAY, J. 2011. History of Mathematics and History of Science Reunited?. In: Isis, vol. 102. 511-517. HALL, A. R. 1983. Gunnery, Science, and the Royal Society. In: BURKE, J. G. (Org.). The Uses of Science in the Age of Newton, Berkeley; Los Angeles; London, University of California Press. 111-141. KUSUKAWA, S.; MACLEAN, I. (eds.). 2006. Transmitting knowledge: Words, images, and instruments in Early Modern Europe, Oxford, Oxford University Press. MANN, T. 2011. History of Mathematics and History of Science. In: Isis, Vol. 102. 518-526. MENDES, I. A. 2012. Tendências da Pesquisa em História da Matemática no Brasil: A Propósito das Dissertações e Teses (1990-2010). In: Educação Matemática Pesquisa, vol. 14, n° 3. 481-506.


RBHM, Vol. 13, no 26, p. 85-94, 2013 93

NASCIMENTO, C. A. R. do. 1998. De Tomás de Aquino a Galileu, Campinas, Editora da UNICAMP; IFCH. _____. 2009. Avicena e as ciências mistas. In: ALFONSO-GOLDFARB, A. M.; GOLDFARB, J. L.; FERRAZ, M. H. M.; WAISSE, S. (orgs.). Centenário Simão Mathias: documentos, métodos e identidade da história da ciência, São Paulo, PUCSP. 93-102. NEWTON, I. 1980. Mathematical Principles of Natural Philosophy. In: NEWTON, I; HUYGENS, C. Mathematical Principles of Natural Philosophy. Optics by Sir Isaac Newton. Treatise on Light by Christiaan Huygens, Chicago, Encyclopaedia Britannica. 1-372. NOBRE, S. 2004. Leitura crítica da história: reflexões sobre a história da matemática. In: Ciência e Educação, vol. 10, n° 3. 531-543. POPPER, N. 2006. ‘Abraham, Planter of Mathematics’: Histories of Mathematics and Astrology in Early Modern Europe. In: Journal of the History of Ideas, vol. 67, n° 1. 87-106. ROQUE, T. 2012. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas, Rio de Janeiro, Zahar. ROSSI, P. 1970. Philosophy, Technology and the Arts in the Early Modern Era, New York; Evanston; London, Harper & Row. _____. 1989. Os filósofos e as máquinas 1400-1700, São Paulo, Companhia das Letras. ROUX, S. 2010. Forms of Mathematization (14th-17th Centuries). In: Early Science and Medicine, vol. 15. 319-337. SAITO, F. 2011a. O telescópio na magia natural de Giambattista della Porta, São Paulo, FAPESP; Educ; Editora Livraria da Física. _____. 2011b. Óptica e Magia Natural no século XVI. In: BELTRAN, M. H. R.; SAITO, F.; TRINDADE, L. S. P. (orgs.). História da Ciência: tópicos atuais 2, São Paulo, CAPES; Editora Livraria da Física. 32-51. _____. 2012. History of Mathematics and History of Science: Some remarks concerning contextual framework. In: Educação Matemática Pesquisa, vol. 14, n° 3. 363-385. SARGENT, R.-M. 1995. The Diffident Naturalist: Robert Boyle and the Philosophy of Experiment, Chicago; London, University of Chicago Press. SHAPIN, S.; SCHAFFER, S. 1985. Leviathan and the Air-Pump. Hobbes, Boyle and the Experimental Life, New Jersey, Princeton University Press. TAYLOR, E. G. R. 1954. The Mathematical Practitioners of Tudor & Stuart England, Cambridge, Institute of Navigation; Cambridge University Press. VESCOVINI, G. F. 1969. L’inserimento della ‘perspectiva’ tra le arti del quadrivio. In: INSTITUTE D’ÉTUDE MEDIEVAL. Arts Liberaux et Philosophie au Moyen Age. Actes du IVe Congrès International de Philosophie Médiévale. Univ. de Montréal, 27/08-02/09, 1967, Inst. d’Étude Medieval, Montreal; Paris, J. Vrin. 969-974. WARNER, D. J. 1990. What Is a Scientific Instrument, When Did It Become One, and Why?. In: British Journal for the History of Science, vol. 23. 83-93. _____. 1994. Terresterial Magnetism: For the Glory of God and the Benefit of Mankind. In: Osiris, vol. 9. 67-84.

Fumikazu Saito.

RBHM, Vol. 13, no 26, p. 85-94, 2013 94

WATERS, D. W. 1983. Nautical Astronomy and the Problem of Longitude. In: BURKE, J. G. (org.). The Uses of Science in the Age of Newton, Berkeley; Los Angeles; London, University of California Press. 143-169. WESTFALL, R. S. 1977. The Construction of Modern Science: Mechanism and mechanics, Cambridge, Cambridge University Press. Fumikazu Saito

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